Lezione del 14 maggio 2020 al Corso al Dottorato di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Università degli Studi di Roma La Sapienza

1. Analisi strutturale non lineare:
modellazione, algoritmi, aspetti critici
Franco Bontempi
Professore Ordinario di Tecnica delle Costruzioni
Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA
Via Eudossiana 18 - 00184 Roma – ITALIA
franco.bontempi@uniroma1.it
14-Mag-2020 1

2. Indice
1. Risposta strutturale
2. Linearità e proporzionalità
3. Nonlinearità
4. Il problema strutturale e la sua discretizzazione
5. Aspetti generali dell’analisi strutturale
6. Schemi risolutivi elementari
7. Affinamento degli schemi risolutivi
Riferimenti
14-Mag-2020 2

3. RISPOSTA STRUTTURALE
14-Mag-2020 3
1

4. Restoring strutturale – forza di richiamo
14-Mag-2020 4

5. Risposta strutturale
14-Mag-2020 5

6. Risposta strutturale
• un tratto iniziale sostanzialmente lineare, che caratterizza il
comportamento in esercizio della struttura sotto condizioni che sono
raccolte negli Stati Limite di Esercizio (S.L.E.);
• un ulteriore regione in cui si manifesta un comportamento
nonlineare, approssimandosi la risposta alla massima capacità
portante della struttura: è la regione associata a condizioni raccolte
negli Stati Limite Ultimi (S.L.U.) o alla presenza di carichi che rientrano
nei casi eccezionali o accidentali connessi a cosiddetti Stati Limite di
Integrità Strutturale (S.L.I.).
14-Mag-2020 6

7. CARICO IMPOSTO / SPOSTAMENTO IMPRESSO
714-Mag-2020

8. Es. carico imposto: collaudo ponte
814-Mag-2020

9. Es. spostamento imposto: macchina di prova
914-Mag-2020

10. Carico imposto / Spostamento impresso
1014-Mag-2020

11. Nota: formulazione matriciale
14-Mag-2020 11

12. Carico imposto vs. Spostamento impresso
1214-Mag-2020

13. Carico imposto vs. Spostamento impresso
1314-Mag-2020

14. Push-over
1414-Mag-2020

15. Push-down
1514-Mag-2020

16. Ductility – Energy dissipation
16
N N
Monotonic vs. Cyclic Behavior
14-Mag-2020

17. LINEARITÀ E PROPORZIONALITÀ
14-Mag-2020 17
2

18. Condizioni per la linearità
• In termini generali, un problema strutturale risulta lineare se valgono
queste ipotesi:
I. il materiale di cui è composta la struttura è elastico lineare;
II. gli spostamenti sono piccoli: le equazioni di equilibrio si possono
scrivere nella configurazione indeformata della struttura,
trascurando quindi il fatto che per la struttura l’equilibrio si instaura
in una configurazione deformata; inoltre, va da sé che anche le
deformazioni sono piccole;
III. i vincoli presenti nella struttura sono considerati bilateri: possono
anche essere cedevoli purché siano caratterizzati anche essi da
comportamenti elastici lineari; in questo caso, questi vincoli
possono essere a tutti gli effetti considerati parte della struttura nel
suo complesso;
14-Mag-2020 18

19. Conseguenze di I, II, III
Se valgono I, II, III, si verifica che:
• la soluzione del problema strutturale esiste ed è unica: nella Fig.2a è
rappresentata la situazione di una struttura ad un solo grado di libertà
q soggetta al valore di carico fissato 𝑃∗ al quale corrisponde la
soluzione 𝑞∗;
• per il sistema strutturale, inteso come struttura formata da materiale
e insieme di carichi agenti conservativo, è definita l’energia potenziale
totale 𝛱, che risulta essere minima nell’unico punto di stazionarietà,
corrispondente all’equilibrio della struttura sotto il sistema di carichi
assegnato Fig.2b.
14-Mag-2020 19

20. 14-Mag-2020 20

21. Ipotesi IV e conseguenza
• Se, inoltre, vale anche questa ipotesi:
IV. non esistono stati di sforzo o di deformazione iniziale: non esistono
cioè coazioni o deformazioni impresse;
• la risposta strutturale è proporzionale (Fig.3), oltre che lineare, e vale
• il principio di sovrapposizione degli effetti: con riferimento alla Fig.4,
se ad un carico 𝑃 𝐴
corrisponde uno spostamento 𝑞 𝐴
e ad un carico
𝑃 𝐵
uno spostamento 𝑞 𝐵
, alla somma dei carichi 𝑃 𝐴
+ 𝑃 𝐵
= 𝑃 𝐶
corrisponde la somma degli spostamenti 𝑞 𝐶 = 𝑞 𝐴 + 𝑞 𝐵.
14-Mag-2020 21

22. 14-Mag-2020 22

23. Aspetto intensivo del principio di sovrapposizione degli effetti
14-Mag-2020 23

24. Aspetto estensivo del principio di sovrapposizione degli effetti
14-Mag-2020 24

25. NONLINEARITÀ
14-Mag-2020 25
3

26. NLM – NONLINEARITÀ DI MATERIALE
14-Mag-2020 26

27. NONLINEARITÀ DI MATERIALE (NLM)
• Il materiale di cui è composta la struttura risponde in modo differente
al crescere dei carichi, ovvero lo stesso materiale cambia
caratteristiche alla progressiva deformazione che esso subisce;
• in particolare il comportamento può essere non lineare ma olonomo,
cioè dipendente solo dal valore totale assunto dalle deformazioni
come in effetti si assumerà nel seguito, o anolonomo, cioè
dipendente dall’effettiva storia deformativa;
• può esserci anche una dipendenza dal tempo: in questo caso si hanno
fenomeni viscosi, che possono in certi casi dare luogo a situazioni
semilineari;
14-Mag-2020 27

28. 14-Mag-2020 28

29. Comportamenti materiali elementari
14-Mag-2020 29
olonomo
reversibile
anolonomo
irreversibile

30. Comportamento olonomo e anolonomo
• È da sottolineare che la distinzione fra comportamenti reversibili e irreversibili
risulta evidente solo quando ad una fase di carico segue una fase di scarico,
ovvero quando le deformazioni, dopo essere cresciute fino ad un certo punto,
diminuiscono. Nella Fig.7 è, infatti, evidenziato in rosso quello che è definito il
profilo (skeleton) del legame costituivo: esso risulta uguale sia per comportamenti
reversibili che irreversibili, rappresentando la risposta del materiale per
deformazioni crescenti.
• Considerando il differente onere computazionale fra un’analisi con materiali
olonomi e materiali anolonomi, e le considerazioni appena fatte sul profilo dei
legami costituivi, se si vuole ottenere una valutazione approssimata della capacità
portante di una struttura con materiale anolonomo, si può considerare una
modellazione olonoma, elastica nonlineare soggetta a carico monotono
crescente. La valutazione è comunque approssimata perché, seppure sotto
carichi monotoni crescenti, in una struttura composta da materiale anolonomo si
possono comunque verificare delle fasi di scarico di alcune parti materiali.
14-Mag-2020 30

31. 14-Mag-2020 31
Skeleton curve

32. 14-Mag-2020 32
Cyclic curve

33. 33
Es.
14-Mag-2020

34. 34
Drucker Beam Model
14-Mag-2020

35. 14-Mag-2020 35
Layered Model

36. 14-Mag-2020 36
Layered Model with Slip

37. NLG – NONLINEARITÀ GEOMETRICA
14-Mag-2020 37

38. NONLINEARITÀ GEOMETRICA (NLG)
• Gli spostamenti che la struttura subisce non possono essere
considerati piccoli e se ne deve tenere conto nella scrittura
dell’equilibrio; in successione si possono avere, quindi, analisi che
comprendano:
1. spostamenti piccoli e ininfluenti sulle condizioni di equilibrio
(Teoria del I ordine – equilibrio nella configurazione indeformata);
2. spostamenti piccoli ma influenti sulle condizioni di equilibrio
(Teoria del II ordine – equilibrio nella configurazione deformata);
3. grandi spostamenti (e grandi rotazioni) ma piccole deformazioni;
4. grandi spostamenti e grandi deformazioni.
14-Mag-2020 38

39. 14-Mag-2020 39

40. P-Δ vs. grandi spostamenti (1)
14-Mag-2020 40

41. P-Δ vs. grandi spostamenti (2)
14-Mag-2020 41

42. Effetto P-Δ e Effetto P-δ
14-Mag-2020 42

43. Effetto Catenaria
4314-Mag-2020

44. 14-Mag-2020 44
NB

45. 4514-Mag-2020
Es.

46. 4614-Mag-2020

47. 4714-Mag-2020

48. 4814-Mag-2020

49. NLV – NONLINEARITÀ DI VINCOLO
14-Mag-2020 49

50. NONLINEARITÀ DI VINCOLI (NLV)
• Le condizioni di vincolo della struttura (le condizioni al contorno della
struttura) variano o alterano al crescere del carico (vincoli
monolateri).
14-Mag-2020 50

51. Collegamenti
5114-Mag-2020

52. Martellamento
5214-Mag-2020

53. Comportamenti no-tension / no-compression
14-Mag-2020 53

54. 54
Ruolo dei vincoli nelle travi in c.a.
14-Mag-2020

55. 5514-Mag-2020
(b)
(a)

56. Parzializzazione delle sezioni con modellazioni ad elementi mono-
dimensionali per un carico concentrato in mezzeria di ogni campata:
influenza dei vincoli strutturali di estremità (a) carrello-cerniera; (b)
cerniera-cerniera; diagrammi carico-spostamento corrispondenti: la
curva più rigida è ottenuta con cerniere fisse a terra
5614-Mag-2020
(b)
(a)

57. conseguenze
14-Mag-2020 57

58. Conseguenze della nonlinearità
• La soluzione del problema strutturale può non esistere, e se esiste
può non essere unica.
• Non vale più il principio di sovrapposizione degli effetti (Fig.5).
• In generale, il sistema non è più un sistema conservativo per il quale si
può definire un’energia potenziale totale; se eventualmente il sistema
resta conservativo, l’energia potenziale totale non presenta più un
solo punto di minimo (Fig.6).
• La soluzione in presenza di legame anolonomo dipende dalla storia di
carico.
14-Mag-2020 58

59. 14-Mag-2020 59

60. Problema ben posto secondo Hadamard
14-Mag-2020 60

61. CONOSCENZA RICHIESTA
DA UN PROBLEMA
EVOLUTIVO
CONOSCENZA
RICHESTA
DA UN PROBLEMA
INNOVATIVO
BASE DI
CONOSCENZA
ATTUALE
Crescita di conoscenza
6114-Mag-2020

62. Progressione operativa dei livelli di analisi strutturale
14-Mag-2020 62

63. Progressione dei livelli di analisi strutturale
14-Mag-2020 63

64. Progressione dei livelli di analisi strutturale
14-Mag-2020 64

65. NOTE SULLA NLM
14-Mag-2020 65

66. comportamento elasto-plastico
14-Mag-2020 66

67. Comportamento elasto-plastico
14-Mag-2020 67

68. Dominio di resistenza / rottura
14-Mag-2020 68

69. Domini di rottura come domini di interazione
14-Mag-2020 69

70. Concavo
• còncavo agg. e s. m. [dal lat. concăvus, comp. di con- e cavus
«incavato»]. – 1. agg. a. Che ha la superficie curva e rientrante (opposto
di convesso): lenti c.; vetro c.; specchio concavo. b. Con sign. più
specifico, in geometria, detto di figura (superficie piana o solido nello
spazio) che gode della proprietà per cui esiste almeno un segmento
congiungente due suoi punti che non appartiene interamente alla figura
stessa; in partic.: angolo c., maggiore di due angoli retti; poligono c., è
un poligono che abbia un angolo interno concavo, così che esiste almeno
un suo lato che, prolungato, non lascia il poligono tutto da una stessa
parte; poliedro c., se esiste una sua faccia il cui piano non lascia il
poliedro tutto da una stessa parte. Spesso il termine è riferito, anziché
alla superficie piana o al solido spaziale, al relativo contorno. 2. s. m.,
non com. La parte concava di un corpo: nel c. della mano; l’esalazioni
contenute dentro al c. lunare (Galilei).
14-Mag-2020 70

71. Convesso
• convèsso agg. [dal lat. convexus «ricurvo», der. di convehĕre
«raccogliere insieme, condurre», comp. di con- e vehĕre «trasportare»].
– In genere, di corpo che si presenta ricurvo come la parte esterna di un
cerchio o di una sfera (opposto di concavo): la calotta è convessa nella
parte esterna, concava nella parte interna. Con sign. più specifici, in
geometria, di figura (piana o solida) tale che, dati due suoi punti
qualunque, il segmento che li congiunge appartiene interamente alla
figura (anche del contorno di tale figura, per cui è detto convesso sia il
cerchio sia la circonferenza che costituisce il contorno); di un angolo, se
ha un’ampiezza minore di 180°; di un poligono se ha tutti gli angoli
convessi; di una regione piana delimitata da una curva chiusa, se giace
tutta da una banda rispetto alla tangente in un qualsiasi punto del
contorno; di un poliedro, se giace tutto in uno stesso semispazio rispetto
a ciascuna delle sue facce.
14-Mag-2020 71

72. Concavo / Convesso
14-Mag-2020 72

73. Storie di carico
14-Mag-2020 73

74. Convessità del dominio di resistenza
14-Mag-2020 74

75. 14-Mag-2020 75

76. 14-Mag-2020 76

77. 14-Mag-2020 77

78. regolarizzazione
14-Mag-2020 78

79. Trave semplicemente appoggiata con sbalzo
14-Mag-2020 79

80. 14-Mag-2020 80
1

81. 14-Mag-2020 81

82. 14-Mag-2020 82
Mesh 1
Mesh 2
Mesh 3
Mesh 4
Mesh 5
Mesh 6
Mesh 7
Mesh 8
Mesh 9
Mesh 10

83. 14-Mag-2020 83
http://www.techno-press.org/content/?page=article&journal=sem&volume=5&num=6&ordernum=10

84. 14-Mag-2020 84

85. 14-Mag-2020 85
2

86. 14-Mag-2020 86

87. 14-Mag-2020 87

88. 14-Mag-2020 88

89. 14-Mag-2020 89
3

90. 14-Mag-2020 90

91. 14-Mag-2020 91

92. 14-Mag-2020 92
Mesh 1
Mesh 2
Mesh 3
Mesh 4
Mesh 5
Mesh 7
Mesh 8
Mesh 9
Mesh 10
Mesh 6
Mesh 1
Mesh 2
Mesh 3
Mesh 4
Mesh 5
Mesh 7
Mesh 8
Mesh 9
Mesh 10
Mesh 6
localizzazione regolarizzazione

93. 14-Mag-2020 93
localizzazione
regolarizzazione

94. IL PROBLEMA STRUTTURALE
E LA SUA DISCRETIZZAZIONE
14-Mag-2020 94
4

95. Problema strutturale
14-Mag-2020 95
CALCOLO
DATI
Dominio
strutturale
Condizioni
al contorno
Modello della Struttura
Modello delle Azioni
RISULTATI
Quantità globali/integrali
vs. locali/puntuali
Quantità primarie
vs. secondarie

96. Dati del problema strutturale
• DOMINIO STRUTTURALE (come è fatta la struttura):
• Configurazione geometrica:
a) Geometria globale: assi, …
b) Geometria locale: sezioni, spessori, …
• Composizione materiale:
a) Legge costitutiva: quale è il comportamento;
b) Criterio di rottura: quando si arriva alla rottura;
• CONDIZIONI AL CONTORNO (vincoli e carichi sulla struttura):
• Vincoli
• Carichi
14-Mag-2020 96

97. 14-Mag-2020 97

98. 14-Mag-2020 98

99. Gerarchia dei risultati
14-Mag-2020 99
1. Aspetti qualitativi e quantitativi globali:
• Deformata complessiva (spostamenti globali, rispetto dei vincoli, simmetrie -
antisimmetrie);
• Quantità statiche globali (peso proprio, risultanti complessive, reazioni
vincolari);
• Risposta strutturale complessiva come frequenze o curva carico-spostamento,
ovvero percorso di equilibrio;
2. Aspetti qualitativi e quantitativi locali:
• Sollecitazioni (momenti, azione assiale, taglio) e risultanti sezionali (o di una
parte di struttura);
3. Comportamenti e risposte locali:
• Deformazioni e sforzi;
• Fessurazioni, danneggiamento, …

100. Principio dei Lavori Virtuali
14-Mag-2020 100

101. Teorema Stazionarietà Energia Potenziale Totale
14-Mag-2020 101

102. I – Struttura reale
14-Mag-2020 102

103. II – Struttura discretizzata
14-Mag-2020 103

104. Equivalenza in termini di lavoro o di energia
14-Mag-2020 104

105. Completezza di una rappresentazione discreta
14-Mag-2020 105

106. Note sulla completezza
14-Mag-2020 106

107. Conformità (1)
14-Mag-2020 107

108. Conformità (2)
14-Mag-2020 108

109. Esempio conformità
14-Mag-2020 109

110. Formulazione di un elemento finito
14-Mag-2020 110

111. Interpolazione dei campi all’interno dell’elemento
14-Mag-2020 111

112. Equazioni risolutive
14-Mag-2020 112

113. Caratteristiche e.f. ricavate attraverso lavori virtuali
14-Mag-2020 113

114. Caratteristiche e.f. ricavate attraverso l’energia
14-Mag-2020 114

115. 14-Mag-2020 115
NB.

116. 14-Mag-2020 116
NB.

117. 11714-Mag-2020

118. Magnitude of collapse
14-Mag-2020 118

119. Suppress All Singularities
14-Mag-2020 119

120. ASPETTI GENERALI DELLA ANALISI STRUTTURALE
14-Mag-2020 120
5

121. Banda di
valori attesi
del
risultato in
base a
valutazioni
analitiche
Stima del limite
superiore
valori attesi:
Ãmax
Stima del limite
inferiore
valori attesi Ãmin
Valore numerico
A da calcolare
Numero K del modello
utilizzato (complessità)
Regola 0: l’analisi strutturale è un processo evolutivo di
esplorazione della struttura e del suo comportamento
Regola 1:
individuazione di
una delimitazione
della soluzione
K K+1
AK
AK+1
ΔAk,k+1 = Ak+1 - Ak
Regola 2:
valutazione
della
sensibilità
della
soluzione
0
A0
Regola 3:
ridondanza
delle
processi di
analisi
Possibile
divergenza
numerica
della
soluzione
14-Mag-2020 121

122. Progressione dei livelli di analisi strutturali
14-Mag-2020 122

123. 123
123
1983
14-Mag-2020

124. 12414-Mag-2020
1993

125. 125
2003
14-Mag-2020

126. Ridondanza
12614-Mag-2020

127. Prediction Difficulty
12714-Mag-2020

128. 12814-Mag-2020

129. 12914-Mag-2020

130. Strutturazione del problema
14-Mag-2020 130

131. SCHEMI RISOLUTIVI ELEMENTARI
14-Mag-2020 131
6

132. Restoring strutturale – forza di richiamo
14-Mag-2020 132

133. Presupposto 1: calcolare il restoring strutturale
14-Mag-2020 133

134. Presupposto 2: calcolare rigidezza tangente/secante
14-Mag-2020 134

135. Schema secante
14-Mag-2020 135

136. Flow-chart schema secante
14-Mag-2020 136
sec

137. Nota: convergenza / divergenza
14-Mag-2020 137

138. Percorso di equilibrio a carico / spostamento imposto
14-Mag-2020 138
Percorso di equilibrio ottenuto
(1) a carico imposto (OAEF) - (2) a spostamento imposto (OABDEFG)

139. Flow-chart schema tangente
14-Mag-2020 139

140. 14-Mag-2020 140

141. 14-Mag-2020 141
sec NR

142. 14-Mag-2020 142
NR mNR

143. Strategie ibride
14-Mag-2020 143

144. Estensione al caso di n gradi di libertà
14-Mag-2020 144

145. Nota sulla convergenza
14-Mag-2020 145

146. Norme su vettori
14-Mag-2020 146

147. Norme su matrici
14-Mag-2020 147

148. Necessità di operare la normalizzazione
14-Mag-2020 148

149. Banda di
valori attesi
del
risultato in
base a
valutazioni
analitiche
Stima del limite
superiore
valori attesi:
Ãmax
Stima del limite
inferiore
valori attesi Ãmin
Valore numerico
A da calcolare
Numero K del modello
utilizzato (complessità)
Regola 0: l’analisi strutturale è un processo evolutivo di
esplorazione della struttura e del suo comportamento
Regola 1:
individuazione di
una delimitazione
della soluzione
K K+1
AK
AK+1
ΔAk,k+1 = Ak+1 - Ak
Regola 2:
valutazione
della
sensibilità
della
soluzione
0
A0
Regola 3:
ridondanza
delle
processi di
analisi
Possibile
divergenza
numerica
della
soluzione
14-Mag-2020 149

150. AFFINAMENTO SCHEMI RISOLUTIVI
14-Mag-2020 150
7

151. Schemi risolutivi
14-Mag-2020 151

152. caratteristiche del percorso di equilibrio
14-Mag-2020 152

153. Equilibrio totale
14-Mag-2020 153
restoring
carico
squilibrio

154. Percorso di equilibrio
14-Mag-2020 154
carico
spostamento

155. Equilibrio incrementale
14-Mag-2020 155
Incremento di carico squilibrio
Incremento di restoring

156. Soluzione dell’equazione di equilibrio incrementale
14-Mag-2020 156

157. Punti singolari
14-Mag-2020 157
Punto di biforcazione
Punto limite

158. Punti singolari lungo il percorso di equilibrio
14-Mag-2020 158
carico
spostamento
Punto di biforcazione
Punto limite

159. Singolarità e molteplicità della soluzione
14-Mag-2020 159
Punto di biforcazione
Punto limite

160. Altri punti singolari
14-Mag-2020 160

161. Stabilità strutturale dei punti singolari
14-Mag-2020 161

162. Percorso di equilibrio
14-Mag-2020 162
carico
spostamento

163. preliminari
14-Mag-2020 163

164. Normalizzazione
14-Mag-2020 164

165. Indicatori della qualità del percorso di equilibrio (1)
14-Mag-2020 165

166. Indicatori della qualità del percorso di equilibrio (2)
14-Mag-2020 166

167. Parametro di Bergan (1)
14-Mag-2020 167

168. Parametro di Bergan (2)
14-Mag-2020 168

169. predictor
14-Mag-2020 169

170. Predictor
14-Mag-2020 170

171. 1 – incremento / decremento del carico
14-Mag-2020 171

172. La notazione di Batoz e Dhatt
14-Mag-2020 172

173. 2 – delimitazione del passo
14-Mag-2020 173

174. Contemporanea predizione/limitazione di Seydel
14-Mag-2020 174

175. 14-Mag-2020 175
𝑥0
, 𝜆0
∙ 𝑦
situazione nota all’inizio
dell’incremento di carico;
𝐾 𝑇
1
CALL ASSVET
formazione matrice di rigidezza
tangente della struttura;
INDICATORI DEL TIPO DI PERCORSO CHE SI STA PERCORRENDO
𝜔 𝑀𝐴𝑋 , 𝜔 𝑀𝐼𝑁 CALL POWER
valutazione con iterazione
vettoriale dell’autovalore massimo
(in modulo), e con shift, di quello
minimo (in modulo)
CALL JACOBI
valutazione di tutto lo spettro degli
autovalori e autovettori; potendo
essere la matrice di rigidezza
tangente non definita, è necessario
usare lo shift che è opportuno
scegliere pari al modulo
dell’autovalore massimo calcolato
prima con iterazione vettoriale;
𝐾 𝑇
0
= 𝐿 ∙ 𝐷 ∙ 𝐿𝑇 𝐾𝐾𝐾 = 1
CALL COLSOL
fattorizzazione della matrice di
rigidezza tangente e conteggio dei
termini pivotali 𝑑𝑖𝑖 negativi
𝜔 𝑀𝐼𝑁
CALL
INPOWER
controllo del valore dello
autovalore più piccolo in modulo
con iterazione vettoriale inversa;

176. PREDICTOR
𝛿 𝑇 = 𝐾−10
∙ 𝑦 𝐾𝐾𝐾 = 2
CALL COLSOL
valutazione della direzione tangente
al percorso di equilibrio;
𝐵 =
𝛿 𝑇,𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑒
𝑇
∙ 𝑦
𝛿 𝑇 ∙ 𝑦
valutazione parametro di Bergan (nella forma normalizzata con il
valore assunto all’origine del percorso di equilibrio);
𝛽 = 𝛽𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑒 =
𝛿 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑒
𝑦
valutazione del fattore di scala tra quantità cinematiche e quantità
statiche (solo al primo incremento di carico);
∆𝜆1
=
∓∆𝑙
𝛿 𝑇
𝑇
∙ 𝛿 𝑇 + 𝛽𝑦 𝑇 ∙ 𝛽𝑦
∆𝜆1
= ∓
∆𝑊
𝑦 𝑇 ∙ 𝛿 𝑇
∆𝜆1
=
∆𝑥 𝑘
−1
∆𝑥 𝑘
1
scelta della direzione: incremento o decremento del carico;
NOTA: nelle prime due espressioni, il segno positivo è scelto (a)
se B>0, (b) a seconda degli indicatori della Tabella I;
∆𝑥′−1
= ∆𝜆′ ∙ 𝛿 𝑇
1
𝜆1
= 𝜆0
+ ∆𝜆1
incrementi di spostamento e di carico predetti
14-Mag-2020 176

177. corrector
14-Mag-2020 177

178. Dopo il predictor, prima del corrector
14-Mag-2020 178

179. Corrector
14-Mag-2020 179

180. 0
1
1’
Δl
λ·y
x0x
0λ·y
1x
1λ·y
0K rigidezza
1R restoring
1r residuo
1K rigidezza
1Δλ·y
δr = 1r / 1K
2
1δλ ·δT = 1δλ·y / 1K
1Δx 1δx = δr -1δλ · δT14-Mag-2020 180

181. 0
1
1’
Δl
0K rigidezza
1R restoring
1r residuo
1K rigidezza
1Δλ·y
δr = 1r / 1K
2
1δλ ·δT = 1δλ·y / 1K
14-Mag-2020 181

182. 14-Mag-2020 182

183. 14-Mag-2020 183

184. 14-Mag-2020 184

185. varianti
14-Mag-2020 185

186. Carico costante
14-Mag-2020 186

187. Ramm – Wempner – Riks
14-Mag-2020 187

188. Fried
14-Mag-2020 188

189. Constant Work
14-Mag-2020 189

190. Constant Displacement
14-Mag-2020 190

191. Generalized – Weighted – Constant – Displacement
14-Mag-2020 191

192. Crisfield
14-Mag-2020 192

193. 14-Mag-2020 193

194. 14-Mag-2020 194

195. CONCLUSIONI
14-Mag-2020 195
C

196. 14-Mag-2020 196

197. Interpretare e comprendere la risposta strutturale
14-Mag-2020 197

198. 14-Mag-2020 198

199. Avvertenza
• Un’operazione che spesso comporta gravi errori nella
comprensione e nella implementazione di un procedimento
per il tracciamento del percorso di equilibrio di una struttura,
è quella di estendere considerazioni relative al caso con un
solo grado di libertà a casi con molti gradi di libertà.
• Queste inconsistenze sono spesso ingannevolmente
suggerite da rappresentare un certo spostamento della
struttura in esame in funzione del moltiplicatore del carico.
14-Mag-2020 199

200. 14-Mag-2020 200

201. 14-Mag-2020 201

202. RIFERIMENTI
14-Mag-2020 202
R

203. 14-Mag-2020 203

204. 14-Mag-2020 204

205. Dedicato al Prof. Ing. Marcello Ciampoli
20514-Mag-2020

206. 14-Mag-2020 206
https://sites.google.com/a/uniroma1.it/francobontempi/

207. https://www.youtube.com/channel/UCW3IyXTBJVIiS6OZeSdIN7g
20714-Mag-2020

208. Indice
1. Risposta strutturale
2. Linearità e proporzionalità
3. Nonlinearità
4. Il problema strutturale e la sua discretizzazione
5. Aspetti generali dell’analisi strutturale
6. Schemi risolutivi elementari
7. Affinamento degli schemi risolutivi
Riferimenti
14-Mag-2020 208

209. Analisi strutturale non lineare:
modellazione, algoritmi, aspetti critici
Franco Bontempi
Professore Ordinario di Tecnica delle Costruzioni
Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA
Via Eudossiana 18 - 00184 Roma – ITALIA
franco.bontempi@uniroma1.it
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