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Introduccion investigacion de operaciones 2 1
1. PROGRAMACIÓN LINEAL Y NO LINEAL
ALVARO JOSÉ GÓMEZ OSORIO
Magister en Ingeniería Industrial
Docente de planta
Universidad de Córdoba
Departamento de Ingeniería Industrial
ajosegomez@correo.unicordoba.edu.co
Celular 321 513 2380
2. Contenido
I. La investigación de operaciones y la programación lineal
II. Introducción a la construcción de modelos.
III. Solución grafica de modelos de programación lineal.
IV. Análisis grafico de sensibilidad de los modelos de programación
lineal
V. Solución matricial de los modelos de programación lineal.
VI. Análisis de sensibilidad y dualidad.
VII.Solución y análisis de optimalidad mediante el software WinQSB de
los modelos de programación lineal .
VIII.Problemas de transporte, asignación y transbordo.
IX. Solución a los problemas de transporte, asignación y transbordo,
mediante el software WinQSB,
X. Programación no lineal
XI. Aplicaciones y modelos de programación no lineal.
XII. Solución de modelos no lineales mediante el software WinQSB.
3. Referencias bibliográficas
1. Wiston, Wayne L. Investigación de operaciones. Aplicaciones y algoritmos. Cuarta
edición, año 2004. Editorial Thompson.
2. Taha Handy A. Investigación de operaciones. Séptima edición. Año 2004. editorial
Alfaomega.
3. Helllier Frederick S y Gerald J Lieberman. Introducción a la investigación de
operaciones.
4. Eppen G. D, Gould F. J, Schmidt C. P, Moore Jeffrey H y Weatherford Larrry R.
Investigación de operaciones en las ciencias administrativas. Quita edición. Año
2000. Editorial Thonsom.
5. Anderson Daviad R, Sweeney Dennis J y Willians Thomas A. Métodos cuantitativos
para los negocios. Séptima edición. Año 1999. Editorial Thompson.
6. Humberto Guerrero Salas. Programación lineal aplicada. Primera edición. Año 2009.
Ecoe ediciones.
7. Sixto Ríos Insua. Davis Ríos Insua. Alfonso Mateos y Jacinto Martín. Programación
Lineal y aplicaciones. Ejercicios resueltos. Primera ediicion. Año 1998. Alfaomega
8. Gonzales Ariza Ángel León. Manual de Investigación de operaciones I. Tercera
edición. Año 2003. ediciones Uninorte.
4. TRABAJO TEORIA DE REDES
1.Teoría general de redes.
2.Problema de la ruta mas corta.
3.Problema árbol de expansión mínima.
4.Problema de flujo máximo
5.Problema de flujo de costo mínimo
9. LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
TAHA
La Investigación de Operaciones aspira a determinar el
mejor curso de acción óptimo de un problema de decisión
con la restricción de recursos limitados, aplicando técnicas
matemáticas para representarlo por medio de un modelo y
analizar problemas de decisión.
SOCIEDAD AMERICANA DE SISTEMAS DE PRODUCCIÓN
Y CONTROL DE INVENTARIOS, (APICS).
Es el Análisis cualitativo de operaciones industriales y
administrativas con el intento de derivar un entendimiento
integrado de los factores que controlan los sistemas
operacionales en vista de proporcionar a la Administración
un objetivo básico para tomar decisiones que
frecuentemente involucran representar por medio de un
modelo matemático la realidad.
10. Investigación de Operaciones se refiere a un
método para la toma de decisiones, que busca
determinar la mejor manera de diseñar y
operar un sistema, usualmente bajo
condiciones que requieren la asignación de
recursos limitados.
PROCESO
11. EL MODELADO EN INVESTIGACIÓN DE
OPERACIONES
Uno de los aspecto mas destacado de la Investigación
Operativa es el relativo a la construcción de modelos
matemáticos de los problemas que trata de solventar. Los
problemas reales que se suelen abordar por cualquier
disciplina científica suelen ser demasiado complejos para
abordarlos en su totalidad de una manera formalizado.
Todas las disciplinas científicas proceden a definir
modelos ideales de tales problemas, introduciendo
hipótesis de simplificación y eliminando los factores de
menor relevancia.
12. MODELO
Los modelos matemáticos son representaciones matemáticas de
situaciones reales que se podrían usar para tomar mejores
decisiones, o bien simplemente para entender mejor la situación
real, de la forma como opera o funciona el sistema.
El modelo, se define como una función objetivo con restricciones
que se expresan en términos de las variables (alternativas) de
decisión del problema.
El objetivo de un modelo es analizar el comportamiento del
sistema, o bien predecir su comportamiento futuro. Obviamente
los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal
manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias
para representar las porciones mas relevantes del mismo
13. Técnicas de solución para modelos de
investigación de operaciones
En la Investigación de operaciones no se tiene una sola técnica general con la que se
resuelvan todos los modelos matemáticos que surgen en la practica. La clase y la
complejidad del modelo matemático determinan la naturaleza del método de solución.
Las técnicas mas importantes de investigación de operaciones son
PROGRAMACIÓN LINEAL:
Resuelve modelos con función objetivos y restricciones estrictamente lineales.
PROGRAMACIÓN ENTERA:
La variables toman valores enteros.
PROGRAMACIÓN DINÁMICA:
En la que el modelo original se puede descomponer en subproblemas mas pequeños.
PROGRAMACIÓN DE RED:
En la que el problema se puede modelar como una red.
PROGRAMACIÓN NO LINEAL:
En la que las funciones del modelo son no lineales
14. Los modelos
La solución del modelo
matemático establece
una base para tomar
una decisión, pero
adicionalmente se
deben tener en cuenta
factores intangibles o no
cuantificables
15. Clasificación de los modelos
Los modelos matemáticos pueden clasificarse de la siguiente manera.
Modelo Determinísticos: Cuando se conoce los datos de manera puntual y
la forma del resultado, no hay incertidumbre. Es decir, todos los datos son
conocidos. Se aplica a los siguientes tipos de problemas de: Programación
lineal, programación entera, programación no lineal, teoría de redes,
transporte, de asignación, programación por metas, teoría de inventarios,
etc.
Modelo Probabilístico o Estocástico: Cuando no se conoce el resultado
esperado, sino su probabilidad y existe por lo tanto incertidumbre. Se
aplica a los siguientes tipos de problemas, como: Cadenas de Markov,
teoría de juegos, líneas de espera, inventarios con demanda probabilística,
etc.
17. Programación lineal
Es una técnica matemática de optimización que permite la administración racional de
recursos (Humanos, Materiales y económicos), a diversas actividades de la organización,
de tal manera que a la vez que se cumpla con ciertas condiciones se busca alcanzar un
determinado objetivo
18. Situaciones que pueden modelarse mediante
Programación Lineal
1. PROBLEMAS DE FORMULACIÓN DE DIETAS. Este tipo de problemas
consideran las decisiones relativas a la mejor generación de uno o varios
productos resultados de una mezcla. Quizá el problema más antiguo se refiere
a la generación de dietas, pero también en la industria de elaborados
alimenticios o en la industria petrolera tiene aplicaciones.
2. PROBLEMAS DE PRODUCCIÓN. En su versión más básica pretende establecer
la proporción de productos a fabricar dados unos recursos limitados y unos
beneficios esperados.
3. DECISIÓN DE INVERSIONES. Otro de los problemas clásicos consiste en
seleccionar la mejor cartera de inversiones minimizando riesgos o
maximizando beneficios dado un conjunto de limitaciones en los recursos.
19. Situaciones que pueden modelarse mediante
Programación Lineal
4. PROBLEMA DEL TRANSPORTE. Consiste en definir, en
una red de suministro, los centros que deben
producir, la cantidad a producir y el destino de esta
producción, teniendo en cuenta costos de transporte
y/o de almacén, además de beneficios esperados y
limitaciones en los recursos disponibles.
5. PROBLEMAS DE DISTRIBUCIÓN O ASIGNACIÓN DE
PERSONAL.
6. PROBLEMAS DE COTIZACIONES.
7. PROBLEMAS DE HORARIOS.
20. ETAPAS EN UN ESTUDIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Es una labor de un equipo
interdisciplinario, que para su desarrollo
requiere agotar las siguientes etapas:
1.Definición del problema.
2.Construcción del modelo.
3.Solución del modelo.
4.Validación del modelo.
5.Implementación del modelo.
21. PROGRAMACIÓN LINEAL
Es una técnica matemática cuyo objetivo es la
determinación de soluciones optimas a los
problemas económicos en los que intervienen
recursos limitados entre actividades
competitivas. Es un método matemático que
permite asignar una cantidad fija de recursos a la
satisfacción de varias demandas, de tal forma que
mientras se optimiza algún objetivo, se satisfacen
otras condiciones definidas.
22. PASOS EN LA FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
1. COMPRENSIÓN DEL PROBLEMA. Consiste en leer
detenidamente el problema en cuestión e identificar
claramente su objetivo.
2. DEFINICIÓN DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN. Consiste en
representar simbólicamente todos los parámetros que
entran en la conformación del modelo de programación
lineal.
3. FORMULACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO. Consiste en
definir el objetivo o meta que se desea alcanzar. Esta
función muestra la relación existente entre la producción
total y la utilidad máxima que se pretende alcanzar, o el
mínimo costo para llevar a cabo dicha producción o
cualquier otro objetivo perseguido
23. PASOS EN LA FORMULACIÓN DE PROBLEMAS DE
PROGRAMACIÓN LINEAL
4.PLANTEAMIENTO DE LA RESTRICCIONES.
Debido a que existen recursos limitados entre
actividades competitivas, es necesario formular
restricciones que permiten ver claramente las
condiciones con que se debe contar para
resolver el problema.
5.FORMULACIÓN DE LA CONDICIONES DE NO
NEGATIVIDAD. Consiste en restringir todas la
variables Xi a que sean mayores, menores o
iguales a cero.
24. Estructura general de un modelo de programación lineal
𝑎11 𝑎12 𝑎13 --- --- 𝑎1𝑗 -- 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 --- --- 𝑎2𝑗 --- 𝑎2𝑛
𝑎31 𝑎32 𝑎33 --- --- 𝑎3𝑗 --- 𝑎3𝑛
--- --- --- --- --- --- --- ---
--- --- --- --- --- --- --- ---
𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 --- --- 𝑎𝑖𝑗 --- 𝑎𝑖𝑛
--- --- --- --- --- --- --- ---
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 --- --- 𝑎𝑚𝑗 --- 𝑎𝑚𝑛
A =
Matriz de coeficientes tecnológicos
Vector
columna que
indica la
limitación de
recursos
fundamentales
para producir
o servir
B =
𝑏1
𝑏2
𝑏3
---
---
𝑏𝑖
----
𝑏𝑚
=
28. PROBLEMA DE PRODUCCION
Una empresa elabora dos productos, X e Y, para lo cual utiliza los materiales A y B.
El producto X requiere una unidad del material A y una unidad del material B. El
producto Y requiere 3 unidades del material A y una unidad de B.
La información de los proveedores indican que deben comprarse como mínimo 300
unidades del material A y 200 del material B. El departamento de maquinado puede
elaborar 500 unidades del producto X o 600 del producto Y, o cualquiera
combinación de éstos.
El departamento de acabado dispone de un total de 2.800 minutos, de los cuales
cada unidad de X consume cuatro minutos, y cada unidad de Y siete minutos.
El departamento de venta informa que pueden venderse cualquier cantidad del
producto X; no obstante, del producto Y a lo sumo pueden venderse 300 unidades.
Los beneficios por unidad de los productos X e Y son de $10 y $12 respectivamente.
Plantee un modelo de programación lineal que le permita a la empresa optimizar
los beneficios y uso de los recursos.
29. Destilación de crudo
Ecopetrol produce en su refinería, Gasolina Extra (E), Gasolina Corriente ( C) y ACPM
(A) a partir de dos tipos de crudo, C1 y C2. La refinería esta dotada de dos tipos de
tecnología. La tecnología nueva (Tn) utiliza en cada sección de destilación 7 unidades
de C1 y 12 unidades de C2, para producir 8 unidades de Gasolina extra, 6 unidades
de corriente y 5 de ACPM. Con la tecnología antigua (Ta) se obtienen en cada sección
de destilación 10 unidades de gasolina extra, 7 de gasolina corriente y 4 de ACPM,
con un consumo de 10 unidades de C1 y 8 de C2.
Estudios de demanda permiten estimar que para el próximo mes se deben producir
al menos 900 unidades de gasolina extra, 300 de gasolina corriente y entre 800 y
1700 unidades de ACPM. La disponibilidad de crudo C1 es de 1400 unidades y de C2
de 2000 unidades. Los beneficios por unidad producida son: gasolina extra $4 por
unidad, Gasolina corriente $6 por unidad y ACPM $7 por unidad. Ecopetrol desea
conocer cómo utilizar ambos procesos de destilación, que se pueden realizar total o
parcialmente, y los crudos disponibles.
30. Programación de horarios
A. El Ingeniero jefe de un taller de mantenimiento de computadores, requiere
distintas cantidades como minimo de técnicos de tiempo completo en diferentes
días de la semana. La cantidad de técnicos de tiempo completo que se requieren
cada día son los siguientes: lunes 20; martes 26; miércoles 30; Jueves 35; viernes
18; sábado 38 y domingo 25. por las leyes laborales y convenciones con el
sindicato cada técnico de tiempo completo debe trabajar 5 días consecutivos y
descansar dos días. El jefe del taller desea cumplir sus exigencias diarias solo con
técnicos de tiempo completo. Plantee un PL, que el jefe del taller pueda utilizar
para minimizar la cantidad de técnicos de tiempo completo que tenga que ser
contratados.
B. El jefe del taller podría cumplir su demanda diaria de mano de obra empleando
tanto técnico de tiempo completo como de medio tiempo, sabiendo que un
técnico de tiempo completo trabaja 8 horas diarias. Durante cada semana, un
técnico de tiempo completo trabaja 8 horas diarias durante 5 días consecutivos.
Un técnico de medio tiempo trabaja 4 horas al día durante 5 días consecutivos .
Un técnico de tiempo completo representa un costo de $15 por hora, en tanto que
un técnico de medio tiempo le cuesta $10 por hora al taller. La convención
colectiva con el sindicato limitan el trabajo de medio tiempo a 25% de la mano de
obra necesaria a la semana. Plantee un PL que minimice los costos del taller en
mano de obra a la semana.
31. Problema de producción
Una compañía elabora tres productos en dos plantas distintas. El
costo por producir una unidad en cada planta es el mostrado en la
siguiente tabla:
Cada planta puede producir un total de 10.000 unidades. Se tienen
que fabricar por lo menos 6.000 unidades del producto 1, por lo
menos 8.000 unidades del producto 2 y por lo menos 5.000 unidades
del producto 3. Plantee un problema de programación lineal que le
permita a la compañía minimizar el costo.
Planta Producto
1 2 3
A $5 $6 $18
B $8 $7 $10
32. PLANIFICACION DE CULTIVOS
Un agricultor tiene tres fincas de rendimientos similares y desea sembrar para la
próxima temporada tres cultivos diferentes. La superficie cultivable en cada finca
medida en hectáreas y el personal disponible en cada una de ellas son como se
muestran en la tabla No.1.
Los empleados trabajan un promedio de 8 horas diarias, 22 días al mes. El agricultor
se propone dedicar la superficie cultivable a tres variedades de cultivos que pueden
ser: Maíz, Sorgo y algodón. La tabla No. 2, proporciona las superficies máximas que
pueden cultivarse con cada variedad de cultivo (por limitaciones en la disponibilidad
de semilla), las necesidades de mano de obra por mes y el beneficio esperado en
miles de pesos, por hectáreas por cada cultivo.
La siembra tiene asociada unos costos por hectárea que difieren según la finca y el
tipo de cultivo ha sembrar, los cuales se indican en la tabla No. 3.
El agricultor desea desarrollar una planificación de tal forma que la proporción de
tierra cultivada en cada finca sea la misma, aunque la proporción de los cultivos
sembrados no tengan que satisfacer tal condición.
Formule un modelo de programación lineal para conocer la superficie ha cultivar de
cada cultivo en cada finca para que el beneficio esperado sea máximo.
33. Tabla No. 1. Tabla No. 2.
Finca
Superficie
de cultivo
Numero de
trabajadores
Tipo de cultivo
Superfici
e máxima
Mano de obra
Horas/mes/Ha
Beneficio/Ha
Miles de
pesos
1 300 20 Maíz 350 5 800
2 640 40 Sorgo 510 4 760
3 445 30 algodón 480 6 735
Tabla No. 3
Variedad de cultivo
Finca
Maíz Sorgo Algodón
1 60 48 52
2 56 51 50
3 53 50 61
34.
35.
36. Sistema operativo de producción
Una fabrica de zapatos, tiene estimada una demanda, de zapatos trimestre tal como se mustra
a continuación: Conociendo los costos y el pronóstico por trimestre; Formule un programa de
programación lineal que minimice los costos y satisfaga la demanda. ¿Cuáles son los costos de
ese plan?
trimestre
Pronostico de ventas en
unidades
1 50.000
2 150.000
3 200.000
4 52.000
Costo de llevar inventario $3 Por par de zapato
Producción por empleado 1.000 pares de zapato
Fuerza de trabajo regular 50 trabajadores
Capacidad en horas extras 50.000 pares de zapato
Capacidad de subcontratar (Maquila) 40.000 pares de zapato
Costo de producción regular $50 por par de zapato
Costo de producción en horas extras $75 por par de zapato
Costo de producción subcontratada $85 por par de zapato
37. Problema de inversiones
Un banco comercial, está desarrollando una política de préstamos que implica un
máximo de $12 millones. La tabla siguiente muestra los datos pertinentes en
relación con los préstamos disponibles.
Las deudas impagables son irrecuperables y no producen ingresos por intereses. La
competencia con otras instituciones financieras dicta la asignación de 40% mínimo
de los fondos para préstamos agrícolas y comerciales. Para ayudar a la industria de
la construcción de viviendas en la región, los préstamos para casa deben ser por lo
menos 50% de los préstamos personales, para automóvil, y comercial. El banco
limita la proporción total de las deudas impagables en todos los préstamos a un
máximo de 4%.
Tipo de préstamo Tasa de interés % de deudas impagables
Personal 14% 10%
Automovil 13% 7%
Casa 12% 3%
Agrícola 12,50% 5%
Comercial 10% 2%
38. mezcla
Una refinería produce gasolina blanca, roja y ACPM a partir
de dos tipos de crudo A y B. Por requerimientos de calidad
se requiere que la gasolina blanca contenga 30% de crudo A
y 70% de crudo B; la gasolina roja debe contener 35% de
crudo A y 65% de crudo B; mientras que el ACPM debe
contener 60% de crudo A y 40% de crudo B. La compañía
cuenta con una disponibilidad semanal de 3.000 galones de
crudo A y 4.500 galones de crudo B, los cuales adquiere a
$2.500 el galón de crudo A y $3.200 el galón de B.
Planteé el modelo de programación lineal que se genera si
se sabe que la gasolina blanca se vende a $4.800 el galón, la
roja a $ 5.100 el galón y el ACPM $4.300 el galón.
39. Problema de distribución
Cierta compañía manufacturera de computadores vende un tipo especial de equipo
de procesamiento de información a través de cuatro distribuidores (A, B, C y D) a un
precio unitario de $10.000, $15.000, $14.000 y $18.000 respectivamente. Este
equipo es producido en tres plantas ensambladoras (I, II y III), en las cuales debido a
su ubicación geográfica y dificultad para obtener las materias primas el costo de
producción unitario del artículo es de $7.000 en la planta I, $9.500 en la planta II y
$7.200 en la planta III. Además, se ha determinado que la capacidad de producción
mensual de la planta I es 1000 unidades, de la planta II es 1.200 unidades y para la
planta III es 597 unidades. También, se ha determinado que la demanda conjunta de
los distribuidores A y B será por lo menos 600 equipos por mes, para el distribuidor C
a lo sumo 550 equipos y en el distribuidor D se venderán máximo 380 equipos, pero
no menos de 310. Plantee el modelo matemático de programación lineal que se
genera si el gerente de la compañía desea optimizar el beneficio y se informó por
parte del departamento de distribución que el costo unitario de transporte de la
planta I a cada uno de los distribuidores es $200, $300, $250 y $400
respectivamente; que este mismo costo para la planta II es $180, $190, $205 y $207
respectivamente; mientras que el costo de distribución de la planta III es $205, $108,
$215 y $235 por unidad respectivamente para los distribuidores A, B, C y D
