SD-05_Xây dựng website bán váy Lolita Alice - Phùng Thị Thúy Hiền PH 2 7 8 6 ...
Tích phân bội 3 (Phần 2).pptx
1. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TÍCH PHÂN KÉP
1) Tính
𝐷
𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
Trong đó 𝐷 là miền phẳng giới hạn bởi đường thẳng 𝑥 = 2 và các parabol 𝑦 = 𝑥2
, 𝑦 = 2𝑥2
Giải: (SV tự vẽ hình) Miền 𝐷 xác định bởi
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥2 ⇒
𝐷
𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 =
0
2
𝑑𝑥
𝑥2
2𝑥2
𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑀à
𝑥2
2𝑥2
𝑥𝑦𝑑𝑦 = 𝑥
𝑦2
2
2𝑥2
𝑥2
=
3𝑥5
2
⇒
0
2
𝑑𝑥
𝑥2
2𝑥2
𝑥𝑦𝑑𝑦 =
0
2
3𝑥5
2
𝑑𝑥 =
𝑥6
4
2
0
= 16
2. 2) Tính
𝐷
𝑥𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦
Trong đó 𝐷 là miền phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, 𝑦 = 2 và các parabol 𝑥 = 𝑦2
, 𝑥 = 2𝑦2
Giải: (SV tự vẽ hình) Miền 𝐷 xác định bởi
1 ≤ 𝑦 ≤ 2
𝑦2 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑦2 ⇒
𝐷
𝑥𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
1
2
𝑑𝑦
𝑦2
2𝑦2
𝑥𝑦2
𝑑𝑥
𝑦2
2𝑦2
𝑥𝑦2
𝑑𝑥 = 𝑦2
𝑦2
2𝑦2
𝑥𝑑𝑥 =
3𝑦6
2
⇒
1
2
𝑑𝑦
𝑦2
2𝑦2
𝑥𝑦2
𝑑𝑥 =
1
2
3𝑦6
2
𝑑𝑦 =
3𝑦7
14
2
1
=
383
14
3. 3) Tính
𝐷
𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦
Trong đó 𝐷 là miền phẳng giới hạn bởi 2 đường tròn (𝑥 − 1)2
+𝑦2
= 1 và (𝑥 − 2)2
+𝑦2
= 4
Đổi sang tọa độ cực
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 ⇒
𝐷
𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷′
𝑟2
𝑑𝑟𝑑𝜑
Đường tròn (𝑥 − 1)2
+𝑦2
= 1 ⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
= 2𝑥 ⇒ 𝑟 = 2𝑐𝑜𝑠𝜑
Đường tròn (𝑥 − 2)2
+𝑦2
= 4 ⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
= 4𝑥 ⇒ 𝑟 = 4𝑐𝑜𝑠𝜑
Miền 𝐷’ xác định bởi
−𝜋/2 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋/2
2𝑐𝑜𝑠𝜑 ≤ 𝑟 ≤ 4𝑐𝑜𝑠𝜑
suy ra
𝐷′
𝑟2𝑑𝑟𝑑𝜑 =
−𝜋/2
𝜋/2
𝑑𝜑
2𝑐𝑜𝑠𝜑
4𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑟2𝑑𝑟 =
−𝜋/2
𝜋/2
56
3
𝑐𝑜𝑠3𝜑𝑑𝜑 =
112
3
0
𝜋/2
𝑐𝑜𝑠3
𝜑𝑑𝜑
=
224
9
𝑥
𝑦
𝑂
=
112
3
0
𝜋/2
1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜑 𝑑(𝑠𝑖𝑛𝜑)=
112
3
𝑠𝑖𝑛𝜑 −
𝑠𝑖𝑛3𝜑
3
𝜋/2
0
4. 4) Tính
𝐷
𝑥2
9
+
𝑦2
4
𝑑𝑥𝑑𝑦
Trong đó 𝐷 là phần bên trong đường ellipse
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1
Giải: Đổi sang tọa độ cực mở rộng
𝑥 = 3𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝐷
𝑥2
9
+
𝑦2
4
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷′
𝑟. 2.3. 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 = 6
𝐷′
𝑟2
𝑑𝑟𝑑𝜑
Trong tọa độ cực mở rộng thì ellipse
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1 có phương trình 𝑟 = 1.
⇒ 𝐷’ xác định bởi
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
⇒
𝐷′
𝑟2𝑑𝑟𝑑𝜑 =
0
2𝜋
𝑑𝜑
0
1
𝑟2𝑑𝑟 =
2𝜋
3
𝑥
𝑦
𝑂
⇒
𝐷
𝑥2
9
+
𝑦2
4
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 6
𝐷′
𝑟2𝑑𝑟𝑑𝜑 = 6.
2𝜋
3
= 4𝜋
5. 5) Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:
0
1
𝑑𝑦
𝑦
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
0
1
𝑑𝑦
𝑦
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 =
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 trong đó 𝐷 xác định bởi
0 ≤ 𝑦 ≤ 1
𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦
𝐷𝑜 𝑥 = 𝑦 ⇔
𝑥 ≥ 0
𝑦 = 𝑥2
𝐷 còn có thể xác định bởi
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑥2
≤ 𝑦 ≤ 𝑥
1
1
𝑥
𝑦
𝑂
⇒ 𝐷 là miền trong hình vẽ
nên
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
0
1
𝑑𝑥
𝑥2
𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Suy ra
0
1
𝑑𝑦
𝑦
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 =
0
1
𝑑𝑥
𝑥2
𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
6. 6) Tính
0
2
𝑑𝑥
𝑥
2
1
𝑒𝑦2
𝑑𝑦
0
2
𝑑𝑥
𝑥
2
1
𝑒𝑦2
𝑑𝑦 =
𝐷
𝑒𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦 trong đó 𝐷 xác định bởi
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑥
2
≤ 𝑦 ≤ 1
⇒ 𝐷 là miền trong hình vẽ
2
1
𝑂
𝑥
𝑦
Miền 𝐷 còn có thể xác định bởi
0 ≤ 𝑦 ≤ 1
0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑦
nên
𝐷
𝑒𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
0
1
𝑑𝑦
0
2𝑦
𝑒𝑦2
𝑑𝑥 ⇒
0
2
𝑑𝑥
𝑥
2
1
𝑒𝑦2
𝑑𝑦 =
0
1
𝑑𝑦
0
2𝑦
𝑒𝑦2
𝑑𝑥
Mà
0
2𝑦
𝑒𝑦2
𝑑𝑥 = 2𝑦𝑒𝑦2
⇒
0
1
𝑑𝑦
0
2𝑦
𝑒𝑦2
𝑑𝑥 =
0
1
2𝑦𝑒𝑦2
𝑑𝑦 =
0
1
𝑒𝑦2
𝑑(𝑦2
) = 𝑒𝑦2
1
0
= 𝑒 − 1
7. 7) Tính tích phân
𝐷
𝑒
𝑥
𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 với 𝐷 là miền phẳng, giới hạn bởi các đường 𝑥 = 0, 𝑦 = 1, 𝑥 = 𝑦2
1
𝑥
𝑦
𝑂 1
Miền 𝐷 xác định bởi
0 ≤ 𝑦 ≤ 1
0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦2
Ta thấy
𝐷
𝑒
𝑥
𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 =
0
1
𝑑𝑦
0
𝑦2
𝑒
𝑥
𝑦𝑑𝑥
0
𝑦2
𝑒
𝑥
𝑦𝑑𝑥 = 𝑦
0
𝑦2
𝑒
𝑥
𝑦𝑑
𝑥
𝑦
= 𝑦 𝑒
𝑥
𝑦
𝑦2
0
= 𝑦 𝑒𝑦
− 1
⇒
0
1
𝑑𝑦
0
𝑦2
𝑒
𝑥
𝑦𝑑𝑥 =
0
1
𝑦 𝑒𝑦
− 1 𝑑𝑦 =
0
1
𝑦𝑒𝑦
𝑑𝑦 −
0
1
𝑦𝑑𝑦 =
0
1
𝑦𝑑(𝑒𝑦
) −
𝑦2
2
1
0
= 𝑦𝑒𝑦
1
0
−
0
1
𝑒𝑦
𝑑𝑦 −
1
2
= 𝑒 − 𝑒 − 1 −
1
2
=
1
2
8. 8) Tính tích phân
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥2 + 𝑦2 + 1 với 𝐷 là miền phẳng, giới hạn bởi các đường 𝑦 = 0, 𝑦 = 1 − 𝑥2
𝑦 = 1 − 𝑥2 ⇔
𝑦 ≥ 0
𝑦2
= 1 − 𝑥2 ⇔
𝑦 ≥ 0
𝑥2
+ 𝑦2
= 1
Suy ra 𝐷 là miền trong hình vẽ
𝑂
𝑥
𝑦
Đổi sang tọa độ cực
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
⇒
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥2 + 𝑦2 + 1
=
𝐷′
𝑟
𝑟2 + 1
𝑑𝑟𝑑𝜑 Miền 𝐷’ xác định bởi
0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
nên:
𝐷′
𝑟
𝑟2 + 1
𝑑𝑟𝑑𝜑 =
0
𝜋
𝑑𝜑
0
1
𝑟
𝑟2 + 1
𝑑𝑟 Mà
0
1
𝑟
𝑟2 + 1
𝑑𝑟 =
1
2
0
1
𝑑 𝑟2
+ 1
𝑟2 + 1
= ln 𝑟2 + 1
1
0
= 𝑙𝑛2
⇒
0
𝜋
𝑑𝜑
0
1
𝑟
𝑟2 + 1
𝑑𝑟 =
0
𝜋
𝑙𝑛2𝑑𝜑 = 𝜋𝑙𝑛2
9. 9) Tính tích phân
với 𝐷 là miền phẳng nằm giữa 2 đường tròn 𝑥2
+ 𝑦2
=
𝜋2
4
và 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝜋2
𝐷
𝑠𝑖𝑛 𝑥2 + 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦
Đổi sang tọa độ cực
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
Các đường tròn có phương trình 𝑟 =
𝜋
2
và 𝑟 = 𝜋
𝐷
𝑠𝑖𝑛 𝑥2 + 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷′
𝑠𝑖𝑛𝑟
𝑟
. 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 =
𝐷′
𝑠𝑖𝑛𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑
Miền 𝐷’ xác định bởi
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
𝜋
2
≤ 𝑟 ≤ 𝜋
nên
𝐷′
𝑠𝑖𝑛𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 =
0
2𝜋
𝑑𝜑
𝜋
2
𝜋
𝑠𝑖𝑛𝑟𝑑𝑟
Mà
𝜋
2
𝜋
𝑠𝑖𝑛𝑟𝑑𝑟 = −𝑐𝑜𝑠𝑟
𝜋
𝜋
2
= 1 nên
0
2𝜋
𝑑𝜑
𝜋
2
𝜋
𝑠𝑖𝑛𝑟𝑑𝑟 =
0
2𝜋
𝑑𝜑 = 2𝜋
𝑂
𝑦
𝑥
10. 10) Tính diện tích phần mặt phẳng bởi các đường 𝑥 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1 và 𝑦 = 𝑥2
, 𝑥 ≥ 0
1
1
𝐴
𝑂
Hoành độ của 𝐴 là nghiệm > 0 của phương trình 𝑥2
= 1 − 𝑥
Theo công thức 𝑆 =
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦
⇒ 𝑥𝐴 =
5 − 1
2
Mà 𝐷 xác định bởi
0 ≤ 𝑥 ≤
5−1
2
𝑥2
≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥
⇒
𝐷
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
0
5−1
2
𝑑𝑥
𝑥2
1−𝑥
𝑑𝑦 =
0
5−1
2
1 − 𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥
= 𝑥 −
𝑥2
2
−
𝑥3
3
5 − 1
2
0
=
5 − 1
2
−
1
2
5 − 1
2
2
−
1
3
5 − 1
2
3
𝑥
𝑦
11. 11) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng 𝑧 = 0 và mặt 𝑧 = 1 − 𝑥2
− 𝑦2
𝑂
𝑥
𝑦
𝑧
𝑥
𝑦
𝑂
1
𝑉 =
𝐷
1 − 𝑥2
− 𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦
Đây là hình trụ cong mà phía dưới là 𝐷 là hình tròn 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1
𝐷
Đổi sang tọa độ cực
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑉 =
𝐷
1 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷′
1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑
Miền 𝐷’ xác định bởi
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
nên
𝐷′
1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 =
0
2𝜋
𝑑𝜑
0
1
1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟
Mà
0
1
1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 =
𝑟2
2
−
𝑟4
4
1
0
=
1
4
⇒ 𝑉 =
0
2𝜋
𝑑𝜑
0
1
1 − 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 =
0
2𝜋
1
4
𝑑𝜑 =
𝜋
2
(Đ𝑉𝑇𝑇)
12. 12) Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi:
mặt paraboloid tròn xoay 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2,
𝑂 𝑦
𝑥
mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 = 1, trong phần 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ 0
𝑧
𝑂
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
Phần không gian nói trên giới hạn phía dưới bởi 𝑂𝐴𝐵,
phía trên là mặt cong 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, các đường sinh//𝑂𝑧
Theo công thức, ta có: 𝑉 =
𝐷
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦
Miền 𝐷 xác định bởi:
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥
Cho nên
𝑉 =
𝐷
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
0
1
𝑑𝑥
0
1−𝑥
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑦
𝑥
𝑦
24. 6. Tính
Ω
𝑥2
+ 𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Ω giới hạn bởi mặt phẳng 𝑧 = 0,
mặt trụ tròn xoay 𝑥2
+ 𝑦2
= 1, mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
Đổi sang tọa độ trụ
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑧 = 𝑧
ta được:
Ω
𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
Ω′
𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧
Miền Ω′ xác định bởi
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑟2
nên:
Ω′
𝑟3𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 =
0
2𝜋
𝑑𝜑
0
1
𝑑𝑟
0
𝑟2
𝑟3𝑑𝑧 =
𝜋
3
𝑂
𝑥
𝑦
𝑧
25. 7. Tính
Ω
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Ω là phần phía trên của nửa mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
và phía trong của mặt cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4
Đổi sang tọa độ cầu
𝑥 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃
⇒
Ω
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
Ω′
𝜌4𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃
Miền Ω’ xác định bởi
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/4
0 ≤ 𝜌 ≤ 2
⇒
Ω′
𝜌4
𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃 =
0
2𝜋
𝑑𝜑
0
𝜋/4
𝑑𝜃
0
2
𝜌4
𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜌 =
64𝜋
5
1 −
2
2
𝑂
𝑥
𝑦
𝑧
𝑂 𝑥
𝑦
26. 8. Tính thể tích phần không gian giới hạn bởi mặt phẳng 𝑧 = 0 và mặt paraboloid tròn xoay
𝑧 = 1 − 𝑥2
− 𝑦2
a) Bằng tích phân kép
b) Bằng tích phân bội 3
a) Gọi 𝐷 là hình chiếu của miền Ω xuống mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 ⇒ 𝐷 giới
hạn bởi đường tròn 𝑥2
+ 𝑦2
= 1
𝑉 =
𝐷
1 − 𝑥2
− 𝑦2
𝑑𝑥𝑑𝑦 Đổi sang tọa độ cực
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
⇒ 𝑉 =
𝐷′
1 − 𝑟2
𝑟𝑑𝑟 =
0
2𝜋
𝑑𝜑
0
1
1 − 𝑟2
𝑟𝑑𝑟 =
𝜋
2
(Đ𝑉𝑇𝑇)
Đổi sang tọa độ trụ
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑧 = 𝑧
𝑏) 𝑉 =
Ω
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
⇒ 𝑉 =
Ω′
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 =
0
2𝜋
𝑑𝜑
0
1
𝑑𝑟
0
1−𝑟2
𝑟𝑑𝑧 =
𝜋
2
(Đ𝑉𝑇𝑇)
𝑂
𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
𝑂
𝑧
