1

1. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 1. “Термічні параметри стану. Рівняння стану
ідеальних газів. Суміші газів. Теплоємність газів.”
Мета завдання: Ознайомитися з основними та допоміжними параметрами
стану термодинамічної системи та їх практичним застосуванням.
Завдання:
1. Навчитися використовувати рівняння стану ідеальних газів при
розв’язанні практичних завдань.
2. Для закріплення матеріалу необхідно розв’язати та оформити
контрольне завдання ( в кінці прикладу розв’язання задачі). Варіант
вибирати чітко у відповідності з останніми цифрами залікової
книжки (таблиця 1.1) .
Стан будь якої термодинамічної системи характеризують за допомогою
макроскопічних фізичних величин, які називають – термічними змінними або
параметрами стану. Як показує досвід, газ даної маси однозначно можна
охарактеризувати всього за допомогою трьох параметрів: питомого об’єму – υ
3
м кг   , абсолютного тиску – [ ]Пар , абсолютної температури – [ ]КТ .
Сукупність цих трьох параметрів називають – основними термічними
параметрами стану і вони повністю характеризують тепловий стан системи.
Крім термічних параметрів стану існують так звані калоричні параметри стану
(допоміжні), які раніше вимірювали у калоріях, звідки і отримали свою назву.
До них відносять внутрішню енергію – [ ]ДжU , ентальпію – [ ]ДжH і ентропію
[ ]Дж КS . Параметри стану системи, які не залежать від маси системи або
числа мікрочастинок у системі, називають інтенсивними (абсолютний тиск,
абсолютна температура, питомий об’єм) і вони не залежать від розмірів системи
(тобто, в усіх частинах гомогенної системи вони залишаються незмінними).
Параметри стану які залежать від маси системи або числа мікрочастинок у
системі називають екстенсивними (внутрішня енергія, ентропія, ентальпія).
(Екстенсивні параметри характеризують систему як ціле , у той час як інтенсивні можуть
приймати визначені значення в кожній точці системи) .
Формули для розрахунків:
Рівняння стану:
Однією з характерних закономірностей у поведінці макроскопічних тіл є
те, що стан будь якого однорідного тіла, яке знаходиться в рівновазі
характеризується (визначається) тільки двома незалежними параметрами ( p і
υ , p і T , T і υ ). Усі інші параметри можуть бути знайдені як функції цих
двох параметрів. Досвід і теорія показують, що в загальному вигляді стан

2. системи характеризується рівнянням типу ( , , ) 0p Tϕ υ = . Це рівняння і
називають термічним рівнянням стану. Вигляд функції ϕ різний і залежить від
природи тіла. Найбільш простим рівнянням стану тіла є рівняння Клапейрона-
Менделеєва для ідеальних газів, яке ми подамо у чотирьох видах:
pV mRT= , p RTυ = , pV R Tµ µ= , pV R Tµγ= (1.1) , де Vµ − молярний об’єм газу,
3
м кмоль ;γ − кількість молів газу; ( )8314RДж кмоль Кµ = × - універсальна
газова стала; R - питома газова стала, ( )Дж кг К× .
Суміші газів.
Під газовою сумішшю розуміють механічну суміш окремих газів, які не
вступають між собою у хімічну реакцію, і при цьому кожний компонент суміші
зберігає свої властивості і поводить себе так, наче б то він один займає весь
об’єм. Зрозуміло, що опис стану суміші газу відрізняється від опису стану
ідеальних газів, де потрібно знати всього два параметри, так як тут необхідно
ще знати і склад суміші (тобто, знати газову сталу суміші або її молекулярну
масу). Але в цілому, газові суміші також доволі точно підкоряються основному
рівнянню стану.
Крім того, суміші ідеальних газів підкоряються закону Дальтона, згідно
якому сума парціальних тисків компонентів газу дорівнює тиску газової
суміші, тобто сум1 2
1
...
п
п і
і
p p p p p
=
+ + + = =∑ (1.2) і закону Амага , за яким сума
приведених (парціальних) об’ємів окремих компонентів суміші дорівнює
об’єму суміші: сум1 2
1
...
п
п і
і
V V V V V
=
+ + + = =∑ (1.3). (Парціальний об'єм – це об’єм,
який займав би компонент суміші в тій же кількості при температурі і тиску
суміші. Парціальний тиск – це такий тиск, який створював би кожний
компонет суміші газу, якби він один займав той же об’єм, у тій же кількості
і при тій же температурі, що і суміш). Склад суміші газів може бути заданий
масовими, об'ємними і мольними частками (у випадку ідеальних газів мольні
частки дорівнюють об'ємним).
Масова частка - це відношення маси компоненту до маси суміші:
1 2
1 2
см см см
; ;...= = = n
n
m m mg g gm m m , отже
1
1
n
i
іg
=
=∑ . (1.4)
Об'ємна частка – це відношення парціальног об'єму компоненту до об'єму
суміші:
1 2
1 2
см см см
; ;... n
n
V V Vr r rV V V= = = ,де
1
n
i
іr
=
∑ =1. (1.5)
Молярна частка – це відношення кількості молів компонента суміші до
кількості молів самої суміші :

3. см см
см см см см
i i i i
i
i i
m Vx m V
γ µ ρ µ
γ µ ρ µ
× × ×= = =× × × , (1.6)
але так як
см см
i iρ µ
ρ µ= , то
см
i
i ix rγ
γ= = , тобто молярні та о’бємні
частки ідеальних газів чисельно рівні.
Розглянемо зв’язок між об’ємною та массовою частками :
см см смсм см
i i i i iсм
i i i i
i
m V Rg r r rm V R
ρ ρ µ
ρ µρ= = = × = × = × , (1.7)
але так 1 , , ;
V R
V R
µ µ
µ
µρ υ ρ µυ µ= = = = , то маємо:
см см
см см
смсм
; ;i i
i i i i i i
i i i
RR gr g g g R R g R RR
µ
µ
ρ µ
ρ µ µ µ= × = × = × = = × =∑ ∑ . (1.8)
Якщо суміш задано об’ємними частками, то маємо:
см см
1;
і
i
i i
i i i i
Rrr R RR r r R
µ
µµ µ
µ× ×
= = = =∑ ∑ ∑ ∑ . (1.9)
Теплоємність газів.
Однією з важливих величин, пов’язаних з енергією системи, є
теплоємність. З практики відомо, що для того, щоб нагріти дві різні речовини з
однаковою масою і температурою до якоїсь іншої певної температури потрібно
затратити різну кількість енергії. І ця кількість необхідної енергії залежить від
хімічного складу системи, її маси, термодинамічного стану і процесу, в якому
відбувається підведення чи відведення теплоти. Тобто, кожне тіло по своєму
«сприймає» теплоту і ця здатність тіла характеризується показником, який
називається теплоємністю. Іншими словами: під теплоємністю робочого тіла –
газу (а в загальному випадку і всякої іншої речовини) розуміють кількість
теплоти, яку потрібно надати одиниці кількості газу (системи) або відняти від
нього в даному процесі, щоб змінити його температуру на 1 град. Так як
кількість речовини визначають масою, об’ємом за нормальних умов або по
кількості кіломолів, то в технічній термодинаміці розрізняють три види
теплоємностей: масову - ( )Дж кг Кc 
 
× , об’ємну - '
c ( )3
нДж м К 
  
× та мольну -
cµ ( )Дж кмоль К 
 
× . Між цими теплоємностями існує чіткий зв’язок:
' ' '
; ; ;22,4 o o
c c
с c c c c cµ µ
ρ υµ= = = = . (1.10)
Теплоємність ідеальних газів залежить від атомності газу, процесу і не
залежить від їх властивостей. Теплоємність реальних газів залежить від їх
властивостей, процесу, а також від тиску і температури. Ось чому, вона не є
параметром стану (повним диференціалом), так як залежить як від властивостей
тіла так і від виду процесу (тобто, є характеристикою процесу), і , в залежності

4. від процесу, теплоємність може змінюватися в межах від −∞ до +∞ . Тому,
щоб конкретизувати поняття теплоємності системи , необхідно вказувати за
яких умов до системи підводиться чи відводиться енергія у вигляді теплоти. В
термодинаміці важливе значення мають теплоємності за постійного тиску pc та
за постійного об’єму vc , між якими існують співвідношення
p pс c
kс c
µ
µυ υ
= =
(показник адіабати) (1.11); pc c Rυ− =
( рівняння Майєра) (1.12). Потрібно відмітити, що для реальних газів ця
залежність має інший вигляд - pc c Rυ− > , так як при розширенні реальних газів
за постійного тиску здійснюється не тільки робота проти зовнішніх сил, але й
внутрішня робота, пов’язана із зміною внутрішньої потенціальної енергії тіла,
що й викликає більшу витрату теплоти.
Так як теплоємність залежить від температури (див. рис. 1.1) , то для
знаходження кількості теплоти, яку підводять до системи чи відводять від неї
при певному процесі використовують табличні дані середніх теплоємностей в
інтервалі температур 1 2...t t . Визначення кількості теплоти проводять за
формулою
2 1_ _
1 2 2 1
0 0
t t
q c t c t− = − (1.13), де
2_
0
t
c та
1_
0
t
c – табличні значення
теплоємностей у відповідному інтервалі від 0
0 С до t .Для визначення
середньої теплоємності в діапазоні деяких температур використовують
формулу:
2
2
0 0
1
1_ _
2 1_
1 2
2 1
t t
t
t t
t
c t c t
q
c
dt t t
−
−
= =
−
. (1.14)
Якщо вираз (1.13) записати для безмежно малої кількості теплоти qδ та
температури dt , то отримаємо так звану істинну теплоємність
q
c
dt
δ
= при
заданій температурі (див рис. 1.1).
Теплоємності суміші газів визначають за формулами:
1 1 1
' '
cм см см; ;
= = =
× × ×= = =∑ ∑ ∑
n n n
i i i
i i i
i i ig r xc c c c c cµ µ . (1.15)

5. Рис.1.1. Графічна залежність теплоємності від температури
Внутрішня енергія, ентальпія та ентропія.
В технічній термодинаміці використовують три основні функції стану:
внутрішню енергію, ентальпію та ентропію. Ці функції залежать тільки від
стану системи і їх зміна в будь якому термодинамічному процесі не залежить
від виду процесу, а визначається тільки їх значеннями в початковому та
кінцевому станах .
Під внутрішньою енергією термодинамічної системи розуміють енергію,
яка міститься в самій системі і яка обумовлена рухом і взаємним положенням
частинок, з яких компонується система (тіло). Ця енергія складається із
хаотичного (теплового) руху і взаємодії молекул ( в технічній термодинаміці
енергію електронів, внутріядерну енергію, енергію взаємодії між ядром
молекули та електронами і т.п. не враховують, так як в процесах, які розглядає
термодинаміка ці види енергії є незмінними). Для ідеальних газів зміна
внутрішньої енергії залежить тільки від температури ( внутрішня енергія
прямопропорційно зростає із ростом температури) , а для реальних газів - ще й
від потенціальної енергії молекул, що взаємодіють між собою, яка залежить від
середньої відстані між ними, тобто від його об’єму або тиску. Внутрішню
енергію робочого тіла вимірюють в одиницях теплоти – ( )Дж Джоулях і вона
являється екстенсивним параметром стану .
Ентальпія ( H ) – це функція стану термодинамічної системи, яка
дорівнює сумі її внутрішньої енергії і добутку тиску на об’єм системи. Тобто –
це повна енергія системи: E U pV H= + = . Вимірюють її, як і внутрішню
енергію, в Дж і вона також являється екстенсивним параметром стану .
Ентропія (S )(від грецького entropia - поворот, перетворення) – в
загальному, це координата термічної взаємодії системи, або міра необоротності
процесу. Це параметр стану (екстенсивний). Вимірюють в .Дж К При
підведенні теплоти в будь якому процесі ентропія завжди зростає 0ds > , а при
відведені – зменшується 0ds < .

6. Так як ці величини є параметрами стану, то їх зміна в процесах не
залежить від виду процесу і для усіх процесів, стосовно ідеальних газів,
основні розрахункові формули для їх знаходження матимуть вигляд:
( )
2
1
_
1 2 2 1 ,
t
m
t
u c t tабо du c dTυ υ−∆ = − = ; (1.16)
( )2
1
1 2 2 1 ,
t
pm p
t
h c t tабо dh c dT−∆ = − = ; (1.17)
( ) 2 2
1 1
2 2 2 2
1 2 2 1
1 1 1 1
ln ln ln ln
t t
pmm t t
T V T Ps s sс R c RT V T Pυ−
       
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
∆ = − = + = − . (1.18)
Задача 1. 1
1 3
м газової суміші - V1см (продукти згорання), яка складається із 70% СО2 і
30% СО (задано об’ємними частками), має початкові параметри – тиск 1смp =0,2
МПа і температуру t 1см=57 о
С. При сталому тиску ця суміш розширюється до
об’єму 2см 1см3V V= .
Визначити газову сталу суміші, її кінцеві параметри, зміну внутрішньої
енергії, ентальпії, ентропії, теплоту і роботу розширення суміші в даному
процесі. Побудувати цей процес в робочій ( )p υ− та тепловій ( )T s−
діаграмах.
Розв’язування: Так як склад газової суміші заданий об’ємними частками, то знайдемо
уявну молекулярну масу суміші за допомогою рівняння: сум i irµ µ= ∑ , або після
підстановки відповідних значень матимемо: cум 0,7 44 0,3 28 39,2кг кмольµ = × + × = .
Звідси, газова стала суміші: ( )сум
сум
8314 212,0939,2
R
RДж кг Кµ
µ= = = × . Маса
суміші при цьому становитиме:
1сум 1сум
сум
сум 1
200000 1
2,86
212,09 330
P V
mкг
R T
× ×
= = =
× ×
. В кінці
процесу об’єм суміші становитиме
3
2сум 1сум3 3V Vм= = , а температура -
2сум 2сум 0
2сум 2сум
сум сум
200000 3
989,16 ( 716 )
212,09 2,86
P V
T K t C
R m
≈
× ×
= = =
× × . Для ізобаричного
процесу роботу визначимо за формулою:
( )2 1 .200000 2 400000 400L P V VДж кДж= − = × = =
Для знаходження зміни внутрішньої енергії, ентальпії та ентропії в процесі, необхідно
знайти середні теплоємності суміші за різних процесів: сумрс і сум
сυ - в даному
температурному діапазоні за формулами (1.12 та 1.14). Для прикладу розглянемо

7. знаходження ізобарної теплоємності суміші сумрс , скориставшись таблицями
теплоємностей газів із збірника [7] : (див. с.320-321) . Методом інтерполяції знайдемо: для
температури 0
57 C - ( )2
0,8439COpcкДж кг К= × , ( )1,0408COpcкДж кг К= × а для
температури
0
2 716t C= - ( )2
1,0675COpcкДж кг К= × , ( )1,0997COpcкДж кг К= × ,.
Скориставшись формулою (1.14) відповідно знайдемо : ( )716
57 1,10479COpcкДж кг К= ×
та ( )2
716
57 1,0868COpcкДж кг К= × . Використовуючи залежність об’ємних часток від
масових, знайдемо склад суміші у масових частках:
см
i
i ig r µ
µ
 
 ÷
 
= × . Для нашого випадку
це буде:
280,3 0,21439,2cog = × = і 2
440,7 0,78639,2cog = × = . Перевіряємо:
2
0,214 0,786 1co cog g+ = + = ! Масова теплоємність газової суміші ізобарного процесу в
даному температурному діапазоні становитиме:
( )сум
0,214 1,10479 0,786 1,0868 1,0906i iр g cкДж кг Кс = × = × + × = ×∑ .
Для знаходження усіх параметрів суміші нам необхідно ще визначити теплоємність
суміші при ізохоричному процесі. Для цього використаємо рівняння Майєра(1.12):
( )сумсум сум
1,0906 0,2121 0,8785рс с R кДж кг Кυ = − = − = × .
Маючи ці значення знаходимо :
- зміну питомої внутрішньої енергії в процесі:
( ) ( )сум 2 1 0,8785 716 57 578,93uс t t кДж кгυ∆ = − = × − = ;
- зміну питомої ентальпії в процесі:
( ) ( )сум 2 1 1,0906 716 57 718,71∆ = − = × − =рhс t t кДж кг ;
- зміну питомої ентропії:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
сум 2 1 2 1
.
ln ln 0,8785 ln 989 330 0,2121 ln 3 1
5,33
∆ = + = × + × =
×
sс Т Т R V V
кДж кг К
υ
.

8. Так як у нас маса газової суміші становить 2,86 кг, то для усієї суміші зміна цих
параметрів становитиме відповідно: 2,86 578,93 1655,79U m uкДж∆ = ×∆ = × = ;
2,86 718,71 2055,51H m hкДж∆ = ×∆ = × = ;
2,86 5,33 15,24S m sкДж К∆ = ×∆ = × = .
Перевірка розрахунків згідно першого закону термодинаміки:Q H U L= ∆ = ∆ + ;
2055,51 1655,79 400 2055,79кДж≈ + = . Розрахунки проведені правильно.
Завдання для самостійної роботи:
1. Манометр на балоні з киснем показує тиск 0,4 МПа. Визначити абсолютний тиск
кисню, якщо барометричний складає 101 325Па? Яка маса цього кисню, якщо об’єм
балону 250 л, а температура кисню в балоні становить 0
27 С ?
Відповідь: 901325 , 2,89р Па m кг= = .
2. Манометр на установці показуюють тиск 0,22 МПа, а вакууметра – 50 кПа. Який
абсолютний тиск в цих випадках, якщо барометричний тиск становить 101 325 Па?
Відповідь: 1 2321325 , 51325р Па р Па= = .
3. В посудині знаходиться 500 л повітря при розрідженні 0,5 бар та температурі
0
27 С . Барометр показує тиск 101,325 кПа. Який абсолютний тиск в посудині та яка
маса повітря? Як зміниться абсолютний тиск, якщо в посудині встановиться
надлишковий тиск 30 кПа? ( )287повRДж кг К= × .
Відповідь: 1 20,29 , 51325 , 131325mкг р Па р Па= = = .
4. Який об’єм буде займати 900 л повітря, яке знаходиться при температурі 0
27 С і
манометричному тискові 2 бар, якщо його за постійного тиску нагріти до 0
250 С ?
Яка маса цього повітря? 101,325барр кПа= , ( )287повRДж кг К= × .
Відповідь:
3
1 1,606 , 3,225Vм m кг= = .
5. 500 л повітря при тиску 1 МПа і температурі 0
25 С . нагрівають ізобарично до
температури 0
100 Ñ . Який об’єм воно займатиме в кінці процесу нагрівання та яка
маса цього повітря? ( )287повRДж кг К= × .
Відповідь:
3
2 0,626 , 5,846Vм m кг= = .
6. В закритій посудині об’ємом V=5 3
м знаходиться повітря при температурі 0
27 С .
Манометр на посудині показує тиск 1 0,2Мр МПа= . Як зміняться покази манометра,
якщо посудину нагріти до 0
300 С або охолодити до мінус 0
50 С та яка маса цього
повітря? 101,325барр кПа= . ( )287повRДж кг К= ×

9. Відповідь: 2 491395 ,р Па= 3 122660 ,р Па= 17,498mкг= .
7. 3
1м повітря ізотермічно при температурі 0
27 С стискають від 100 кПа до 1 МПа.
Який об’єм повітря займатиме в кінці процесу та яка маса цього повітря, якщо
( )287повRДж кг К= × ?
Відповідь:
3
2 0,1 ,Vм= 1,161mкг= .
8.В балоні об’ємом V=0,4 3
м міститься вуглекислий газ при температурі 0
27 С .
Покази манометра на балоні становлять 2 бар. Як зміняться покази манометра після
того, як балон нагріти до 0
227 С або охолодити до мінус 0
23 С ? Яка маса цього газу?
101,325барр кПа= .
Відповідь: 2 400883 ,р Па= 3 149779 ,р Па= 2,126mкг= .
9. Яку кількість теплоти необхідно затратити, що нагріти 5 3
м повітря при постійному
надлишковому тиску 1Мр =0,4МПа від 1t =90 до
0
2 500t С= ? Теплоємність повітря
прийняти постійною - ( )1006pcДж кг К= × . 101325барpПа= . ( )287повRДж кг К= × . Яка
маса цього повітря?
Відповідь: 9923 ,QкДж= 24mкг= .
10. 0,9 3
м повітря з початковою температурою 0
20 С підігрівають в циліндрі з поршнем
діаметром 0,5 м при постійному тискові 150 кПа до температури 0
250 С . На яку
висоту переміститься при цьому поршень? ( )287повRДж кг К= × .
Відповідь: 3,4hм=
11. Повітря в кількості 10 кг при тиску 40 бар і температурі 0
40 С розширяється
ізотермічно до 3-х кратного об’єму. Визначити його кінцевий тиск та об’єм.
( )287повRДж кг К= × . Який об’єм займатиме це повітря на початку процесу?
Відповідь:
3
1 0,45 ;Vм= 3
2 1,35 ;Vм= 2 1,333 .р МПа=

10. Відповідь: 2 491395 ,р Па= 3 122660 ,р Па= 17,498mкг= .
7. 3
1м повітря ізотермічно при температурі 0
27 С стискають від 100 кПа до 1 МПа.
Який об’єм повітря займатиме в кінці процесу та яка маса цього повітря, якщо
( )287повRДж кг К= × ?
Відповідь:
3
2 0,1 ,Vм= 1,161mкг= .
8.В балоні об’ємом V=0,4 3
м міститься вуглекислий газ при температурі 0
27 С .
Покази манометра на балоні становлять 2 бар. Як зміняться покази манометра після
того, як балон нагріти до 0
227 С або охолодити до мінус 0
23 С ? Яка маса цього газу?
101,325барр кПа= .
Відповідь: 2 400883 ,р Па= 3 149779 ,р Па= 2,126mкг= .
9. Яку кількість теплоти необхідно затратити, що нагріти 5 3
м повітря при постійному
надлишковому тиску 1Мр =0,4МПа від 1t =90 до
0
2 500t С= ? Теплоємність повітря
прийняти постійною - ( )1006pcДж кг К= × . 101325барpПа= . ( )287повRДж кг К= × . Яка
маса цього повітря?
Відповідь: 9923 ,QкДж= 24mкг= .
10. 0,9 3
м повітря з початковою температурою 0
20 С підігрівають в циліндрі з поршнем
діаметром 0,5 м при постійному тискові 150 кПа до температури 0
250 С . На яку
висоту переміститься при цьому поршень? ( )287повRДж кг К= × .
Відповідь: 3,4hм=
11. Повітря в кількості 10 кг при тиску 40 бар і температурі 0
40 С розширяється
ізотермічно до 3-х кратного об’єму. Визначити його кінцевий тиск та об’єм.
( )287повRДж кг К= × . Який об’єм займатиме це повітря на початку процесу?
Відповідь:
3
1 0,45 ;Vм= 3
2 1,35 ;Vм= 2 1,333 .р МПа=