Zoom

1. 1
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 71

2. ΘΕΜΑ 1ο
2
• Θεώρημα Fermat
• Μελέτη Συνάρτησης
• Ολοκλήρωμα
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 71

3. ΑΣΚΗΣΗ:
Α. Να βρείτε την τιμή του α για την οποία η
συνάρτηση:
   
2
( ) 1 2 ln 1 , (0, )f x α x x x x       (1)
είναι γνησίως αύξουσα.
Β. Για 1α  :
Β.1. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη
συνάρτηση f .
Β.2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: 3
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 71

4. 4
Α.
Β. Για 1α  :
Β.1. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη
συνάρτηση f .
Β.2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:
 
 ( ), αν 0,
1 , αν 0 ,
f x x
g x
x
  
 

(2)
είναι συνεχής και
Β.3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν E του χωρίου που
περικλείεται από τη gC , την εφαπτομένη της gC
στο σημείο καμπής της και τον άξονα y y .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 71

5. Θεώρημα του Fermat
Α. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει α τέτοιος, ώστε η
συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα. Τότε για
κάθε 0 (0, )x   και για όλα τα (0, )x  , με 0x x
θα ισχύει:
0
0
( ) ( )
0,
f x f x
x x



οπότε θα είναι:
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim 0
x x
f x f x
f x
x x

  

.
5
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 71

6. οπότε θα είναι:
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim 0
x x
f x f x
f x
x x

  

.
Άρα:
 ( ) 0, 0,f x για κάθε x    (3)
6
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 71

7. Επειδή
 ( ) 2 1 ln , (0, )f x α x x x        , (4)
λόγω της (3), θα ισχύει:
 ( ) (1), 0,f x f για κάθε x   
οπότε, λόγω του θεωρήματος του Fermat, θα είναι
(1) 0f  και επειδή:
1
( ) 2f x a
x
    
 
.
θα είναι 1α  . Συνεπώς, για να είναι η συνάρτηση f
γνησίως αύξουσα πρέπει να ισχύει 1α  .
7
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 71

8. 8
Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι για 1α  η συνάρτηση f
είναι γνησίως αύξουσα.
Πράγματι, για 1α  , είναι:
 ( ) 2 1 ln 0, (0, )f x x x για κάθε x        
με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν 1x  .
Επομένως, η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
Άρα, η ζητούμενη τιμή του α είναι η 1α  .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 8 of 71

9. β΄ τρόπος:
Βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου:
          ( ) 2 1 ln , 0,f x α x x x
για τις διάφορες τιμές του α .
Έχουμε:
       
 
1
( ) 2 , 0,f x α x
x
οπότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
9
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 9 of 71

10. οπότε διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
 Αν  0α , τότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα
μεταβολών:
x 0 1 
( )f x  
( )f x

0

( )f x
0
max
Παρατηρούμε ότι για  0α η συνάρτηση f δεν
είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το  0, .
Επομένως οι αριθμοί  ( ,0]α απορρίπτονται.
10
Παρατηρούμε ότι για  0α η συνάρτηση f δεν
είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το  0, .
Επομένως οι αριθμοί  ( ,0]α απορρίπτονται.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 10 of 71

11. 11
Επομένως οι αριθμοί  ( ,0]α απορρίπτονται.
 Αν  0α , τότε έχουμε τον παρακάτω πίνακα
μεταβολών:
x 0
1
α

( )f x  0 
( )f x   
 
1
f
α
Όμως:
x 0
1
α

( )f x  0 
( )f x   
 
1
f
α
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 11 of 71

12. 12
Όμως:
           
 
1
2 ln 1 0, για κάθε 0f α α α
α
,
με την ισότητα να ισχύει, αν και μόνο αν 1α .
Επομένως:
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 12 of 71

13. 13
Επομένως:
 Αν  0 1α , τότε θα είναι
   
 
1
0f
α
και , επειδή
η f είναι συνεχής, θα υπάρχει  0δ τέτοιο, ώστε
να ισχύει:
         
 
1 1
0, για κάθε , Δf x x δ δ
α α
,
οπότε η συνάρτηση f θα είναι γνησίως φθίνουσα
στο Δ και, συνεπώς, δεν θα είναι γνησίως αύξουσα
σε όλο το  0, .
Επομένως οι αριθμοί       0, 1α
απορρίπτονται.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 13 of 71

14. 14
 Αν 1α , τότε
   
 
1
0f
α
, οπότε θα έχουμε τον
παρακάτω πίνακα μεταβολών:
x 0
1
α

( )f x + 0 +
( )f x
Από τον πίνακα αυτόν προκύπτει ότι για 1α η
συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
 0, .
Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα,
αν και μόνο αν 1α .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 14 of 71

15. Μελέτη Συνάρτησης
15
Α. …
Β. Αν 1α  , τότε:
Β.1. Η συνάρτηση f γράφεται:
2
( ) 1 2 ln , (0, )f x x x x x      ,
έχει παράγωγο την
 ( ) 2 1 ln 0, (0, )f x x x x      
και, όπως αποδείξαμε προηγουμένως, είναι
γνησίως αύξουσα.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 15 of 71

16. 16
Επειδή:
 
1 1
( ) 2 1 2 , 0,
x
f x x
x x
        
 
,
η συνάρτηση f είναι:
 Γνησίως κοίλη στο διάστημα  0,1 και
 Γνησίως κυρτή στο διάστημα 1,   .
Τέλος, επειδή:
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 16 of 71

17. 17
Τέλος, επειδή:
 
   
 2
0 0
2
0 0
lim ( ) lim 1 2 ln
lim 1 2lim ln 1
x x
x x DLH
f x x x x
x x x
 
 
   
    
&
 lim ( )
x
f x

 
η συνάρτηση f έχει την ακόλουθη γραφική
παράσταση:
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 17 of 71

18. 18
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 18 of 71

19. Ολοκλήρωμα
19
Β. Αν 1α  , τότε:
Β.1. Η συνάρτηση f γράφεται:
Β.2. Επειδή
 
 ( ), αν 0,
1 , αν 0 ,
f x x
g x
x
  
 

και
0
lim ( ) 1 (0)
x
g x g

  , η συνάρτηση g είναι
συνεχής στο 0. Επομένως, η gείναι συνεχής σε
ολόκληρο το[0, )  , οπότε θα είναι
ολοκληρώσιμη στο [0,1].
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 19 of 71

20. 20
Επειδή, επιπλέον, [0,1]max ( ) 2g x  , το ζητούμενο
εμβαδόν θα είναι ίσο με:
 
1 1
0 0
2 ( ) 2 ( )E g x dx g x dx     .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 20 of 71

21. 21
 0 0
2 ( ) 2 ( )E g x dx g x dx     .
Αν G είναι μια παράγουσα της g στο [0,1], τότε
θα ισχύει
 
1
0 0
1
0 0
1
2
0
3 2
2
0
( ) (1) (0) (1) lim ( )
lim (1) ( ) lim ( )
lim 1 2 ln ...
11 11
lim ln
6 3 2 6
h
hh h
hh
h DLH
g x dx G G G G h
G G h f x dx
x x x dx
h h
h h h

 


   
  
     
 
       
 



,
οπότε θα είναι
11 1
2
6 6
E    .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 21 of 71

22. ΘΕΜΑ 2ο
Πρόβλημα ρυθμού μεταβολής
με ολοκλήρωμα
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 22 of 71

23. 23
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 23 of 71

24. 24
ΠΡΟΒΛΗΜΑ:
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το γράφημα του ρυθμού
μεταβολής, ( )T t , της θερμοκρασίας ( )T t ενός τόπου
κατά τη διάρκεια ενός εικοσιτετράωρου.
Δίνεται ότι η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της
ημέρας ( 0)t  ήταν 16 βαθμοί Κελσίου.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 24 of 71

25. 25
ας της Άνοιξης.
η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της ημέρας ( 0)t  ήταν
μοί Κελσίου:
α) Να βρείτε σε ποια χρονικά διαστήματα της ημέρας
η θερμοκρασία ανέβαινε, σε ποια κατέβαινε, σε
ποια παρέμεινε σταθερή και να υπολογίσετε στην
κάθε περίπτωση τη συνολική μεταβολή της.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 25 of 71

26. 26
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ:
α) Η θερμοκρασία:
 Μεταβάλλεται στο διάστημα [0, 4] κατά
4
0
(4) (0) ( ) 2 ( )o
T T T t dt C    (ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ)
 Μεταβάλλεται στο διάστημα [4, 14] κατά
14
4
(14) (4) ( ) 7 ( )o
T T T t dt C   (ΑΥΞΑΝΕΤΑΙ)
 Παραμένει ΣΤΑΘΕΡΗ στο διάστημα [14, 16]
 Μεταβάλλεται στο διάστημα [16, 24] κατά
24
16
(24) (16) ( ) 4 ( )o
T T T t dt C    (ΜΕΙΩΝΕΤΑΙ)
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 26 of 71

27. 27
( )t , της θερμοκρασίας ( )T t ενός τόπου κατά τη διάρκεια μια
έρας της Άνοιξης.
ν η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της ημέρας ( 0)t  ήταν 1
αθμοί Κελσίου:
α)
β) Να βρείτε ποια ώρα της ημέρας παρατηρήθηκε η
υψηλότερη θερμοκρασία και να υπολογίσετε την
τιμή της.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 27 of 71

28. 28
β) Η υψηλότερη θερμοκρασία παρατηρήθηκε την ώρα
14:00 μέχρι και την ώρα 16:00 και ήταν ίση με:
14 4 14
0 0 4
(14) (0) ( ) (0) ( ) ( )
16 ( 2) ( 7) 21 ( )o
T T T t dt T T t dt T t dt
C
      
     
  
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 28 of 71

29. 29
ας της Άνοιξης.
η θερμοκρασία του τόπου στην αρχή της ημέρας ( 0)t  ήταν 16
θμοί Κελσίου:
α) Να βρείτε σε ποια χρονικά διαστήματα της ημέρας
η θερμοκρασία ανέβαινε, σε ποια κατέβαινε, σε
ποια παρέμεινε σταθερή και να υπολογίσετε στην
κάθε περίπτωση τη συνολική μεταβολή της.
β) Να βρείτε ποια ώρα της ημέρας παρατηρήθηκε η
υψηλότερη θερμοκρασία και να υπολογίσετε την
τιμή της.
γ) Να βρείτε ποια ήταν η θερμοκρασία του τόπου στο
τέλος της ημέρας ( 24)t  .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 29 of 71

30. 30
γ) ΣΥΝΟΛΙΚΑ στο 24-ωρο η θερμοκρασία μεταβλήθηκε
κατά
24
0
4 14 16 24
0 4 14 16
(24) (0) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 2) ( 7) 0 ( 4) 1 ( )o
T T T t dt
T t dt T t dt T t dt T t dt
C
 
      
        

   
Άρα, στο τέλος της ημέρας ( 24)t  η θερμοκρασία ήταν
16 1 17  βαθμοί Κελσίου .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 30 of 71

31. 31
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ (ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ).ggb
υψηλότερη θερμοκρασία και να υπολογίσετε την
τιμή της.
γ) Να βρείτε ποια ήταν η θερμοκρασία του τόπου στο
τέλος της ημέρας ( 24)t  .
δ) Να σχεδιάσετε κατά προσέγγιση το γράφημα της
θερμοκρασίας ( )T t κατά τη διάρκεια ολόκληρου
του εικοσιτετράωρου;
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 31 of 71

32. ΘΕΜΑ 3ο
• Εξίσωση Εφαπτομένης
• Διαφορική Εξίσωση
• Μελέτη Συνάρτησης
• Απόσταση Καμπυλών
• Εμβαδόν χωρίου
32
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 32 of 71

33. ΑΣΚΗΣΗ
33
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 33 of 71

34. 34
1. Να αποδείξετε ότι:
 ( ) ln 1 ,x
f x e x   (2)
2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f και να την
παραστήσετε γραφικά.
3. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης:
   
22
( , ) 2 ln( 1)α
G α β α β e β     (3)
για τις διάφορες τιμές των ,α β .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 34 of 71

35. 2. …
3. …
4. Αν με Ε( )λ συμβολίσουμε το εμβαδόν του χωρίου
που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της
συνάρτησης
( )
( ) x
f x
g x
e
 , τους άξονες x x και y y
και την κατακόρυφη ευθεία , με 0x λ λ  , να
αποδείξετε ότι:

 ln 1 1
Ε( ) 2ln2 ln
λ λ
λ λ
e e
λ
e e
 
   και
 lim Ε( ) 2ln2
λ
λ

 .
35
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 35 of 71

36. Εξίσωση Εφαπτομένης
36
1. Επειδή
1
: ln2
2
ε y x  εφάπτεται της fC υπάρχει
0x  τέτοιο, ώστε να ισχύει:
0
0 0 0 0
( )
0
0
0
1 1
( ) ln2 ( ) ln2
2 2
1 1
( ) 1
2 2
0
(4)
( ) ln2
f x
f x x f x x
f x e
x
f x

 
     
 
    
  

 

Επομένως, (0) ln2f  .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 36 of 71

37. Διαφορική Εξίσωση
Για κάθε x ισχύει:
   
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 1 ( ) 1
1 1
f x f x f x
f x f x
f x e e f x e
e e

      

   
Άρα, υπάρχει c τέτοιος, ώστε να ισχύει:
( )
1 , για κάθεf x x
e c e x    .
Για 0x x , προκύπτει ότι 1c  , οπότε:
 ( ) ln 1 ,x
f x e x   . (5)
37
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 37 of 71

38. Μελέτη Συνάρτησης
38
Για 0x x , προκύπτει ότι 1c  , οπότε:
 ( ) ln 1 ,x
f x e x   . (5)
2. Ισχύουν:

 
2
( ) 0 & ( ) 0,
1 1
x x
x x
e e
f x f x x
e e
     
 

1
lim ( ) lim ln( 1) limln ln1 0x
x x u
f x e u
  
    

 
    
1
ln 1( )
lim lim lim 1 &
1
lim ( ) lim ln 1
1
lim ln limlnu 0.
x x
xx x DLH x
x
x x
x
xx u
ef x e
λ
x x e
β f x λx e x
e
e


  
 
 

   

    
 
   
 
Άρα η fC έχει ασύμπτωτη στο  την y x
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 38 of 71

39. 39
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 39 of 71

40. Απόσταση Καμπυλών
1. ….
2. ….
3. Για οποιαδήποτε ,α β ισχύει:
   
22 2
( , ) 2 ln( 1) (ΜΝ)α
G α β α β e β     
με:
  M ,ln 1α
fα e C  &  N 2 ,β β ζ ,
όπου
1
:
2
ζ y x , η ευθεία που είναι παράλληλη
προς την εφαπτομένη
1
: ln2
2
ε y x  της fC 40
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 40 of 71

41. 41
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 41 of 71

42. προς την εφαπτομένη : ln2
2
ε y x  της fC
ΣΧΗΜΑ 2
42
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 42 of 71

43. Επομένως, η ελάχιστη τιμή της παράστασης:
   
22
( , ) 2 ln( 1) , ,α
G α β α β e β α β     
είναι ίση με:
 
2
2ln2 4ln 2
min ( , ) (0, ) ΑΒ
5 5
G α β G   .
43
Όμως:
  2 2
0 2ln2 2ln2
ΑΒ (Α, )
51 2
d ζ

  

,
αφού η εξίσωση της ζ παίρνει τη μορφή:
: 2 0ζ x y 
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 43 of 71

44. Ολοκλήρωμα - Όριο
44
2. …
3. …
4. Για κάθε 0λ  έχουμε:
 
0 0 0
ln 1( )
Ε( ) ( )
x
λ λ λ
x x
ef x
λ g x dx dx dx
e e

  
  
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 44 of 71

45. 45
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 45 of 71

46. 46
Επομένως:
 ln 1 1
Ε( ) 2ln2 ln
λ λ
λ λ
e e
λ
e e
 
   ,
οπότε έχουμε:
 ln 1 1
lim Ε( ) 2ln2 lim lim ln
2ln2 0 0 2ln2
λ λ
λ λλ λ λ
e e
λ
e e  
  
    
 
   
…..
Επομένως:
 ln 1 1
Ε( ) 2ln2 ln
λ λ
λ λ
e e
λ
e e
 
   ,
οπότε έχουμε:
 ln 1 1
lim Ε( ) 2ln2 lim lim ln
2ln2 0 0 2ln2
λ λ
λ λλ λ λ
e e
λ
e e  
  
    
 
   
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 46 of 71

47. 47
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 47 of 71

48. ΘΕΜΑ 4ο
• Ανισότητα με Κοίλη Συνάρτηση
• Κριτήριο Παρεμβολής
48
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 48 of 71

49. 49
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 49 of 71

50. ΑΣΚΗΣΗ (Berkeley: Problems in Mathematics):
Να υπολογιστεί το όριο:
2
0
lim
π
xημt
x
x e dt

  .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 50 of 71

51. ΑΣΚΗΣΗ:
1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
( ) , 0 ,
2
π
f x ημx x
 
   
είναι γνησίως κοίλη και στη συνέχεια ότι η fC
βρίσκεται πάνω από τη χορδή OA που συνδέει τα
άκρα της  Ο 0,0 και Α ,1
2
π 
 
 
, με εξαίρεση τα
σημεία αυτά (ΣΧΗΜΑ)
51
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 51 of 71

52. 52
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 52 of 71

53. 53
1.
2. Να αποδείξετε ότι:
2
0
lim 0
π
xημt
x
x e dt

  .
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 53 of 71

54. Κυρτές & Κοίλες Συναρτήσεις
ΛΥΣΗ:
1. Είναι:
( ) 0, 0 ,
2
π
f x ημx για κάθε x
       
.
Επομένως, η συνάρτηση f είναι γνησίως κοίλη.
Για να αποδείξουμε το ζητούμενο, αρκεί να
αποδείξουμε ότι:
2
, 0, .
2
π
ημx x για κάθε x
π
 
   
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 54 of 71

55. 55
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 55 of 71

56. 56
Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση
2
( ) , 0,
2
π
g x ημx x x
π
 
    
αρκεί να θα αποδείξουμε ότι:
( ) 0, 0,
2
π
g x για κάθε x
 
   
.
Πράγματι, επειδή
2
( ) , 0,
2
π
g x συνx x
π
      
,
και
2
0 1
π
  , η gθα έχει ακριβώς μία ρίζα 0 0,
2
π
x
 
 
 
.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 56 of 71

57. 57
Έτσι, θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα μεταβολών:
x 0 0x
2
π
( )g x  0 
( )g x
(0)g
 
0
min
0
min
x 0 0x
2
π
( )g x

0 
( )g x
(0)g
 
0
min
0
min
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 57 of 71

58. 58
Επομένως, είναι
( ) 0, 0,
2
π
g x για κάθε x
 
   
,
οπότε θα ισχύει
2
, 0, .
2
π
ημx x για κάθε x
π
 
   
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 58 of 71

59. 59
Άρα
2
ημt t
π
 , για κάθε 0,
2
π
t
 
  
οπότε για κάθε 0,
2
π
t
 
  
και για κάθε  0,x 
θα ισχύει:
2x
t
x ημt π
e e
 
 

08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 59 of 71

60. Κριτήριο Παρεμβολής1.
2. Για κάθε  0,x  θα ισχύει:
 
2
2 2
0 0
2 2
0
2
1
2
π π x
t
xημt π
π
x
t
π
x
x e dt x e dt
π
x e
x
π
e
x
 

 

  
 
    
 
  
 
,
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 60 of 71

61. 61
Επομένως,  0 ,για κάθε x   θα ισχύει:
 2
0
0 1
2
π
xημt xπ
x e dt e
x
 
     .
και, επειδή  lim 1 0
2
x
x
π
e
x


   , λόγω του
κριτηρίου παρεμβολής, θα είναι:
2
0
lim 0
π
xημt
x
x e dt

  ■
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 61 of 71

62. ΘΕΜΑ 5ο
Ανισότητα χωρίς τη χρήση
του Θ. Fermat
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 62 of 71

63. ΑΣΚΗΣΗ:
Να βρεθεί ο θετικός αριθμός α για τον οποίο ισχύει:
2
3
1 , γιακάθε
2
x x
e x αx x     (1)
63
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 63 of 71

64. 64
ΛΥΣΗ:
Εξετάζουμε αν μπορούμε να εφαρμόσουμε το
Θεώρημα Fermat.
Έστω ότι υπάρχει 0α  , τέτοιος, ώστε να ισχύει η
ανισότητα (1). Τότε θα ισχύει:
2
3
1 0, γιακάθε
2
x x
e x αx x
 
      
 
,
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 64 of 71

65. 65
Επομένως, αν θέσουμε
2
3
( ) 1
2
x x
φ x e x αx
 
     
 
,
τότε θα ισχύει:
( ) (0), γιακάθεφ x φ x  ,
οπότε (Θ. FERMAT) θα είναι:
  2
0
0 0(0) 0 1 3 0x
x
φ e x ax

        .
Άρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το Θ. Fermat.
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 65 of 71

66. ΛΥΣΗ:
Έστω ότι υπάρχει 0α  , τέτοιος, ώστε να ισχύει η (1).
Τότε θα ισχύει:
2
3
2
3
2
3
(1 ) , γιακάθε
2
(1 )
2 , γιακάθε 0
(1 )
2 , γιακάθε 0
x
x
x
x
e x αx x
x
e x
α x
x
x
e x
α x
x
    

  
 

 
   

 
66
ΛΥΣΗ:
Έστω ότι υπάρχει 0α  , τέτοιος, ώστε να ισχύει η (1).
Τότε θα ισχύει:
2
3
2
3
2
3
(1 ) , γιακάθε
2
(1 )
2 , γιακάθε 0
(1 )
2 , γιακάθε 0
x
x
x
x
e x αx x
x
e x
α x
x
x
e x
α x
x
    

  
 

 
   

 
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 66 of 71

67. 67
Επομένως, πρέπει
1
6
α  (ΠΙΘΑΝΗ ΤΙΜΗ)
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 67 of 71

68. Για να αποδείξουμε ότι η τιμή
1
6
α  είναι δεκτή, αρκεί
να αποδείξουμε ότι ισχύει:
2 3
1 0, γιακάθε
2 6
x x x
e x x
 
      
 
μελετώντας τη συνάρτηση:
2 3
( ) 1 ,
2 6
x x x
f x e x x
 
      
 
.
68
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 68 of 71

69. 69
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 69 of 71

70. 70
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 70 of 71

71. 71
08.02.2020 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 71 of 71