Ένα μικρό επαναληπτικό φυλλάδιο "της τελευταίας στιγμής" στα μαθηματικά προσανατολισμού της γ' λυκείου με μερικές κρίσιμες - και χρήσιμες - συμβουλές λίγο πριν την ώρα της... κρίσης.
Και να θυμάστε: αν βάλεις πολύ ketchup, όλα έχουν την ίδια γεύση!
Καλή επιτυχία! :)
Οδηγίες προς ναυτιλλομένους (μαθηματικά προσανατολισμού γ' λυκείου)
1. Οδηγίες προς ναυτιλλομένους
1. Μας ζητείται να δείξουμε ότι μία εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρίζα σε κάποιο διάστημα
. Έχουμε κάποια βήματα που σίγουρα πρέπει να ακολουθήσει η σκέψη μας, πριν
αρχίσουμε να καταγράφουμε ό,τι ιδέα μας έρθει:
1. Θεώρημα του Bolzano στο εν λόγω διάστημα ή κάπου αλλού (σε υποσύνολό του)
2. Θεώρημα του Rolle σε κάποια παράγουσα της ( )
3. Εντοπισμός “με το μάτι”
Αν αυτά δεν δουλέψουν, αρχίζουμε να αυτοσχεδιάζουμε...
2. Μας ζητείται να δείξουμε ότι μία εξίσωση έχει μοναδική ρίζα. Ακολουθούμε τα παραπάνω
και δείχνουμε, επιπροσθέτως ότι είτε είναι γνησίως μονότονη είτε 1-1 είτε ότι η ρίζα
παρουσιάζεται σε κάποιο ολικό ακρότατο.
3. Μας ζητείται να αποδείξουμε μία ανισότητα. Προσπαθούμε να τη φέρουμε σε μορφή που
να παραπέμπει είτε σε κάποια άλλη γνωστή ανισότητα είτε σε κάποια συνάρτηση με την
οποία ασχολείται όλο το θέμα. Από εδώ και πέρα έχουμε πάρα πολλούς διαφορετικούς
δρόμους να ακολουθήσουμε (Θ.Μ.Τ., κυρτότητα και εφαπτομένη κ.λπ.).
4. Μας ζητείται, ειδικά, να αποδείξουμε μία ανισότητα που περιέχει ή μπορεί να
διαμορφωθεί ώστε να περιέχει παραστάσεις του τύπου . Μονόδρομος,
μάλλον το Θ.Μ.Τ. και η εκμετάλλευση της μονοτονίας της παραγώγου στο διάστημα στο
οποίο ζητείται η ανισότητα.
Αν, παρ' όλα αυτά δεν αποδώσει αυτή η μέθοδος, αντικαθιστούμε τον τύπου της
συνάρτησης και αρχίζουμε τις αλχημείες, κάπου θα οδηγήσουν...
5. Μας ζητείται, ειδικά, να αποδείξουμε μία ανισότητα που περιέχει λογαρίθμους. Εκτός από
την παραπάνω διαδικασία μπορούμε να δοκιμάσουμε να αξιοποιήσουμε και την ανισότητα
, ως εξής:
1. Θέτουμε στην παραπάνω ανισότητα όπου την παράσταση που βρίσκεται μέσα στην
ζητούμενη ανισότητα, αρκεί αυτή να είναι θετική.
2. Επεξεργαζόμαστε τα δύο μέλη και προσπαθούμε να καταλήξουμε στην ζητούμενη
ανισότητα.
3. Θυμόμαστε ότι το ισχύει μόνο στην περίπτωση όπου και εξάγουμε τα ανάλογα
συμπεράσματα.
6. Μας ζητείται, ειδικά, να αποδείξουμε μία ανισότητα ενώ έχουμε βρει προηγουμένως
κάποια εφαπτομένη μίας δοσμένης συνάρτησης ή την έχουμε μελετήσεις ως προς την
κυρτότητα. Είναι πολύ πιθανόν να αξιοποιήσουμε αυτήν την πληροφορία, δεδομένου ότι
για τις κυρτές συναρτήσεις ισχύει ότι αυτές βρίσκονται πάντα “πάνω” από τις
εφαπτόμενές τους (για τις κοίλες, σαφώς, ισχύει το αντίθετο).
7. Έχουμε να υπολογίσουμε κάποιο όριο όπου εμφανίζεται απροσδιοριστία της μορφής .
Τότε το μεταγράφουμε έτσι ώστε να έχουμε την απροσδιοριστία: ή
στις οποίες μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του l' Hospital.
2. 8. Έχουμε να υπολογίσουμε κάποιο όριο που έχει τριγωνομετρική παράσταση:
1. Προσπαθούμε να εμφανίσουμε κάποιο από τα όρια της μορφής ή
αρκεί να έχουμε ότι και πορευόμαστε έτσι.
2. Χρησιμοποιούμε το κριτήριο παρεμβολής μέσω των ανισοτήτων
, και .
9. Μας ζητείται να υπολογίσουμε όρια ή ολοκληρώματα τα οποία περιέχουν την αντίστροφη
μίας συνάρτησης , της οποίας τον τύπο δεν γνωρίζουμε. Εδώ ακολουθούμε το γνωστό
δόγμα, “δε σε ξέρω, αλλά μπορώ να σε θέσω”, οπότε και θέτουμε και
πορευόμαστε αναλόγως...
10. Έχουμε να υπολογίσουμε κάποιο όριο με λογαριθμική ή εκθετική παράσταση ή κάποιο όριο
της μορφής , το οποίο μετατρέπεται σε όριο της μορφής . Τότε, αν δεν
είναι απευθείας υπολογίσιμο, έστω και μέσω κάποιας αντικατάστασης, είναι πολύ πιθανό
κάποια αλχημεία να το φέρει σε μία απροσδιοριστία άρσιμη με τη χρήση του κανόνα του l'
Hospital.
Δεν ξεχνάμε ποτέ δύο πράγματα
1. Ισχύει πάντοτε η σχέση: .
2. Αν βάλεις πολύ ketchup, τότε όλα έχουν την ίδια γεύση.
Καλή επιτυχία!