Applicazioni della funzione esponenziale

1. MODELLO DI CRESCITA BATTERICA E
DATAZIONE DI UN REPERTO ARCHEOLOGICO
MEDIANTE DECADIMENTO DEL CARBONIO 14

2. Visioniamo il video reperibile al seguente link:
http://www.treccani.it/scuola/lezioni/matema
tica/Funzione_esponenziale

3. La maggior parte dei batteri si riproduce mediante il meccanismo della scissione
cellulare (mitosi).
Una volta raggiunta una dimensione opportuna, ogni batterio si divide in due cellule
identiche, di massa pari a circa la metà di quella originaria. A loro volta, le due
cellule figlie si accrescono fino a dividersi ulteriormente.
In media il tempo necessario per la divisione di una cellula batterica (tempo di
generazione) richiede da 1 a 3 ore, ma in condizioni favorevole a Escherichia
coli sono sufficienti 20 minuti. Con questo ritmo di crescita la popolazione
batterica può raggiungere nel giro di 24 h molti miliardi di individui.

4. Da un punto di vista matematico, le grandezze in gioco sono:
- VELOCITA’ DI FORMAZIONE DELLE CELLULE O TASSO DI CRESCITA
CELLULARE V
rappresenta il numero di duplicazioni contemporanee o di generazioni n di una
determinata specie ad un valore di tempo t stabilito:
- TEMPO DI GENERAZIONE
intervallo di tempo entro il quale la cellula batterica dà luogo alla sua divisione in
due cellule, tale tempo è caratteristico della specie e dipende dalle condizioni
colturali all’intorno.
Le due cellule generate si riproducono analogamente nello stesso tempo di
generazione e così via.
Dopo un certo tempo t la situazione complessiva può essere così schematizzata:

5. N di cellule: 1⟶ 2 ⟶4 ⟶8 ⟶16 ⟶32 ⟶……
2⁰ 21 22 23 24 25 .....
In generale, se No rappresenta il numero iniziale di cellule, si
avrà una legge del tipo:
N = No2n

6. Un metodo di datazione dei reperti archeologici è il “metodo del Carbonio
14” ideato alla fine degli anni quaranta dal chimico statunitense Walter
F. Libby .
Il metodo si basa sul fatto che tutti gli esseri viventi contengono due tipi di
carbonio, il carbonio 12 (stabile) e quello 14 (radioattivo).
In vita, gli organismi presentano quantità di carbonio 14 e carbonio12 in
rapporto costante; dopo la morte, gli atomi di carbonio 14 decadono
trasformandosi in atomi di azoto 14. Il rapporto tra i due tipi di
carbonio presente in un organismo dopo la morte, e il tempo di
dimezzamento del carbonio 14 ( 5730 anni circa) ci permette di datare un
reperto.

7. Supponiamo di aver trovato un reperto che contiene una concentrazione di carbonio
14 pari a 2,4% di quella originaria, e cerchiamo di datarlo.
La funzione che esprime il modello matematico del decadimento del carbonio 14 è
del tipo: Q(t) = Qoekt con k < 0
Per determinare k, imponiamo che Q(5730)=½Qo
½Qo = Qoek5730
Dividendo per Q₀ e considerando il logaritmo di primo e secondo membro si trova
per k il valore numerico seguente: k~-0,00012
Poiché i reperti contengono il 2,4%= 0,024 di carbonio14 rispetto alla quantità
iniziale, devono avere una età t che soddisfa la seguente equazione:
0,0024Q₀= Qoe-0,00012
Dividendo per Q₀ e prendendo i logaritmi di ambo i membri si trova un valore
numerico per t pari a circa 31080.

8. Dividendo per Q₀ e prendendo i logaritmi di ambo i membri si trova un valore
numerico per t pari a circa 31080.