1. Скуп комплексних
бројева
скуп свих
бројева
реални комплексни имагинарн
и
Andrija Stanković III/5
Marija Filipović
Pavle Stojanović
Predmetni profesor-Vinka
Grozdanović

2. Дефиниција
Скуп свих уређених парова реалних
бројева у којем су једнакост ,
сабирање и множење дефинисани на
(aследећи начин:d
, b ) = ( c, d ) ⇔ a = c, b =
( a , b) + ( c , d ) = ( a + c, b + d )
( a,b) ⋅ (c, d ) = ( ac − bd, ad + bc )
λ( a, b) = ( λa, λb), λ ∈ R
назива се скупом комплексних
C
бројева
а сваки такав уређен пар назива се
z = ( a, b)
комплексан број

3. Решење једначине+1 =0
x 2
зове се
имагинарна јединица=
i − , i 2 =−
1 1
Комплексан број се често ib
z = a + пише и у
алгебарском облику
Скуп комплексних бројева представља подскуп
C ⊂ R ×R
Декартовог производа са горе
наведеним особинама.
y
z = (a ,b ) = a + ib
b
a
0 x

4. Сваком комплексном броју z ∈C
одговара
коњуговано комплексни број z ∈C
односно= a + ib, z = a − ib однос
z z = (a,b), z = (a,− b)
но

5. Операције са комплексним
бројевима
Нека су дата два комплексна броја
z1 = a1 + ib1 и z2 = a2 + ib2
тада се могу увести следеће операције:
• Сабирање: z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i (b1 + b2 )
• Одузимање: z1 − z 2 = (a1 − a 2 ) + i(b1 − b2 )

6. Обзиром да је одузимање операција
инверзна сабирању, ако је z =z+z 1 2
онда је z = z − z , што значи да се
1 2
разлика два комплексна броја
геометријски може интерпретирати
помоћу њиховог збира.
,
z = z1 + z2
z2 z2
z1 z1
0 0
z = z1 - z2

7. • Множење: z ⋅ z = (a a − b b ) + i(a b + a b )
1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
• Дељење се уводи као операција
инверзна множењу:
z1
z2
= ⇒ ⋅z2 = 1
z z z , тј. a1 + ib1 = ( a + ib)( a2 + ib2 )
акле добијамо систем од две једначине са две непознате
a1 = a 2 a −b2b

b1 = b2 a − a 2b 
Решавањем ове две једначине добија се
a1a2 + b1b2 a2b1 − a1b2 z1 a1a2 + b1b2 a2b1 − a1b2
a= 2 2 , b= 2 2 , тј. z= = 2 2 + 2 2 i
a2 + b2 a2 + b2 z2 a2 + b2 a2 + b2

8. Степеновање комплексног броја
природним бројем се изводи
помоћу операција множења :
z = z ⋅ z ... z
n
 
 
n puta
2 3 2 4 2 2
Напомена . Имамо да је i = − 1, i = i ⋅ i = − i, i = i ⋅ i = 1 уопште:
i = 1, i
4n 4n+ 1
= i, i 4n+ 2
= − 1, i 4n+ 3
= − i, n ∈ N  { 0}

9. Манделбротов скуп
или мапа квадрата
комплексних бројева
• У наредном делу показаћемо како
генијалност математичког истраживања
отвара врата новој , наизглед
неисцрпној , ризници фантастичних
слика и облика .
• Иза ових имагинација крије се фамилија
идеја у свету опште познатих под
називом “комплексни динамички
системи “.
• У ствари , имамо посла са хаосом који се
манифестује у комплексној равни .
Видећ емо како једноставна квадратна
итерација даје изузетно компликоване
фрактале који представљају
експериментална открић а савремене
математике а уз помоћ рач унарске
графике - Манделбротов скуп !

10. • Манделбротов скуп представља
данас свакако најпопуларнији
фрактал и један од
најзанимљивијих математич ких
објекта .
• Многи математич ари сматрају да
он није само најкомплекснији већ и
најлепш и објекат кога су видели .
• Од 1979. године , када је
Манделброт први пут публиковао
резултате свог експеримента ,
сваким даном интерес за фрактале
је у порасту .
• Данас , уз помоћ моћ них рач унара
као и великог броја графич ких
програма , Манделбротов скуп
користи се за генерисање слика у
области компјутерске графике .
Тако је рад аматера математич ара
достигао неслућ ен и непредвидив

11. рактална г еометрија и фрактали у архитектури
анделбротов скуп и скупови Џулија комплексне итерациј
z n =x n +iy n z n+1 = z n 2 + c
z n+1 =x n+1 +iy n+1
c=a+ib
z n+1 =(x n 2 -y n 2 +a)+i
(2x n y n +b)
x n+1 = x n 2 -y n 2 +a
y n+1 =2x n y n +b
z=(x,y)
z=x+iy
Интеративни x ->x 2 -
процес: y 2 +a
z -> z 2 + c:
y
->2xy+b

12. Фрактална г еометрија и фрактали у архитектури
Манделбротов скуп и скупови Џулија комплексне
итерације
пример
c=(a, b) = (1/2, -1/2) c= 1/2 -(1/2)i
z 0 =(x 0 , y 0 ) = (0, 0) z 0 =0
x 1 = x 0 2 -y 0 2 + a = 0 2 -0 2 + 1/2 = 1/2
y 1 = 2*x 0 *y 0 + b = 2*0*0 + (-1/2) = -1/2
x 2 = x 1 2 -y 1 2 + a = (1/2)2 -(-1/2)2 + 1/2 = 1/2
y 2 = 2*x 1 *y 1 + b = 2*(1/2)*(-1/2) + (-1/2) = -1
x 3 = x 2 2 -y 2 2 + a = (1/2)2 -(-1)2 + 1/2 = -1/4
y 3 = 2*x 2 *y 2 + b = 2*(1/2)*(-1) + (-1/2) = -3/2
z 1 = 1/2 –(1/2)i, z 2 = 1/2 –i, z 3 = -1/4 –(3/2)i, …
1 = (1/2, –(1/2)), z 2 =( ½, –1), z 3 = (-1/4, –(3/2)), …

13. рактална геометрија и фрактали у архитектури
анделбротов скуп и скупови Џулија поље Џулија скупа
Поље Џулија скупа Kc се дефинише за сваки комплексни број c.
За сваку тачку z0 комплексне равни , генерише се низ z1,
z2, z3, ...помоћу итерационог правила zn+1= zn2+ c.
Ако низ не одлази у бесконачност (ограничен је –не тежи
бесконачности ), z0 припада Kc;
ако низ одлази у бесконачност (није ограничен -тежи
бесконачности ), z0 не припада пољу Kc.
Критеријум : Ако је неки члан низа zj, на одстојању већем
од два , од координатног почетка (|zj|>2) низ одлази у
бесконачност и
z0 не припада пољу Kc.

14. Фрактална геометрија и фрактали у архитектури
Манделбротов скуп и скупови Џулија поље Џулија
скупа
Критеријум: Ако је неки члан низа z j , наодстојању већем
oд два, од координатног почетка
z 0 не припада пољу Kc.
Број итерација потребан да се дође до члана низа на одстојању
већем од два, од координатног почетка може бити велики.
Да би се остварио у реалном времену, потребно је увести
ограничење: максималан број итерација N .
Уколико после тог броја итерација растојање није веће од два,
сматра се да z 0 припада пољу Kc .

15. чност није довољна да га се целог преглед
(James Gleick)
Andrija Stanković III/5
Marija Filipović
Pavle Stojanović
Predmetni profesor-Vinka
Grozdanović
Prva niška gimnazija ‘’Stevan
Sremac’’