5. 4. Opisan je sistem algebarskih jednaฤina matriฤnim izazom ๐ฅ1 ๐ฅ2
1 โ1
2 3
=
โ2.5 0.5 .
Napisati kod koji nalazi reลกenja.
A = [1 -1; 2 3];
b = [-2.5 0.5];
x = b / A
Objaลกnjenje:
Sistem jednaฤina je ๐ฅ โ ๐ด = ๐, te je reลกenje ๐ฅ = ๐ โ ๐ดโ1. Ne moลพe se reลกiti preko ๐ดโ1 โ ๐
jer se sistem jednaฤina mnoลพi sa desne strane sa ๐ดโ1
, tj.: ๐ฅ โ ๐ด โ ๐ดโ1
= ๐ โ ๐ดโ1
6. 5. Kako se matematiฤki definiลกe pseudoinverzija matrice ๐ด?
๐ดโ
= ๐ด๐
๐ด โ1
๐ด๐
7. 6. Navesti kriterijume zaustavljanja Njutnovog algoritma. Objasniti ลกta je ลกta.
ฮ๐ฅ๐ ๏ฃ ๐๐ฅ promena zavisno promenljive je dovoljno mala, manja od zadatog ๐๐ฅ
๐ ๐ฅ๐
2
๏ฃ ๐๐ฝ vrednost funkcije je bliska nuli, ๐2
manja od zadatog ๐๐ฝ
๐ > ๐๐๐๐ฅ broj iteracija je veฤi od propisanog ๐๐๐๐ฅ
9. 8. Napisati formulu za funkciju cilja za reลกavanje sistema nelinearnih algebarskih
jednaฤina (u matriฤnom obliku).
Zadat je sistem jednaฤina ๐ ๐ = ๐.
Suma kvadrata je: ๐ฅ ๐ =
1
2
๐๐
๐ ๐ ๐
10. 9. ล ta treba definisati kod primene Gaus-Njutnovog algoritma?
Treba definisati: 1) vektor funkcija oblika ๐ ๐ = ๐ i 2) Jakobijan โ๐ ๐ .
12. 11. Ako postoji programska funkcija GausNjutn(funkcija,Jakobijan,x0)
napisati Julija kod koji reลกava sledeฤi problem: ๐ฅ2 + sin ๐ฅ = 1, polazeฤi iz taฤke 1.
f(x) = x^2+sin(x)-1;
J(x) = 2x+cos(x);
x = GausNjutn(f,J,1)
14. 13. Ako je ฮ๐๐ = โ ๐ฑ๐(๐๐)๐ฑ ๐๐
โ1
๐ฑ๐(๐๐)๐ ๐๐ kod Gaus-Njutnovog algoritma,
napisati formulu za ฮ๐๐ kod LevenbergโMarkart algoritma.
ฮ๐๐ = โ ๐ฑ๐
๐๐ ๐ฑ ๐๐ + ๐๐๐ฐ โ1
๐ฑ๐
(๐๐)๐ ๐๐ gde je pozitivna vrednost ๐๐ koja se
menja tokom rada algoritma.
15. 14. Kako LevenbergโMarkart algoritam koriguje ๐๐?
Pomoฤ: ฮ๐๐ = โ ๐ฑ๐
๐๐ ๐ฑ ๐๐ + ๐๐๐ฐ โ1
๐ฑ๐
(๐๐)๐ ๐๐
๐๐ se koriguje u svakoj iteraciji ๐ na osnovu tekuฤe ๐ฅ๐ i prethodne ๐ฅ๐โ1 vrednosti
funkcije cilja ๐ฅ๐ =
1
2
๐๐
๐๐ ๐ ๐๐
๐๐ = ๐๐๐โ1 za ๐ฅ๐ โฅ ๐ฅ๐โ1
๐๐ =
1
๐
๐๐โ1 za ๐ฅ๐ < ๐ฅ๐โ1
๐ > 1
16. 15. Gaus-Njutnov algoritam za reลกavanje sistema algebarskih jernaฤina koristi
ฮ๐๐ = โ ๐ฑ๐(๐๐)๐ฑ ๐๐
โ1
๐ฑ๐(๐๐)๐ ๐๐
Objasniti ลกta je ลกta u izrazu?
๐ je vektor promenljvih koje se traลพe, ฮ๐๐ je korekcija u ๐ toj iteraciji itrerativnog
postupka
๐ ๐๐ = ๐ je sistem jednaฤina koji se reลกava
๐ฑ ๐๐ je Jakobijan, tj. โ๐(๐๐)
17. 16. Koje su osobine Gradijentnog algoritma?
Brzo napredovanje u poฤetnim iteracijama, ali sporo na kraju u okolini optimuma. Veliki
broj iteracija.
18. 17. Koje su osobine Gaus-Njutnovog algoritma?
Brzo zavrลกavanje (konvergencija u okolini optimuma), ali moguฤa divergencija u
poฤetnim iteracijama. Mali broj iteracija.
19. 18. Zaลกto se gradijentni algoritam naziva i algoritam najstrmijeg pada?
Zato ลกto je korekcija ๐ u svakoj iteraciji ฮ๐๐ = โโ โ โ๐ฅ ๐๐ , โ > 0 srazmerna
gradijentu od ๐ฅ (najbrลพi porast) ali sa suprotnim predznakom-smerom (najbrลพi pad).
20. 19. Zaลกto gradijentni algoritam pravi mnogo iteracija?
Jer su izvodi u okolini cilja (minimuma) veoma mali pa je malo ฮ๐๐,
tj. ฮ๐๐ = โโ โ โ๐ฅ ๐๐
21. 20. Matematiฤki (vektorski) definisati problem koji reลกavaju Runge-Kuta metode.
Reลกavaju sistem obiฤnih diferencijalnih jednaฤina 1. reda.
๐๐
๐๐ก
= ๐(๐, ๐ก), ๐(๐ก0) = ๐0
22. 21. Zaลกto numeriฤko reลกavanje obiฤnih diferencijalnih jednaฤina (ODJ) ima promenljivi
korak integracije?
Zato ลกto ne znamo unapred koliki korak treba da postavimo. Pogodnije je da algoritam
za reลกavanje ODJ prilagoฤava korak na osnovu propisane apsolutne i/ili relativne greลกke
raฤunanja.
23. 22. Kako Ojlerov postupak 1. reda reลกava
๐๐ฆ
๐๐ก
= ๐ ๐ฆ, ๐ก . Napisati formule.
Reลกenje se dobija kroz iteracije ๐ = 1, 2, โฆ
๐ฆ๐+1 = ๐ฆ๐ + ๐(๐ฆ๐, ๐ก๐)โ
๐ก๐+1 = ๐ก๐ + โ
24. 23. Kako raฤuna Ojlerov postupak 2. reda?
Pomoฤ: ๐๐ =
๐๐ฆ๐+1
๐
๐๐ก
โ
๐๐ฆ๐
๐๐ก
โ
2
U svakoj iteraciji pored predviฤenog reลกenja ๐ฆ๐+1
๐
= ๐ฆ๐ +
๐๐ฆ๐
๐๐ก
โ,
uvodi i korigovano reลกenje ๐ฆ๐+1
๐
= ๐ฆ๐+1
๐
+ ๐๐
25. 24. Objasniti kako se prilagoฤava korak integracije kod Ojlerovog postupka. Pomoฤ:
๐๐ =
๐๐ฆ๐+1
๐
๐๐ก
โ
๐๐ฆ๐
๐๐ก
โ
2
Kod raฤunanja korigovane vrednosti ๐ฆ๐+1
๐
= ๐ฆ๐+1
๐
+ ๐๐, korekcija ๐๐ direktno zavisi od
koraka โ i ukoliko je korekcija veฤa od unapred propisane vrednosti onda korak โ treba
smanjiti, i obrnuto.
26. 25. Zaลกto govorimo o familiji metoda Runge-Kuta 2. reda?
Runge-Kuta metode uvode meฤuzavisne parametre gde postoji sloboda izbora njihovih
vrednosti.
27. 26. Kako se Runge-Kuta metod primenjuje ne reลกavanje obiฤne diferencijalne jednaฤine
3. reda?
Tako ลกto se ta jednaฤina prepiลกe u ekvivalentan sistem od 3 diferencijalne jednaฤine 1.
reda.
28. 27. Napisati kod koji reลกava diferencijalne jednaฤine upotrebom paketa
DifferentialEquations tokom prvih 15 sekundi
๐ฆ1
โฒ
๐ก = โ2๐ฆ2 + ๐ก, ๐ฆ1 0 = 2.
๐ฆ2
โฒ
๐ก = ๐ฆ1๐ฆ2, ๐ฆ2 0 = 1
function f!(dy,y,p,t)
dy[1] = -2y[2]+t; dy[2]= y[1]*y[2];
end
prob = ODEProblem(f!,[2;1.],(0,15.))
r = solve(prob)
32. 31. Data je funkcija prenosa ๐ ๐ = 2 +
1
๐
. Kako glasi funkcija prenosa kada je
jediniฤna negativna povratna sprega zatvori oko ๐(๐ )?
๐ ๐ =
2๐ +1
๐
=
๐(๐ )
๐(๐ )
๐
๐ ๐ =
๐
1+๐
=
๐(๐ )
๐ ๐ +๐(๐ )
=
2๐ +1
3๐ +1
33. 32. Imamo funkciju prenosa ๐ ๐ = 2 +
1
๐
, a ๐(๐ ) se dobija kada je jediniฤna
negativna povratna sprega zatvori oko ๐(๐ )? Napisati programski kod upotrebom
ControlSystems paketa koji odreฤuje ๐ ๐ .
W = tf([2, 1],[1 0])
Q = feedback(W,1)
35. 34. Kako model ๐ ๐ง =
๐ง+0.9
๐ง+2
opisujemo u ControlSystems paketu, kada je perioda
odabiranja 0.02?
W = tf([1, 0.9],[1, 2],0.02)
36. 35. Kako model ๐ ๐งโ1
=
๐งโ1+0.9
๐งโ1+2
opisujemo u ControlSystems paketu, kada je perioda
odabiranja 0.02?
๐ ๐ง =
1+0.9๐ง
1+2๐ง
W = tf([0.9, 1],[2, 1],0.02)
Napomena: obratiti paลพnju da su stepeni polinoma po ๐ง.
37. 36. Napisati programski kod za raฤunanje odziva funkcije prenosa ๐ ๐ =
2
3+๐
na
jediniฤnu pobudu.
W = tf(2,[1,3])
y = step(W)
38. 37. Napisati programski kod za raฤunanje odziva funkcije prenosa ๐ ๐ =
2
3+5๐
na
pobudu ๐ข ๐ก = ๐ก.
W = tf(2,[5,3])
t = 0:0.01:5;
y = lsim(W, tโ, t)
39. 38. Napisati programski kod za raฤunanje odziva funkcije prenosa ๐ ๐ =
2
3+5๐
na
pobudu ๐ข(๐ก) = ๐ ๐๐(๐ก).
W = tf(2,[5,3])
t = 0:0.01:5;
y = lsim(W, sin.(tโ), t)
40. 39. ล ta radi funkcija ๐๐๐๐๐๐(๐บ1, ๐บ2) iz ControlSystems, ako su ๐บ1, ๐บ2 funkcije prenosa?
Formira model sa dva ulaza i dva izlaza koji se opisuje matricom funkcija prenosa na
ฤijoj glavnoj dijagonali se nalaze ๐บ1 i ๐บ2.
๐บ =
๐บ1 0
0 ๐บ2
41. 40. Nabrojati glavne funkcije iz ControlSystems paketa za postupno povezivanje delova
modela.
Postoje: 1) redna veza: series, 2) paralelna veza parallel, i 3) povratnta sprega feedback.
42. 41. Kako se vrลกi vremenska diskretizacija modela upotrebom ControlSystems paketa?
Objasniti potrebne informacije na primeru koda.
Upotrebom funkcije c2d gde se zadaju kontinualan model i perioda odabiranja.
m = ... # LTI vremenski kontinualan model
Ts = 0.1 # perioda odabiranja
md = c2d(m, Ts) # vremenski diskretan model
43. 42. ล ta je parametarska identifikacija?
Odreฤivanje modela koji je poznat sa taฤnoลกฤu do nepoznatih parametara.
44. 43. Kakav je to gray-box model identifikacije?
Primenjena teorija odredi oblik (klasu) modela, a preko merenja se izraฤunaju
nepoznati delovi modela (tipiฤno nepoznati parametri).
45. 44. Nabrojati naฤine sprovoฤenja identifikacije.
1. off-line โ sprovodi se nezavisno od rada sistema,
2. on-line โ sprovodi se tokom rada sistema โ neposredno nakon merenja
3. identifikacija u realnom vremenu โ kao on-line ali se sprovodi nakon svake periode
odabiranja.
46. 45. Napisati definiciju identifikacije (po Zadehu).
Identifikacija je odreฤivanje na osnovu ulaznih i izlaznih signala procesa, modela iz
odreฤene klase modela, koji je ekvivalentan procesu na kome su izvrลกena merenja.
47. 46. Koja su 3 neophodna ulaza u proces identifikacije?
Identifikacija je odreฤivanje 1) na osnovu ulaznih i izlaznih signala procesa, 2) modela iz
odreฤene klase modela, 3) koji je ekvivalentan procesu na kome su izvrลกena merenja.
48. 47. Definisati korake is postupka identifikacije
1. Napravi se eksperiment i prikupe (izmere) ulazno/izlazni podaci sistema
2. filtriranje podaka
3. definiลกe se klasa modela (struktura modela)
4. izraฤuna konkretan model na osnovu podataka i kriterijuma optimanosti
5. ispitaju se osobine modela
6. ukoliko model nije zadovoljavajuฤi vraฤa se na korake prvo 4, pa 3, pa 2, pa 1
49. 48. Ako je model ๐ฆ ๐ก = ๐ ยท ๐ข ๐ก kako se odreฤuje nepoznati parametar ๐?
Za viลกe parova vrednosti ulaza ๐ข๐ i izmerenog izlaza ๐ฆ๐, ๐ = 1,2. . . . ๐พ formiraju se
vektori ๐ = ๐ฆ1 ๐ฆ2 โฆ ๐ฆ๐พ
๐
i ๐ = ๐ข1 ๐ข2 โฆ ๐ข๐พ
๐
, i izraฤuna se ๐ = ๐๐
๐ โ1
๐๐
๐
50. 49. Ako je model ๐ฆ ๐ก = ๐1๐ข1 ๐ก + ๐2๐ข2 ๐ก kako se odreฤuju nepoznati parametari
๐1, ๐2 ?
Za viลกe parova vrednosti ulaza ๐ข๐,1, ๐ข๐,2 i izmerenog izlaza ๐ฆ๐, ๐ = 1,2. . . . ๐พ formiraju
se ๐ = ๐ฆ1 ๐ฆ2 โฆ ๐ฆ๐พ
๐
i ๐ =
๐ข1,1 ๐ข2,1 โฆ ๐ข๐พ,1
๐ข1,2 ๐ข2,2 โฆ ๐ข๐พ,2
๐
, i izraฤuna se
๐ = ๐๐
๐ โ1
๐๐
๐
51. 50. Kada kaลพemo da je procena parametara taฤna?
Procena parametara je taฤna kada je nepomerena i efikasna.
52. 51. Kako definiลกemo efikasnu procenu parametara?
Procena parametara je efikasna kada za veliki broj merenja ๐พ vaลพi da rasipanje procene
๐ธ ๐ โ เท
๐ ๐ โ เท
๐ ๐
= ๐เท
๐
2
teลพi nuli, tj. lim
๐พโโ
๐เท
๐
2
โ 0
53. 52. Kako definiลกemo nepomerenu procenu parametara?
Procena je nepomerena kada je oฤekivana vrednost procene parametra jednaka taฤnoj
vrednosti ๐ธ เท
๐ = ๐.
54. 53. Kakve osobine ima beli ลกum?
1. Vrednosti se generiลกu po normalnoj raspodeli.
2. Srednja vrednost je 0, a standardna devijacija 1
3. Vrednost ne zavisi od prethodnih vrednosti, tj. autokorelacija je 0 za sve
pomeraje signala ๐ = 1,2,3, โฆ
55. 54. Matematiฤki definisati autokorelaciju signala?
Autokorelacija signala opisanog diskretnim vrednostima ๐ฅ๐ je
๐ ๐ =
1
๐ โ ๐ ๐2 เท
๐=1
๐โ๐
๐ฅ๐ โ ๐ ๐ฅ๐+๐ โ ๐
gde su ๐ srednja vrednost, a ๐ standardna devijacija signala. ๐ je pomeraj za koji se
raฤuna autokorelacija.
56. 55. ล ta je osobina identifiabilnosti? Kada model nije identifiabilan?
Osobina identifiabilnosti odreฤuje da li se parametri modela mogu odrediti.
Model nije identifiabilan kada su funkcije osetljivosti linearno zavisne.
57. 56. ล ta su funkcije osetljivosti u parametarskoj identifikaciji?
Funkcije osetljivosti su izvodi izlaza modela ๐ฆ po parametrima ๐
๐๐ฆ(๐)
๐๐1
,
๐๐ฆ(๐)
๐๐2
, โฆ,
๐๐ฆ(๐)
๐๐๐
58. 57. Kako modelujemo obojen ลกum?
Obojen ลกum se dobija propuลกtanjem belog ลกuma kroz filter:
a) Opisan funkcijom diskretnog prenosa
b) Koji kombinuje nekoliko poslednjih vrednosti belog ลกuma.
59. 58. Definisati ARX model i napisati ลกta je ลกta?
ARX je vremenski diskretan dinamiฤki model:
๐ด ๐ง ๐ฆ ๐ = ๐ต ๐ง ๐ข ๐ + ๐(๐), gde su: izlaz ๐ฆ, ulaz ๐ข, beli ลกum ๐, a ๐ด ๐ง , ๐ต ๐ง su
polinomi po ๐ง = ๐๐ ๐
.
60. 59. Definisati ARMAX model i napisati ลกta je ลกta?
ARMAX je vremenski diskretan dinamiฤki model:
๐ด ๐ง ๐ฆ ๐ = ๐ต ๐ง ๐ข ๐ + ๐ถ(๐ง)๐(๐), gde su: izlaz ๐ฆ, ulaz ๐ข, beli ลกum ๐, a
๐ด ๐ง , ๐ต ๐ง , ๐ถ(๐ง) su polinomi po ๐ง = ๐๐ ๐
.
61. 60. ล ta je pseudosluฤajan binarni signal? Gde se koristi?
To je vremenski diskretizovan signal sa vrednostima {๐, โ๐} koje se nasumiฤno menjaju
u svakom trenutku odabiranja. Koristi se kao ulaz u identifikaciji dinamiฤkih modela.
62. 61. Kojom metodom se identifikuju parametri ARX modela, objasniti?
Metodom najmanjih kvadrata jer je izlaz linearan po nepoznatim parametrima koje
mnoลพe (poznate) ranije vrednosti ulaza i izlaza. Npr.
๐ฆ ๐ = โ๐1๐ฆ ๐ โ 1 โ ๐2๐ฆ ๐ โ 2 + ๐1๐ข ๐ โ 1 + ๐2๐ข ๐ โ 2 + ๐ ๐
63. 62. Kojom metodom se identifikuju parametri ARMAX modela, ukratko objasniti?
Metodom najmanjih kvadrata koja se primenjuje dva puta: 1) napravi se adekvatan ARX
model i procene njegovi parametri, 2) proceni se ลกum i odrede parametri ARMAX
modela. U oba sluฤaja je izlaz modela linearan po nepoznatim parametrima koje mnoลพe
(poznate) ranije vrednosti ulaza i izlaza (i procenjene vrednosti ลกuma).
64. 63. Kako se proceni beli ลกum u identifikaciji ARMAX modela?
๐ด ๐ง ๐ฆ ๐ = ๐ต ๐ง ๐ข ๐ + ๐ถ(๐ง)๐(๐) se podeli sa ๐ถ(๐ง)
๐บ(๐ง)๐ฆ ๐ = ๐ป(๐ง)๐ข ๐ + ๐(๐), ๐บ ๐ง =
๐ด ๐ง
๐ถ(๐ง)
, ๐ป ๐ง =
๐ต ๐ง
๐ถ(๐ง)
i metodom najmanjih kvadrata se identifikuju parametri polinoma ๐บ(๐ง) i ๐ป(๐ง).
Izraฤuna se procena ฤuma ฦธ
๐ ๐ = ๐บ ๐ง ๐ฆ ๐ โ ๐ป ๐ง ๐ข ๐
65. 64. Zaลกto je dobro poznavati kaลกnjenje u identifikaciji parametara ARX modela?
Zato ลกto se smanjuje broj ๐ต parametara koji se identifikuju. Ako se kaลกnjenje ne
modeluje, a postoji, identifikuju se ๐ต parametri iako se zna da su im vrednosti nula.
66. 65. Kako u identifikaciji moลพemo proceniti red (stepene polinoma) AR(MA)X modela?
Proces raฤunanja parametara modela se pokreฤe viลกe puta za razne kombinacije duลพina
polinoma ๐ด i ๐ต i posmatra se vrednost funkcije cilja ๐ฅ. Dobro procenjen model ima
malo ๐ฅ uz ลกto manje duลพine polinoma.
67. 66. Kada se u identifikaciji primenjuje rekurzivna metoda najmanjih kvadrata?
Kada se parametri modela odreฤuju u realnom vremenu.
Dodatno, omoguฤava identifikovanje parametara koji se menjaju tokom rada sistema.
68. 67. ล ta je faktor zaboravljanja? Napisati kriterijum gde se upotrebljava?
Faktor zaboravljanja je parametar ๐ koji se koristi u funkciji cilja za rekurzivnu metodu
najmanjih kvadrata kada ลพelimo da damo manji znaฤaj ranijim merenjima.
๐ฅ๐ =
1
2
ฯ๐=0
๐
๐๐โ๐ ๐ฆ๐ โ ๐ผ๐
๐
๐
2
, 0 < ๐ โค 1
69. 68. Kako identifikujemo promenljive parametre ARX modela?
Rekurzivnom metodom najmanjih kvadrata gde je upotrebljena funkcija cilja sa
fraktorom zaboravljanja ๐
๐ฅ๐ =
1
2
ฯ๐=0
๐
๐๐โ๐ ๐ฆ๐ โ ๐ผ๐
๐
๐
2
, 0 < ๐ โค 1
70. 69. Kako identifikujemo parametre modela gde je izlaz nelinearan po parametrima?
Iterativnim algoritmima poput Gradijentnog ili Gaus-Njutnovog algoritma.
71. 70. Kako glasi funkcija cilja u parametarskoj identifikaciji nelinearnog modela?
๐ฅ ๐ =
1
2
ฯ๐=0
๐พโ1
๐๐
2
๐ , tj. suma po svim merenjima gde je greลกka ๐๐ = ๐ฆ๐ โ ๐(๐ข๐, ๐)
razlika izmerenog izlaza i izlaza modela koji je nelinearan po nepoznatim parametrima
๐.
72. 71. Gde su potrebne funkcije osetljivosti u parametarskoj identifikaciji nelinearnog
modela?
Funkcije osetljivosti se koriste radi provere osobine identifiabilnosti, kao i za
odreฤivanje parametara alritmima gde se koristi gradijent funkcije cilja (za njegovo
raฤunanje je potrebno odrediti i izvod izlaza modela po parametrima = funkcije
osetljivosti).
73. 72. Da li je model ๐ฆ(๐ก) = (๐1 + ๐2)๐ข(๐ก) identifiabilan? Objasniti.
Nije, jer su funkcije osetljivosti linearno zavisne (jednake su).
๐๐ฆ
๐๐1
=
๐๐ฆ
๐๐2
= ๐ข
Napomena: iz datom modela se moลพe identifikovati samo jedan parmetar ๐ ฤija
vrednost odgovara ๐1 + ๐2
74. 73. Kako se opisuje hidrauliฤka otpornost? Napisati formulu gde se koristi.
Hidrauliฤka otpornost ๐ vezuje promene pada pritiska ฮ ฦธ
๐ na elementu (npr. ventilu) i
protoka kroz njega เท
๐ kao เท
๐ =
1
๐
ฮ ฦธ
๐ i vaลพi za mali opseg promena jer povezuje
inkrementalne promenljive.
75. 74. Kako se opisuje hidrauliฤki kapacitet? Napisati formulu gde se koristi.
Hidrauliฤki kapacitet ๐ถ posude utiฤe na brzinu promene pritiska ๐ na dno posude
๐๐
๐๐ก
=
1
๐ถ
โ ๐๐(๐ก) โ ๐๐(๐ก) , gde je ๐๐(๐ก) โ ๐๐(๐ก) razlika ulaznog I izlaznog protoka teฤnosti.
76. 75. Kako se opisuje termiฤki kapacitet? Napisati formulu gde se koristi.
Promena temperature tela koje ima sposobnost da akumulira toplotu je srazmerna
razlici koliฤina toplota koja uฤe ๐๐ i izaฤe ๐๐ iz tela.
แถ
๐ ๐ก =
1
๐ถ
(๐๐ ๐ก โ ๐๐(๐ก))
๐ถ je termiฤki kapacitet.
77. 76. Kako se opisuje termiฤka otpornost? Napisati formulu gde se koristi.
Provoฤenje toplote sa jednog tela na drugo telo je srazmerno razlici temperatura dva
tela.
๐ ๐ก =
1
๐
(๐1(๐ก) โ ๐2(๐ก))
๐ je termiฤka otpornost.