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証明プログラミング超入門
- 2. 自己紹介 • 門脇 香子 (@kdxu) • お茶の水女子大学 浅井研 M1 • 好きなもの : 型と自転車と音楽 • http://kodoku.tokyo
- 3. 概要 • 証明プログラミングとは？ • Agda による例(布教) 目標 : 高校数学レベルの簡単な証明 • (時間が余れば)ライブコーディング
- 4. 証明プログラミングとは？ • ある種の性質を保障したプログラムが書ける 数学の定理を証明したり，停止性などの性質が保障された コンパイラなどを実装できる • コードの停止性，正当性などを証明できる 活用例 : OpenSSLの脆弱性の発見 CompCert(安全性が保証されたCコンパイラ) • テストではなく証明で正しさを保証する！ • 安全，COOL，AWESOME !
- 5. Agda について • もっとも有名な定理証明支援系の1つ • 依存型という型を使用できる • Coq より「プログラミング言語」寄り • Syntax としては Haskell に近い • 証明を項として表し直接操作する
- 6. インストール&セットアップ • 要 Haskell-Platform • $ cabal install agda • $ agda-mode setup • 推奨エディタはAquamacsだそうです
- 7. 書いてみよう • まずA1.agdaというファイルを作り module A1 agda と先頭に書く．(ファイル名と同じにする） • C-c C-l でloadできます
- 8. まずは型定義 • data で新しい型を定義できる • indent に注意しましょう • Set の部分集合としてのBool型という意味
- 9. まずは型定義 • 自然数の型 • ペアノの公理による定義 • zeroがNat型ということと，xがNat型ならsuc x もNat型だということを示している
- 10. 関数定義 • 普通の足し算の定義 • (suc m) + n = (suc (m + n)) • C-c C-n で関数を評価できます
- 11. 関数定義 • 中値記法もできます
- 12. 関数定義
- 13. 何か証明してみよう • Nat 型と Bool 型の簡単な定義はできた • ここでなにか簡単な定理を証明してみます • 同値性の証明をするならば同値関係のデータ型が必 要(equality) -> どのように定義するのか？
- 14. 同値性 • 2つのものが同じということは，以下のように定義できる • 例 : zero (suc zero) はダメ x x の形をしていない．型はあるが，値が存在しない なので，reflという型にならない • reflにハマる値が存在するか で定義できる
- 15. 定理 = 関数 • 例えば 0 + n n を示したい -> 返り値がreflとなるように関数を書ければよい • 関数の型は (n : Nat) -> (0 + n n) となる • ここで suc 関数に対する再帰的処理が必要になる
- 16. 定理 = 関数 • これを Agda は 型が等しい と判断してくれない • ここで suc 関数に対する再帰的処理が必要になる • 一般的に定理を再帰的に示す関数 cong を定義
- 17. 証明完了！ • zero と suc nで場合分けしている (C-c C-c n) zero の場合は zero + zero は zeroなので直ちにrefl suc n の場合は n に関して再帰的に証明をする
- 18. Tips : 依存型 • Agda では依存型(Dependent Types)という型が使えます • 「値に依存する型」を作ることができる型 • 例 Vec N 型 • 型の段階で長さの比較や空リスト判定を保証できる
- 19. おすすめ教材 • Ulf Norell 氏の Dependently Typed Programming in Agda (http://www.cse.chalmers.se/ ulfn/darcs/AFP08/ LectureNotes/AgdaIntro.pdf) • Brutal [Meta]Introduction to Dependent Types in Agda (http://oxij.org/note/BrutalDepTypes/) • お茶大製「みんなのAgda wiki」 (http://agda.wiki.fc2.com/)
- 20. 研究紹介 • 私は今日紹介した Agda という言語を用いて安全 な型推論器を構成しています • 依存型の性質を用いて型変数の番号をうまく管理す ることで，セルの書き換えを用いずにUnification を行うことにより実装しています • https://github.com/kdxu/InferAgda