Sannsynlighet
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Sannsynlighet

on

  • 9,301 views

 

Statistics

Views

Total Views
9,301
Views on SlideShare
7,575
Embed Views
1,726

Actions

Likes
4
Downloads
44
Comments
1

15 Embeds 1,726

http://torespensblogg.blogspot.com 601
http://torespensblogg.blogspot.no 572
http://deling.ndla.no 490
http://www.slideshare.net 37
http://torespensblogg.blogspot.co.uk 7
http://nygiv.ndla.no 4
http://torespensblogg.blogspot.se 4
http://deling.test.ndla.no 2
https://deling.ndla.no 2
http://torespensblogg.blogspot.dk 2
http://torespensblogg.blogspot.com.br 1
http://fyr.ndla.no 1
http://www.torespensblogg.blogspot.com 1
https://193.169.42.77 1
https://www.google.no 1
More...

Accessibility

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

CC Attribution-NonCommercial-ShareAlike LicenseCC Attribution-NonCommercial-ShareAlike LicenseCC Attribution-NonCommercial-ShareAlike License

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Sannsynlighet Sannsynlighet Presentation Transcript

  • Sannsynlighet Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og Sannsynlighet standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting Stord Vidaregåande skule Våren 2009
  • Sannsynlighet Stokastiske variable Tor Espen Kristensen Eksempel 1 Stokastiske variable Binomisk fordeling Du kaster en terning og lar X =antall øyne. Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Stokastiske variable Tor Espen Kristensen Eksempel 1 Stokastiske variable Binomisk fordeling Du kaster en terning og lar X =antall øyne. Forventningsverdi Vi kan regne ut sannsynligheten for de ulike verdiene til X. I Varians og standardavvik dette tilfellet er Normalfordelingen 1 Sentralgrense- P(X = k) = For alle k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} setningen 6 Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Stokastiske variable Tor Espen Kristensen Eksempel 1 Stokastiske variable Binomisk fordeling Du kaster en terning og lar X =antall øyne. Forventningsverdi Vi kan regne ut sannsynligheten for de ulike verdiene til X. I Varians og standardavvik dette tilfellet er Normalfordelingen 1 Sentralgrense- P(X = k) = For alle k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} setningen 6 Hypotesetesting Vi kan føre dette opp i en tabell: k 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 P(X = k) 6 6 6 6 6 6
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Vi kaster to terninger og lar X= summen av antall øyne. Binomisk fordeling Hva er P(X = k)? Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Vi kaster to terninger og lar X= summen av antall øyne. Binomisk fordeling Hva er P(X = k)? Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen 123456 Sentralgrense- setningen 1 2 3 4 5 6 7 Hypotesetesting 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Vi kaster to terninger og lar X= summen av antall øyne. Binomisk fordeling Hva er P(X = k)? Forventningsverdi Vi ser at Varians og standardavvik k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Normalfordelingen 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 P(X = k) 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 Sentralgrense- setningen Hypotesetesting 123456 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
  • Sannsynlighet Grafisk framstilling Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Binomisk fordeling 0,15 Forventningsverdi Varians og standardavvik 0,10 Normalfordelingen Sentralgrense- setningen 0,05 Hypotesetesting 2 4 6 8 10 12
  • Sannsynlighet Grafisk framstilling Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Binomisk fordeling 0,15 Forventningsverdi Varians og standardavvik 0,10 Normalfordelingen Sentralgrense- setningen 0,05 Hypotesetesting 2 4 6 8 10 12 Hva er P(X 4)?
  • Sannsynlighet Grafisk framstilling Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Binomisk fordeling 0,15 Forventningsverdi Varians og standardavvik 0,10 Normalfordelingen Sentralgrense- setningen 0,05 Hypotesetesting 2 4 6 8 10 12 Hva er P(X 4)? P(X 4) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) 2 3 4 9 1 = + + = = 36 36 36 36 4
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende forsøk: Stokastiske variable Binomisk fordeling Du kaster to mynter og lar X = antall kron. Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende forsøk: Stokastiske variable Binomisk fordeling Du kaster to mynter og lar X = antall kron. Forventningsverdi Varians og standardavvik k 0 1 2 Normalfordelingen P(X = k) Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende forsøk: Stokastiske variable Binomisk fordeling Du kaster to mynter og lar X = antall kron. Forventningsverdi Varians og standardavvik k 0 1 2 1 2 1 Normalfordelingen P(X = k) 4 4 4 Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende forsøk: Stokastiske variable Binomisk fordeling Du kaster to mynter og lar X = antall kron. Forventningsverdi Varians og standardavvik k 0 1 2 1 2 1 Normalfordelingen P(X = k) 4 4 4 Sentralgrense- setningen Hypotesetesting 0,5 KM 0,25 MM MK KK 0 1 2
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende stokastiske Stokastiske variable variabel: Binomisk fordeling Forventningsverdi Du kaster tre mynter og lar X = antall kron. Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende stokastiske Stokastiske variable variabel: Binomisk fordeling Forventningsverdi Du kaster tre mynter og lar X = antall kron. Varians og standardavvik Vi kan føre alt opp i en tabell: Normalfordelingen Sentralgrense- setningen k Utfall P(X = k) Hypotesetesting 0 1 2 3
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende stokastiske Stokastiske variable variabel: Binomisk fordeling Forventningsverdi Du kaster tre mynter og lar X = antall kron. Varians og standardavvik Vi kan føre alt opp i en tabell: Normalfordelingen Sentralgrense- setningen k Utfall P(X = k) Hypotesetesting 0 MMM 1 KMM, MKM, MMK 2 KKM, KMK, MKK 3 KKK
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Finn sannsynlighetsfordelingen til følgende stokastiske Stokastiske variable variabel: Binomisk fordeling Forventningsverdi Du kaster tre mynter og lar X = antall kron. Varians og standardavvik Vi kan føre alt opp i en tabell: Normalfordelingen Sentralgrense- setningen k Utfall P(X = k) Hypotesetesting 0 MMM 1/8 = 0,125 1 KMM, MKM, MMK 3/8 = 0,375 2 KKM, KMK, MKK 3/8 = 0,375 3 KKK 1/8 = 0,125
  • Sannsynlighet Binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Eksempel Stokastiske variable Binomisk fordeling Du kaster ti terninger og lar X = antall enere. Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Eksempel Stokastiske variable Binomisk fordeling Du kaster ti terninger og lar X = antall enere. Forventningsverdi Varians og standardavvik Minner om følgende: dersom vi gjør et forsøk n ganger, og Normalfordelingen det er samme sannsynlighet p for suksess hver gang, så har Sentralgrense- vi et binomisk forsøk med sannsynlighetsfordeling gitt ved setningen Hypotesetesting n k P(X = k) = p (1 − p)n−k k Vi kan føre dette opp i en tabell!
  • Sannsynlighet Binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Stokastiske variable k P(X = k) P(X k) Binomisk fordeling Forventningsverdi 0 0,162 0,162 Varians og 1 0,323 0,485 standardavvik 2 0,291 0,775 Normalfordelingen 3 0,155 0,930 Sentralgrense- setningen 4 0,0543 0,985 Hypotesetesting 5 0,0130 0,998 6 0,00217 1,000 7 0,000248 1,000 8 0,0000186 1,000 9 0,000000827 1,000 10 0,0000000165 1,000
  • Sannsynlighet Binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Binomisk fordeling 0,400 Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- 0,200 setningen Hypotesetesting f = 1,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00
  • Sannsynlighet Binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Hva er sannsynligheten for å få minst 4 enere? Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og k P(X = k) P(X k) standardavvik Normalfordelingen 0 0,162 0,162 Sentralgrense- 1 0,323 0,485 setningen Hypotesetesting 2 0,291 0,775 3 0,155 0,930 4 0,0543 0,985 5 0,0130 0,998 6 0,00217 1,000 7 0,000248 1,000 8 0,0000186 1,000 9 0,000000827 1,000 10 0,0000000165 1,000
  • Sannsynlighet Binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Hva er sannsynligheten for å få minst 4 enere? Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og k P(X = k) P(X k) standardavvik Normalfordelingen 0 0,162 0,162 P(X 4) Sentralgrense- 1 0,323 0,485 = 1 − P(X 3) setningen 2 0,291 0,775 Hypotesetesting 3 0,155 0,930 = 1 − 0,93 4 0,0543 0,985 = 0,07 5 0,0130 0,998 6 0,00217 1,000 7 0,000248 1,000 8 0,0000186 1,000 9 0,000000827 1,000 10 0,0000000165 1,000
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen En bestem frø spirer med 70% sannsynlighet. Vi sår 20 frø Stokastiske variable Binomisk fordeling og lar X = antall frø som spirer. Hva er sannsynligheten for Forventningsverdi at minst 9 frø spirer? Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen En bestem frø spirer med 70% sannsynlighet. Vi sår 20 frø Stokastiske variable Binomisk fordeling og lar X = antall frø som spirer. Hva er sannsynligheten for Forventningsverdi at minst 9 frø spirer? Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- k P(X = k) P(X k) setningen Hypotesetesting 1 1, 63 · 10−9 1, 63 · 10−9 2 3, 61 · 10−8 3, 77 · 10−8 3 5, 05 · 10−7 5, 43 · 10−7 4 5, 01 · 10−6 5, 55 · 10−6 5 3, 74 · 10−5 4, 29 · 10−5 6 0,000218 0,000261 7 0,001018 0,001279 8 0,003859 0,005138 . . . . . . . . .
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen En bestem frø spirer med 70% sannsynlighet. Vi sår 20 frø Stokastiske variable Binomisk fordeling og lar X = antall frø som spirer. Hva er sannsynligheten for Forventningsverdi at minst 9 frø spirer? Varians og standardavvik Normalfordelingen P(X 9) Sentralgrense- k P(X = k) P(X k) setningen Hypotesetesting 1 1, 63 · 10−9 1, 63 · 10−9 2 3, 61 · 10−8 3, 77 · 10−8 3 5, 05 · 10−7 5, 43 · 10−7 4 5, 01 · 10−6 5, 55 · 10−6 5 3, 74 · 10−5 4, 29 · 10−5 6 0,000218 0,000261 7 0,001018 0,001279 8 0,003859 0,005138 . . . . . . . . .
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen En bestem frø spirer med 70% sannsynlighet. Vi sår 20 frø Stokastiske variable Binomisk fordeling og lar X = antall frø som spirer. Hva er sannsynligheten for Forventningsverdi at minst 9 frø spirer? Varians og standardavvik Normalfordelingen P(X 9) Sentralgrense- k P(X = k) P(X k) setningen = 1 − P(X 8) Hypotesetesting 1 1, 63 · 10−9 1, 63 · 10−9 = 1 − 0,005138 2 3, 61 · 10−8 3, 77 · 10−8 = 0,9948 3 5, 05 · 10−7 5, 43 · 10−7 4 5, 01 · 10−6 5, 55 · 10−6 ≈ 99% 5 3, 74 · 10−5 4, 29 · 10−5 6 0,000218 0,000261 7 0,001018 0,001279 8 0,003859 0,005138 . . . . . . . . .
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Hva er sannsynligheten for at minst 15 frø skal spire? Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Hva er sannsynligheten for at minst 15 frø skal spire? Binomisk fordeling Her er det absolutt en fordel å bruke et digitalt verktøy. I Forventningsverdi dette tilfellet er det enklest å bruke wxMaxima. Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Oppgave 5.3 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en Binomisk fordeling tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt Forventningsverdi ved tabellen: Varians og standardavvik Normalfordelingen k 36 37 38 39 40 Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05 setningen Hypotesetesting a) P(X 38) =
  • Sannsynlighet Oppgave 5.3 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en Binomisk fordeling tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt Forventningsverdi ved tabellen: Varians og standardavvik Normalfordelingen k 36 37 38 39 40 Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05 setningen Hypotesetesting a) P(X 38) = 0,10 + 0,30 + 0,35 = 0,85
  • Sannsynlighet Oppgave 5.3 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en Binomisk fordeling tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt Forventningsverdi ved tabellen: Varians og standardavvik Normalfordelingen k 36 37 38 39 40 Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05 setningen Hypotesetesting a) P(X 38) = 0,10 + 0,30 + 0,35 = 0,85 b) P(X < 38) =
  • Sannsynlighet Oppgave 5.3 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en Binomisk fordeling tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt Forventningsverdi ved tabellen: Varians og standardavvik Normalfordelingen k 36 37 38 39 40 Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05 setningen Hypotesetesting a) P(X 38) = 0,10 + 0,30 + 0,35 = 0,85 b) P(X < 38) = 0,10 + 0,30 = 0,40
  • Sannsynlighet Oppgave 5.3 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en Binomisk fordeling tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt Forventningsverdi ved tabellen: Varians og standardavvik Normalfordelingen k 36 37 38 39 40 Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05 setningen Hypotesetesting a) P(X 38) = 0,10 + 0,30 + 0,35 = 0,85 b) P(X < 38) = 0,10 + 0,30 = 0,40 c) P(37 X 39) =
  • Sannsynlighet Oppgave 5.3 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable En bedrift produserer pastillesker. La X = antall pastiller i en Binomisk fordeling tilfeldig valgt eske. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt Forventningsverdi ved tabellen: Varians og standardavvik Normalfordelingen k 36 37 38 39 40 Sentralgrense- P(X = k) 0,10 0,30 0,35 0,20 0,05 setningen Hypotesetesting a) P(X 38) = 0,10 + 0,30 + 0,35 = 0,85 b) P(X < 38) = 0,10 + 0,30 = 0,40 c) P(37 X 39) = 0,30 + 0,35 + 0,20 = 0,85
  • Sannsynlighet Forventningsverdi Tor Espen Kristensen Anta at vi undersøkte 100 pastillesker (oppgave 5.3) og at Stokastiske variable disse fordelte seg slik: Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og antall pastiller 36 37 38 39 40 standardavvik Normalfordelingen Frekvens 11 28 33 25 3 Sentralgrense- setningen Hva blir da gjennomsnittet? Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Forventningsverdi Tor Espen Kristensen Anta at vi undersøkte 100 pastillesker (oppgave 5.3) og at Stokastiske variable disse fordelte seg slik: Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og antall pastiller 36 37 38 39 40 standardavvik Normalfordelingen Frekvens 11 28 33 25 3 Sentralgrense- setningen Hva blir da gjennomsnittet? Hypotesetesting 36 · 11 + 37 · 28 + 38 · 33 + 39 · 25 + 40 · 3 100 11 28 33 25 3 = 36 · + 37 · + 38 · + 39 · + 40 · 100 100 100 100 100 = 36 · rn (36) + 37 · rn (37) + 38 · rn (38) + 39 · rn (39) + 40 · rn (40)
  • Sannsynlighet Forventningsverdi Tor Espen Kristensen Anta at vi undersøkte 100 pastillesker (oppgave 5.3) og at Stokastiske variable disse fordelte seg slik: Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og antall pastiller 36 37 38 39 40 standardavvik Normalfordelingen Frekvens 11 28 33 25 3 Sentralgrense- setningen Hva blir da gjennomsnittet? Hypotesetesting 36 · 11 + 37 · 28 + 38 · 33 + 39 · 25 + 40 · 3 100 11 28 33 25 3 = 36 · + 37 · + 38 · + 39 · + 40 · 100 100 100 100 100 = 36 · rn (36) + 37 · rn (37) + 38 · rn (38) + 39 · rn (39) + 40 · rn (40) Dersom vi hadde økt antall esker, så vil etter hvert den relative frekvensen gå mot sannsynligheten for det gitt antall esker.
  • Sannsynlighet Forventningsverdi Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Binomisk fordeling 36 · rn (36) + 37 · rn (37) + 38 · rn (38) + 39 · rn (39) + 40 · rn (40) Forventningsverdi Varians og standardavvik Når n blir stor vil rn (k) → P(X = k). I det lange løp forventer Normalfordelingen Sentralgrense- vi derfor at snittet på antall pastiller i eskene er setningen Hypotesetesting 36·0,11 + 37 · 0,28 + 38 · 0,33 + 39 · 0,25 + 40 · 0,03 = 37,8
  • Sannsynlighet Forventningsverdi Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Binomisk fordeling 36 · rn (36) + 37 · rn (37) + 38 · rn (38) + 39 · rn (39) + 40 · rn (40) Forventningsverdi Varians og standardavvik Når n blir stor vil rn (k) → P(X = k). I det lange løp forventer Normalfordelingen Sentralgrense- vi derfor at snittet på antall pastiller i eskene er setningen Hypotesetesting 36·0,11 + 37 · 0,28 + 38 · 0,33 + 39 · 0,25 + 40 · 0,03 = 37,8 Forventning La X være en stokastisk variabel med m mulige verdier x1 , x2 , . . . , xm . Forventningsverdien til X er gitt ved µ = E(X) = x1 · P(X = x1 ) + . . . + xm · P(X = xm )
  • Sannsynlighet Forventningsverdi Tor Espen Kristensen De store talls lov Stokastiske variable Binomisk fordeling Vi har et tilfeldig forsøk med en stokastisk variabel X. Hvis vi Forventningsverdi gjentar forsøket mange ganger, vil gjennomsnittet av Varians og verdiene til X nærme seg forventningsverdien µ = E(X). standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel 1 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Hvor mange kron kan vi forvente oss når vi kaster to Binomisk fordeling mynter? Forventningsverdi Varians og standardavvik k 0 1 2 1 2 1 Normalfordelingen P(X = k) 4 4 4 Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel 1 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Hvor mange kron kan vi forvente oss når vi kaster to Binomisk fordeling mynter? Forventningsverdi Varians og standardavvik k 0 1 2 1 2 1 Normalfordelingen P(X = k) 4 4 4 Sentralgrense- setningen 1 2 1 Hypotesetesting E(X) = 0 · +1· +2· =1 4 4 4
  • Sannsynlighet Eksempel 2 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Hvor mange enere kan vi forvente å få dersom vi kaster en Binomisk fordeling terning 10 ganger? Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel 2 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Hvor mange enere kan vi forvente å få dersom vi kaster en Binomisk fordeling terning 10 ganger? Forventningsverdi Varians og standardavvik 10 Normalfordelingen E(X) = k · P(X = k) Sentralgrense- setningen k=0 Hypotesetesting = 0 · 0,162 + 1 · 0,323 + 2 · 0,291 + 3 · 0,155 + 4 · 0,0543 + 5 · 0,0130 + 6 · 0, 00217 + 7 · 0, 000248 + 8 · 0,0000186 + 9 · 0, 000000827 + 10 · 0, 0000000165 = 1,67
  • Sannsynlighet Eksempel 2 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Hvor mange enere kan vi forvente å få dersom vi kaster en Binomisk fordeling terning 10 ganger? Forventningsverdi Varians og standardavvik 10 Normalfordelingen E(X) = k · P(X = k) Sentralgrense- setningen k=0 Hypotesetesting = 0 · 0,162 + 1 · 0,323 + 2 · 0,291 + 3 · 0,155 + 4 · 0,0543 + 5 · 0,0130 + 6 · 0, 00217 + 7 · 0, 000248 + 8 · 0,0000186 + 9 · 0, 000000827 + 10 · 0, 0000000165 = 1,67 Kunne vi ikke også tenke slik: siden det er 1 sannsynlighet 6 for å få en ener ved ett kast (kan forvente ener i 1/6 av alle kast), så kan vi forvente 10/6 ≈ 1,67 enere ved ti kast.
  • Sannsynlighet Eksempel 2 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Binomisk fordeling Forventningsverdi E(X) = 1,67 Varians og 0,4 standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting 0,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  • Sannsynlighet Forventning ved binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Forventning ved binomisk fordelign Binomisk fordeling Dersom X er binomisk fordelt ned sannsynlighet p for Forventningsverdi suksess i hvert delforsøk, så er forventningsverdien gitt ved Varians og standardavvik E(X) = n · p Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Forventning ved binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Forventning ved binomisk fordelign Binomisk fordeling Dersom X er binomisk fordelt ned sannsynlighet p for Forventningsverdi suksess i hvert delforsøk, så er forventningsverdien gitt ved Varians og standardavvik E(X) = n · p Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Eksempel Hypotesetesting Dersom vi kaster en mynt 20 ganger og lar X = antall ganger vi får kron, så er X binomisk fordelt med n = 20 og p = 0,5. E(X) = np = 20 · 0,5 = 10
  • Sannsynlighet Eksempel 3 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable En spilleautomat gir gevinster på enten 0, 20, 50 eller 250 Binomisk fordeling kroner. Vi lar X stå for gevinsten en spiller får utbetalt når Forventningsverdi han spiller én gang. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt i Varians og tabellen: standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Gevinst k (kroner) 0 20 50 250 189 54 12 1 Hypotesetesting P(X = k) 256 256 256 256 Hvor mye bør ett spill koste?
  • Sannsynlighet Eksempel 3 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable En spilleautomat gir gevinster på enten 0, 20, 50 eller 250 Binomisk fordeling kroner. Vi lar X stå for gevinsten en spiller får utbetalt når Forventningsverdi han spiller én gang. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt i Varians og tabellen: standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Gevinst k (kroner) 0 20 50 250 189 54 12 1 Hypotesetesting P(X = k) 256 256 256 256 Hvor mye bør ett spill koste? Hva er forventningsverdien?
  • Sannsynlighet Eksempel 3 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable En spilleautomat gir gevinster på enten 0, 20, 50 eller 250 Binomisk fordeling kroner. Vi lar X stå for gevinsten en spiller får utbetalt når Forventningsverdi han spiller én gang. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt i Varians og tabellen: standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Gevinst k (kroner) 0 20 50 250 189 54 12 1 Hypotesetesting P(X = k) 256 256 256 256 Hvor mye bør ett spill koste? Hva er forventningsverdien? 189 54 12 1 E(X) = 0 · + 20 · + 50 · + 250 · 256 256 256 256 = 7,54
  • Sannsynlighet Eksempel 3 Tor Espen Kristensen Stokastiske variable En spilleautomat gir gevinster på enten 0, 20, 50 eller 250 Binomisk fordeling kroner. Vi lar X stå for gevinsten en spiller får utbetalt når Forventningsverdi han spiller én gang. Sannsynlighetsfordelingen til X er gitt i Varians og tabellen: standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Gevinst k (kroner) 0 20 50 250 189 54 12 1 Hypotesetesting P(X = k) 256 256 256 256 Hvor mye bør ett spill koste? Hva er forventningsverdien? 189 54 12 1 E(X) = 0 · + 20 · + 50 · + 250 · 256 256 256 256 = 7,54 Ett spill bør koste mer enn kr 7,54. Kanskje ti kroner ville være lurt!
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen I to klasser var resultatet på en prøve som vist i Stokastiske variable frekvenstabellen under. Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og karakter: 1 2 3 4 5 6 standardavvik Normalfordelingen klasse 1: 2 5 3 3 2 5 Sentralgrense- klasse 2: 1 1 5 10 3 0 setningen Hypotesetesting I begge klassene var gjennomsnittet 3,65. 10 6 5 8 4 6 3 4 2 1 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
  • Sannsynlighet Mål for spredning Tor Espen Kristensen Vi ser at det er større spredning i karakterene i den ene Stokastiske variable klassen i forhold til den andre. Begge har gjennomsnitt på Binomisk fordeling 3,65. Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Mål for spredning Tor Espen Kristensen Vi ser at det er større spredning i karakterene i den ene Stokastiske variable klassen i forhold til den andre. Begge har gjennomsnitt på Binomisk fordeling 3,65. Forventningsverdi Varians og Vi kunne regnet ut alle avvikene 3,65 − x og lagt de standardavvik sammen. Men dette ville summert til null! En annen måte er Normalfordelingen å summere alle kvadratavvikene og dele på antall Sentralgrense- observasjoner: setningen Hypotesetesting (3,65 − 1)2 + (3,65 − 1)2 + (3,65 − 2)2 + (3,65 − 2)2 + (3,65 − 2)2 + . . . (3,65 − 6)2 = 3,03 20 Dette fungerer fint og gir et bra mål på spredningen. For den andre klassen blir dette 0,9275. Vi kaller dette tallet for variansen og noterer det Var(X) Merk: I Excel skal du bruke funksjonen VARIANSP() når du skal beregne varians over en hel populasjon.
  • Sannsynlighet Varians Tor Espen Kristensen Stokastiske variable x fi (xi − ¯) x fi · (xi − ¯) x (xi − ¯)2 x Binomisk fordeling Forventningsverdi 1 2 1 − 3, 65 = −2,66 −5,3 (1 − 3, 65)2 Varians og 2 5 2 − 3, 65 = −1,65 −8,25 (2 − 3, 65)2 standardavvik 3 3 3 − 3, 65 = −0,65 −1,95 (3 − 3, 65)2 Normalfordelingen 4 3 4 − 3, 65 = 0, 35 1,05 (4 − 3, 65)2 Sentralgrense- 5 2 5 − 3, 65 = 1,35 2,7 (5 − 3, 65)2 setningen 6 6 6 − 3, 65 = 2,35 11,75 (6 − 3, 65)2 Hypotesetesting Sum: 0
  • Sannsynlighet Varians Tor Espen Kristensen Stokastiske variable x fi (xi − ¯) x fi · (xi − ¯) x (xi − ¯)2 x Binomisk fordeling Forventningsverdi 1 2 1 − 3, 65 = −2,66 −5,3 (1 − 3, 65)2 Varians og 2 5 2 − 3, 65 = −1,65 −8,25 (2 − 3, 65)2 standardavvik 3 3 3 − 3, 65 = −0,65 −1,95 (3 − 3, 65)2 Normalfordelingen 4 3 4 − 3, 65 = 0, 35 1,05 (4 − 3, 65)2 Sentralgrense- 5 2 5 − 3, 65 = 1,35 2,7 (5 − 3, 65)2 setningen 6 6 6 − 3, 65 = 2,35 11,75 (6 − 3, 65)2 Hypotesetesting Sum: 0 n n 1 fi Var(X) = fi · (xi − ¯)2 = x (xi − ¯)2 x n n i=0 i=0 n = P(X = xi ) · (xi − ¯)2 x i=0
  • Sannsynlighet Varians Tor Espen Kristensen Varians Stokastiske variable Binomisk fordeling La X være en stokastisk variabel med m mulige verdier Forventningsverdi x1 , . . . xm og forventningsverdi µ. Variansen til X er definert Varians og som standardavvik Normalfordelingen Var(X) = (x1 − µ)2 · P(X = x1 ) + . . . + (xm − µ)2 · P(X = xm ) Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Varians Tor Espen Kristensen Varians Stokastiske variable Binomisk fordeling La X være en stokastisk variabel med m mulige verdier Forventningsverdi x1 , . . . xm og forventningsverdi µ. Variansen til X er definert Varians og som standardavvik Normalfordelingen Var(X) = (x1 − µ)2 · P(X = x1 ) + . . . + (xm − µ)2 · P(X = xm ) Sentralgrense- setningen Hypotesetesting Finn variansen til følgende sannsynlighetsfordeling: k 0 1 2 1 2 1 P(X = k) 4 4 4
  • Sannsynlighet Varians Tor Espen Kristensen Varians Stokastiske variable Binomisk fordeling La X være en stokastisk variabel med m mulige verdier Forventningsverdi x1 , . . . xm og forventningsverdi µ. Variansen til X er definert Varians og som standardavvik Normalfordelingen Var(X) = (x1 − µ)2 · P(X = x1 ) + . . . + (xm − µ)2 · P(X = xm ) Sentralgrense- setningen Hypotesetesting Finn variansen til følgende sannsynlighetsfordeling: k 0 1 2 1 2 1 P(X = k) 4 4 4 Her er µ = 1 og 1 2 1 3 Var(X) = (0 − 1)2 · + (1 − 1)2 · + (2 − 1)2 · = 2 4 4 4
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Finn variansen til eksempelet med spilleautomaten: Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og Gevinst k (kroner) 0 20 50 250 standardavvik 189 54 12 1 P(X = k) 256 256 256 256 Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Finn variansen til eksempelet med spilleautomaten: Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og Gevinst k (kroner) 0 20 50 250 standardavvik 189 54 12 1 P(X = k) 256 256 256 256 Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Her er µ = 7,54. Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Finn variansen til eksempelet med spilleautomaten: Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og Gevinst k (kroner) 0 20 50 250 standardavvik 189 54 12 1 P(X = k) 256 256 256 256 Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Her er µ = 7,54. Hypotesetesting 189 54 12 1 var(X) = (7,54)2 · + (12,46)2 · + (42,46)2 · + (242,56)2 · 256 256 256 256 = 389,1
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Finn variansen til antall enere når du kaster 10 terninger. Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Oppgave Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Finn variansen til antall enere når du kaster 10 terninger. Binomisk fordeling 1 Siden dette er et binomisk forsøk med p = 6 i hvert Forventningsverdi delforøk, så vil Varians og standardavvik 1 5 Normalfordelingen E(X) = np = 10 · = Sentralgrense- 6 3 setningen Hypotesetesting Bruker et digitalt verktøy til å regne ut variansen, for eksempel Excel: 10 i 10−i 5 2 10 1 5 Var(X) = i− 3 · i 6 6 i=0 125 25 = 1,388 . . . = = 90 18
  • Sannsynlighet Standardavvik Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Definisjon Binomisk fordeling Vi definerer standardavviket SD(X) til å være kvadratroten Forventningsverdi av variansen: Varians og SD(X) = Var(x) standardavvik Normalfordelingen Ofte blir også den greske bokstaven σ (utales «sigma» – det Sentralgrense- setningen er en liten Σ) brukt om standardavviket. Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Varians til binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Teorem Stokastiske variable Binomisk fordeling Dersom X er en binomisk fordelt stokastisk variabel med Forventningsverdi sannsynlighet p for suksess i hvert enkeltforsøk og at vi gjør Varians og gjør n slike forsøk. Da gjelder: standardavvik Normalfordelingen E(X) = np Sentralgrense- setningen Hypotesetesting SD(X) = Var(x) = np(1 − p) Kvadratroten av variansen kaller vi for standardavviket til X. Argument for dette
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Finn standardavvik og varians til X = antall enere etter ti Binomisk fordeling kast med en terning. Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Finn standardavvik og varians til X = antall enere etter ti Binomisk fordeling kast med en terning. Forventningsverdi 1 Her er n = 10 og p = 6 Vi får derfor Varians og standardavvik 1 5 25 Normalfordelingen Var(X) = np(1 − p) = 10 · · = Sentralgrense- 6 6 18 setningen Hypotesetesting Standardavviket er 25 SD(X) = Var(X) = ≈ 1,18 18 Se tidligere eksempel
  • Sannsynlighet Litt mer om fordelinger Tor Espen Kristensen Så langt har vi møtt to spesiell fordelinger. Den ene er Stokastiske variable uniform sannsynlighet (alle utfall er like sannsynlige). Binomisk fordeling Forventningsverdi Eksempel Varians og standardavvik En slik fordeling får vi om vi kaster en terning og lar X = Normalfordelingen antall øyne. Da er P(X = k) = 1 uansett verdi for k. 6 Sentralgrense- setningen Grafisk kan vi illustrere dette slik: Hypotesetesting 0,1 1 2 3 4 5 6
  • Sannsynlighet Litt mer om fordelinger Tor Espen Kristensen En anne type fordeling vi har møtt er binomisk fordeling. Stokastiske variable Denne er gitt ved Binomisk fordeling n k Forventningsverdi P(X = k) = p (1 − p)n−k Varians og k standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- Eksempel setningen Hypotesetesting På en flervalgsprøve er det 10 oppgaver med tre alternativer til hvert oppgave. Kun ett av alternativene er riktig. La X = antall rikige svar en elev får som svarer vilkårlig. Da er X binomisk fordelt med p = 1 og n = 10. 3 Grafisk kan vi illustrere denne binomiske fordelingen slik: 0,2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  • Sannsynlighet Normafordelingen Tor Espen Kristensen Noen eksempler Stokastiske variable Dersom vi måler lengden og bredden av alle blader på Binomisk fordeling trærne i en park, vil en finne få meget små blader, Forventningsverdi mange middels og få meget store blader. Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Normafordelingen Tor Espen Kristensen Noen eksempler Stokastiske variable Dersom vi måler lengden og bredden av alle blader på Binomisk fordeling trærne i en park, vil en finne få meget små blader, Forventningsverdi mange middels og få meget store blader. Varians og standardavvik Dersom det fiskes 1000 fisker i en fangst og en måler Normalfordelingen vekten av dem, vil en finne få meget små fisk, mange Sentralgrense- setningen middels store og få meget store fisker. Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Normafordelingen Tor Espen Kristensen Noen eksempler Stokastiske variable Dersom vi måler lengden og bredden av alle blader på Binomisk fordeling trærne i en park, vil en finne få meget små blader, Forventningsverdi mange middels og få meget store blader. Varians og standardavvik Dersom det fiskes 1000 fisker i en fangst og en måler Normalfordelingen vekten av dem, vil en finne få meget små fisk, mange Sentralgrense- setningen middels store og få meget store fisker. Hypotesetesting Dersom vi måler kropshøyden til 1000 personer, vil noe få være lave, mange middels høye og noen få ganske lange.
  • Sannsynlighet Normafordelingen Tor Espen Kristensen Viser her til eksempelet med fødselsvekt til 500 gutter. Stokastiske variable Binomisk fordeling X = vekten til en nyfødt gutt Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Vekt (i kg) Antall Relativ frekvens Sentralgrense- setningen [1,5, 2,0 2 0,004 Hypotesetesting [2,0, 2,5 4 0,008 [2,5, 3,0 39 0,078 [3,0, 3,5 166 0,332 [3,5, 4,0 179 0,358 [4,0, 4,5 90 0,180 [4,5, 5,0 18 0,036 [5,0, 5,5 2 0,004 Sum 500 1,000
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen 0,8 Stokastiske variable 0,7 Binomisk fordeling 0,6 Forventningsverdi 0,5 0,4 Varians og standardavvik 0,3 Normalfordelingen 0,2 0,1 Vekt i kg Sentralgrense- setningen 1 2 3 4 5 6 Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen 0,8 Stokastiske variable 0,7 Binomisk fordeling 0,6 Forventningsverdi 0,5 0,4 Varians og standardavvik 0,3 Normalfordelingen 0,2 0,1 Vekt i kg Sentralgrense- setningen 1 2 3 4 5 6 Hypotesetesting Hva er P(2,5 X < 3,5)?
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen 0,8 Stokastiske variable 0,7 Binomisk fordeling 0,6 Forventningsverdi 0,5 0,4 Varians og standardavvik 0,3 Normalfordelingen 0,2 0,1 Vekt i kg Sentralgrense- setningen 1 2 3 4 5 6 Hypotesetesting Hva er P(2,5 X < 3,5)? Arealet av de mørke søylene er 0,078 + 0,332 = 0,0410.
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen 0,7 Stokastiske variable 0,6 Binomisk fordeling 0,5 Forventningsverdi 0,4 Varians og standardavvik 0,3 Normalfordelingen 0,2 Sentralgrense- 0,1 setningen Vekt i kg Hypotesetesting 1 2 3 4 5 6 7
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen 0,7 Stokastiske variable 0,6 Binomisk fordeling 0,5 Forventningsverdi 0,4 Varians og standardavvik 0,3 Normalfordelingen 0,2 Sentralgrense- 0,1 setningen Vekt i kg Hypotesetesting 1 2 3 4 5 6 7
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen 0,7 Stokastiske variable 0,6 Binomisk fordeling 0,5 Forventningsverdi 0,4 Varians og standardavvik 0,3 Normalfordelingen 0,2 Sentralgrense- 0,1 setningen Vekt i kg Hypotesetesting 1 2 3 4 5 6 7 Funksjonen som passer inn med historgramsøylene kalles fordelingens tetthetsfunksjon. De normalfordelte fordelingene har følgende tetthetsfunksjon: 1 (x−µ)2 f (x) = √ e− 2σ2 σ 2π
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen 0,7 Stokastiske variable 0,6 Binomisk fordeling 0,5 Forventningsverdi 0,4 Varians og standardavvik 0,3 Normalfordelingen 0,2 Sentralgrense- 0,1 setningen Vekt i kg Hypotesetesting 1 2 3 4 5 6 7 3,5 P(2,5 < X < 3,5) = f (x) dx 2,5
  • Sannsynlighet Normalfordelingsfunksjonen Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Definisjon Binomisk fordeling Vi ser at en stokastisk variabel X er normalfordelt med Forventningsverdi forventningsverdi µ og standardavvik σ hvis den har Varians og tetthetsfunksjon på formen standardavvik Normalfordelingen 1 (x−µ)2 Sentralgrense- f (x) = √ e− 2σ2 setningen σ 2π Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Normalfordelingsfunksjonen Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Definisjon Binomisk fordeling Vi ser at en stokastisk variabel X er normalfordelt med Forventningsverdi forventningsverdi µ og standardavvik σ hvis den har Varians og tetthetsfunksjon på formen standardavvik Normalfordelingen 1 (x−µ)2 Sentralgrense- f (x) = √ e− 2σ2 setningen σ 2π Hypotesetesting Hva tror du følgende integral blir lik? ∞ f (x) dx −∞
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen Dersom X er en stokastisk variable med tetthetsfunksjon f , Stokastiske variable så er Binomisk fordeling Forventningsverdi b Varians og P(a < X < b) = f (x) dx standardavvik a Normalfordelingen Slike integraler kan vi bruke digitale verktøy til å beregne. Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen Dersom X er en stokastisk variable med tetthetsfunksjon f , Stokastiske variable så er Binomisk fordeling Forventningsverdi b Varians og P(a < X < b) = f (x) dx standardavvik a Normalfordelingen Slike integraler kan vi bruke digitale verktøy til å beregne. Sentralgrense- setningen Hypotesetesting Eksempel I eksempelet med vekten til nyfødte gutter, er µ = 3,62 og σ = 0,50. Bruk normalfordelingsfunksjonen og et digitalt verktøy til å beregne P(2,5 < X < 3,5).
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen Dersom X er en stokastisk variable med tetthetsfunksjon f , Stokastiske variable så er Binomisk fordeling Forventningsverdi b Varians og P(a < X < b) = f (x) dx standardavvik a Normalfordelingen Slike integraler kan vi bruke digitale verktøy til å beregne. Sentralgrense- setningen Hypotesetesting Eksempel I eksempelet med vekten til nyfødte gutter, er µ = 3,62 og σ = 0,50. Bruk normalfordelingsfunksjonen og et digitalt verktøy til å beregne P(2,5 < X < 3,5). Normalfordelingsfunksjonen blir 1 (x−µ)2 1 2 2 f (x) = √ e− 2σ2 = √ e−(x−3,62) /(2·0,50 ) σ 2π 2π · 0,50
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen Vi skal finne Stokastiske variable 3,5 1 2 2 Binomisk fordeling √ e−(x−3,62) /(2·0,50 ) dx Forventningsverdi 2,5 2π · 0,50 Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen Vi skal finne Stokastiske variable 3,5 1 2 2 Binomisk fordeling √ e−(x−3,62) /(2·0,50 ) dx Forventningsverdi 2,5 2π · 0,50 Varians og standardavvik I GeoGebra kan du skrive inn funksjonen. Husk parenteser Normalfordelingen her og der! Bruk så kommandoen integral[f, 2.5, 3.5] og få Sentralgrense- setningen 0,393 ≈ 0,4. Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med Binomisk fordeling at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa? standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med Binomisk fordeling at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa? standardavvik √ Normalfordelingen Vi har µ = 100 og σ = 225 = 15. Vi skal altså finne Sentralgrense- setningen ∞ 1 2 Hypotesetesting P(X 130) = √ e−(x−100) /(2·225) dx 130 2π · 15
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med Binomisk fordeling at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa? standardavvik √ Normalfordelingen Vi har µ = 100 og σ = 225 = 15. Vi skal altså finne Sentralgrense- setningen ∞ 1 2 Hypotesetesting P(X 130) = √ e−(x−100) /(2·225) dx 130 2π · 15 GeoGebra gir oss at dette blir 0,0228 ≈ 0,023. Merk: Du kan ikke sette inn ∞ i GeoGebra. Du må velge passe stort tall. F.eks. 1000.
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen Sannsynlighet i normalfordeling Stokastiske variable Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen Sannsynlighet i normalfordeling Stokastiske variable Binomisk fordeling Dersom vi har en stokastisk variabel X med forventning µ Forventningsverdi og standardavvik σ, så kan vi la Varians og standardavvik G(z) = P(X < µ + zσ) Normalfordelingen Sentralgrense- Det viser seg at dersom X er normalfordelt, så er denne setningen Hypotesetesting funksjonen kun er avhengig av z (og ikke σ og µ.)
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen X−µ Dersom vi nå skifter ut X med Z = σ , så vil Stokastiske variable Binomisk fordeling P(X < µ + zσ) = P(Z < z) Forventningsverdi Varians og standardavvik Den nye variabelen Z blir normalfordelt med Normalfordelingen forventningsverdi E(Z) = 0 og standardavvik SD(Z) = 1. Sentralgrense- Tetthetsfunksjonen til Z blir derfor: setningen Hypotesetesting 1 2 f (z) = √ e−z /2 2π
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen X−µ Dersom vi nå skifter ut X med Z = σ , så vil Stokastiske variable Binomisk fordeling P(X < µ + zσ) = P(Z < z) Forventningsverdi Varians og standardavvik Den nye variabelen Z blir normalfordelt med Normalfordelingen forventningsverdi E(Z) = 0 og standardavvik SD(Z) = 1. Sentralgrense- Tetthetsfunksjonen til Z blir derfor: setningen Hypotesetesting 1 2 f (z) = √ e−z /2 2π Vi har med andre ord: z P(X < µ + zσ) = P(Z < z) = f (z) dz −∞ Dette intergralet finner vi verdien av ved å bruke tabellen på side 214.
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med Binomisk fordeling at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa? standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med Binomisk fordeling at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa? standardavvik X−µ X−100 Normalfordelingen Vi lar Z = σ = 15 . Da vil Sentralgrense- setningen Hypotesetesting X > 130 ⇔ Z>2
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med Binomisk fordeling at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa? standardavvik X−µ X−100 Normalfordelingen Vi lar Z = σ = 15 . Da vil Sentralgrense- setningen Hypotesetesting X > 130 ⇔ Z>2 Det vil si P(X > 130) = P(Z > 2)
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Gjennomsnittlig IQ i befolkningen er 100 og en regner med Binomisk fordeling at variansen er lik 225. For å bli medlem i Mensa må du ha Forventningsverdi en IQ på 130 eller mer. Hva er sannsynligheten for at en Varians og tilfeldig valgt person kan bli medlem i Mensa? standardavvik X−µ X−100 Normalfordelingen Vi lar Z = σ = 15 . Da vil Sentralgrense- setningen Hypotesetesting X > 130 ⇔ Z>2 Det vil si P(X > 130) = P(Z > 2) = 1 − P(Z 2) Vi slår opp i tabellen på side 214 og finner at P(Z 2) = 0,9772. Derfor blir P(X > 130) = 1 − 0,9772 = 0,0228 ≈ 2%
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person har Binomisk fordeling en IQ mellom 90 og 110? Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person har Binomisk fordeling en IQ mellom 90 og 110? Forventningsverdi Varians og standardavvik 90 < X < 110 ⇔ −0,67 < Z < 0,67 Normalfordelingen Sentralgrense- Finner P(Z < −0,67) og P(Z < 0,67). Da er setningen Hypotesetesting P(−0,67 < Z < 0,67) = P(Z < 0,67) − P(Z < −0,67) Tabellen gir oss P(Z < −0,667) = 0,2514 P(Z < 0,667) = 0,7486 Derfor blir P(−0,67 < Z < 0,67) = 0,7486 − 0,2514 = 0,4972 ≈ 50%
  • Sannsynlighet Tor Espen Normalfordeling med digitale verktøy Kristensen Excel: Stokastiske variable Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Tor Espen Normalfordeling med digitale verktøy Kristensen GeoGebra: Stokastiske variable Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Tor Espen Normalfordeling med digitale verktøy Kristensen TI-InerActive!: Stokastiske variable Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Tor Espen Normalfordeling med digitale verktøy Kristensen wxMaxima: Stokastiske variable Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Normalfordeling Tor Espen Kristensen Eksempler på bruk av tabellen Stokastiske variable Eksempler av typen P(a < X < b). Binomisk fordeling Forventningsverdi Eksempler på bruk av GeoGebra og Excel Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Sentralgrensesetningen Tor Espen Kristensen Sentralgrensesetningen Stokastiske variable Binomisk fordeling Dersom X1 , X2 , . . . , Xn er uavhengige og identisk fordelte Forventningsverdi stokastiske variable med forventning µ og standaravvik σ, Varians og så er standardavvik X = X1 + X2 + . . . + Xn Normalfordelingen Sentralgrense- setningen tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi E(X) = nµ √ Hypotesetesting og standardavvik SD(X) = nσ. Denne tilnærmingen blir bedre dess større n er.
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen La oss se på eksempelet der vi ser på vekten av Stokastiske variable guttebabyer. La Xi være vekten til barn nr i som ble født et Binomisk fordeling år. Vi kan da anta at X1 , X2 ,. . . alle er uavhengig av hverandre Forventningsverdi med forventning µ = 3,62 og σ = 0,50. Varians og standardavvik 100 Normalfordelingen X= Xi Sentralgrense- setningen i=1 Hypotesetesting er da tilnærmet normalfordelt med forventning √ E(X) = 100 · 3,62 = 362 og standardavvik 100 · 0,50 = 5,0.
  • Sannsynlighet Tor Espen Begrunnelse for forventningen og Kristensen standardavviket Stokastiske variable La X1 , X2 , . . . , Xn være uavhengige stokastiske variable og Binomisk fordeling Forventningsverdi X = X1 + X2 + . . . + Xn . Da blir Varians og n standardavvik Normalfordelingen E(X) = xi P(X = xi ) Sentralgrense- i=1 setningen n Hypotesetesting = (xi P(X1 + X2 + . . . + Xn = xi )) i=1 n = (xi P(X1 = xi ) + . . . + xi P(Xn = xi )) i=1 n n = xi P(X1 = xi ) + . . . + xn P(Xn = xn ) i=1 i=1 = µ + µ + . . . + µ = nµ
  • Sannsynlighet Tor Espen Begrunnelse for forventningen og Kristensen standardavviket Stokastiske variable Tilsvarende får vi: Binomisk fordeling n Forventningsverdi Varians og Var(X) = (xi − µ)2 P(X = xi ) standardavvik i=1 Normalfordelingen n Sentralgrense- = (xi − µ)2 P(X1 + . . . + Xn = xi ) setningen i=1 Hypotesetesting n = (xi − µ)2 P(X1 = xi ) + . . . + (xi − µ)2 P(Xn = xi )) i=1 n n = (xi − µ)2 P(X1 = xi ) + . . . + (xn − µ)2 P(Xn = xi ) i=1 i=1 2 2 2 2 = σ + σ + . . . + σ = nσ
  • Sannsynlighet Tor Espen Begrunnelse for forventningen og Kristensen standardavviket Stokastiske variable Tilsvarende får vi: Binomisk fordeling n Forventningsverdi Varians og Var(X) = (xi − µ)2 P(X = xi ) standardavvik i=1 Normalfordelingen n Sentralgrense- = (xi − µ)2 P(X1 + . . . + Xn = xi ) setningen i=1 Hypotesetesting n = (xi − µ)2 P(X1 = xi ) + . . . + (xi − µ)2 P(Xn = xi )) i=1 n n = (xi − µ)2 P(X1 = xi ) + . . . + (xn − µ)2 P(Xn = xi ) i=1 i=1 2 2 2 2 = σ + σ + . . . + σ = nσ √ √ Dette gir oss SD(X) = Var(X) = nσ2 = nσ
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen I stede for å se på summen av variablene Stokastiske variable (X1 + X2 + . . . + Xn ), kan vi ser på gjennomsnittet: Binomisk fordeling Forventningsverdi 1 X= (X1 + X2 + . . . + Xn ) Varians og n standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen I stede for å se på summen av variablene Stokastiske variable (X1 + X2 + . . . + Xn ), kan vi ser på gjennomsnittet: Binomisk fordeling Forventningsverdi 1 X= (X1 + X2 + . . . + Xn ) Varians og n standardavvik Normalfordelingen Da sier sentralgrensesetningen at X er tilnærmet Sentralgrense- setningen normalfordelt med Hypotesetesting σ E(X) = µ og SD(X) = √ n
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen I stede for å se på summen av variablene Stokastiske variable (X1 + X2 + . . . + Xn ), kan vi ser på gjennomsnittet: Binomisk fordeling Forventningsverdi 1 X= (X1 + X2 + . . . + Xn ) Varians og n standardavvik Normalfordelingen Da sier sentralgrensesetningen at X er tilnærmet Sentralgrense- setningen normalfordelt med Hypotesetesting σ E(X) = µ og SD(X) = √ n I eksempelet med vekten til de nyfødte guttene får vi 0,5 E(X) = 3,65 og SD(X) = √ = 0,05 100
  • Sannsynlighet Tor Espen Sentralgrensesetningen og binomiske Kristensen fordelinger Stokastiske variable La X være binomisk fordelt og anta av vi gjør forsøket n Binomisk fordeling Forventningsverdi ganger. Da vil X være tilnærmet normalfordelt med Varians og standardavvik √ E(X) = np og SD(X) = nσ = np(1 − p) Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Her kan vi tenke oss at vi deler X opp i X1 , X2 , . . . , Xn , der Hypotesetesting Xi = 1 dersom vi har suksess i forsøk nr i og 0 ellers. Da har alle Xi samme forventning µ = p og standardavvik σ = 1 · p(1 − p) = p(1 − p)
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable La oss se på eksempelet med frø som spirer. Det er 70% Binomisk fordeling sannsynlighet for at et frø skal spire. Dersom vi sår 100 frø. Forventningsverdi Hva er da sannsynligheten for at høyst 60 spirer? Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable La oss se på eksempelet med frø som spirer. Det er 70% Binomisk fordeling sannsynlighet for at et frø skal spire. Dersom vi sår 100 frø. Forventningsverdi Hva er da sannsynligheten for at høyst 60 spirer? Varians og standardavvik Vi kan se på dette som 100 uavhengige delforsøk med X lik Normalfordelingen summen av antall frø som spirer i hvert delforsøk. Vi får da Sentralgrense- setningen E(X) = 100 · 0,70 = 70 Hypotesetesting √ SD(X) = 100 · 0,70 · 0,30 = 4,58 60 − 70 P(X < 60) = P(Z < ) = P(Z < −2,18) 4,58 = 0,0146
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable På en flervalgsprøve er det 10 oppgaver med 3 alternativer Binomisk fordeling på hvert spørsmål. Ole svarer helt vilkårlig. Hva er Forventningsverdi sannsynligheten for å få minst 4 rette? Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Stokastiske variable På en flervalgsprøve er det 10 oppgaver med 3 alternativer Binomisk fordeling på hvert spørsmål. Ole svarer helt vilkårlig. Hva er Forventningsverdi sannsynligheten for å få minst 4 rette? Varians og standardavvik Vi lar X være antall riktige svar Ole får. Da er X binomsik Normalfordelingen fordelt og sentralgrensesetningen sier at X er tilnærmet Sentralgrense- setningen normalfordelt. Hypotesetesting 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen 1 Vi har et binomisk forsøk med E(X) = 10 · 3 = 3,33 og Stokastiske variable 1 2 SD(X) = 10 · 3 · 3 ≈ 1,49. Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen 1 Vi har et binomisk forsøk med E(X) = 10 · 3 = 3,33 og Stokastiske variable 1 2 SD(X) = 10 · 3 · 3 ≈ 1,49. Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og 4 − 3,33 standardavvik P(X > 4) = P(Z > ) = P(Z > 0,44) Normalfordelingen 1,49 Sentralgrense- = 1 − 0,6736 ≈ 32% setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen 1 Vi har et binomisk forsøk med E(X) = 10 · 3 = 3,33 og Stokastiske variable 1 2 SD(X) = 10 · 3 · 3 ≈ 1,49. Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og 4 − 3,33 standardavvik P(X > 4) = P(Z > ) = P(Z > 0,44) Normalfordelingen 1,49 Sentralgrense- = 1 − 0,6736 ≈ 32% setningen Hypotesetesting Hva om vi hadde brukt Excel til å regne dette ut?
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen 1 Vi har et binomisk forsøk med E(X) = 10 · 3 = 3,33 og Stokastiske variable 1 2 SD(X) = 10 · 3 · 3 ≈ 1,49. Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og 4 − 3,33 standardavvik P(X > 4) = P(Z > ) = P(Z > 0,44) Normalfordelingen 1,49 Sentralgrense- = 1 − 0,6736 ≈ 32% setningen Hypotesetesting Hva om vi hadde brukt Excel til å regne dette ut? 1-BINOM.FORDELING(3;10;1/3;1) gir oss 44,07 prosent.
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Hva om vi regnet ut P(X > 3,5)? Stokastiske variable 0,25 Binomisk fordeling 0,20 0,15 Forventningsverdi 0,10 Varians og 0,05 standardavvik Normalfordelingen −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Hva om vi regnet ut P(X > 3,5)? Stokastiske variable 0,25 Binomisk fordeling 0,20 0,15 Forventningsverdi 0,10 Varians og 0,05 standardavvik Normalfordelingen −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Sentralgrense- setningen 3,5 − 3,33 Hypotesetesting P(X > 3,5) = P(Z > ) 1,49 ≈ P(Z > 0,11) = 1 − 0, 5438 = 45, 62%
  • Sannsynlighet Tor Espen Når er binomsik fordeling tilnærmet Kristensen normalfordelt? Stokastiske variable Det viser seg at en binomisk fordeling er tilnærmet Binomisk fordeling Forventningsverdi normalfordelt dersom Varians og np > 5 og standardavvik Normalfordelingen n(1 − p) > 5 Sentralgrense- En annen måte å avgjøre om X er tilnærmet normalfordelt setningen Hypotesetesting er å se på np(1 − p). Dette produktet må være minst lik 10 og p må ikke være for nær 0 eller 1.
  • Sannsynlighet Tor Espen Når er binomsik fordeling tilnærmet Kristensen normalfordelt? Stokastiske variable Det viser seg at en binomisk fordeling er tilnærmet Binomisk fordeling Forventningsverdi normalfordelt dersom Varians og np > 5 og standardavvik Normalfordelingen n(1 − p) > 5 Sentralgrense- En annen måte å avgjøre om X er tilnærmet normalfordelt setningen Hypotesetesting er å se på np(1 − p). Dette produktet må være minst lik 10 og p må ikke være for nær 0 eller 1. I eksempelet med flervalgsprøven er np = 10 · 1 = 3,33 og 3 n(1 − p) = 6,67. Vi har derfor ikke noen garanti for at normalfordelingen er en så god tilnærming.
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen 60 prosent av pasientene som tar et visst medikament blir Stokastiske variable friske. Et konkurrerende legemiddelfirma lager en ny Binomisk fordeling medisin og tester denne på 70 pasienter. Av disse blir 50 Forventningsverdi friske. Varians og standardavvik Spørsmål: Normalfordelingen Sentralgrense- Kan vi med sikkerhet si at den nye medisinen er bedre enn setningen den gamle? Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen 60 prosent av pasientene som tar et visst medikament blir Stokastiske variable friske. Et konkurrerende legemiddelfirma lager en ny Binomisk fordeling medisin og tester denne på 70 pasienter. Av disse blir 50 Forventningsverdi friske. Varians og standardavvik Spørsmål: Normalfordelingen Sentralgrense- Kan vi med sikkerhet si at den nye medisinen er bedre enn setningen den gamle? Hypotesetesting Det blir for enkelt å kun regne ut 50 ≈ 71, 4% og ut fra 70 dette slutte at den nye medisinen er bedre. Hvorfor det?
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen 60 prosent av pasientene som tar et visst medikament blir Stokastiske variable friske. Et konkurrerende legemiddelfirma lager en ny Binomisk fordeling medisin og tester denne på 70 pasienter. Av disse blir 50 Forventningsverdi friske. Varians og standardavvik Spørsmål: Normalfordelingen Sentralgrense- Kan vi med sikkerhet si at den nye medisinen er bedre enn setningen den gamle? Hypotesetesting Det blir for enkelt å kun regne ut 50 ≈ 71, 4% og ut fra 70 dette slutte at den nye medisinen er bedre. Hvorfor det? Vi snur litt på spørsmålet: Hva er sannsynligheten for minst 50 av 70 blir friske dersom den nye medisinen er like god som den gamle?
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Vi lar Stokastiske variable Binomisk fordeling X = antall pasienter av 70 som blir frisk med gamle medisin Forventningsverdi Varians og Da er X binomisk fordelt (hvorfor det?) med p = 0, 60. Vi får standardavvik Normalfordelingen P(X 50) = 1 − P(X 49) = 3, 2% Sentralgrense- setningen Hypotesetesting Vi ser at det er 3,2 prosent sannsynlig for at noe slikt skal skje! Det er ganske liten sannsynlighet!
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Vi lar Stokastiske variable Binomisk fordeling X = antall pasienter av 70 som blir frisk med gamle medisin Forventningsverdi Varians og Da er X binomisk fordelt (hvorfor det?) med p = 0, 60. Vi får standardavvik Normalfordelingen P(X 50) = 1 − P(X 49) = 3, 2% Sentralgrense- setningen Hypotesetesting Vi ser at det er 3,2 prosent sannsynlig for at noe slikt skal skje! Det er ganske liten sannsynlighet! Signifikansnivå: Signifikansnivået α er den maksimale p-verdien vi vil godta for å forkaste den gamle medisinen.
  • Sannsynlighet Signifikansnivå Tor Espen Kristensen Stokastiske variable Signifikansnivå: Binomisk fordeling Signifikansnivået α er den maksimale p-verdien vi vil godta Forventningsverdi for å forkaste den gamle medisinen. Varians og standardavvik Det er vanlig å bruke α = 5%, men i noen tilfeller opererer Normalfordelingen vi med et signifikansnivå på 1%. Sentralgrense- setningen Dersom α = 1%, så vil p-verdien i vårt eksempel være Hypotesetesting for stor og vi kan ikke si med sikkerhet at den nye medisinen er bedre enn den gamle. Dersom α = 5%, så vil p-verdien være liten nok til at vi mener det er gode grunner til å skifte medisin.
  • Sannsynlighet Hypoteser Tor Espen Kristensen Det er vanlig å formulere spørsmålene fra eksempelet som Stokastiske variable to hypoteser. Nullhypotesen er hypotesen om at medisinene Binomisk fordeling er like gode. Den alternative hypotesen er at den nye er Forventningsverdi bedre. Vi noterer dette slik: Varians og standardavvik H0 : p = p0 Normalfordelingen Sentralgrense- H1 : p > p0 setningen Hypotesetesting I vårt eksempel: H0 : p = 60% H1 : p > 60% Med ord: H0 : Den nye behandlingen er like god som den gamle H1 : Den nye er bedre
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Spireevnen til en frøtype er 70%. Produsenten av en ny Stokastiske variable frøtype påstår at denne har bedre spireevne. De tester dette Binomisk fordeling på 100 frø. Av disse spirer 80. Kan vi ut fra dette si med Forventningsverdi sikkerhet at de nye frøene faktisk er bedre? Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Spireevnen til en frøtype er 70%. Produsenten av en ny Stokastiske variable frøtype påstår at denne har bedre spireevne. De tester dette Binomisk fordeling på 100 frø. Av disse spirer 80. Kan vi ut fra dette si med Forventningsverdi sikkerhet at de nye frøene faktisk er bedre? Varians og standardavvik Normalfordelingen Med «sikkerhet» mener vi her et signifikansnivå på 5%. Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Spireevnen til en frøtype er 70%. Produsenten av en ny Stokastiske variable frøtype påstår at denne har bedre spireevne. De tester dette Binomisk fordeling på 100 frø. Av disse spirer 80. Kan vi ut fra dette si med Forventningsverdi sikkerhet at de nye frøene faktisk er bedre? Varians og standardavvik Normalfordelingen Med «sikkerhet» mener vi her et signifikansnivå på 5%. Sentralgrense- setningen Vi lar Hypotesetesting X = antall frø som spirer ut av 100 Da er X binomisk fordelt. Vi setter opp hypotesene: H0 : p = 0, 70 (nye like gode) H1 : p > 0, 70 (nye frø bedre)
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Hva er sannsynligheten for at minst 80 av 100 frø vil spire Stokastiske variable dersom vi antar at H0 er sann? Binomisk fordeling Forventningsverdi Varians og standardavvik Normalfordelingen Sentralgrense- setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Hva er sannsynligheten for at minst 80 av 100 frø vil spire Stokastiske variable dersom vi antar at H0 er sann? Binomisk fordeling Forventningsverdi P(X 80) = 1−P(X 79) = 1−0, 98353 ≈ 1, 6% < α = 5% Varians og standardavvik Vi forkaster nullhypotesen og konkluderer med at de nye Normalfordelingen Sentralgrense- frøene er bedre. setningen Hypotesetesting
  • Sannsynlighet Eksempel Tor Espen Kristensen Hva er sannsynligheten for at minst 80 av 100 frø vil spire Stokastiske variable dersom vi antar at H0 er sann? Binomisk fordeling Forventningsverdi P(X 80) = 1−P(X 79) = 1−0, 98353 ≈ 1, 6% < α = 5% Varians og standardavvik Vi forkaster nullhypotesen og konkluderer med at de nye Normalfordelingen Sentralgrense- frøene er bedre. setningen Hypotesetesting NB! Dersom p > α, så kan vi ikke si noe som helst.
  • Sannsynlighet Varians til binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Argument for at E(X) = np SD(X) = Var(x) = (np(1 − p)) for en bimomisk fordelt stokastisk variabel X Den første formelen får vi direkte av følgende: Dersom X = X1 + X2 + . . . Xn er summen av n stokastiske variable, så vil E(X) = E(X1 ) + E(X2 ) + . . . E(Xn ) I dette tilfellet kan vi la Xi være definert som antall suksesser i delforsøk i. Da vil P(Xi = 1) = p og vi får E(X) = p + p + . . . p = np
  • Sannsynlighet Varians til binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Argument for at E(X) = np Var(x) = (np(1 − p))2 for en bimomisk fordelt stokastisk variabel X For å vise den andre formelen bruker vi følgende E(X 2 ) = np2 Dette får vi siden X 2 vil være binomisk fordelt med sannsynlighet p2 . La oss nå se på variansen til X: n Var(X) = (i − µ)2 P(X = i) i=0
  • Sannsynlighet Varians til binomisk fordeling Tor Espen Kristensen Bruker 2. kvadratsetning og får n Var(X) = (i − µ)2 P(X = i) i=0 n = (i2 − µi + µ2 )P(X = i) i=0 n n n = i2 P(X = i) − 2µ iP(X = i) + µ2 P(X = i) i=0 i=0 i=0 = E(X 2 ) − 2µ · µ + µ2 · 1 = np2 − µ2 = np2 − n2 p2 = (np(1 − p))2 Korollar Vi har også vist at Var(x) = E(X 2 ) − µ2 Tilbake