1. Oppgaver i tallære
GLU 5.–10., Høgskolen i Vestfold
20. september 2010
• St˚ det en stjerne (*) ved en oppgave, s˚ finner du et vink p˚ side 4.
ar a a
• Individuell oppgave
• Oppgaver 1, 2, 3, 5, 6 og 9 samt minst ´n fra 11–20 er til innlev-
e
ering.
• Vennligst lever i Fronter innen kl. 15.00 den 8.10.2010 (fredag i uke 40).
Treningsoppgaver
1 Skriv utsagnet “56 = 8 · 7” p˚ minst fem forskjellige m˚
a ater. Bruk ord som
“divisor”, “delelig” osv.
2 Uten ˚ regne ut, si om
a
(a) 3 er faktor i 720 og 946
(b) 4 er faktor i 1334 og 1468
(c) 5 er faktor i 429 og 3445
(d) 6 er faktor i 405 og 732
(e) 9 er faktor i 1007 og 7335
(f) 11 er faktor i 45 177 og 98 560.
Begrunn svarene dine. (Det holder med ˚ henvise til strategier diskutert i
a
læreboka eller i forelesningene.)
3 Faktoriser tallene 18, 59, 136, 667 og 673 som produkt av primtall.
1

2. 4 Se p˚ “Divisjonssetningen” p˚ s. 126 i Breiteig–Venheim. Finn q og r n˚
a a ar
vi deler
16 med 5, 156 med 11, og 92 med 13.
5 Anta at a og b er heltall som begge to gir en rest p˚ 2 n˚ de deles p˚ 5.
a ar a
Bevis at 5|(b − a).*
6 Bruk Eratosthenes’ s˚ til ˚ finne ut hvor mange primtall ligger mellom
ald a
1 og 200.
7 Finn to rekker med seks p˚
afølgende sammensatte tall, ved hjelp av to
forskjellige strategier.*
8 (Forkorting) Forkort brøkene
12 34 90 15
, , og .
33 85 18 16
Forklar hvilken rolle som begrepet “største felles faktor” spiller ved forko-
rtingen.
9 (˚ analysere brøk) Sorter disse brøkene i stigende rekkefølge:
A
13 4 12 34
, , og .
18 5 25 45
Forklar hvilken rolle som begrepet “minste felles multiplum” kan spille ved
sorteringen.
10 Hvilke av disse likningene kan ha løsninger i heltallene?
(a) 14s − 21t = 25
(b) 15x + 19y = 20
(c) 16f + 24g = 32
(d) 18u − 45v = 33
Problemløsningsoppgaver
11 (Summer) (a) Velg tre p˚ afølgende naturlige tall (f. eks. 4, 5 og 6) og
legg dem sammen (4+5+6). Gjenta for tre andre p˚ afølgende naturlige
tall. Prøv noen ganger til. Ser du et system? Kan du forklare det?
2

3. (b) Hvordan g˚ det hvis vi legger istedenfor legger sammen fire p˚
ar afølgende,
naturlige tall?
(c) Forsøk ˚ generalisere til summer av fem p˚
a afølgende tall, seks p˚
afølgende
tall osv. Kan vi enkelt forutsi hva som vil skje med summer av f. eks.
tretten p˚afølgende tall? Eller hva med en sum av tjuefem p˚ afølgende
tall?
12 (Tallpyramide) Vi utforsker her en tallpyramide, i første omgang en
p˚ tre etasjer. I nederste etasje velges fritt tre naturlige tall. I etasjen over
a
skriver en s˚ inn summen av de to tallene nedenfor. Regnem˚
a aten gjentas
s˚ videre oppover i neste etasje. For eksempel, hvis de opprinnelige tallene
a
hadde vært 1, 5 og 3 da hadde vi f˚ att
14
6 8
1 5 3
Tallet som blir st˚
aende alene p˚ toppen, kalles heretter “topptallet”. Hva skal
a
til for at topptallet er et oddetall, eventuelt et partall? Utvid s˚ pyramiden
a
til ˚ best˚ av fire etasjer, dvs slik at det er de fire tallene i nederste etasje som
a a
velges fritt. Hvordan g˚ det n˚ Hva er det n˚ som avgjør om topptallet blir
ar a? a
oddetall eller partall? Hva skjer hvis pyramiden har fem etasjer, seks etasjer,
eller flere? Generaliser mest mulig.
13 (Diverse regnestykker) I disse regnestykkene st˚ hver bokstav for
ar
et siffer. Finn ut hvilket siffer hver bokstav kan være. I noen tilfelle er det
mange mulige kombinasjoner. I s˚ fall, finn s˚ mange som mulig, og prøv ˚
a a a
finne et mønster.
˚ T T E
A
2
(i) HE = SHE (ii) − T R E (iii) TI2 = ˚TTI
A
F E M
14 (Tallmønstre 1) Regn ut 22 − 12 , 32 − 22 og 42 − 32 . Hvilket mønster
ser du? Kan du finne en generell regel?
15 (Tallmønstre 2) Regn ut 3 · 1, 4 · 2, 5 · 3, ..., 11 · 9. Hvilket
mønster ser du? Kan du finne en generell regel?*
16 (Figurtall) Finn opp en rekke med figurtall. Tegn diagrammene til de
første fire leddene i rekkefølgen. Kan du finne en formel for det nte leddet i
rekkefølgen din?
3

4. 17 (Gulvfliser) Et kvadratisk gulv er belagt med kvadratiske fliser, alle
like store. Noen av flisene er hvite, noen er svarte. De svarte flisene er samlet
i et kvadratisk felt av gulvet.
(a) Først skal vi anta at det er i alt 32 hvite fliser p˚ dette gulvet. Hvor
a
mange svarte fliser er det? Og hvor mange fliser er det alts˚ totalt?
a
(b) Utforsk mest mulig hvordan det g˚ dersom det er et annet antall enn
ar
32 hvite fliser. (Det vil si bytt ut 32 med andre tall, og forsøk ˚ svare p˚
a a
de samme spørsm˚ alene som i (a).) Er det alltid mulig ˚ finne minst ´n
a e
løsning? Hender det at det fins flere løsninger? Hva er det som eventuelt
“bestemmer” hvor mange løsninger det fins i hvert tilfelle?
(c) Hvordan g˚ det hvis vi insisterer p˚ at det svarte felte skal ligge sym-
ar a
metrisk midt p˚ gulvet?
a
18 (Mer om delelighet) Finn en m˚ ˚ avgjøre om et heltall er delelig
ate a
p˚ 8 p˚ Bruk testen din til ˚ finne ut om 448, 9920 og 28 784 er delelige
a a.* a
med 8.
19 Vi skriver Tn for det nte trekantttallet.
(a) Beregn 8 · T1 + 1, 8 · T2 + 1, 8 · T3 + 1 og 8 · T4 + 1. Hva legger du merke
til?
(b) Formuler en hypotese om tallet 8Tn + 1.
(c) Prøv ˚ bevise hypotesen din.
a
20 (Mersenneprimtall) Et primtall som har formen
(en potense av 2) − 1
kalles for mersenneprimtall. Med andre ord, et mersennprimtall er et primtall
som kan skrives 2n − 1 for et naturlig tall n.
(a) Finn tre Mersenneprimtall.
(b) Finn et eksempel som viser at ikke alle tall som kan skrives 2n − 1 for
et n, faktisk er primtall.
(c) N˚ fastsl˚ vi at n ≥ 2. Bevis at n m˚ være oddetall hvis 2n − 1 skal
a ar a
være primtall. Med andre ord, bevis at 2n − 1 er et sammensatt tall
dersom n er partall.*
4

5. Vink til utvalgte oppgaver
• Oppg. 5: Bruk “Divisjonssetning” p˚ s. 126 i Breiteig–Venheim til ˚ skrive
a a
a og b p˚ en annen m˚
a ate.
• Oppg. 7: Bruk strategiet i beviset til setningen om rekkefølger av sammen-
satte tall.
• Oppg. 15: Legg 1 til hvert tall som du har regnet ut. Hvilke tall f˚ vi?
ar
Konjugatsetningen kan være nyttig.
• Oppg. 18: Tallet 1000 er delelig med 8. Dermed er ogs˚ 1000 + 8, 1000 +
a
16, . . . delelige med ˚
atte.
• Oppg. 20: Hvis n er partall, da har vi n = 2m for et heltall m. Men
22m − 1 = (2m )2 − 12 . Dette kan faktoriseres ved hjelp av konjugatsetningen.
5