Vurdering og matematikk

Vurdering
Matematikk

Tor Espen Kristensen

19. Februar 2009

Hvem? Når? Hvorfor? Hva? Hvordan? Diagnostisk undervisning

Vurdering
Noen grunnleggende spørsmål

Hvem skal vurdere?
Hva skal vurderes?
Når skal det vurderes?
Hvorfor skal det vurderes?
Hvordan vurdere?
Hvordan skal vurderingen formidles?

Tor Espen Kristensen | Vurdering 2


Hvem skal vurderes?



Formativ og summativ vurdering

Formativ vurdering:
Formativ vurdering er vurdering som har som mål å forme eller
danne i fremtid. Vi ønsker å avdekke elevens læringspotensial og
ﬁnne ut hvordan vi best kan tilrettelegge undervisningen

Summativ vurdering:
Den summative vurderingen er karakterisert ved at den forsøker å
bestemme resultatet etter endt underviningsforløp.



Vurdering
Formål med vurderingen

Formål med vurdering er å fremme læring og utvikling hos elever
og lærlinger. Vurdering skal dokumentere kompetanse underveis
og til slutt i opplæringsløpet og sikre en nasjonal standard i
opplæringen, slik at alle elever og lærlinger får et godt og
likeverdig opplæringstilbud.



Vurdering
Formål med vurderingen

Formål med vurdering er å fremme læring og utvikling hos elever
og lærlinger. Vurdering skal dokumentere kompetanse underveis
og til slutt i opplæringsløpet og sikre en nasjonal standard i
opplæringen, slik at alle elever og lærlinger får et godt og
likeverdig opplæringstilbud.

Sluttvurdering har til hensikt å dokumentere elevers og lærlingers
kompetanse etter endt opplæring på gitte trinn som grunnlag for
sortering og sertiﬁsering.



Vurdering

L97:
Elevens «helhetlig kompetanse» skulle vurderes.
Hovedmål: fremme læring og utvikling



Vurdering

L97:
Elevens «helhetlig kompetanse» skulle vurderes.
Hovedmål: fremme læring og utvikling
LK06:
Elever og lærlinger skal vurderes i forhold til
kompetansemålene i læreplaner for fag. Grunnleggende
ferdigheter er integrert i kompetansemålene. Vurderingen
skal uttrykkes positivt som ulik grad av oppnådd
kompetanse.
vurdering underveis
sluttvurdering
orden og atferd



Backwash effekten

Daviv Clarke:
Hva som skal evalueres bestemmer hva som skal undervises i. Det
som blir verdsatt i evalueringen fungerer som mål i
undervisningen.



Backwash effekten

Daviv Clarke:
Hva som skal evalueres bestemmer hva som skal undervises i. Det
som blir verdsatt i evalueringen fungerer som mål i
undervisningen.

Barnes et al:
Endringer i testformer kan fremme reformer i
matematikkundervisningen



Backwash effekten

I 1995 ble i Danmark en
Færdighed i elementær regning
ferdighetsprøve i
matematikk avskaffet.
110
I 1997 ble den igjen
100
innført.
90
addition
% rigtige

80
subtraktion
multiplikation
70
division
60

50

40
1985 1988 1991 1994 1997 2000



Vurdering




Vurdering

Ole Björkqvist:
Undervisning och utvärdering bör uppfattas på ett integrerat sätt,
bland annat så att planering av undervisning automatiskt
innefattar planering av utvärdering, och omvänt.



Vurdering

Ole Björkqvist:
Undervisning och utvärdering bör uppfattas på ett integrerat sätt,
bland annat så att planering av undervisning automatiskt
innefattar planering av utvärdering, och omvänt.

Flere ulike relasjoner mellom undervisning og vurdering:
lære fra vurdering
lære under vurdering
vurdering før undervisning
vurdering mens en underviser
vurdering etter undervisning
Undervise mens man vurderer.



Den didaktiske relasjonsmodell
Bjørndal og Lieberg

e forutsetnin
ktisk ger
ida
D

Eva
lue
Mål

ring
Læ
ri n

gs

d
ol
ak h
inn
t iv
Fag
i te t
er

KJENNETEGN I MATEMATIKK 7. trinn

24
Lav Høy
måloppnåelse måloppnåelse Lav Høy
måloppnåelse måloppnåelse

Med utgangs-
Med
punkt i enkle tekster
utgangspunkt i
og praktiske situasjoner
tekster og praktiske
løse noen enkle oppgaver og Gjengi og ana-
situasjoner utforske pro-
arbeide med enkle problem- lysere egenskaper
blemstillinger, stille opp Gjengi egen-
stillinger med veiledning ved sentrale begreper
matematiske modeller skaper ved noen og utnytte sammenhen-
og løse oppgaver begreper ger mellom begreper

Velge og
bruke et bredt
spekter av hjelpemidler
i ulike situasjoner
Utføre addi-
Bruke noen sjon, subtraksjon og
Utføre addi-
utleverte hjelpe- multiplikasjon av brøker
sjon, subtraksjon og
midler med og uten digitale
multiplikasjon av brøker
hjelpemidler med vei-
med sikkerhet med og
ledning
Vurdere
uten digitale hjelpe-
rimelighet av svar i
midler
tallregning og praktiske
situasjoner

Vurdere
rimelighet av svar
i enkle situasjoner
Vise
selvstendighet
og velge egne meto- Gjennomføre
der i arbeidet med faget, beregninger med
Gjennomføre
og kan gjøre antakelser sikkerhet i metodevalg
enkle, rutinemessige
og stille spørsmål og utøvelse, også uten
beregninger med i hoved-
digitale hjelpemidler
sak én metode, også uten
digitale hjelpemidler og bruke
standardiserte metoder
med veiledning

Problemløsning

Begreper og ferdigheter
Kommunikasjon

Gjøre rede
for egne reson-
Beskrive
nement og forklare
egne og andres
andres
resonnement knyttet til
enkle problemstillinger
med veiledning Bruke og
veksle mellom
uformelle uttrykksfor-
mer, representasjoner og
matematiske symboler

Bruke
FInne informa-
uformelle uttrykks-
sjon, behandle og
former, enkle repre-
presentere data ved
sentasjoner og noen
hjelp av digitale hjelpe-
matematiske symboler
midler
Finne infor-
masjon og presen-
tere data fra enkle
situasjoner ved hjelp av
digitale hjelpemidler

Høy
måloppnåelse

Lav
måloppnåelse

KJENNETEGN I MATEMATIKK 7. trinn

25

Karakteren 2 (lav) Karakteren 3 4 (middels) Karakteren 5 6 (høy)
ƒ Kan regne med ƒ Kan regne med ƒ Kan i høy grad regne
Tall og
algebra enkle algebraiske algebraiske uttrykk, med, vurdere og
(1P) uttrykk, tierpotenser, løse bearbeide
tierpotenser, løse praktiske sammensatte uttrykk
enkle praktiske problemstillinger og og problemstillinger
problemstillinger og kommentere grafer og og drøfte grafer.
ƒ Kan løse komplekse
lese av enkle kan i noen grad vurdere
grafiske og bearbeide prosent og
framstillinger. resultatene forholdsoppgaver.
ƒ Kan løse enkle ƒ Kan løse ulike ƒ Kan regne med
problemstillinger problemstillinger mht proporsjonale og
mht prosent og prosent og forhold. omvendt
ƒ Kan regne med
forhold. proporsjonale
ƒ Kan gjenkjenne proporsjonale størrelser. størrelser.
proporsjonale
størrelser.


Matematisk kompetanse
Mogens Niss og Tomas Højgaard Jensen

Å spørre og svare i, med og om Å omgås språk og redskaper i
matematikk matematikk
Representasjonskompetanse
Tankegangskompetanse
Kompetanse i symbolbruk og
Problembehandlings-
formalisme
kompetanse
Kommunikasjonskompetanse
Modelleringskompetanse
Hjelpemiddelkompetanse
Resonnementskompetanse



Matematisk kompetanse
Mogens Niss og Tomas Højgaard Jensen

Å spørre og svare i, med og om Å omgås språk og redskaper i
matematikk matematikk
Representasjonskompetanse
Tankegangskompetanse
Kompetanse i symbolbruk og
Problembehandlings-
formalisme
kompetanse
Kommunikasjonskompetanse
Modelleringskompetanse
Hjelpemiddelkompetanse
Resonnementskompetanse

Grunnleggende ferdigheter:
å kunne uttrykke seg muntlig, lese, uttrykke seg skriftlig, regne og å
kunne bruke digitale verktøy.



Vurdering og kompetanser

I KOM-prosjektet legges det vekt på at en ikke kun skal fokusere
på summativ vurdering, men i mist like så høy grad på formativ
vurdering.

I KOM-prosjektet gjenkjennes tre dimensjoner i en persons
besittelse av en kompetanse:
dekningsgrad
aksjonsradius
teknisk nivå



Progresjon

us
di
sra
Teknisk nivå

on
sj
Ak

Dekningsgrad



Progresjon

us = «Senere»
di
sra
Teknisk nivå

on = «Tidligere»
sj
Ak

Dekningsgrad



Hva skal vurderes?
– Hvor eleven er i forhold til kompetansemåla i faget

Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
faktorisere polynomer ved hjelp av nullpunkter og
polynomdivisjon, og bruke det til å løse likninger med
polynomer og rasjonale funksjoner
modellere praktiske problemer ved hjelp av lineære
likningssystemer med ﬂere ukjente, og løse dem med og
uten digitale hjelpemidler



Hva skal vurderes?
– Hvor eleven er i forhold til kompetansemåla i faget

Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
faktorisere polynomer ved hjelp av nullpunkter og
polynomdivisjon, og bruke det til å løse likninger med
polynomer og rasjonale funksjoner
modellere praktiske problemer ved hjelp av lineære
likningssystemer med ﬂere ukjente, og løse dem med og
uten digitale hjelpemidler

Men hva kjennetegner høy, middels og lav måloppnåelse?



Et forsøk på å lage vurderingskriterier

Lav måloppnåelse:
Eleven kan ﬁnne nullpunkt til kvadratiske likninger, utføre polynomdivisjon
og manipulere enkle algebraiske uttrykk.
Eleven kan løse enkle likningssystem med to ukjente
Middels måloppnåelse:
Eleven kan faktorisere polynomer ved hjelp av nullpunkt og
polynomdivisjon
Eleven kan omforme algebraiske mer avanserte uttrykk
Eleven viser god kompetanse i ressonering, kan forklare en tankegang og
bruke det matematiske symbolspråket i argumenteringen.
Eleven kan løse lineære likningssytem med to eller tre ukjente både med
og uten digitale hjelpemidler, samt gi en geometrisk tolkning av
løsnigsmengden i tilfellet med to ukjente
Eleven kan skrive opp likningere som svarer til opplysninger gitt i et
praktisk problem



Et forsøk på å lage vurderingskriterier

Høy måloppnåelse:
Eleven kan i tillegg løse sammensatte matematiske problem
og argumentere for løsningen.
For å få en sekser kreves også et visst presisjonsnivå i
argumenteringen. Det bør også være innslag av kreativitet.



Vurdering og undervisning

I engelsktalende land: assessment.
Handler om mer en selve vurderingen; også oppgavetyper,
hvordan en stiller spørsmål, hvilke mål vi har for
undervisningen etc.

Tradisjonelle spørsmål Modiﬁserte spørsmål

Finn 35% av 80 Emilie ønsket å kjøpe et skjerf
som var på tilbud. Før kostet
det 80 m,kr, men nå var det
satt ned 35%. Hun har 50 kro-
ner. Vil hun få råd til skjerfet?
Hvorfor? Hvorfor ikke?





Multipliser ut (x + 7)2 Ole multipliserte ut (x + 7)2 på
en feil måte og ﬁkk x 2 + 49.
Forklar hvor han gjorde feil.





Multipliser ut (x + 7)2 Ole multipliserte ut (x + 7)2 på
en feil måte og ﬁkk x 2 + 49.
Forklar hvor han gjorde feil.

Forklar hvorfor x = 7 er en løs-
Løs likningen 2x − 4 = x + 3 ning av likningen 2x−4 = x+3.



Undersøkelseslandskap

Skovsmose har innført begrepet undersøkelseslandskap om
oppgaver som innebærer at elevene må være kreative
problemløsere.
Opp mot undersøkelseslandskapet setter han
oppgaveparadigmet, som Botten oversetter med tradisjonelle
matematikkoppgaver. Dette er oppgaver som har entydige
svar, i motsetning til oppgaver i undersøkelseslandskapet,
som er mer åpne.



Oppgavetyper

Tradisjonelle
matematikkoppgaver
med et entydig fasitsvar
«Ren» matematikk, (1) (2)
uten noen praktisk
anvendelse
«Semi»-anvendelser (3) (4)
av matematikken
Ekte, reelle (5) (6)
anvendelser av
matematikk



Eksempel
Mahavira (800-tallet):

En tredel av en elefantflokk og tre ganger kvadratroten av resten
av flokken ruslet i en fjellskråning, mens en hannelefant og tre
hunnelefanter dukket seg i en dam i nærheten. Hvor mange
elefanter var det i alt i flokken?



Eksempel

En natt i vårmåneden var en nydelig ung kvinne elskovslykkelig med sin
ektemann på gulvet i en herskapelig villa som lå skinnende hvit i
månelyset i en lysthage med trær som lutet under vekten av frukt og
overdådige blomsterranker, mens lufta fyltes av søte lyder fra papegøyer,
gjøker og bier som var beruset av honning fra blomstene i hagen.
Så hendte det i elskovskampen mellom det unge paret at kvinnens
halskjede ble revet i stykker og perlene spratt omkring. En tredel av
perlene trillet til tjenestejenta. En seksdel landet i den myke senga.
Halvparten av denne brøkdelen, halvparten av dette igjen, og videre på
samme måte i alt seks ganger, samlet seg i hauger på gulvet. Det viste
seg at det var igjen 1161 perler på halskjedet.
Om du er ﬂink til å regne med brøker, så si meg hvor mange perler det i
alt hadde vært på kjedet som prydet den unge kvinnens hals!




Læreren har funnet et fenomen som kan fungere som et
undersøkelseslandskap.

Lærer: Hva tror dere vil skje hvis. . .
Elevene ser nøyere på fenomenet og begynner å undersøke –
Elev: Men kan det være slik at. . .
Elev: Ja, men hva skjer hvis. . .
Elev: Og hvis. . .
Lærer: Hvorfor det, tro?
Elev: Ja, hvorfor det. Kan det være slik at . . .
Elev: Men her stemmer ikke akkurat det, kanskje det må være. . .




Elevene beﬁnner seg i et undersøkelseslandskap.
inviterer og frister til å utforske.
Dette fordrer åpne oppgaver.




Elevene beﬁnner seg i et undersøkelseslandskap.
inviterer og frister til å utforske.
Dette fordrer åpne oppgaver.
Eksempel:
Plasser tall fra 1 til 9 i de tre sirklene slik at summen blir 9:

=9



Undersøkeseslandskap

Ingvill Merete Stedøy-Johansen forteller om Fru Flink ( kap 1 i
«Matematikk i skolen».)
Fru Flink introduserte elevene til Kaprekars konstant: 6174.




Gi meg et tall!




Gi meg et tall! 6953.




Gi meg et tall! 6953.

«Skriv tallet i en annen rekkefølge, slik at tallet blir 9653
størst mulig.»
«Bytt om rekkefølgen på sifrene, slik at tallet blir så 3569
lite som mulig.»
«Trekk det minste fra det største.» 6084
«Gjør dette om igjen og om igjen.» 8640
8640 − 0468 = 8172
8721 − 1278 = 7443
7443 − 3447 = 3996
...
7641 − 1467 = 6174



Kaprekars konstant

«Da gjør Matt en spennende oppdagelse: ‘Hei, hvis jeg starter
med tallet 9753, kommer jeg til Kaprekars konstant med en gang!
Jeg lurer på om det skjer med ﬂere tall?’»



Kaprekars konstant

«Da gjør Matt en spennende oppdagelse: ‘Hei, hvis jeg starter
med tallet 9753, kommer jeg til Kaprekars konstant med en gang!
Jeg lurer på om det skjer med ﬂere tall?’»

9973 8862 7751 6640
9863 8752 7641 6530
9753 8642 7531 6420
9643 8532 7421 6310
9533 8422 7311 6200



Karakteristiske trekk ved ulike oppgaver
Fru Flinks

«Den gode historien»
1

Halvåpne og åpne oppgaver
2

Oppgaver som kan forstås og løses på ulike nivåer, avhengig
3
av den enkelte elevs forutsetninger
Jakten på mønster og system
4

Oppgaver der det er en fordel å arbeide sammen med andre
5

Oppgaver egnet for diskusjon i full klasse
6

Oppgaver som gir konkrete resultater
7

Konkurranser, spill og pusleoppgaver
8

Aktiviteter der elevene lager oppgaver til hverandre.
9



Rike problem
Karakteriseres ved:

Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visse
1
løsningsstrategier



Rike problem
Karakteriseres ved:

1
løsningsstrategier
Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til å
2
arbeide med det



Rike problem
Karakteriseres ved:

1
løsningsstrategier
2
arbeide med det
Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser og
3
ta tid



Rike problem
Karakteriseres ved:

1
løsningsstrategier
2
arbeide med det
3
ta tid
Problemet skal kunne løses på ﬂere måter, med ulike strategier og
4
representasjoner



Rike problem
Karakteriseres ved:

1
løsningsstrategier
2
arbeide med det
3
ta tid
4
representasjoner
Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon med
5
utgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier,
representasjoner og matematiske ideer



Rike problem
Karakteriseres ved:

1
løsningsstrategier
2
arbeide med det
3
ta tid
4
representasjoner
5
Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike
6
matematiske områder.



Rike problem
Karakteriseres ved:

1
løsningsstrategier
2
arbeide med det
3
ta tid
4
representasjoner
5
Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulike
6
matematiske områder.
Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nye
7
interessante problem.



Rike problem



Oppgave

På figuren under er det tegnet inn 8 brikker.
Hovedbrikken
Brikkene kan flyttes på rutenettet, en
plass av gangen. Plassen du flytter en
brikke til må være ledig. Det er ikke
lov å flytte diagonalt.
Hovedbrikken starter alltid lengst
oppe til høyre.
Hva er det minste antall bevegelser
som skal til for å flytte hovedbrikken
til det nederste venstre hjørnet?
Målplass
Kan du generalisere resultatet? Vurder denne oppgaven i forhold til
Kunnskapsløftet. Hvilke mål fra læreplanen kan dere knytte denne
oppgaven til. Hvilke matematisk kompetanse jobbes med i denne
oppgaven.


Oppgave
Varianter

Hva med følgende ﬁgur? (Antall rader er 2 og antall kolonner
varierer)
Hovedbrikken

Målplass



Å tenke matematisk. . .
I PISA ble det brukt tre kompetanseklasser:

Klasse 1: Reproduksjon, deﬁnisjoner og beregninger. Klassen dekker elevers
bruk av faktakunnskaper, gjenkjenning av matematiske objekter og egenskaper
og utføring av rutinemessige prosedyrer og standardalgoritmer





Klasse 2: Se forbindelser og kunne integrere informasjon som grunnlag for
problemløsning. Elevene skal kunne se sammenhenger mellom ulike områder
av matematikken, kunne bruke ulike representasjoner, se sammenhenger
mellom deﬁnisjoner, bevis, eksempler og påstander. Elevene må kunne bruke et
formelt språk. Her er problemene ofte gitt i en sammenheng.





Klasse 2: Se forbindelser og kunne integrere informasjon som grunnlag for
problemløsning. Elevene skal kunne se sammenhenger mellom ulike områder
av matematikken, kunne bruke ulike representasjoner, se sammenhenger
mellom definisjoner, bevis, eksempler og påstander. Elevene må kunne bruke et
formelt språk. Her er problemene ofte gitt i en sammenheng.

Klasse 3: «Matematisering», matematisk tenking og generalisering. Dette er
den mest omfattende klassen, der elevene stilles overfor kravet om å kunne
«matematisere» situasjoner, det vil si komme fram til matematikken som finnes i
ulike situasjoner, og å bruke det matematiske verktøyet til å løse problemer, for
så å tolke svaret inn i den opprinnelige situasjonen. Slike prosesser inneholder
kritisk tenking, analyse og refleksjon.



Prosgresjon

Asse ssm e nt
ng
Pyra m id
Level III
ki anaylsis
in
Th

Over time,
of

assessment
ls

Level II
ve

questions
connections
Le

should quot;fillquot;
the pyramid.
Level I
reproduction

difficult
ra
eb
alg
y
etr
om
ge
Do er d
ma mb se
nu
ins
Po
&
ic s y
of
ns
easy
tist ilit
Ma
sta ob ab t io
th pr s
em
ue
at Q
ic s

F 1



Nivåer
Eksempel: Blooms taksonomier

Faktakunnskap: gjengi, angi, liste opp, gjenkjenne
1

Forståelse: forklare, formulere, løse, betegne
2

Anvendelse: bruke kunnskap i nye situasjoner, forutsi,
3
beregne, fortelle med egne ord
Analyse: ﬁnne likheter og forskjeller, utlede, skille ut,
4
klassiﬁsere
Syntese: velge ut og sette sammen kunnskap fra ulike kilder,
5
utlede, planlegge, oppsummere, kombinere, generalisere
Vurdere: bedømme, diskutere, begrunne, forsvare, kritisere
6



Diagnostisk undervisning

Sett ring rundt de regnestykkene som passer til oppgaven.

For 7 lodd må du betale 35 kroner. Hvor mye koster 1 lodd?
35 · 7 35 : 7 7 : 35 7 · 35 35 − 7 7 + 35

Prosentvis fordeling av svarene:

4. klasse 6. klasse 8. klasse
35 : 7 27 59 75
7 : 35 5 4 2
35 − 7 9 2 0
Både 35 : 7 og 7 : 35 25 24 10
Både 35 · 7 og 7 · 3 57 6 9



Misoppfatninger

Deﬁnisjon
Vi kaller ufullstendige tanker knyttet til et begrep for
misoppfatninger.

Det er viktig å forstå forskjellen på de feil elevene gjør, og de
misoppfatninger de har. En feil kan komme mer eller mindre
tilfeldig, fordi en ikke er oppmerksom nok eller ikke leser
oppgaven godt nok osv. Misoppfatninger er ikke tilfeldige. Bak
dem ligger det en bestemt tenkning – en idé – som en bruker
nokså konsekvent.



Misoppfatninger

L97, Arbeidsmåter i faget
Elevene kan ha uferdige begreper, gjør av og til feil og viser
misoppfatninger. I en tillitsfull og byggende atmosfære skal dette
brukes som utgangspunkt for videre læring og dypere innsikt.



Hva skyldes misoppfatnigner?

Ofte: Overgeneralisering av tidligere kunnskaper. Det holder ikke å
generalisere ut fra begrensede erfaringer:

«Når vi ganger, blir svaret større og når vi deler blir svaret mindre»




Ofte: Overgeneralisering av tidligere kunnskaper. Det holder ikke å
generalisere ut fra begrensede erfaringer:

«Når vi ganger, blir svaret større og når vi deler blir svaret mindre»

Eksempel
6 · 4 = 6 + 6 + 6 + 6. Multiplikasjon oppfattes her som en enklere
måte å skrive en gjentatt addisjon med like store addender. Et
delvis begrep om multiplikasjon. Hvordan kan dette hjelpe eleven
til å løse 0,57 · 0,39?




Eksempel
Elever som er vant til delingsdivisjon, kan mangle begrep når de
skal løse en oppgave som 12 : 0,4.

Eksempel
Barn møter desimaltall i forbindelse med penger eller målinger før
emnet blir aktuelt i undervisningen. Sentrale erfaringer blir da:
Det er et helt antall kroner på den ene siden av komma og
et helt antall ører på den andre siden av komma.
5,7 + 6,5 = 11,12



Hva skyldes misoppfatninger?

Andre årsaker kan være:
Elevene skiller ikke mellom begrep og algoritme.

Å kunne multiplikasjon blir å kunne algoritmen eller
multiplikasjonstabellen.



Misoppfatninger

Oppgave
Hvilket tall er størst av disse tre:
0,274 0,6 0,85

Mange elever vil her svare 0,274. Hvorfor?



Misoppfatninger

Oppgave
0,274 0,6 0,85

De ser at 274 er større enn 85 og 6. Misoppfatningen bygger på at
et desimaltall består av et par av tall, det ene foran og det andre
bak komma. Hva kan årsaken være?



Misoppfatninger

Oppgave
0,274 0,6 0,85

De ser at 274 er større enn 85 og 6. Misoppfatningen bygger på at
et desimaltall består av et par av tall, det ene foran og det andre
bak komma. Hva kan årsaken være?
Barn møter desimaltall i forbindelse med blant annet:
penger (35 kroner og 50 øre)
målinger (2 meter og 70 centimeter)
før emnet blir aktuelt i undervisningen. Sentrale erfaringer blir da:
Det er et helt antall kroner på den ene siden av komma og et helt
antall øre på den andre siden av komma.


Misoppfatninger
Typiske misoppfatninger, innen tall og tallregning:

Det lengste tallet har alltid størst verdi
En kan ikke dele et lite tall med et stort
Multiplikasjon gjør alltid tallet større
En kan bare dividere med hele tall
3 : 6 og 6 : 3 gir samme svar
Divisjon gjør alltid svaret mindre

Kjøttdeig koster 69,50 kroner pr kg, hvor mye koster 0,86 kg?



Misoppfatninger
Typiske misoppfatninger, innen tall og tallregning:

Det lengste tallet har alltid størst verdi
En kan ikke dele et lite tall med et stort
Multiplikasjon gjør alltid tallet større
En kan bare dividere med hele tall
3 : 6 og 6 : 3 gir samme svar
Divisjon gjør alltid svaret mindre

Kjøttdeig koster 69,50 kroner pr kg, hvor mye koster 0,86 kg?

«Siden svaret skal bli mindre enn 69,50 kroner, må vi dele»




Eksempel
Per subtraherer slik:

78 65 243
-29 -53 -156
= 51 = 12 = 113

Hvordan tenker Per?
Hvordan kan vi hjelpe Per?




Eksempel
Per subtraherer slik:

78 65 243
-29 -53 -156
= 51 = 12 = 113

Hvordan tenker Per?
Hvordan kan vi hjelpe Per? Skape en kognitiv konﬂikt.

123
- 46
= 123



Diagnostiske prøver

Oppgaver kan komme før en undervisningssekvens. Det kan
gjerne være med noen oppgavetyper som elevene ikke har jobbet
med før.
Hovedmål:
Oppdage hvilke tanker elevene har om ulike begreper.
Bli kjent med de vanskene som er knyttet til disse begrepene.
Hjelpe læreren å planlegge undervisningen.


Vanlige oppgaver Diagnostiske oppgaver


0,4 · 0,3 0,4 · 0,2


0,4 · 0,3 0,4 · 0,2

Hvilke tall er størst av Hvilket tall er størst av
0,45 0,68 0,31 0,247 0,6 0,85


0,4 · 0,3 0,4 · 0,2

0,45 0,68 0,31 0,247 0,6 0,85

Legg 0,1 til 4,5 Legg 0,1 til 4,563


0,4 · 0,3 0,4 · 0,2

0,45 0,68 0,31 0,247 0,6 0,85


Lag en regnefortelling til Lag en regnefortelling til
18 : 3 = 6 13 : 3,25 = 4


0,4 · 0,3 0,4 · 0,2

0,45 0,68 0,31 0,247 0,6 0,85


Lag en regnefortelling til Lag en regnefortelling til
18 : 3 = 6 13 : 3,25 = 4

Les av og skriv riktig tall i ruta: Les av og skriv riktig tall i ruta:

6 7 6 7


Hvordan formidler vi vurderingen?
Å rette med rødt. (Fra Geir Bottens bok: Meningsfylt matematikk



Å rette med rødt. (Fra Geir Bottens bok: Meningsfylt matematikk



Å rette med grønt



Godbitark


Vurdering og matematikk

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Tor Espen Kristensen

More from Tor Espen Kristensen (14)

Vurdering og matematikk