1. INDEX
01 소거법
02 행렬을 이용한 소거법
03 가우스-조던 소거법으로 역 행렬 구하기
04 LU 분해법
05 행렬식 (미완성)
06 여인수 정리와 크래머 법칙 ( 준비중)
2. 선행 성분(Leading Entry, 행에서 처음으로 나타나는
0이 아닌 성분)의 계수가 1이 되도록 역 계단 만들기
• 개념 정리
•
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑝
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑞
⇒
𝑥 + 𝑏′
𝑦 = 𝑝′
𝑦 = 𝑞′
• 처음 선행 성분, 즉 x의 계수가 1이 되도록 만든다.
• 역 계단을 만들어야 하기 때문에 아래의 x는 없애고, y의 계수를
1이 되도록 만든다.
• y의 값을 알 수 있게 되고, 그를 통해 x의 값을 구할 수 있게 된다.
(이를 후진대입이라고 한다.)
• 예제
•
3𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥 + 𝑦 = 8
⇒
𝑥 + 𝑦 = 8 … 𝑎
3𝑥 + 𝑦 = 4 … 𝑏
교환
• 𝑏에 𝑏 − 3𝑎를 해주면 ⇒
𝑥 + 𝑦 = 8
−2𝑦 = −20
• ∴ 𝑦 = 10, 𝑥 = −2 라는 값을 얻을 수 있다.
소거법의 패턴(Pattern)소거법
3. 기본 행 연산이란?
• 개념 정리
• 각 행에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 하는 연산
• (기본 행 연산)x(피 연산자) 의 형식으로 곱해야 함을 주의!
•
𝑘 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
∶ 1 행에 𝑘배를 한다.
•
1 0 𝑘 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
∶ 1 행에 3 행을 𝑘배한 것을 더한다.
•
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
∶ 1 행과 3 행을 바꾼다.
• 아이디어
• 기본 행 연산을 통해 선형방정식에서 썼던 소거법을 사용해보자!
• 선형 방정식을 행렬로 바꾸고, 기본 행 연산을 통해 방정식을 풀
어보자.
기본 행 연산을 통한 계산행렬을 이용한 소거법
6. 가우스 소거법이란?
• 과정
•
1 1 0 −1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
𝑥
𝑦
𝑧
𝑤
=
2
3
0
−0.8
• w = -0.8, z = 0.8, y = 3, x = 1.8임을 알 수 있다. (후진대입)
가우스 소거법행렬을 이용한 소거법
7. 가우스-조던 소거법이란?
• 개념 정리
•
0 1 1 1
1 1 0 −1
1 2 3 2
3 2 −2 5
𝑥
𝑦
𝑧
𝑤
=
3
2
5
−5
를
•
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
𝑥
𝑦
𝑧
𝑤
= 𝐸 𝑛 … 𝐸2 𝐸1
3
2
5
−5
꼴로 바꾸는 방법.
• (앞 장 까지에서 설명한 가우스 소거법에서 기본 행 연산만 더 하
면 얻을 수 있는 결과이므로 소거법 자체에 대한 설명은 하지 않
는다. 역 행렬을 구하는 방법에 대해 자세히 다룰 것.)
• 아이디어
• 위의 식에서 결국 𝐸 𝑛 … 𝐸2 𝐸1 는
0 1 1 1
1 1 0 −1
1 2 3 2
3 2 −2 5
의 역 행렬이다!
• 즉, 기본 행 연산으로 역 행렬을 구할 수 있다는 이야기!
• 다음 장에서 계속.
가우스-조던 소거법가우스-조던 소거법으로 역 행렬 구하기
8. 역 행렬 구하기
• 아이디어
• 역 행렬의 정의부터 살펴보자.
• 행렬 A에 대하여, 𝐴𝐵=𝐼, 𝐵𝐴=𝐼 (𝐼는 단위행렬)를 만족하는 𝐵에 대
하여, 𝐵를 행렬 𝐴의 역 행렬 이라고 하고, 𝐴−1
로 표현한다.
• 우리는 𝐴𝐴−1
= 𝐼의 꼴에서
A에 기본 행 연산(𝑬 𝟏, 𝑬 𝟐, … , 𝑬 𝒏)을 사용하여
𝑬 𝒏 … 𝑬 𝟐 𝑬 𝟏 𝑨 = 𝑰
의 꼴을 만들고,
𝑬 𝒏 … 𝑬 𝟐 𝑬 𝟏 𝑨𝑨−𝟏
= 𝑰𝑨−𝟏
= 𝑬 𝒏 … 𝑬 𝟐 𝑬 𝟏
를 유도하여 역 행렬을 구할 수 있는 것이다.
(기본 행 연산은 (기본 행 연산)x(피 연산자) 형식이기 때문에 역
순으로 곱해진다는 것에 유의)
• 이제 이 아이디어를 통해 실제로 역 행렬을 구해보자.
• A =
1 1 1
1 2 2
1 2 3
과정을 보기 전에 풀어보고 보자.
• 다음 장에 계속.
역 행렬 구하기가우스-조던 소거법으로 역 행렬 구하기
10. 역 행렬 구하기
• 이제 이 아이디어를 통해 실제로 역 행렬을 구해보자.
• 여기서 사용하는 방법이 가우스-조던 소거법이다.
•
1 −1 0
0 1 0
0 0 1
1 1 0
0 1 0
0 0 1
𝐴−1
=
1 −1 0
0 1 0
0 0 1
1 1 −1
−1 2 −1
0 −1 1
• 1행에 2행을 뺀다.
•
1 0 0
0 1 0
0 0 1
𝐴−1
=
1 1 −1
−1 2 −1
0 −1 1
• 따라서 𝐴−1
=
1 1 −1
−1 2 −1
0 −1 1
역 행렬 구하기가우스-조던 소거법으로 역 행렬 구하기
11. • 개념 정리
• LU 분해법은 한 행렬을 A =
1 2 2
2 2 4
0 2 −1
= LU꼴을 만족하도록
1 0 0
2 −2 0
0 2 −1
(L 부분)처럼 대각선 위쪽이 0으로 된 것과
1 2 2
0 1 0
0 0 1
(U 부분)처럼 대각선 아래쪽이 0으로 된 것으로
분해하는 방식을 말한다.
• U는 앞에서 배운 소거법으로 구할 수 있지만, L은 힘들다.
• 𝐸 𝑛 … 𝐸2 𝐸1 𝐴 = U로 나타낼 수 있고, A = 𝐸 𝑛 … 𝐸2 𝐸1
−1
𝑈로 나타낼
수 있다. 이때, A = LU 이므로 L = 𝐸 𝑛 … 𝐸2 𝐸1
−1
임을 알 수 있다.
• 즉, U를 구할 때까지 사용한 기본 행 연산의 역 행렬이 L이다.
• 아이디어
• LU 분해법으로 된 방정식에서 U를 먼저 계산하고 L을 계산하면
방정식의 해를 구할 수 있겠구나!
• 다음 장에서 계속.
LU 분해법으로 선형 방정식의 해 구하기
LU 분해법으로 선형 방정식의 해 구하기LU 분해법
12. • 과정
•
1 2 2
2 2 4
0 2 −1
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
1
를 LU 분해법을 적용하여 표현하면,
•
1 0 0
2 −2 0
0 2 −1
1 2 2
0 1 0
0 0 1
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
1
으로 나타낼 수 있다.
•
1 0 0
2 −2 0
0 2 −1
1 2 2
0 1 0
0 0 1
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
2
1
에서
1 2 2
0 1 0
0 0 1
𝑥
𝑦
𝑧
를 먼저 계산
한다.
•
1 0 0
2 −2 0
0 2 −1
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧
𝑦
𝑧
=
1
2
1
이 되고, 계산한 부분을 각각
𝑥′
, 𝑦′
, 𝑧′
으로 치환한다. ⇒ 𝑥′
= 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧, 𝑦′
= 𝑦, 𝑧′
= 𝑧
•
1 0 0
2 −2 0
0 2 −1
𝑥′
𝑦′
𝑧′
=
1
2
1
다시 계산한다.
• 다음 장에서 계속.
LU 분해법으로 선형 방정식의 해 구하기
LU 분해법으로 선형 방정식의 해 구하기LU 분해법
13. LU 분해법으로 선형 방정식의 해 구하기
• 과정
•
𝑥′
2𝑥′
− 2𝑦′
2𝑦′
− 𝑧′
=
1
2
1
방정식을 푼다. (전진대입)
• 𝑥′
= 1,
2𝑥′
− 2𝑦′
= 2 − 2𝑦′
= 2, 𝑦′
= 0
2𝑦′
− 𝑧′
= −𝑧′
= 1, 𝑧′
= −1
• 𝑥′
= 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧, 𝑦′
= 𝑦, 𝑧′
= 𝑧에 후진대입해서 푼다.
• 𝑧′
= 𝑧 = −1, 𝑧 = −1
𝑦′
= 𝑦 = 0, 𝑦 = 0
• 𝑥′
= 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 𝑥 + 0 − 2 = 𝑥 − 2 = 1, 𝑥 = 3
• 따라서 𝑥 = 3, 𝑦 = 0, 𝑧 = −1의 해를 구할 수 있다.
LU 분해법으로 선형 방정식의 해 구하기LU 분해법
14. 행렬식(determinant)이란?
• 개념 정리
• 정방행렬(n*n)을 숫자에 대응하는 함수, 선형 행 함수의 일종이다.
• A =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
=
𝑝1
𝑝2
𝑝3
• 위의 행렬에 대한 행렬식을 Det(A), Det(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3) 혹은 |A|로 표
현한다.
• 선형 행 함수의 성질
• 첨가성
• Det(𝑝1, 𝑝2 + 𝑝 𝑘, 𝑝3) = Det(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3) + Det(𝑝1, 𝑝 𝑘, 𝑝3)
• 균질성
• Det(𝑝1, 𝑘𝑝2, 𝑝3) = kDet(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3)
• 한 행이라도 0이면(k가 0이면) 행렬식의 값은 0이다.
• 행렬식의 성질
• 두 행이 같으면, 행렬식의 값은 0이다.
• 두 행을 바꾸면 행렬식의 부호가 바뀐다.
• A =
𝑝1
𝑝2
𝑝3
, A′
=
𝑝2
𝑝1
𝑝3
, Det(A) = Det(A’) 다음장에 계속.
행렬식의 정의행렬식
15. 행렬식(determinant)이란?
• 행렬식의 성질
• Det(I) = 1 (I는 단위 행렬)
• Det(AB) = Det(A)Det(B)
• Det(𝐴−1
) =
1
𝐷𝑒𝑡 𝐴
• Det(A) = Det(𝐴 𝑇
)
• 귀납법으로 증명 가능.
• 이 성질을 통해 행렬식의 정의 및 성질이 열 방향에서도 그
대로 적용됨을 알 수 있음.
행렬식의 정의행렬식
16. 역 행렬과 행렬식과의 관계
• 역 행렬과 행렬식과의 관계
• ‘역 행렬이 존재 한다’면 ‘행렬식이 0이 아니다’
• ‘행렬식이 0이 아니다’면 ‘역 행렬이 존재 한다’
• 즉, 두 명제는 필요충분조건임.
• 역 행렬이 존재하지 않을 경우(즉, 행렬식이 0일 경우)
• 소거법을 진행하면 어떤 행이 0이 될 경우
• 행렬식의 성질에 따라 행렬식이 0이 된다.
• 두 행이 같을 경우
• 행렬식의 성질에 따라 행렬식이 0이 된다.
역 행렬과 행렬식과의 관계행렬식
