Introduction to Stochastic calculus and proof of Black-Scholes equation.

1. Random Walk,
Brownian Motion,
and
Black-Scholes Equation

2. Idea
현재 주가를 넣으면 파생상품의 가격이 나오는
함수 F가 없을까?
→ 우선 현재 주가인 𝑆𝑡가 어떤 함수인지를 알아야
함수 F를 구할 수 있음.
→주가는 어떻게 움직이는가?
𝐹(𝑆𝑡, 𝑡)
현재주가(𝑆𝑡), 시점(𝑡)
파생상품의
가격

3. Random Walk
𝑋𝑡
𝑋𝑡+1
𝑋𝑡 + 𝛿
𝑋𝑡 − 𝛿
1/2
1/2
𝑋𝑡+1 = 𝑋𝑡 + 𝜀𝑡, {𝜀𝑡} ~𝑖. 𝑖. 𝑑 (0, 𝜎2
)
𝑋𝑡+1 = 𝜇 + 𝑋𝑡 + 𝜀𝑡, {𝜀𝑡} ~𝑖. 𝑖. 𝑑 (0, 𝜎2
)
추세가 있는 경우
값이
“확률적(stochastic)”으로
정해짐

4. Brownian Motion(Wiener Process)
랜덤워크에서 시간간격(∆𝑡)이 무한히 작아지는 경우가 브라운 운동
𝑊𝑡
𝑊𝑡+1
𝑊𝑡 + 𝛿
𝑊𝑡 − 𝛿
1/2
1/2
∆𝑡 → 0

5. Stochastic Differential Equation
브라운 모형을 활용하여 주가를 표현
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡
추세 변동성
න
0
𝑡
𝑑𝑆 𝑢 = 𝜇 න
0
𝑡
𝑆 𝑢 𝑑𝑢 + 𝜎 න
0
𝑡
𝑆 𝑢 𝑑𝑊𝑢
𝑆𝑡 − 𝑆0 = 𝜇 න
0
𝑡
𝑆 𝑢 𝑑𝑢 + 𝜎 න
0
𝑡
𝑆 𝑢 𝑑𝑊𝑢
𝑊𝑢는 적분이 안 됨

6. Ito Calculus
Simple process
Brownian motion

7. Ito-Doblin lemma
이토-더블린 정리 : 확률미적분에서의 연쇄법칙
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇 𝑆𝑡, 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑆𝑡, 𝑡 𝑑𝑊𝑡 라고 할 때
𝐹(𝑆𝑡, 𝑡)를 이변수 테일러 전개 하면
𝑑𝐹 =
𝜕𝐹
𝜕𝑆𝑡
𝑑𝑆𝑡 +
𝜕𝐹
𝜕𝑡
𝑑𝑡 +
1
2
𝜕2 𝐹
𝜕𝑆𝑡
2 𝑑𝑆𝑡
2 +
𝜕2 𝐹
𝜕𝑆𝑡 𝜕𝑡
𝑑𝑆𝑡 𝑑𝑡 +
1
2
𝜕2 𝐹
𝜕𝑡2
𝑑𝑡 2 + ⋯
이고
𝑑𝑊𝑡
2
= 𝑑𝑡, 𝑑𝑊𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡𝑑𝑊𝑡 = 0, 𝑑𝑡 2
= 0
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇 𝑆𝑡, 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑆𝑡, 𝑡 𝑑𝑊𝑡, 𝑑𝑆𝑡
2 = 𝜎 𝑆𝑡, 𝑡 2 𝑑𝑡, 𝑑𝑆𝑡 𝑑𝑡 = 0
이므로
𝑑𝐹 =
𝜕𝐹
𝜕𝑆𝑡
𝜇 𝑆𝑡, 𝑡 𝑑𝑡 +
𝜕𝐹
𝜕𝑆𝑡
𝜎 𝑆𝑡, 𝑡 𝑑𝑊𝑡 +
𝜕𝐹
𝜕𝑡
𝑑𝑡 +
1
2
𝜕2 𝐹
𝜕𝑆𝑡
2 𝜎 𝑆𝑡, 𝑡 2 𝑑𝑡

8. F. Black(1973) 증명 논리
어떤 파생상품 𝐹 𝑆𝑡, 𝑡 와 원자산 𝑆𝑡로 구성된 포트폴리오 𝑃𝑡를 다음과 같이 정의
𝑃𝑡 = 𝜃1,𝑡 𝐹 𝑆𝑡, 𝑡 + 𝜃2,𝑡 𝑆𝑡, 𝜃1,𝑡:구입한 파생상품 개수, 𝜃2,𝑡:구입한 원자산 개수
𝑑𝑃𝑡 = 𝜃1,𝑡 𝑑𝐹 𝑆𝑡, 𝑡 + 𝜃2,𝑡 𝑑𝑆𝑡
𝑑𝑆𝑡 = 𝜇 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑡 𝑑𝑊𝑡, 𝑑𝐹 𝑆𝑡, 𝑡 = Ftdt + FSdSt +
1
2
FSSσ 𝑡
2
𝑑𝑡 이므로,
𝑑𝑃𝑡 = 𝜃1,𝑡 𝐹𝑡 𝑑𝑡 + 𝐹𝑆 𝑑𝑆𝑡 +
1
2
FSSσ 𝑡
2
𝑑𝑡 + 𝜃2,𝑡 𝑑𝑆𝑡
= 𝜃1,𝑡 𝐹𝑡 +
1
2
𝐹𝑆𝑆 𝜎𝑡
2
𝑑𝑡 + 𝜃1,𝑡 𝐹𝑆 + 𝜃2,𝑡 𝑑𝑆𝑡
𝜃1,𝑡와 𝜃2,𝑡는 임의로 정할 수 있는 값이므로, 𝜃1,𝑡 = 1, 𝜃2,𝑡 = −𝐹𝑆로 설정하고 위 식에 대입하면
𝑑𝑃𝑡 = 𝐹𝑡 +
1
2
𝐹𝑆𝑆 𝜎𝑡
2
𝑑𝑡

9. F. Black(1973) 증명 논리
𝑑𝑃𝑡 = 𝐹𝑡 +
1
2
𝐹𝑆𝑆 𝜎𝑡
2
𝑑𝑡 는 우변에 확률항 𝑑𝑊𝑡가 없음 -> 무위험으로 얻을 수 있는 수익
따라서 무위험이자율이 상수 r이라 했을 때, dt시간동안 얻을 수 있는 수익은 𝑟𝑃𝑡 𝑑𝑡가 됨.
그러므로 𝑑𝑃𝑡 = 𝑟𝑃𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹𝑡 +
1
2
𝐹𝑆𝑆 𝜎𝑡
2
𝑑𝑡이고, 𝑃𝑡 = F St, t − FsSt이므로 이를 대입해서 정리하면
𝑟𝐹 = 𝑟𝐹𝑆 𝑆𝑡 + 𝐹𝑡 +
1
2
𝐹𝑆𝑆 𝜎𝑡
2
이를 ‘블랙숄즈방정식’이라 하고, 콜옵션 혹은 풋옵션 조건에 맞추어 위 편미분방정식을 풀게 되면
𝑐 𝑆𝑡, 𝑡 = 𝑆𝑡 𝑁 𝑑1 − 𝐾𝑒−𝑟 𝑇−𝑡 𝑁 𝑑2
p 𝑆𝑡, 𝑡 = −𝑆𝑡 𝑁 −𝑑1 + 𝐾𝑒−𝑟 𝑇−𝑡
𝑁 −𝑑2
𝑑1 = 𝑑2 + 𝜎 𝑇 − 𝑡
𝑑2 =
1
𝜎 𝑇 − 𝑡
ln
𝑆𝑡
𝐾
+ 𝑟 −
𝜎2
2
𝑇 − 𝑡 ∎

10. 동치마팅게일측도
무위험이자율로 할인된 원자산은 일반적으로 위험프리미엄을 포함. 따라서 다음 식이 성립
𝐸 𝑃 𝑒−𝑟𝑡 𝑆𝑡 𝑆 𝑢 > 𝑒−𝑟𝑢 𝑆 𝑢 𝑢 < 𝑡
동치마팅게일측도는 위 식을 등호로 바꿔주는 새로운 측도 Q를 의미
𝐸 𝑄 𝑒−𝑟𝑡 𝑆𝑡 𝑆 𝑢 = 𝑒−𝑟𝑢 𝑆 𝑢 𝑢 < 𝑡
확률과정 {𝑦𝑡}가 추세모수가 𝜇이고 확산모수가 𝜎인 일반화 브라운 운동일 때,
기하 브라운운동 {𝑆𝑡 = 𝑆0 𝑒 𝑦𝑡|𝑡 ≥ 0}은 다음 식을 만족
𝐸 𝑆𝑡 𝑆 𝑢 = 𝑆 𝑢 exp (𝜇 +
1
2
𝜎2) 𝑡 − 𝑢 , 0 ≤ 𝑢 < 𝑡

11. 동치마팅게일측도
확률과정 𝑦𝑡 의 분포가 실제 확률측도 P에서 𝑁 𝜇𝑡, 𝜎2 𝑡 를 따를 때, 새로운 확률측도 Q에서의 확률분포를
𝑁 𝑣𝑡, 𝜎2 𝑡 라 하자. 마찬가지로
𝐸 𝑄 𝑆𝑡 𝑆 𝑢 = 𝑆 𝑢 exp (𝑣 +
1
2
𝜎2) 𝑡 − 𝑢 , 0 ≤ 𝑢 < 𝑡 이고, 양 변에 𝑒−𝑟𝑡, 𝑒−𝑟𝑢를 곱하고 나누면
𝐸 𝑄 𝑒−𝑟𝑡 𝑆𝑡 𝑆 𝑢 = 𝑒−𝑟𝑡 𝑒 𝑟𝑢 𝑒−𝑟𝑢 𝑆 𝑢 exp (𝑣 +
1
2
𝜎2) 𝑡 − 𝑢
𝐸 𝑄
𝑒−𝑟𝑡
𝑆𝑡 𝑆 𝑢 = 𝑒−𝑟[𝑡−𝑢]
𝑒−𝑟𝑢
𝑆 𝑢 exp (𝑣 +
1
2
𝜎2
) 𝑡 − 𝑢
𝐸 𝑄
𝑒−𝑟𝑡
𝑆𝑡 𝑆 𝑢 = 𝑒−𝑟𝑢
𝑆 𝑢 exp (−𝑟 + 𝑣 +
1
2
𝜎2
) 𝑡 − 𝑢 가 된다.
𝑣 = 𝑟 −
1
2
𝜎2라 두면
𝐸 𝑄 𝑒−𝑟𝑡 𝑆𝑡 𝑆 𝑢 = 𝑒−𝑟𝑢 𝑆 𝑢(𝑢 < 𝑡)가 된다. 따라서 확률과정 {𝑒−𝑟𝑡 𝑆𝑡}는 확률측도 Q 하에서 마팅게일이다.
이는 곧 확률미분방정식의 추세모수를 무위험이자율로 변환하는 일이 된다.
𝑑𝑆𝑡 = 𝑟𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝑊𝑡
𝑄

12. 동치마팅게일측도를 이용한 블랙숄즈 공식 증명
만약 시장이 무재정조건을 만족하면, 할인된 콜옵션과정 {𝑒−𝑟𝑡
𝑐𝑡}는 동치마팅게일측도 Q에서 마팅게일성을 갖는다.
𝑐𝑡 = 𝐸 𝑄(𝑒−𝑟 𝑇−𝑡 𝐶 𝑇)가 성립한다.
만기시점 T에서 경계조건은 𝐶 𝑇 = 𝑆 𝑇 − 𝐾 +이다.
따라서 𝑐𝑡 = 𝐸 𝑄 𝑒−𝑟𝜏 𝑆 𝑇 − 𝐾 + = 𝐸 𝑄(𝑒−𝑟𝜏 𝑆𝑡 𝑒 𝑦 𝜏 − 𝐾 +)이다. (𝜏 = 𝑇 − 𝑡, 𝑦𝜏 = ln
𝑆 𝑇
𝑆𝑡
)
𝑦𝜏는 동치마팅게일측도 𝑄에서 𝑁( 𝑟 −
1
2
𝜎2 𝜏, 𝜎2 𝜏)을 따르므로
𝑑𝑄 =
1
2𝜋𝜎2 𝜏
exp −
1
2𝜎2 𝜏
𝑦𝜏 − 𝑟 −
1
2
𝜎2 𝜏
2
𝑑𝑦𝜏가 된다.
따라서, 𝑐𝑡 = 𝐸 𝑄 𝑒−𝑟𝜏 𝑆𝑡 𝑒 𝑦 𝜏 − 𝐾 + = 𝑒−𝑟𝜏
‫׬‬−∞
∞
max 𝑆𝑡e 𝑦 𝜏, 0 𝑑𝑄 이다 .
Max항을 제거하기 위해 적분구간을 변화시키면,
𝑆𝑡 𝑒−𝑦 𝜏 ≥ 𝐾 ⇔ 𝑦𝜏 ≥ ln
𝐾
𝑠 𝑡
이므로, 다음 식이 성립하게 된다.

13. 동치마팅게일측도를 이용한 블랙숄즈 공식 증명
𝑐𝑡 = 𝐼1 − 𝐼2
𝐼1 = 𝑒−𝑟𝜏
න
ln(
𝐾
𝑆𝑡
)
∞
𝑆𝑡 𝑒 𝑦 𝜏 ∙
1
2𝜋𝜎2 𝜏
exp −
1
2𝜎2 𝜏
𝑦𝜏 − 𝑟 −
1
2
𝜎2
𝜏
2
𝑑𝑦𝜏
𝐼2 = 𝑒−𝑟𝜏 න
ln(
𝐾
𝑆𝑡
)
∞
𝐾 ∙
1
2𝜋𝜎2 𝜏
exp −
1
2𝜎2 𝜏
𝑦𝜏 − 𝑟 −
1
2
𝜎2 𝜏
2
𝑑𝑦𝜏
𝑧 =
1
𝜎 𝜏
𝑦𝜏 − 𝑟 −
1
2
𝜎2 𝜏 라고 정의하면, 𝑑𝑧 =
1
𝜎 𝜏
𝑑𝑦𝜏 이므로 다음 식이 성립한다.
𝐼2 = 𝐾𝑒−𝑟𝜏
‫׬‬−𝑑2
∞ 1
2𝜋𝜎2 𝜏
exp−
1
2
𝑧2
𝜎 𝜏𝑑𝑧 = 𝐾𝑒−𝑟𝜏
‫׬‬−𝑑2
∞ 1
2𝜋
exp−
1
2
𝑧2
𝑑𝑧 = 𝐾𝑒−𝑟𝜏
𝑁(𝑑2)
𝑑2 =
1
𝜎 𝜏
ln
𝑆𝑡
𝐾
+ 𝑟 −
1
2
𝜎2
𝜏

14. 동치마팅게일측도를 이용한 블랙숄즈 공식 증명
마찬가지로, 𝜎 𝜏 𝑧 + 𝑟 −
1
2
𝜎2
𝜏 = 𝑦𝜏 이므로
𝐼1 = 𝑒−𝑟𝜏
𝑆𝑡 න
−𝑑2
∞
1
2𝜋
exp 𝑦𝜏 −
1
2
𝑧2
𝑑𝑧 = 𝑒−𝑟𝜏
𝑆𝑡 න
−𝑑2
∞
1
2𝜋
exp 𝜎 𝜏𝑧 + 𝑟 −
1
2
𝜎2
𝜏 −
1
2
𝑧2
𝑑𝑧
= 𝑆𝑡 𝑒−𝑟𝜏exp( 𝑟 −
1
2
𝜎2 𝜏) ‫׬‬−𝑑2
∞ 1
2𝜋
𝑒−
1
2
𝑧2−2𝜎 𝜏𝑧
𝑑𝑧
= 𝑆𝑡 ‫׬‬−𝑑2
∞ 1
2𝜋
𝑒−
1
2
𝑧2−2𝜎 𝜏𝑧+𝜎2 𝜏
𝑑𝑧 = 𝑆𝑡 ‫׬‬−𝑑2
∞ 1
2𝜋
𝑒−
1
2
𝑧−𝜎 𝜏 2
𝑑𝑧 가 된다. 𝜔 = 𝑧 − 𝜎 𝜏라하면, 𝑑𝜔 = 𝑑𝑧 이고
𝐼1 = 𝑆𝑡 ‫׬‬−𝑑1
∞ 1
2𝜋
𝑒−
1
2
𝜔2
𝑑𝜔 = 𝑆𝑡 𝑁 𝑑1 , −𝑑1 = −𝑑2 + 𝜎 𝜏 가 된다.
따라서,
𝑐𝑡 = 𝑆𝑡 𝑁 𝑑1 − 𝐾𝑒−𝑟𝜏
𝑁 𝑑2 ∎

15. 부록
열전도방정식을 활용한 블랙숄즈 편미분방정식 풀이

16. 블랙숄즈방정식 증명 1. PDE (F. Black, 1973)
1) 위너과정으로 표현한 주가의 변화율
2) 확률과정 f(S(t), t)에 대한 이토정리

17. 무위험 수익률 = r이라 가정,
포트폴리오 P는 델타헷징한 포트폴리오이므로 수익률이 무위험수익률과 같아야함
이제 9)식을 다음과 같은 경계조건에서 풀어내면 해가 도출됨.

23. 참고자료
최병선, 금융공학 IV, 2015
Steven E. Shreve, Stochastic Calculus for Finance II Continuous-Time Models, 2004
“블랙 숄즈 옵션공식 유도 (2) - 편미분방정식 풀기 (PDE 1/3)”, 아마추어 퀀트 (Amateur Quant), 2012. 3. 14.수정, 2019. 9. 24. 접속,
https://m.blog.naver.com/chunjein/100153505183
“블랙 숄즈 옵션공식 유도 (3) - 편미분방정식 풀기 (PDE 2/3)”, 아마추어 퀀트 (Amateur Quant), 2012. 3. 17.수정, 2019. 9. 24. 접속,
https://m.blog.naver.com/chunjein/100153724434
“블랙 숄즈 옵션공식 유도 (4) - 편미분방정식 풀기 (PDE 3/3)”, 아마추어 퀀트 (Amateur Quant), 2012. 3. 19.수정, 2019. 9. 24. 접속,
https://m.blog.naver.com/chunjein/100153896491