SlideShare a Scribd company logo
1 of 30
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ – Παράρτημα Κέρκυρας

Από το

Θεώρημα των
Ροπών
στο

Πυθαγόρειο
Θεώρημα

Ομιλητής: Αναστάσιος Ιωσήφ
Μηχανολόγος – Εκπαιδευτικός
Μ

d

F

uu r
r
M = F×d
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
AM×BB΄ ΑΜ×ΔΔ΄ ΑΜ×ΓΓ΄
+
=
2
2
2

ΒΒ΄+ ΔΔ΄= ΓΓ΄
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
AM×BB΄ ΑΜ×ΔΔ΄ ΑΜ×ΓΓ΄
+
=
2
2
2

ΒΒ΄+ ΔΔ΄= ΓΓ΄
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
AM×BB΄ ΑΜ×ΔΔ΄ ΑΜ×ΓΓ΄
+
=
2
2
2

ΒΒ΄+ ΔΔ΄= ΓΓ΄
ΒΒ΄+ ΔΔ΄= 2ΟΟ΄
Όμως 2ΟΟ΄= ΓΓ΄
Επομένως
ΒΒ΄+ΔΔ΄= ΓΓ΄ ο.ε.δ
o Λύση άσκησης  Ικανοποίηση – επιβράβευση.
o Αναζήτηση εφαρμογής της άσκησης.
o Όλες οι επιστήμες χρησιμοποιούν τις γνώσεις
των Μαθηματικών (Φυσική, Μηχανολογία,
Αρχιτεκτονική κ.λπ.).
o Κάθε στοιχείο του περιβάλλοντος έχει τη δική
του αντιστοιχία με μια εξίσωση, ένα θεώρημα ή
μια γεωμετρική κατασκευή και αντιστρόφως.
Κι εκείνο το φυτό αντίκρισα που διαιρεί άνισα,
πλην σωστά το χώρο,
είναι η αόρατη Γεωμετρία που διέπει στο βάθος
ολάκερη την οικουμένη.
Οδυσσέας Ελύτης
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)

1
1
1
AB×MM1+ AΔ×MM2 = AΓ×MM3
2
2
2
Μ2

Μ3
Μ1

AB×MM1+AΔ×MM2 =AΓ×MM3
AB×MM1+AΔ×MM2 =AΓ×MM3

Μ

AB×MM1+

0

=AΓ×MM3

AB×MM1=AΓ×MM3

Μ3
Μ1
AB×MM1+AΔ×MM2 =AΓ×MM3

Μ

AB×MM1+

0

=AΓ×MM3

AB×MM1=AΓ×MM3

Μ3
Μ1

(AB)×(MM1)=(AΓ)×(MM3 )
2
2
(ΑΒΜ) = (ΑΓΜ)
AB×MM1 - AΔ×MM2 =AΓ×MM3
Μ2

AB×MM1=AΔ×MM2 +AΓ×MM3

Μ

(AB)×(MM1) (AΔ)×(MM2 ) (AΓ)×(MM3 )
=
+
2
2
2
(ΜΑΒ) = (ΜΑΔ) + (ΜΑΓ)
Μ3

Μ1
AB×MM1 - AΔ×MM2 =AΓ×MM3
Μ2

AB×MM1=AΔ×MM2 +AΓ×MM3

Μ

(AB)×(MM1) (AΔ)×(MM2 ) (AΓ)×(MM3 )
=
+
2
2
2
(ΜΑΒ) = (ΜΑΔ) + (ΜΑΓ)
Μ3

Μ1
(ΜΑΒ) = (ΜΑΔ) + (ΜΑΓ)
Μ
Γ΄

(ΜΑ) × (ΒΒ΄) = (ΜΑ) × [(ΒΕ΄)+(Ε΄Β΄)]
(ΜΑ) × (ΒΒ΄) = (ΜΑ) × (ΒΕ΄)+(ΜΑ) × (Ε΄Β΄)

Α΄ Β΄

Όμως ΒΕ΄=ΔΔ΄ και Ε΄Β΄=ΓΓ΄

Δ΄

(ΜΑ) × (ΒΒ΄) = (ΜΑ) × (ΔΔ΄)+(ΜΑ) × (ΓΓ΄)

Ε΄

Ε

(ΜΑ)×(ΒΒ΄) (ΜΑ)×(ΔΔ΄) (ΜΑ)×(ΓΓ΄)
=
+
2
2
2

(ΜΑΒ) = (ΜΑΓ) + (ΜΑΔ) ο.ε.δ.
-(ΜΑΒ) + (ΜΑΔ) = (ΜΑΓ)
Μ

(ΜΑΔ) = (ΜΑΓ) + (ΜΑΒ)
Δ

Γ

+

Α

Β
Δ

Γ

+

Α

Β
Μ

Δ΄

Γ

+

Δ

+

Β΄

Α

Β
ΜΑ = ΑΓ

Μ

και ΜΑ⊥ΑΓ

Δ΄

Γ

+

Δ

+

Β΄

Α

Β
ΜΑ = ΑΓ

Μ

και ΜΑ⊥ΑΓ

Δ΄

(ΜΑΓ) = (ΜΑΒ) + (ΜΑΔ)
Γ

+

Δ

+

Β΄

Α

Β
ΜΑ = ΑΓ

Μ

και ΜΑ⊥ΑΓ

Δ΄

(ΜΑΓ) = (ΜΑΒ) + (ΜΑΔ)
ΑΓ×ΑΜ ΑΔ×ΜΔ΄ ΑΒ×ΜΒ΄
=
+
Γ
2
2
2

+

Δ

ΑΓ × ΑΜ=ΑΔ × ΜΔ΄+ΑΒ × ΜΒ΄
+
Όμως

Β΄

Α

Β

ΑΜ=ΑΓ, ΑΔ=ΜΔ΄ και
ΑΒ=ΜΒ΄, επομένως

ΑΓ 2 = ΑΔ 2 + ΑΒ2
1
1
ΒΜ×ΑΑ΄= ΑΒ×ΜΜ΄
2
2

Μ΄

Μ

Όμως

ΓΒ×ΒΑ΄΄=ΑΒ2

Α
Γ

Α΄

Α΄΄
Β

ΑΑ΄= ΒΑ΄΄, ΒΜ=ΓΒ
και ΜΜ΄= ΑΒ
Δ

1
1
ΒΜ×ΑΑ΄= ΑΒ×ΜΜ΄
2
2
Όμως

Μ
Ε

ΓΒ×ΒΑ΄΄=ΑΒ2 (1)
1
1
ΓΔ×ΑΕ= ΑΓ × ΔΔ΄
2
2

Α
Δ΄

Α΄

Α΄΄
Β

ΑΑ΄= ΒΑ΄΄, ΒΜ=ΓΒ
και ΜΜ΄= ΑΒ

Γ

Όμως

ΑΕ=Α΄΄Γ , ΓΔ=ΓΒ
και ΔΔ΄=ΑΓ

ΓΒ×Α΄΄Γ=ΑΓ 2 (2)
(1),(2) ⇒ ΓΒ(ΒΑ΄΄+Α΄΄Γ)=ΑΒ2 +ΑΓ2

ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2
Ευχαριστώ για
την προσοχή σας

More Related Content

Viewers also liked

παρουσιαση των ερευνητικων εργασιων (Project)
παρουσιαση των ερευνητικων εργασιων (Project)παρουσιαση των ερευνητικων εργασιων (Project)
παρουσιαση των ερευνητικων εργασιων (Project)Σωκράτης Ρωμανίδης
 

Viewers also liked (19)

Ena deigma problimaton_sta_arithmitika_tou_diofantou
Ena deigma problimaton_sta_arithmitika_tou_diofantouEna deigma problimaton_sta_arithmitika_tou_diofantou
Ena deigma problimaton_sta_arithmitika_tou_diofantou
 
To ragismeno doxeio
To ragismeno doxeioTo ragismeno doxeio
To ragismeno doxeio
 
Unexpected ineq
Unexpected ineqUnexpected ineq
Unexpected ineq
 
Lecture1 14-12-2011
Lecture1 14-12-2011Lecture1 14-12-2011
Lecture1 14-12-2011
 
Ta mathimatika stin_kathimerini_zwi
Ta mathimatika stin_kathimerini_zwiTa mathimatika stin_kathimerini_zwi
Ta mathimatika stin_kathimerini_zwi
 
Pdf (1)
Pdf (1)Pdf (1)
Pdf (1)
 
2008cretepub
2008cretepub2008cretepub
2008cretepub
 
Visibility
VisibilityVisibility
Visibility
 
μιγαδικοί
μιγαδικοίμιγαδικοί
μιγαδικοί
 
Gym lyk 2011-2012
Gym lyk 2011-2012Gym lyk 2011-2012
Gym lyk 2011-2012
 
Pi chris2009
Pi chris2009Pi chris2009
Pi chris2009
 
Z3
Z3Z3
Z3
 
Tsimpourakis eisigish 16-11-2012
Tsimpourakis eisigish 16-11-2012Tsimpourakis eisigish 16-11-2012
Tsimpourakis eisigish 16-11-2012
 
Fermat
FermatFermat
Fermat
 
Polynomials
PolynomialsPolynomials
Polynomials
 
A lykeioy 2014_teliko
A lykeioy 2014_telikoA lykeioy 2014_teliko
A lykeioy 2014_teliko
 
G gymnasioy 2014_τελικο
G  gymnasioy 2014_τελικοG  gymnasioy 2014_τελικο
G gymnasioy 2014_τελικο
 
Bolzano
BolzanoBolzano
Bolzano
 
παρουσιαση των ερευνητικων εργασιων (Project)
παρουσιαση των ερευνητικων εργασιων (Project)παρουσιαση των ερευνητικων εργασιων (Project)
παρουσιαση των ερευνητικων εργασιων (Project)
 

More from Σωκράτης Ρωμανίδης

Ακολουθία και Παράκληση Οσίου Παϊσίου του Αγιορείτου
Ακολουθία και Παράκληση Οσίου Παϊσίου του ΑγιορείτουΑκολουθία και Παράκληση Οσίου Παϊσίου του Αγιορείτου
Ακολουθία και Παράκληση Οσίου Παϊσίου του ΑγιορείτουΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Ceb1cebacebfcebbcebfcf85ceb8ceb9ceb1 cebfcf83ceb9cebfcf85-ceb4ceb9cebfcebdcf8...
Ceb1cebacebfcebbcebfcf85ceb8ceb9ceb1 cebfcf83ceb9cebfcf85-ceb4ceb9cebfcebdcf8...Ceb1cebacebfcebbcebfcf85ceb8ceb9ceb1 cebfcf83ceb9cebfcf85-ceb4ceb9cebfcebdcf8...
Ceb1cebacebfcebbcebfcf85ceb8ceb9ceb1 cebfcf83ceb9cebfcf85-ceb4ceb9cebfcebdcf8...Σωκράτης Ρωμανίδης
 
τραπεζα θεματων αλγεβρας α λυκειου
τραπεζα θεματων αλγεβρας α λυκειουτραπεζα θεματων αλγεβρας α λυκειου
τραπεζα θεματων αλγεβρας α λυκειουΣωκράτης Ρωμανίδης
 

More from Σωκράτης Ρωμανίδης (20)

Γεωμετρία Α Λυκείου - Ν. Ράπτης
Γεωμετρία Α  Λυκείου - Ν. ΡάπτηςΓεωμετρία Α  Λυκείου - Ν. Ράπτης
Γεωμετρία Α Λυκείου - Ν. Ράπτης
 
Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ν. Ράπτης
Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ν. ΡάπτηςΜαθηματικά Γ Λυκείου - Ν. Ράπτης
Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ν. Ράπτης
 
Ακολουθία και Παράκληση Οσίου Παϊσίου του Αγιορείτου
Ακολουθία και Παράκληση Οσίου Παϊσίου του ΑγιορείτουΑκολουθία και Παράκληση Οσίου Παϊσίου του Αγιορείτου
Ακολουθία και Παράκληση Οσίου Παϊσίου του Αγιορείτου
 
Θαύματα Παναγίας Γοργοϋπηκόου
Θαύματα Παναγίας ΓοργοϋπηκόουΘαύματα Παναγίας Γοργοϋπηκόου
Θαύματα Παναγίας Γοργοϋπηκόου
 
διαγωνισμα μιγαδκοι αναλυση
διαγωνισμα μιγαδκοι αναλυσηδιαγωνισμα μιγαδκοι αναλυση
διαγωνισμα μιγαδκοι αναλυση
 
201441
201441201441
201441
 
201443
201443201443
201443
 
201442
201442201442
201442
 
201441 (1)
201441 (1)201441 (1)
201441 (1)
 
Bg lykeioy 2014_teliko
Bg lykeioy 2014_telikoBg lykeioy 2014_teliko
Bg lykeioy 2014_teliko
 
B gymnasioy 2014_teliko
B gymnasioy 2014_telikoB gymnasioy 2014_teliko
B gymnasioy 2014_teliko
 
στ δημοτικου A gymnasioy teliko
στ δημοτικου  A gymnasioy  telikoστ δημοτικου  A gymnasioy  teliko
στ δημοτικου A gymnasioy teliko
 
25 askiseis algebra_a_lykeiou
25 askiseis algebra_a_lykeiou25 askiseis algebra_a_lykeiou
25 askiseis algebra_a_lykeiou
 
264 squares(4)
264 squares(4)264 squares(4)
264 squares(4)
 
60x
60x60x
60x
 
Texnikes oloklirwsis-kwnstantopoulos
Texnikes oloklirwsis-kwnstantopoulosTexnikes oloklirwsis-kwnstantopoulos
Texnikes oloklirwsis-kwnstantopoulos
 
Ceb1cebacebfcebbcebfcf85ceb8ceb9ceb1 cebfcf83ceb9cebfcf85-ceb4ceb9cebfcebdcf8...
Ceb1cebacebfcebbcebfcf85ceb8ceb9ceb1 cebfcf83ceb9cebfcf85-ceb4ceb9cebfcebdcf8...Ceb1cebacebfcebbcebfcf85ceb8ceb9ceb1 cebfcf83ceb9cebfcf85-ceb4ceb9cebfcebdcf8...
Ceb1cebacebfcebbcebfcf85ceb8ceb9ceb1 cebfcf83ceb9cebfcf85-ceb4ceb9cebfcebdcf8...
 
áêïëïõèéá áãéïõ óùêñáôïõó
áêïëïõèéá áãéïõ óùêñáôïõóáêïëïõèéá áãéïõ óùêñáôïõó
áêïëïõèéá áãéïõ óùêñáôïõó
 
για τον λεοναρντ οϋλερ
για τον λεοναρντ οϋλεργια τον λεοναρντ οϋλερ
για τον λεοναρντ οϋλερ
 
τραπεζα θεματων αλγεβρας α λυκειου
τραπεζα θεματων αλγεβρας α λυκειουτραπεζα θεματων αλγεβρας α λυκειου
τραπεζα θεματων αλγεβρας α λυκειου
 

ροπές πυθαγόρειο 2