[2021CAPE公開セミナー] 論理学上級 Ⅱ-3「証明論的意味論としてのマーティン・レーフの構成的型理論」
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1972年にマーティンレーフが構成的型理論を発表し、論理主義と直観主義（構成主義）の両派を束ねる形で、新たな流れが始まりました。構成的型理論は数学の基礎としてだけではなく、計算機科学の基礎理論（有限ステップで計算が終わるプログラムのための基礎理論）として大きな役割を果たすようになります。 本節では、マーティン・レーフの構成的型理論について概説します。 https://youtu.be/CPv4KjpTpgQ
![証明論的意味
論としての
マルティン=
レーフの構成
的型理論
矢田部 俊介
命題と判断
図式
証明のデータ
型としての
命題
構成と解体のあるべき
関係
推論における解体と構
成子
依存型による
カリー・ハワー
ド対応の述語
論理への拡張
証明論的意味論としての
マルティン=レーフの構成的型理論
[2021CAPE 公開セミナー] 論理学上級 Ⅱ-3
矢田部 俊介
Center for Applied Philosophy and Ethics,
Graduate School of Letters,
Kyoto University
2022 年 3 月 27 日（日）1000-1200
1 / 32](https://image.slidesharecdn.com/22032421kyoto3ml-ittslide01-220325073813/85/2021CAPE-3-1-320.jpg)
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[2021CAPE公開セミナー] 論理学上級 Ⅱ-3「証明論的意味論としてのマーティン・レーフの構成的型理論」
- 1. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 証明論的意味論としての マルティン=レーフの構成的型理論 [2021CAPE 公開セミナー] 論理学上級 Ⅱ-3 矢田部 俊介 Center for Applied Philosophy and Ethics, Graduate School of Letters, Kyoto University 2022 年 3 月 27 日（日）1000-1200 1 / 32
- 2. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 あらすじ • 1972 年にマーティンレーフが構成的型理論を発表し、論 理主義と直観主義（構成主義）の両派を束ねる形で、新 たな流れが始まりました。 • 構成的型理論は数学の基礎としてだけではなく、計算機 科学の基礎理論（有限ステップで計算が終わるプログラ ムのための基礎理論）として大きな役割を果たすように なります。 • 本節では、マーティン・レーフの構成的型理論について 概説します。特に以下の項目に注目します。 • （哲学） 「判断」という図式 • （計算機科学） 「構成子」と「解体子」による帰納的デー タ型の定義 帰納的定義をする際のメタ理論として十分な理論 • （計算機科学） 「依存型」によるカリー・ハワード対応の 述語論理への拡張（Π-type, Σ-type） 述語論理の証明論的意味論を提供できる型理論 2 / 32
- 4. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 概念紹介（カント用語） マルティン=レーフ [?] に従い、判断についてのカントの用語 の紹介を行う。 • 外部世界に関する観念、そしてそれを言語化した命題は、 間違っている事もある。例えば心の中の観念「雪は黒い」 は、火山噴火の後のような特定の文脈では正しいかもし れないが、多くの場合は当てはまらない。 • 外部世界に関する観念は、経験、つまり観測データ（外 部世界からの感覚刺激）に照らし合わせ、 • 心の内で肯定（affirmation）され「真である」と判断され るか、 • 反証（denial）され偽であると判断される。 • 観念が判断されたとき、その形式は「P という（判断の対 象となりえるような）命題は正しい」という形式で言語 化され、通常は「P は真である」（“P is true”）と書か れる。 4 / 32
- 5. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 判断に関係する心の中と外の関係（カント） 命題は精神的言説で書かれたものと自然言語でかかれたもの の二種類がすでに登場しており、心の内外で似たような行為 が並行して行われ、インタラクションするので、とにかくや やこしい。 心（知性）の活動 活動の結果、心の中で 心の外部で成果物を 得られる成果物 表現する記号 理解する 概念、観念 項 （観念を獲得する） という活動 判断する 判断そのもの、 主張、 という活動 （心の中の）命題 （言語に翻訳された） 「S は P である」 命題 （判断された結果） 推論するという活動 心の中での推論 論理学でやる推論 ポイントは、 「p は真である」という言葉は、p という観念が 真であると判断されることを、言語によって表現しており、 判断と言語表現とはレイヤーが違うことである（この意味で 階層的であり、型理論的なアプローチの源流となった） 。 5 / 32
- 6. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 感性と総合的判断、分析的判断（カント） 判断に当たって経験が必要かどうかという分類 • たいていの命題の肯定的／否定的判断には、直観が不可 である。たとえば「雪が白い」という命題が真であると いう判断の正当性は、最終的には、雪が白いという感性 によって得られる観測データによって支えられる。この 種の外部世界（そんなものがあるとして）に関する命題 は、経験から得られる直観によって、真偽が判断される。 当たり前のことである。 • 「黒煙は黒い」という観念を考えてみよう。 「黒煙」とい う観念は「黒い煙」 、つまりそもそも「黒い」ということ を含意する。この場合、外部世界がどういう状況であろ うとも、定義からこの観念は真となる。このような判断 は、分析的な判断であると呼ばれる。 6 / 32
- 7. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 直観と総合判断（カント） • 重要な点は、概念分析はすでに提示されている言葉の意 味を正確化するという行為なので、概念分析によって増 える情報量はゼロであり、新しい知識を生み出さないと いうことである。 • 新しい情報は総合的判断、つまり直観によって新しい情 報が感覚機関等を通じて判断内容に反映されることに よってもたらされる。 7 / 32
- 8. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 数学的知識と経験（カント） （1） しかし、カントにおいては数学は分析的ではなく、総合的であ ると見なされてきた。7 + 5 = 12 という命題を考えてみよう。 7 と 5 の和という概念は、これら二つの数を結びつけ てある一つの数にするということ以上の何ものも含 んではおらず、このことによって、これら二つの数 をいっしょにするその一つの数がいかなるものであ るかは、全然思考されていないということがわかる。 12 という概念は、私が単に 7 と 5 のとの結合を考え ることによって、すでに思考されていたのでは断じて なく、だから、 私がそうした可能的な和についての 私の概念をどれほど分析してみたところで、私はこの 概念の内に 7 + 5 を見いだすことはないであろう。人 は、二つの数のうちの一つに対応する直観、たとえば 自分の五本の指 · · · を助けとし、かくして、この直観 において与えられた五つの単位を、次々と、7 という 概念に付加することによって、7 と 5 というこれらの 概念を超えて出て行かなければならない。[?, 上 110] 8 / 32
- 9. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 数学的知識と経験（カント） （2） • 分析的判断は（ 「美女」から「美しい」という概念を分析 するように）新しい情報を生み出さないが、7 + 5 は 7 と 5 という与えられた概念を超えて出て、新しい概念 12 を 生み出す。だから分析判断ではない。 • つまり総合的判断であり、つまり人間の持つ自然数に関 する直観をどこかで本質的に利用しているはずである （自分の 5 本の指についての直観とか） 。 • その結果「7 + 5 = 12」という算数の命題は、先験的な総 合判断によって真偽が定まるという、大変 な命題だと いうことになる。 9 / 32
- 10. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 数学的直観、直観主義、構成主義 このカントの な説明は、後世に大きな波紋を投げかけた。 • フレーゲは、数学的命題は分析的であるべきであるとの 考えから、分析概念を拡張し、全ての算数の命題が（拡 張された意味で）分析的と見做されうるような体系概念 記法を開発した • ブラウアーは排中律を持たない、人間の数学を行う時の 非言語的な思考をうまく表現する論理体系を「直観主義 論理」と名付けた • 構成主義者たちは、ある数学的対象に関する命題につい ての判断が総合的判断であるのは、その数学的対象が人 間の心の中で心的に構成される、そのプロセスに対応し ていると主張している。 • 加えて直観主義者はそのプロセスには本質的に人間の数 学的直観を利用しているとも主張する。 10 / 32
- 12. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 命題の意味とは何か？（意味の理論 1.0） 意味の理論 1.0「命題の意味は命題の指示対象である」 ： 「指示」概念は、厳密に考えだすと大変 が多い概念ではある が、直観的にはわかりやすい概念であり、またその意味論は 単純である（真理関数意味論、クリプキ意味論） 。一方で以下 のような問題点がある。 • その指示対象（真理値など）とは何なのかよく分から ない、 • 構造が静的であり、証明や推論の動きと言った動的な過 程は表現できない。 12 / 32
- 13. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 計算における構成の満たすべき条件 (i) 原理的には無限個の数項が、その定義に従って構成可能 でなければならない。 (ii) 一方で、具体的な数項（有限の長さの文字列）を与えら れたとき、それが本当に数項であるための条件を満たし ているかどうかを有限ステップでチェックできなければ ならない。 13 / 32
- 14. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 構成の例 自然数の帰納的構成 (I) 0 は自然数である (II) もしも n が自然数であるならば、n の次の数（後者） （n + 1）も自然数である。 (III) こうやって構成されたものの全体が自然数であり、それ 以外のものは自然数ではない。 ある対象が与えられた時、それが自然数であるかどうかは、そ の対象の前者、されにその前者、· · · と っていって 0 に到達 すれば自然数、そうでなければ自然数ではないと判定できる。 14 / 32
- 15. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 構成と解体 帰納的定義は以下のように行われる。 • 最初のステップ（initial step/ base case） ：構成を始める にあたっての出発点 • 後続ステップ（successor step/ induction step） ：それまで のステップで構成されたものを処理して、新しいものを 作るステップ 用語の導入 • 「最初のステップ」から始め、 「後続ステップ」を有限回 繰り返す作業を（帰納的）構成（construction）と呼ぶ。 有限ステップで帰納的に構成されたものが「帰納的に構 成された対象」である。 • 構成を逆向きに り、帰納的に構成された対象から、後 続ステップの行われる前の対象を再現することを解体 （deconstruction）と呼ぶ 15 / 32
- 16. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 構成の形式的定義：構成子 対象レベルにおいて、形式的に自然数をシミュレートする記 号列は、以下の構成子（constructor）を用い構成される。 • 0̄ は L0 の個体記号である（引数 0 の構成子） • S は L0 の関数記号である（ 「後者関数（記号）」と呼ぶ） （引数 1 の構成子） N は以下の条件を満たす長さが有限の記号列の集まりである （x が N のメンバーになることを x : N と表記する） 。 (1) 0̄ : N (2) もしも x : N であるならば、S(x) : N 帰納的に定義された対象（文字列）の集まり（型／タイプ type）を帰納的データ型（inductive data type）とも呼ぶ 16 / 32
- 17. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 解体の例 構成子とは逆に「解体子」として前者関数 pred を用意する。 これは以下を満たす関数である。 pred(0̄) = 0̄ pred(S(n̄)) = n̄ この関数は、原始再帰法により、以下のように原始再帰関数 として定義される。 pred(0̄) = 0̄ pred(S(n̄)) = proj12(n̄, pred(n̄)) 解体子は、構成と逆向きの操作（付加された構成子 S を剥ぎ 取る）を行う。 17 / 32
- 18. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 例：構成と解体 N に新しい項と項を結合する結合子 +̇ を導入する • 新しい構成子 +̇ : N → N → N 2̄ が N の項であるならば、2̄+̇2̄ は新しい N の項である • 新しい解体子 eval:N → N eval(n̄ + 0̄) = n̄ eval(n̄+̇S(k̄)) = S(eval(n̄+̇k̄)) これは、+̇ の入った項の導入と、その除去（値の求め方）の両 方を定義する（eval は原始再帰関数として定義される） 18 / 32
- 19. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 自然数上の構成と解体のまとめ • 構成子：0, S （他に + などエクストラに構成子を付加 できる） • 解体子：自然数上の（有限ステップで計算が終わる）関数 • 有限ステップで計算が終わってくれないと困る • 有限ステップで計算が終わってくれる自然数上の関数の 例：原始再帰関数 19 / 32
- 20. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 有限ステップで計算が終わる事を保証できる関数の例 原始再帰関数 (primitive recursive functions) は以下の関数を帰 納的に組み合わせて定義される 1 ゼロ関数：zeron(x1, · · · , xn) = 0（ただし 0 ≤ n）, 2 射影関数：proji,n(x1, · · · , xn) = xi, 3 後者関数：S(x), 4 合成：G が m 変数原始再帰関数（変数を m 個持つ原始再 帰関数） 、H1, · · · , Hm がそれぞれ n 変数原始再帰関数な らば、それらを組み合わせた以下の F も原始再帰関数で ある F(x1, · · · , xn) = G(H1(x1, · · · , xn), · · · , Hm(x1, · · · , xn)) 5 原始再帰法：G が n 変数原始再帰関数、H が n + 2 変数 原始再帰関数のとき、以下の F も原始再帰関数になる： F(x1, · · · , xn, 0) = G(x1, · · · , xn) F(x1, · · · , xn, S(y)) = H(x1, · · · , xn, y, F(x1, · · · , xn, y)) 20 / 32
- 21. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 自然演繹における証明の帰納的構成 • ゲーデルの不完全性定理などで示されているとおり、証 明は自然数論に埋め込める • 自然数を使って命題をコーディングすることで、形式的 な自然数論の定理は、自然数で表現できる • 定理の証明も、自然数でコーディング可能である • コーディング作業は原始再帰関数によって可能である • 構成的型理論などにおいては、自然数を経ないで直接、 定理（記号列）を帰納的データ型として定義し、証明を その記号列上の関数として表現する • 証明可能な命題（定理）全体は、帰納的に定義される記号 列のデータ型となる • 構造帰納法により、直接帰納的データ型の上の再帰関数 として、証明を表現することができる • その証明は、λ 項（再帰関数）として表現される 21 / 32
- 22. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 自然演繹における証明の帰納的構成 [v : A] . . . . B A → B →+v A A → B B (→−) A B A ∧ B ∧+ A ∧ B [A] . . . . C C (∧−左) A ∧ B [B] . . . . C C (∧−右) A A ∨ B ∨+左 B A ∨ B ∨+右 A ∨ B [A] . . . . C [B] . . . . C C ∨− 22 / 32
- 23. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 証明と定理の帰納的構成：論理結合子の導入規則 導入規則しか使わない証明の場合、話は簡単である • 最初のステップ 任意の命題 A から A を結論できる A A • 後続ステップ ∧ の導入規則は二つの証明から新しい一つの証明を構成 する . . . . A . . . . B . . . . A . . . . B A ∧ B ∧+ ∨, → の場合も同様 23 / 32
- 24. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 定理の解体：除去規則 定理の帰納的構成において、定理からその一部を取り出す （解体）のが除去規則である . . . . A . . . . B A ∧ B ∧+ . . . . A . . . . B A ∧ B ∧+ A ∧− 証明中に導入された論理結合子を直後に除去する場合以下が 成立する • A の証明と B の証明から A ∧ B の証明を構成する（左） 。 • そこから A を取り出す。結論部 A ∧ B から、結合子 ∧ が 除去され、A のみになる（右） 。 注意：前提に論理結合子が含まれていて、その分解が必要な ケースでは、証明を取り出すことにはならず、ここの説明は 当てはまらないが、話を単純化するためにここでは省略する 24 / 32
- 25. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 反転原理と証明図の書き換え しかし、そもそも A の ∧ を使わない証明は、もともと A ∧ B の証明の中に、すでに含まれていた！（反転原理） . . . . A . . . . B A ∧ B ∧+ A ∧− . . . . A . . . . A . . . . B A ∧ B ∧+ • ∧ 除去規則を使った左の証明（結論は A）は、∧ 除去規則 を使わない右の証明（結論は A）をすでに含んでいるし、 カット&ペーストによって書き換えることができる。 • この ∧ 除去規則を含む証明（左）から A の直接的証明 （真ん中）へと書き換える作業は、証明の帰納的構成にお ける解体子に相当する。 25 / 32
- 26. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 解体子 • 命題のレベル、定理の構成と解体という視点から見た場 合、以下が相当する • 論理結合子の導入規則が構成規則 • 論理結合子の除去規則が解体規則 • 証明のレベル、定理の証明の構成と解体という視点から 見た場合 • 論理結合子の導入規則が構成規則 • （反転原理を用いて）除去規則を使う証明を、除去規則を 使わない証明に書き換える操作が解体規則 26 / 32
- 28. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 Deflationism I • カリー・ハワード対応は直観主義命題論理についてのも のであり、直観主義述語論理についての意味論は提供し ていない。 • ∀xφ(x) と ∃xφ(x) の証明とは、関数とするとどういうも のか？ • その証明のデータ型を提供できるのか？ 28 / 32
- 29. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 ∀ の証明 • ∀xP(x) は、x に何が代入されるかによって証明が変わっ てくるはず • 任意の n : D に対し P(n) の証明を与える関数を p(n) と する。 • このとき ()∀x : D)P(x) の証明は以下のように与えられる はず (λx : D). p(x) （x を代入すると P(x) の証明 p(x) を出力する関数） • このような関数を与えるデータ型を「Π-type」と呼ぶ。 [∀xP(x)] = Π(x : D)P(x) = {λx.t(x) : t(x) は P(x) の証明を与える関数 } • この関数は、x : D の選択に依存して、p(x) の型 P(x) が 変わるので、 「依存型」と呼ばれる。 29 / 32
- 30. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 依存型の例 [∀xP(x)] = Π(x : D)P(x) = {λx.t(x) : t(x) は P(x) の証明を与える関数 } • この関数は、x : D の選択に依存して、p(x) の型 P(x) が 変わるので、 「依存型」と呼ばれる。 • （例） 「n より小さい数」の型 Finn = {y : y < n} 当たり前だが「n より小さい数」という概念は n に依存 して定まる。 30 / 32
- 31. 証明論的意味 論としての マルティン= レーフの構成 的型理論 矢田部 俊介 命題と判断 図式 証明のデータ 型としての 命題 構成と解体のあるべき 関係 推論における解体と構 成子 依存型による カリー・ハワー ド対応の述語 論理への拡張 ∃ の証明 • ∃xP(x) は、x に何が代入されるかによって証明が変わっ てくるはず • ある n : D に対し P(n) が証明されるとし、その証明を与 える関数を p(n) とする。 • このとき ()∀x : D)P(x) の証明は以下のように与えられる はず (n, p(n) （P(x) のエビデンスとなる n と証明 p(n) のペアを出力す る関数） • このような関数を与えるデータ型を「Σ-type」と呼ぶ。 [∃xP(x)] = Σ(x : D)P(x) = {(x, p(x)) : x : D|landp(x) は P(x) の証明を与え 31 / 32