1. I. PHẦN HÀM SỐ
1. TIẾP TUYẾN
Bài 1: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + 3 x + 2 có đồ thị (C) và M, N là hai điểm thay đổi trên
(C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và N song song với nhau. Viết phương trình đường
thẳng MN biết MN tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng
8
.
3
Bài 2: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
đường thẳng y = m( x − 2) − 2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(2;-2), B, D sao cho
tích các hệ số góc của tiếp tuyến tại B và D với đồ thị (C) đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 3: Cho hàm số y = x 4 − 5 x 2 + 4 có đồ thị (C). Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C)
của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M.
Bài 4: Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 − 7 x − 4 có đồ thị (C). Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C)
của hàm số mà qua đó chỉ có thể kẻ được duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị (C).
Bài 5: Cho hàm số y =
x
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C),
x −1
biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Bài 6: Cho (C1): y = x 3 − 4 x 2 và (C2): y = x 2 − 8 x + 4 . Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp
xúc nhau và viết phương trình tiếp tuyến chung với (C1), (C2) tại tiếp điểm của chúng.
Bài 7: Cho hàm số y =
x +1
có đồ thị (C). Tìm để đường thẳng d: y = 2 x + m cắt (C) tại
x −1
hai điểm phân biệt A, B sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau.
Bài 8: Cho hàm số y =
x
có đồ thị là (C). Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao
x −1
cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
Bài 9: Cho hàm số y =
2x − 3
có đồ thị (C) và M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của
x−2
(C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường

2. tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích
nhỏ nhất.
1
3
D2005 Cho Gọi M là điểm thuộc (Cm ) : y = x3 −
m 2 1
x + có hoành độ bằng 1. Tìm m
2
3
để tiếp tuyến của (Cm) tại M song song với đường thẳng 5x – y = 0
2x
D2007 Cho ( C ) : y = x + 1 . Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy
tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
.
4
B2008 Cho ( C ) : y = 4 x3 − 6 x 2 + 1 . Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đi qua M(-1;-9)
x+2
A2009 Cho ( C ) : y = 2 x + 3 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến cắt
2 trục Ox; Oy tại 2 điểm phân biệt A; B sao cho tam giác OAB cân tại O.
D2010 Cho (C): y = − x 4 − x 2 + 6 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng y =
1
x −1
6
CĐ2010 Cho (C): y = x3 + 3x 2 − 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có
hoành độ bằng −1
A2011 Cho hàm số y =
−x +1
có đồ thị (C). Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y
2x −1
= x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k 1, k2 lần lượt là hệ số
góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
1
3
CĐ2011 Cho hàm số y = − x 3 + 2x 2 − 3x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thi (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
2. ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ
Bài 1: Cho hàm số: y = x 3 − 3x 2 + mx + 1 (1) . Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu
và đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu cắt đường tròn (C): ( x − 1)2 + ( y + 3)2 = 8
theo một dây cung có độ dài bằng 4
Bài 2: Cho hàm số y = x4 – 8m2x2 + 1 (1) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có 3 cực
trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 64.

3. 2
3
1
2
Bài 3: Cho hàm số y = x 3 + (m + 1) x 2 + (m 2 + 4m + 3) x + . Với giá trị nào của m hàm số có
cực đại, cực tiểu tại x1, x2. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x1.x 2 − 2( x1 + x 2 ) .
Bài 4: Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2 (Cm) . Tìm m để (Cm) có hai
cực trị và đường thẳng qua hai điểm cực trị cắt dường tròn (T): x 2 + y2 = 25 một dây
cung có độ dài bằng 6.
Bài 5: Cho đường cong (Cm): y = x4 – 2mx2 + 2m + m4 . Tìm m để (Cm) có 3 cực trị và
các điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác đều .
Bài 6: Cho hàm số y = x3 + 2(m-1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2(m2 + 1) có đồ thị (Cm). Tìm
1
1
1
m để (Cm) đạt cực trị x1, x2 sao cho x + x = 2 ( x1 + x 2 ) .
1
2
Bài 7: Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
2
đồng thời x CD = x CT .
Bài 8: Cho hàm số y =
nhau qua điểm I(1; 1)
Bài 9: Cho hàm số y =
3x − 4
có đồ thị (C). Tìm trên (C) các cặp điểm đối xứng với
2x − 1
1
3
x3 -
1
2
mx2 + (m2 – 3)x. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số
có cực đại, cực tiểu đồng thời xCĐ, xCT là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác
vuông có cạnh huyền bằng
5
2
.
Bài 10: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị là (Cm); ( m là tham số). Xác định m
để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến
của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
3
2
Bài 11: Cho hàm số y = 2x − 3 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm)
có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (d): y = x + 2.
B2002 Cho y = mx 4 + ( m 2 − 9 )x 2 + 10 . Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
B2007 Cho y = − x3 + 3x 2 + 3( m2 − 1 )x − 3m 2 − 1 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và
các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ.
CĐ2009 Cho y = x3 − ( 2m −1) x 2 + ( 2 − m ) x + 2 . Tìm m sao cho hàm số có cực đại, cực
tiểu và các điểm cực trị có hoành độ dương.

4. B2011 Cho hàm số y = x 4 − 2( m + 1 )x 2 + m (1), m là tham số.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC , O là gốc tọa
độ, A là cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
B2012 Cho y = x 3 − 3mx 2 + 3m 2 (1). Tìm m để đồ thị (1) có 2 cực trị A, B sao cho tam giác
OAB có diện tích là 48.
A2012 Cho y = x 4 − 2( m + 1 )x 2 + m 2 . Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của
một tam giác vuông.
A2013 Tìm m để đồ thị hàm số y = − x3 + 3x 2 + 3mx − 1 (1) nghịch biến trên khoảng
( 0; +∞ )
B2013 Tìm m để đồ thị hàm số y = 2 x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 6mx (1) có 2 cực trị A, B sao cho
đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2
3. BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Bài 1: Cho hàm số y =
x +1
x +1
. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x − 1 = m .
x −1
2 2
B2009 Khảo sát hàm số y = 2 x 4 − 4 x 2 . Tìm m để phương trình x x − 2 = m có đúng 6
nghiệm phân biệt .
4. SỰ TƯƠNG GIAO
Bài 1: Cho hàm số y = x3 + 2mx2 + 3(m – 1)x + 2 (1) . Cho điểm M(3; 1) và đường
thẳng ∆: y = - x + 2. Tìm các giá trị của m để đường thẳng ∆ cắt đồ thị hàm số (1) tại ba
điểm A(0; 2), B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 2 6 .
Bài 2: Cho hàm số y = - x3 + 3x – 2. Đường thẳng d đi qua M(0; -2) và có hệ số góc k.
Tìm k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, B. Chứng minh khi đó M là trung điểm
của AB.

5. Bài 3: Cho hàm số y =
−x + 2
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng dm: y = m(x – 5) +
2x + 1
10 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B và nhận M(5; 10) làm trung điểm của đoạn
AB.
Bài 4: Cho họ (Cm): y = x3 – 2mx2 + (2m2 – 1)x – m(m2 – 1). Tìm m để (Cm) cắt trục
hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 và đường tròn (Ca): x2 + y2 – 2ax – 4ay + 5a2 – 4 = 0.
Tìm a để các điểm cực đại, cực tiểu của (C) nằm về hai phía đối với (Ca).
2x + 4
. Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k.
1− x
Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và MN = 3 10 .
Bài 6: Cho hàm số y =
Bài 7: Cho hàm số y = 2x 3 − 3x 2 − 1 có đồ thị (C). Gọi (d) là đường thẳng đi qua
có hệ số góc k. Tìm k để dường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt
M ( 0; − 1)
và
Bài 8: Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại
một điểm duy nhất.
D2006 Cho y = x3 − 3x + 2 có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng đi qua A(3;20) và có hệ số
góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
D2009 Cho y = x3 − 3x 2 + 4 (1). CMR mọi đường thẳng đi qua I(1; 2) với hệ số góc k ( k
> 3) đều cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của
AB.
B2009 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
x2- 1
B=
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A 4
y=
x
D2009 Cho ( Cm ) : y = x 4 − ( 3m + 2 ) x 2 + 3m . Tìm m sao cho đường thẳng y = − 1 cắt ( Cm )
tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
D2009 VIIb Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = - 2x + m cắt đồ thị hàm
số y =
x2+ x - 1
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB
x
thuộc trục tung.
A2010 Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + ( 1− m ) x + m (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục
2
2
2
hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 ; x3 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 + x3 < 4

6. B2010 Cho hàm số y =
2 x +1
có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng y = − 2 x + m cắt đồ
x +1
thị (C) tại hai điểm phân biệt A; B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
D2011 Cho hàm số y =
3
2x +1
có đồ thị (C). Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt
x +1
đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành
bằng nhau.
D2013 Cho y = 2 x3 − 3mx 2 + ( m − 1) x +1 (1) . Tìm m để đường thẳng y = - x + 1 cắt đồ thị
hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt.
II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Bài 1:
1
2
≥
1 − 2x 1 + 3x + 1
Bài 2:
2x 2 + 4 = 5 x 3 + 1
Bài 3: x + 1 ≥ 2 ( x 2 − 1)
Bài 4: ( x 2 − 3x ) x 2 − 4x + 3 ≥ 0
Bài 5: x x 2 − 4x + 5 + 2x 2 ≥ 3x
Bài 6: 5 x +
Bài 7: 5 x +
5
2 x
≤ 2x +
1
+5
2x
Bài 8:
3
5
2 x
≤ 2x +
1
+5
2x
x + 34 − 3 x − 3 = 1
D2002 ( x 2 − 3 x) 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0
D2005
D2006 2 x − 1 + x 2 − 3x + 1 = 0
A2004
A2005 5 x − 1 − x − 1 > 2 x − 4
A2009 2 3 3x − 2 + 3 6 − 5 x − 8 = 0
CĐ2009
A2010.
x+1 + 2 x- 2 £
x− x
(
2
)
1 − 2 x − x +1
2 x + 2 + 2 x +1 − x +1 = 4
2( x 2 − 16)
x −3
+ x−3 >
7−x
x−3
5x + 1
≥1
B2011. 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x 2 = 10 − 3 x
B2010
3 x +1 − 6 − x + 3 x 2 −14 x − 8 = 0
B2012 x + 1 + x 2 − 4 x + 1 ≥ 3 x

7. CĐ2011.
Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có nghiệm
6 + x + 2 (4 − x)(2x − 2) = m + 4 ( 4 − x + 2x − 2 ) ( x ∈ R ).
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 x 3 + y3 = 1

Bài 1 :  2
2
3
 x y + 2xy + y = 2

 y3 − x 3 = y − x 2

Bài 2 :  2
2
y + x = x − y

 x 2 + xy = 2

Bài 3 :  3
2
 x + 2xy − 2y = x

( x − 1) ( y − 1) ( x + y − 2 ) = 6

Bài 4 :  2 2
 x + y − 2x − 2y − 3 = 0

 x 2 + y 2 + xy + 1 = 4 y
Bài 6 : 
2
2
 y( x + y) = 2 x + 7 y + 2
 mx + ( 2m − 1) y + 3 = 0

Bài 7 : Tìm m để hệ phương trình :  2 2
có nghiệm duy nhất.
 x + y − 2x + 2y = 0

 x+5 + y−2 = 7

Bài 5 : 
 x−2 + y+5 = 7

 x + y =1

Bài 8 : Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
x x + y y = 1 − 3m

 x 3 + y3 = 1

Bài 9 :  2
2
3
 x y + 2xy + y = 2

 xy + x +1 = 7 y

B2009  2 2
2
 x y + xy +1 = 13 y

 x ( x + y + 1) − 3 = 0

D2009 
5
2
( x + y ) − 2 +1 = 0
x

 4 x 2 + 1 x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0

A2010 
4 x2 + y 2 + 2 3 − 4 x = 7

2 2 x + y = 3 − 2 x − y

CD2010 
2
2
 x − 2 xy − y = 2

5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2( x + y ) = 0

A2011 
2
2
2
 xy ( x + y ) + 2 = ( x + y )

 xy + x + y = x 2 − 2 y 2

D2008 
 x 2 y − y x −1 = 2 x − 2 y


y2 + 2
3 y =
x2

B2003 
2
3 x = x + 2

y2

(
)

8. x + y − xy = 3

A2006 
 x +1 + y + 1 = 4

 x 4 + 2 x3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9

B2008  2
 x + 2 xy = 6 x + 6

5
 2
x + y + x3 y + xy 2 + xy = −


4
A2008 
 x 4 + y 2 + xy (1 + 2 x) = − 5


4
D2011
 2 x 3 − ( y + 2) x 2 + xy = m

( x, y ∈ ¡ )
Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm  2
 x + x − y = 1 − 2m

IV. MŨ, LOGARIT
Bài 1:
Bài 2:
3
2
>
log 2 ( x + 1) log 3 ( x + 1)
1
log
2
2
( x + 3) +
1
8
log 4 ( x − 1) = 3log 8 ( 4x )
4
x
x +1
2
Bài 3: log3 ( 2 + 1) .log 1 ( 2 + 2 ) + 2 log 3 2 = 0.
3
Bài 4:
( 20 +14 2 ) + ( 20 −14 2 )
x
x
= 43x
2
Bài 5: ( x + 3) log 3 ( x + 2 ) + 4 ( x + 2 ) log 3 ( x + 2 ) = 16

2x 2 y + 1 + 2x ( y + 1)
 2log 3x + 1 ( 2x + 1) − 1 = log 3x + 1
Bài 6: 
6x 2 + 5x + 1
 2 y − 4 + 22x −1 − 1 = 0

2
Bài 7: 2log 9 x = log 3 x.log 3 ( 2x + 1 − 1)
2
2
Bài 8: log 1 (5 − 2 x) + log 2 (5 − 2 x).log 2 x +1 (5 − 2 x) = log 2 (2 x − 5) + log 2 (2 x + 1).log 2 (5 − 2 x)
2
B2002 log x (log 3 (9 x − 72)) ≤ 1 (x ∈ ¡ )
D2003 2 x
2
−x
2
− 22+ x − x = 3

9. D2006 2 x
2
+x
− 4.2 x
2
−x
− 22 x + 4 = 0
D2007
 1 
log 2 (4 x + 15.2 x + 27) + 2 log 2  x
÷ = 0 (x ∈ ¡ )
 4.2 − 3 
D2008
x 2 − 3x + 2
log 1
≥ 0 (x ∈ ¡ )
x
2
B2006 log 5 (4 x + 144) − 4 log 2 5 < 1 + log 5 (2 x −2 + 1) (x ∈ ¡ )
(
)
log 2 x 2 + y 2 = 1 + log 2 ( xy )

A2009  2
2
3x − xy + y = 81

log 2 ( 3 y −1) = x

B2010  x x
2
4 + 2 = 3 y

D2010 42 x +
x+2
3
+ 2 x = 42 +
x+2
+ 2x
 x2 − 4 x + y + 2 = 0

D2010 VIIb 
2log 2 ( x − 2 ) + log

2
3
+ 4x − 4
y=0
2
D2011 log 2 (8 − x ) + log 1 ( 1 + x + 1 − x ) − 2 = 0
2
A2008 log 2x −1 (2x 2 + x − 1) + log x +1 (2x − 1) 2 = 4
CĐ2011 4x − 3.2 x +
x 2 − 2x −3
− 41+
x 2 − 2x −3
>0
 x2 + x 
log 0,7 (log 6 
B2008
÷) < 0 (x ∈ ¡ )
 x+4 
A2006 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
A2007
2 log 3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) ≤ 2
3
V. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

10. Bài 1: cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x
Bài 2: cos3 x − 4sin 3 x − 3cos x.sin 2 x + sin x = 0
Bài 3: sin 2 x + 2 tan x = 3 sin x.sin 2 x + sin 3x = 6 cos 3 x
Bài 4: cot x − 1 =
cos 2 x
1
2
+ sin x − sin 2 x
1 + tan x
2
Bài 5 sin 3 x + cos 3 x + 2 cos x = 0
Bài 6 sin x − 4 sin 3 x + cos x = 0
Bài 7 tan x.sin 2 x − 2 sin 2 x = 3(cos 2 x + sin x cos x)
Bài 8 cos 3 x − 4 cos 2 x + 3cos x − 4 = 0
Bài 9 (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin 2 x − sin x
Bài 10 cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x = 0
Bài 11 sin 2 x + sin 2 3 x = cos 2 2 x + cos 2 4 x
Bài 12 sin 3 x cos 3 x + cos 3 x sin 3 x = sin 3 4 x
3
3
2
Bài 13 4sin x + 3cos x − 3sin x − sin x cos x = 0
2
Bài 14 (2 sin x + 1)(3 cos 4 x + 2 sin x − 4) + 4 cos x = 3
6
6
8
8
Bài 15 sin x + cos x = 2(sin x + cos x)
1
Bài 16 cos x.cos 2 x.cos 4 x.cos 8 x = 16
π

3 
Bài 17 8 cos  x + 3 ÷=cos 3 x


2
Bài 18 (2 sin x −1)(2 sin 2 x +1) = 3 − 4 cos x
Bài 19 cos 2 x − cos 8 x + cos 6 x = 1
Bài 20 sin 4 x − 4 sin x + 4 cos x − cos 4 x = 1
Bài 21 3sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x
Bài 22 2 cos3 x + cos 2 x + sin x = 0

11. Bài 23 2(tan x − sin x) + 3(cot x − cos x) + 5 = 0
Bài 24 4 cos x − 2 cos 2 x − cos 4 x = 1
Bài 25
sin x + sin 2 x + sin 3 x
= 3
cos x + cos 2 x + cos 3 x
π

Bài 26 sin x.sin 4 x = 2 cos  − x ÷− 3 cos x.sin 4 x
6

π

2
2
Bài 27 1 + sin sin x − cos sin x = 2cos  − ÷
2
2
4 2
x
x
x


Bài 28 2 cos 2 x − sin 2 x = 2(sin x + cos x)
Bài 29 cos x − cos 2 x + cos 3x =
1
2
π
3
Bài 30 sin  x + ÷ = 2 sin x
4

Bài 31 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0
Bài 32 tan x + tan 2 x + tan 3 x + cot x + cot 2 x + cot 3 x = 6
Bài 33 1 + sin 3 x = sin x + cos 2 x
π
π




4
4
Bài 34 sin x + cos x = cot  x + ÷.cot  − x ÷
8
3
6
7




Bài 35 cos 2 2 x + 2(sin x + cos x) 3 − 3sin 2 x − 3 = 0
Bài 36 4(sin 3 x − cos 2 x) = 5(sin x − 1)
Bài 37 sin x − 4sin 3 x + cos x = 0
Bài 38 cos10 x + 1 + cos8 x + 6cos3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos 3 3 x
π 1
4
4
Bài 39 sin x + cos  x + ÷ =
4 4

Bài 40 cos3 x.cos 3 x + sin 3 x.sin 3 x =
2
4
Bài 41 (sin x + sin 2 x + sin 3 x)3 = sin 3 x + sin 3 2 x + sin 3 3 x
Bài 42 8sin x =
3
1
+
cos x sin x

12. 3
Bài 43 2 sin  x +

9π
4

π

÷ = 2cos − x ÷

2

Bài 44 cos2x + cos5x – sin3x – cos8x = sin10x
cot 2 x − tan2 x
Bài 45
= 16(1 + cos4x )
cos2x
Bài 46 sin4x + 2cos2x + 4(sinx + cosx) = 1 + cos4x
Bài 47 cosx(1 – tanx)(sinx + cosx) = sinx
(1 + cos2x )2
Bài 48 sin x +
= 2cos2x
2sin2x
2
Bài 49 2sin3x(1 – 4sin2x) = 1
Bài 50 cot x − tan x + 4sin2 x =
2
sin2x
B2002 sin 2 3 x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x
B2003 cot x − tan x + 4sin 2 x =
2
sin 2 x
B2004 5sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan 2 x
B2005 1 + sinx + cos x + sin 2 x + cos2 x = 0
x
B2006 cot x − sin x(1 + tan x tan ) = 4
2
2
B2007 2sin 2 x + sin 7 x − 1 = sin x
B2008 s inx + cos x sin 2 x + 3cos3x = 2(cos4 x + sin 3 x)
B2012 2(cos x + 3 sinx)cos x = cos x − 3 sinx + 1
3 s in2x+ cos 2 x = 2cos x −1
A2012
A2003 cot x − 1 =
cos2 x
1
+ sin 2 x − sin 2 x
1 + tan x
2
A2005 cos3 3x cos 2 x − cos 2 x = 0
2 ( cos 6 x + sin 6 x ) − sin x cos x
A2006
(
)
2 − 2sin x
(
=0
)
2
2
A2007 1 + sin x cos x + 1 + cos x sinx = 1 + sin 2 x
1
+
A2008 s inx
 7π

= 4sin 
− x÷
3π 

 4

sin  x − ÷
2 

1
( 1 − 2sin x ) cos x
A2009 1 + 2sin x 1 − sin x = 3
(
)(
)

13. (
3
B2009 sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x + sin x
)
D2009. 3 cos 5 x − 2sin 3x cos 2 x − sin x = 0
2
CĐ2009 ( 1 + 2sin x ) cos x = 1 + sin x + cos x
π
( 1+ sin x + cos2 x ) .sin  x +  1

÷
4
A2010

=
cos x
1 + tan x
2
B2010 ( sin 2 x + cos 2 x ) cos x + 2cos 2 x − sin x = 0
D2010 sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cosx −1 = 0
5x
3x
CĐ2010 4cos cos + 2 ( 8sin x −1) cos x = 5
2
2
1 + sin 2 x + cos 2 x
= 2 sin x sin 2 x
A2011
1 + cot 2 x
B2011 sin 2 x cos x + sin x cos x = cos 2 x + sin x + cos x
s in2x + 2 cos x − sin x −1
=0
D2011
tan x + 3
CĐ2011 cos4x + 12sin2 x − 1 = 0
2 x π 
2
2 x
D2003 sin  − ÷tan x − cos = 0
2
2 4
D2004 ( 2cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin 2 x − sinx


4
4
D2005 cos x + sin x + cos  x −
π 
π 3
÷sin  3 x − ÷− = 0
4 
4 2
D2006 cos3x + cos2 x − cos x − 1 = 0
2
x
x

D2007  sin + cos ÷ + 3cosx = 2
2
2

D2008 2sin x ( 1 + cos2 x ) + sin 2 x = 1 + 2cos x


A2013 1 + t anx = 2 2 sin  x +
π
÷
4
B2013 2sin 5 x + 2cos 2 x = 1
D2013 sin 3 x + cos2 x − s inx = 0
VI. TÍCH PHÂN

14. 2
π
4
4−x
dx
x
2
Bài 1: I = ∫
1
e2
2
Bài 3: I = ∫ x ln ( 1 + x ) dx
(
1
π
2
dx
I=∫
π ( sin x − cos x ) sin x
sin x − cos x + 1
dx
Bài 9: I =
sin x + 2 cos x + 3
∫
0
∫
A2003
D2003
B2005
A2006
)
− x dx
A2005
sin 2 xcosx
dx
1 + cos x
0
D2005
∫
∫
0
1
D2006
B2004
π
2
π
2
sin 2 x
cos 2 x + 4sin 2 x
1
π
2
1 + 3ln x ln x
dx
x
sin 2 x + s inx
dx
1 + 3cos x
0
∫
π
2
∫(e
sinx
dx
B2006
π

sin  x − ÷dx
4

∫ sin 2 x + 2 ( 1 + s inx + cos x )
0
dx
−x
−3
ln 3 e + 2e
∫
e
D2007
∫x
x
3
ln 2 xdx
1
2
D2008
)
+ cos x cos xdx
ln 5
0
B2008
∫
0
2x
∫ ( x − 2 ) e dx
π
4
− x dx
e
xdx
∫ 1+ x −1
1
2
2
0
2
∫ ln ( x
∫x
dx
x x2 + 4
5
2
1- 2sin2 x
ò 1+ sin2x dx
0
2
 1 + cos x 
2 3
4
p
4
dx
Bài 10: I =  1 + sin x  e x dx
÷
∫
0
dx
Bài 11: I = ∫
2
−3x
π cos x ( 1 + e
)
−
D2003
1 + sin 2x
π
2
π
4
3
sin x − cos x
π
4
π
)
I=∫
Bài 8: I = ∫
4 cos 2x
dx
cos x + cos 3x
0
Bài 7: I = ∫
2 ln 2 x + 1
sin x + cos x
dx
0 3 + sin 2x
Bài 6:
π
2
π
3
3
dx
π
4
3
A2004
ln xdx
Bài 4: ∫
x 1+
0
B2003
cos x 1 + cos 2 x
π
6
1
Bài 5:
tan x
Bài 2: I = ∫
ln x
dx
x3
1
∫

15. π
2
∫ ( cos x −1) cos
A2009
3
3
2
xdx
D2009
1
1
A2010
∫
1
dx
òex -
CĐ2009
1
1 + 2e
x
e
dx
B2010
∫
0
4
D2011
I=∫
0
)
+ x e x dx
ln x
1
1
3

D2010 ∫  2 x − ÷ln xdx
x
1
A2011 I =
- 2x
∫ x ( 2 + ln x ) 2 dx
e
π
4
ò( e
dx
2
0
x 2 + e x + 2 x2e x
0
( x + 1)
1
0
3
3 + ln x
ò
B2009
CĐ2010
2 x −1
dx
x +1
0
∫
π
3
x sin x + ( x + 1) cos x
dx
x sin x + cos x
B2011 I = ∫ 1 + x sin x dx
2
0
4x − 1
dx
2x + 1 + 2
cos x
2
2x + 1
CĐ2011 I = ∫1 x(x + 1) dx
1 + ln ( x + 1)
dx
A2012 I = ∫
x2
1
1
3
x3
B2012 I = ∫ x 4 + 3x 2 + 2 dx
0
π
4
2
x2 −1
A2013 I = ∫ 2 ln xdx
x
1
D2012 I = ∫ x ( 1 + sin 2 x ) dx
0
1
1
2
B2013 I = ∫ x 2 − x dx
D2013 I =
0
∫
0
( x + 1)
2
x2 + 1
dx
VII. SỐ PH ỨC
I) Dạng đặt z = a + bi ( a ; b Î ¡
)
B2009 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25
D2010 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z = 2 và z 2 là số thuần ảo
2
CĐ2010 Cho s.phức z thỏa mãn điều kiện ( 2 − 3i ) z + ( 4 + i ) z = − ( 1 + 3i ) . Tìm phần thực
và phần ảo của z
2
A2011 Tìm tất cả các số phức z, biết z2 = z + z .
D2011 Tìm số phức z, biết : z − (2 + 3i) z = 1 − 9i
A2011 Tính môđun của số phức z, biết: (2z – 1)(1 + i) + ( z +1)(1 – i) = 2 – 2i.
CĐ2011 Cho số phức z thoả mãn (1+2i)2z + z = 4i - 20. Tính môđun của z.

16. II) Dạng tính trực tiếp
2
CĐ2009 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( 1 + i ) ( 2 − i ) z = 8 + i + ( 1 + 2i ) z . Tìm phần
thực và phần ảo của z
A2010 Tìm phần ảo của số phức z biết z = ( 2 + i ) ( 1 − 2i )
2
A2010 Cho số phức z thỏa mãn
B2011 Tìm số phức z, biết: z −
( 1− 3i )
z=
3
1− i
tìm môđun của số phức z + iz
5+i 3
−1 = 0 .
z
3
 1+ i 3 
B2011 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = 
 1+ i ÷ .
÷


III) Dạng giải phương trình
CĐ2011 Cho số phức z thoả mãn z 2 - 2( 1+ i ) z + 2i = 0 . Tìm phần thực và phần ảo của
1
.
z
D2009 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn điều kiện z − ( 3 − 4i ) = 2
B2010 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn điều kiện z − i = ( 1 + i ) z
A2009 Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z2+2z+10 = 0. Tính giá trị của
biểu thức: A = z12 + z22
CĐ2009 Giải phương trình sau trên tập số phức
4 z − 3 − 7i
= z − 2i
z −i
CĐ2010 Giải phương trình sau trên tập số phức z 2 − ( 1 + i ) z + 6 + 3i = 0
VIII. TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
I) Phương trình đường thẳng
A2009 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) là
giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M ( 1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung

17. điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
thẳng AB.
∆ : x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường
D2009 Cho ∆ABC có M ( 2;0 ) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường
cao đi qua đỉnh A lần lượt có phương trình là d1 : 7 x − 2 y − 3 = 0; d 2 : 6 x − y − 4 = 0 . Viết
phương trình đ thẳng AC.
B2010 Cho ∆ABC vuông tại A có đỉnh C ( −4;1) , phân giác trong góc A có phương trình
là d : x + y − 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng BC biết S∆ABC = 24 và điểm A có
hoành độ dương.
D2010 Cho điểm A ( 0; 2 ) và ∆ là đường thẳng đi qua O. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của A lên ∆ . Viết phương trình của ∆ , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH.
D2011 Trong mặt phẳng tỏa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn (C) : x 2 + y2 − 2x
+ 4y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại điểm M và N sao cho tam giác
AMN vuông cân tại A.
CĐ2011 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y + 3=0. Viết
phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; -4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng
45o.
CĐ2011 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các
cạnh là AB: x + 3y - 7 = 0, BC : 4x + 5y - 7 = 0, CA : 3x + 2y - 7 = 0. Viết phương
trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
II) Phương trình đường tròn
A2010 Cho các đường thẳng d1 : 3x + y = 0; d 2 : 3x − y = 0 . Gọi (T) là đường tròn tiếp
xúc với d1 tại A, cắt d 2 tại 2 điểm B, C sao cho ∆ABC vuông tại B. Viết phương trình
đường tròn (T) biết S∆ABC =
3
và điểm A có hoành độ dương.
2
x2 y2
= 1 . Gọi F1; F2 là các tiêu điểm của (E),
B2010 Cho điểm A ( 2; 3 ) và elip ( E ) : +
3
2
( F1 có hoành độ âm), M là giao điểm có tung độ dương của AF1 với (E); N là điểm đối
xứng của F2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ANF2 .
III) Tìm điểm thỏa điều kiện cho trước
A2009 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn

18. (C) : x 2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng ∆ : x + my – 2m + 3 = 0 với m là
tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để ∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
A và B sao cho diện tích ∆IAB lớn nhất.
2
B2009 Cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + y 2 =
4
và hai đường thẳng:
5
d1 : x − y = 0; d 2 : x − 7 y = 0 . Xác định tâm K và bán kính đường tròn ( C1 ) biết
xúc với các đường thẳng d1; d 2 và tâm K thuộc đường tròn (C ).
( C1 ) tiếp
B2009 Cho ∆ABC cân tại A có đỉnh A ( −1; 4 ) và các đỉnh B, C thuộc d : x − y − 4 = 0 . Xác
định tọa độ các điểm B, C biết ∆ABC có diện tích bằng 18.
2
D2009 Cho đường tròn ( x −1) + y 2 = 1 . I là tâm của (C) xác định điểm M thuộc (C) sao
·
cho IMO = 300
CĐ2009 Cho ∆ABC có C ( −1; − 2 ) . Đường trung tuyến kẻ từ A và đường cao đi kẻ từ B
lần lượt có phương trình là d1 : 5 x + y − 9 = 0; d 2 : x + 3 y − 5 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B.
CĐ2009 Cho các đường thẳng d1 : x − 2 y − 3 = 0; d 2 : x + y + 1 = 0 . Tìm điểm M thuộc d1
sao cho d ( M ; d 2 ) =
1
2
A2010 Cho ∆ABC cân tại A ( 6;6 ) . Đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB, AC có
phương trình là d : x + y − 4 = 0 .Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết rằng điểm E ( 1; − 3) nằm trên
đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
D2010 Cho ∆ABC có đỉnh A ( 3; − 7 ) , trực tâm H ( 3; − 1) , tâm đường tròn ngoại tiếp
I ( −2; 0 ) . Xác định tọa độ đỉnh C biết C có hoành độ dương.
A2011 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn
(C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp
tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác
MAIB có diện tích bằng 10.
A2011 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) :
x2 y 2
+
= 1 . Tìm tọa độ các điểm A và
4 1
B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn
nhất.

19. 37. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x – y – 4 = 0 và d : 2x – y – 2
= 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng
∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
B2011 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆ : x – y – 4 = 0 và d : 2x
– y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường
thẳng ∆ tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
1 
B2011 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B  ;1÷. Đường tròn
2 
nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E,
F. Cho D (3; 1) và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết
A có tung độ dương.
D2011 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B( - 4; 1) , trọng tâm
G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình x − y − 1 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
IX. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I) HÌNH CHÓP
A2009 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB =
AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0. Gọi I là trung
điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
CĐ 2009 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a 2 .
Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm của SA; SB và CD. Chứng minh MN vuông góc với
SP và tính thể tích khối tứ diện AMNP.
A2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; M; N lần lượt là trung
điểm của AB và AD; H = CN I DM và SH vuông góc với (ABCD) và SH = a 3 . Tính
thể tích khối chóp S .CDNM và khoảng cách giữa DM và SC.
D2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA= a ; hình
chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH =
AC
. CM là đường
4
cao của tam giác SAC. CMR: M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện
SMBC.

20. CĐ2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, và (SAB) vuông góc với
đáy, SA = SB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 450 . Tính VS . ABCD
A2011 Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a;
hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S. BCNM và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
D2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
BA = 3a, BC
·
= 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC =
0
30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
theo a.
CĐ2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 30 0.
Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a.
II) LĂNG TRỤ
B 2009 Cho lăng trụ ABC. A′B′C ′ có BB′ = a và góc giữa BB′ và (ABC) bằng 600 . Tam
·
giác ABC vuông tại C và BAC = 600 . Hình chiếu vuông góc của B′ lên (ABC) trùng với
trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A′. ABC .
D 2009 Cho lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA′ = 2a , A′C = 3a . M là trung điểm của A′C ′ và I = AM I A′C . Tính thể tích khối chóp
I . ABC và khoảng cách từ A đến (IBC).
B2010 Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có AB = a và góc giữa ( A′BC ) và (ABC)
bằng 600 . G là trọng tâm của tam giác A′BC . Tính thể tích khối lăng trụ và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện GABC.
B2011 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật.
AB = a, AD
= a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A 1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm
AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD 1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối
lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a.
X. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3 ; 1 ; 1), B(1 ; 2 ; −1) và đường thẳng
( d) :
x −1 y z
= = .
2
2 1
Tìm hình chiếu vuông góc A', B' của A, của B lên (d) và viết phương
trình đường thẳng đi qua A', B'.

21. Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( α ) : x + 2y − z + 5 = 0 và đường
thẳng
mp ( α )
d:
x + 3 y +1 z − 3
=
=
.
2
1
1
Viết phương trình tham số của hình chiếu vuông góc của d trên
.
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(3; 0; 0), B(0; 2; 0) và C(0; 0; 4). Viết
phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC (O là gốc tọa độ) và tính bán kính
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1 ; 1 ; 1) và
N(2 ; -1 ; 5) và viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm
ấy.
Bài 5: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ đi qua M(-4 ; -5 ; 3) và cắt hai đường
thẳng:
 x = −1 + 3t
( d1 ) :  y = −3 − 2t

z = 2 − t

và
 x = 2 + 2t
( d 2 ) :  y = −1 + 3t

 z = 1 − 5t

Bài 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A(0; 1; 2), B(-1; 1; 0) và mặt phẳng
(P): x – y + z = 0. Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB vuông
cân tại B.
x =1 + 2t

Bài 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d): y = 2 + t và
z = 4 −t

điểm M(0; 2; 3). Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và khỏang cách từ M đến (P)
bằng 1.
x = 7 + t '
x = 3 − 7t


Bài 8:Cho hai đường thẳng (d1): y = 1 + 2t và (d2):  y = 3 + 2t '
z = 1 + 3t
z = 9 − t '


Lập phương trình đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (d1) qua (d2).
Bài 9:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;1).
Chứng minh rằng: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm độ dài đường cao của tam
giác ABC kẻ từ đỉnh A.
Bài 10:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu
(S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2 x + 6 y − 4 z − 2 = 0 .
r
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ v(1;6; 2) , vuông góc với
mặt phẳng (α ) : x + 4 y + z − 11 = 0 và tiếp xúc với (S).

22. Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và
 x = 2 + 3t

đường thẳng d có phương trình  y = −2t (t ∈ R) . Tìm trên d những điểm M sao cho tổng
 z = 4 + 2t

khoảng cách từ M đến A và B là nhỏ nhất.

25. A2009 Trong không gian cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và 2 đường thẳng
∆1 :
x +1 y z + 9
x −1 y − 3 z +1
= =
=
=
; ∆2 :
. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường
1
1
6
2
1
−2
thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M đến mặt
phẳng (P) bằng nhau.
B2009 Trong không gian cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 5 = 0 và 2 điểm A ( −3;0;1) ,
B ( 1; − 1;3) . Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết pt đt mà
khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
B2009 Cho tứ diện ABCD với A ( 1; 2;1) ; B ( −2;1;3) ; C ( 2; − 1;1) ; D ( 0;3;1) .
Viết ptmp(P) đi qua A, B sao cho d ( C ; ( P ) ) = d ( D; ( P ) )
D2009 Trong không gian cho mặt phẳng (P) : x – y + z – 20 = 0 và 3 điểm A ( 2;1;0 ) ,
B ( 1; 2; 2 ) , C ( 1;1;0 ) . Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng
CD song song với (P).
D2009 Trong không gian cho mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0 và đường thẳng ∆ :
x+2 y−2 z
=
= . Viết pt đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d vuông góc và cắt ∆ .
1
1
−1
CĐ2009 Cho tam giác ABC với A ( 1;1;0 ) ; B ( 0; 2;1) và trọng tâm G ( 0; 2; − 1) . Viết pt
đường thẳng d đi qua C và vuông góc với (ABC).
CĐ2009 Cho các mp ( P ) : x + 2 y + 3z + 4 = 0 và ( P2 ) : 3x + 2 y − z + 1 = 0 . Viết ptmp(P) đi qua
1
A ( 1;1;1) và vuông góc với ( P ) ; ( P2 ) .
1

26. A2010 Trong không gian cho mặt phẳng (P) : x – 2y + z
x −1 y z + 2
= =
. Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là
2
1 −1
= 0 và đường thẳng ∆ :
điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC = 6 .
A2010 Cho điểm A ( 0;0; − 2 ) và ∆ :
x+ 2 y −2 z +3
=
=
. Tính d ( A; ∆ ) . Viết pt mặt cầu tâm
2
3
2
A cắt ∆ tại 2 điểm B, C sao cho BC = 8.
B2010 Cho 3 điểm A ( 1;0;0 ) ; B ( 0; b;0 ) ; C ( 0;0; c ) ( b, c > 0 ) và mp ( P ) : y − z + 1 = 0 . Xác định
b, c biết (ABC) vuông góc với (P) và d ( O; ( ABC ) ) =
B2010 Cho ∆ :
d ( M ; ∆ ) = OM .
D2010
1
3
x y −1 z
=
= . Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho
2
1
2
x = 3+ t

Cho hai đường thẳng ( ∆1 ) :  y = t ;
z = t

( ∆2 ) :
x − 2 y −1 z
=
= .
2
1
2
Xác định điểm M thuộc ∆1 sao cho d ( M ; ∆ 2 ) = 1 .
D2010 Cho các mp ( P ) : x + y + z − 3 = 0 và ( Q ) : x − y + z −1 = 0 . Viết pt mp(R) vuông góc
với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bằng 2.
CĐ2010 Cho đường thẳng d :
x y −1 z
=
=
và ( P ) : 2 x − y + 2 z − 2 = 0 .
−2
1
1
a) Viết pt mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P).
CĐ2010 Cho 2 điểm A ( 1; − 2;3) ; B ( −1;0;1) và mp ( P ) : x + y + z + 4 = 0 .
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên (P).
b) Viết pt mặt cầu (S) có bán kính bằng
AB
, có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp
6
xúc với (P).
A2011 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) và
mặt phẳng (P): 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
A2011 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x 2 + y2 + z2–4x–4y–
4z=0 và điểm A (4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và
tam giác OAB đều.

27. B2011 Trong không gian hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
x − 2 y +1 z
=
=
và mặt
1
−2
−1
phẳng (P) :
x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M
thuộc (P) sao cho MI vuông góc với ∆ và MI = 4 14 .
B2011 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
x + 2 y −1 z + 5
=
=
và
1
3
−2
hai điểm A (-2; 1; 1); B (-3; -1; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho
tam giác MAB có diện tích bằng 3 5 .
D2011 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng
d:
x +1 y z − 3
= =
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với
2
1
−2
đường thẳng d và cắt trục Ox.
D2011 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
x −1 y − 3 z
=
= và
2
4
1
mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng
∆, bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
CĐ2011 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A ( - 1; 2; 3) , B(1; 0; -5) và
mặt phẳng (P) : 2x + y - 3z - 4 =0. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho ba điểm A, B,
M thẳng hàng.
x −1 y + 1 z −1
=
=
. Viết phương trình
4
−3
1
mặt cầu có tâm I (1; 2; -3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB = 26 .
CĐ2011 Trong hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x − 6 y +1 z + 2
=
=
và điểm A(1 ;7 ;3). Viết ptmp (P) đi
−3
−2
1
qua A và vuông góc với d. Tìm toạ độ M thuộc d sao cho AM = 2 30
A.A1 2013. Trong Oxyz cho d :

28. XI. CÁC DẠNG KHÁC
A2009 CMR với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz,
ta có: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z)3.
CĐ2009 Cho 2 số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b < 1. Chững minh rằng :
a 2 ln b − b 2 ln a > ln a − ln b
3
B2009 Cho x, y là các số thực thay đổi và thỏa hệ thức ( x + y ) + 4 xy ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ
4
4
2 2
2
2
nhất của biểu thức P = ( x + y + x y ) − 2 ( x + y ) + 1
D2009 Cho x, y là các số thực không âm thay đổi và thỏa hệ thức x + y =1 . Tìm giá trị
2
2
lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức S = ( 4 x + 3 y ) ( 4 y + 3x ) + 25 xy
B2010 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa hệ thức a + b + c = 1 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức M = 3 ( a 2b2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) + 3 ( ab + bc + ca ) + 2 a 2 + b 2 + c 2
D2010 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = − x 2 + 4 x + 21 − − x 2 + 3x + 10
CĐ2010 Cho x, y là các số thực dương thay đổi và thỏa hệ thức 3x + y ≤ 1 . Tìm giá trị
1
1
nhỏ nhất của biểu thức A = x + xy
A2011 Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1 ; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất
x
y
z
của biểu thức P = 2 x + 3 y + y + z + z + x .
B2011 Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn : 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm
 a3 b3   a 2 b2 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4  3 + 3 ÷− 9  2 + 2 ÷.
b a  b a 