signaly

1. РАЗДЕЛ 1. СИГНАЛЫ.
Основным режимом работы систем связи является режим
негармонического воздействия. При этом электрическое воздействие на цепь
обычно называют сигналом, имея в виду, что с этим электрическим процессом
связана какая-то информация.
Основные характеристики сигналов и их классификация.
Для описания свойств сигналов в основном используются следующие виды
функций:
I. временные функции (s(t), a(t), x(t), y(t)), которые показывают, как сигналы
меняются во времени;
II. 
спектры (A(nΩ), S(ω) ) – характеристики сигнала в частотной области,
которые показывают, колебания каких частот содержит сигнал, а
также каковы амплитуды и начальные фазы гармоник;
III. энергетические характеристики:
а) p(t) – мгновенная мощность, которая рассчитывается по формуле
p(t)=s2(t), исходя из предположения, что мощность выделяется на резисторе
сопротивлением в 1 Ом;
б) Э∆t – энергия сигнала за конечный интервал времени
t2
Э ∆t = ∫ p( t )dt , t2 - t1 = ∆t,
t1
в) Pср=ЭΔt /Δt– средняя мощность
Классификация сигналов.
Классификация сигналов проводится по различным признакам, и
соответственно один сигнал может быть охарактеризован разными терминами.
Классификацию сигналов можно проводить по нескольким признакам.
1. По вероятности Р, с которой можно предсказать значения сигнала все
сигналы делятся на
а) детерминированные, Р=1,
б) случайные, Р<1.
2. По связи значений сигнала с переносимой информацией все сигналы
делятся на
а) управляющие (информационные),
б) модулированные (радиосигналы).
У управляющего сигнала с информацией связано мгновенное значение, а у
модулированного – только один из параметров. На рис. 1.1 x(t) – закон, по
которому изменяется информация, s(t) – управляющий сигнал,
a(t) –амплитудно-модулированный сигнал.
9

2. x(t)
а)
t
s(t)
б)
t
a(t)
в) t
Рис. 1.1. а) сообщение, б) управляющий сигнал, в) амплитудно-
модулированный сигнал
3. По способу задания сигнала в области существования сигналы могут
быть:
а) аналоговыми,
б) дискретными,
в) квантованными,
г) цифровыми.
Область существования по оси абсцисс характеризуется интервалом
значений времени, при которых определен сигнал, а по оси ординат –
диапазоном значений, которые может принимать временная функция сигнала.
Аналоговые сигналы задают для всех моментов времени и по уровню они
могут принимать любое значение в области существования (рис. 1.2).
Дискретные сигналы задаются только для отдельных моментов времени,
следующих с конечным шагом ∆t, а по уровню могут принимать любое
значение (рис. 1.3).
Квантовые сигналы задаются для всех моментов времени, но по уровню они
могут принимать лишь отдельные разрешённые значения, отстоящие на
конечную величину ∆S (рис. 1.4).
s(t) s(t)
s s
max max
0 T t 0 Δt T t
c c
Рис.1.2. Аналоговый сигнал Рис.1.3. Дискретный сигнал
10

3. s(t) s(t)
s s
max
max
∆s ∆s
T t ∆t T t
c c
Рис. 1.4. Квантованный сигнал Рис. 1.5. Цифровой сигнал
Цифровые сигналы дискретны по времени и квантованы по уровню (рис.
1.5).
Наиболее распространены аналоговые и цифровые сигналы.
Рассмотрим более подробно детерминированные сигналы. Они делятся на:
а) периодические, для которых должно выполняться условие s(t) = s(t ± nT), где
Т- период повторения сигнала, n-любое целое число,
б) непериодические, для которых это условие не выполняется.
Периодические сигналы теоретически должны существовать бесконечно
долго (Tc → ∞), так как условие периодичности должно выполняться при
любых n, в том числе и n → ∞ . В реальной жизни сигналы считают
практически периодическими, если Tc >> T.
В заключение рассмотрим пример реального радиотехнического сигнала и
проведем его классификацию.
Пример: импульс на входе радиоприёмника: случайный, модулированный,
аналоговый, непериодический.
Спектральный (гармонический) анализ периодических сигналов.
Теоретическое определение спектра периодического сигнала сводится к
разложению его временной функции в ряд Фурье.
Преимущества применения этого аппарата состоят в том, что:
1) результаты разложения имеют конкретный физический смысл и могут
использоваться для синтеза сигналов, для исследования передачи таких
сигналов через линейные цепи,
2) коэффициенты разложения взаимно независимы.
Ниже приведена основная форма ряда Фурье, применяемая для
представления периодических сигналов
a ∞
s( t ) = 0 + ∑ A n cos(nΩt − Ψn ) , (1.1)
2 n =1
где Ω = 2π / T – основная частота в спектре периодического сигнала или первая
гармоника.
Параметры ряда Фурье определяют по формулам
11

4. a0 1 T
= ∫ s( t )dt – постоянная составляющая,
2 T0
(1.2)
2T
a n = ∫ s( t ) cos(nΩt )dt , (1.3)
T0
2T
b n = ∫ s( t ) sin(nΩt )dt , (1.4)
T0
A n = a 2 + b2 ≥ 0
n n
(1.5)
– амплитуды гармоник,
ψn =arctg(bn / an) (1.6)
– начальные фазы гармоник.
Результаты разложения чаще всего иллюстрируют построением графиков
амплитудного, а в некоторых случаях и фазового спектра (рис. 1.6, 1.7)
An
A1 ψn
A2 ψ3
A3 ψ1
a0 ψ2
A4 ψ4
2
0 Ω 2Ω 3Ω 4Ω nΩ 0 Ω 2Ω 3Ω 4Ω nΩ
Рис. 1.6. Амплитудный спектр Рис. 1.7. Фазовый спектр
периодического сигнала периодического сигнала
Признаки спектра периодического сигнала:
1. спектр - дискретный (линейчатый), т.е. состоит из отдельных гармоник,
смещённых одна относительно другой не менее чем на величину Ω,
2. амплитуды гармоники An – конечные величины, имеющие ту же
размерность, что и функция s(t)
Значительно реже при спектральном анализе периодических сигналов
применяют комплексную форму ряда Фурье
∞
s( t ) = ∑ C n e jnΩt ,
 (1.7)
n = −∞
где
1T
C n = ∫ s( t )e − jnΩt dt
 (1.8)
T0
– комплексные коэффициенты Фурье.
Это обусловлено тем, что в (1.7) присутствуют слагаемые с отрицательными
“n”, а значит в спектре сигнала предполагается наличие отрицательных частот.
12

5. Спектральный анализ непериодических сигналов.
Для установления правил спектрального анализа непериодических сигналов
и выявления особенностей спектра непериодического сигнала используем
следующий прием. Образуем на основе непериодического сигнала (одиночного
импульса s(t)), периодический сигнал sпер(t) путем повторения отрезка
временной оси 0 ÷ T, T > τи , содержащего одиночный импульс, влево и вправо
по временной оси с шагом T (рис.1.8).
s(t) sпер(t)
0 τи T t 0 τи T T+τ 2T 2T+τ t
Рис. 1.8. Формирование периодического сигнала
из одиночного импульса.
Для периодического сигнала запишем его разложение в комплексный ряд
Фурье, а затем совершим предельный переход T → ∞ .
∞ ∞ 1T
Sпер ( t ) = ∑ C n e jnΩt = ∑ ( ∫ s( t )e − jnΩt dt )e jnΩt
 (1.9)
n = −∞ n = −∞ T0
s(t) = lim sпер(t), (1.10)
(T → ∞)
При этом мы вернемся к временной функции непериодического сигнала, а
преобразованное выражение комплексного ряда Фурье даст правило
спектрального анализа непериодического сигнала. В процессе предельного
перехода (1.10) произойдут следующие изменения правой части (1.9):
1. шаг гармоник по оси частот станет бесконечно малым и соответственно
независимая переменная в функции спектра – частота, станет непрерывной
Ω = 2π/T → dω, nΩ → ω,
2. комплексные амплитуды гармоник в спектре также станут бесконечно
малыми

A n → dA
Выражение (7.9) с учетом (7.10) можно записать в виде двух равенств
∞
S(ω) = ∫ s( t )e − jωt dt
 (1.11)
−∞

– прямое преобразование Фурье, где S(ω) – функция спектральной плотности,
1 ∞ jωt
s( t ) = ∫ S(ω)e dω (1.12)
2π − ∞
– обратное преобразование Фурье.
13

6. Выражение (1.11) напрямую можно использовать только для определения
спектральной плотности сигналов s( t ) , отвечающих условию абсолютной
интегрируемости
∞
∫ s( t ) dt < ∞ . (1.13).
−∞
Особенности спектра непериодического сигнала:
1. спектр – сплошной, т.е. состоит из гармонических составляющих, частоты
которых следуют одна за другой с бесконечно малым шагом;
2. амплитуды гармоник в спектре бесконечно малы и не могут служить
характеристикой спектра; поэтому в качестве такой характеристики
вводится специальная функция спектральной плотности S(ω) , 
имеющая смысл комплексной амплитуды, приходящейся на единицу
частоты:
dA

S(ω) = π (1.14)
dω
Размерность спектральной плотности [В/Гц]. Наряду с различиями спектр
периодического и непериодического сигналов могут иметь общие моменты.
Это будет, если, как на рис. 1.8, одиночный импульс по форме совпадает с
одним из импульсов периодической последовательности. В этом случае
графики модуля спектральной плотности одиночного импульса и огибающей
линейчатого спектра периодической последовательности таких импульсов
имеют одну форму и отличаются только масштабом:
 Ω
A n = S(ω) . (1.15)
π ω= nΩ
Например, спектр периодической последовательности прямоугольных
импульсов (рис. 1.9 а) с амплитудой Е, длительностью τи и периодом
повторения Т определяется выражением
E ∞ 2E
s( t ) = + ∑ cos(nΩt − ψ n ), (1.16)
N 1 nπ
T
где N = – скважность импульсной последовательности. График
τи
амплитудного спектра представлен на рис 1.9 б.
Одиночный прямоугольный импульс (рис. 1.9 в) с амплитудой Е и
длительностью τи имеет спектральную плотность
. sin(ωτ и / 2)
S(ω) = Eτ ⋅ . (1.17)
(ωτ и / 2)
Амплитудный спектр импульса представлен на рис 1.9 г
14

7. Сравнение рис. 1.9 б и рис. 1.9 г позволяет обнаружить и характерные
различия спектров периодического и непериодического сигналов и
возможность наличия у них общих признаков.
s (t)
пер An
а) б)
t Ω 2Ω 3Ω nΩ
s (t) S(ω)
непер
г)
в)
t ω
Рис. 1.9. Сравнение спектра периодического сигнала и
спектральной плотности одиночного импульса
Свойства преобразования Фурье. (Теоремы о спектрах).
Временная функция сигнала s(t) и его спектральная плотность S(jω) связаны
преобразованиями Фурье (1.11, 1.12). Изменение любой из этих функций
влечет соответствующее изменение другой. В рамках данного параграфа будут
рассмотрен ряд теорем (свойств преобразования Фурье), где будут
производиться определенные операции с временной функцией сигнала и
анализироваться изменения в спектре.
1. Линейность. Если временная функция сигнала s(t) представлена линейной
комбинацией вспомогательных функций s1(t), s2(t),…
s(t) = as1(t) + bs2(t) + cs3(t) +….,
то аналогичное правило будет связывать спектральные плотности этих
сигналов
   
S(ω) = aS1 (ω) + bS 2 (ω) + cS 3 (ω) + .... … (1.18)

2. Запаздывание. Если сигнал s( t ) имеет спектральную плотность S(ω) , то
сигнал такой же формы, отличающийся лишь запаздыванием во времени на t0,
т.е. s1( t ) = s( t − t 0 ) , будет иметь спектральную плотность
1 S (ω) = S(ω) ⋅ e − jωt 0 .
  (1.19)
15

8. Соотношение между временными функциями сигналов s( t ) и s1( t ) показано
на рис. 1.10, а соотношение между модулями и аргументами комплексных
функций S(jω) и S1(jω) представлено выражениями (1.20)
   
S1 (ω) = S(ω) , arg[S1 (ω)] = arg[S(ω)] − ωt 0 . (1.20)
s(t) s (t)
1
0 τ t 0 t τ +t t
и 0 и 0
Рис. 1.10. Соотношение между сигналом s(t) и его
смещенной копией s1(t)
3. Изменение масштаба функции по временной оси (сжатие, растяжение
сигнала).
Характер изменения временной функции исходного сигнала s( t )
представлен на рис. 1.11, причем случай а) соответствует сжатию сигнала во
временной области, а случай б) – растяжению. Преобразование временной
функции в обоих случаях подчиняется правилу s1( t ) = s(nt ) , где n-коэффициент
сжатия.
s(t) s (t) s (t)
1 1
0 τ t 0 τ /n t 0 τ /n t
и и
и
а) n=1 б) n>1 в) n<1
Рис. 1.11. Характер изменения временной функции s(t)
при сжатии и растяжении импульса.

Полагая, что спектральная плотность исходного сигнала S(ω) – задана,
спектральную плотность преобразованного сигнала найдем по формуле
 1 ω
S1 (ω) = S( ) (1.21)
n n
Если импульс во временной области сжимается, то спектр его пропорционально
расширяется. И наоборот.
4. Произведение и свёрка временных функций.

Полагаем известными два сигнала – f ( t ) со спектральной плотностью F(ω) и

g( t ) со спектральной плотностью G (ω) . В этом случае спектральная плотность
сигнала
s ( t ) = f ( t )g ( t )
будет определяться по правилу
16

9.  1 ∞ 
S(ω) = ∫ G ( x )F[(ω − x )]dx , (1.22)
2π −∞
а спектральная плотность сигнала
∞
s( t ) = ∫ f (τ)g( t − τ)dτ
−∞
будет определяться по правилу
 
S(ω) = F(ω)G (ω) . (1.23)
Если временные функции перемножаются, то спектральные плотности
свёртываются. Если же временные функции свёртываются, то спектральные
плотности перемножаются.
5. Дифференцирование и интегрирование временных функций:
Известен исходный сигнал s( t ) и его спектральная плотность S(jω).
Тогда производная функции s(t)
ds( t )
s1( t ) =
dt
будет иметь спектральную плотность
 
S1 (ω) = jωS(ω) , (1.24)
а интеграл функции s(t)
t
s1( t ) = ∫ s( t )dt
−∞
будет иметь спектральную плотность

S(ω)

S1 (ω) = . (1.25)
jω
При дифференцировании временной функции ее спектральная плотность в
соответствии с (1.22) умножается на функцию, линейно растущую с
увеличением частоты. Поэтому можно утверждать, что дифференцирование
усиливает высокочастотные составляющие спектра воздействия и ослабляет
низкочастотные составляющие. При интегрировании все происходит наоборот.
Связь длительности импульса и активной ширины спектра.
Сигналы ограниченной длительности теоретически имеют бесконечно
широкие спектры. Например, у одиночного прямоугольного импульса
функция спектральной плотности с ростом частоты убывает, периодически на
отдельных частотах приобретая нулевое значение (рис.1.12). Тем не менее,
S( jω) → 0 только при ω → ∞ . В реальной жизни говорить о сигналах с
бесконечно широким спектром нельзя, так как даже если бы такие сигналы и
существовали, то, проходя по реальным электрическим цепям с конечной
полосой пропускания, они неизбежно превратились бы в сигналы с
ограниченным спектром. Поэтому для сигналов типа прямоугольного импульса
и других сигналов конечной длительности нужно ограничить реальную ширину
спектра. Основанием для этого является уменьшение амплитуды пульсаций
17

10. спектральной плотности с ростом частоты (рис. 1.12). Конечно, исключение из
рассмотрения каких-то частот скажется на точности представления временной
функции. Но всегда можно выбрать верхнюю границу спектра так, чтобы
возникающая при этом погрешность не была слишком большой.
s(t) S(ω)
t -4π/τ -2π/τ 2π/τ 4π/τ 6π/τ ω
τ и и и и и
и
Рис.1.12. Одиночный прямоугольный импульс
и его спектральная плотность
Активной шириной спектра сигнала как раз и называют полосу частот,
которая с заданной точностью представляет временную функцию. Конкретные
правила определения активной ширины спектра сигнала ограниченной
длительности могут быть разными. Акцент может делаться либо на точность
воспроизведения временной функции, либо на сохранение заданной части
энергии сигнала. Например, для прямоугольного импульса за верхнюю границу
спектра часто берут частоту первого либо второго нуля спектральной
плотности, т. е. ωакт = 2π / τи либо ωакт = 4π / τи .
В любом случае найденная величина связана с длительностью импульса
соотношением
τиωакт = const.
(1.26)
Справедливость данного правила следует из третьего свойства
преобразований Фурье.
Спектр единичного импульса.
Единичным называют импульс, временная функция которого отвечает
условию
∞, t = 0 ∞
δ( t =  , ∫ δ( t )dt = 1
0, t ≠ 0 −∞
1/τ .
и
(1.27)
Единичный импульс является
Площадь имп.=1 стандартным воздействием. Он
должен подаваться на вход цепи
для определения ее импульсной
t
τ 18
и
Рис.1. 13. Формирование единичного
импульса

11. характеристики. Определенный нами сигнал вряд ли может существовать в
реальной жизни (хотя бы потому, что импульс имеет бесконечно большую
амплитуду). Однако единичный импульс можно считать предельным вариантом
сигнала, временная функция которого представлена на рис. 1.13.
При этом δ( t ) = lim s( t ) , τи → 0
Найдем спектр единичного импульса. Применяя (7.11) получаем
∞ ∞
S δ (ω) = ∫ δ( t )e − jωt dt = e − jωt
 ⋅ ∫ δ( t )dt = 1 (1.28)
−∞ t =0 −∞
Этот интеграл и ему подобные берутся с использованием фильтрующего
свойства функции δ(t). Так как подынтегральная функция отлична от нуля
только при одном значении аргумента (в данном случае t=0), то значение
подынтегральной функции (за исключением множителя δ( t ) ) при t=0 можно
вынести из-под интеграла, как константу.
Графики временной функции и спектра единичного импульса приведены на
рис. 1.14.
δ(t) S (ω)
δ
а) б)
1
0 t 0 ω
Рис. 1.14. Единичный импульс и его
спектральная плотность
Как видно, особенность спектра единичного импульса состоит в том, что
спектр бесконечно широкий и равномерный.
19