1. Izradile: Ana Damijanić, Katarina Ferenčić &
Andrija Novaković

2. 
Probleme maksimuma i minimuma
najednostavije rješavamo pomoću grafičke
metode, no često se koristi i simpleks metoda

Korištenjem tih metoda dobivamo
najoptimalnije rješenje problema

3. 









Riješite problem linearnoga programiranja grafičkom i simpleks
metodom, ako je zadano:
max Z = 2x1 + 6x2 uz ograničenja:
x1 + x2 ≤ 20
-x1 + 3x2 ≤ 6
3x1 - 4x2 ≤ 12
x1, x2 ≥ 0
a) označite skup mogućih rješenja te ekstremne točke,
b) izračunajte vrijednost funkcije cilja,
c) interpretirajte rješenje
d) interpretirajte vezu između grafičkog rješenja i iteracija
simpleks postupka prilikom rješavanja

5. 
A) Skup mogućih rješenja označen je zelenom bojom.
Ekstremne točke su A(0,2), B(4,0) i C(12,6)
• B) Vrijednost funkcije cilja iznosi: Z(C)=60
• C) Rješenje je jedinstveno, tj. optimalno rješenje
dobiva se u točki C(12,6)
• D) Prva iteracija simpleks metode ujedno predstavlja
ishodište grafičke metode, drugom iteracijom
dolazimo u točku A(0,2), a posljednjom iteracijom
dolazimo do rješenja, odnodno točke C(12,6)

6. Tablica1
RED
x1
x2
y1
y2
y3
cons.
0
1
-2
-6
0
0
0
0
Z=0
1
0
1
1
1
0
0
20
x1 = 0
2
0
-1
3
0
1
0
6
x2 = 0
3
•
•
•
•
Z
0
3
-4
0
0
1
12
Red2*1/3
Red2*2 + Red0
Red2*(-1/3) + Red1
Red2*4/3 + Red3

7. 
Ključni stupac Tablice1 je x2, a ključni redak
Red2

Ključni element je 3 (označen crvenom bojom) pa
na tom mjestu moramo dobiti 1, a ostali elementi
tog stupca moraju biti 0

U bazi su y1, y2, y3, a iz baze moramo izbaciti y2

Z=0, x1=x2=0 (ishodište)

8. Tablica2
RED
x1
x2
y1
y2
y3
cons.
0
1
-4
0
0
2
0
12
Z = 12
1
0
4/3
0
1
-1/3
0
18
x1 = 0
2
0
-1/3
1
0
1/3
0
2
x2 = 2
3
•
•
•
•
Z
0
5/3
0
0
4/3
1
20
Red3(Tablica2)*3/5
Red3(Tablica3)*1/3 + Red2(Tablica2)
Red3(Tablica3)*(-4/3) + Red1(Tablica2)
Red3(Tablica3)*4 + Red0(Tablica2)

9. 
Ključni stupac Tablice2 je x1, a ključni redak Red3

Ključni element je 5/3 pa na tom mjestu moramo
dobiti 1, a ostali elementi tog stupca moraju biti 0

U bazi su x2,y1,y3 a iz baze moramo izbaciti y3

Z=12, x1=0, x2=2; (A(0,2))

10. Tablica3
RED
Z
x1
x2
y1
y2
y3
cons.
0
1
0
0
0
26/5
12/5
60
Z = 60
1
0
0
0
1
-7/5
-4/5
2
x1 = 12
2
0
0
1
0
3/5
1/5
6
x2 = 6
3
0
1
0
0
4/5
3/5
12

11. 
Tablica3 prikazuje konačno rješenje

U bazi se nalazi x1, x2, y1

Z=60, x1=12, x2=6; (C(12,6))

12. 







Riješite problem linearnoga programiranja
grafičkom metodom, ako je zadano:
min Z=x+2y
x+2y ≥2
x-y+3 ≥0
x, y≥0
a) označite skup mogućih rješenja te
ekstremne točke,
b) izračunajte vrijednost funkcije cilja,
c) interpretirajte rješenje.

14. 

15. 








Riješite problem linearnoga programiranja
grafičkom metodom, ako je zadano:
max Z=x1+ x2
-x1+ x2≤1
x1-2 x2 ≤-2
2x1- x2 ≤4
x1, x2 ≥0
a) označite skup mogućih rješenja te ekstremne
točke
b) izračunajte vrijednost funkcije cilja,
c) interpretirajte rješenje.

17. 
A) Skup mogućih rješenja označen je zelenom
bojom. Ekstremne točke su A(0,1),
B(10/3,8/3) i C(5,6)
• B) Vrijednost funkcije cilja iznosi: Z(C)=11
• C) Rješenje je jedinstveno, tj. optimalno
rješenje je u točki C(5,6)

18. 






Riješite sljedeći problem grafičkom metodom,
ako je zadano:
min Z=3x-4y
x-y+2 ≥0
x-y≤2
a) označite skup mogućih rješenja te
ekstremne točke
b) izračunajte vrijednost funkcije cilja,
c) interpretirajte rješenje.

20. 
A) Skup mogućih rješenja označen je plavom
bojom. Ekstremne točke su A(0,2), B(2,0)

B) Vrijednost funkcije cilja iznosi: Z(A)=-8
• C) Rješenje je jedinstveno, tj. optimalno
rješenje je u točki A(0,2). U toj točki
postižemo negativnu dobit, odnosno trošak

21. 
Ove metode korisne su za pronalaženje
optimalnog rješenja na brz, jednostavan i
efikasan način.