Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Tablica integrala

16,177 views

Published on

Integral_formulas

Published in: Education
  • Be the first to comment

Tablica integrala

  1. 1. Tablice integrala i diferencijalnih jednadžbi
  2. 2. Tablica integrala 1. Potencije x n +1 1 ∫ x dx = n n +1 +c ∫ x dx = ln x + c 2. Trigonometrijske funkcije 1 ∫ sin xdx = − cos x + c ∫ sin axdx = − a cos ax + c ∫ cos xdx = sin x + c 1 ∫ cos axdx = a sin ax + c ∫ tgxdx = − ln cos x + c x 1 ∫ sin xdx = − sin 2 x + c 2 ∫ ctgxdx = ln sin x + c 2 4 x 1 1 ∫ cos xdx = 2 + 4 sin 2 x + c 2 ∫ sin 2 x dx = −ctgx + c 1 ∫ cos 1 2 dx = tgx + c ∫ sin x cos xdx = − 4 cos 2 x + c x sin n −1 ax ⋅ cos ax n − 1 ∫ sin axdx = − + n ∫ sin n −2 dx n na cos n −1 ax ⋅ sin ax n − 1 ∫ ∫ cos dx n−2 cos n axdx = + na n 1 1 ∫ sin axdx = 2 x − 4a sin 2ax + c 2 1 1 ∫ cos axdx = 2 x + 4a sin 2ax + c 2 1 1 cos ax n−2 dx ∫ sin n ax dx = − ⋅ n −1 + a ( n − 1) sin ax n − 1 ∫ sin n−2 ax 1 1 sin ax n−2 dx ∫ cos n ax dx = ⋅ n −1 + a( n − 1) cos ax n − 1 ∫ cos n−2 ax
  3. 3. ∫ sin m x cos n xdx m, n Є N 1. m-neparan = supstitucija cosx = t 2. n-neparan = supstitucija sinx = t 1 − cos 2 x sin 2 x = 2 3. m,n-parni = supstitucija 1 + cos 2 x cos 2 x = 2 1 1 ∫ sin n x dx supstitucija sin x = t t n −1 svodi se na integral ∫ t2 +1 1 1 ∫ cos n x dx supstitucija cos x = t 1 ∫ cos αx cos βxdx = ∫ 2 [ cos(α − β ) + cos(α + β ) ]dx 1 ∫ sin αx sin βxdx = ∫ 2 [ cos(α − β ) − cos(α + β ) ]dx 1 ∫ cos αx sin βxdx = ∫ 2 [sin (α − β ) + sin (α + β ) ]dx Euler-ova formula e xi − e − xi e xi + e − xi e = cos x + i ⋅ sin x xi ; sin x = ; cos x = 2i 2
  4. 4. 3. Racionalne funkcije 1  a  1 ∫ ax 2 + b dx = a ⋅b arctg    b ⋅ x + c   1 1 a+x ∫ a 2 − x 2 dx = 2a ln a − x + c 1 1 x−a ∫x −a 2 2 dx = ln 2a x + a +c 1 1 ∫ ax + b dx = a ln ax + b + c 2a ⋅ b1 − b1 a1 x + b1 a1 2ax + b a1 a1 ∫ ax 2 + bx + c dx = 2a ∫ ax 2 + bx + c dx + 2a ∫ ax 2 + bx + c dx x 1 b 2 − 4ac b 2 − 4ac − ( 2ax − b ) ∫ ax 2 + bx + c dx = 2a ln ax 2 + bx + c + 2a ( b 2 − 4ac ) ⋅ ln b 2 − 4ac + ( 2ax + b ) +c 4. Iracionalne funkcije 1 1  b  ∫ a 2 − bx 2 dx = b arcsin   a ⋅ x + c   ∫ 1 x ±a2 2 ( dx = ln x + x 2 ± a 2 + c ) 1 ∫ (x −α) n dx supstitucija ( x −α) = 1 ⋅ ax + bx + c 2 t Ostrogradski: Pn ( x ) 1 ∫ dx = Qn −1 ( x ) ⋅ ax 2 + bx + c + λ ∫ dx ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c
  5. 5. a>0 , 1 a ( ) ln 2 − a ⋅ ax 2 + bx + c + 2ax + b + c 1 ∫ ax 2 + bx + c dx = 1  2ax + b  a<0 , − arcsin  2 +c  −a  b − 4ac  5. Binomni integral ∫ x ⋅ ( a + bx ) m n p dx m, n, p Є Q 1. p - cijeli broj m +1 2. - cijeli broj , supstitucija ( a + bx n ) = t s n m +1 3. + p - cijeli broj , supstitucija ( ax − n + b ) = t s n s- nazivnik razlomka « p » 6. Eksponencijalne i logaritamske funkcije ∫ e dx = e +c ∫ ln xdx = x ⋅ ln x − x + c x x 1 ax +b ∫ ln xdx = ( x ⋅ ln x ) − n ⋅ I n n ∫ e dx = ax + b e +c n −1 a ax ∫ a dx = +c x ln a 7. Hiperbolne funkcije
  6. 6. ∫ shxdx = chx + c ∫ ch 1 2 dx = thx + c x ∫ chxdx = shx + c 1 ∫ sh dx = −cthx + c ∫ thxdx = ln chx + c 2 x ∫ cthxdx = ln sh + c 8. Površine, volumeni i rektifikacija b d Px = ∫ f ( x ) dx Py = ∫ f ( y ) dy a c b d Px = ∫ [ gornja − donja ] dx V y = π ∫ [ f ( y ) ] dy 2 a c b Px = 2π ∫ f ( x ) ⋅ 1 + [ f ′( x ) ] dx 2 b a s = ∫ x 2 + y 2 dx   u parametarskom obliku b a V x = π ∫ [ f ( x ) ] dx 2 a b s = ∫ 1 + ( y ′) dx 2 a Diferencijalne jednadžbe 1. Linearna diferencijalna jednadžba y′ + f ( x) ⋅ y = g ( x) opći oblik
  7. 7. − f ( x ) dx  ∫ f ( x ) dx ⋅ g ( x ) dx + c  y=e ∫  ∫e    2. Bernoulli-eva diferencijalna jednadžba y′ + f ( x) ⋅ y = g ( x) ⋅ y n opći oblik 1 supstitucija z = y n −1 1 z′ + f ( x) ⋅ z = g ( x) svodi se na linearnu 1− n 3. Egzaktna diferencijalna jednadžba P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = 0 opći oblik δP δQ = uvijet δy δx δu δu du = dx + dy totalni diferencijal δx δy  δ  ∫ Pdx + ∫ Q − ∫ Pdx  dy = c  δy  konačno rješenje 4. Homogena diferencijalna jednadžba y ′ = f ( x, y ) opći oblik  y f ( x, y ) = ϕ   uvijet x supstitucija:
  8. 8. y z= x y = x⋅z y′ = z + x ⋅ z′ svodi se na separaciju varijabli 5. Langrange-ova diferencijalna jednadžba y = x ⋅ ϕ ( y ′) + f ( y ′) opći oblik y′ = p d y = x ⋅ϕ ( p) + f ( p) dx dp y ′ = ϕ ( p ) + x ⋅ ϕ ′( p ) + f ′( p ) dx 6. Linearne dif. jed. sa konstantnim koeficijentima a n y ( n ) + a n −1 y ( n −1) +  + a 2 y ′′ + a1 y ′ + a 0 y = f ( x ) opći oblik y = yh + y p opće rješenje 6.1. Homogeni dio y h (karakteristična jednadžba ak 2 + bk + c = 0 ) 1. Ako su korijeni karakteristične jednadžbe realni i različiti k1, 2 ∈ R , k1 ≠ k 2 , y h = C1 ⋅ e k1 x + C 2 ⋅ e k 2 x 2. Ako su korijeni karakteristične jednadžbe realni i jednaki k1, 2 ∈ R , k1 = k 2 , y h = C1 ⋅ e k1 x + C 2 ⋅ x ⋅ e k2 x 3. Ako su korijeni karakteristične jednadžbe konjugovano-kompleksni k1, 2 = α ± β ⋅ i , y h = e α ⋅x ( C1 cos βx + C 2 sin β x )
  9. 9. 6.2. Partikularni dio y p 1. f ( x ) = Pn ( x ) polinom n-tog stupnja od x 1.1. homogeni dio sadrži sve članove y p = A za polinom nultog stipnja y p = Ax + B za polinom 1. st. y p = Ax 2 + Bx + C za polinom 2. st.  1.2. homogeni dio ne sadrži poslednji član y p = Ax y p = Ax 2 + Bx y p = Ax 3 + Bx 2 + Cx 2. f ( x ) = a ⋅ e b⋅ x 2.1. ako b nije korijen karak. jed. b ≠ k1 ≠ k 2 y p = A ⋅ e b⋅ x 2.2. ako je b korijen karak. jed. b = k1 ∨ b = k 2 y p = A ⋅ x ⋅ e b⋅ x 2.3. ako je b dvostruki korijen karak. jed. b = k1 = k 2 y p = A ⋅ x 2 ⋅ e b⋅ x 3. f ( x ) = sin bx 3.1. ako b nije korijen k1, 2 = α ± β ⋅ i y p = A sin bx + B cos bx 3.2. ako je b jednostruki korijen y p = x ⋅ ( A sin bx + B cos bx ) 4. f ( x ) = a ⋅ Pn ( x ) ⋅ e b⋅ x 4.1. ako je m broj koji pokazuje višestrukost npr. b ≠ k1 ≠ k 2 , m=0 b = k1 ∨ b = k 2 , m=1 b = k1 = k 2 , m=2 y p = a ⋅ x m ⋅ Q ( x ) ⋅ e b⋅ x Q(x) je polinom istog stupnja kao i P(x)
  10. 10. 5. f ( x ) = a ⋅ Pn ( x ) ⋅ sin bx m-višestrukost k1, 2 = α ± β ⋅ i y p = Q( x ) ⋅ x m [ M cos bx + N sin bx ] y p = x m [ ( Ax + B ) cos bx + ( Cx + D ) sin bx ] Q(x) je polinom istog stupnja kao i P(x)

×