Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

3.predavanje matrice

8,193 views

Published on

  • Be the first to comment

3.predavanje matrice

  1. 1. 3. MATRICE 1
  2. 2. DEFINICIJE Matrica A reda (tipa) m×n je pravokutna shema brojeva koja je uređena po redcima (ima m redaka) i po stupcima (ima n stupaca) ⎡ a11 a12 K a1 j K a1n ⎤ ⎢a a22 K a2 j K a2 n ⎥ ⎢ 21 ⎥ element u i-tom ⎢ M M M M ⎥ A=⎢ ⎥ retku i j-tom ⎢ ai1 ai 2 K aij K ain ⎥ stupcu ⎢ M M M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ am1 ⎣ am 2 K amj K amn ⎥⎦ 2
  3. 3. Brojeve aij u matrici zovemo elementima matrice.Elemente matrice označavamo malim slovima sdvostrukim indeksima. Prvi indeks (i) označava redak ukojem se promatrani element nalazi, a drugi indeks (j)označava stupac u kojem se element nalazi.Npr. oznaka a52 znači da se ovaj element nalazi u petomretku i u drugom stupcu 3
  4. 4. Matrice obično označavamo velikim slovima A, B, C, ...,koristeći i kraći zapis matrice pomoću općeg članamatrice i njene dimenzije. A = ( aij ) ( m,n )Svaki realni broj možemo shvatiti kao matricu tipa (1,1) ⎡3 1 0⎤Matrica A=⎢ ⎥ je formata 2×3, tj. A(2,3) ⎣0 − 1 1⎦ 4
  5. 5. Dvije matrice A i B su jednake i pišemo A = B ako suim svi korespodentni elementi jednaki, tj. one su jednakeako su: istog tipa i ako je aij = bij za sve uređene parove indeksa (i, j)Npr. matrice ⎡1 2 ⎤ ⎡1 2 ⎤ A=⎢ ⎥ i B= ⎢3 7 ⎥ ⎣5 7 ⎦ ⎣ ⎦nisu jednake jer je a21 ≠ b21 5
  6. 6. ⎡ −2 ⎤ ⎡ −2 1 0⎤Matrice A=⎢ ⎥ i B=⎢ ⎣1⎦ ⎣ 1 −3 2⎥ ⎦su različitog formata (A(2,1), B(2,3)), pa nisu usporedive. 6
  7. 7. VRSTE MATRICA Matricu koja ima jednak broj redaka i stupaca nazivamo kvadratnom matricom – matrica reda n. U suprotnom je nazivamo pravokutnom matricom. ⎡ a11 a12 a13 K a1n ⎤ ⎢a elementi a11, a22, ..., ann ⎢ 21 a22 a23 K a2 n ⎥ ⎥ kvadratne matrice A A = ⎢ a31 a32 a33 K a3n ⎥ reda n čine glavnu ⎢ ⎥ dijagonalu ⎢ M M M M ⎥ ⎢ an1 ⎣ an 2 an 3 K ann ⎥⎦ 7
  8. 8. Simetrična matrica je kvadratna matrica kod koje suelementi, simetrično raspoređeni s obzirom na glavnudijagonalu, jednaki: a =a za sve i, j = 1,2,...,n ij jiPrimjer simetrične matrice: ⎡ −1 0 2 ⎤ A=⎢ 0 2 5 ⎥ ⎢ ⎥ a23 = a32 ⎢ ⎣ 2 5 −3⎦⎥ 8
  9. 9. Dijagonalna matrica je kvadratna matrica kojoj su svinedijagonalni elementi jednaki nuli, tj. ako je aij = 0 za i ≠ j , a aij ≠ 0 za i = jDakle, dijagonalna matrica općenito izgleda ovako: ⎡ a11 0 0 K 0⎤ ⎢0 a22 0 K 0⎥ ⎢ ⎥ A=⎢ 0 0 a33 K 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ M M M O M ⎥ ⎢0 ⎣ 0 0 K ann ⎥ ⎦ 9
  10. 10. Ako dijagonalna matrica ima sve elemente na glavnojdijagonali jednake nazivamo je skalarna matrica.Jedinična matrica I je skalarna matrica s jedinicama naglavnoj dijagonali, tj. za nju vrijedi: ⎧1 za i = j aij = ⎨ ⎩0 za i ≠ j 10
  11. 11. Ako iz konteksta nije jasno o kojoj se jediničnoj matrici radi,to će se posebno i naglasiti. Naime i sljedeće matrice sujedinične matrice, ali prva je jedinična matrica 2. reda, drugaje 3. reda, a posljednja 4. reda. ⎡1 0 0 0⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢0 ⎡1 0 ⎤ 1 0 0⎥ I =⎢ , I = ⎢0 1 0⎥ , I = ⎢ ⎥ ⎣ 0 1⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 0⎥ ⎢0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1⎦ 11
  12. 12. Nul-matrica O je matrica kojoj su svi elementi jednaki 0.Nul-matrica ne mora nužno biti kvadratna matrica.Na primjer: O = [ 0 0 0] je nul-matrica tipa 1× 3, a ⎡0 0 0⎤ O=⎢ ⎥ je nul-matrica tipa 2 × 3 ⎣0 0 0⎦ 12
  13. 13. Transponirana matrica matrice A = (aij) tipa m × n jematrica B = (bij) tipa n × m za koju je bji = aij (i =1,2,...,m ; j = 1,2,...,n)i pišemo B = AT, tj. transponiranu matricu matrice Adobijemo tako da retke matrice A zamijenimo stupcima. ⎡1 2⎤ ⎡1 −1 3 ⎤ A=⎢ ⎥ ⇒ AT = ⎢ −1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣2 0 −1⎦ ⎢ 3 −1⎥ ⎣ ⎦ 13
  14. 14. Kvadratna matrica je gornje trokutasta ako su joj svielementi ispod glavne dijagonale jednaki 0, tj. ako je aij = 0 za i f jDonje trokutasta matrica je transponirana gornjetrokutasta matrica. ⎡ 1 ⎤ ⎢7 2 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ 6 0⎤ A = ⎢ 0 1 −4 ⎥ , B=⎢ ⎢ 0 0 −3⎥ ⎣ −2 3⎥ ⎦ 14244 4 3 ⎢ ⎥ primjer donje trokutaste matrice ⎣ 1442443 ⎦ primjer gornje trokutaste matrice 14
  15. 15. ALGEBARSKE OPERACIJE S MATRICAMA U skupu svih matrica M uvodimo osnovne računske operacije: zbrajanje matrica, oduzimanje matrica, množenje matrice brojem, množenje matrica.1. ZBRAJANJE I ODUZIMANJE MATRICA Zbrajati i oduzimati mogu se samo matrice istog tipa Neka su matrice A = (aij) i B = (bij) matrice tipa m × n. Matrica C = A ± B, C = (cij) je matrica tipa m × n za koju vrijedi: cij = aij ± bij za svaki i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. 15
  16. 16. Dakle, zbroj (razlika) dviju matrica A i B je matrica čiji elementi predstavljaju zbroj (razliku) korespodentnih elemenata matrica A i B. ⎡ 2 6 −9⎤ ⎡ 3 −7 6 ⎤Za matrice A= ⎢ ⎥ i B = ⎢−2 1 4 ⎥ odredimo A+ B i A− B. ⎣−1 0 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 2 6 −9⎤ ⎡ 3 −7 6 ⎤ ⎡ 2+3 6+(−7) −9+6 ⎤ ⎡ 5 −1 −3⎤A+ B = ⎢ ⎥ + ⎢−2 1 4 ⎥ = ⎢−1+(−2) 0+1 ⎥ = ⎢−3 1 7 ⎥ ⎣−1 0 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 3+ 4 ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 2 6 −9⎤ ⎡ 3 −7 6 ⎤ ⎡ 2−3 6−(−7) −9−6 ⎤ ⎡ −1 13 −15⎤A− B = ⎢ ⎥ −⎢−2 1 4 ⎥ = ⎢−1−(−2) 0−1 ⎥ = ⎢ 1 −1 −1 ⎥ ⎣−1 0 3 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 3−4 ⎦ ⎣ ⎦ 16
  17. 17. SVOJSTVA ZBRAJANJA:1. A + B = B +A komutativnost,2. A + (B + C) = (A + B) +C asocijativnost,3. A + O = O + A = A,4. (A + B)T = AT + BT. 17
  18. 18. 2. MNOŽENJE MATRICE BROJEM Umnožak realnog broja λ i matrice A = (aij) je matrica λA koju dobijemo kada svaki element aij matrice A pomnožimo brojem λ ⎡ 0 3 -1⎤ ⎡ 2 ⋅ 0 2 ⋅ 3 2 ⋅ (-1) ⎤ ⎡ 0 6 -2 ⎤2 ⋅ ⎢ 2 8 3 ⎥ = ⎢ 2 ⋅ 2 2 ⋅ 8 2 ⋅ 3 ⎥ = ⎢ 4 16 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢-4 0 2 ⎥ ⎢ 2 ⋅ (-4) 2 ⋅ 0 2 ⋅ 2 ⎥ ⎢ -8 0 4 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 18
  19. 19. SVOJSTVA MNOŽENJA BROJA I MATRICE:Za bilo koje α i β realne brojeve, A i B matrice istog tipavrijedi: 1. α ( β A ) = (αβ ) A 2. (α +β ) A = α A + β A 3. α ( A + B ) = α A + α B 4. I ⋅ A = A ⋅ I 5. O ⋅ A = A ⋅ O = O 19
  20. 20. 3. MNOŽENJE MATRICA Množiti se mogu samo ulančane matrice Dvije matrice A i B su ulančane ako je broj stupaca matrice A jednak broju redaka matrice B, tj. ako je matrica A tipa m × n, a B tipa n × p Umnožak matrice A = (aij) tipa m × n i matrice B = (bij) tipa n × p je matrica A·B = C = (cij) tipa m × p, gdje je n cij = ∑ aik bkj i = 1,2,..., m; j = 1,2,..., p k =1 20
  21. 21. Dakle, element matrice C dobije se tako da se elementi i-tog retka matrice A pomnože s odgovarajućim elementima j-tog stupca matrice B, pa se dobiveni produkti zbroje.⎡a11 a12 L a1n ⎤ ⎡c11 c12 L c1j L c1p ⎤⎢a ⎥ ⎡b b L b L b ⎤ ⎢c21 c22 L c2 j L c2 p ⎥⎢ 21 a22 L a2n ⎥ 11 12 1j 1p ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢M M M ⎥ ⎢b21 b22 L b2 j L b2p ⎥ ⎢ M M M M⎥⎢ ⎥⋅ ⎢ =⎢ ⎥⎢ ai1 ai2 L ain ⎥ M M M M ⎥ ⎢ ci1 ci2 L cij L cip ⎥⎢M ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ M M ⎥ ⎢bn1 bn2 L bnj L bnp ⎥ ⎢ M ⎥⎣ ⎦ M M M⎥⎢⎢am1⎣ am2 L amn ⎥ ⎦ ⎢c cm2 L cmj L cmp ⎥ ⎣ m1 ⎦ 21
  22. 22. ⎡2⎤Pomnožimo matrice A = [ 3 −1 5 ] i B=⎢4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎣ ⎦Matrica A je tipa 1×3, a matrica B je tipa 3×1, pa su tematrice ulančane, a njihov produkt će biti matrica tipa1×1 ⎡2⎤ A ⋅ B = [3 −1 5] ⋅ ⎢ 4 ⎥ = [3 ⋅ 2 + (−1) ⋅ 4 + 5 ⋅ (−2) ] = [ −8] ⎢ ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎣ ⎦ 22
  23. 23. Matrica B je tipa 3×1, a matrica A je tipa 1×3, pa su te matrice ulančane, a njihov produkt će biti matrica tipa 3×3 ⎡2⎤ ⎡ 2⋅3 2 ⋅ (−1) 2 ⋅ 5 ⎤ ⎡ 6 −2 10 ⎤B ⋅ A = ⎢ 4 ⎥ ⋅ [3 −1 5] = ⎢ 4 ⋅ 3 ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⋅ (−1) 4 ⋅ 5 ⎥ = ⎢12 −4 20 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ −2 ⋅ 3 (−2) ⋅ (−1) (−2) ⋅ 5⎥ ⎢ −6 2 −10 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Uočimo da je A · B ≠ B · A Matrice A i B za koje je A · B = B · A nazivamo komutativnim matricama. 23
  24. 24. SVOJSTVA MNOŽENJA:Ako su matrice A, B i C odgovarajućeg tipa, a α ∈ R,tada vrijede sljedeća svojstva:1. (AB)C = A(BC) asocijativnost množenja2. A(B + C) = AB + AC distributivnost s lijeva (A + B)C = AC + BC distributivnost s desna3. α(AB) = (αΑ)B4. A(αB) = α(AB)5. (AB)T = BT · AT 24
  25. 25. 4. POTENCIRANJE MATRICANeka je A kvadratna matrica. Definiramo:A·A = A2,A·A·A = A3i općenito A ⋅ A ⋅ K ⋅ A = An 14 3 24 n putaPo definiciji je A0 = I. 25
  26. 26. Neka je Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn polinom n-tog stupnja s realnim koeficijentima i neka je A kvadratnamatrica. Tada definiramo polinom matrice A koji je opetmatrica, tipa kao i matrica A: Pn(A) = a0·A0 + a1A + a2A2 + ... + anAn,gdje je A0 = I, a I je jedinična matrica tipa kao i matricaA. 26

×