1. GRAFIČKA METODA
OI1_DZ2_2013
Vlatka Kraljević
Anja Perc
Barbara Slivar

2. Zadatak 1
Riješite problem linearnoga programiranja
grafičkom metodom, ako je zadano:
 max Z=2x+4y
 3x-2y ≥6
 3x+y ≥6
 x≤12
 x,y ≥0

3. Zadatak 1
a) Označite skup mogućih rješenja te ekstremne točke:
p1...3x-2y=6
-2y=6-3x
y=-3+3/2x
p2...3x+y=6
y=6-3X
X
Y
X
Y
2
0
2
0
4
3
0
6
p3...x=12

4. Zadatak 1

Tražimo koordinate
točke C presjekom
pravaca p2 i p3.
3x+y=6
x=12
_____
3*12+y=6
y=15
rj. C(12,15)

5. Zadatak 1
b) Izračunajte vrijednost funkcije cilja :
A(2,0)
Z=2*2+4*0
Z(A)=4
B(12,0)
Z=2*12+4*0
Z(B)=24
C(12,15)
Z=2*12+4*15
Z(C)=84 max

6. Zadatak 1
c) Interpretacija rješenja:
Optimalno maksimalno rješenje se nalazi u
točki C(12,15), te iznosi 84.

7. Zadatak 2
Riješite problem linearnoga programiranja
grafičkom metodom, ako je zadano:
 min Z=x+4y
 x+2y ≥4
 x-y ≥-3
 x,y ≥0

8. Zadatak 2
a)
Označite skup mogućih rješenja te
ekstremne točke:
p1… x+2y=4
2y=4- x
y=2- x/2
p2… x-y=-3
-y= -3 -x
y=3+x
X
Y
X
Y
2
1
0
3
0
2
1
4

9. Zadatak 2

10. Zadatak 2
b) Izračunajte vrijednost funkcije cilja:
A(0,3)
Z=0+3*4
Z(A)=12
B(0,2)
Z=0+2*4
Z(B)=8
C(4,0)
Z=4+0
Z(C)=4 min

11. Zadatak 2
c) Interpretacija rješenja:
Optimalno minimalno rješenje se nalazi u točki
C(4,0), te iznosi 4.

12. Zadatak 3
Riješite problem linearnoga programiranja
grafičkom metodom, ako je zadano:
 max Z=0.5x+4y
 2x+y ≥6
 x -2 ≤0
 -x+y ≤5
 x,y ≥0

13. Zadatak 3
a) označite skup mogućih rješenja te ekstremne
točke
p2...x-2<=0
p3...-x+y<=5
p1...2x+y>=6
x=2
y=5x
2x+y=6
y=6-2x
X
Y
0
6
1
4
X
Y
0
5
1
6

14. Zadatak 3

15. Zadatak 3

Tražimo koordinate
točke A presjekom
pravaca p1 i p2.
2x+y=6
x=2
4+y=6
y=2

Tražimo koordinate
točke B presjekom
pravaca p2 i p3.
-x+y=5
x=2
-2+y=5
y=7

Tražimo koordinate
točke A presjekom
pravaca p1 i p3.
2x+y=6
-x+y=5 /*(-1)
2x+y=6
x-y=-5
3x=1 2/3+y=6
x=1/3 y=6-2/3
y=16/3
rj. A(2,2)
rj. B(2,7)
rj. C(1/3,16/3)

16. Zadatak 3
b) izračunajte vrijednost funkcije cilja
A(2,2)
Z=0.5*2+4*2
Z(A)=9
B(2,7)
Z=0.5*2+4*7
Z(B)=29 max
C(1/3,16/3)
Z=0.5*1/3+4*16/3
Z(C)=43/2

17. Zadatak 3
c) interpretirajte rješenje
Optimalno maksimalno rješenje se nalazi u točki
B(2,7), te iznosi 29.

18. Zadatak 4
Riješite problem linearnog programiranja grafičkom
i simpleks metodom, ako je zadano:






max Z=x+y
x+y ≤ 1
x-y+2 ≥ 0
x≤1
y-1 ≤ 0
x,y ≥ 0

19. Zadatak 4
a)
Označite skup mogućih rješenja te ekstremne
točke
p1… x+y≤1
y=1-x
p2… x-y+2≥0
-y=-x-2/*(-1)
y=x+2
X
Y
X
Y
1
0
-1
1
0
1
0
2
p3… x ≤ 1
p4… y-1 ≤ 0
y=1

20. Zadatak 4

21. Zadatak 4
b) Izračunajte vrijednost funkcije cilja Z=x+y
A(0,0)
Z=0+0
Z(A)=0
B(1,0)
Z=1+0
Z(B)=1 max
C(0,1)
Z=0+1
Z(C)=1 max

22. Zadatak 4
c) Interpretacija rješenja dobivenog grafičkom
metodom:
Optimalno maksimalno rješenje se nalazi u točki
B(1,0) i C(0,1) te iznosi u oba slučaja 1.

23. Zadatak 4
d) Interpretirajte vezu između grafičkog rješenja i
iteracija simpleks postupka prilikom rješavanja
z-x-y+0*k1+0*k2+0*k3+0*k4=0
x+y+k1=1
-x+y+k2=2
y+k3=1
y+k4=1
_______
x,y,k1,k2,k3,k4≥0

24. Zadatak 4
Tablica 1

25. Zadatak 4
Tablica 2
z=1 x=1
B(1,0)
y=0
k1=0
k2=3
k3=0
k4=1

26. Zadatak 4

Izradom Tablice 2 smo došli do jednog
optimalnog maksimalnog rješenja, no vidimo da
y u Redu 0 iznosi 0. To nas dovodi do
pretpostavke da uvođenjem y u bazu, ne
mijenjajući vrijednost funkcije cilja provjerimo da
li postoji još jedna točka u kojoj je maksimum,
odnosno još jedno optimalno maksimalno
rješenje. Te slijedi prikaz Tablice 3 u kojoj smo
to provjerili.

27. Zadatak 4
Tablica 3
Red
z
x
y*
k1
k2*
k3*
k4*
c
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
2
0
-2
0
-1
1
0
0
1
3
0
1
0
0
0
1
0
1
4
0
-1
0
-1
0
0
1
0
z= 1
x=0
C(0,1)
y=1
k2=1
k3=1
k4=0