はじぱた７章F5up
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はじめてのパターン認識（７章後半） ＮＮのバックプロパゲーション（ＢＰ）の学習則 ＢＰの最近の傾向からディープラーニングのさわりまで
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- 2. 目次 ７・１ パーセプトロン -パーセプトロンの学習規則 -学習の難しさの尺度 -パーセプトロンの収束定理 ７・２ 誤差逆伝搬法 -多層パーセプトロン -誤差逆伝搬法の学習規則 ７・３ 誤差逆伝搬法の学習特性 -初期値依存性 -隠れ素子の数 -過学習と正則化 -学習回路の尤度
- 3. 多層パーセプトロン i番目の入力 𝑥𝑖 𝑛 ｊ番目の素子 K番目の出力 𝑉𝑗 𝑛 𝑑個 𝑜 𝑘𝑛 𝑀個 𝑀 𝑑 ℎ 𝑗𝑛 = 𝑤 𝑗𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑛 𝑘 ℎ = ｊ=0 𝑖=0 𝑉𝑗 𝑛 = 𝑔( ℎ 𝑗𝑛 ) i=0 バイアス項 J=0 バイアス項 𝑤 𝑘𝑗 𝑉𝑗 𝑛 𝑜 𝑘𝑛 = 𝑔 ( ℎ 𝑘𝑛 ) 𝑉𝑗 𝑛 𝑔 𝑜 𝑘𝑛 = exp 𝑜 𝑘𝑛 𝑛 𝐾 𝑙=1 exp 𝑜 𝑙 ソフトマックス 基本はケツも シグモイド関数
- 4. 多層パーセプトロン i番目の入力 𝑥𝑖 𝑛 ｊ番目の素子 素子jの重みwji （j:0 ～ M） K番目の出力 𝑉𝑗 𝑛 𝑜 𝑘𝑛 入力xi (i:0 ～ d) 𝑑個 𝑀個 𝑀 𝑑 入力は普通シグモイドを 通さない ℎ 𝑗𝑛 = 𝑤 𝑗𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑛 𝑘 ℎ = ｊ=0 𝑖=0 𝑉𝑗 𝑛 = 𝑔( ℎ 𝑗𝑛 ) wj=0 バイアス項 wk=0 バイアス項 𝑤 𝑘𝑗 𝑉𝑗 𝑛 𝑜 𝑘𝑛 = 𝑔 ( ℎ 𝑘𝑛 ) 𝑉𝑗 𝑛 𝑔 𝑜 𝑘𝑛 = exp 𝑜 𝑘𝑛 𝑛 𝐾 𝑙=1 exp 𝑜 𝑙
- 5. ７・２・２ 誤差逆伝搬法の学習規則（ラメルハートら） ポイント ・多層パーセプトロンの拡張 w を学習する -出力誤差から 教師信号（t）と出力(o)の誤差 Error back propagation 出力関数にシグモイド関数を使用するのが有名 （出力を0~1にする） 𝑑 𝑉𝑗 𝑛 = 𝑔( ℎ 𝑗𝑛 ) ℎ 𝑗𝑛 = 𝑤 𝑗𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=0 同時座標系 （i=0がバイアス） p.106
- 6. ７・２・２ 誤差逆伝搬法の学習規則 誤差の評価関数 1 𝐸 𝑛 (𝑤) = 2 教師信号 出力信号 𝐾 ( 𝑡 𝑘𝑛 − 𝑜 𝑘𝑛 )2 𝑘=1 (7.13) n番目の学習データ使用 ・バッチ学習 ・オンライン学習 i j k
- 7. ７・２・２ 誤差逆伝搬法の学習規則 誤差の評価関数 1 𝐸 𝑛 (𝑤) = 2 教師信号 出力信号 誤差の評価関数(学習データ全体) バッチアルゴリズム 𝐾 ( 𝑘=1 𝑡 𝑘𝑛 − 𝑜 𝑘𝑛 )2 𝐸(𝑤) = (7.13) 1 2 例：τエポック目 𝑁 𝐸 𝑛 (𝑤) 𝑛=1 n番目の学習データ使用 ・バッチ学習 ・オンライン学習 ・全データで学習する！ ・一回でΔｗを更新する 1エポック： 学習データ全体を用い て修正量を計算、更新 (7.14)
- 8. ７・２・２ 誤差逆伝搬法の学習規則 誤差の評価関数 1 𝐸 𝑛 (𝑤) = 2 教師信号 出力信号 1エポック： 学習データ全体を用い て修正量を計算、更新 誤差の評価関数(学習データ全体) バッチアルゴリズム 𝐾 ( 𝑡 𝑘𝑛 − 𝑜 𝑘𝑛 )2 𝑘=1 𝐸(𝑤) = (7.13) 1 2 例：τエポック目 𝑁 𝐸 𝑛 (𝑤) 𝑛=1 (7.14) シグモイド関数の微分は、元 の関数で表現可能 p106 n番目の学習データ使用 1エポックの変化量を 出すのに全Eを回している? 𝑜 𝑘𝑛 = 𝑔 ( ℎ 𝑘𝑛 ) 出力素子の結合係数の更新 𝑤 𝒌𝑗(τ+1) = 𝑤 𝒌𝑗(τ) + Δ𝑤 𝒌𝑗(τ) 𝑁 Δ𝑤 𝒌𝑗(τ) = 𝑛=1 𝑛 δ 𝑘 (τ) 𝜕𝐸 𝑛 (𝑤) −η 𝜕𝑤 𝒌𝑗 𝑁 𝑉𝑗 𝑛 ( 𝑡 𝑘𝑛 − 𝑜 𝑘𝑛 ) 𝑛=1 𝑔 外側の微分 =η ℎ 𝑘𝑛 中身の微分 (7.15) 隠れ素子の結合係数の更新も同様 𝑤 𝒋𝑖(τ+1) = 𝑤 𝒋𝑖 (τ) + Δ𝑤 𝒋𝑖(τ) 𝑁 Δ𝑤 𝒋𝑖(τ) = −η 𝑛=1 𝜕𝐸 𝑛 (𝑤) 𝜕𝑤 𝒋𝑖 𝑁 𝐾 𝑛 δ 𝑘 (τ) ( 𝑡 𝑘𝑛 − 𝑜 𝑘𝑛 ) =η 𝑔 ℎ 𝑘𝑛 𝑤 𝒌𝑗 𝑔 𝑛=1 𝑘=1 (7.16) ℎ 𝑗𝑛 𝑥 𝑖𝑛
- 9. ７・２・２ 誤差逆伝搬法の学習規則 確率降下法(SGD？)（オンライン学習） 最急降下法、サンプルをランダムに取って学習 学習データごとにｗを逐次更新 出力の重みの修正量 Ｎ番目の学習データによるwkjの修正量 𝑛 𝑛 Δ𝑤 𝒌𝑗 (τ) = ηδ 𝑘 (τ) 𝑉𝑗 𝑛 (τ) (7.16) 𝑛 δ 𝑘 出力の誤差信号 ( 𝑡 𝑘𝑛 − 𝑜 𝑘𝑛 ) Ｎ番目の学習データによるwjiの修正量 Δ𝑤 𝑗 𝑛𝑖 (τ) = ηδ 𝑗𝑛 (τ) 𝑥 𝑖 𝑛 (τ) ℎ 𝑘𝑛 𝑔 隠れ素子の重みの修正量 (7.20) δ 𝑗𝑛 隠れ素子j の誤差信号 𝐾 𝑔 ℎ 𝑗𝑛 𝑛 δ 𝑘 (τ) 𝑤 𝒌𝑗 (7.18) 𝑘=1 -数十～100程度の訓練データから勾配求めることが多いらしい -バッチとオンラインの性能差？ バッチはメモリ食う！ マルチコアのマルチスレッドで分散して計算するとよい。 ミニバッチ法:SGD （AI学会誌vol.28）
- 10. ７・２・２ 誤差逆伝搬法の学習規則 確率降下法（オンライン学習） 学習データごとにｗを更新 出力の重みの修正量 Ｎ番目の学習データによるwkjの修正量 𝑛 𝑛 Δ𝑤 𝒌𝑗 (τ) = ηδ 𝑘 (τ) 𝑉𝑗 𝑛 (τ) (7.16) 𝑛 δ 𝑘 出力の誤差信号 ( 𝑡 𝑘𝑛 − 𝑜 𝑘𝑛 ) ℎ 𝑘𝑛 𝑔 隠れ素子の重みの修正量 Ｎ番目の学習データによるwjiの修正量 Δ𝑤 𝑗 𝑛𝑖 (τ) = ηδ 𝑗𝑛 (τ) 𝑥 𝑖 𝑛 (τ) (7.20) 𝐾 δ 𝑗𝑛 隠れ素子j の誤差信号 𝑔 ℎ 𝑗𝑛 𝑛 δ 𝑘 (τ) 𝑤 𝒌𝑗 (7.18) 𝑘=1 Δ𝑤 𝑗𝑘 (τ) = η 𝑁 δ 𝑗𝑛 𝑥 𝑘𝑛 𝑛=1 出力から隠れ層への変化量 出力の誤差信号δkをwkを介して 隠れ層ｊにもどしている 出力をxで表現してる (7.19) 但し、この式はバッチアルゴ ＢＰ法と呼ばれる （誤差逆伝播法）
- 13. 7.3.3 過学習と正則化 p.109 過学習 ・隠れ素子ｊの数 ↑ ・結合係数ｗの値 ↑ でも起こる 正則化 加重減衰ペナルティ 誤差の評価関数に、結合係数が大きくなりすぎないようペナルティをかける 隠れ層 正則化パラメータ 出力層の重みの修正量 出力層
- 15. 7.3 正則化項の効果（アヤメデータ） p.110 ・出力素子の出力0.5 太線 ・出力素子の出力0.01 点線 β = 1(β=10に近い) β = 1(β=0.5に近い） 学習の進みが遅い 結合係数が小さい ⇒図7.15 正則化パラメータ 隠れ素子数１０
- 17. 7.3.5 学習回路の尤度 PRML(上)p236 参考 ・尤度関数を誤差関数として使用するとよい！ 出力の活性化関数と誤差関数 ⇒ 解くべき問題の型で選択 活性化関数(出力関数) g() 誤差関数 E() 回帰問題 線形出力関数 二乗和誤差 ２クラス分類問題 （多数の独立な） ロジスティックシグモイド関数 二乗和誤差 ソフトマックス関数(2クラス) 交差エントロピー誤差関数 多クラス分類問題 ソフトマックス関数 多クラス交差エントロピー誤差関数 クラス分類問題では、交差エントロピー誤差関数を使うほうが、 訓練が早く、同時に凡化能力が高まる。Simard et al, 2003 PLML(上) p235
- 18. 7.3.5 学習回路の尤度 参考 p.52, 91-93 エントロピー関数 K個の異なる２クラス分類 出力okをK個の無関係な確率とみなす場合 以下のベルヌーイ試行とみなせる (ここで 𝐾 𝑡 𝑜𝑘𝑘 1 − 𝑜𝑘 𝑝 𝑡|𝑥, 𝑤 = は となる確率) 1−𝑡 𝑘 負の対数尤度 𝑘=1 誤差の評価関数：交差エントロピー誤差関数 シグモイド関数の微分には シグモイド関数が残っている！ 結合係数の更新式（出力層） 出力関数がシグモイド関数の場合 二乗誤差基準と違い出力関数の微分が消えて、 学習が進まなくなることがない
- 19. 参考 p.52, 91-93 7.3.5 学習回路の尤度 K個の排他的な１つに割り当てる場合 （ソフトマックス関数） 出力を 𝑔 (ok) = p( tk = 1 |x)のようにする場合 𝐾 𝑝 𝑡 𝑘 = 1|𝑥 𝑡 𝑜𝑘𝑘 𝑝 𝑡 𝑘 = 1|𝑥, 𝑤 = 𝑘=1 負の対数尤度 誤差の評価関数 𝑁 𝐸 𝐾 𝑡 𝑘𝑛 log 𝑜 𝑘𝑛 𝑤 =− 𝑛=1 𝑘=1 結合係数の更新式 ｐ９３ 最尤推定法 E(w)を各wで微分(＝０)をして、各ｗを出す。 ？
- 20. まとめ 特徴 出力誤差から w を学習する ・出力関数 g() ・誤差の評価関数 E() ・更新式 Δw 問題点（本にないものあり） ・局所最適化、過学習 (わりと改善している感) ->正則化 ->DropOut[Hinton 12]学習時：Nを半数消す、推論時：Nの出力2/1、複数モデルの平均 ->Maxout[Good fellow 13]複数の出力関数の内最大値を取るものを選ぶ、高性能 ・誤差の伝播が十分でない（層が深いとき） ・遅い →交差エントロピーの方が速く、凡化性能が良い →ReLU[Nair 10]h(x)=log(1+e(x)) =~ max(0,x)、 結果もよい →Ｍａｘｏｕｔも速い ・構造の形はどれくらいがいいのか（層数とかピラミッドとか） →技はあるっぽい ・生理モデルではない
- 21. おまけ Deep Learning DNN(Deep Neural network) 層の数が多い階層的なニューラルネットワーク DBN(Deep Belief network) 層ごとに教師なし事前学習で初期値得る 教師あり学習を行う DBM(Deep Boltzmann Machine) DBNの拡張 隠れ層が積みあがる RNN CNN RBM(Restricted Boltzmann Machine) ボルツマンマシンの変種 確率的に伝播するネットワーク 積み重ね HMMの積み重ねとかもあるみたい