Fratt abbati

Ricerca azione promossa dall'OPPI
“Metodi per lo studio dei frattali”

alunni della classe IIB a.s 2004-2005
I.C. “G.Rodari” Baranzate (MI)
Insegnante Susanna Abbati

• in natura esistono forme irregolari, che non possono essere studiate
con la geometria euclidea nasce così la geometria frattale

• scienza che si occupa dei frattali ossia di figure geometriche che si
ripetono sino all’infinito su scala sempre più ridotta.

• è stato Mandelbrot matematico francese a creare nel 1975 il termine
frattale dal latino fractus (irregolare frastagliato)

classe IIB I.C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati
2004/05

caratteristiche

• sono autosimili il piccolo riproduce il grande

• si ottengono per iterazione

• hanno dimensione frazionaria

2004/05

Con il software Cabrì II plus abbiamo costruito i seguenti
frattali

• Triangolo di Sierpinski
• Albero di Pitagora
• Curva o merletto di Kock
• Fiocco di neve

Abbiamo calcolato la dimensione frattale con Excel

2004/05

• prende nome dal matematico polacco Waclaw Sierpinski che
ne ha studiato la costruzione attorno al 1915
• uno dei primi oggetti frattali della storia della matematica
•caratteristica fondamentale delle figure frattali è
l'autosimilarità
• la figura si ottiene rimuovendo sempre il triangolo centrale
• ogni triangolino che si ottiene ad un dato passo della
costruzione è rimpicciolito di un fattore omotetico 2, rispetto
triangolo al passo precedente

classe IIB I.C. Rodari di Baranzate (MI) docente Susanna Abbati
a.s. 2004/05

PERIMETRO TRIANGOLO SIERPINSKI
passo figura N triangoli misura lato perimetro rapporto perimetro
rispetto al precedente
0 1= 30 1 3x1=3

1 3= 31 1/2= 1/2 3x3x1/2= 32 /2 32 /2x1/3 = 3/2

2 9= 32 1/4 = 1/22 32x3x1/4= 33 /22 33 /22x2/32= 3/2

3 27= 33 1/8 = 1/23 33x3x1/8= 34/23 34/23 x 22 /33 = 3/2

n 3n 1/2n 3nx3x1/2n= 3n+1x1/2n 3/2

2004/05

AREA TRIANGOLO SIERPINSKI
passo figura Area Rapporto area rispetto
alla precedente
0 1

1 3/4 3/4

2 9/16 = 32 /42 32 /42 x4/3= 3/4

3 27/64= 33 /43 33 /43 x42/32= 3/4

n 3n /4n 3/4

2004/05

CHE COSA ABBIAMO OSSERVATO

Ad ogni passo
• il numero dei triangoli triplica
• la misura dei lati dimezza
• il perimetro aumenta secondo un fattore costante 3/2
• l’area diminuisce secondo un fattore costante 3/4

CARATTERISTICHE DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKI

• perimetro infinito
• area nulla
• dimensione frattale 1,585 (calcolata con Excel)

2004/05

passo figura N quadrati misura lato perimetro Rapporto
perimetro rispetto
al precedente
0 2=2 1 2x4x1

1 4=22 1/1,414 4x4 1/1,414 1,414= 2

2 8=23 1/2 8x4x1/2
2

n …=2n+1
2

2004/05

Poiché il triangolo rettangolo isoscele è la
metà di un quadrato, di cui l’ ipotenusa ne è
la diagonale, per calcolare il lato dei
quadrati, che a ogni iterazione diventano
diagonale, abbiamo applicato la formula
l=d/1,414 avendo posto uguale a 1 il lato del
primo quadrato costruito sui cateti

2004/05

passo figura Area

0 2 L’area non cambia perché a ogni
passo, secondo il teorema di
Pitagora, sommando l’ area dei
quadrati sui cateti del triangolo
2
rettangolo isoscele si ottiene l’area
1
del quadrato sull’ ipotenusa.

2 2

n 2

2004/05


Ad ogni passo
• il numero dei quadrati raddoppia
• il perimetro aumenta secondo un fattore costante 1,414
• l’area resta costante

CARATTERISTICHE DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKI

• perimetro infinito
• area costante

a.s.2004/05

ALBERO DI PITAGORA CON ANGOLI DI 30° e 60°

a.s. 2004/05

MERLETTO DI KOCK
Il nome deriva dal matematico svedese Helge Von Koch che nel 1904 studiò tale curva

COSTRUZIONE

• dividere in tre parti uguali il segmento

• eliminare il segmento centrale costruendo
su di esso un triangolo equilatero

a.s. 2004/05

PERIMETRO TRIANGOLO MERLETTO DI KOCK

passo figura N lati misura lato perimetro Rapporto perimetro
rispetto al precedente
0 1 1 3

1 4=22 1/3 4x1/3 4/3

2 16=24 1/32 16x1/32 4/3

n …=22n 1/3n 22n x1/3n 4/3

a.s. 2004/05


Ad ogni passo
• il numero dei lati quadruplica
• la misura dei lati diventa 1/3 della misura del lato precedente
• il perimetro aumenta secondo un fattore costante 4/3

Dimensione frattale log4/log3=1,262

a.s. 2004/05

PERIMETRO FIOCCO DI NEVE

passo figura N lati misura lato perimetro Rapporto
perimetro rispetto
al precedente
0 3 1 3

1 12=22x3 1/3 12 x1/3 4/3

2 48=24x3 1/32 48x1/32 4/3

n …=22nx3 1/3n 22nx3 x1/3n 4/3

a.s. 2004/05


Il fiocco di neve si ottiene applicando al triangolo equilatero la
stessa iterazione del merletto di Kock quindi si mantengono le
stesse caratteristiche ma il
FIOCCO DI NEVE NON E’ AUTOSIMILE

2004/05

Rotazione del triangolo di Sierpinski

2004/05

Rotazione di 60°del triangolo di Sierpinski
con centro di rotazione su un vertice

2004/05

Anche noi abbiamo utilizzato la struttura ricorsiva per creare
con compasso china acquarelli matite colorate tavole da
disegno seguendo le indicazioni fornite dall’insegnante di
educazione artistica
• composizione con ritmo radiale uniforme alternato su
struttura circolare
• composizione paesaggio con cinque piani spaziali (minimo)

2004/05

2004/05

Anche nel corpo umano si possono ritrovare strutture riconducibili ai frattali

arterie e vene coronariche
tipico esempio di frattali
applicati nello studio di
strutture fisiologiche.

Calco di bronchi

I neuroni hanno una
struttura simile ai
vasi sanguigni del cuore frattali
presentano ramificazioni
di tipo frattale.
2004/05

SITOGRAFIA

http://www.galileimirandola.it

http://www.frattali.it

2004/05

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