Number Theoretic Algorithms Sogang ICPC Team – 2020 겨울 고급 스터디

1. #8—
정수론적알고리즘
Number Theoretic Algorithms
by
Suhyun Park
Sogang ICPC Team – 2020 겨울 고급 스터디 acm.sogang.ac.kr

2. Number Theoretic Algorithms
Sogang ICPC Team 1
오늘은 PS에 등장하는 간단한 여러 정수론적 알고리즘들에 대한 소개를 합니다
✓ extended euclidean
✓ chinese remainder theorem [crt]
✓ lucas theorem
✓ number theoretic transform [ntt]

3. Linear Diophantine Equations
Sogang ICPC Team 2
a, b, c, x, y ∈ Z
ax + by = c
possible (x, y)?

4. Linear Diophantine Equations
Sogang ICPC Team 3
ax + by = 1을 생각하면, r1 = a, r2 = b일 때...
r1 = q1r2 + r3
r2 = q2r3 + r4
...
rn−3 = qn−3rn−2 + rn−1
rn−2 = qn−2rn−1 + 1

5. Linear Diophantine Equations
Sogang ICPC Team 4
반대로 올라오면
1 = rn−2 − qn−2rn−1
rn−1 = rn−3 − qn−3rn−2
⇒ 1 = −qn−2rn−3 + (1 + qn−2qn−3) rn−2
이런 식으로 계속 대입하면서 올라오면 ax + by = 1이 성립하는 한 가지 경우를 구할 수
있다

6. Linear Diophantine Equations
Sogang ICPC Team 5
23x + 7y = 1 (mod 13), r1 = 23, r2 = 7일 때...
23 = 7 × 3 + 2
7 = 2 × 3 + 1
2 = 1 × 2

7. Linear Diophantine Equations
Sogang ICPC Team 6
23x + 7y = 1 (mod 13), r1 = 23, r2 = 7일 때...
1 = 7 − 2 × 3
= 7 − (23 − 7 × 3) × 3
= 10 × 7 − 3 × 23
(x, y) = (−3, 10)

8. Linear Diophantine Equations
Sogang ICPC Team 7
동시에
23 = 7 × 3 + 2
7 = 2 × 3 + 1
2 = 1 × 2
여기서 1은 gcd (23, 7)이기도 하다 – 확장 유클리드 호제법

9. Linear Diophantine Equations
Sogang ICPC Team 8
1 #include <bits/stdc++.h>
2
3 using namespace std;
4 using ll = long long;
5
6 inline tuple<ll, ll, ll> exgcd(const ll& a, const ll& b) {
7 if (b == 0) return make_tuple(a, 1, 0);
8 const auto& t = exgcd(b, a % b);
9 ll g = get<0>(t), x = get<1>(t), y = get<2>(t);
10 return make_tuple(g, y, x - (a / b) * y);
11 }
exgcd (a, b) = {gcd (a, b) , x, y} where ax + by = 1
시간 복잡도는 O (log (n + m))

10. Linear Diophantine Equations
Sogang ICPC Team 9
임의의 m에 대해 a−1
(mod m)은 ak + bm = 1인 k를 구하는 것과 같음을 이용해,
Euler’s theorem aφ(m)
≡ 1 (mod m)을 이용하지 않고 곱셈 역원을 구할 수도 있음에 참고

11. 해의 개수 #
11661
Sogang ICPC Team 10
Ax + By + C = 0의 해의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.
A, B, C, x, y는 모두 정수이고, x1 ≤ x ≤ x2, y1 ≤ y ≤ y2 인 해의 개수를 구해야 한다.
이쯤 되면 그냥 수학문제 아닌가요?
✓ 네.

12. 해의 개수 #
11661
Sogang ICPC Team 11
gcd (A, B) ∤ C 일 경우에는 일단 해가 없고, G = gcd (A, B)이라면
Ax + By + C = 0
Ax + By = −C
ax + by = −c aG = A bG = B cG = C
a
(
−
x
c
)
+ b
(
−
y
c
)
= 1
를 만족하는 특수해
(
x′
0, y′
0
)
=
(
−
x0
c
, −
y0
c
)
를 먼저 구하고

13. 해의 개수 #
11661
Sogang ICPC Team 12
그 특수해를 이용해서
x1 ≤ x0 + bk ≤ x2 bG = B
y1 ≤ y0 + ak ≤ y2 aG = A
를 만족하는 k의 개수를 적절히 구해주자
처리할 예외가 많음에 주의(x1 > x2 같은 케이스가 들어온다던가..), 코드 생략.

14. System of Congrugences
Sogang ICPC Team 13
n ≡ a1 (mod m1)
n ≡ a2 (mod m2)
...
n ≡ ak (mod mk)
n ≡ x (mod m1m2 × · · · × mk)?

15. System of Congrugences
Sogang ICPC Team 14
식이 두 개 있다고 생각해 보자
n ≡ a1 (mod m1)
n ≡ a2 (mod m2)
모듈로의 정의에 의해
n = a1 + k1m1 = a2 + k2m2

16. System of Congrugences
Sogang ICPC Team 15
a1 + k1m1 = a2 + k2m2
⇒ a1 − a2 = −k1m1 + k2m2
여기서 적절한 k1 과 k2 를 구하면 적절한 n을 구할 수 있고, 이를 통해 n (mod m1m2)도
구할 수 있을 듯 한데..

17. System of Congrugences
Sogang ICPC Team 16
a1 − a2 = −k1m1 + k2m2
이 식은 diophantine equation이므로 적절한 k1 과 k2 를 찾을 수 있어 보인다

18. System of Congrugences
Sogang ICPC Team 17
13 inline ll crt(const ll &a1, const ll &a2, const ll &m1, const ll &m2) {
14 const auto &t = exgcd(m1, m2);
15 ll d = get<0>(t), x0 = get<1>(t);
16 const ll &m = m1 * m2 / d;
17 return ((a1 + x0 * (a2 - a1) * m1 / d) % m + m) % m;
18 }
시간 복잡도는 O (log (m1 + m2))

19. 카잉 달력 #
6064
Sogang ICPC Team 18
M, N, x, y가 주어지고, 예를 들어 M = 4, N = 5일 때 각 년도가
⟨1 : 1⟩ ⟨2 : 2⟩ ⟨3 : 3⟩ ⟨4 : 4⟩ ⟨1 : 5⟩
⟨2 : 1⟩ ⟨3 : 2⟩ ⟨4 : 3⟩ ⟨1 : 4⟩ ⟨2 : 5⟩
와 같은 식으로 표현된다면 ⟨x : y⟩는 몇 번째 해인가?

20. 카잉 달력 #
6064
Sogang ICPC Team 19
⟨x : y⟩를 T 번째 해라고 하면
T ≡ x (mod M)
T ≡ y (mod N)
이 성립하므로, CRT를 활용해 해결 가능. 단 gcd (N, M) ∤ (x − y)이면 유효하지 않은
표현이 된다. 코드 생략.

21. Binomial Coefficient Modulo Prime
Sogang ICPC Team 20
Lucas’s Theorem: m, n ∈ Z+
과 소수 p에 대해 다음이 성립한다.
(
n
m
)
≡
k∏
i=0
(
ni
mi
)
(mod p)
where m = mkpk
+ · · · + m1p + m0 and n = nkpk
+ · · · + n1p + n0.
n과 m을 p진법으로 표현한 뒤, 각 자릿수에 대해 이항 계수를 구한 것을 전부 곱한 것.(
n
m
)
= 0 if n < m.

22. 돌아온 떡파이어 #
15718
Sogang ICPC Team 21
떡파이어는 떡국을 먹은 그릇의 개수만큼 나이를 먹는다. 그들은 매일 떡국을 먹는데,
하루에 얼마든지 원하는 만큼 떡국을 먹을 수 있다. 그러나 떡국을 하루라도 먹지 않으면
생을 마감하게 된다.
M 째날에 N 세로 생을 마감한 떡파이어가 나이를 먹는 과정의 경우의 수를 세는 100, 007로
나눈 나머지를 구하는 프로그램을 작성한다. N = 3, M = 3일 때를 예로 들면,
✓ 첫째 날 1개, 둘째 날 2개, 셋째 날 0개
✓ 첫째 날 2개, 둘째 날 1개, 셋째 날 0개
의 2가지 경우가 있다.

23. 돌아온 떡파이어 #
15718
Sogang ICPC Team 22
답은 (
N − 1
M − 2
)
임을 쉽게 유도할 수 있고, 100, 007에 대해 Lucas’s theorem을 쓰면 된다 ...?

24. 돌아온 떡파이어 #
15718
Sogang ICPC Team 23
하지만
100, 007 = 97 × 1, 031
따라서
✓ 97에 대해, 1, 031에 대해 각각 Lucas’s를 쓰고
✓ 각각의 결과에 대해 CRT를 이용해 100, 007로 나눈 나머지를 구해야 한다.
좋은 정수론 웰노운 연습문제

25. Number Theoretic Transform
Sogang ICPC Team 24
큰 수에서 convolution을 FFT로 계산하면 실수 오차 때문에 틀릴 가능성이 있다
✓ FFT에서 e−2πik/N
부분을 어떤 소수 p의 n번째 원시근으로 바꾸면, C 대신 Z/pZ
위에서 변환할 수 있다!
✓ 실수가 등장하지 않고, 실수 오차를 걱정할 필요가 없어진다

26. Number Theoretic Transform
Sogang ICPC Team 25
원시근
✓ m ≥ 2에 대해 gcd (g, m) = 1이고 ordm g = φ (m)인 정수 g는 m의 원시근이다
✓ ordm g = φ (m) ⇒ gφ(m)
≡ 1 (mod m)
원시근은 나이브하게 구해놓을 수 있다 (시간도 얼마 안 걸림!)

27. Number Theoretic Transform
Sogang ICPC Team 26
“NTT 소수”
754, 974, 721 − 1 = 225
× p R = 11
377, 487, 361 − 1 = 224
× p R = 7
104, 857, 601 − 1 = 223
× p R = 3

28. Number Theoretic Transform
Sogang ICPC Team 27
11 using iarray = valarray<int>;
12 void ntt(iarray &a, bool f, int P, int R) {
13 const int N = a.size();
14 for (int i = 1, j = 0; i < N; i++) {
15 int b = N >> 1;
16 for (; j >= b; b >>= 1)
17 j -= b;
18 j += b;
19 if (i < j)
20 swap(a[i], a[j]);
21 }
P 에 소수를, R에 P 의 원시근을 집어넣는다

29. Number Theoretic Transform
Sogang ICPC Team 28
22 for (int i = 1; i < N; i <<= 1) {
23 int x = pow(f ? pow(R, P - 2, P) : R, P / i >> 1, P);
24 for (int j = 0; j < N; j += i << 1) {
25 int y = 1;
26 for (int k = 0; k < i; k++) {
27 ll u = a[j + k];
28 ll z = (ll)a[i + j + k] * y % P;
29 a[j + k] = (u + z) % P;
30 a[i + j + k] = (u - z + P) % P;
31 y = (ll)y * x % P;
32 }
33 }
34 }

30. Number Theoretic Transform
Sogang ICPC Team 29
35 if (f) {
36 int j = pow(N, P - 2, P);
37 for (int i = 0; i < N; i++)
38 a[i] = (ll)a[i] * j % P;
39 }
40 }
FFT에서 e−2πik/N
부분만 전부 교체한 것
이걸 FFT처럼 ntt (a)와 ntt (b)를 원소별로 곱한 뒤 ntt−1
(x)를 해 주면 된다

31. 씽크스몰 #
11385
Sogang ICPC Team 30
f (x) g (x)의 계수를 전부 XOR하라. 단, f 와 g는 106
차 이하의 다항식이고 그 계수도 전부
106
차 이하의 양의 정수이다.
✓ 곱해진 다항식의 계수는 263
미만인 거 같긴 합니다...

32. 씽크스몰 #
11385
Sogang ICPC Team 31
f 와 g는 106
차 이하의 다항식이고 그 계수도 전부 106
차 이하의 양의 정수이다.
✓ 이걸 단순 FFT로 계산할 수 있을까?
✓ 실수 오차 최적화를 정말 잘 하면 AC를 받을 수도 있긴 한데 비추

33. 씽크스몰 #
11385
Sogang ICPC Team 32
대신 적당히 큰
(
> 109
)
소수 두 개에 대해 NTT를 한 번씩 돌리고, 이를 CRT로 합치는
방법을 사용하자. 코드 생략.

34. 8회차 연습문제
Sogang ICPC Team 33
Extended euclidean
✓ 해의 개수 #
11661
1. 피보나치 문제해결전략 #
10327
2. A + B #
9267
Chinese remainder theorem
✓ 카잉 달력 #
6064
3. 날짜 계산 #
1476
Lucas theorem
✓ 돌아온 떡파이어 #
15178
4. 이항 계수 4 #
11402
Number theoretic transform
✓ 씽크스몰 #
11385