Persistent Segment Tree Sogang ICPC Team – 2020 겨울 고급 스터디

1. #4—
퍼시스턴트세그먼트트리
Persistent Segment Tree
by
Suhyun Park
Sogang ICPC Team – 2020 겨울 고급 스터디 acm.sogang.ac.kr

2. Remarks on Segment Trees
Sogang ICPC Team 1
1–10
1–5 6–10
1–3 4–5 6–8 9–10
1–2 3 4 5 6–7 8 9 10
1 2 6 7
f (x, s, e, · · · ) = f
(
2x, s,
⌊
s + e
2
⌋
, · · ·
)
+ f
(
2x + 1,
⌊
s + e
2
⌋
+ 1, e, · · ·
)

3. Persistent Segment Tree
Sogang ICPC Team 2
T1
1–5
1–3 4–5
1–2 3 4 5
1 2
구조체와 포인터로 구현하며, 2D 쿼리를 처리하기 위해 여러 버전의 트리를 만들 예정
예를 들어 Tn 은 y 좌표가 0 · · · n인 쿼리의 정보를 담는다고 하자

4. Persistent Segment Tree
Sogang ICPC Team 3
T0 T1
1–5
1–3 4–5
1–2 3 4 5
1 2
1–5
1–3 4–5
1–2 3
T2 는 T1 을 기반으로 다른 노드들만 새로 만들고, 나머지 노드들은 포인터로 전 버전의
트리를 가리키게 한다, 이를 반복해 트리 생성

5. Persistent Segment Tree
Sogang ICPC Team 4
총 데이터 수를 n개라 할 때· · ·
✓ 트리 하나 만드는 시간: O (log xmax)
✓ 트리 전체를 만드는 시간: O (n log xmax)
✓ Ti 를 쿼리하는 시간: O (log xmax)

6. Persistent Segment Tree
Sogang ICPC Team 5
R = [xl, xr] × [yl, yr] 쿼리하기?
✓ Tn 은 y 좌표가 0 · · · n인 쿼리의 정보를 담는다
✓ 따라서 R을 쿼리하려면
– Tyr 에 대해서 [xl, xr]을 쿼리
– Tyl−1 에 대해서 [xl, xr]을 쿼리
– 한 후 둘의 차를 구하면 된다
Ti 에 대해 두 번 쿼리하므로 직사각형 영역의 쿼리가 겨우 O (log mx)이다!

7. PSTs vs 2D Segment Trees
Sogang ICPC Team 6
0 ≤ x ≤ mx, 0 ≤ y ≤ my 이고 총 데이터 수를 n개라 할 때· · ·
PST 2D
공간 O (n log mx) O (mxmy)
쿼리 O (log n) O (log mx log my)

8. PSTs vs 2D Segment Trees
Sogang ICPC Team 7
하지만
✓ 값 업데이트
✓ RMQ 처리
같은 일들은 PST가 할 수 없는 부분이고, 값들이 sparse하지 않으면 의미가 별로 없으므로
PST와 2D segment tree 중 적절한 자료구조를 잘 선택해야 한다

9. PSTs vs 2D Segment Trees
Sogang ICPC Team 8
참고: 2D segment tree는 2차원 배열을 이용해 y좌표로 분할 정복 → x좌표로 분할 정복
같은 식으로 만들 수 있다
구현이 생각보다 어렵지 않으니 직접 해 봐도 좋음! (lazy propagation 등 모두 1D
segment tree와 비슷하게 처리하면 된다)
2D segment tree source code

10. Egg #
11012
Sogang ICPC Team 9
당신은 임기가 m일 남은 대통령이고, 매일 유세하러 나간다. 유세는 직사각형 모양의
공간을 돌아다니며 진행한다.
시민들은 집에서 당신이 보이면 달걀을 던진다. 시민들의 집의 좌표들이 주어졌을 때,
유세하러 나가면 몇 개의 달걀을 맞을지 구하라.
✓ 집 개수 = n ≤ 10000, m ≤ 50000
✓ 0 ≤ x, y ≤ 105
✓ 테스트 케이스 20개

11. Egg #
11012
Sogang ICPC Team 10
문제를 간단히 하면
✓ R = [xl, xr] × [yl, yr] 내부의 점의 개수를 세는 쿼리를 구현해라
가 된다

12. Egg #
11012
Sogang ICPC Team 11
15 struct pst {
16 struct pst_node {
17 int l, r;
18 int sum;
19
20 pst_node() : l(-1), r(-1), sum(0) {}
21
22 pst_node(int val) : l(-1), r(-1), sum(val) {}
23
24 pst_node(int l, int r, int sum) : l(l), r(r), sum(sum) {}
25 };
26
27 int xn;
28 vector<pst_node> nodes;
29 vector<int> root_indexes;
source code
그냥 세그먼트 트리 만들듯이

13. Egg #
11012
Sogang ICPC Team 12
35 int init(int s, int e) {
36 if (s == e) {
37 nodes.emplace_back(0);
38 } else {
39 int m = (s + e) / 2;
40 int l = init(s, m), r = init(m + 1, e);
41 nodes.emplace_back(l, r, 0);
42 }
43 return nodes.size() - 1;
44 }
source code
그냥 세그먼트 트리 만들듯이

14. Egg #
11012
Sogang ICPC Team 13
46 int _sum(int x, int s, int e, int l, int r) {
47 pst_node u = nodes[x];
48 if (l > r) return 0;
49 if (e < l || r < s) return 0;
50 if (l <= s && e <= r) return u.sum;
51 int m = (s + e) / 2;
52 return _sum(u.l, s, m, l, r)
53 + _sum(u.r, m + 1, e, l, r);
54 }
source code
그냥 세그먼트 트리 만들듯이

15. Egg #
11012
Sogang ICPC Team 14
56 int _add(int x, int s, int e, int i, int dv) {
57 pst_node u = nodes[x];
58 if (s == e) {
59 nodes.emplace_back(u.sum + dv);
60 } else {
61 int m = (s + e) / 2;
62 if (i <= m) {
63 int l = _add(u.l, s, m, i, dv);
64 nodes.emplace_back(l, u.r, u.sum + dv);
65 } else {
66 int r = _add(u.r, m + 1, e, i, dv);
67 nodes.emplace_back(u.l, r, u.sum + dv);
68 }
69 }
70 return nodes.size() - 1;
71 }
source code
여기서는 갱신되는 부분만 새로 만들어준다

16. Egg #
11012
Sogang ICPC Team 15
86 void add_back() {
87 root_indexes.emplace_back(root_indexes.back());
88 }
source code
트리 버전 업 – root_indexes에는 버전마다 루트의 인덱스들이 들어 있음

17. Egg #
11012
Sogang ICPC Team 16
101 priority_queue<pii, vector<pii>, greater<>> coords;
102 while (n--) {
103 int x, y;
104 cin >> x >> y;
105 coords.emplace(x, y);
106 }
source code
좌표 입력

18. Egg #
11012
Sogang ICPC Team 17
108 pst tree(100000);
109 for (int i = 0; i <= 100000; i++) {
110 while (coords.size() && coords.top().first == i) {
111 tree.update_back(coords.top().second, 1);
112 coords.pop();
113 }
114 tree.add_back();
115 }
source code
PST 생성

19. Egg #
11012
Sogang ICPC Team 18
117 int s = 0;
118 while (q--) {
119 int l, r, b, t;
120 cin >> l >> r >> b >> t;
121
122 s += tree.sum(b, t, l, r);
123 }
124 cout << s << 'n';
source code
쿼리 처리

20. Egg #
11012
Sogang ICPC Team 19
73 int sum(int xl, int xr, int y) {
74 return _sum(root_indexes[y], 0, xn, xl, xr);
75 }
76
77 int sum(int xl, int xr, int yl, int yr) {
78 if (yl <= 0) return sum(xl, xr, yr);
79 return sum(xl, xr, yr) - sum(xl, xr, yl - 1);
80 }
source code
쿼리 처리

21. PST로 더 할 수 있는 것
Sogang ICPC Team 20
✓ 구간에서 k번째 원소 구하기
– 원소의 값들을 좌표 압축하고 구간 내에서 이분 탐색
✓ 물론 이 트리도 HLD와 섞을 수 있다

22. K번째 수 #
7469
Sogang ICPC Team 21
✓ Q (i, j, k): 배열 a [i · · · j]를 정렬했을 때, k번째 수를 리턴하는 함수
를 구현해라

23. K번째 수 #
7469
Sogang ICPC Team 22
Q (i, j, k): 배열 a [i · · · j]를 정렬했을 때, k번째 수를 리턴하는 함수
✓ 배열에 저장된 정수의 값들을 좌표 압축 하듯이 압축하고
– zip : a [i] = v → v′
✓ 인덱스를 i, 압축된 값을 v′
라고 했을 때 배열의 원소 각각을
(
v′
, i
)
라는 점들로
생각한다면
✓ [0, x] × [i, j]에 속한 점의 개수가 k개가 되는 x를 찾으면 된다

24. K번째 수 #
7469
Sogang ICPC Team 23
[0, x] × [i, j]에 속한 점의 개수가 k개가 되는 x를 찾으면 된다
✓ PST의 경우 기본적으로 [xa, xb] × [0, y]의 쿼리를 처리하므로
✓
(
[0, x] × [0, j] 에 속한 점의 개수
)
−
(
[0, x] × [0, i − 1] 에 속한 점의 개수
)
를 계산
– 인덱스 트리 쓰듯이
– 쿼리 한 번에 O (log xmax)

25. K번째 수 #
7469
Sogang ICPC Team 24
82 int _kth(int yli, int yri, int s, int e, int k) {
83 if (s == e) return s;
84 int p = nodes[nodes[yri].l].sum - nodes[nodes[yli].l].sum;
85 if (k < p) {
86 return _kth(nodes[yli].l, nodes[yri].l, s, (s + e) / 2, k);
87 } else {
88 return _kth(nodes[yli].r, nodes[yri].r, (s + e) / 2 + 1, e, k - p);
89 }
90 }
91
92 int kth(int yl, int yr, int k) {
93 return _kth(root_indexes[yl - 1], root_indexes[yr], 0, xn, k);
94 }
source code

26. K번째 수 #
7469
Sogang ICPC Team 25
116 for (int i = 0; i < n; i++) {
117 cin >> a[i];
118 zip[a[i]] = 1;
119 }
120
121 int c = 1;
122 for (const auto& kv : zip) {
123 int i = kv.first;
124 zip[i] = c;
125 unzip[c] = i;
126 c++;
127 }
source code

27. K번째 수 #
7469
Sogang ICPC Team 26
129 pst tree(100000);
130
131 for (int i = 0; i < n; i++) { // (x, y) = (v', i)
132 tree.add_back();
133 tree.update_back(zip[a[i]], 1);
134 }
source code
(
v′
, i
)
임에 주의

28. K번째 수 #
7469
Sogang ICPC Team 27
136 while (m--) {
137 int i, j, k;
138 cin >> i >> j >> k;
139 cout << unzip[tree.kth(i, j, k - 1)] << 'n';
140 }
source code

29. 4회차 연습문제
Sogang ICPC Team 28
✓ Egg #
11012
✓ K번째 수 #
7469
1. 수열과 쿼리 22 #
16978
2. 트리와 쿼리 8 #
13517 = 트리와 K번째 수 #
11932
3. XOR 쿼리 #
13538
4. 히스토그램에서 가장 큰 직사각형과 쿼리 #
16977