Διαγωνίσματα Στατιστικής Γ' Λυκείου ΕΠΑΛ Απαντήσεις-Υποδείξεις

1. Γ’ ΕΠΑΛ Διαγώνισμα Περιγραφική Στατιστική Απαντήσεις-Υποδείξεις
Θέμα 1ο
: Α) Οι πέντε προτάσεις είναι Σωστό, Λάθος, Λάθος, Σωστό και Λάθος
αντίστοιχα.
Β) Για να είναι σωστές οι προτάσεις αρκεί να συμπληρώσουμε τα ακόλουθα :
1. μεταβλητές
2. ποιοτικές, ποσοτικές, διακριτές, συνεχείς
3. επικρατούσα τιμή
4. 1 1 2 2 k kx v x v x v
x
v
, διακύμανση
5. 40
Θέμα 2ο
: Α) Οι απαντήσεις είναι οι ακόλουθες :
1. Εύρος R είναι η διαφορά της μεγαλύτερης παρατήρησης από τη
μικρότερη.
2. Η κεντρική τιμή κάθε κλάσης είναι το ημιάθροισμα του άνω και του κάτω
άκρου της κλάσης.
3.
Κλάσεις-
Ηλικία
Συχνότητα-
Ύψος
Κεντρική
Τιμή
[0,10) 5 5
[10,20) 15 15
[20,30) 10 25
[30,40) 25 35
[40,50) 30 45
Σύνολο 85
Για το ιστόγραμμα συχνοτήτων δεν νομίζω ότι χρειάζεται να πω κάτι
περισσότερο εφόσον έχουμε τη στήλη των συχνοτήτων και τις κλάσεις είναι
απλό να γίνει.
Υπολογίζουμε τις κεντρικές τιμές των κλάσεων με τον τρόπο που
περιγράψαμε στο δεύτερο ερώτημα του θέματος 2ο
, στο Α).
Όσο για τη μέση τιμή, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο
1 1 2 2 k kx v x v x v
x
v
, όπου 1 2 kv ,v , ,v είναι η συχνότητες,
1

2. 1 2 kx ,x , ,x είναι οι κεντρικές τιμές που αντιστοιχούν στην κάθε κλάση και v
το σύνολο που έχουμε βρει. το αποτέλεσμα είναι x 32,05 .
Θέμα 3ο
: 1) Η μέση τιμή είναι
8 10 2 13 15 16 18 2 14 9
x x 13
10
.
Για να υπολογίσουμε τη διάμεσο θα πρέπει να βάλουμε τις παρατηρήσεις μας
σε αύξουσα σειρά ( από τη μικρότερη έως τη μεγαλύτερη ) και στη συνέχεια
βρίσκουμε τη μεσαία παρατήρηση ή το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων
παρατηρήσεων, όπως στην περίπτωσή μας που το πλήθος των παρατηρήσεων
είναι άρτιος αριθμός. Και το αποτέλεσμα θα είναι η διάμεσος.
Η επικρατούσα τιμή είναι η παρατήρηση με τη μεγαλύτερη συχνότητα.
Έχουμε πει ότι η επικρατούσα τιμή δεν είναι μοναδική, επομένως η
επικρατούσα τιμή είναι το 13 και το 14.
2) Το εύρος είναι η διαφορά της μεγαλύτερης παρατήρησης από τη
μικρότερη, R 18 8 R 10 .
Για τον υπολογισμό της διακύμανσης παίρνουμε τον τύπο
2 2 2
2 1 2 k( x x ) ( x x ) ... ( x x )
s
v
, όπου 1 2 kx ,x , ,x είναι οι
παρατηρήσεις μας και x 32,05.
Και η τυπική απόκλιση είναι 2
s s , όπου 2
s είναι η διακύμανση.
Θέμα 4ο
: 1) Σχηματίζουμε τον ακόλουθο πίνακα
ix iv if iN
1 2 0,1 2
2 6 0,3 8
3 8 0,4 16
4 4 0,2 20
Σύνολο 20 1
Η σχετική συχνότητα if υπολογίζεται από τον τύπο i
i
v
f
v
και η αθροιστική
συχνότητα iN από τον τύπο i 1 2 iN v v v .
2) Ο σχεδιασμός του ιστογράμματος δίνεται αναλυτικά στο σχολικό βιβλίο. Θα
χρησιμοποιήσουμε τις συχνότητες iv στον άξονα των y και τα ix στον άξονα των
x.
2

3. Γ’ ΕΠΑΛ Επαναληπτικό Διαγώνισμα Περιγραφική Στατιστική Απαντήσεις-
Υποδείξεις
Θέμα Α. Α1) Η επικρατούσα τιμή είναι η παρατήρηση με τη μεγαλύτερη
συχνότητα.
Α2) Σωστό, Λάθος, Λάθος, Σωστό και Σωστό.
Α3) i
i
v
f
v
,
s
CV %
x
και
2 2 2
2 1 1 2 2 k kv ( x x ) v ( x x ) ... v ( x x )
s
v
.
Θέμα Β. Β1) και Β2) Για να απαντηθούν αυτά τα δύο ερωτήματα αρκεί να
συμπληρώσουμε τη στήλη της συχνότητας. Εφόσον γνωρίσουμε το πλήθος
v 100 και τη σχετική συχνότητα επί τοις εκατό, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο
i
i
v
f 100
v
και θα βρούμε όλα τα iv .
Β3) Σε αυτό το ερώτημα απαντάμε χρησιμοποιώντας τη στήλη της σχετικής
συχνότητας, την οποία έχουμε ήδη. Το ποσοστό των εκπαιδευτικών που έχει
προϋπηρεσία το πολύ 30 χρόνια είναι 88%.
Θέμα Γ. Γ1) Η μέση τιμή είναι
8 10 2 13 15 16 18 2 14 9
x x 13
10
.
Για να υπολογίσουμε τη διάμεσο θα πρέπει να βάλουμε τις παρατηρήσεις μας σε
αύξουσα σειρά ( από τη μικρότερη έως τη μεγαλύτερη ) και στη συνέχεια
βρίσκουμε τη μεσαία παρατήρηση ή το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων
παρατηρήσεων, όπως στην περίπτωσή μας που το πλήθος των παρατηρήσεων
είναι άρτιος αριθμός. Και το αποτέλεσμα θα είναι η διάμεσος.
Η επικρατούσα τιμή είναι η παρατήρηση με τη μεγαλύτερη συχνότητα. Έχουμε
πει ότι η επικρατούσα τιμή δεν είναι μοναδική, επομένως η επικρατούσα τιμή
είναι το 13 και το 14.
Γ2) Το εύρος είναι η διαφορά της μεγαλύτερης παρατήρησης από τη μικρότερη,
R 18 8 R 10 .
3

4. Για τον υπολογισμό της διακύμανσης παίρνουμε τον τύπο
2 2 2
2 1 2 k( x x ) ( x x ) ... ( x x )
s
v
, όπου 1 2 kx ,x , ,x είναι οι
παρατηρήσεις μας και x 32,05.
Και η τυπική απόκλιση είναι 2
s s , όπου 2
s είναι η διακύμανση.
Γ3) Ρίξτε μια ματιά στο παρακάτω παράδειγμα για το τι ισχύει στην κάθε
περίπτωση και πως αποδεικνύεται και η απάντηση θα είναι πιο απλή στο
ζητούμενο της άσκησης.
Έστω vxxx ,...,, 21 ν παρατηρήσεις με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση xs .
α) Αν vyyy ,...,, 21 είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν προσθέσουμε
σε καθεμιά από τις vxxx ,...,, 21 μια σταθερά c, να δειχτεί ότι:
i) cxy , ii) xy ss
β) Αν vyyy ,...,, 21 είναι οι παρατηρήσεις που προκύπτουν αν πολλαπλασιά-
σουμε τις vxxx ,...,, 21 επί μια σταθερά c, να αποδειχτεί ότι:
i) xcy , ii) xy scs ||
Απόδειξη :
α) Έχουμε cxy ii , vi ,...,2,1 , επομένως:
i)
v
cxcxcx
v
yyy
y vv ...... 2121
cx
v
vc
v
xxx v...21
ii)
v
yyyyyy
s v
y
22
2
2
12 )(...)()(
v
cxcxcxcxcxcx v
22
2
2
1 )(...)()(
2
22
2
2
1 )(...)()(
x
v
s
v
xxxxxx
.
Άρα και xy ss .
β) Έχουμε ii cxy , vi ,...,2,1 , επομένως:
i)
v
cxcxcx
v
yyy
y vv ...... 2121
xc
v
xxx
c v...21
4

5. ii)
v
yyyyyy
s v
y
22
2
2
12 )(...)()(
v
xccxxccxxccx v
22
2
2
1 )(...)()(
22
22
2
2
1
2
])(...)()[(
x
v
sc
v
xxxxxxc
.
Άρα και xy scs || .
Θέμα Δ. Δ1) Το σύνολο των παρατηρήσεων είναι v 50. συμπληρώνουμε την
πρώτη κενή στήλη με τον προφανή τρόπο, υπολογίζοντας το γινόμενο των ix με
τα iv . Η δεύτερη κενή στήλη από τον τύπο i
i
v
f
v
και η τρίτη από τον τύπο
i
i
v
f %
v
.
Δ2) Η μέση τιμή δίνεται από τον τύπο i ix v
x
v
.
5