モデル勉強会 Soetaert and Herman "A practical guide to Ecological model" Chapter 4　Parameter

1. Chapter 4 横浜国立大学 D1 柴田泰宙 Parameterization

2. データに最も当てはまる直線は？ Y=a + b*X a, b のような直線 ( モデル ) の形を変える係数を パラメータ と呼ぶ パラメータはどのように決めればよいのか？

3. 数理モデルを構築するに当たっては、 パラメータや定数が必要 それらを得るための方法 4.1. 生データ そのまま 4.2. 生データを 変換 してから 4.3. 生データを 変換 して、モデルも 試行錯誤

4. 4.1. 生データ そのまま 最も直接的 (Y=X なモデル ) ( 当たり前だが ) パラメータは推定されるものであることに留意 4.2. 生データを 変換 してから 先行研究に従って変換 ( 事例では log(Y)=log(X)) しかし、その変換がいつでも最良とは限らない

5. 4.3. 生データを 変換 して、モデルも 試行錯誤 観測値と予測値の差が最小になるように、パラメータを調整 重みつき残差平方和 error は、 i 番目のデータの持つ分散としている (i 番目のデータは j 個のデータの平均値扱い ) データ多 ->分散小-> Cost 大->だから、 ズレちゃだめ (AIC 的には・・・ )

6. 4.3.1 線形回帰 基本形 指数 逆数 指数 2 ( 教科書と違う )

7. 4. 3. 2 非線形回帰 非線形の定義は？ 線形でないこと 線形モデルに比べ、最も ModelCost の低い点が見つけにくいので、初期値を変えて試す必要あり 本当に見つけにくい？ ( 例は当てはめただけでつまらないので勝手に ) 初期値を乱数で変えてみた

8. [198,] 10.435 1.60 209.633 [199,] 45.229 -1.60 -209.632 [200,] 5.284 12.12 -70.093 [201,] 10.435 1.60 209.632 [1,] 10.435 1.60 209.632 [2,] 10.435 1.60 209.633 [3,] 10.435 1.60 209.632 ・・・ ・・・ ← 本 (p125) と一緒の値 初期値が悪いと確かに良くないようだ 4. 4 ケーススタディ 4.4.1 P-I カーブ

9. 4.4.2 線形モデル vs 非線形モデル P126 の (4. 10) 式を線形モデルと非線形モデル、両方でパラメータ推定します ((4.10) 式の導出は Appendix 1) 線形モデル のモデル式 非線形モデル のモデル式 と置く ただし

10. sum(LL$residuals^2) [1] 0.1073133 sum(summary(fit)$residuals^2) [1] 0.08434943 残差平方和は非線形回帰の方が小さかった ( 教科書は x 軸と y 軸が逆転してて非常に見にくいので、勝手に変えました .Appendix2) 線形モデル ( 赤 ) 非線形 モデル ( 青 ) 大きな x と小さな x で 当てはまりに差

11. 4.4.3 疑似乱数によるパラメータ探索 手順 1. たくさんのパラメータ候補を発生させる 2. それらのパラメータを使った ModelCost を計算 3. パラメータをいくつか選んでその平均値を計算 4. もう一つ別のパラメータを選んで、それを軸に対称にあるパラメータを選択 5. そのパラメータの ModelCost が一番悪い ModelCost より小さければ採択

12. 例 (p133 のやつはコードを打てばできるので ) Y = a + bX のパラメータ a と b を推定してみる (Appendix3) 1. たくさんのパラメータ候補を発生させる a2 <- runif(100, 0, 10) b2 <- runif(100, 0, 10) 2. それらのパラメータを使った ModelCost を計算 この場合、 100 個の ModelCost が計算される a <- 5 b <- 3

13. 3. パラメータをいくつか選んでその平均値を計算 a_mean <- mean(sample(a2, 3)) 4. もう一つ別のパラメータを選んで、それを軸に対称にあるパラメータを選択 ( 例えば、 a_mean が 5 だったとして、 a_mirror が 3 だとすると、 2*5-3=7 となり、 3 を中心に等しい距離 (2) だけ移動したことになる。局所解にトラップされない工夫だと思われる ) a_mirror <- sample(a2, 1) new_a <- 2*a_mean - a_mirror 5. そのパラメータの ModelCost が一番悪い ModelCost より小さければ採択 最適解だけ求めようとしていることに留意

14. 真の値 5 真の値 3 Before After

15. 複雑なモデルでも大丈夫 得られるのは点推定値 ただし 教科書のような図に毎度はならない

16. 4.4.4 先ほどのアルゴリズムを使って、微分方程式 のパラメータ推定 http://geos.ees.hokudai.ac.jp/noriki/Trap.html セジメントトラップ 海水中を沈降する粒子を集める装置 今回は、 有機炭素がどのように無機炭素に石灰化していくのかモデリング してみる 有機・無機炭素量 ( flux ) 酸素消費量 ( oxycon ) 上記の時間軸 < 手持ちのデータは 3 つ >

17. 単位時間ごとの flux の変化 矢印が変化量そのもの 無機化した分を抜く 実は過少推定かも

18. パラメータ推定の流れ 1. 観測値と微分方程式からの予測値の差を最小にするようにパラメータ k, mult を推定する .flux の値は offset のように強制的に与えた 2. 得られたパラメータで、もう一度微分方程式 に当てはめる 3. 予測値をプロットしてみて、実際のものと合っ ているか確認

19. ちょっと説明： R で微分方程式 ode 関数 (Ordinary differential equation) を使用 ode( 初期値、時間、微分方程式、パラメータ ) < 用法 > 例 : 個体群増加モデルを解いてみる (Appendix 4) N は個体数、 r は増加率、 K は環境収容力 ロジスティックモデル

20. Growth_model <- function ( t , state, pars) { with (as.list(c(state, pars)), { dN <- r * N *(K - N)/K return(list(dN, r * N *(K - N)/K))}) } pars <- c(r=0.3, K=100) ini <- c(N=1) times <- seq(0, 100) out <- as.data.frame(ode(func= Growth_model , y= ini , parms= pars , times= times )) 微分方程式作成 初期値とパラメータ 微分方程式解かせる

22. minmod <- function(t, Carbon, parameters) { with(as.list(c(Carbon, parameters)), { minrate <- k*Carbon Depo <- approx(Flux[, 1], Flux[, 2], xout=t)$y dCarbon <- mult*Depo - minrate list(dCarbon, minrate) }) } 時刻 t での flux を与えている costt <- sum((minrate- oxcon$cons)^2) …

24. コストがどのくらい小さくなったらやめるか コスト分布

25. 第四章のまとめ 線形回帰と非線形回帰 を紹介した 非線形回帰の 初期値依存 の様子を示した コストをあらかじめ計算して、 良さそうなパラメータからスタート する重要性の示唆 ミラー関数 (Price 関数 ) でパラメータ推定することの有効性の示唆

26. おまけ 統計モデルでは尤度を使ってパラメータ推定 緑の棒線 の長さの合計 ( 積 ) 尤度 尤度 が最も大きくなるように 黄色の線 引く 最尤法 ＝ ＝

27. 最尤法の弱点 たまに、偽ピークにトラップされてしまう。 これを回避するためには？ 最適解を求めようとするため なんで？ 最適解を求めようとせず パラメータの分布 ( 事後分布 ) を求めれば良い

31. 誤差を考慮することで、 不確実性を見積もる ことができる おまけのまとめ 最適解を追い求める以外のアルゴリズムでも、 同じ結論 になる 個人的には、 パラメータには誤差があるもの として扱ってほしい こともある 現実的に無理な場合が多々ありますし