モデル勉強会 Soetaert and Herman "A practical guide to Ecological model" Chapter 7

1. 公開用
Soetaert, K. and P.M.J. Herman. 2009. A practical guide to ecological modelling using R as a simulation platform. Springer.
Chapter 7
Stability and Steady-State
（安定性と定常状態）
東⼯大PD 岩崎雄⼀
NSNモデル勉強会
2010/7/10
苦情，間違い等は，作成者（yuichiwsk#at#gmail.com)まで
ご連絡頂ければ大変有り難いです 1

2. 7章のおおざっぱなまとめ
• 状態変数の変化率で書かれたモデルを扱っているけど，
定常状態とか平衡点にも興味があったりする
– 系（状態変数たち）がもうこれ以上変化しないよって状態
• どうやってみつけんの？
– ⻑い時間モデルを⾛らす
– 変化率＝０として，式を解く！（Rを使う）
• 平衡点にも⾊んな種類がある
• 平衡点の性質を調べるのには，作図を使うと便利
• モデルをどう解いているかは，5または6章
2

3. 7.1 Basics
• Equilibrium: 平衡（この本ではsteady-stateも同じ意味）
– 時間に伴う変化率が0
– ⼀定の周期性を持って，予測可能な変化で振動する
不安定平衡点
安定平衡点
局所安定
安定平衡点
広域（global）安定
3

4. 7.1 Basics (p212)
• 限られた数（1-2）の微分⽅程式で構成されたモデルな
らば，平衡点の存在や安定性解析は作図が便利
微分⽅程式が1つ 微分⽅程式が2つ
Competition phase-plane
2.0
-0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00
状態変数２の値
状態変数
1.5
変化率
dB/dt
1.0
N2
アイソクライン
0.5
0.0
0 2 4 6 8 10 0.0 0.5 1.0 1.5
B
状態変数の値
N1
状態変数1の値
4

5. 7.2 Stability of One First-order DE
• 密度依存な増殖と収穫を考慮した個体群動態モデル
– K=環境収容⼒，ri=内的自然増加率
– q=収穫率，Ks=最大収穫量の半分の値をとるときのNの密度
安定平衡 増加
0.01
K=10
+
N0 N2 N1
Q=0.1
0.00
Ks=1
不安定平衡
- - ri=0.05?
dN/dt
-0.01
-0.02
The domain of
attraction of unstable
stable
equilibrium
point N0 0 2 4 6 8
separatrix N
5

6. 7.2.2 Multiple Steady States (p215)
• dN/dt = 0を解く
– N*=0 or
A B
riの値で 0.00
0.00
サドル
D<0
場合分け
-0.02
-0.02
D=0
-0.04
-0.04
dN/dt
dN/dt
収穫しすぎ！
-0.06
-0.06
-0.08
-0.08
r= 0.02 r= 0.0330578512396694
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
N N
C D
0.3
0.04
unstable
stable
0.2 saddle
0.00
dN/dt
dN/dt
0.1
-0.04
0.0
-0.08
r= 0.05 r= 0.15
-0.1
6
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
N N

7. 7.3 Bifurcation （分岐） separatrix
• パラメータによって，平衡点の数や性質が変わる！
– このような急激な変化=bifurcation（分岐）
A B
0.00
0.00
-0.02
-0.02
-0.04
-0.04
r=0.0330
dN/dt
dN/dt
r=0.02
-0.06
-0.06
-0.08
-0.08
r= 0.02 r= 0.0330578512396694
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
N N
C D
0.3
0.04
unstable
stable
saddle
0.2
0.00
r=0.15
r=0.05
dN/dt
dN/dt
0.1
-0.04
0.0
-0.08
r= 0.05 r= 0.15
-0.1
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
N N
7

8. 7.3 Stability of Two DE – Phase-plane analysis
• Phase-plane（位相⾯）解析は，2つの微分⽅程式から
できたモデルの挙動を解析するグラフィカルツール
これがPhase plane
Isoclines
0-isocline of SV2
state variable 2
Equilibrium
0-isocline of SV1
state variable 1
8

9. 7.3.1 Example. The Lotka-Volterra Eq.
⾷われる
死ぬ
摂⾷率 同化効率
• 変化率=0として，解く
• PREDATOR
– PREDATOR = 0, PREY = m/(α*γ)
• PREY
– PREY = 0, PREDATOR = (ri/α) – ri(α*K)*PREY
9

10. Fig. 7.7
• α=0.2, ri=1, m=0.2, γ=0.5
A Stable focal point B Predator extinction
m/(α*γ) < K m/(α*γ) > K
Predator
Predator
PREDATORが存続するには，
PREYの個体数が不⼗分
不安定 Prey Prey
C Neutral stability
中⽴安定 PREYの個体数に制限無しモデルにする
Predator
constant prey
constant predator
Prey
10

11. 7.4 Multiple Example
• 位相⾯解析は3つ微分⽅程式なモデルにも応用可能
･･･
• One is generally not able to think geometrically in
more than 2 dimensions.
11

12. *が付いてるから･･･ざっと
• 7.5 Steady-state solution of differential equations
– 根（平衡点）を求める⽅法を説明
• 7.6 Formal analysis of stability
– 上で求めた，平衡点の安定性の解析
– ヤコビ⾏列（Jacobian matrix）を使うらしい A Stable node B Unstable node
A Stable focal point B Neutral stability
8
5
4
6
Prey
3
Prey
4
2
C D
2
Saddle point Neutral stability
1
0
0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
Time Time
C Stable node D Saddle point
10
15
E Stable focal point F Unstable focal point
9
10
species1
species1
8
5
7
6
12
0
0 50 100 150 200 0 50 100 150 200
Time Time

13. *が付いてるから･･･ざっと
• 7.7 Limit cycles
– 中⽴安定と異なり，いつも同じcycleに収束する
Stable limit cycle Unstable limit cycle
A B
13

14. 14

15. プラスあるふぁ
シミュレーション，シミュレーション，⼼霊現象
シミュレーション，シミュレーション，怪現象
相対性理論「ふしぎデカルト」
http://mirairecords.com/stsr/
相対性理論に関する画像は
著作権の問題により，削除しました
15

16. モデルの妥当性
• 最近はベイズ推定とかで，観測値があれば，妥当なパラ
メータ推定はできる（と思う）
• モデル構造の妥当性はどう担保するか？
• （事情により，当該部分削除）
16

17. モデル構造の妥当性をどう担保するか？
• 肝⼼なプロセスの記述が間違っていたら？
– モデル選択（仮説発⾒的⼿法）的考え⽅は使えそう
• でも，プロセスベースモデルではどうするか？
– もちろん，だからといって，プロセスを記述しない従来の統計
モデルの⽅がいいってわけではない
• ⽣態学において多くの場合，プロセスの完全な記述では
なくて，“真の”プロセスの近似になる（TMT 私信）
– それがイケテルモデルと分かっても，実は結果からプロセスの
解釈をすることは容易ではないかも
17

18. モデルの妥当性をどう担保するか？
教えて下さい
⽟⽊さんや明⽇の発表者が答えてくれる？
「（前略）信じるしかないですね」 「科捜研の⼥」
「信じるって何を？」 に関する画像は
「万能でない科学を万能でない⼈間 著作権の問題に
より，削除しま
がちゃんと扱えることを」 した おわり
誠実さが大事だよね。
予測幅を出すのは大事かも（TMK 私信）
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