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モデル勉強会 Soetaert and Herman "A practical guide to Ecological model" Chapter 11
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- 1. モデル勉強会 Soetaert & Herman (2009) 輪読 Chapter 11 Testing and Validating the Model 100710 in 東京 玉木 一郎（森林文化アカデミー） 1
- 2. Testing and Validating the Model • このChapterでは考案したモデルがまっとう かどうか検証する • モデルは正しかろうがそうでなかろうが，一 応の答えを返してしまうため，検証の作業が 必要不可欠 ➡ モデルの挙動や安定性をチェック 2
- 3. このChapterの目次 11.1 Coupled BOD-O2 Model Revisited 11.2 Testing the Correctness of the Model Solution 11.3 Testing the Internal Logic of the Model 11.4 Model Verification and Validity 11.5 Model Sensitivity 11.6 Case Studies in R 11.6.1 Time-Varying Oxygen Consumption in a Small Cylindrical Organism 11.6.2 R for Validation and Verification 11.6.3 Univariate Local Sensitivity Analysis 11.6.4 Bivariate Local Sensitivity Analysis 3
- 4. Coupled BOD-O2 model r：BODの減衰率 dBOD = −r · BOD O2*：飽和酸素濃度 dt k：再曝気系数 dO2 = −r · BOD + k · (O2 − O2) ∗ dt Fig. 11.1 Coupled BOD-O2 モデルのイメージ図 解析解（analytical solution） BODt = BOD0 · e−r·t e−k·t − e−r·t O2t = BOD0 · r + O20 · e−k·t + O2 · (1 − e ∗ −k·t ) k−r 4
- 5. モデルは正しく解かれて いるのか？ • モデルが正しく解か れているかどうかの かの確認（model verification） • 解析解の結果を数値 解の結果と比較 • Coupled BOD-O2 モデルの場合は2者 が一致するのでOK Fig. 11.2 A Coupled BOD-O2モデルの解析解と数値解の 結果 5
- 6. モデルの前提条件の チェック • State variablesは常に正の値を示しているか？ 例 ）密度やバイオマス，濃度は負の値をとらない ある物質の移動がソースとなるコンパートメント の濃度に依存していない場合 ➡ Rate limiting termを設定する必要 正しくない積分方法（Section 6.2）や近似（Section 6.4）を行った場合に，負の値を示すことも 6
- 7. Coupled BOD-O2 モデルの改良 dBOD O2 • もとのモデルの仮定で = −r · BOD · は，O2の量と無関係に dt O2 + ks dO2 O2 BODが減少 = −r · BOD · + k · (O2∗ − O2) dt O2 + ks • O2の再曝気がほとんど ない場合（k = 0.01）に は，O2が負の値を示し てしまう... • O2によるrate Fig. 11.2 B Rate limitation limitation termの追加 termを追加した場合のO2の 挙動（実線）と元のモデルの 挙動（破線） 7
- 8. モデルの挙動は 予想どおり？ • モデルの挙動が期待と異なる場合 ➡ どこかに不具合があるのかもしれない ➡ （モデル屋じゃない）同僚にモデルの内容 を説明し，その際に生じた批判や疑問を検 討することで不具合を発見できるかも... 8
- 9. モデルの当てはまりの チェック • モデルの予測値とデータを見比べる 一致する ➡ とりあえずOKだけど，それは誤っている のを立証できないだけなことに注意 食い違う ➡ 再検討する必要 9
- 10. モデルの当てはまりの チェック • データとモデルが食い違う場合 データの精度はOK？ モデルの仮定はOK？ パラメータ推定の方法はOK？ 10
- 11. モデルの感受性 • 感受性分析（sensitivity analysis） ➡ モデルのパラメータ値を動かしたとき に予測値はどんな挙動を示すのか？ ➡ Globalとlocalの2タイプ 11
- 12. Global sensitivity analysis • パラメータ値を比較的 広いレンジで動かして モデルの予測値の挙動 をさぐる • Coupled BOD-O モ 2 デルでrを動かした場 合のO2の（100日間中 の）最小値の挙動 Fig. 11.2 C Coupled BOD-O2モデルのrを動かした時の O2の最小値の挙動。もともとのrの値は0.05に設定 12
- 13. Local sensitivity analysis • パラメータ値を少しだ け動かしてモデルの 個々の予測値の挙動を さぐる ∆θj δyi Sij = ∆yi δθj j番目のパラメータを動かした時の yのi番目の値の感受性 • Coupled BOD-O モ 2 デルでO2*を300から 330に動かした場合の Fig. 11.2 D Coupled BOD-O2モデルのO2*を300から 挙動 330に動かした時のO2の挙動 13
- 14. 感受性分析の活用 • パラメータが予測値に及ぼす影響をランク付 けできる ➡ どのパラメータの影響力が最も強い？ • パラメータ間の相互作用 ➡ Bivariate or multivariate sensitivity analysis 14
- 15. Small cylindrical organismの酸素消費の例 1.0 hのbottom water 1 δA · J oxygenの濃度変化 δO2 =− · −Q δt A δr r：円柱の半径 L：円柱の長さ δO2 A：円柱の表面積（A = 2πrL） J = −Da J：diffusive flux δr Q：ゼロ次の酸素消費率 external oxygen一定のもとでの解析解 Q 2 R：最外装までの半径 O2(r) = (r − R2 ) + BW 4Da BW：bottom waterの酸素濃度 15
- 16. 解析解と数値解の比較 Fig. 11.4 AB 10層（A） と100層（B）の場合の解 析解（実線）と数値解 （丸）の比較 • 数値解は解析解に良く一致 • ここまではOK 16
- 17. 1時間の挙動をチェック 色が濃い程，酸素消費が 大きい Fig. 11.4 CD Bottom waterの1時間の変動 （C），1時間の各層におけ る酸素消費動態 • BWは1時間のサイクルでサインカーブを描く ➡ その時の各層における酸素消費動態 17
- 18. 閉鎖系におけるバクテリア の炭素動態の例 dB S =g·γ· ·B−d·B−r·B B：バイオマス（mol C m-3） dt S + ks S：グルコース（ mol C m-3） g：最大同化率 ks：half-saturation constant dS S ϒ：成長効率 = −g · ·B+d·B dt S + ks r：呼吸率 d：死亡率 Fig. 11.5 バクテリアの炭素動態 モデル（A），同モデルによるシ ミュレーション結果 18
- 19. 各パラメータを10%増やし てみると... Bini Sini gmax 50 40 40 40 molC/m3 molC/m3 molC/m3 • 30 30 30 20 10 20 10 20 10 gmaxとeffで全期 0 0 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 間をとおしてバク hour hour hour テリアのバイオマ eff ks rB スに影響 50 40 40 40 molC/m3 molC/m3 molC/m3 30 30 • 30 Siniはグルコース 20 20 20 10 10 10 0 0 0 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 濃度がかなり低下 hour hour hour した後でバイオマ dB Fig. 11.6 バクテリアの スに影響 40 炭素動態モデルの各パラ molC/m3 30 perturbed 20 reference メータの値を10%増加さ 10 0 せた場合のバクテリアの 0 10 20 30 40 50 バイオマス hour 19
- 20. Sijの計算 Fig. 11.7 バクテリアの Bini ∆θj δyi 250 Sini Sij = 炭素動態モデルの各時間 断面における各パラメー gmax eff ∆yi δθj タの感受性 ks 200 rB δyi yi |θj − yi |θj ∗ dB ≈ ∗ 150 δθj θj − θj Sens • S は時間とともに変化 100 ij 50 0 • いくつかのパラメータ は良く似た挙動を示す 0 10 20 30 40 50 tout 20
- 21. 全体での感受性の評価 n 1 δSqr δAbs Sqr δj = · 2 Sij n i=1 Bini 9.59 5.21 n Sini 28.62 19.57 1 Abs δj = · |Sij | n i=1 gmax 58.88 29.51 （テキストの11.12式はiとjが逆でないか？） eff 62.43 37.12 ks 0.37 0.17 • ksの変化は推定値にそれ ほど影響を与えなそう rB 4.65 3.47 dB 2.98 2.06 • gmaxとeffの影響が大き そう 21
- 22. Bivariate Local Sensitivity Analysis Sensitivity functions 0 20 40 0 100 200 −10 −6 −2 40 30 • ksをのぞいて総当たりの Bini −0.5 1 0.9 −0.21 −0.68 20 10 散布図を作ってチェック 0 50 ! ! ! ! ! ! • ! 40 ! ! ! ! ! gmaxとBini，effと ! 30 20 ! Sini −0.45 −0.061 −0.58 −0.18 10 0 !!! ! ! ! !!!!! ! ! !!!! !! ! !!! ! !!! !! ! ! ! gmaxで相関が高い ! ! 250 ! ! ! ! 200 !!!! !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! gmax 0.92 −0.26 −0.72 150 100 ! ! !! ! 50 gmaxの増加によって ! ! ! ➡ ! ! ! !! !! !! !! ! !! ! ! ! !! !! ! ! !!!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !! 0 ! ! ! 250 200 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! もたらされるoutput 150 ! ! ! ! ! ! ! ! ! eff −0.56 −0.89 の増加は，Biniの増 100 !!! ! ! ! !!! ! ! ! 50 ! !!! ! !! ! !!! ! ! ! ! ! ! ! !!!!!! !!!!! !!!!! !!!!! !! ! !! ! !! ! ! ! ! ! !! !! !! ! ! !! 0 !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! !! !! !! !! !!! !!!! ! !!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! !! ! ! !! ! !! !!! ! ! ! ! ! !! ! !! ! ! !!! !! !! ! ! ! !! 0 −2 加によってもまた， ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! −4 rB ! ! ! !! ! ! ! ! もたらされる ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 0.86 −6 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! −8 ! ! ! ! −10 ! ! ! ! 0 !!!! !! !! ! ! !!! ! !!! ! ! ! ! ! ! !!! !! ! !! ! ! !! ! ! ! ! !!! ! !! ! ! !! !! ! !! ! ! !! ! !! !! ! !! ! ! ! !! ! ! ! !! !! ! Fig. 11.8 バクテリアの炭素動態モデ ! ! ! !! ! ! !! !! ! !! ! −2 ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! !! ! ! !! ! !! !! !! ! ! ! !! !! !! !! !! !! ! ! !! ! ! !! ! ! ! ! ! ! !!!! !! !! ! −4 ! ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! ! !! !! !! !! !! !! !! dB ! ! ! ! ! ! ! ! −6 ! !! ! ! !! ! −8 ! ! ! ! ! ! !! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ルのksを除いた全パラメータの各時間 ! ! ! ! ! −10 ! ! ! ! ! 断面におけるSijの総当たり散布図 0 20 40 0 100 200 −10 −6 −2 22