лекция А.В. Фролова для аспирантов ИВП РАН

1. 1
МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОЛЕТНИХ
ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ:
речного стока и испарения с крупных речных
водосборов, уровней проточных и бессточных озер,
стока озерных рек
Фролов Анатолий Васильевич, д.т.н.
Институт водных проблем РАН

2. 2
Исторически сложилось два направления в
моделировании многолетних гидрологических процессов:
– стохастическое, целью которого является создание
искусственных последовательностей величин,
статистические характеристики которых близки к
соответствующих характеристик наблюдений за реальным
процессом;
– динамико-стохастическое (ДС), учитывающее в той
или мере физический механизм формирования
моделируемого процесса и стохастическую природу
«вынуждающих процессов».

3. 3
В случае ДС-моделирования, моделируемый процесс
рассматривается как выходной процесс некоторой системы
с известными входными процессами, при этом физический
механизм этой системы предполагается известным,
допускающим математическое описание.

4. 4
Динамико-стохастические (ДС) модели многолетнего стока
устанавливают связи между статистическими характеристиками
речного стока, с одной стороны, и соответствующими характеристиками
осадков и испарения на водосборе – с другой. Именно ДС- модели
могут быть использованы для оценки влияния изменений
климата на речной сток, в отличие от чисто стохастических
моделей.
Естественным базисом ДС-модели является уравнение водного
баланса водосбора. Существуют ДС-модели Р.Хортона, В.Евжевича,
В.Клемеша, Унни, Саласа, С.Г.Добровольского , В.И.Найденова и
В.И.Швейкиной, А.В.Фролова и других авторов.
Важнейшим при конструировании ДС-модели выступает
задание функциональной зависимости между годовыми величинами
речного стока qt с водосбора и суммарными запасами воды wt на
водосборе, qt =f(wt). Теоретическое обоснование степенной
зависимости qt =awt
b
было дано в работах Р.Хортона, В.Евжевича и
В.Клемеша.

5. 5

6. Уравнение водного баланса водосбора
(Klemeš, 1982)

7. 7
,)(1 ttttt epwqww  
Колебания запасов воды на водосборе
описываются стохастическим разностным
уравнением
где w - запас воды на водосборе, включающий
поверхностные и подземные воды, q(w) - зависимость
стока с водосбора от запаса воды w, р – осадки,
выпадающие на поверхность водосбора, е - испарение с
водосбора, t – время.
Мы будем использовать линейное приближение
qt = α*wt,
исходя из относительной малости многолетних колебаний
речного стока относительно среднего значения, т.е. сток рек
с Cv ≤0.4, имеющих снего-дождевое питание.

8. 8

9. 9

tt
tttt
wq
epqq









  ]
11
1
1
Уравнение для речного стока с водосбора:
Уравнение для запаса воды на водосборе:

10. 10
(2)
Система разностных стохастических уравнений –
динамико-стохастическая модель (ДСМ) многолетних
колебаний речного стока, осадков и испарения на
водосборе:
 ]
11
1
1 tttt epqq 



 



tptpt npp ,1  
tetet nve ,1  
(1)
(3)
Сток
Осадки
Испарение
Эта ДСМ многолетних колебаний речного стока
обобщает модель В.Клемеша на двумерный входной
процесс с компонентами: осадками и испарением на
водосборе.

11. )1/(1,0,
1
0 

 





 
t
q
qq
t
k
k
kt
t
Решения уравнений (1)-(3):








 
t
k
k
e
tet
et
n
ee
1
,
0


,
1
,
0








 
t
k
k
p
tpt
pt
n
pp


(3)
(4)
(5)

12. Ковариационная функция стока с водосбора
    
   
    
   





















eee
eeen
ppp
pppnq
R
11
11
11
11
1 2
12122
,
2
12122
,
2
22
 
   
   
 
    




















 
ppp
pp
eee
ee
ep
pnenepn
11
)1(1
11
11
1 2
1212
2
1212
,,,,
 
  
 
  











ee
een
pp
ppn
q







11
1
11
1
1 2
2
,
2
2
,
2
22
2
        














pp
p
ee
e
ep
enpnepn
a 





11
1
11
1
1 22
,,,,
Дисперсия стока (безусловная)
(11)
Коэффициент взаимной корреляции между
стоком и осадками
)( 2 eppe
p
qp
rr  

13. 13
Для применения этой модели для речного стока необходимы следующие
статистические характеристики осадков и испарения на водосборе: средние,
дисперсии, коэффициенты вариации, асимметрии и автокорреляции,
коэффициенты взаимной корреляции между осадками и испарением, и
коэффициент влагозапаса α. Предполагается, что процессы, входящие в модель,
стационарны.
Статистические характеристики осадков условимся считать известными.
Однако о статистике многолетних колебаний испарения с крупных речных
водосборов известно мало, более-менее надежные оценки существуют для
среднего испарения, как разности средних величин осадков и речного стока за
длительный период.
Коэффициент α из зависимости qt = α*wt строго говоря, неизвестен и, в
реальности, не может быть вычислен как результат наблюдений за стоком и
влагозапасом на водосборе за отсутствием таковых наблюдений в прошлом.
Однако некоторая информация о статистических характеристиках
испарения все же имеется. По некоторым данным (Гусев и др., Голубев,
Сперанская, Циценко и др.), испарению свойственна малая изменчивость,
Cv ≤0.1 и малая автокоррелированность, r≈0.1. Коэффициент α можно грубо
оценить через коэффициент автокорреляции марковской последовательности –
самой распространенной чисто стохастической модели. Это – важный момент,
когда чисто стохастическая и динамико-стохастическая модели «соприкасаются».

14. 14
Кроме того, необходимо задание коэффициента взаимной корреляции
между осадками и испарением. Этот коэффициент неизвестен, однако,
существуют оценки коэффициента взаимной корреляции r pz
между осадками р и
суммой z =Δw+e, где Δw – годовое приращение влагозапаса на водосборе, и
испарения e (В.К.Давыдов). Коэффициент r pz
представляет собой зональную
характеристику. При переходе от зоны недостаточного увлажнения к зоне
избыточного увлажнения, r pz
уменьшается от больших значений, примерно от 0.8…
0.9, до меньших значений, примерно 0.1…0.3. Коэффициент r pz
может
рассматриваться как приближенное значение коэффициента взаимной корреляции
между осадками и испарением с водосбора с дальнейшим исследованием влияния
возможной ошибки в оценке r pe
через величину r pz
.
Однако для некоторых водосборов оказывается, что коэффициент
автокорреляции осадков оказывается или бОльшим, нежели коэффициент
автокорреляции речного стока, что ведет к парадоксу – действие переходщих
запасов воды на водосборе должно вести к увеличению автокорреляции стока по
сравнению с автокорреляцией осадков, но этого не происходит. Причиной такой
ситуации, в рамках принятого подхода, может быть только воздействие процесса
испарения с водосбора, причем ясно, что простого предположения о малости
автокорреляции испарения совершенно недостаточно. Получается, что необходимо
получить оценки статистических характеристик испарения не «из общих
соображений». Но, тогда желательно каким-то образом получить и более точную
оценку коэффициента влагозапаса α. Всего надо получить значения трех
незвестных: дисперсию и коэффициент автокорреляции испарения и коэффициент
α.

15. Система уравнений, позволяющая найти
коэффициент запаса воды α на водосборе,
дисперсию σe и коэффициент автокорреляции ρe
многолетнего процесса испарения с водосбора.
• R1
q(α, σp, σe, ρp, ρe, ρpe) = cov(qt,qt+1)*
• σ2
q(α, σp, σe, ρp, ρe, ρpe)= D*q (6)
• rqp(α, σp, σe, ρp, ρe, ρpe)= r*qp
• Правые части уравнений – известные величины,
оцениваемые по соответствующим рядам наблюдений.

16. 16
Среднее,
мм/год
Коэффи-
циент
вариации
Коэффициент
автокорреляции
Испаре
ние
460 0.13 (0.07) -0.12 (-0.10)
Коэффициент взаимной
корреляции между
стоком и испарением:
Коэффициент α для
волжского
водосбора
-0.32 (-0.33) 1.7
Примечание: в скобках – значения параметров по данным Г.-Х.Исмайылова и
В.М.Федорова.
Таблица1
Статистические характеристики многолетних колебаний
испарения с бассейна Волги, полученные в приближении
испарения марковской последовательностью (AR(1)-процессом).

17. 17
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОКА Р.ДНЕПР
(в.п. КИЕВ)
Составляю-
щие водного
баланса
водосбора
Среднее,
мм/год
Коэффициент
вариации,
Cv
Коэффициент
автокорреляции,
r
Осадки 560 0.15 -0.15
Испарение 430 0.28 0.23
Сток р. Днепр 130 0.2 0.2
Коэффициент влагозапаса 2.4 [1/год].
Примечание: в числителе – выборочная оценка, в знаменателе – по модели.

18. 18
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОКА Р.СЕВ.ДВИНЫ
(в.п. УСТЬ-ПИНЕГА)
Составляю-
щие водного
баланса
Среднее,
мм/год
Коэффициент
вариации,
Cv
Коэффициент
автокорреляции
,
r
Осадки 570 0.14 0.1
Испарение 270 0.28 0.3
Сток
р.Сев.Двины
300 0.15 0.3
Коэффициент влагозапаса 5.7 [1/год].

19. 19
а б
Рис. 4. Характеристики авторегрессионных процессов первого
порядка: а - автокорреляционные функции при положительном (1) и
отрицательном коэффициенте автокорреляции (2); б –
соответствующие спектры этих процессов.

20. 20
Речной приток
Отток в Кара-Богаз-Гол
Эффективное испарение
(испарение минус осадки)

21. 21
Каспийское море рассматриваем как
гидрологическую систему с входными и
выходными процессами.
Выходные процессы формируются
посредством некоторого механизма,
содержащего положительные и
отрицательные обратные связи.
Часто рассматривается только один
выходной процесс – колебания уровня
моря, но возможно и увеличение до трех
таких процессов (уровень, отток в Кара-
Богаз-Гол, испарение с зеркала моря).
Мы ограничимся рассмотрением
только уровня моря.

22. 22
Некоторые определения.
1.Равновесным называется
уровень, при котором приходная
часть водного баланса
уравновешивается расходной.
2.Отметка уровня называется
устойчивой (неустойчивой), если
п.р.в уровня имеет при такой
отметке максимум (минимум).
3.Уровень тяготения –равновесный
устойчивый уровень.

23. 23
- стандарт уровня, F- площадь Каспия, W – объем воды в
море, e*
- слой эффективного испарения с поверхности моря

24. 24

25. 25
Пролив Кара-Богаз-Гол

26. Отток в залив Кара-Богаз-Гол v – за 1890-1999 г. (по
данным В.Н.Бортника (1991) и Д.А.Лаврова (2000))

27. 27
Зависимости оттока в залив Кара-Богаз-Гол:
1- кусочно-линейная аппроксимация,
2- нелинейная зависимость до 1980 г.,
3 – после 1993=94 г. (предположительно)

28. 28

29. 29

30. Условия формирования
одномодальной и бимодальной п.р.в.
бессточного Каспия

31. 31
Виды п.р.в. уровня Каспия при различных средних
величинах притока Q в море и зависимости слоя (м)
испарения от уровня e(z)=-0.05*arctg[1.5(z-4.0)]+0.9
Q=346.0 куб.км/год Q=346.5 куб.км/год Q=347.0 куб.км/год

32. 32
П.р.в. уровня Каспия для
«мелкого» (а) и «глубокого» (б)
моря
Синяя линия – с учетом зависимости e(z),
красная линия – гауссово приближение
а б

33. 33
Плотность распределения вероятности уровня
Каспия при различных вариантах оттока в залив
Кара-Богаз-Гол

34. 34

35. 35
Рис. 2.3. Изменения летне-осеннего (м3/с) рек бассейна р. Волга.
Горизонтальными отрезками показаны средние
значения за периоды до (синий цвет) и после 1977 г. (красный цвет). а) р. Молога
— с. Устюжна; б) р. Вятка —г. Вятские Поляны; в) р. Унжа — г. Макарьев; г) р.
Уфа — с. Верхний Суян; д) р. Ока — г. Калуга; е) р. Белая —г. Стерлитамак.

36. 36

37. 37
Озеро Урмие (Дарйача-йи Кабудан)
расположено
в Азербайджанской провинции
на Армянском нагорье
в Иранской котловине
(ИРИ)

38. 38

39. 39
В марте 2014 года иранское министерство
окружающей среды совместно с программой
развития ООН разработали план по спасению озера
Урмие и прибрежных водно-болотных угодий. На
осуществление проекта требуется 1,3 миллиардов
долларов на весь проект.
В июле 2014 года президент Ирана Хасан
Рухани принял решение выделить около 14
триллионов риалов (более 500 млн. долларов) на
проекты по транспортировке воды в озеро из других
источников и другие способы восстановление
уровня воды в озера.

40. 40
Задачи дальнейших исследований

41. Спасибо за внимание.