Основы логики и логические основы компьютера

LOGO

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение
средняя общеобразовательная школа № 7
города Слободского Кировской области

http://yaro-vik.ru/

Основы логики и логические
основы компьютера
© Ярославцев Виктор Леонидович,
учитель информатики

LOGO

МКОУ СОШ № 7 г. Слободского

- это раздел
математики, изучающий
высказывания,
рассматриваемые со стороны
их логических значений
(истинности или ложности) и
логических операций над
ними.
© Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO


Джордж Буль родился в
Линкольне в семье мелкого
торговца. Он окончил только
начальную школу для детей
бедняков. Джордж Буль по
праву считается отцом
математической логики. В
1854 году вышел его главный
труд ―изучения законов
мышления‖

Джордж
Буль
1815-1864

LOGO



LOGO


Основными формами мышления являются
,
и
–
это форма мышления, фиксирующая основные,
существенные признаки объекта
–
это форма мышления, в которой что либо
утверждается или отрицается о свойствах
реальных предметов и отношениях между ними

LOGO


—
это любое повествовательное
предложение, в отношении которого
можно однозначно сказать, истинно
оно или ложно.


LOGO


Так, например, предложение
"
" следует
считать высказыванием, так как
оно истинное.
Предложение "
"
тоже высказывание, так как оно
ложное.

LOGO


Высказываниями не являются,
например, предложения
"
"и
"
".

LOGO


Употребляемые в обычной речи слова
и словосочетания " ", " ", "
",
"
", "
" и другие позволяют из уже
заданных высказываний строить
новые высказывания.
Такие слова и словосочетания
называются
.

LOGO


Высказывания, образованные из
других высказываний с помощью
логических связок, называются
.
Высказывания, не являющиеся
составными, называются
.

LOGO


Так, например, из элементарных
высказываний "
",
"
" при помощи
связки " " можно получить составное
высказывание "
", понимаемое как
"
".

LOGO


При помощи связки "
" из этих же
высказываний можно получить
составное высказывание "
", понимаемое в
алгебре логики как "
".

LOGO


Пусть через обозначено
", а через
".

—


LOGO


Тогда составное высказывание

"

"

можно кратко записать как
.
Здесь " " — логическая связка,
—
логические переменные, которые могут
принимать только два значения "
" или "
", обозначаемые,
соответственно, " "
" ".


LOGO


Логическое умножения
Логическое сложение
Логическое отрицание
Таблицы истинности

LOGO


Операция, выражаемая связкой
" ", называется
(лат. conjunctio — соединение)
или
и
обозначается точкой " . " (может
также обозначаться знаками
или ).

LOGO


Высказывание
истинно тогда
и только тогда, когда оба
высказывания и истинны.
Например,
Высказывание "10 делится на 2 и 5
больше 3"
,
а высказывания "10 делится на 2 и 5
не больше 3", "10 не делится на 2 и 5
больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не
больше 3" —
.

LOGO


Операция, выражаемая связкой
"или", называется
(лат. disjunctio — разделение) или
и
обозначается знаком (или
).


LOGO


ложно тогда и
только тогда, когда оба высказывания
ложны.
Например,

Высказывание "10 не делится на 2 или 5
не больше 3"
,
а высказывания "10 делится на 2 или 5
больше 3", "10 делится на 2 или 5 не
больше 3", "10 не делится на 2 или 5
больше 3"—
. © Ярославцев В.Л., учитель информатики

LOGO


Операция, выражаемая
словом "не", называется
или
и обозначается чертой над
высказыванием.


LOGO


Высказывание истинно,
когда A ложно, и ложно,
когда A истинно.
Пример. "Луна — спутник
Земли" (А); "Луна — не спутник
Земли" (А).

LOGO


Таблица истинности
функции логического
сложения

отрицания

сложения

А

B

F=A+B

A

F=A

А

B

F=A&B

0
0
1
1

0
1
0
1

0
1
1
1

0

1

1

1

0
0
1
1

0
1
0
1

0
0
0
1


LOGO


Логические выражения
Таблицы истинности
Равносильные логические выражения


LOGO


Каждое составное высказывания можно
выразить в виде
в которую
входят логические переменные,
обозначающие высказывания, и знаки
логических операций, обозначающие
.


LOGO


Запишем в форме логического выражения
составное высказывание
(2*2=5 или 2*2=4) и (2*2<>5 или 2*2<>4).
Теперь запишем высказывания в форме
логического выражения:
F=(AVB)&(AVB).
Поставим в логическое выражения значения
логических переменных
и получим значение логической функции:
F=(A+B)&(A+B)=(0+1)&(1+0)=1&1=1


LOGO


Для каждого составного высказывания можно
построить таблицу истинности. При построении
таблиц истинности целесообразно
руководствоваться определѐнной
последовательностью действий. Эта
последовательность действий называется


LOGO


1)Необходимо определить количество строк и
столбцов в таблице истинности (количества строк
равно количеству комбинаций логических
переменных, а количества столбцов равно
количеству логических переменных и логических
операций).
2)Необходимо построить таблицу истинности с
указанным количеством строк и столбцов, и
обозначить столбцы.
3)Необходимо заполнить таблицу истинности по
столбцам, выполняя базовые логические
операции в необходимой последовательности

LOGO


F=(A+B)&(A+B)

A
0
0
1
1

B
0
1
0
1

A+B
0
1
1
1

A
1
1
0
0

B
1
0
1
0

A+B
1
1
1
0

(A+B)&(A+B)
0
1
1
0


LOGO


Логические выражения, у которых последние
столбцы таблиц истинности совпадают,
называются
.

Для обозначения равносильных логических
выражений используется знак ― ―.


LOGO


Любое составное высказывания можно рассматривать как
логическую функцию
аргументами
которой являются логические переменные
.
Сама функция и аргументы могут принимать только два
различных значения: ―
‖( )и―
‖ ( ).

Логическое следования
Логическое равенства


LOGO


Операция, выражаемая
связками "
", "
", "
", называется
(лат. implico — тесно
связаны) и обозначается знаком
.
ложно тогда и
только тогда, когда истинно, а
ложно.

LOGO


Операция, выражаемая связками
"
",
"
", "
", называется
или
и обозначается
знаком
или
. Высказывание
истинно тогда и только тогда,
когда значения и совпадают.

LOGO


В алгебре высказываний законы логики
записываются в виде
, которые позволяют
проводить эквивалентные преобразования
логических выражений.
тождества, непротиворечия, исключения третьего,
закон двойного отрицания, закон де Моргана,
коммутативности, ассоциативности, закон дистрибутивности.


LOGO


Всякое высказывание тождественно самому себе: А=А

Логическое произведения и его отрицания должно быть ложно: A&A=0

Результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда
принимает значения «истина»: A+A=1


LOGO


Если дважды отрицать некоторое высказывания, то в результате мы получим
исходное высказывание: А=А

A v B=A&B
A&B=A v B

A&B=B&A

Логическое сложения
A+B=B+A


LOGO


(A&B)&C=A&(B&C)

Логическое сложения
(A+B)+C=A+(B+C)

Дистрибутивность умножения
относительного сложения

Дистрибутивность сложения
относительно умножения

(A&B)+(A&C)=A&(B+C)

(A+B)&(A+C)=A+(B&C)


LOGO


С помощью логических
переменных и символов
логических операций любое
высказывание можно
формализовать, то есть заменить
.


LOGO


— это часть
электронной логической
схемы, которая реализует
элементарную логическую
функцию.


LOGO


Базовые логические элементы

Сумматор двоичных чисел
Триггер


LOGO


Базовые логические элементы реализуют рассмотренные выше
основные логические операции:
• логический элемент « » - логическое умножения;
• логический элемент «
» - логическое сложение;
• логический элемент «
» - инверсию.


LOGO


– это
табличное представление
логической схемы, в котором
перечислены все возможные
сочетания значений истинности
входных сигналов вместе со
значением истинности выходного
сигнала для каждого из этих
сочетаний.

LOGO


схемы

X

Y

X*Y

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

Единица на выходе
схемы И будет тогда
и только тогда,
когда на всех
входах будут
единицы. Когда
хотя бы на одном
входе будет ноль,
на выходе также
будет ноль.

LOGO


Схема реализует
конъюнкцию двух или более
логических значений.
X
Y

&

F=X·Y


LOGO


схемы

x

y

xvy

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

Когда хотя бы на
одном входе
схемы
буд
ет
, на
еѐ выходе также
будет
.

1

LOGO


Схема
реализует
дизъюнкцию двух или более
логических значений.
X
Y

1

F=X+Y


LOGO


схемы

x

x

0

1

1

0

Если на входе
схемы , то на
выходе .
Когда на
входе , на
выходе .


LOGO


Схема
(
) реализует
операцию отрицания. Связь между
входом
этой схемы и
выходом
можно записать
соотношением
=
где
читается как "
" или "
".
X

1

F=X


LOGO


Таблица истинности схемы

x

y

X*Y

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0


LOGO


Схема
состоит из элемента
инвертора и осуществляет
отрицание результата схемы .
Связь между выходом и входами
и схемы записывают следующим
образом:
, где
читается
как "
".
X
F=X·Y

Y

&

LOGO


Таблица истинности схемы

x

y

X+Y

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0


LOGO


Схема
состоит из элемента
и инвертора и осуществляет
отрицание результата схемы
.
Связь между выходом
и входами
и схемы записывают следующим
образом:
, где
, читается
как "
".
X
F=X+Y
Y

1

LOGO


— это электронная
логическая схема, выполняющая
суммирование двоичных чисел.
Сумматор служит, прежде всего,
центральным узлом арифметикологического устройства компьютера,
однако он находит применение также и в
других устройствах машины.

LOGO


Сумматоры двоичных чисел подразделяются на:
Полусумматоры

Полный одноразрядный сумматор
Многоразрядный сумматор


LOGO


Для определения суммы можно применить следующее логическое
выражение:
S=(A+B)&(A&B).

Схема полусумматора двоичных чисел


LOGO


Полный одноразрядный сумматор должен иметь три входа: A,
B – слагаемые и P0 – перенос из младшего разряда и два
выхода: сумму S и перенос P.
Логическое выражения для вычисления суммы в полном сумматоре принимает
следующий вид:
S=(A+B+P0)&P0+(A&B&P0).
Формула переноса имеет следующий вид:
P=(A&B)+(A&P0)+(B&P0).


LOGO


Таблица сложения
Слагаемые

Перенос из
младшего
разряда

Перенос

Сумма

A

B

P0

P

S

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1
1

0
1

1
1

1
1

0
1


LOGO


Многоразрядный сумматор процессора состоит из
полных одноразрядных сумматоров. На каждый
разряд ставится одноразрядный сумматор, причѐм
выход сумматора младшего разряда подключается
ко входу старшего разряда.


LOGO


— это электронная
схема, широко применяемая в
регистрах
компьютера
для
надѐжного запоминания одного
разряда двоичного кода. Триггер
имеет два устойчивых состояния,
одно из которых соответствует
двоичной единице, а другое —
двоичному нулю.

LOGO


S
0

R

1

0

1

Q

Q

Самый распространѐнный тип триггера — так
называемый
(S и R, соответственно,
от английских set — установка, и reset — сброс).



LOGO

yaro-vik@yandex.ru

Основы логики и логические основы компьютера

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Виктор Леонидович Ярославцев

More from Виктор Леонидович Ярославцев (20)

Основы логики и логические основы компьютера