fractals

1. Ο όροςπροτάθηκεαπότονΜπενουά Μάντελμπρο(BenoîtMandelbrot) το1975 και
προέρχεταιαπότηλατινικήλέξηFractusπου σημαίνει«σπασμένος»,«θρυμματισμένος»
«κατακερματισμένος».
Ήδη από τα τέλητης δεκαετίαςτου1960, αλλά κυρίωςτην επόμενηδεκαετία,ο Mandelbrot
φρόντισενα προσφέρειέναναρκετά ευρύαλλά μαθηματικάακριβήορισμότουςκαθώςκαι
των ιδιαίτερωνιδιοτήτωντους(αυτό-ομοιότητα,κλασματικήδιάσταση,μικρήεπιφάνεια
fractal αλλά άπειρησε μήκοςπερίμετρος)
Η ύπαρξητης σχέσης μεταξύχάουςκαιτης Γεωμετρίαςτων Fractals γίνεταιαντιληπτήαν
εξετάσουμετοσύνολοτουMandelbrot.
Θεωρείταιως τοπολυπλοκότεροκαιτοπιο εντυπωσιακόσύνολοτων μαθηματικών.
Πρόκειταιγια ένα παράδειγμα τάξηςπουεπικρατείστοχάος.
Το διάσημοπλέονσύνολοτου είναιμια περιοχήορίων.Είναι ένα σύνορο,ανάμεσαστο
σκοτεινόεσωτερικότουπουαντιπροσωπεύειτο0 καιστογαλάζιοεξωτερικότουπουείναι
το άπειρο.
Εκεί στοόριο διαδραματίζεταιέναςολόκληροςκόσμοςμεστροβίλους,πλοκάμια,μαύρες
τρύπεςκαι μικρότερα σύνολα Mandelbrotμετα ίδια ακριβώςχαρακτηριστικά.
Υπάρχειόμως καιη περίπτωση η ακολουθία των αριθμών πουπροκύπτειμετά την επιλογή
του c, να έχει κάποιουςαρχικούςόρουςτης μέσα στον κλειστόκυκλικόδίσκοκέντρουΟ(0,0)
καιακτίνας2 καιοι υπόλοιποι να απομακρύνονταιέξωαπότον δίσκοπρος τοάπειρο.
Στηνπερίπτωσηαυτή μετράμεπόσοιόροιτης ακολουθίαςείναιμέσα στον παραπάνω
κυκλικόδίσκο.Ανάλογα μετοπόσοιείναιβάφουμετο αρχικόσημείοC με ένα μοναδικό
χρώμα
Με τηβοήθεια καιτης εξέλιξηςτων γραφικών στουςΗ/Υ χρωματίζουμετην εικόνα τουC
στο μιγαδικόεπίπεδομεένα χρώμα ανάλογα μετην ταχύτητα που«ξεφεύγει» απότην
αρχήC=0. Φανταστείτεότιόλα τα σημεία στοεπίπεδο«έλκονται» απότοάπειροκαιαπό
το σύνολοτουMandelbrot.Έτσι,καταλαβαίνουμεγιατί:
Α) Σημεία μακριά απότο σύνολοκινούνταιταχύτεραπροςτοάπειρο.
Β) Σημεία κοντά στοσύνολοκινούνταιαργάπροςτοάπειρο.

2. Γ) Σημεία εντόςτου συνόλουδενξεφεύγουν ποτέ.(Ελκυστικά καιαποθητικά σημεία του
συνόλου)
Τα διαφορετικάχρώματα πουπλαισιώνουν τοσύνολοτουMandelbrotαντιστοιχούν στις
διαφορετικέςταχύτητες«διαφυγής» των ακολουθιών πουαποκλίνουν προςτοάπειρο,
χρησιμοποιώνταςέναναλγόριθμοτουχρόνουδιαφυγής.Περιοχέςμετον ίδιο χρόνο
«διαφυγής» έχουντοίδιοχρώμα. Αυτόδημιουργείτιςομόκεντρεςμορφές,που
χρωματίζονταισύμφωνα μετηνταχύτητα διαφυγών.
Έτσι δημιουργούμετοτελικόαποτέλεσμα τηςζωγραφικήςμαςαν εξαντλήσουμεόλα τα
σημεία του επιπέδου(ρητορικόσχήμα..) βάφονταςτα μετον παραπάνωκανόνα,
δημιουργείταιτο σύνολοτουMandelbrot.
ΙδιότητεςτουσυνόλουMandelbrot
Αυστηρόμαθηματικόορισμόγια τοσύνολοτουMandelbortαποφεύγουν να δίνουν οι
επιστήμονεςκαιαντίαυτούπροσδιορίζουν τιςιδιότητεςπουχαρακτηρίζουν σύνολο
Mandelbrot: 1) Δεν είναικενόσύνολο. 2) Είναισυνεκτικό.Δηλαδήδεν μπορείνα χωριστεί
σε δύοαποκομμένα μέρη.3) Είναι συμπαγές.Δηλαδήκλειστόκαιφραγμένοσύνολο.4)
Είναισυμμετρικόως προς τονάξονα χ΄χ,αφούγια κάθεμιγαδικόcπου ανήκειστοσύνολο
ανήκεικαιο συζυγήςτου επίσης.
Ο ΜάντελμπροτσπούδασεστηΓαλλία και έπειτα απόεπισκέψειςσεδιάφορα ερευνητικά
κέντρα καιπανεπιστήμια,προσελήφθηστοερευνητικόκέντροΤόμαςΓουότσον τηςΙΒΜστη
Νέα Υόρκη.Επειτα από 35 χρόνια εργασίαςστην ΙΒΜμετακινήθηκεστοΠανεπιστήμιο
Γέιλ,όπουκαιτελείωσετην καριέρα τουωςκαθηγητήςστην έδρα Στέρλινγκ.Πέθανεστις14
Οκτωβρίου2010 απόκαρκίνοστοπάγκρεας.
Το 1980, ο BenoitMandelbrotαποφάσισενα μελετήσειτοπως μεταβάλλεταιη
συμπεριφορά τηςσυνάρτησηςf(z)=z2+c κατά την επαναληπτικήδιαδικασία,καθώς
μεταβάλλεταιτοc,στην περίπτωσηόμως που τα z καιc είναιμιγαδικοίαριθμοί.Το
αποτέλεσμα τηςέρευνάςτουμέσωυπολογιστήήταν ένα αξιοσημείωτα πολύπλοκοκαι
όμορφοσυνάμα υποσύνολοτουεπιπέδου,στοοποίο αργότερα δόθηκετοόνομά του,από
τονAdrienDouady.[ Νωρίτερα το1979 είχε δοθεί σχέδιοτου ιδίου συνόλουμε την
βοήθεια υπολογιστήαπότουςR.Brooksκαι J.P.Matelski (Ann.of Math.Studies(1980) : 65-
71). Το δικότους υστερούσεστηναπόδοσηαξιοπρόσεκτων λεπτομερειών σεσχέσημε
εκείνοτουMandelbrot].Το σύνολοαυτόείχεμελετηθείπριν απότο 1920 απότους Pierre
Fatouκαι GastonJulia.Όμως πριν την επινόησητων υπολογιστών δεν είχαν ιδέα για το πως
έμοιαζε.Ο Mandelbrot,ερευνητήςστην IBM,έκλεινεμια εικοσαετία έρευναςfractal
φαινομένωνστηνφύση.Ήτανεπισκέπτηςκαθηγητήςεκείνητην χρονιά στοHarvardκαι
αποφάσισενα σχεδιάσειμετηνβοήθεια υπολογιστήτοσύνολοπου έμελλενα φέρειτο
όνομά του.Εντυπωσιασμένοςαπόότιείδε, χρησιμοποίησεότικαλύτεροείχενα
παρουσιάσειηIBM, για να ανακαλύψειότιτοσύνολοαυτόήταν ένα εκπληκτικόfractal
σύνολο,με μικροσκοπικά αντίγραφατουόλουνα εμφανίζονταισεόλεςτιςμεγεθύνσεις.
Καμία,όμως,εικόνα στονυπολογιστήδεν πρόκειταινα δώσειτέλεια αναπαράστασητου
συνόλουτου Mandelbrot,καθώςαυτόυπάρχειμόνοσεοριακήμορφή,ενώμε τον
υπολογιστήέχουμεπάντα μια προσέγγιση,συνεχώςκαλύτερηκαθώςοιυπολογιστές

3. βελτιώνονται.ΤοσύνολοτουMandelbrotθεωρείταιωςτο πολυπλοκότεροαντικείμενοπου
παρουσιάστηκεστα μαθηματικάκαιπράγματι οιεικόνεςτουδείχνουν ότι έχει μια
εξαιρετικά περίπλοκηδομή.
Αποτελείται:απόένα κυρίως καρδιοειδέςτοοποίοέχει “κολλημένα”μια σειρά από
εξογκώματα (budsήbulbs),κάθεένα απόαυτά περιτριγυρίζεταιαπόάλλα τέτοια
εξογκώματα κ.ο.κ.Αλλάδενείναι μόνοαυτό.Απόαυτά τα εξογκώματαξεφυτρώνουν
νήματα (hairs),τα οποία φέρουνμικροσκοπικά αντίγραφα ολόκληρουτουσυνόλου
Mandelbrotκατά μήκοςτους.Είναιδυνατόν να μην εμφανίζονταιαυτά τα νήματασε
εικόνεςυπολογιστή,καθώςη προσέγγισηπουγίνεταινα μην είναιαρκετή.Αςδώσουμε
όμως τον βασικόορισμότουσυνόλουMandelbrot,αλλά καιάλλουςισοδύναμους
ορισμούς.Το σύνολοMandelbrotορίζεταιγια τα πολυώνυμα δευτέρουβαθμού.Κάθε
πολυώνυμοδευτέρουβαθμούμπορείνα γραφείως fc(z)=z2+c με κατάλληλο
μετασχηματισμό.Ομετασχηματισμόςαυτόςαφήνειτοπολογικάαναλλοίωτοτοσύνολο
Julia,τοδε σύνολοMandelbrotσχετίζεταιμετην μορφήτων συνόλων Julia.Ορισμός:Έστω
J(fc)=Jcόπου fc(z)=z2+c , c∈^ , τοσύνολοJuliaτης fc. ΣύνολοMandelbrotείναιτο: M = {c∈^
: το J(fc) είναισυνεκτικόσύνολο} Για τοσύνολοMandelbrotέχουμετουςεξής ισοδύναμους
ορισμούς:
I. M = { c ∈^ : { } είναιφραγμένηακολουθία ∞ =κκ c 1 )0(fn}
II.^Μ = { c ∈ ^ : ∞= } κ ∞→κc )0(flim
III.M = { c ∈^ : ,2)0(f κ ∈≤ N} κ c = {c∈^ : c∈Kc} = { c∈^ : το σημείο 0 ∈ Kc} , όπουKc το
πλήρεςσύνολοJulia.
IV.Μ={ c∈^ : το σημείο 0 ∉ Α(∞)}.
Από το(ΙΙΙ) βλέπουμεότι τοΜ περιέχεταισεένα κλειστόδίσκοακτίνας2. Οι αποδείξειςτης
ισοδυναμίαςορισμώναπαιτούνορισμούςκαιαποτελέσματα απότην Θεωρία Καμπυλών
Στηνσυνέχεια θα αναφέρουμεμερικέςβασικέςιδιότητεςτουσυνόλουMandelbrot:1) Το
σύνολοMandelbrotείναιμη κενό.2) Παρά την περίπλοκηδομήτου το1982, ο Andrien
Douadyτης Ėcole Normale Supérieure στοΠαρίσικαιοJohnHubbard τουΠανεπιστημίου
του Cornell,απέδειξανότιτοσύνολοτουMandelbrotείναισυνεκτικό.Αυτόσημαίνειότι
δενμπορεί να χωριστείσε δύο πλήρως αποκομμένα μεταξύτουςμέρη.Ηαπόδειξη
στηρίζεταισεπροχωρημένηΜιγαδικήΑνάλυση.Ηανάλυσήτουςδείχνειότι υπάρχουν
εξαιρετικά λεπτέςκλωστέςπουσυνδέουν όλα τα “μικρά”Mandelbrot.Υπολογιστικά
προγράμματαόμως,δενθα μπορέσουν ποτένα δείξουν όλεςαυτέςτις κλωστούλες.Είναι
ακόμα ένα ανοικτόπρόβλημα εάναυτέςοικλωστέςμπορεί να έχουν μια συνεχή
αναπαράστασησαντόξα καμπύλων.613) Αποδεικνύεταιεπίσης,ότιτο σύνολοMandelbrot
είναισυμπαγές,δηλαδήκλειστόκαιφραγμένο.4) Επίσης δείχθηκεότιη Hausdorff
διάστασητουσυνόρουτουσυνόλουMandelbrotείναιίσημε 2. [ Τον Ιούλιοτου 1991, από
τονMitsuhiro Shishikura.] καιγια κάθεανοιχτόσύνολοU με U∩∂M≠ ∅, έχουμεdimH
(∂M∩U) = 2 . Επίσης η διάστασητουσυνόλουJulia,πουπροέρχεταιαπότοσύνοροτουΜ,
είναιεπίσης dimHJc=2 για κάθεc∈∂M. 5) Αν c∈Μ⇔c ∈Μ δηλαδήτοΜ είναισυμμετρικόως
προς τονπραγματικόάξονα.

4. Ισχύουν: Θεώρημα :(κριτήριοδιαφυγήςστοάπειρο) Έστω2 < |c| ≤ |z|. Τότεη fc–τροχιά
του z είναιμη φραγμένη,δηλαδή∞→ n∞→ n c )z(f (εξούκαιη ονομασία του
θεωρήματος).Θεώρημα :(τηςβασικήςδιχοτόμησης) Έστωfc(z)=z2+c. Τότε ισχύει ένας από
τους δύοπαρακάτωισχυρισμούς:1) Η τροχιά του σημείου0∈^ διαφεύγειστοάπειρο,
οπότετο Jc είναιολικά μη συνεκτικό.(Cantordust,σκόνηήσύννεφοCantor).2) Η τροχιά
του 0 παραμένειφραγμένη,οπότετοJcείναισυνεκτικό.Έτσιμπορούμενα διατυπώσουμε
αλγόριθμουςκατασκευήςτουσυνόλουMandelbrot.ΤοΚριτήριοΔιαφυγής( στο∞), μας
πληροφορείότι,αν|c|>2, τότεη fc–τροχιά του 0 διαφεύγειστο∞.Επομένως το σύνολο
Mandelbrotτοαναζητούμεόταν|c|≤2.Επίσης γνωρίζουμεότι για c=–2 έχουμεJ-2=[–2,2],
που είναισυνεκτικό,ητιμή |c|=2 είναιη μεγαλύτερητιμήγια την οποία το Jc είναι
συνεκτικό.
Όπως γνωρίζουμετο Μ αποτελείταιαπότοκύριοκαρδιοειδέςκαιαπότα διάφορα
εξογκώματα.Κάθεεξόγκωμα έχειμια ιδιαίτερηδυναμική.Για παράδειγμαηπεριοχήμέσα
στο κύριοκαρδιοειδές,αποτελείταιαπόεκείνεςτιςτιμέςτου c για τις οποίεςη fc έχει ένα
ελκυστικόσταθερόσημείο.
Όμοια το μεγάλοεξόγκωμα στα αριστερά τουκαρδιοειδούς,αποτελείταιαπότιςτιμές του c
για τις οποίες η fc έχει μια ελκυστικήτροχιά περιόδου2.Γενικά,κάθεένα απότα
εξογκώματα τουMandelbrotέχειμία ελκυστικήπεριοδικήτροχιά κάποιαςπεριόδουΝ.Το
σχήμα 32 δείχνειμερικέςαπό αυτέςτις περιοχέςπεριόδουΝ.
Καρδιοειδές
Τα κρίσιμα σημεία μιάςf είναιεκείνα για τα οποία δεν είναιαντιστρέψιμη.Αν f είναιτο
πολυώνυμοz2 +c, για κάποιομιγαδικόc,τότεμοναδικόκρίσιμοσημείοτου f είναιτο
σημείο z=0, όπου f΄(0)=0.Η τροχιά τουκρίσιμουσημείου z=0 καλείταικρίσιμητροχιά.Αν το
πολυώνυμοf βαθμούτουλάχιστον2, έχει έναν ελκυστικόκύκλο,τότεπρέπεινα υπάρχει
ένα κρίσιμοσημείο τηςf του οποίου η τροχιά συγκλίνεισεαυτόν τον κύκλο.Αλλά η
απεικόνισηfc(z)=z2+c έχει μόνο ένα κρίσιμοσημείοτο 0 στο^. Αυτόέχει την εξής
σημαντικήσυνέπεια :Ανγια κάποιοc∈^, η fc έχει έναν ελκυστικόκύκλοστο^, τότεη τροχιά
του 0 πρέπει να συγκλίνεισεαυτόντον κύκλοκαι επομένωςτο c∈Μ. Αυτόθα το
χρησιμοποιήσουμεγια να περιγράψουμεδύοτμήματα τουΜ.Το καρδιοειδέςκαιτο
μεγαλύτεροεξόγκωμα,πουέρχεταισεεπαφήμετο καρδιοειδές.Πρώτα θα βρούμεόλα
εκείνα τα c για τα οποία η fc έχει ένα ελκυστικόσταθερόσημείο.Για να βρούμετα σταθερά
σημεία έχουμε : fc(z) = z2 +c = z ⇔ z2 -z+c = 0 έστω z1,z2 οι ρίζες καιέχουμε : (z - z1) (z- z2)
= z2 - (z1 + z2) z + z1z2 άρα z1 + z2 = 1 καιz1z2 = c. Άρα (z΄ cf 1)+ (z ΄ cf 2)=2 . Επομένως το
πολύ ένα απότα z1 , z2 είναιελκυστικό.Για να είναιτοz1 ελκυστικό,θα πρέπει
2|z1|=|f΄(z1)|<2 1 } Το σύνολοαυτόείναιτοεσωτερικότουκαρδιοειδούςμεεξίσωση: =⎟
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= − → t2sin 4 1 tsin2 1 ,t2cos 4 1 tcos 2 1 r )t( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= it ite 2 1
1e 2 1 , t∈[0,2π]
Σχέση Mandelbrotκαιλογιστικήςαπεικόνισης
Επίσης, πρέπει να αναφέρουμετηνσχέσηκαιτην μαθηματικήισοδυναμία που
παρατηρείταιανάμεσα στοσύνολοMandelbrotκαιτην λογιστικήαπεικόνισηήαλλιώς
διαδικασία Verhulstηοποία είναι: xn+1 = r xn(1-xn) Με μία απλή αλλαγήμεταβλητών,η

5. λογιστικήαπεικόνισημετασχηματίζεταιστην μορφή:xn+1 = + c. 2 xn Αυτόσυμβαίνειως
εξής: Θέτουμε2 1 r z x n n +−= με zn∈ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 r , 2 r καιη λογιστικήγίνεται:zn+1 = 2 r
2 r 1z2 n ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ , με c= 2 r 2 r 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − .
Επίσης η σχέσηανάμεσα στοσύνολοMandelbrot καιστην λογιστικήαπεικόνισηήσενάριο
διπλής περιόδουόπως αλλιώςλέγεται,λαμβάνειχώρα αν τοc μεταβάλλεταισαν
πραγματικήπαράμετρος.Οιδιακλαδώσειςαντιστοιχούν στα εξογκώματα καιτα περιοδικά
παράθυρα πουδιακόπτουντοχάοςστην λογιστική,αντιστοιχούν στα μικρά αντίγραφα του
Mandelbrotπου βρίσκονταιστηνκεντρικήκεραία του.Ηπερίοδοςδύοστο μεγάλο
εξόγκωμα είναιγια –1,25<c<-0,75 στον πραγματικόάξονα.Τοσημείοc=–2 είναιτο τέλος
της κεραίαςτουΜκαι αντιστοιχείστην τιμήr=4 στην λογιστική απεικόνιση.Τέλος,η
παγκόσμια σταθεράFeigenbaumδ=4,6692...παρατηρείταικαιστοσύνολοMandelbrot.
Στηνλογιστικήαπεικόνισηείναιολόγοςανάμεσα στιςδιαδοχικέςδιακλαδώσεις,όσον όμως
αφορά τοσύνολοMandelbrotείναιολόγοςανάμεσα στιςδιαμέτρους των διαδοχικών
κύκλωνπάνω στονπραγματικόάξονα τουΜ.
Το σχήμα 33 δείχνειτην σχέση Mandelbrotκαιλογιστικήςκαιδείχνεικαθαρά πωςαπότο
σύνολοMandelbrotπαίρνουμεπιοπερίπλοκεςεικόνεςαπόότιστην πραγματικήανάλυση.
5.1.4 ΣύνολοMandelbrotκαιη ακολουθία Fibonacci Ένα άλλοχαρακτηριστικότουσυνόλου
Mandelbrotείναιότιεμφανίζειτηνακολουθία Fibonacci.Αν συγκεντρωθούμεμόνοστις
περιόδουςτων εξογκωμάτων,παρατηρούμετα εξής:καλούμετοκύριοκαρδιοειδέςως
εξόγκωμα περιόδου1,το αμέσωςμεγαλύτεροεξόγκωμα στα αριστερά τουωςεξόγκωμα
περιόδου2. Τώρα,το μεγαλύτεροεξόγκωμα ανάμεσα σεεκείνο66περιόδου2 καισε εκείνο
περιόδου1 είναιτο εξόγκωμα περιόδου3,είτε στην κορυφήτουMandelbrotή το
συμμετρικότουαπό κάτω.Το μεγαλύτεροεξόγκωμα ανάμεσα στοπεριόδου2και3 είναιτο
περιόδου5 και το μεγαλύτεροανάμεσαστο5 και3 είναιτο8 κ.ο.κ.Η ακολουθία που
παράγεται(1,2,3,5,8,13,.....) είναι,φυσικά,ηακολουθίαFibonacci (σχήμα 34).Σχήμα 34. Η
ακολουθία Fibonacci :1,2,3,5,8,13…… Όμως, όπως είναιγνωστόη ακολουθία Fibonacci
σχετίζεταιμε τηνχρυσή τομή.
Όπως έχουμε ήδη αναφέρει,τοσύνολοMandelbrot,αποτελείταιαπόένα κυρίως
καρδιοειδέςστοοποίοεφάπτονταιδιάφορα εξογκώματα ήbulbsήbudsόπως αλλιώς
αναφέρονται.Βασικά κάθεένααπόαυτά τα εξογκώματα αποτελείταιαπόένα μεγάλο
δίσκοπου συνδέεταιαπευθείαςμετοκαρδιοειδέςκαιπουεπάνωτου έχει άλλα μικρότερα
εξογκώματα καιμια προεξέχουσα κεραία.Ομεγάλοςδίσκοςπεριέχειτιμέςτης c για τις
οποίες η fc δέχεταιένανελκυστικόκύκλοπεριόδουqκαιαριθμόπεριστροφήςp/q,μεp
Τώρα παρατηρούμετηνμικρότερηαπότιςμη κεντρικέςακτίνες.Αυτήεντοπίζεται,περίπου,
στα 2/5 μιας περιστροφής,αντίθετα μετουςδείκτεςτουρολογιού,απότην κεντρικήακτίνα.
Για αυτόκαιχαρακτηρίζεται ως2/5 εξόγκωμα.Σαν ένα άλλοπαράδειγμαπαρατίθεταιτο
3/7 εξόγκωμα
Αυτότο εξόγκωμα έχει7 ακτίνεςπουβγαίνουν απότοκομβικόσημείο καιη μικρότερη
βρίσκεταιστα 3/7 της αντίθετηςμετουςδείκτεςτου ρολογιούπεριστροφήςαπότην
κεντρικήακτίνα.Έτσιέναςπεριγραφικόςτρόποςχαρακτηρισμούείναιοεξής: “Για τον
χαρακτηρισμόενόςεξογκώματοςωςp/qβρίσκουμετην κοντύτερηακτίνακαιυπολογίζουμε
τηνγωνία της ως προς τηνκεντρική”.Βέβαια ηέννοια της“κοντύτερης”καιτης

6. “μακρύτερης”ακτίναςείναιπεριγραφικήκαιχρειαζόμαστεκάποιον ορισμό.Οορισμόςτων
εννοιώναυτώνμε τηνβοήθεια της Ευκλείδειαςνόρμαςδεν είναιαρκετάικανοποιητικός.
Θα χρησιμοποιήσουμεμια διαφορετικήπροσέγγισηπουβασίζεταισεχαρακτηριστικά του
εξογκώματος.Ξεκινώνταςθα δώσουμεκάποιουςορισμούς.Τοp/q εξόγκωμα καιτοσύνολο
Mandelbrotέχουνένα μόνοκοινόσημείο που συμβολίζεταιμεcp/q καικαλείταιριζικό
σημείο.Το τμήμα τουσυνόλουMandelbrotπου περιέχειτο p/qεξόγκωμα καλείταιp/q
άκρο.Τοκύριο θεώρημα τωνDouadyκαι Hubbard,εξασφαλίζειότιυπάρχειμία απεικόνιση
Φ που απεικονίζειτοεξωτερικότουμοναδιαίουκύκλου,στοεκτεταμένομιγαδικόεπίπεδο
ισομορφικά μετο εξωτερικότουΜ, πηγαίνονταςτο∞στο∞ καιαπεικονίζονταςτοτμήμα
του θετικούπραγματικούάξονα x>1επί της ευθείαςx>1/4. Η εικόνα μέσωτης Φ της
ευθείαςrexp(2πiθ) μεσταθερόθκαιr>1 καλείταιεξωτερικήακτίνα μεεξωτερικήγωνία θ.
Μετράμεαυτέςτις εξωτερικέςγωνίεςmodulo1,δηλαδή,θεωρούμεότιμία γωνία 2π είναι
ίση με 1, οπότεμία γωνία π/2 είναιίση με 1/4. Επιπλέον το θεώρημα των Douadyκαι
Hubbard,δηλώνειότι κάθεεξωτερικήακτίνα μερητήεξωτερικήγωνία θ*, καταλήγεισε
ένα μοναδικόσημείοπάνωστο σύνοροτουΜ.

7. Θεωρια χαους
Τι είναι το χάος και η θεωρία του χάους
Στον αιώνα που μας αποχαιρέτησε τρεις ήταν οι μεγάλες επιστημονικές
επαναστάσεις: η σχετικότητα, η κβαντική μηχανική και η θεωρία του Χάους.
Η πρώτη βρήκε τη σχέση του χώρου και του χρόνου, η δεύτερη την αρχή της
αιτιότητας και η τρίτη διερευνά την έννοια της προβλεπτικότητας, πως από
παρόμοιες αρχικές υποθέσεις μπορούν να προκύψουν πολύ διαφορετικά
συμπεράσματα.
Η λέξη Χάος χρησιμοποιείται με διαφορετικό τρόπο, σε διαφορετικές
περιπτώσεις, από διαφορετικούς ανθρώπους. Άλλη η έννοια του χάους στην
θρησκεία ή στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία ή στην σημερινή εποχή μας

8. (χάος = διάλυση, σύγχυση, μπάχαλο, αταξία κλπ) ή ακόμη και στην
αναπαράσταση του με διάφορα σύνολα τύπου Mandelbrot και άλλη η έννοια
του χάους στην επιστήμη.
Στην επιστήμη το χάος ορίζεται σαν την εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση της
κίνησης από τις αρχικές συνθήκες. Η απρόσμενη μεταβολή στις αρχικές
συνθήκες είναι το στοιχείο του χάους - της αταξίας- που εκδηλώνεται σε μια
τακτική και σταθερή φυσική διαδικασία. Δηλαδή αναλυτικότερα, χάος είναι
η χαοτική κατάσταση που προκύπτει όταν μεταβληθούν έστω και κατ'
ελάχιστο τα αρχικά δεδομένα ενός δυναμικού συστήματος. Αλλά στη νέα
θέση που θα οδηγηθεί το σύστημα από έναν "ελκυστή", θα κατακαθίσει και
θα παγιωθεί σε μια θέση που όμως πάλι η προβλεψιμότητα της θα είναι
αδύνατον να εκφραστεί με νόμους αιώνιους ή ντερμινιστικά.
Έτσι όμως η λέξη χάος εκφράζει κάτι κοινό για όλους: Την αστάθεια και την
αταξία. Τα παραδείγματα από την καθημερινή ζωή είναι πολλά. Ο καπνός
του τσιγάρου που στροβιλίζεται σε πολύπλοκες και απρόβλεπτες δίνες. Η
ροή του νερού που στάζει από μια βρύση. Το νερό των κυμάτων που
σκάζουν πάνω σε μια ακτή. Το μελάνι που διαχέεται μέσα σε ένα ποτήρι
νερού με απρόβλεπτο τρόπο. Στην αστρονομία μπορεί να έχουμε μια τυχαία
μεταβολή κάποιας ιδιότητας (κλίση τροχιάς, εκκεντρότητα τροχιάς κάποιου
πλανήτη κλπ). Στη βιολογία, στην κοινωνιολογία, στην οικονομία και τέλος
στην ιατρική έχουμε παρόμοιες εκδηλώσεις χαοτικής συμπεριφοράς. Αλλά τα
παραδείγματα δεν τελειώνουν εδώ. Το απρόβλεπτο των τιμών στο
χρηματιστήριο, στα ηλεκτρικά κυκλώματα, στους χτύπους της καρδιάς, στην
ροή του νερού ή του αίματος μέσα στους σωλήνες, στην μεταβολή των
πληθυσμών στα πουλιά και στα φυτά είναι ορισμένοι τομείς στους οποίους
συνυπάρχει το χάος.
Στην δεκαετία του 1970 οι επιστήμονες άρχισαν να προσεγγίζουν την έννοια
της αταξίας. Οι μαθηματικοί, φυσικοί, φυσιολόγοι, βιολόγοι και χημικοί
αναζητούσαν συνδέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά είδη μη κανονικότητας.
Μετά τις πρώτες εκπλήξεις από την χαώδη συμπεριφορά πολλών μοντέλων
οι μαθηματικοί του χάους ζητήσανε να καταλάβουν τις χαοτικές κινήσεις της
καθημερινής ζωής. Τις αλλαγές του καιρού. Τις διακυμάνσεις στους
πληθυσμούς των αγρίων ζώων. Την εξέλιξη των τιμών στο χρηματιστήριο.
Αναπαριστούν τα ανεξέλεγκτα αυτά φαινόμενα με μη-γραμμικές εξισώσεις σε
Η/Υ. Κι ανακαλύπτουν την κρυφή τάξη που τα ορίζει. Έτσι οι φυσιολόγοι
βρήκαν μια εκπληκτική τάξη στο χάος που αναπτύσσεται στην ανθρώπινη
καρδιά, την κύρια αιτία του απρόσμενου θανάτου. Οι οικολόγοι ερεύνησαν
την εμφάνιση και εξαφάνιση νομαδικών πληθυσμών εντόμων. Οι
οικονομολόγοι εξέταζαν τις τιμές κάποιων προϊόντων. Οι μετεωρολόγοι
εξέταζαν το σχήμα των νεφών, τις διαδρομές των αστραπών στον αέρα. Και
οι αστροφυσικοί πως ομαδοποιούνται τα άστρα σε γαλαξίες. Στην
αστρονομία η συνειδητοποίηση της ύπαρξης του χάους στο Ηλιακό σύστημα,
παρόλο που το θεωρούσαμε ένα δυναμικό σταθερό σύστημα-- προκαλεί

9. ερωτήματα του κατά πόσο έπαιξε ρόλο το χάος στο σχηματισμό του Ηλιακού
συστήματος.
Έτσι γρήγορα οι επιστήμονες άρχισαν να μελετούν το χάος στην
εφαρμοσμένη επιστήμη από την θεωρητική που μέχρι τότε έκαναν. Μπορεί
όμως το χάος να χαρακτηρίζει τα μετεωρολογικά φαινόμενα, τα κοινωνικά,
τα πολιτικά και τα βιολογικά δυναμικά συστήματα, αλλά από φιλοσοφικής
πλευράς ζούμε σε μια όαση τάξης μέσα σ' ένα ωκεανό χάους: Από τη μια το
χάος της απροσδιοριστίας στο μικρόκοσμο και από την άλλη η χαοτική
δυναμική του μακρόκοσμου, με τους πλανήτες να κινούνται σε απρόβλεπτες
τροχιές. Αίφνης η κίνηση των κυμάτων που σκάνε σε μια ακτή. Η κίνηση
αυτή δημιουργεί ένα άγριο κουβάρι από τροχιές και περιδινήσεις, που
περιέργως όμως δεν είναι εντελώς άτακτες. Καταλήγουν να 'χουν μια μορφή,
μια υποτυπώδη γεωμετρική μορφή που οι μαθηματικοί του χάους ονομάζουν
παράξενος ελκυστής (strange attractor). Ένα άλλο παράδειγμα είναι το
παιχνίδι φλιπεράκι, όπου οι κινήσεις της μπάλας προσδιορίζονται ακριβώς
από τους νόμους της κύλισης υπό την επίδραση της βαρύτητας και της
ελαστικής κρούσης -και οι δύο πλήρως κατανοητοί-, αλλά το τελικό
αποτέλεσμα είναι μη προβλέψιμο. Μέχρι τα τέλη του προ-περασμένου
αιώνα, η εύρεση της τροχιάς κάθε ουράνιου σώματος γινόταν
προσεγγιστικά, με τη βοήθεια των νόμων του Νεύτωνα και Κέπλερ, αφού
δεν υπήρχαν Η/Υ για περισσότερη ακρίβεια. Οι κινήσεις των πλανητών και
των άλλων ουρανίων σωμάτων θεωρούνταν περιοδικές και κανονικές σαν τη
κίνηση ενός τέλειου εκκρεμούς.
Στα τέλη όμως του 19ου αιώνα, ο Γάλλος μαθηματικός και αστρονόμος Henri
Poincare (1854 - 1912), έκανε μια ανακάλυψη που έμελλε να αλλάξει τα
θεμέλια της Νευτώνιας μηχανικής, και να αποτελέσει έτσι τη γέννηση ενός
νέου κλάδου της επιστήμης: του Χάους. Συγκεκριμένα ο Poincare
διαπίστωσε πως το πρόβλημα των τριών σωμάτων (μελέτησε το πρόβλημα
του Ήλιου, της Γης και της Σελήνης) ήταν και παραμένει άλυτο. Άρα, δεν
μπορεί να προβλεφθεί η τροχιά οποιουδήποτε ουράνιου σώματος που
δέχεται την επίδραση δύο η περισσοτέρων άλλων σωμάτων. Η προσπάθεια
λοιπόν να υπολογιστεί η τροχιά πχ του Πλούτωνα, δεν είναι δυνατή, αφού
δέχεται την επίδραση του Ήλιου και άλλων οκτώ πλανητών.
Ο Poincare αποκάλυψε το χάος στο Ηλιακό σύστημα καί μαζί ανακάλυψε την
απρόβλεπτη εξέλιξη ενός μη γραμμικού συστήματος. Είχε κατανοήσει πως
πολύ μικρές επιδράσεις μπορούν να μεγεθυνθούν μέσω της ανάδρασης. Γι'
αυτό και διατύπωσε την άποψη "Μια ελάχιστη αιτία που διαφεύγει της
προσοχής μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα". Η γέννηση του
χάους και του απρόβλεπτου ήταν γεγονός. Αλλά χρειάστηκε να περάσουν 80
χρόνια από τότε για να συνειδητοποιήσουν οι αστρονόμοι και οι υπόλοιποι
επιστήμονες τη σπουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης.
Χαοτική κίνηση

10. Δεν υπάρχει γενικώς αποδεκτός ορισμός της χαοτικής κίνησης. Ο πιο
διαδεδομένος είναι αυτός του Devaney, που διατυπώνεται ως εξής:
Για να χαρακτηριστεί η συμπεριφορά ενός συστήματος ως χαοτική, το
σύστημα πρέπει να παρουσιάζει τις παρακάτω ιδιότητες:
1. πρέπει να παρουσιάζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες
2. πρέπει να είναι τοπολογικά μεταβατικό
3. το σύνολο των περιοδικών του τροχιών πρέπει να είναι πυκνό
Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες σημαίνει ότι δύο σημεία σε ένα τέτοιο
σύστημα μπορούν να ακολουθήσουν ριζικά διαφορετικές τροχιές στον
φασικό χώρο, ακόμα και αν η διαφορά στις αρχικές συνθήκες είναι
εξαιρετικά μικρή. Τα συστήματα συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο μόνο
όταν η αρχική διαμόρφωση είναι ακριβώς η ίδια. Ουσιαστικά, αυτό σημαίνει
ότι χρειάζεται κανείς να προσδιορίσει τις αρχικές συνθήκες με απεριόριστη
ακρίβεια, προκειμένου να προβλέψει πώς θα συμπεριφερθεί το σύστημα
πέρα από έναν περιορισμένο "χρονικό ορίζοντα". Στην πράξη, βέβαια,
μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αρχικές συνθήκες με περιορισμένη μόνο
ακρίβεια. Μεταβατικότητα σημαίνει ότι εάν επιφέρουμε μια μετατροπή σε
κάποιο διάστημα Ι1, τότε το διάστημα εκτείνεται μέχρι να επικαλύψει
οποιοδήποτε άλλο δεδομένο διάστημα Ι2.Η μεταβατικότητα, τα πυκνά
περιοδικά σημεία και η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες μπορούν να
επεκταθούν σε έναν αυθαίρετο μετρικό χώρο. Ο J. Banks και οι συνεργάτες
του έδειξαν το 1992 ότι στα πλαίσια ενός γενικού μετρικού χώρου, η
μεταβατικότητα και τα πυκνά περιοδικά σημεία υπονοούν την ευαισθησία
στις αρχικές συνθήκες.
Ελκυστές
Ένας τρόπος να παρουσιάσουμε οπτικά την χαοτική κίνηση ή οποιαδήποτε
άλλη κίνηση, είναι η κατασκευή ενός διαγράμματος φάσης της κίνησης. Σε
ένα τέτοιο διάγραμμα υπεισέρχεται σιωπηρά ο χρόνος και σε κάθε άξονα
αναπαρίσταται μια μεταβλητή της κατάστασης. Για παράδειγμα, θα

11. μπορούσε κάποιος να αναπαραστήσει την θέση ενός εκκρεμούς σε σχέση με
την ταχύτητά του. Ένα εκκρεμές σε ακινησία θα σχεδιαστεί ως ένα σημείο
και ένα σε περιοδική κίνηση θα σχεδιαστεί ως απλή κλειστή καμπύλη. Όταν
ένα τέτοιο σχέδιο σχηματίζει κλειστή καμπύλη, η καμπύλη λέγεται τροχιά.
Το εκκρεμές μπορεί να παρουσιάσει άπειρες τέτοιες τροχιές. Συχνά τα
διαγράμματα φάσης αποκαλύπτουν ότι η πλειοψηφία των τροχιών
καταλήγουν να πλησιάζουν ένα κοινό όριο. Το σύστημα τελικά εκτελεί την
ίδια κίνηση για όλες τις αρχικές καταστάσεις σε μια περιοχή γύρω από την
κίνηση, σχεδόν σαν να έλκεται το σύστημα σε αυτή την κίνηση. Μια τέτοια
ελκυστική κίνηση καλείται ελκυστής του συστήματος.
Το σύνολο Cantor και ο πύργος του Eiffel
Τοποθετούμε, λοιπόν, αρχικά μία θεωρητική κατασκευή, συγκεκριμένων
ιδιοτήτων, όπως το σύνολο Cantor, και θα έλεγε κανείς ποιά είναι η ‘χρήση’
αυτής; (Αν και κάποιος θα μπορούσε να διαφωνήσει με την αξία χρήσης,
που προσδίδεται στην επιστήμη γενικότερα, αλλά και ειδικότερα στα
μαθηματικά, πέραν βέβαια της όξυνσης του πνεύματος, η οποία
συνεπάγεται όλα τα άλλα). Ιδιαιτέρως, μάλιστα, πώς καθίσταται δυνατόν να
συνδέεται με μία ‘υπέροχη’ κατασκευή, όπως ο πύργος του Eiffel; ( Κι
όμως μπορεί να είναι ένα αφηρημένο μοντέλο -διότι μαθηματικά =
αφαίρεση- ιδού λοιπόν ένας καλός τρόπος για να περιγραφούν τα
μαθηματικά, ο οποίος μάλιστα τα καθιστά και φυσική επιστήμη και
ανθρωπιστική επιστήμη και τέχνη και οτιδήποτε άλλο μπορεί να φανταστεί
κανείς).
Προτρέχοντας, κάποιος, ο οποίος εξετάζει επιφανειακά τα πράγματα, έστω
και με ειλικρινή πρόθεση, αλλά χωρίς να είναι μαθηματικός με την
ουσιαστική έννοια του όρου θα έλεγε: Είναι προφανές για κάποιον, που
αναγνωρίζει την ομορφιά στα μαθηματικά: έχω την αντιπαράθεση δύο
αντικειμένων (ενός μαθηματικού -θεωρητικού και ενός ορατού- απτού), τα
οποία είναι απαράμιλλης ομορφιάς και καλαισθησίας. Αυτή η άποψη,
βέβαια, αγνοεί την υποκειμενικότητα των συναισθημάτων και επί του
παρόντος όσον αφορά το τι θεωρεί ο καθένας όμορφο!! Σ’ αυτήν την
περίπτωση, προσπαθώντας να συσχετίσω τα παραπάνω αντικείμενα κατά
αυτόν τον τρόπο θα εξαιρούσα από τη συνέχεια του παρόντος άρθρου
καθέναν, ο οποίος δε βρίσκει όμορφο ή έστω ενδιαφέρον ένα τουλάχιστον
από τα παραπάνω αντικείμενα. Άρα, γίνεται σαφές ότι παρακάτω θα
προσπαθήσουμε να συσχετίσουμε τα δύο αντικείμενα “δι’ άλλης οδού”,
ώστε και να προσδώσουμε μία πρακτική (καθημερινή) χροιά σε κάποιο,
έστω και μικρό, υποσύνολο των μαθηματικών. (Βέβαια, αυτό με σκοπό τη
γενικότερη ενημέρωση όσων καλώς κείνται προς τη μαθηματική επιστήμη.
Διότι, εν τέλει οφείλουμε να κατανοήσουμε ότι δε χρειάζεται να

12. προσπαθούμε να πείσουμε κανέναν για το τι είναι τα μαθηματικά και ποιά η
σημασία τους γενικά ή ακόμα και ειδικότερα. Εξάλλου, κάποιος που δεν
κατανοεί τα παραπάνω μόνος του, αφενός δεν τον έχουν ανάγκη τα
μαθηματικά, άρα είναι άχρηστος για να κάνει μαθηματικά, αφετέρου -μιας
και ο καθένας οφείλει να ασχολείται με ό,τι είναι χρήσιμο και ουσιώδες γι’
αυτόν (έστω κι αν δεν είναι ιδιαίτερα ικανός) μπορεί, λοιπόν, να αναλωθεί
σε οτιδήποτε άλλο, χωρίς να μας κάνει και ιδιαίτερη διαφορά αυτή η
κατάσταση).
Επί της ουσίας, τώρα, ας ελέγξουμε την αφαιρετική μας ικανότητα
(μαθηματική σκέψη), πρώτα, κάνοντας μία οπτική αντιπαράθεση των δύο
κατασκευών παρακάτω :
Ο πύργος του Eiffel στο Παρίσι. Ένα κτίσμα 300μέτρων ύψους και βάρους
8000ton κατασκευασμένο το 1889.Η ¨αφαίρεση¨ που έχει γίνει για την
αναπαράσταση αυτού στο χαρτί είναι προφανής

13. Έτσι, αυτό το σχήμα “υποβιβάζει“ τον πύργο του Eiffel -μέσω μιας
αφαιρετικής διαδικασίας, στην οποία έχουμε εντρυφήσει ο καθένας
τουλάχιστον πολλές φορές (βλ. Φωτογραφίες)- ώστε να παρατίθεται δίπλα
σε ένα ιδιοφυές σχέδιο.
Σε δεύτερο στάδιο, λοιπόν, θα έλεγε κάποιος, γιατί να μην γίνει και ακριβώς
το αντίστροφο;
Ήτοι, γιατί να μην μεταφέρουμε το σύνολο Cantor “δίπλα” στον πύργο του
Eiffel, δίνοντάς του παράλληλα και υπόσταση στο χώρο; Και εδώ ακριβώς
αρχίζει η αντίστροφη επεξεργασία της αφαιρετικής διαδικασίας*. Εφόσον,
λοιπόν, “άφησα χρόνο” για τον καθένα παραπάνω να σκεφτεί αυτή την
διαδικασία, δύναμαι παρακάτω να διατυπώσω μία άποψη για τη διαδικασία
της «αφαίρεσης» στα μαθηματικά ιδιαιτέρως δε θα αναφερθώ στη
συσχέτιση των δύο προαναφερθέντων αντικειμένων.
Καταρχήν, η «συμμετρία» σταμαθηματικά και ειδικότερα, βεβαίως, στη
γεωμετρία -μιας και γίνεται καλύτερα αντιληπτή στους περισσότερους
ανθρώπους- είναι μία ιδιότητα, η οποία προκαλεί ιδιαίτερη εντύπωση στον
καθένα. Εξάλλου, ο κύκλος για παράδειγμα είναι η πρώτη καμπύλη, η οποία
μελετάται συστηματικά, ακόμα από τους αρχαίους χρόνους, ή ακόμα και
άλλα σχήματα, όπως τετράγωνα, ορθογώνια, σφαίρες και άλλες
κατασκευές, οι οποίες προσδίδουν μία άλλη αίσθηση στον άνθρωπο-

14. συνιστούν στην ψυχική ανάτασή του γενικότερα. Αποτελεί, λοιπόν, ένα
είδος τελειότητας η ύπαρξη τέτοιων αντικειμένων και τελικά θεωρούνται
καλαίσθητα. Επίσης, η περιοδικότητα στη φύση είναι κάτι το υπαρκτό και
αδιαμφισβήτητο -μάλιστα θα έλεγε κανείς ότι και αυτή αποτελεί ένα είδος
συμμετρίας της φύσης ως προς το χρόνο και μέσα σε κάποιο χρονικό
διάστημα-. Εντούτοις, η περιοδικότητα αυτή δεν εμφανίζεται βεβαίως με
την καθαρά μαθηματική ακρίβεια του όρου (τουλάχιστον , από την εποχή
που υφίσταται ο άνθρωπος στη γη και οπότε αρχίζει η μεταβολή του
φυσικού περιβάλλοντος από, μάλλον, εξωγενείς παράγοντες μιας και η
συμπεριφορά του ανθρώπου δεν δικαιολογεί το χαρακτηρισμό του ως μέρος
της φύσης).
Εντούτοις, υπάρχουν αναρίθμητα φαινόμενα στη φύση, στα οποία δεν
υφίσταται κανενός είδους «ομοιομορφία», όπως στα παραπάνω
περιγραφέντα αντικείμενα συμβαίνει, δηλαδή θα λέγαμε ότι επικρατεί το
*Σε αυτήν οι “ειδικοί” στη σύγχρονη εποχή έχουν διάφορες ονομασίες
,όπως: Φυσικοί, στατιστικολόγοι, οικονομολόγοι, βιολόγοι, γιατροί κ.ά. -
δηλαδή όλοι όσοι παίρνουν μια αφηρημένη θεωρία των μαθηματικών, ως
μαθηματικό μοντέλο για την εξυπηρέτηση των ειδικών αναγκών τους .Εδώ,
βέβαια, η επιλογή λανθασμένου μοντέλου είναι δυνατόν να οδηγήσει σε
εντελώς λανθασμένα αποτελέσματα (π.χ. βλέπε οικονομία στη σύγχρονη
εποχή).
χάος. Η διαρκής επανάληψη μιας διαδικασίας σε ένα «αρχικό» αντικείμενο
σε όλο και μικρότερες κλίμακες αυτού μπορεί να επιφέρει μια τέτοια χαώδη
κατάσταση. Έτσι, για παράδειγμα, η καμπύλη του Koch (1904) είναι μία
τέτοια κατασκευή με την παρακάτω επαναληπτική διαδικασία: Έστω, ένα
δεδομένο αρχικό ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και στο μεσαίο τρίτο αυτού
κατασκεύασε ένα ισόπλευρο τρίγωνο(χωρίς τη βάση του βλ σχήμα :2). Στη
συνέχεια επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία για καθένα από τα
ευθύγραμμα τμήματα του προκύπτοντος σχήματος. Επαναλαμβάνοντας,
αυτή τη διαδικασία, άπειρες το πλήθος φορές θα πάρουμε μία γραμμή
απείρου μήκους, με την ιδιότητα να είναι παντού συνεχής, αλλά πουθενά
διαφορίσιμη !!!
Τέτοιου είδους καμπύλες- που προκύπτουν με παρόμοιες διαδικασίες-
ονομάστηκαν (από τον Benoit Mandlebrot) fractals. Το ουσιώδες
χαρακτηριστικό μιας τέτοιας καμπύλης είναι η «αυτοομοιότητά» της, το
οποίο εν ολίγοις σημαίνει ότι οιαδήποτε ‘περιοχή’ του σχήματος κι αν
επιλεχθεί, εξεταζόμενηστην ίδια κλίμακα με κάποια άλλη είναι ακριβώς οι
ίδιες. Δηλαδή, για κάθε περιοχή του σχήματος υπάρχει μέσα στο σχήμα μία
άλλη περιοχή, η οποία είναι όμοια με την αρχική, και για τη συνήθη έννοια
της ομοιότητας σχημάτων, γενικευμένη. Τελικά, κάθε παρόμοια

15. κατασκευαστική διαδικασία ενός αντικειμένου δίνει πάντα αντικείμενα με
αυτοομοιότητα.
Εφαρμόζοντας, τη διαδικασία του Koch με αρχικό σχήμα να είναι ένα
ισόπλευρο τρίγωνο λαμβάνουμε μία κατάσταση, όπως στο σχήμα:3 και
διερωτάται κανείς, πώς μπορεί να υπολογίσει το μήκος της περιμέτρου του
«παραμορφωμένου» αυτού τριγώνου μετά από κάθε βήμα εφαρμογής της
διαδικασίας. Βέβαια, αυτό είναι γνωστό για το αρχικό τρίγωνο, ο καθένας
μπορεί να το εκφράσει μέσω μιας οιασδήποτε μονάδας μήκους. Γενικότερα,
μπορεί να ελέγξει κανείς ότι μετά από ν βήματα (ν εφαρμογές της
διαδικασίας του Koch) η περίμετρος είναι ( ) ν φορές της αρχικής
περιμέτρου του τριγώνου και βέβαια καθώς του ν   η τιμή αυτή γίνεται
άπειρη. Όμως αυτό πρακτικά σημαίνει ότι, αν και για μία άλλη
επαναληπτική διαδικασία λαμβάνω ένα σχήμα με περίμετρο απείρου
μήκους, τελικά δε θα μπορώ να διαχωρίσω τα σχήματα εκκίνησης των δύο
αυτών διαφορετικών διαδικασιών. Άρα για ό,τι ονομάσαμε παραπάνω
fractal είναι αναγκαία η εισαγωγή ενός νέου τρόπου μέτρησης γενικότερα
και ειδικά στην περίπτωσή που εξετάζουμε, μέτρησης της περιμέτρου των
σχημάτων που προκύπτουν μετά από ν εφαρμογές κάποιας επαναληπτικής
διαδικασίας, όπως αυτή του Koch. Και εδώ ακριβώς θα εισάγουμε την
έννοια της διάστασης του Hausdorff :
Ορίζω :
όπου Ν το πλήθος των ευθύγραμμων τμημάτων μήκους r, τα οποία
καλύπτουν ακριβώς την περίμετρο του εκάστοτε σχήματος.
Βέβαια, η DH είναι χρήσιμη όχι μόνο για το χαρακτηρισμό καμπυλών, όπως
τα fractals, αλλά και για σημειοσύνολααπείρου πλήθους σημείων ή ακόμα
και για καμπύλες.
Τo σύνολο Cantor: Θεωρούμε το κλειστό διάστημα [0,1], ήτοι ένα
ευθύγραμμο τμήμα μήκους μιας μονάδας και, χωρίζοντας το σε τρία ίσα
υποδιαστήματα, αφαιρούμε το μεσαίο ανοιχτό υποδιάστημα. Σε δεύτερο
στάδιο εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία στα εναπομείναντα κλειστά
διαστήματα [0, 1/3] και [2/3, 1] και συνεχίζουμε ομοίως. Τελικά, με την
εφαρμογή αυτής της διαδικασίας λαμβάνουμε ένα σύνολο σημείων μη
αριθμήσιμο, αλλά με μέτρο μηδέν. Εδώ ακριβώς υπεισέρχεται η
χρησιμότητα της διάστασης Hausdorff : μετά από ν στάδια –εφαρμογής της
παραπάνω διαδικασίας- έχουμε Ν=2ν ευθύγραμμα τμήματα το καθένα με
μήκος (1/3)ν, άρα η διάσταση του Haudorff είναι : DH=log2/log3=0.63 ,
δηλαδή μεταξύ 0 και 1. Κάτι το οποίο είναι αναμενόμενο, κατά τη

16. διαίσθησή μας, αφού το σύνολο Cantor είναι κάτι παραπάνω από ένα
σημείο (dim=0) και σαφέστατα αρκετά μικρότερο από το αρχικό
ευθύγραμμο τμήμα (dim=1).
Θα έλεγε, λοιπόν, κάποιος γιατί να μην κατασκευάσουμε κάτι ανάλογο και
στο επίπεδο; Έτσι, ξεκινώντας από ένα ισόπλευρο τρίγωνο στο επίπεδο,
τότε, όπως φαίνεται στο σχήμα 4, αυτό που χωρίζεται σε τέσσερα ίσα
ισόπλευρα τρίγωνα από τα οποία μπορούμε να «αφαιρέσουμε» το μεσαίο σε
πρώτο στάδιο, ενώ στη συνέχεια εφαρμόζουμε την ίδια διαδικασία στα
εναπομείναντα τρίγωνα, λαμβάνοντας ανάλογες καταστάσεις (βλ σχήμα 4 ).
Με τη διαδικασία αυτή (διαδικασία Sierpinski) μετά από ν βήματα
απομένουν 3ν τρίγωνα το καθένα με μήκος πλευράς r0 2ν, άρα έχω
DH=log3/log2=1.58 με ανάλογα προφανή συμπεράσματα, όπως και στην
προηγούμενη περίπτωση. Ειδικότερα, βέβαια, εδώ μπορεί κάποιος να
παρατηρήσει ότι εκτός από την αυτοομοιότητα, το σχήμα ενέχει και
συμμετρία ως προς περιστροφές 120 γύρω από το κέντρο του, κάτι το
οποίο συμβαίνει συχνά στα fractals.
Οι πιο «διορατικοί», πιθανόν να έχουν προβλέψει τη συνέχεια της
διαδικασίας για την επίτευξη του αρχικού μας στόχου σχετικά με τον πύργο
του Eiffel.
Καταρχήν, κάνοντας πρώτα μια ιστορική αναδρομή, ο Alexandre-Gustave
Eiffel (1832-1923) υπήρξε σημαντικός Γάλλος μηχανικός (διδάκτωρ στο
Παρίσι 1855), ειδικευμένος στις μεταλλικές κατασκευές μία εκ των οποίων
είναι και ο ομώνυμος πύργος του Παρισιού (κατασκευασμένος το 1889).
Επί της ουσίας, τώρα, πρόκειται για τη γενίκευσητης διαδικασίας του
Sierpinksi στο χώρο σε ένα κανονικό τετράεδρο (βλ. σχήμα 5 ).
Έτσι από το πρώτο κιόλας στάδιο προκύπτει ότι DH=2 (Ν=4, r=1/2), δηλαδή
μια κατασκευή του τρισδιάστατου χώρου (dim3) έχει διάσταση Hausdorff 2
και εδώ ακριβώς φαίνεται η χρησιμότητα αυτής!! Διότι, αυτό συνεπάγεται
την ουσιαστική διαφορά (μείωση) στη μάζα κατασκευής. Είναι ,
πραγματικά μια ευφυής κατασκευή αφού πρόκειται για έναν ατσάλινο όγκο
βάρους 8000 τόνων που στηρίζεται σε μία τετράγωνη βάση με μήκος

17. πλευράς 100 μέτρα. Η «πλήρης» κατασκευή μιας ατσάλινης «πυραμίδας»
ομοίων χαρακτηριστικών φαντάζει και είναι βεβαίως τεχνικά αδύνατη!!
Παρατήρηση –Γενίκευση: Από τα παραπάνω μπορεί κανείς να διακρίνει το
τί ακριβώς είναι τα μαθηματικά: σε αυτό το άρθρο περιοριστήκαμε στη
χρήση ενός και μόνο τύπου-γιατί ο φορμαλισμός γενικότερα δεν κατέχει
καμία ουσιώδη θέσηστη μαθηματική επιστήμη-. Όλη η επεξεργασία έγινε
μέσω μιας «αφαιρετικής» διαδικασίας(=τέχνη) και αυτό ακριβώς
αντικατοπτρίζει τη μαθηματική σκέψη και τους συλλογισμούς ενός
μαθηματικού γενικότερα.