尋找接觸點以及最小穿透軸

1. 怎麼找
Contact Points

2. 矩形與矩形？

3. 1. 最小穿透軸
其實就是透過SAT的技巧，只是多了記錄分離值(seperate)
分離值若為負的，代表穿透進物體中

4. 穿透軸(1)
穿透軸(2)
這個Case，最小穿透軸為黃色
怎麼找？

5. 首先找出最小穿透軸的候選人
分別是n1, n2, n3, n4
A
B
n3
n4

6. 找出n1反向的向量
找出離n1反向向量最遠的B中的四個點
可以想像一個人，從n1的反方向一直
走，最後碰到B點的是誰(藍色那條)
作法：
並將B上所有點做內積(Support Point)
找出內積完結果最大的(藍色那條)
意味著代表穿透最深的
接著n2, n3, n4都做
A
B
n3
n4

7. A
B
n3
n4
V1
S
接著
現在要找V1,S的這條向量(橘色)
與n1做內積
我們就能知道被插的多深

8. A
B
n3
n4
V1
S
我們將向量做平移，
顯而易見的，與n1內積完會是個負值，
而且負的很大

9. Best Case
找出被插最小的

10. 顯而易見的是n2
我們就試著找找看
一樣，找出離n2反向最遠的
可以想像一個人，從n2的反方向一直
走，最後碰到B的誰
(深紅色那條)
作法：
找出n2反向的向量
並將B上所有點做內積(Support Point)
找出內積完結果最大的，點為紅圈
A
B
N2’

11. 接著
V1, V2就代表該個最小穿透面(藍色那條)
另外找V1,S的這條向量(紅色那條)
與n2做內積
很明顯，會是個負值，而且負的很小
也就是我們要的解
A
B
S
V1
V2

12. 請注意，我們剛剛只做A看B
反之，B看A也要做
最後的決定，是由以下這個公式推導

14. 2. 決定
Incident Face(插他的)
Reference Face(被插的)

15. Reference Face
Incident Face candidate 1
Incident Face candidate 2
有了(最小穿透軸)n
我們就知道Reference Face的法向量為n
接著要找到底哪個是Incident Face
藍色、綠色向量找最小的內積值(負的最大的)
也就代表穿入reference face最深的
在這個例子則為藍色的法向量c
Incident Face

16. Incident face
Reference face 透過v1, v2來代表
再利用v1, v2(綠色部分) ，將向量轉90度
並且換為單位向量
這樣就可得n(黃色部分)的值
reference face
V1 V2
I1
I2
Reference Face

17. 3. Clipping
截掉超過的穿透點候選人

18. c
V1 V2
I1
I2
Positive SideNegative Side
兩個點都留下來，Contact Point 就是他們倆個
Case 1: I1,I2都在Negative Side同邊

19. Incident face
V1 V2
I1
I2
Negative Side
I1 => I1(new)
Case 2: I1,I2都在Negative Side不同邊
I1(new)

20. Incident face
V1 V2
I1
I2
Negative Side
I1(new)淘汰，下去
Case 3:
Clip時，與negative side的交叉點在外
I1(new)

21. V1 V2
I1
I2 利用n向量與V1點，可以有一條直線方程式
(ax+by=c)
接著留下兩個Penetration值，若有兩點則除以2
直線方程式
Penetration值

22. 擴展成多邊形

23. V1
V2
I1
作法一模一樣
只是要枚舉的邊變多了

24. 多邊形與圓？

25. 1.最小穿透軸

26. 先看分離的例子
跟矩形一樣要枚舉每一個法向量
不一樣的部分，不需要再找最遠點，直接針對圓心
若 投影長>圓的半徑，代表一定分離

27. 接著看實際有碰撞的例子
我們知道最小穿透軸結果會是左邊這張圖
在實作上，我們會選擇內積最大的值
在這個Case，我們就是比深綠色最大的，也就是左邊這張圖
可以想像為，深綠色那條是凸出去多少，凸越多代表穿越少
✅ ❎

28. 有個問題，萬一半徑很小根本沒碰到怎麼辦
這個「沒碰到」的部分我們留到後面來解決

29. 決定了最小穿透軸
就可以來找Contact Points

30. Contact Point Candidates
V1
V2
V1
V2
V1
V1, V2裡
V2

31. V1
V2
V1
V2
V1
V2
圓心穿到V1
V1 Contact Point
圓心穿到 V2
V2 Contact Point
圓心根本沒穿到V1, V2
V1~V2 Contact Point

32. 如何判斷？

33. 內積技巧，判斷不同邊
V1
圓心
V1
圓心
V1
圓心
若內積為負的，圓心一定保證比較靠近v1這邊
其他時候內積為正的時候我無法得知
接下來我們看第一個Case

34. V1
V2
V1 Contact Point
V1
V2
我們可以知道，v1指向圓心
檢查 v1 這個面(虛線部分)之分離量(綠色部分)
同樣的，檢查v2
若長度比半徑長度還長，v2則淘汰
✅ ❎

35. V1
V2
V2 Contact Point
v2這邊比較短代表他離v2比較近
而且內積結果為負的，代表投影較靠近v2
作法一樣，只是反過來
很明顯，這邊綠色也是大於半徑長
所以淘汰
✅❎
V1
V2

36. V1
V2
解決分離的Case
拿v1指向Center的長度，與半徑相比
半徑 < 咖啡色向量長度 => 分離

37. V1~V2 Contact Point
兩邊內積完都會是正的，代表誰也沒摸到
於是，我們會找插入最深的最遠點
V1
V2
V1
V2
V1
V2
接著
1.拿n反向的單位向量
2.將 圓心 + 半徑*n反向的單位向量
也就是紫色的部分

38. V1
V2
一樣，有可能出現以下狀況
解決分離的Case
跟剛剛作法一樣
拿v1指向Center的長度，與半徑相比
半徑 < 咖啡色向量長度 => 分離