conceptos basicos del algebra

1. EELL ÁÁLLGGEEBBRRAA

2. 11.. ¿ QQuuéé EEss ??
 RRaammaa ddee llaass mmaatteemmááttiiccaass eenn
llaa qquuee ssee uuttiilliizzaann lleettrraass ppaarraa
rreepprreesseennttaarr rreellaacciioonneess
aarriittmmééttiiccaass
 SSuuss ooppeerraacciioonneess
ffuunnddaammeennttaalleess ssoonn aaddiicciióónn,,
ssuussttrraacccciióónn,, mmuullttiipplliiccaacciióónn,,
ddiivviissiióónn yy ccaallccuulloo ddee rraaíícceess..
 EEll ÁÁllggeebbrraa eess eell iiddiioommaa ddee
llaass mmaatteemmááttiiccaass..

3. 22.. uunn ppooccoo ddEE hhiissttooRRiiAA
ÁÁLLGGEEBBRRAA
EGIPTO
Y
BABILONIA
AL-JWARIZMI
(s. IX)
MATEMÁTICOS
ÁRABES
(Edad Media)
Resolvían
ecuaciones
lineales
Ecuaciones
cuadráticas
Ecuaciones
indeterminadas
Con varias incógnitas
ABU KAMIL
( finales s. IX)
Teoría
fundamental
de ecuaciones
Leyes
fundamentales
del álgebra
DESCARTES
Desarrollaron
el álgebra
fundamental
de los polinomios
MATEMÁTICOS
ITALIANOS
(s. XVI)
Resolvieron la
Ecuación de
Tercer y cuarto
grado
Descubrió la
Geometría
analítica

4. AALLGGuunnooss mmAAttEEmmÁÁttiiccooss
hhiissttóóRRiiccooss
Al-Jwarizmi
Robert Recorde Giroldano Cardano
René Descartes François Viete

5. 33.. ssíímmBBooLLooss
símBoLos
LEtRAs nÚmERos siGnos
Representan constantes
y variables Son Constantes S. de agrupación S. De operaciones
básicas
Paréntesis ( ) ,
corchetes [ ]
Llaves,
y rayas horizontales
Adición +
Sustración –
Multiplicación X
División :

6. 44.. OOttrraass ddeeffiinniicciiOOnneess
EEccuuaacciióónn:: ccuuaallqquuiieerr eexxpprreessiióónn qquuee iinncclluuyyaa llaa
rreellaacciióónn ddee iigguuaallddaadd..
-- iiddeennttiiddaadd
-- ccoonnddiicciioonnaall
TTéérrmmiinnoo:: expresión algebraica que solo
contiene productos de constantes y variables
22xx,, --aa,, 55zzyy......
coeficiente

7.  EEccuuaacciióónn lliinneeaall:: eenn uunnaa vvaarriiaabbllee,, eess uunnaa eeccuuaacciióónn
ppoolliinnóómmiiccaa ddee pprriimmeerr ggrraaddoo..
aaXX ++ bb == cc
 EEccuuaacciióónn ccuuaaddrrááttiiccaa:: eenn uunnaa vvaarriiaabbllee,, eess uunnaa eeccuuaacciióónn
ddee sseegguunnddoo ggrraaddoo..
aaXX22 ++ bbXX ++ cc == 00
 NNº pprriimmoo:: uunn eenntteerroo qquuee ssoolloo ssee ppuueeddee ddiivviiddiirr
eexxaaccttaammeennttee ppoorr mmiissmmoo yy ppoorr 11..
 FFaaccttoorreess pprriimmooss ddee uunn nnº:: ssoonn aaqquueellllooss ffaaccttoorreess
eenn llooss qquuee eessttee ssee ppuueeddee ddeessccoommppoonneerr ddee mmaanneerraa
qquuee eell nnº ssee eexxpprreessaa ccoommoo pprroodduuccttoo ddee nnúúmmeerrooss pprriimmooss

8. 55.. OOppeerraacciiOOnneess ccOOnn
ppOOlliinnOOmmiiOOss
CCuummpplleenn llaass mmiissmmaass pprrooppiieeddaaddeess qquuee ppaarraa llaa
aarriittmmééttiiccaa nnuumméérriiccaa aauunnqquuee eell áállggeebbrraa iinncclluuyyee
nnúúmmeerrooss iirrrraacciioonnaalleess yy nnúúmmeerrooss ccoommpplleejjooss..
AA eessttee ccoonnjjuunnttoo ddee nnúúmmeerrooss ssee llee llllaammaa
NNÚÚMMEERROOSS RREEAALLEESS..
LLooss nnúúmmeerrooss rreeaalleess ssoonn uunniiffoorrmmeess ppaarraa llaa
aaddiicciióónn,, ssuussttrraacccciióónn,, mmuullttiipplliiccaacciióónn yy ddiivviissiióónn

9. 55..11 pprrOOppiieeddaaddeess ddee llaa
aaddiicciióónn
11.. LLaa ssuummaa ddee ddooss nnúúmmeerrooss rreeaalleess aa yy bb oottrroo nnúúmmeerroo
rreeaall qquuee ssee eessccrriibbee aa ++ bb..
22.. PPrrooppiieeddaadd aassoocciiaattiivvaa:: ccuuaallqquuiieerraa qquuee sseeaa llaa ffoorrmmaa eenn
qquuee ssee aaggrruuppaann llooss ttéérrmmiinnooss ddee llaa aaddiicciióónn eell
rreessuullttaaddoo eess ssiieemmpprree eell mmiissmmoo..
((aa ++ bb)) ++ cc == aa ++ ((bb ++ cc))
33.. DDaaddoo uunn nnº rreeaall aa eexxiissttee oottrroo nnº rreeaall cceerroo ((00))
ccoonnoocciiddoo ccoommoo eelleemmeennttoo nneeuuttrroo ddee llaa ssuummaa ttaall qquuee
aa ++ 00 == 00 ++ aa == aa
44.. DDaaddoo uunn nnº rreeaall aa,, eexxiissttee oottrroo nnº rreeaall ((--aa)) llllaammaaddoo
eelleemmeennttoo ssiimmééttrriiccoo ddee aa ,, ttaall qquuee
aa ++ ((--aa)) == 00

10. 55..22.. pprrOOppiieeddaaddeess ddee llaa
mmuullttiipplliiccaacciióónn
11.. EEll pprroodduuccttoo ddee ddooss nnúúmmeerrooss rreeaalleess aa yy bb eess oottrroo nnº
rreeaall,, qquuee ssee eessccrriibbee aa·bb oo aabb..
22.. PPrrooppiieeddaadd aassoocciiaattiivvaa:: CCuuaallqquuiieerraa qquuee sseeaa llaa ffoorrmmaa
ddee aaggrruuppaarr llooss ttéérrmmiinnooss ddee llaa mmuullttiipplliiccaacciióónn,, eell
pprroodduuccttoo eess ssiieemmpprree eell mmiissmmoo:: ((aabb))cc == aa((bbcc))..
33.. DDaaddoo uunn nnº rreeaall aa eexxiissttee oottrroo nnº rreeaall uunnoo ((11)) llllaammaaddoo
eelleemmeennttoo nneeuuttrroo ddee llaa mmuullttiipplliiccaacciióónn,, ttaall qquuee
aa((11))==11((aa))==aa..
44.. DDaaddoo uunn nnº rreeaall aa ddiissttiinnttoo ddee cceerroo,, eexxiissttee oottrroo nnº
((aa--11 oo 11//aa )),, llllaammaaddoo eelleemmeennttoo iinnvveerrssoo ppaarraa eell qquuee
aa((aa--11)) == ((aa--11 ))aa == 11

11. 55..33 pprrooppiieeddaadd ddiissttrriibbuuttiivvaa
OOttrraa pprrooppiieeddaadd iimmppoorrttaannttee ddeell ccoonnjjuunnttoo ddee llooaa nnúúmmeerrooss
rreeaalleess rreellaacciioonnaa llaa aaddiicciióónn yy llaa mmuullttiipplliiccaacciióónn ddee llaa
ffoorrmmaa ssiigguuiieennttee::
aa((bb++cc)) == aabb ++ aacc
((bb ++ cc))aa == bbaa ++ ccaa

12. 66.. MMuullttiipplliiccaacciióónn ddee
ppoolliinnooMMiiooss
MMuullttiipplliiccaarr ccaaddaa ttéérrmmiinnoo ddeell pprriimmeerr ppoolliinnoommiioo ppoorr
ccaaddaa ttéérrmmiinnoo ddeell sseegguunnddoo ppoolliinnoommiioo
 UUnnaa vveezz hheecchhaass eessttaass ooppeerraacciioonneess,, ttooddooss llooss ttéérrmmiinnooss
ddeell mmiissmmoo ggrraaddoo ssee hhaann ddee aaggrruuppaarr ppaarraa ssiimmpplliiffiiccaarr llaa
eexxpprreessiióónn

13. 77.. FFaaccttoorriizzaacciióónn ddee
ppoolliinnooMMiiooss
 DDaaddaa uunnaa eexxpprreessiióónn aallggeebbrraaiiccaa ccoommpplliiccaaddaa,, rreessuullttaa
úúttiill eell ddeessccoommppoonneerr eenn uunn pprroodduuccttoo ddee vvaarriiooss
ttéérrmmiinnooss mmááss sseenncciillllooss..
TTRRIINNOOMMIIOOSS
xx22 ++ 22xxyy ++ yy22 ((xx ++ yy))22
xx22 –– 22xxyy ++ yy22 ((xx –– yy))22
DDIIFFEERREENNCCIIAA DDEE CCUUAADDRRAADDOOSS
xx22 –– yy22 ((xx ++ yy)) ((xx –– yy ))
TTRRIINNOOMMIIOOSS DDEE LLAA FFOORRMMAA
XX22 ++ ((aa ++ bb))xx ++ aabb ((xx ++ aa)) ((xx ++ bb))

14. 8. MáxiMo ccooMMúúnn ddiivviissoorr yy
MMíínniiMMoo ccooMMúúnn MMúúllttiipplloo
 MM..CC..DD..::
DDaaddoo uunn ppoolliinnoommiioo ssuueellee sseerr
iimmppoorrttaannttee ddeetteerrmmiinnaarr eell
mmaayyoorr ffaaccttoorr ccoommúúnn aa ttooddooss
llooss ttéérrmmiinnooss ddeell ppoolliinnoommiioo..
99xx33 ++ 188 xx22 == 99xx22 ((xx ++ 22))
99xx22 eess eell mm..cc..dd..
 MM..CC..MM..::
EEnnccoonnttrraarr eell mm..cc..mm.. ppuueeddee sseerr
úúttiill ppaarraa ppooddeerr hhaacceerr cciieerrttaass
ooppeerraacciioonneess ccoonn ffrraacccciioonneess
aallggeebbrraaiiccaass..
DDaaddaass vvaarriiaass eexxpprreessiioonneess,, ssuu
mm..cc..mm.. eess aaqquueellllaa eexxpprreessiióónn
ccoonn eell mmeennoorr ggrraaddoo yy llooss
mmeennoorreess ccooeeffiicciieenntteess qquuee ssee
ppuueeddee ddiivviiddiirr eexxaaccttaammeennttee
ppoorr ccaaddaa uunnaa ddee eellllaass

15. 99.. rreessoolluucciióónn ddee eeccuuaacciioonneess
DDaaddaa uunnaa eeccuuaacciióónn ,, eell áállggeebbrraa ssee ooccuuppaa ddee
eennccoonnttrraarr ssoolluucciioonneess ssiigguuiieennddoo eell ccoonncceeppttoo
ggeenneerraall ddee iiddeennttiiddaadd aa == aa..
SSiieemmpprree qquuee ssee aapplliiqquueenn llaass mmiissmmaass
ooppeerraacciioonneess aa aammbbooss llaaddooss ddee llaa eeccuuaacciióónn,, llaa
iigguuaallddaadd ssee mmaannttiieennee iinnaalltteerraaddaa..
SSee ddeessppeejjaa llaa iinnccóóggnniittaa aa uunn llaaddoo ddee llaa
iigguuaallddaadd yy llaa ssoolluucciióónn sseerráá aa oottrroo llaaddoo..

16. 99..22.. RReessoolluucciióónn ddee
eeccuuaacciioonneess ccuuaaddRRááttiiccaass
 SSii llaa eeccuuaacciióónn ssee ppuuddee
ffaaccttoorriizzaarr,, eell rreessuullttaaddoo
eess iinnmmeeddiiaattoo.. PPoorr
eejjeemmpplloo::
xx22 -- 33xx –– 1100 == 00
((xx –– 55)) ((xx ++ 22)) == 00
xx == 55 yy xx == --22
 EEnn ggeenneerraall,, ccuuaallqquuiieerr
eeccuuaacciióónn ccuuaaddrrááttiiccaa ddee
llaa ssiigguuiieennttee ffoorrmmaa
aaxx22 ++ bbxx ++ cc == 00
ssee ppuueeddee rreessoollvveerr
uuttiilliizzaannddoo llaa ssiigguuiieennttee
ffóórrmmuullaa::
xx == --bb ++//-- bb22 –– 44aacc
22aa

17. 99..33.. ssiisstteemmaass ddee eeccuuaacciioonneess
PPaarraa rreessoollvveerr llooss ssiisstteemmaass ddee eeccuuaacciioonneess ssee
ppuueeddeenn uussaarr ddiiffeerreenntteess ttééccnniiccaass::
 DDeessppeejjaannddoo uunnaa ddee llaa vvaarriiaabblleess eenn uunnaa
eeccuuaacciióónn yy ssuussttiittuuyyeennddoo eell rreessuullttaaddoo eenn llaa oottrraa
eeccuuaacciióónn..
 RReeaalliizzaarr llaass ooppeerraacciioonneess nneecceessaarriiaass aa aammbbooss
llaaddooss ddee llaa eeccuuaacciióónn hhaassttaa ppooddeerr rreedduucciirr
aallgguunnaa ddee eellllaass..