Ekuazioen laburpena

Pitagoras Akademia. Atalde kalea 17, baxua- 48370 Bermeo - Tel.: 665660663
pitagorasakademia@gmail.com / https://www.facebook.com/pitagorasakademia
EKUAZIOEN LABURPENA
LEHENENGO MAILAKO EKUAZIOAK
1. Izendatzaileakkendu
2. Parentesiakkendu
3. X dutengaiakberdinketarenalde bateanjarri etagai independentekbeste aldean.
4. Antzekogaiaksinplifikatu(haienarteanbatuketakedokenketakeginez).
5. Ezezegunaaskatu.
Ejemplo:
𝑥 − 1 −
3𝑥 − 2
9
−
8( 𝑥 − 2)
27
=
𝑥 − 1
3
1. Izendatzaileakkendu:Izendatzaileakkentzeko,izendatzaile komunbataurkitubehar
dogu. Kasu honetan 27 (9, 27 eta 3-renartekoM.k.t).
2. Terminobakoitzari izendatzaileberdinajartzendiogu. Kontuzeuki,izendatzailea
aldatzerakoan,zenbakitzaileaere aldatzenda.Horretarako,izendatzaile berriazati
lehengoizendatzailebiderhaurrekozenbakitzaileaeginbeharda.
27(𝑥 − 1)
27
−
3(3𝑥 − 2)
27
−
8( 𝑥 − 2)
27
=
9(𝑥 − 1)
27
3. Alde bietanizendatzaile berdinakdaudenez,kendezakeguz:
27( 𝑥 − 1) − 3(3𝑥 − 2) − 8( 𝑥 − 2) = 9(𝑥 − 1)
4. Parentesiakkendu,beharrezkoakdirenbiderketakeginz:
27𝑥 − 27 − 9𝑥 + 6 − 8𝑥 + 16 = 9𝑥 − 9
5. X dutenadierazpenakberdintzarenalde batenjartzendituguetax ezdutenakveste
aldean.
27𝑥 − 9𝑥 − 8𝑥 − 9𝑥 = 27 − 6 − 16 − 9
6. Gehituetax askatu.
𝑥 = −4

BIGARREN AILAKO EKUAZIOAK:
Bigarrenmailakoekuazioakhonakoformaizandute 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Osoakdirenak,hauda a, b eta c dutenek, formulahonegazebaztendira: 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Osoak ez dienak:
 b=0 bada; 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐜 = 𝟎
EMAITZA ADIBIDEA
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 2𝑥2 − 50 = 0
𝑎𝑥2 = −𝑐 2𝑥2 = 50
𝑥2 =
−𝑐
𝑎
𝑥2 =
50
2
= 25
𝒙 = ±√
−𝒄
𝒂
𝑥 = ±√25
𝒙 = ±𝟓
 c=0 bada; 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
EMAITZA:
 Aterax faktore komuna:
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0
 Emaitzak:
𝒙 = 𝟎 𝑒𝑡𝑎 𝒙 =
−𝒃
𝒂
ADIBIDEA:
 3𝑥2 + 6𝑥 = 0
 𝑥(3𝑥 + 6) = 0
 𝒙 = 𝟎
 3𝑥 + 6 = 0
3𝑥 = −6
𝑥 =
−6
3
𝒙 = −𝟐

FAKTORIZETA DAUDEN EKUAZIOAK:
Mota honetakoekuazioakebazteko,adierazpenbakoitzazeroraberdinduzeta lorturiko
ekuaziobakoiotzaaskatuznahikoada.Adibidea:
2𝑥( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 1)( 𝑥 − 2) = 0
2𝑥 = 0 → 𝑥1 = 0
𝑥 − 3 = 0 → 𝑥2 = 3
𝑥 + 1 = 0 → 𝑥3 = −1
𝑥 − 2 = 0 → 𝑥4 = 2
BIGARREN MAILA BAINA HANDIAGOKO EKUAZIOAK:
Bikarratuak:
Ekuaziobikarratuak,motahonetakoakdira: 𝒂𝒙 𝟒 + 𝒃𝒙 𝟐 + 𝒄 = 𝟎
Ebazteko:
1. Aldagai aldaketabategin; 𝒙 𝟐 = 𝒕 𝑦 𝒙 𝟒 = 𝒕 𝟐 Beraz,bigarrenmailakoekuaziobat
gelditzenzaigu.
2. Bigarrenmailakoekuazioaaskatu,nontezezagunaizangoden.
3. X-enbalioaklortzeko, 𝒙 𝟐 = 𝒕 -nordezkatu,hauda, t-renemaitzbakoitzari erro
karratua egin.
Adibidea
𝑥4 − 10𝑥2 + 9 = 0
Aldagai aldaketa: 𝑥2 = 𝑡 ; 𝑥4 = 𝑡2
𝑡2 + 10𝑡 + 9 = 0
Ebatzi: 𝑡 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑡 =
10±√(−10)2−4∙1∙9
2∙1
𝑡 =
10 ± 8
2
{
𝑡1 =
10 + 8
2
𝑡1 = 9
𝑡2 =
10 − 8
2
𝑡2 = 1
x-enbalioakkalkultau,t, 𝑥2 = 𝑡 ekuazioanordezkatuz:
{
𝑥2 = 9 𝑥 = ±√9 𝑥 = ±3
𝑥2 = 1 𝑥 = ±√1 𝑥 = ±1

Bigarren mail baino handiagoko ekuazioak eta ez bikarratuak
Ekuaziomota hauekebazteko,lheniketabehinfaktorizatueginbeharditugulehenengo edota
bigarren mailako ekuazioetan. Hau eginda, faktorizatutako adierazpen bakoitza zerora
berdinduz eta ekuazio horiek askatu besterik ez da eh¡gin behar emaitzak lortzeko.
Faktorizatzeko jarraitu behar diren pausuak:
1. x faktore komuna badago ikusi, eta egotekotan atera.
2. x faktore komunik ez badago edota nahiz eta egon bigarren maila baino handiagoko
ekuazio bat geratzen jarraitzen bazaigu, Ruffiniren bidez faktorizatu egin behar da
bigarren mailako ekuazio bat lortu arte.
3. Bigarren mailako ekuazioa lortu ondoren, formularekin askatu.
4. Erroak idatzi, erroak1, 2 eta 3 puntutuetatik lortutakoak izango dira.
5. Polinomioafaktorizatutaberidatzi,horretarakoaurrekopuntuanlorturikoerroei ikurra
aldatubehardiegu.Adibidez,erroak -2eta 1 badira, polinomioa faktorizatuta (x+2)(x-
1) moduan jarriko dogu.
ADIBIDEAK
𝑥3 + 4𝑥2 + 5𝑥 = 0
Faktore komuna x:
𝑥 ∙ ( 𝑥2 + 4𝑥 − 5) = 0
{
𝑥1 = 0
𝑥2 + 4𝑥 − 5 = 0 {
𝑥2 = 1
𝑥3 = −5
Bigarren mailako ekuazio
modura askatu.
𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0
Ruffini erabiliz deskonposatu,
bigarren mailako ekuazio bat
lortu arte:
1 2 − 1 − 2
1 1 3 2
1 3 2 0
( 𝑥 − 1)( 𝑥2 + 3𝑥 + 2) = 0
{
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥1 = 1
𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 {
𝑥2 = −1
𝑥3 = −2
2𝑥4 + 𝑥3 − 8𝑥2 − 𝑥 + 6 = 0
Ruffini erabilizdeskonposatu
bigarrenmailakoekuaziobat
lortu arte:
2 1 − 8 − 1 6
1 2 3 − 5 − 6
2 3 − 5 − 6 0
-1 −2 − 1 6
2 1 − 6 0
( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1)(2𝑥2 + 𝑥 − 6)
𝑥 − 1 = 0 → 𝑥 = 1
𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −1
2𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 → {
𝑥 = 3
2⁄
𝑥 = −2

EKUAZIO IRRAZIONALAK
Ekuazio irrazionalak ezezaguna erro baten barruan duten ekuazioak dira.
1. Erroa duen gaia bakandu atal batean (erro bat baino gehiago badaude banan-banan
bakanduko ditugu).
2. Bi atalak (gaiak elkartuta) bi berretzailera berretuko dira (erroa desagerrarazteko);
KONTUZ!! normalean atal batean biderkadura nabarmenak aplikatu beharko dugu.
3. Berretu ostean, lortutako ekuazioa ebatziko dugu.
4. Beste errorik geratzen bada 1 puntitik haurrera dena errekipatuko dogu.
5. Lorturiko soluzioak egiaztatu behar ditugu hasieran emandako ekuazioan.
ADIBIDEAK:
√𝟑𝒙 − 𝟓 + 𝟏 = 𝒙
√3𝑥 − 5 = 𝑥 − 1
(√3𝑥 − 5)
2
= ( 𝑥 − 1)2
3𝑥 − 5 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1
𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 3𝑥 + 5 = 0
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0{
𝑥 = 3
𝑥 = 2
𝐸𝐺𝐼𝐴𝑍𝑇𝐴𝑃𝐸𝑁𝐴:
𝑥 = 3 → √3 ∙ 3 − 5 + 1 = 3
√4 + 1 = 3
3 = 3
𝑥 = 2 → √3 ∙ 2 − 5 + 1 = 2
√1 + 1 = 2
2 = 2
√𝟐𝒙 − 𝟑 + √𝒙 + 𝟕 = 𝟒
√2𝑥 − 3 = 4 − √𝑥 + 7
(√2𝑥 − 3)
2
= (4 − √𝑥 + 7)
2
2𝑥 − 3 = 42 − 2 ∙ 4 ∙ √𝑥 + 7 + (√𝑥+ 7)
2
2𝑥 − 3 = 16 − 8√𝑥 + 7 + 𝑥 + 7
8√𝑥 + 7 = 16 + 𝑥 + 7 − 2𝑥 + 3
8√𝑥 + 7 = 26 − 𝑥
(8√𝑥 + 7)
2
= (26 − 𝑥)2
64( 𝑥 + 7) = 676 − 52𝑥 + 𝑥2
64𝑥 + 448 = 676 − 52𝑥 + 𝑥2
𝑥2 − 116𝑥 + 228 = 0{
𝑥 = 114
𝑥 = 2
𝐸𝐺𝐼𝐴𝑍𝑇𝐴𝑃𝐸𝑁𝐴:
𝑥 = 114 → √2 ∙ 114 − 3 + √114 + 7 = 4
15 + 11 = 4
26 ≠ 4
𝑥 = 2 → √2 ∙ 2 − 3 + √2 + 7 = 4
1 + 3 = 4
4 = 4

EKUAZIO SISTEMAK
EKUAZIO LINEALAK (Lehengo mailakoak)
{
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑎2 𝑥+ 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
Non a1, a2 b1 eta b2 zenbaki errealak diren.
Sistemaren emaitza zenbaki pare (x,y) bat da, sistemaren ekuazio biak baieztaten dituenan.
Hiru modu desberdin daude sistema mota hauek ebazteko:
 ORDEZKAPEN:
o Ekuaziobietarikobateanaldagai bat askatzenda
(normalean errezen dagoana).
o Aurreko atalean lortutako adierazpena veste
ekuazioanordezkatzendogu(honela, ezezagun
bateko ekuazio bat lortze dugu).
o Ekuazio hau ebazten dogu.
o Aldagaiarenbalioa lortu ondoren, balio hori 1
puntuanlortutakoadierazpenenanordezkatzen
dogu veste aldagaiaren balioa jakiteko.
{
4𝑥 + 3𝑦 = 18 (1)
5𝑥 − 6𝑦 = 3 (2)
(1) ekuazioan x bakantzen dogu: 𝑥 =
18−3𝑦
4
x-en balio hori (2) ekuazioan ordezkatu eta ebatzi :
5 (
18 − 3𝑦
4
) − 6𝑦 = 3 →
90 − 15𝑦
4
− 6𝑦 = 3 →
90 − 15𝑦
4
−
24𝑦
4
=
12
4
→ 90 − 15𝑦 − 24𝑦 = 12 → 𝒚 = 𝟐
P Lorturikoy-ren balioa (1) ekuazioanordezkatu, x-enbalio alortzeko:
𝑥 =
18 − 3 ∙ 2
4
→ 𝑥 =
12
4
→ 𝒙 = 𝟑
 BERDINKETA:
o Ekuaziobietanaldagaiberdina askatzen dogu.
o Lorturiko adierazpen biak berdintzen ditugu.
o Lorturiko lehenengomailako ekuazioa ebatzi .
o Ezezagunaren balioa lortuondoren, lehenengo
puntuko ekuazio bietariko batean ordezkatu
veste aldagaiaren balioa lortzeko.
 LABURKETA:
o Ezezagun bietako bat ezeztatu behar dogu.
o Horretarako, ekuazioa bat o biak zenbaki
bategaitikbiderkatzen dogu, bi ekuazioetan x
edo y-ren koefizienteak berdinak baina kontrako
ikurragaz lortzeko asmoz.
o Bi ekuazioen gehiketa eginez, ezezagun bateko
ekuazio berri bat lortuko dugu. Askatu.
o Ezezagunaren balioa lortuondoren, hasierako
ekuazio bietariko batean ordezkatu veste
aldagaiaren balioa lortzeko.
{
4𝑥 + 3𝑦 = 18 (1)
5𝑥 − 6𝑦 = 3 (2)
x askatu (1) ekauzioan: 𝑥 =
18−3𝑦
4
x askatu (2) ekauzioan: 𝑥 =
3+6𝑦
5
P Adierazpen biak berdindu: 𝑥 = 𝑥 →
18−3𝑦
4
=
3+6𝑦
5
Ebatzi: 5(18 − 3𝑦) = 4(3+ 6𝑦) → 90 − 15𝑦 = 12 + 24𝑦 →
−15𝑦 − 24𝑦 = 12 − 90 → −39𝑦 = −78 → 𝒚 = 𝟐
Lorturikoy-ren balioa (1) ekuazioanordezkatu, x-enbalio alortzeko:
𝑥 =
3 + 6 ∙ 2
5
→ 𝑥 = 3
{
(4𝑥 + 3𝑦 = 18)∙ 2 (1)
5𝑥 − 6𝑦 = 3 (2)
Y anulatzekolehenengo ekuazioa bigaitik bidertu behar dogu:
{
8𝑥 + 6𝑦 = 36
5𝑥 − 6𝑦 = 3
→ 13𝑥 = 39 → 𝒙 = 𝟑
Lorturiko x-enbalioa (1) edo(2) ekuazioan ordezkatu, y-ren balio
alortzeko:
4 ∙ 3 + 3𝑦 = 18 → 𝒚 = 𝟐

EKUAZIO EZ-LINEALAK:
Sistema hauetan ekuazio bat edo biak ez dira linealak. Hauek ebazteko 2. mailako ekuazioak
ebazteko erabiltzen ditugun metodoak eta sistema linealak aplikatuko ditugu.
{
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑐2
{
𝑎1 𝑥2 + 𝑏1 𝑦2 = 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
EBAZPENA
1. Mota honetakosistemakebazteko leheniketabehinlaburketamétodoerabilitaaskatu
daitekezan aztertuko dogu.
2. Horrelaez bada,ordezkapenmétodoerabilibeharkodogu.Hauda,x edo y bakanduko
ditugu ekuazio batean (bietako errezenean).
3. Bestean ordezkatuko dugu eta ekuazioa murriztu.
4. Ekuazioa ebatzi.
5. Amaitzeko bakandutako ekuazioan aurkitutako balioak ordezkatuko ditugu beste
ezezaguna kalkulatzeko.
ADIBIDEA:
{
𝑥2 + 𝑦2 = 74
2𝑥2 − 3𝑦2 = 23
LABURKETA:
{
( 𝑥2 + 𝑦2 = 74)(−2)
2𝑥2 − 3𝑦2 = 23
{
−2𝑥2 − 2𝑦2 = −148
2𝑥2 − 3𝑦2 = 23
−5𝑦2 = −125
𝑦2 = 25
𝑦 = ±5
𝒚 = 𝟓 → 𝑥2 + 52 = 74 → 𝒙 = ±𝟕
𝒚 = −𝟓 → 𝑥2 + (−5)2 = 74 → 𝒙 = ±𝟕
{
2𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥2 + 𝑦2 = 2
ORDEZKAPENA:
2𝑥 + 𝑦 = 3 → 𝑦 = 3 − 2𝑥
𝑥2 + (3 − 2𝑥)2 = 2
𝑥2 + 9 − 12𝑥 + 4𝑥2 = 2
5𝑥2 − 12𝑥 + 7 = 0 { 𝑥 = 7
5⁄
𝑥 = 1
𝒙 =
𝟕
𝟓
→ 𝑦 = 3 − 2 ∙
7
5
→ 𝒚 =
𝟏
𝟓
𝒙 = 𝟏 → 𝑦 = 3 − 2 ∙ 1 → 𝒚 = 𝟏

INEKUAZIOAK
< →Txikiago
≤ →Txikiago edo berdin
> →Handiago
≥ →Handiago edo berdin
Ezezagun bateko inekuazioak adierazteko 3 modu:
INEKUAZIO TARTEKA GRAFIKOKI
{ 𝒙 ∈ 𝑹/ 𝒙 < 𝟓} (−∞,5)
{ 𝒙 ∈ 𝑹/ 𝒙 ≤ −𝟑} (−∞,−3]
{ 𝒙 ∈ 𝑹/ 𝒙 > −𝟐} (2, ∞)
{ 𝒙 ∈ 𝑹/ 𝒙 ≥ 𝟒} [4,∞)
{ 𝒙 ∈ 𝑹/ −𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟒} (−2,4]
{ 𝒙 ∈ 𝑹/ −𝟖 ≥ 𝒙 > 𝟐} (−∞,−8] ∪ (2,∞)
EZEZAGUN BATEKO LEHENENGO MAILAKO INEKUAZIOAK
Ezezagunbateko inekuaziobat ebazteko ekuazio linealetako arau berdinak jarraituko ditugu,
kontutan izanda inekuazioaren bi atalak zenbaki negatibo batekin biderkatzen edo
zatitzerakoan inekuazioaren ikurra aldatu egiten dela
ADIBIDEAK
5𝑥 − 3
6
+
𝑥 − 5
18
<
𝑥 + 1
3
15𝑥 − 9
18
+
𝑥 − 5
18
<
6𝑥 + 6
18
15𝑥 − 9 + 𝑥 − 5 < 6𝑥 + 6
15𝑥 + 𝑥 − 6𝑥 < 6 + 5 + 9
10𝑥 < 20
𝒙 < 𝟏𝟎
2( 𝑥 − 3) ≤ 4𝑥 + 2
2𝑥 − 6 ≤ 4𝑥 + 2
2𝑥 − 4𝑥 ≤ 2 + 6
−𝟐𝑥 ≤ 8
𝑥 ≥ 8
−2⁄
𝒙 ≥ −𝟒

EZEZAGUN BATEKO LEHENENGO MAILAKO INEKUAZIO SISTEMAK
Ezezagunbateko inekuazio-sistemabatebazteko,inekuaziobakoitzabanan-bananebazten da.
Sistemaren ebazpenak sistem
aren inekuazio bakoitza betetzen duten zenbaki erreal guztiek osatzen dituzte Inekuazio
sistema bat ebazteko pauso hauei jarraitu behar diezue:
1. Inekuazio bakoitza ebatziko dugu.
2. Soluzioak adieraziko ditugu zuzen errealean
3. Sistemaren soluzioa soluzioen arteko tarte komuna izango da (sistemaren inekuazio
guztiak egiaztatzen dituzten baloreak).
{
2𝑥 + 3 ≥ 1 (𝑎)
−𝑥 + 2 ≥ −1 (𝑏)
( 𝑎) 2𝑥 + 3 ≥ 1
2𝑥 ≥ −2
𝑥 ≥ −1
( 𝑏) − 𝑥 + 2 ≥ −1
−𝑥 ≥ −3
𝑥 ≤ 3

Ekuazioen laburpena

Recommended

Recommended

More Related Content

More from Aitziber Ojanguren

More from Aitziber Ojanguren (10)

Ekuazioen laburpena