Presentasjon til R1. I denne presentasjonen ser vi på ulike geometriske steder. Vi ser også på noen bevis som tar utgangspunkt i Euklids fem postulater.

1. Grunnlaget
Euklid definerte et punkt til å være
«det som ikke har deler». En linje
definerte han til å være «en lengde
uten bredde».
Et linjestykke har et sluttpunkt og et
endepunkt. Det er med
andre ord en endelig del
av en linje.
En ståle er en del av en linje som er
Figur: Euklid av avgrenset av ett punkt.
Aleksandria (ca
En linje er uendelig i begge
325-265 f.Kr)
retninger.
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

2. Vinkel
En vinkel består av to stråler som starter i et felles punkt.
Dette punktet kaller vi for vinkelens toppunkt.
Figur: En vinkel består av to stråler som har felles startpunkt
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

3. Vinkel
En vinkel består av to stråler som starter i et felles punkt.
Dette punktet kaller vi for vinkelens toppunkt.
Figur: En vinkel består av to stråler som har felles startpunkt
Vi kan måle vinkelen. Det gjør vi ved at vi (av historiske
grunner) deler sirkelen inn i 360 enheter (som vi kaller
grader). Vinkelmålet er da antall enheter det er mellom
vinkelbeina.
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

4. Geometriske steder
Mengden av punkter som
tilfredsstiller et bestemt
krav, kaller vi et geometrisk
sted.
Figur: At a park, av
tanakawho på FlickrCC.
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

5. Normal gjennom et gitt punkt
Gitt en linje l og et punkt P utenfor l. Vi kan da konstruere
en linje gjennom P som står normalt på l.
P
Figur: Normal til linje gjennom punkt
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

6. Midtnormal
Gitt to punkter A og B. En midtnormal er definert som de
punktene som ligger like langt fra A som fra B.
A B
Figur: Midtnormal til AB
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

7. Halveringslinje
Gitt to rette linjer som skjærer hverandre. Halveringslinje er
definert som alle punktene som ligger like langt fra hver av
de to linjene.
Figur: Halveringslinje
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

8. Parallelle linjer
Gitt en rett linje. Parallelle linjer er definert som de
punktene som ligger i en bestemt avstand fra linjen.
d=konstant
Figur: De to linjene er parallelle og har en fast avstand fra
hverandre.
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

9. Sirkel
Hva er en sirkel? Beskriv dette geometriske stedet!
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

10. Sirkel
Hva er en sirkel? Beskriv dette geometriske stedet!
Gitt et punkt P. Mengden av punkter som ligger i en
bestemt avstand fra P, kaller vi en sirkel.
r
P
Figur: Sirkelen
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

11. Geometriske setninger
Anta m og n er parallelle og at en linje krysser over m og n:
v
m
b
u
n
a
Hva kan vi si om vinklene her?
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

12. Euklids fem postulater
i) Det er alltid mulig å trekke en rett linje mellom to
punkter
ii) Det er alltid mulig å forlenge en endelig, rett linje til en
uendelig, rett linje
iii) Det er mulig å beskrive en sirkel med et hvilke som helst
sentrum og en hvilke som helst distanse (radius)
iv) Alle rette vinkler er like (90°)
v) Anta at en rett linje krysser to rette linjer. Anta videre
at dette skjer slik at de to indre vinklene er mindre enn
to rette vinkler. Hvis de rette linjene forlenges, vil de
skjære hverandre i et punkt på den siden der summen
av de indre vinklene er mindre enn to rette vinkler.
Vi sier at to rette linjer som ikke krysser hverandre er
parallelle.
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

13. Euklids femte postulat
v
m
u l
Figur: Her er u + v < 90◦ . Da sier det femte postulatet at l og m
skjærer hverandre.
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

14. Euklids proposisjon 29
Dersom en linje l krysser to parallelle linjer m og n, så
danner l like store vinkler med begge linjene m og n.
Bevis:
Anta m og n er parallelle, og at l krysser disse slik figuren
illustrerer. Vi vil vise at vinklene u og v er like store.
La a og b være nabovinklene til henholdsvis u og v. Da gir
Euklids femte postulat at u + b er to rette vinkler, dvs 180◦.
Ellers ville m og n ha skjært hverandre i et punkt. Men da
ville de ikke ha vært parallelle.
v
Videre er v + b = 180◦. Vi får derfor: m
b
u + b = v + b = 180 ◦
u n
Dette gir at u = v. a
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

15. Toppvinkler
Dersom to linjer krysser hverandre i et punkt, så danner
disse fire vinkler. Da er de motstående vinklene like.
b
c a
d
Figur: Toppvinkler er like: a = c og b = d.
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

16. Toppvinkler
Dersom to linjer krysser hverandre i et punkt, så danner
disse fire vinkler. Da er de motstående vinklene like.
b
c a
d
Figur: Toppvinkler er like: a = c og b = d.
Bevis:
Vi har a + b og b + c begge er lik to rette vinkler. Ved det
fjerde postulatet må derfor disse være like. Vi har altså:
a + b = b + c.
Trekker vi fra b på begge sider får vi a = c. På samme måte
viser vi at b = d.
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

17. Vinkelsummen i en trekant
Vinkelsummen i en trekant er alltid 180◦
Bevis: I trekanten ABC tegner tegner vi en linje som er
parallell med AB og forlenger BC og AC:
w
v
u
C
A B
Figur: Summen av vinklene i en trekant er 180◦
Tor Espen Kristensen Geometriske deler

18. Vinkelsummen i en trekant
w
v
u
C
A B
Figur: Summen av vinklene i en trekant er 180◦
På grunn av parallellitet og felles vinkelbein må to av
vinklene u og v være like henholdsvis ∠CAB og ∠ABC (dette
er Euklids proposisjon 29). Videre har vi at w og ∠BCA er
toppvinkler og derfor like. Da må altså
∠CAB + ∠ABC + ∠BCA = u + v + w = 180◦ .
Vi får 180◦ siden u + v + w er to rette vinkler.
Tor Espen Kristensen Geometriske deler