Avstander i rommet

Avstander i rommet

Stord Vidaregåande skule

Høsten 2009

Tor Espen Kristensen Avstander i rommet

Minner om:

Dersom P = (a, b, c ) og Q = (x , y , z) så er avstanden
mellom punkta gitt som

d (P , Q ) = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c )2


Minner om:

Dersom P = (a, b, c ) og Q = (x , y , z) så er avstanden
mellom punkta gitt som

d (P , Q ) = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c )2

Spørsmål
Hva er avstanden mellom
en linje og et punkt?
to linjer?
et punkt og et plan?
To plan?
En linje og et plan?


Avstanden mellom linje og punkt

Gitt et punkt P og en linje l som ikke går gjennom
punktet. Hva er da avstanden mellom punktet og linja?




⎧x = 1 + 2t
⎪
⎪
⎪
⎪
l ⎨y = 3 − t og P = (1, 2, 4)
⎪
⎪
⎪z = 7 − 4t
⎪
⎩

P

⃗
v




⎧x = 1 + 2t
⎪
⎪
⎪
⎪
l ⎨y = 3 − t og P = (1, 2, 4)
⎪
⎪
⎪z = 7 − 4t
⎪
⎩

P

⃗
v

Q




⎧x = 1 + 2t
⎪
⎪
⎪
⎪
l ⎨y = 3 − t og P = (1, 2, 4)
⎪
⎪
⎪z = 7 − 4t
⎪
⎩

P

⃗
v

Q = (1 + 2t , 3 − t , 7 − 4t )



Q = (1 + 2t , 3 − t , 7 − 4t ), P = (1, 2, 4) og v = [2, −1, −4]
⃗


⃗
Q = (1 + 2t , 3 − t , 7 − 4t ), P = (1, 2, 4) og v = [2, −1, −4]

PQ = [1 + 2t − 1, 3 − t − 2, 7 − 4t − 4] = [2t , 1 − t , 3 − 4t ]
→

⃗
→
Vi får at v ⋅ PQ = 0 siden de står normalt på hverandre. Det
vil si:
2 ⋅ 2t − 1 ⋅ (1 − t ) − 4 ⋅ (3 − 4t ) = 0
⇕
4t − 1 + t − 12 + 16t = 0
⇕
13
t=
21


⃗
Q = (1 + 2t , 3 − t , 7 − 4t ), P = (1, 2, 4) og v = [2, −1, −4]

PQ = [1 + 2t − 1, 3 − t − 2, 7 − 4t − 4] = [2t , 1 − t , 3 − 4t ]
→

⃗
→
Vi får at v ⋅ PQ = 0 siden de står normalt på hverandre. Det
vil si:
2 ⋅ 2t − 1 ⋅ (1 − t ) − 4 ⋅ (3 − 4t ) = 0
⇕
4t − 1 + t − 12 + 16t = 0
⇕
13
t=
21
26 8 11
Det vil si at PQ = , ,
21 21 21

26 8 11
PQ = , ,
21 21 21
Avstanden mellom P og linja er derfor
√
→ 1 √ 2 861
PQ = 26 + 82 + 112 = ≈ 1,4
21 21



Mer teoretisk:
Vi kan finne en formel for avstanden mellom en linje og et
punkt ved å finne to uttrykk for arealet til en trekant
dannet av retningsvektoren til linjen og punktet P:

⃗
P 1
areal = v ⋅h
2
h og

1 ⃗
v areal = ⃗
QP × v
2
l Q



Mer teoretisk:
Vi kan finne en formel for avstanden mellom en linje og et
punkt ved å finne to uttrykk for arealet til en trekant
dannet av retningsvektoren til linjen og punktet P:

⃗
P 1
areal = v ⋅h
2
h og

1 ⃗
v areal = ⃗
QP × v
2
l Q
⃗
→
1 ⃗
⃗ ⃗
1 QP × v
⃗
v ⋅ h = QP × v ⇔ h =
2 2 v


Eksempel

⎧x = 1 + 2t
⎪
⎪
⎪
⎪
l ⎨y = 3 − t P = (1, 2, 4)
⎪
og
⎪
⎪z = 7 − 4t
⎪
⎩


Eksempel

⎧x = 1 + 2t
⎪
⎪
⎪
⎪
l ⎨y = 3 − t P = (1, 2, 4)
⎪
og
⎪
⎪z = 7 − 4t
⎪
⎩
Her kan vi la Q = (1, 3, 7). Dette gir QP = [0, −1, −3]. Videre
→
⃗
er v = [2, −1, −4].
Vi får
⃗
QP × v = [1, −6, 2]
→

Dette gir oss:
√ √
⃗
→
d (P , l ) = =√ = √ ≈ 1, 4
QP × v 1 + 36 + 4 41
⃗
v 4 + 1 + 16 21


Avstanden mellom to linjer
⃗ ⃗
Gitt to linjer med retningsvektorer henholdsvis u og v og
et punkt på hver av linjene (henholdsvis A og B). Hva er da
avstanden mellom linjene?
⃗
v
Q
B
A
⃗
P
u
→
Må finne P og Q slik at PQ står normalt på begge linjene.

⃗
→ →
OP = OA + su
⃗
→ →
OQ = OB + t v

⃗ ⃗ ⃗ ⃗
→ → → → → →
PQ = PO + OQ = OB − OA + t v − su = AB + t v − su

Eksempel

Finn avstanden mellom linjene
⎧x = 3 + t
⎪ ⎧x = s
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
l = ⎨1 + t og m ⎨y = 4 + s
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪2t
⎪ ⎪z = 1
⎪
⎩ ⎩
⃗ ⃗
Her er u = [1, 1, 2] og v = [1, 1, 0]. Vi kan bruke punkta
B = (3, 1, 0) og A = (0, 4, 1).
Vi får
⃗ ⃗
→ →
PQ = AB + t v − su
= [3, −3, −1] + t [1, 1, 2] + s[1, 1, 0]
= [3 + t + s, −3 + t + s, −1 + 2t ]


Eksempel

Finn avstanden mellom linjene
⎧x = 3 + t
⎪ ⎧x = s
⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
l = ⎨1 + t og m ⎨y = 4 + s
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪2t
⎪ ⎪z = 1
⎪
⎩ ⎩
⃗ ⃗
Her er u = [1, 1, 2] og v = [1, 1, 0]. Vi kan bruke punkta
B = (3, 1, 0) og A = (0, 4, 1).
Vi får
⃗ ⃗
→ →
PQ = AB + t v − su
= [3, −3, −1] + t [1, 1, 2] + s[1, 1, 0]
= [3 + t + s, −3 + t + s, −1 + 2t ]
⃗
Vi bruker så at denne vektorene må stå normalt på u og v . ⃗
Merk at det er nye tall s og t i dette uttrykket (i forhold til
parameterframstillingene).

Eksempel

PQ = [3 + t + s, −3 + t + s, −1 + 2t ]
→
⃗ ⃗
u = [1, 1, 2] og v = [1, 1, 0]
Vi får:

⃗ ⃗
→ →
u ⊥ PQ v ⊥ PQ
⇕ ⇕
3 + t + s − 3 + t + s − 2 + 4t = 0 3+t +s−3+t +s =0
⇕ ⇕
6t + 2s = 2 2t + 2s = 0
Subtraherer vi de to likningene fra hverandre får vi:
1
4t = 2 ⇔ t =
2
Dette gir igjen at s = −t = − 1 .
2

Eksempel

Vi får med andre ord:

PQ = [3, −3, 0]
→

→ √ √
Dette gir oss PQ = 9+9 =3 2


Avstanden fra punkt til plan

Gitt et plan Σ med likningen ax + by + cz = d og et punkt
P = (x1 , y1 , z1 ) utenfor planet.




Hva kan du si om vektoren

⃗
n= √ ,√ ,√
a b c
a2 + b2 + c 2 a2 + b2 + c 2 a2 + b2 + c 2




Hva kan du si om vektoren

⃗
n= √ ,√ ,√
a b c
a2 + b2 + c 2 a2 + b2 + c 2 a2 + b2 + c 2

Den står normalt på planet og har lengde lik 1.



La Q = (x , y , z) være fotpunktet til P ned på planet. Vi
→
ønsker å finne lengden h = PQ .

⃗
→
Forklar hvorfor PQ = ±h ⋅ n.



La Q = (x , y , z) være fotpunktet til P ned på planet. Vi
→
ønsker å finne lengden h = PQ .

⃗
→
Forklar hvorfor PQ = ±h ⋅ n.

⃗ ⃗
→
Fordi PQ n (begge står normalt på Σ. Siden lengden til n
⃗
→ →
er 1, og lengden til PQ er h, så må PQ = ±h ⋅ n.



⃗
→
Bruk dette til å vise at PQ ⋅ n = ±h



⃗
→

Finn skalarproduktet ved å bruke vektorkoordinater.



⃗
→

Finn skalarproduktet ved å bruke vektorkoordinater.

→ →
PQ ⋅ n =

[x − x1 , y − y0 , z − z0 ] ⋅ √ ,√ ,√
a b c
a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c 2
a(x − x1 ) + b(y − y0 ) + c (z − z0 )
= √
a2 + b2 + c 2

√ √
ax + by + cz + ax1 + by1 + cz1 d + ax1 + by1 + cz1
= =
a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c 2



Setning
Avstanden fra punktet P = (x1 , y1 , z1 ) til planet med
likningen Σ ax + by + cz = d er gitt ved:

d (P , Σ) = √
ax1 + by1 + cz1 + d
a2 + b2 + c 2


Avstander i rommet

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

More from Tor Espen Kristensen

More from Tor Espen Kristensen (19)

Avstander i rommet