SlideShare a Scribd company logo
1 of 85
Download to read offline
R1 Våren 2008

    Tor Espen
    Kristensen

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3
                  Eksamen R1, Våren 2008
Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
                      Stord Vidaregåande skule
R1 Våren 2008
                  Oppgave 1 a)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Deriver f (x) = x 2 · ln x
Oppgave 1
a)
b)
c)
d)
e)


Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 1 a)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Deriver f (x) = x 2 · ln x
Oppgave 1
a)

                  Bruker produktregelen: (u · v) = u v + uv :
b)
c)
d)
e)
                                                 1
                       f (x) = 2x ln x + x 2 ·     = 2x ln x + x
Oppgave 2
                                                 x
Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 1 b)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Utfør polynomdivisjonen
Oppgave 1
a)


                      (x 3 − 4x 2 + x + 6) : (x − 2)
b)
c)
d)
e)


Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 1 b)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Utfør polynomdivisjonen
Oppgave 1
a)


                      (x 3 − 4x 2 + x + 6) : (x − 2)
b)
c)
d)
e)


Oppgave 2

                      (x 3 − 4x 2 + x + 6) : (x − 2) = x 2 − 2x − 3
Oppgave 3

Oppgave 4
                       x 3 − 2x 2
alternativ I

Oppgave 4
                          − 2x 2 + x + 6
alternativ II

Oppgave 5
                          −2x 2 + 4x
                                − 3x + 6
                                −3x + 6
                                       0
R1 Våren 2008
                  Oppgave 1 c)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Bestem grenseverien
Oppgave 1
a)

                          x 2 − 64
b)
c)
                      lim
d)
                      x→8 2x − 16
e)


Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 1 c)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Bestem grenseverien
Oppgave 1
a)

                           x 2 − 64
b)
c)
                       lim
d)
                       x→8 2x − 16
e)


Oppgave 2
                  Når vi har slike « 0 » tilfeller, kan vi se om en faktorisering
                                     0
Oppgave 3
                  hjelper:
Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 1 c)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Bestem grenseverien
Oppgave 1
a)

                           x 2 − 64
b)
c)
                       lim
d)
                       x→8 2x − 16
e)


Oppgave 2
                  Når vi har slike « 0 » tilfeller, kan vi se om en faktorisering
                                     0
Oppgave 3
                  hjelper:
Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4

                           x 2 − 64
alternativ II
                                          (x − 8)(x + 8)
                                    = lim
                       lim
Oppgave 5
                       x→8 2x − 16           2(x − 8)
                                      x→8
                                          x +8     8+8
                                    = lim       =
                                            2        2
                                      x→8
                                    =8
R1 Våren 2008
                  Oppgave 1 d)
     Tor Espen
     Kristensen
                  Skriv så enkelt som mulig
Oppgave 1
a)

                                                   x
b)

                      lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg
c)

                                                   y2
d)
e)


Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 1 d)
     Tor Espen
     Kristensen
                  Skriv så enkelt som mulig
Oppgave 1
a)

                                                   x
b)

                      lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg
c)

                                                   y2
d)
e)


Oppgave 2

Oppgave 3
                   Logaritmereglene:                    Definisjonen til lg a:
Oppgave 4
alternativ I
                      lg(a · b) = lg a + lg b
                                                            10lg a = a
Oppgave 4
                         a
alternativ II
                      lg = lg a − lg b
                         b
Oppgave 5

                      lg ar = r lg a
R1 Våren 2008
                  Oppgave 1 d)
     Tor Espen
     Kristensen
                  Skriv så enkelt som mulig
Oppgave 1
a)

                                                   x
b)

                      lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg
c)

                                                   y2
d)
e)


Oppgave 2

Oppgave 3
                   Logaritmereglene:                    Definisjonen til lg a:
Oppgave 4
alternativ I
                      lg(a · b) = lg a + lg b
                                                            10lg a = a
Oppgave 4
                         a
alternativ II
                      lg = lg a − lg b
                         b
Oppgave 5

                      lg ar = r lg a

                                                  x
                      lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg
                                                  y2
                                  = lg x + 2 lg y − 2 lg y + lg x − 2 lg y
                                                           x
                                  = 2 lg x − 2 lg y = 2 lg
                                                           y
Oppgave e) f (x) = xe−x
  R1 Våren 2008

     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at f (x) = (1 − x) · e−x . Bruk dette til å finne
Oppgave 1
                  eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .
a)
b)
c)
d)
e)


Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
Oppgave e) f (x) = xe−x
  R1 Våren 2008

     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at f (x) = (1 − x) · e−x . Bruk dette til å finne
Oppgave 1
                  eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .
a)
b)
c)

                  Vi må her bruke produktregelen for derivasjon sammen
d)
e)

                  med kjerneregelen. Vi har nemlig at (e−x ) = −e−x .
Oppgave 2
                  Vi får:
Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I
                      f (x) = 1 · e−x + x · (−e−x ) = (1 − x) · e−x
Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
Oppgave e) f (x) = xe−x
  R1 Våren 2008

     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at f (x) = (1 − x) · e−x . Bruk dette til å finne
Oppgave 1
                  eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .
a)
b)
c)

                  Vi må her bruke produktregelen for derivasjon sammen
d)
e)

                  med kjerneregelen. Vi har nemlig at (e−x ) = −e−x .
Oppgave 2
                  Vi får:
Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I
                      f (x) = 1 · e−x + x · (−e−x ) = (1 − x) · e−x
Oppgave 4
alternativ II
                  Fortegnslinjen til den deriverte:
Oppgave 5
                                                      1
                     e−x
                  (1 − x)
                    f (x)
                  Av fortegnslinjen ser vi at grafen til f har et toppunkt i
                  (1, f (1)) = (1, e−1 ) ≈ (1, 0,37)
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 a)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at vektorene u = [a, b] og v = [−b, a] står vinkelrett på
Oppgave 1
                  hverandre.
Oppgave 2
a)
b)
c)
d)
e)


Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 a)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at vektorene u = [a, b] og v = [−b, a] står vinkelrett på
Oppgave 1
                  hverandre.
Oppgave 2
a)

                  Vi vet at u ⊥ v ⇔ u · v = 0. Sjekker derfor
b)
c)

                  skalarproduktet:
d)
e)


Oppgave 3
                      u · v = [a, b] · [−b, a] = −ab + ab = 0
Oppgave 4
alternativ I

                  Dette viser at de står vinkelrett på hverandre.
Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 b)
     Tor Espen
     Kristensen


                   Punktene A(1, 0), B(5,1)
Oppgave 1
                                                     Forklar at
                   og C(3,4) er hjørner i en
Oppgave 2
                                                     x = 3 − t ∧ y = 4 + 4t er
a)

                   trekant. Fotpunktene til
b)

                                                     en parameterframstilling
c)

                   høydene fra hjørnene A, B
d)

                                                     for linja gjeonnom C og
e)

                   og C er F1 , F2 og F3 . Se
Oppgave 3
                                                     F3 .
                   skissen nedenfor.
Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II
                                   C
                    4
Oppgave 5

                    3
                              F2            F1
                    2
                                                 B
                    1
                         A             F3
                          1    2   3   4         5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 b)
     Tor Espen
     Kristensen


                   Punktene A(1, 0), B(5,1)
Oppgave 1
                                                     Forklar at
                   og C(3,4) er hjørner i en
Oppgave 2
                                                     x = 3 − t ∧ y = 4 + 4t er
a)

                   trekant. Fotpunktene til
b)

                                                     en parameterframstilling
c)

                   høydene fra hjørnene A, B
d)

                                                     for linja gjeonnom C og
e)

                   og C er F1 , F2 og F3 . Se
Oppgave 3
                                                     F3 .
                   skissen nedenfor.
Oppgave 4
alternativ I
                                                     Vi vet at
                                                     −→ −
                                                      −       →
Oppgave 4
                                                     CF3 ⊥ AB = [4, 1]. Dette
alternativ II
                                   C
                                                     viser oss at [−1, 4] er en
                    4
Oppgave 5

                                                     retningsvektor til linja
                    3
                              F2            F1       (siden denne er normal på
                                                     −→
                    2
                                                     AB jf oppg a).
                                                 B
                    1
                         A             F3
                          1    2   3   4         5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 b)
     Tor Espen
     Kristensen
                                                    Vi får at linja er gitt ved
Oppgave 1

                                                         [x, y] = [3, 4]+t[−1, 4]
Oppgave 2
                                  C
                    4
a)
b)
c)
                                                    Det vil si
                    3
d)
                             F2            F1
e)

                    2
                                                           x =3−t
Oppgave 3

                                                B
Oppgave 4
                                                           y = 4 + 4t
                    1
alternativ I
                        A             F3
Oppgave 4
alternativ II
                         1    2   3   4         5
Oppgave 5




                   v = [−1, 4] l og
                   C(3, 4) ∈ C
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 c)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Finn en parameterframstilling for linja gjennom A og F1 .
Oppgave 1

Oppgave 2
a)
b)
c)
d)
e)


Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 c)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Finn en parameterframstilling for linja gjennom A og F1 .
Oppgave 1

                                                    −→ −     →
                                                     −
Oppgave 2
                                                    AF1 ⊥ BC = [−2, 3]. På
a)
b)

                                                    samme måte som i
c)
d)
                                  C                 oppgave b) får vi at
e)
                    4
Oppgave 3
                                                    u = [3, 2] er en
                    3
Oppgave 4
                             F2                     retningsvektor til linja
                                           F1
alternativ I
                    2                               gjennom A og F1 . Linja er
Oppgave 4
                                                B
alternativ II
                                                    derfor gitt ved
                    1
Oppgave 5
                                                    [x, y] = [1, 0] + s[3, 2]. Det
                         A            F3
                                                    vil si:
                         1    2   3   4         5

                                                           x = 1 + 3s
                                                           y = 2s
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 d)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene
Oppgave 1
                  CF3 og AF1 .
Oppgave 2
a)
b)
c)
d)
e)


Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 d)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene
Oppgave 1
                  CF3 og AF1 .
Oppgave 2
a)

                  De to linjene har parameterframstillinger
b)
c)
d)
e)

                         x =3−t                           x = 1 + 3s
                                               og
Oppgave 3

                         y = 4 + 4t                       y = 2s
Oppgave 4
alternativ I
                  Dette gir oss
Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
                         3 − t = 1 + 3s
                        4 + 4t = 2s

                   Den nederste likningen gir
                   s = 2 + 2t. Dette setter vi inn
                   i den øverste og får:
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 d)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene
Oppgave 1
                  CF3 og AF1 .
Oppgave 2
a)

                  De to linjene har parameterframstillinger
b)
c)
d)
e)

                         x =3−t                           x = 1 + 3s
                                               og
Oppgave 3

                         y = 4 + 4t                       y = 2s
Oppgave 4
alternativ I
                  Dette gir oss
Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
                         3 − t = 1 + 3s                  3 − t = 1 + 3(2 + 2t)
                        4 + 4t = 2s
                                                          −7t = 4
                   Den nederste likningen gir
                   s = 2 + 2t. Dette setter vi inn
                                                                    4
                   i den øverste og får:                      t=−
                                                                    7
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 d)
     Tor Espen
     Kristensen

Oppgave 1
                        x =3−t
Oppgave 2
a)
                        y = 4 + 4t
b)
c)
d)


                  Setter t = − 4 inn og får
e)

                               7
Oppgave 3

Oppgave 4
                                     4       25
alternativ I
                       x =3− −           =
                                     7       7
Oppgave 4
alternativ II
                                         4        12
Oppgave 5
                       y =4+4· −             =
                                         7         7
                                                       25 12
                  Altså er skjæringspunktet lik S =            .
                                                        7, 7
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 e)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja
Oppgave 1
                  gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette
Oppgave 2
                  et eksempel på?
a)
b)
c)
d)
e)


Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 e)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja
Oppgave 1
                  gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette
Oppgave 2
                  et eksempel på?
a)
b)

                                                  −→−    →
c)

                  Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2
d)
e)

                  ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S.
Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 e)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja
Oppgave 1
                  gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette
Oppgave 2
                  et eksempel på?
a)
b)

                                                  −→−    →
c)

                  Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2
d)
e)

                  ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S.
Oppgave 3

Oppgave 4
                      −→   25      12       10 5  5
alternativ I
                                                 = [−2, 1]
                      BS =    − 5,    −1 = − ,
Oppgave 4
                           7       7        77    7
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 e)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja
Oppgave 1
                  gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette
Oppgave 2
                  et eksempel på?
a)
b)

                                                  −→−    →
c)

                  Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2
d)
e)

                  ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S.
Oppgave 3

Oppgave 4
                      −→   25      12       10 5  5
alternativ I
                                                 = [−2, 1]
                      BS =    − 5,    −1 = − ,
Oppgave 4
                           7       7        77    7
alternativ II

Oppgave 5
                                −→
                      [−2, 1] · AC = [−2, 1] · [2, 4] = −4 + 4 = 0
                                 −→−   →
                  Dette viser at BS ⊥ AC.
R1 Våren 2008
                  Oppgave 2 e)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja
Oppgave 1
                  gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette
Oppgave 2
                  et eksempel på?
a)
b)

                                                  −→−    →
c)

                  Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2
d)
e)

                  ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S.
Oppgave 3

Oppgave 4
                      −→   25      12       10 5  5
alternativ I
                                                 = [−2, 1]
                      BS =    − 5,    −1 = − ,
Oppgave 4
                           7       7        77    7
alternativ II

Oppgave 5
                                −→
                      [−2, 1] · AC = [−2, 1] · [2, 4] = −4 + 4 = 0
                                 −→−   →
                  Dette viser at BS ⊥ AC.
                  Høydene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.
                  Skjæringspunktet mellom høydene i en trekant kalles
                  trekantens ortosenter.
R1 Våren 2008
                  Oppgave 3 a)
     Tor Espen
     Kristensen
                  Fra en kortstokk trekker vi tilfeldig ut 5 kort. I flere kortspill
                  kalles disse 5 kortene en hånd.
Oppgave 1

Oppgave 2
                  Hvor mange mulige korthender er det?
Oppgave 3
a)
b)
c)

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 3 a)
     Tor Espen
     Kristensen
                  Fra en kortstokk trekker vi tilfeldig ut 5 kort. I flere kortspill
                  kalles disse 5 kortene en hånd.
Oppgave 1

Oppgave 2
                  Hvor mange mulige korthender er det?
Oppgave 3
a)
b)
                  Vi har uordnet utvalg uten tilbakelegging. Antall
c)

                  korthender er derfor
Oppgave 4
alternativ I

                        52
Oppgave 4
                              = 2 598 960
alternativ II
                         5
Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 3 b)
     Tor Espen
     Kristensen
                          A: Korthånden består av 5 spar.
Oppgave 1
                          B: Korthånden består av 5 svarte kort.
Oppgave 2

Oppgave 3
                  Bestem P(A) og P(B)
a)
b)
c)

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 3 b)
     Tor Espen
     Kristensen
                            A: Korthånden består av 5 spar.
Oppgave 1
                            B: Korthånden består av 5 svarte kort.
Oppgave 2

Oppgave 3
                  Bestem P(A) og P(B)
a)
b)
c)
                                             13
                                                  = 1287.
                  Antall gunstige for A er    5
Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
                               antall gunstig     1287
alternativ II
                                                          ≈ 4,95 · 10−4
                      P(A) =                  =
Oppgave 5
                                antall mulig    2 598 960
R1 Våren 2008
                  Oppgave 3 b)
     Tor Espen
     Kristensen
                            A: Korthånden består av 5 spar.
Oppgave 1
                            B: Korthånden består av 5 svarte kort.
Oppgave 2

Oppgave 3
                  Bestem P(A) og P(B)
a)
b)
c)
                                             13
                                                  = 1287.
                  Antall gunstige for A er    5
Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
                               antall gunstig     1287
alternativ II
                                                          ≈ 4,95 · 10−4
                      P(A) =                  =
Oppgave 5
                                antall mulig    2 598 960
                                             26
                                                  = 67 780.
                  Antall gunstige for B er    5


                                                = 67 780
                               antall gunstig
                                                          ≈ 0,025
                      P(B) =                  =
                                antall mulig    2 598 960
R1 Våren 2008
                  Oppgave 3 c)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Finn P(A | B). Er hendelsene A og B uavhengige?
Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3
a)
b)
c)

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 3 c)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Finn P(A | B). Er hendelsene A og B uavhengige?
Oppgave 1

Oppgave 2
                  Siden A ∩ B = A, så får vi
Oppgave 3
a)

                                   P(A ∩ B          4,95 · 10−4
                                             P(A)
b)

                      P(A | B) =           =      =             = 0,0195
c)

                                    P(B)     P(B)      0,025
Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 3 c)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Finn P(A | B). Er hendelsene A og B uavhengige?
Oppgave 1

Oppgave 2
                  Siden A ∩ B = A, så får vi
Oppgave 3
a)

                                   P(A ∩ B          4,95 · 10−4
                                             P(A)
b)

                      P(A | B) =           =      =             = 0,0195
c)

                                    P(B)     P(B)      0,025
Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
                  Vi ser at P(A | B) = P(A), så A og B er avhengig
alternativ II

                  hendelser.
Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 I a)
     Tor Espen
     Kristensen
                    f (x)
Oppgave 1
                       1
Oppgave 2

Oppgave 3
                                                 x
                             1   2   3   4   5
Oppgave 4
                      −1
alternativ I
a)
                      −2
b)
c)

                      −3
Oppgave 4
alternativ II

                   a) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5

                      avgjøre hvor
                      funksjonen f vokser og
                      hvor den avtar.
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 I a)
     Tor Espen
     Kristensen
                                                     Vi ser at f (x) < 0 når
                    f (x)
                                                     x ∈ ←, 1 ∪ 3, → og at
Oppgave 1
                       1
Oppgave 2
                                                     f (x) > 0 når x ∈ 1, 3 .
Oppgave 3
                                                 x       f er voksende i 1, 3
                             1   2   3   4   5
Oppgave 4
                      −1
alternativ I
                                                         f er avtagende i
a)
                      −2
                                                          ←, 1 ∪ 3, →
b)
c)

                      −3
Oppgave 4
alternativ II

                   a) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5

                      avgjøre hvor
                      funksjonen f vokser og
                      hvor den avtar.
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 I b)
     Tor Espen
     Kristensen
                    f (x)
Oppgave 1
                       1
Oppgave 2

Oppgave 3
                                                x
                            1   2   3   4   5
Oppgave 4
                      −1
alternativ I
a)
                      −2
b)
c)

                      −3
Oppgave 4
alternativ II

                   b) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5

                      finne førstekoordinaten
                      til eventuelle topp-,
                      bunn- og vendepunkter
                      på grafen til f .
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 I b)
     Tor Espen
     Kristensen
                                                    Siden f (x) skifter fortegn
                    f (x)
                                                    i x = 1 og x = 3, så vet vi
Oppgave 1
                       1
Oppgave 2
                                                    at disse verdiene for x er
Oppgave 3
                                                    førstekoordinaten til
                                                x
                            1   2   3   4   5
Oppgave 4
                                                    henholdsvis et bunnpunkt
                      −1
alternativ I
a)
                                                    og et toppunkt (siden den
                      −2
b)
c)
                                                    først er synkene, så
                      −3
Oppgave 4
                                                    stigende og deretter
alternativ II

                                                    synkende igjen).
                   b) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5

                      finne førstekoordinaten
                                                    Vi finner vendepunkt er
                      til eventuelle topp-,
                                                    hvor f (x) har sine
                      bunn- og vendepunkter
                                                    ekstremalverdier. Det vil si
                      på grafen til f .
                                                    for x = 2.
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 I c)
     Tor Espen
     Kristensen
                    f (x)
Oppgave 1
                       1
Oppgave 2

Oppgave 3
                                                 x
                             1   2   3   4   5
Oppgave 4
                      −1
alternativ I
a)
                      −2
b)
c)

                      −3
Oppgave 4
alternativ II

                   c) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5

                      finne et
                      funksjonsuttrykk for f .
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 I c)
     Tor Espen
     Kristensen
                                                     Vi ser at f (1) = f (3) = 0.
                    f (x)
Oppgave 1
                                                     Grafen ser ut som en
                       1
Oppgave 2
                                                     «sur» parabel. Så vi
Oppgave 3
                                                     prøver med
                                                 x
                             1   2   3   4   5
Oppgave 4
                                                     −(x − 1)(x − 3) =
                      −1
alternativ I

                                                     −x 2 + 4x − 3. Sjekker
a)
                      −2
b)
c)
                                                     noen verdier: f (0) = −3,
                      −3
Oppgave 4
                                                     f (2) = 1.
alternativ II

                   c) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5

                      finne et
                                                         f (x) = −x 2 + 4x − 3
                      funksjonsuttrykk for f .
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 I c)
     Tor Espen
     Kristensen
                                                     Vi ser at f (1) = f (3) = 0.
                    f (x)
Oppgave 1
                                                     Grafen ser ut som en
                       1
Oppgave 2
                                                     «sur» parabel. Så vi
Oppgave 3
                                                     prøver med
                                                 x
                             1   2   3   4   5
Oppgave 4
                                                     −(x − 1)(x − 3) =
                      −1
alternativ I

                                                     −x 2 + 4x − 3. Sjekker
a)
                      −2
b)
c)
                                                     noen verdier: f (0) = −3,
                      −3
Oppgave 4
                                                     f (2) = 1.
alternativ II

                   c) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5

                      finne et
                                                         f (x) = −x 2 + 4x − 3
                      funksjonsuttrykk for f .
                  Merk: Her kunne vi også brukt regresjon i et digitalt
                  verktøy. I GeoGebra kunne vi gitt kommandoen
                  RegPoly[{(0, -3), (1,0), (2,1), (3,0), (4,-3)} , 2]
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 I d)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Grafen til f går gjennom origo. Forklar at
Oppgave 1
                  f (x) = − 1 x 3 + 2x 2 − 3x
                            3
Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I
a)
b)
c)


Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 I d)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Grafen til f går gjennom origo. Forklar at
Oppgave 1
                  f (x) = − 1 x 3 + 2x 2 − 3x
                            3
Oppgave 2

Oppgave 3
                  Siden f (x) = −x 2 + 4x − 3, så må
Oppgave 4
                            1
                  f (x) = − 3 x 3 + 2x 2 − 3x + C, for et tall C. Siden f (0) = 0,
alternativ I
a)
                  må C = 0.
b)
c)


Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 I d)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Grafen til f går gjennom origo. Forklar at
Oppgave 1
                  f (x) = − 1 x 3 + 2x 2 − 3x
                            3
Oppgave 2

Oppgave 3
                  Siden f (x) = −x 2 + 4x − 3, så må
Oppgave 4
                            1
                  f (x) = − 3 x 3 + 2x 2 − 3x + C, for et tall C. Siden f (0) = 0,
alternativ I
a)
                  må C = 0.
b)
c)


Oppgave 4
                  Grafen til f :
alternativ II

Oppgave 5
                          y
                    1,0
                    0,5
                                                   x
                          f        1   2   3      4
                   −0,5
                   −1,0
                   −1,5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II a)
     Tor Espen
     Kristensen
                               C
Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
                                  S
alternativ I

Oppgave 4
                                      1
                              x
alternativ II
a)
b)
                    A                     B
c)

                              D
d)


Oppgave 5


                   Vis at arealet til den
                   likebeina trekanten er
                                    √
                   F (x) = (1 + x) 1 − x 2
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II a)
     Tor Espen
     Kristensen
                                              Høyden i trekanten er x + 1.
                               C
Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
                                  S
alternativ I

Oppgave 4
                                      1
                              x
alternativ II
a)
b)
                    A                     B
c)

                              D
d)


Oppgave 5


                   Vis at arealet til den
                   likebeina trekanten er
                                    √
                   F (x) = (1 + x) 1 − x 2
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II a)
     Tor Espen
     Kristensen
                                              Høyden i trekanten er x + 1.
                               C
                                              Finner BD ved å bruke
Oppgave 1

Oppgave 2
                                              Pytagoras’ setning:
Oppgave 3

Oppgave 4
                                  S
alternativ I
                                                            1 − x2
                                                  BD =
Oppgave 4
                                      1
                              x
alternativ II
a)

                                              Det vil si at grunnlinjen er
b)
                                               √
                    A                     B
c)

                                              2 1 − x 2.
                              D
d)


Oppgave 5


                   Vis at arealet til den
                   likebeina trekanten er
                                    √
                   F (x) = (1 + x) 1 − x 2
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II a)
     Tor Espen
     Kristensen
                                              Høyden i trekanten er x + 1.
                               C
                                              Finner BD ved å bruke
Oppgave 1

Oppgave 2
                                              Pytagoras’ setning:
Oppgave 3

Oppgave 4
                                  S
alternativ I
                                                             1 − x2
                                                   BD =
Oppgave 4
                                      1
                              x
alternativ II
a)

                                              Det vil si at grunnlinjen er
b)
                                               √
                    A                     B
c)

                                              2 1 − x 2.
                              D
d)


                                              Arealet til trekanten blir derfor
Oppgave 5


                   Vis at arealet til den
                   likebeina trekanten er                   g·h
                                    √              areal =
                   F (x) = (1 + x) 1 − x 2                    2     √
                                                            (1 + x)2 1 − x 2
                                                          =
                                                                   2
                                                          = (1 + x) 1 − x 2
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II b)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Tegn grafen til F. Bruk grafen til å finne det største arealet
Oppgave 1
                  av trekanten ABC.
Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II
a)
b)
c)
d)


Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II b)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Tegn grafen til F. Bruk grafen til å finne det største arealet
Oppgave 1
                  av trekanten ABC.
Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
                                              y
alternativ I
                                                              A = (0,5, 1,3)
                                         1,4
Oppgave 4
alternativ II
                                         1,2
a)
b)
                                         1,0
c)
d)

                                         0,8
Oppgave 5

                                         0,6

                                         0,4

                                         0,2


                                                                        x
                                                  0,2   0,4   0,6   0,8   1,0
                   −1,0 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2
                  Størst areal lik 1,3 når x = 0,5. NB! Husk å tegne grafen
                  pent på papiret med eneheter på aksene. . .
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II c)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at x = 1 er en løsning av likningen F (x) = 0.
                             2
Oppgave 1
                  Kommenter svaret.
Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II
a)
b)
c)
d)


Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II c)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at x = 1 er en løsning av likningen F (x) = 0.
                             2
Oppgave 1
                  Kommenter svaret.
Oppgave 2

Oppgave 3
                  Deriverer F (x):
Oppgave 4
alternativ I
                                                        −2x
                       F (x) = 1 · 1 − x 2 + (1 + x) · √
Oppgave 4
alternativ II
                                                      2 1 − x2
                                √          √
a)
b)
                               ( 1 − x 2 )( 1 − x 2 ) x(1 + x)
c)
                                      √              −√
                             =
d)

                                        1 − x2          1 − x2
Oppgave 5
                                     2 − x − x2
                               1−x
                                   √
                             =
                                     1 − x2
                               1 − x − 2x 2
                             =√
                                   1 − x2
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II c)
     Tor Espen
     Kristensen

                  Vis at x = 1 er en løsning av likningen F (x) = 0.
                             2
Oppgave 1
                  Kommenter svaret.
Oppgave 2

Oppgave 3
                  Deriverer F (x):
Oppgave 4
alternativ I
                                                        −2x
                       F (x) = 1 · 1 − x 2 + (1 + x) · √
Oppgave 4
alternativ II
                                                      2 1 − x2
                                √          √
a)
b)
                               ( 1 − x 2 )( 1 − x 2 ) x(1 + x)
c)
                                      √              −√
                             =
d)

                                        1 − x2          1 − x2
Oppgave 5
                                     2 − x − x2
                               1−x
                                   √
                             =
                                     1 − x2
                               1 − x − 2x 2
                             =√
                                   1 − x2
                                                    1         1
                                                        −2·
                                               1−
                                       1            2         4
                  Vi får derfor at F ( 2 ) =                      =0
                                                         1
                                                    1−   4
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II C)
     Tor Espen
     Kristensen
                  Vi vet at vi finner ekstremalverdier der hvor den deriverte
                  er null. I oppgave b) fant vi at x = 0,5 gir største areal.
Oppgave 1

                  Derfor forventet vi at F (0,5) = 0.
Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II
a)
b)
c)
d)


Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II d)
     Tor Espen
     Kristensen
                                                                    1
                  Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 .
Oppgave 1
                  Kommenter svaret.
Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II
a)
b)
c)
d)


Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II d)
     Tor Espen
     Kristensen
                                                                    1
                  Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 .
Oppgave 1
                  Kommenter svaret.
Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
                                                      √
alternativ I
                                                        3√
                                               1  3
                                   x2
                      AB = 2 1 −        =2   1− =2 =2    =3
Oppgave 4
alternativ II
                                               4  4    2
a)
b)
c)
d)


Oppgave 5
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II d)
     Tor Espen
     Kristensen
                                                                    1
                  Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 .
Oppgave 1
                  Kommenter svaret.
Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
                                                              √
alternativ I
                                                                3√
                                                       1  3
                                       x2
                      AB = 2 1 −            =2       1− =2 =2    =3
Oppgave 4
alternativ II
                                                       4  4    2
a)
b)
c)

                                                     1
d)

                       AC 2 = AD 2 + CD 2 =                  AB 2 + CD 2
Oppgave 5
                                                     2
                                 √      2            2
                                  3              3           39
                            =               +            =   +
                                 2               2           44
                            =3
                                       √                            √
                  Det vil si at AD =    3. Av symmetri vil også BC = 3.
R1 Våren 2008
                  Oppgave 4 II d)
     Tor Espen
     Kristensen
                                                                    1
                  Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 .
Oppgave 1
                  Kommenter svaret.
Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
                                                             √
alternativ I
                                                               3√
                                                      1  3
                                      x2
                      AB = 2 1 −           =2       1− =2 =2    =3
Oppgave 4
alternativ II
                                                      4  4    2
a)
b)
c)

                                                    1
d)

                      AC 2 = AD 2 + CD 2 =                  AB 2 + CD 2
Oppgave 5
                                                    2
                                √      2            2
                                  3             3           39
                           =               +            =   +
                                 2              2           44
                           =3
                                    √                               √
                  Det vil si at AD = 3. Av symmetri vil også BC = 3.
                  Trekanten ABC får det største arealet når trekanten er
                  likesidet.
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 a
      Tor Espen
      Kristensen

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

                                         S1
Oppgave 4
alternativ I
                                                    F
Oppgave 4
                                                           S2
                                     a
alternativ II

Oppgave 5
                                              D S3 E         b
a)
b)
                                                 c
c)
d)
                                     A          B        C
e)
f)


                     Finn S1 S2 , S1 S3 og S2 S3 uttrykt ved a, b og c.
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 a
      Tor Espen
      Kristensen

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

                                         S1
Oppgave 4
alternativ I
                                                    F
Oppgave 4
                                                           S2
                                     a
alternativ II

Oppgave 5
                                              D S3 E         b
a)
b)
                                                 c
c)
d)
                                     A          B        C
e)
f)


                     Finn S1 S2 , S1 S3 og S2 S3 uttrykt ved a, b og c.


                         S1 S2 = SF + FS2 = a + b
                         S1 S3 = S1 D + DS3 = a + c
                         S2 S3 = s2 E + ES3 = b + c
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 b
      Tor Espen
      Kristensen
                                              S1
                      Bruk Pytagoras og vis
Oppgave 1
                               √
                      at AC = 2 ab
Oppgave 2
                                                      S2
Oppgave 3

Oppgave 4
                                              a
alternativ I

                                                          b
Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
a)
b)
                                                  A   C
c)
d)
e)
f)
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 b
      Tor Espen
      Kristensen
                                                 S1
                      Bruk Pytagoras og vis
Oppgave 1
                               √
                      at AC = 2 ab
Oppgave 2
                                                                  S2
Oppgave 3

Oppgave 4
                                                a
alternativ I

                                                                      b
Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
a)
b)
                                                    A             C
c)
d)
e)

                     Hypotenusen i trekanten er S1 S2 = a + b og den ene
f)



                     kateten er a − b.
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 b
      Tor Espen
      Kristensen
                                                     S1
                      Bruk Pytagoras og vis
Oppgave 1
                               √
                      at AC = 2 ab
Oppgave 2
                                                                       S2
Oppgave 3

Oppgave 4
                                                    a
alternativ I

                                                                           b
Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
a)
b)
                                                        A              C
c)
d)
e)

                     Hypotenusen i trekanten er S1 S2 = a + b og den ene
f)



                     kateten er a − b.

                                     (a + b)2 − (a − b)2
                          AC =
                                     a2 + 2ab + b 2 − a2 + 2ab − b 2
                             =
                                 √          √
                             =       4ab = 2 ab
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 c
      Tor Espen
                       S1
      Kristensen

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3
                                           Vis på tilsvarende måte√at
                                                   √
                      a
Oppgave 4
                                   S3      AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I

Oppgave 4
                                       c
alternativ II

Oppgave 5
a)
                          A        B
b)
c)
d)
e)
f)
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 c
      Tor Espen
                       S1
      Kristensen

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3
                                           Vis på tilsvarende måte√at
                                                   √
                      a
Oppgave 4
                                   S3      AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I

Oppgave 4
                                           Hypotenusen i trekanten er
                                       c
alternativ II

                                           S1 S3 = a + c og den ene
Oppgave 5
a)
                          A        B       kateten er a − c.
b)
c)
d)
e)
f)
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 c
      Tor Espen
                       S1
      Kristensen

Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3
                                                        Vis på tilsvarende måte√at
                                                                √
                      a
Oppgave 4
                                                S3      AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I

Oppgave 4
                                                        Hypotenusen i trekanten er
                                                    c
alternativ II

                                                        S1 S3 = a + c og den ene
Oppgave 5
a)
                          A                     B       kateten er a − c. Pytagoras
b)
c)

                                                        gir oss derfor:
d)
e)
f)




                                         (a + c)2 − (a − c)2
                              AB =
                                         a2 + 2ac + c 2 − a2 + 2ac − c 2
                                =
                                     √          √
                                =        4ac = 2 ac
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 c
      Tor Espen
                                   S2
      Kristensen

Oppgave 1

Oppgave 2

                       S3
Oppgave 3
                                           Vis på tilsvarende måte√at
                                                   √
                                       b
Oppgave 4
                                           AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I

                      c
Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
a)
                          B        C
b)
c)
d)
e)
f)
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 c
      Tor Espen
                                   S2
      Kristensen

Oppgave 1

Oppgave 2

                       S3
Oppgave 3
                                           Vis på tilsvarende måte√at
                                                   √
                                       b
Oppgave 4
                                           AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I

                      c
Oppgave 4
                                           Hypotenusen i trekanten er
alternativ II

                                           S2 S3 = b + c og den ene
Oppgave 5
a)
                          B        C       kateten er b − c.
b)
c)
d)
e)
f)
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 c
      Tor Espen
                                            S2
      Kristensen

Oppgave 1

Oppgave 2

                       S3
Oppgave 3
                                                   Vis på tilsvarende måte√at
                                                           √
                                               b
Oppgave 4
                                                   AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I

                      c
Oppgave 4
                                                   Hypotenusen i trekanten er
alternativ II

                                                   S2 S3 = b + c og den ene
Oppgave 5
a)
                          B                C       kateten er b − c. Pytagoras
b)
c)

                                                   gir oss derfor:
d)
e)
f)




                                     (b + c)2 − (b − c)2
                              BC =
                                   b 2 + 2bc + c 2 − b 2 + 2bc − c 2
                                =
                                 √         √
                                = 4bc = 2 bc
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 d
      Tor Espen
      Kristensen

                     Bruk resultatene fra b) og c) til å vise følgende
Oppgave 1
                     sammenheng mellom radiene i sirklene:
Oppgave 2
                      1     1      1
                     √ =√ +√
Oppgave 3
                       c     a      b
Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 d
      Tor Espen
      Kristensen

                     Bruk resultatene fra b) og c) til å vise følgende
Oppgave 1
                     sammenheng mellom radiene i sirklene:
Oppgave 2
                      1     1      1
                     √ =√ +√
Oppgave 3
                       c     a      b
Oppgave 4
alternativ I

                     Vi har at AC = AB + BC. Dette gir oss
Oppgave 4
alternativ II
                             √              √
                                     √
Oppgave 5
                            2 ab = 2 ac + 2 bc
a)
b)
c)

                            √                     √
                                       √
d)


                              &             &
                                     ¨
e)

                                 ¨
                                      
                           2 ab   2 ac   2 bc
f)
                           √    =√     +√
                                           
                                     a
                               2 ab c 2 bc
                          2 abc

                                1   1  1
                                √ =√ +√
                                 c      a
                                     b
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 e)
      Tor Espen
      Kristensen

                     Vi setter a = b = r . Finn c uttrykt ved r .
Oppgave 1

Oppgave 2

Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 e)
      Tor Espen
      Kristensen

                     Vi setter a = b = r . Finn c uttrykt ved r .
Oppgave 1

Oppgave 2
                     Setter inn i uttrykket fra d):
Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I
                           1  1  1  2
                          √ =√ +√ =√
Oppgave 4
                            c  r  r  r
alternativ II

Oppgave 5
a)

                                  r
b)

                             c=
c)
d)
                                  4
e)
f)
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 f)
      Tor Espen
      Kristensen

                     Konstruer figuren når cm r = 4 cm, enten med passer og
Oppgave 1
                     linjal eller med dynamisk programvare. Forklar hvordan
Oppgave 2
                     du har utført konstruksjonen.
Oppgave 3

Oppgave 4
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
R1 Våren 2008
                     Oppgave 5 f)
      Tor Espen
      Kristensen

                     Konstruer figuren når cm r = 4 cm, enten med passer og
Oppgave 1
                     linjal eller med dynamisk programvare. Forklar hvordan
Oppgave 2
                     du har utført konstruksjonen.
Oppgave 3

Oppgave 4
                     a = b = 4 cm gir c = 1 cm.
alternativ I

Oppgave 4
alternativ II

Oppgave 5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Oppgave 5 f)
                   Trakk en linje l og merket av
               1

                   punktet A.




A
Oppgave 5 f)
                        Trakk en linje l og merket av
                    1

                        punktet A.
                        Oppreiste en normal i A og
                    2

                        avsatte r = 4 cm på denne
                        normalen. Merket av S1 og slo
S1
                        en sirkel med radius 4 cm i S1 .
     A
Oppgave 5 f)
                        Trakk en linje l og merket av
                    1

                        punktet A.
                        Oppreiste en normal i A og
                    2

                        avsatte r = 4 cm på denne
                        normalen. Merket av S1 og slo
S1
                        en sirkel med radius 4 cm i S1 .
                        Satte av C 8 cm fra A og reiste
                    3
     A
                        opp en normal i C.
               C
Oppgave 5 f)
                             Trakk en linje l og merket av
                         1

                             punktet A.
                             Oppreiste en normal i A og
                         2

                             avsatte r = 4 cm på denne
                             normalen. Merket av S1 og slo
                    S2
S1
                             en sirkel med radius 4 cm i S1 .
                             Satte av C 8 cm fra A og reiste
                         3
     A
                             opp en normal i C.
               C
                             Merket av S2 4 cm over C og
                         4

                             slo en sirkel i S2 med radius
                             4 cm.
Oppgave 5 f)
                             Trakk en linje l og merket av
                         1

                             punktet A.
                             Oppreiste en normal i A og
                         2

                             avsatte r = 4 cm på denne
                             normalen. Merket av S1 og slo
                    S2
S1
                             en sirkel med radius 4 cm i S1 .
          S3
                             Satte av C 8 cm fra A og reiste
                         3
     A
                             opp en normal i C.
               C
                             Merket av S2 4 cm over C og
                         4

                             slo en sirkel i S2 med radius
                             4 cm.
                             Konstruerte normal i B 4 cm
                         5

                             fra A (og B) og satte av S3
                             1 cm over B.
Oppgave 5 f)
                             Trakk en linje l og merket av
                         1

                             punktet A.
                             Oppreiste en normal i A og
                         2

                             avsatte r = 4 cm på denne
                             normalen. Merket av S1 og slo
                    S2
S1
                             en sirkel med radius 4 cm i S1 .
          S3
                             Satte av C 8 cm fra A og reiste
                         3
     A
                             opp en normal i C.
               C
                             Merket av S2 4 cm over C og
                         4

                             slo en sirkel i S2 med radius
                             4 cm.
                             Konstruerte normal i B 4 cm
                         5

                             fra A (og B) og satte av S3
                             1 cm over B.
                             Konstruerte så en sirkel med
                         6

                             sentrum i S3 med radius lik 1.

More Related Content

More from Tor Espen Kristensen (14)

Resonnere
ResonnereResonnere
Resonnere
 
Kurver Og Mer
Kurver Og MerKurver Og Mer
Kurver Og Mer
 
Kurver
KurverKurver
Kurver
 
Lengden til en vektor
Lengden til en vektorLengden til en vektor
Lengden til en vektor
 
Vektorkoordinater
VektorkoordinaterVektorkoordinater
Vektorkoordinater
 
Vektorer 1
Vektorer 1Vektorer 1
Vektorer 1
 
Geometriskesteder
GeometriskestederGeometriskesteder
Geometriskesteder
 
Vurdering og matematikk
Vurdering og matematikkVurdering og matematikk
Vurdering og matematikk
 
Problemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikkProblemløsning i matematikk
Problemløsning i matematikk
 
Matematikk og Kunnskapsløftet
Matematikk og KunnskapsløftetMatematikk og Kunnskapsløftet
Matematikk og Kunnskapsløftet
 
Sannsylighet
SannsylighetSannsylighet
Sannsylighet
 
Bilder Og Formater
Bilder Og FormaterBilder Og Formater
Bilder Og Formater
 
Tilpasset opplæring
Tilpasset opplæringTilpasset opplæring
Tilpasset opplæring
 
Ikt og matematikk
Ikt og matematikkIkt og matematikk
Ikt og matematikk
 

V2008

  • 1. R1 Våren 2008 Tor Espen Kristensen Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 Eksamen R1, Våren 2008 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5 Stord Vidaregåande skule
  • 2. R1 Våren 2008 Oppgave 1 a) Tor Espen Kristensen Deriver f (x) = x 2 · ln x Oppgave 1 a) b) c) d) e) Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 3. R1 Våren 2008 Oppgave 1 a) Tor Espen Kristensen Deriver f (x) = x 2 · ln x Oppgave 1 a) Bruker produktregelen: (u · v) = u v + uv : b) c) d) e) 1 f (x) = 2x ln x + x 2 · = 2x ln x + x Oppgave 2 x Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 4. R1 Våren 2008 Oppgave 1 b) Tor Espen Kristensen Utfør polynomdivisjonen Oppgave 1 a) (x 3 − 4x 2 + x + 6) : (x − 2) b) c) d) e) Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 5. R1 Våren 2008 Oppgave 1 b) Tor Espen Kristensen Utfør polynomdivisjonen Oppgave 1 a) (x 3 − 4x 2 + x + 6) : (x − 2) b) c) d) e) Oppgave 2 (x 3 − 4x 2 + x + 6) : (x − 2) = x 2 − 2x − 3 Oppgave 3 Oppgave 4 x 3 − 2x 2 alternativ I Oppgave 4 − 2x 2 + x + 6 alternativ II Oppgave 5 −2x 2 + 4x − 3x + 6 −3x + 6 0
  • 6. R1 Våren 2008 Oppgave 1 c) Tor Espen Kristensen Bestem grenseverien Oppgave 1 a) x 2 − 64 b) c) lim d) x→8 2x − 16 e) Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 7. R1 Våren 2008 Oppgave 1 c) Tor Espen Kristensen Bestem grenseverien Oppgave 1 a) x 2 − 64 b) c) lim d) x→8 2x − 16 e) Oppgave 2 Når vi har slike « 0 » tilfeller, kan vi se om en faktorisering 0 Oppgave 3 hjelper: Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 8. R1 Våren 2008 Oppgave 1 c) Tor Espen Kristensen Bestem grenseverien Oppgave 1 a) x 2 − 64 b) c) lim d) x→8 2x − 16 e) Oppgave 2 Når vi har slike « 0 » tilfeller, kan vi se om en faktorisering 0 Oppgave 3 hjelper: Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 x 2 − 64 alternativ II (x − 8)(x + 8) = lim lim Oppgave 5 x→8 2x − 16 2(x − 8) x→8 x +8 8+8 = lim = 2 2 x→8 =8
  • 9. R1 Våren 2008 Oppgave 1 d) Tor Espen Kristensen Skriv så enkelt som mulig Oppgave 1 a) x b) lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg c) y2 d) e) Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 10. R1 Våren 2008 Oppgave 1 d) Tor Espen Kristensen Skriv så enkelt som mulig Oppgave 1 a) x b) lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg c) y2 d) e) Oppgave 2 Oppgave 3 Logaritmereglene: Definisjonen til lg a: Oppgave 4 alternativ I lg(a · b) = lg a + lg b 10lg a = a Oppgave 4 a alternativ II lg = lg a − lg b b Oppgave 5 lg ar = r lg a
  • 11. R1 Våren 2008 Oppgave 1 d) Tor Espen Kristensen Skriv så enkelt som mulig Oppgave 1 a) x b) lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg c) y2 d) e) Oppgave 2 Oppgave 3 Logaritmereglene: Definisjonen til lg a: Oppgave 4 alternativ I lg(a · b) = lg a + lg b 10lg a = a Oppgave 4 a alternativ II lg = lg a − lg b b Oppgave 5 lg ar = r lg a x lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg y2 = lg x + 2 lg y − 2 lg y + lg x − 2 lg y x = 2 lg x − 2 lg y = 2 lg y
  • 12. Oppgave e) f (x) = xe−x R1 Våren 2008 Tor Espen Kristensen Vis at f (x) = (1 − x) · e−x . Bruk dette til å finne Oppgave 1 eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f . a) b) c) d) e) Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 13. Oppgave e) f (x) = xe−x R1 Våren 2008 Tor Espen Kristensen Vis at f (x) = (1 − x) · e−x . Bruk dette til å finne Oppgave 1 eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f . a) b) c) Vi må her bruke produktregelen for derivasjon sammen d) e) med kjerneregelen. Vi har nemlig at (e−x ) = −e−x . Oppgave 2 Vi får: Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I f (x) = 1 · e−x + x · (−e−x ) = (1 − x) · e−x Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 14. Oppgave e) f (x) = xe−x R1 Våren 2008 Tor Espen Kristensen Vis at f (x) = (1 − x) · e−x . Bruk dette til å finne Oppgave 1 eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f . a) b) c) Vi må her bruke produktregelen for derivasjon sammen d) e) med kjerneregelen. Vi har nemlig at (e−x ) = −e−x . Oppgave 2 Vi får: Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I f (x) = 1 · e−x + x · (−e−x ) = (1 − x) · e−x Oppgave 4 alternativ II Fortegnslinjen til den deriverte: Oppgave 5 1 e−x (1 − x) f (x) Av fortegnslinjen ser vi at grafen til f har et toppunkt i (1, f (1)) = (1, e−1 ) ≈ (1, 0,37)
  • 15. R1 Våren 2008 Oppgave 2 a) Tor Espen Kristensen Vis at vektorene u = [a, b] og v = [−b, a] står vinkelrett på Oppgave 1 hverandre. Oppgave 2 a) b) c) d) e) Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 16. R1 Våren 2008 Oppgave 2 a) Tor Espen Kristensen Vis at vektorene u = [a, b] og v = [−b, a] står vinkelrett på Oppgave 1 hverandre. Oppgave 2 a) Vi vet at u ⊥ v ⇔ u · v = 0. Sjekker derfor b) c) skalarproduktet: d) e) Oppgave 3 u · v = [a, b] · [−b, a] = −ab + ab = 0 Oppgave 4 alternativ I Dette viser at de står vinkelrett på hverandre. Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 17. R1 Våren 2008 Oppgave 2 b) Tor Espen Kristensen Punktene A(1, 0), B(5,1) Oppgave 1 Forklar at og C(3,4) er hjørner i en Oppgave 2 x = 3 − t ∧ y = 4 + 4t er a) trekant. Fotpunktene til b) en parameterframstilling c) høydene fra hjørnene A, B d) for linja gjeonnom C og e) og C er F1 , F2 og F3 . Se Oppgave 3 F3 . skissen nedenfor. Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II C 4 Oppgave 5 3 F2 F1 2 B 1 A F3 1 2 3 4 5
  • 18. R1 Våren 2008 Oppgave 2 b) Tor Espen Kristensen Punktene A(1, 0), B(5,1) Oppgave 1 Forklar at og C(3,4) er hjørner i en Oppgave 2 x = 3 − t ∧ y = 4 + 4t er a) trekant. Fotpunktene til b) en parameterframstilling c) høydene fra hjørnene A, B d) for linja gjeonnom C og e) og C er F1 , F2 og F3 . Se Oppgave 3 F3 . skissen nedenfor. Oppgave 4 alternativ I Vi vet at −→ − − → Oppgave 4 CF3 ⊥ AB = [4, 1]. Dette alternativ II C viser oss at [−1, 4] er en 4 Oppgave 5 retningsvektor til linja 3 F2 F1 (siden denne er normal på −→ 2 AB jf oppg a). B 1 A F3 1 2 3 4 5
  • 19. R1 Våren 2008 Oppgave 2 b) Tor Espen Kristensen Vi får at linja er gitt ved Oppgave 1 [x, y] = [3, 4]+t[−1, 4] Oppgave 2 C 4 a) b) c) Det vil si 3 d) F2 F1 e) 2 x =3−t Oppgave 3 B Oppgave 4 y = 4 + 4t 1 alternativ I A F3 Oppgave 4 alternativ II 1 2 3 4 5 Oppgave 5 v = [−1, 4] l og C(3, 4) ∈ C
  • 20. R1 Våren 2008 Oppgave 2 c) Tor Espen Kristensen Finn en parameterframstilling for linja gjennom A og F1 . Oppgave 1 Oppgave 2 a) b) c) d) e) Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 21. R1 Våren 2008 Oppgave 2 c) Tor Espen Kristensen Finn en parameterframstilling for linja gjennom A og F1 . Oppgave 1 −→ − → − Oppgave 2 AF1 ⊥ BC = [−2, 3]. På a) b) samme måte som i c) d) C oppgave b) får vi at e) 4 Oppgave 3 u = [3, 2] er en 3 Oppgave 4 F2 retningsvektor til linja F1 alternativ I 2 gjennom A og F1 . Linja er Oppgave 4 B alternativ II derfor gitt ved 1 Oppgave 5 [x, y] = [1, 0] + s[3, 2]. Det A F3 vil si: 1 2 3 4 5 x = 1 + 3s y = 2s
  • 22. R1 Våren 2008 Oppgave 2 d) Tor Espen Kristensen Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene Oppgave 1 CF3 og AF1 . Oppgave 2 a) b) c) d) e) Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 23. R1 Våren 2008 Oppgave 2 d) Tor Espen Kristensen Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene Oppgave 1 CF3 og AF1 . Oppgave 2 a) De to linjene har parameterframstillinger b) c) d) e) x =3−t x = 1 + 3s og Oppgave 3 y = 4 + 4t y = 2s Oppgave 4 alternativ I Dette gir oss Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5 3 − t = 1 + 3s 4 + 4t = 2s Den nederste likningen gir s = 2 + 2t. Dette setter vi inn i den øverste og får:
  • 24. R1 Våren 2008 Oppgave 2 d) Tor Espen Kristensen Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene Oppgave 1 CF3 og AF1 . Oppgave 2 a) De to linjene har parameterframstillinger b) c) d) e) x =3−t x = 1 + 3s og Oppgave 3 y = 4 + 4t y = 2s Oppgave 4 alternativ I Dette gir oss Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5 3 − t = 1 + 3s 3 − t = 1 + 3(2 + 2t) 4 + 4t = 2s −7t = 4 Den nederste likningen gir s = 2 + 2t. Dette setter vi inn 4 i den øverste og får: t=− 7
  • 25. R1 Våren 2008 Oppgave 2 d) Tor Espen Kristensen Oppgave 1 x =3−t Oppgave 2 a) y = 4 + 4t b) c) d) Setter t = − 4 inn og får e) 7 Oppgave 3 Oppgave 4 4 25 alternativ I x =3− − = 7 7 Oppgave 4 alternativ II 4 12 Oppgave 5 y =4+4· − = 7 7 25 12 Altså er skjæringspunktet lik S = . 7, 7
  • 26. R1 Våren 2008 Oppgave 2 e) Tor Espen Kristensen Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja Oppgave 1 gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette Oppgave 2 et eksempel på? a) b) c) d) e) Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 27. R1 Våren 2008 Oppgave 2 e) Tor Espen Kristensen Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja Oppgave 1 gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette Oppgave 2 et eksempel på? a) b) −→− → c) Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2 d) e) ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S. Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 28. R1 Våren 2008 Oppgave 2 e) Tor Espen Kristensen Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja Oppgave 1 gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette Oppgave 2 et eksempel på? a) b) −→− → c) Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2 d) e) ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S. Oppgave 3 Oppgave 4 −→ 25 12 10 5 5 alternativ I = [−2, 1] BS = − 5, −1 = − , Oppgave 4 7 7 77 7 alternativ II Oppgave 5
  • 29. R1 Våren 2008 Oppgave 2 e) Tor Espen Kristensen Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja Oppgave 1 gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette Oppgave 2 et eksempel på? a) b) −→− → c) Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2 d) e) ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S. Oppgave 3 Oppgave 4 −→ 25 12 10 5 5 alternativ I = [−2, 1] BS = − 5, −1 = − , Oppgave 4 7 7 77 7 alternativ II Oppgave 5 −→ [−2, 1] · AC = [−2, 1] · [2, 4] = −4 + 4 = 0 −→− → Dette viser at BS ⊥ AC.
  • 30. R1 Våren 2008 Oppgave 2 e) Tor Espen Kristensen Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja Oppgave 1 gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette Oppgave 2 et eksempel på? a) b) −→− → c) Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2 d) e) ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S. Oppgave 3 Oppgave 4 −→ 25 12 10 5 5 alternativ I = [−2, 1] BS = − 5, −1 = − , Oppgave 4 7 7 77 7 alternativ II Oppgave 5 −→ [−2, 1] · AC = [−2, 1] · [2, 4] = −4 + 4 = 0 −→− → Dette viser at BS ⊥ AC. Høydene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Skjæringspunktet mellom høydene i en trekant kalles trekantens ortosenter.
  • 31. R1 Våren 2008 Oppgave 3 a) Tor Espen Kristensen Fra en kortstokk trekker vi tilfeldig ut 5 kort. I flere kortspill kalles disse 5 kortene en hånd. Oppgave 1 Oppgave 2 Hvor mange mulige korthender er det? Oppgave 3 a) b) c) Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 32. R1 Våren 2008 Oppgave 3 a) Tor Espen Kristensen Fra en kortstokk trekker vi tilfeldig ut 5 kort. I flere kortspill kalles disse 5 kortene en hånd. Oppgave 1 Oppgave 2 Hvor mange mulige korthender er det? Oppgave 3 a) b) Vi har uordnet utvalg uten tilbakelegging. Antall c) korthender er derfor Oppgave 4 alternativ I 52 Oppgave 4 = 2 598 960 alternativ II 5 Oppgave 5
  • 33. R1 Våren 2008 Oppgave 3 b) Tor Espen Kristensen A: Korthånden består av 5 spar. Oppgave 1 B: Korthånden består av 5 svarte kort. Oppgave 2 Oppgave 3 Bestem P(A) og P(B) a) b) c) Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 34. R1 Våren 2008 Oppgave 3 b) Tor Espen Kristensen A: Korthånden består av 5 spar. Oppgave 1 B: Korthånden består av 5 svarte kort. Oppgave 2 Oppgave 3 Bestem P(A) og P(B) a) b) c) 13 = 1287. Antall gunstige for A er 5 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 antall gunstig 1287 alternativ II ≈ 4,95 · 10−4 P(A) = = Oppgave 5 antall mulig 2 598 960
  • 35. R1 Våren 2008 Oppgave 3 b) Tor Espen Kristensen A: Korthånden består av 5 spar. Oppgave 1 B: Korthånden består av 5 svarte kort. Oppgave 2 Oppgave 3 Bestem P(A) og P(B) a) b) c) 13 = 1287. Antall gunstige for A er 5 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 antall gunstig 1287 alternativ II ≈ 4,95 · 10−4 P(A) = = Oppgave 5 antall mulig 2 598 960 26 = 67 780. Antall gunstige for B er 5 = 67 780 antall gunstig ≈ 0,025 P(B) = = antall mulig 2 598 960
  • 36. R1 Våren 2008 Oppgave 3 c) Tor Espen Kristensen Finn P(A | B). Er hendelsene A og B uavhengige? Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 a) b) c) Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 37. R1 Våren 2008 Oppgave 3 c) Tor Espen Kristensen Finn P(A | B). Er hendelsene A og B uavhengige? Oppgave 1 Oppgave 2 Siden A ∩ B = A, så får vi Oppgave 3 a) P(A ∩ B 4,95 · 10−4 P(A) b) P(A | B) = = = = 0,0195 c) P(B) P(B) 0,025 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 38. R1 Våren 2008 Oppgave 3 c) Tor Espen Kristensen Finn P(A | B). Er hendelsene A og B uavhengige? Oppgave 1 Oppgave 2 Siden A ∩ B = A, så får vi Oppgave 3 a) P(A ∩ B 4,95 · 10−4 P(A) b) P(A | B) = = = = 0,0195 c) P(B) P(B) 0,025 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 Vi ser at P(A | B) = P(A), så A og B er avhengig alternativ II hendelser. Oppgave 5
  • 39. R1 Våren 2008 Oppgave 4 I a) Tor Espen Kristensen f (x) Oppgave 1 1 Oppgave 2 Oppgave 3 x 1 2 3 4 5 Oppgave 4 −1 alternativ I a) −2 b) c) −3 Oppgave 4 alternativ II a) Bruk grafen til f til å Oppgave 5 avgjøre hvor funksjonen f vokser og hvor den avtar.
  • 40. R1 Våren 2008 Oppgave 4 I a) Tor Espen Kristensen Vi ser at f (x) < 0 når f (x) x ∈ ←, 1 ∪ 3, → og at Oppgave 1 1 Oppgave 2 f (x) > 0 når x ∈ 1, 3 . Oppgave 3 x f er voksende i 1, 3 1 2 3 4 5 Oppgave 4 −1 alternativ I f er avtagende i a) −2 ←, 1 ∪ 3, → b) c) −3 Oppgave 4 alternativ II a) Bruk grafen til f til å Oppgave 5 avgjøre hvor funksjonen f vokser og hvor den avtar.
  • 41. R1 Våren 2008 Oppgave 4 I b) Tor Espen Kristensen f (x) Oppgave 1 1 Oppgave 2 Oppgave 3 x 1 2 3 4 5 Oppgave 4 −1 alternativ I a) −2 b) c) −3 Oppgave 4 alternativ II b) Bruk grafen til f til å Oppgave 5 finne førstekoordinaten til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til f .
  • 42. R1 Våren 2008 Oppgave 4 I b) Tor Espen Kristensen Siden f (x) skifter fortegn f (x) i x = 1 og x = 3, så vet vi Oppgave 1 1 Oppgave 2 at disse verdiene for x er Oppgave 3 førstekoordinaten til x 1 2 3 4 5 Oppgave 4 henholdsvis et bunnpunkt −1 alternativ I a) og et toppunkt (siden den −2 b) c) først er synkene, så −3 Oppgave 4 stigende og deretter alternativ II synkende igjen). b) Bruk grafen til f til å Oppgave 5 finne førstekoordinaten Vi finner vendepunkt er til eventuelle topp-, hvor f (x) har sine bunn- og vendepunkter ekstremalverdier. Det vil si på grafen til f . for x = 2.
  • 43. R1 Våren 2008 Oppgave 4 I c) Tor Espen Kristensen f (x) Oppgave 1 1 Oppgave 2 Oppgave 3 x 1 2 3 4 5 Oppgave 4 −1 alternativ I a) −2 b) c) −3 Oppgave 4 alternativ II c) Bruk grafen til f til å Oppgave 5 finne et funksjonsuttrykk for f .
  • 44. R1 Våren 2008 Oppgave 4 I c) Tor Espen Kristensen Vi ser at f (1) = f (3) = 0. f (x) Oppgave 1 Grafen ser ut som en 1 Oppgave 2 «sur» parabel. Så vi Oppgave 3 prøver med x 1 2 3 4 5 Oppgave 4 −(x − 1)(x − 3) = −1 alternativ I −x 2 + 4x − 3. Sjekker a) −2 b) c) noen verdier: f (0) = −3, −3 Oppgave 4 f (2) = 1. alternativ II c) Bruk grafen til f til å Oppgave 5 finne et f (x) = −x 2 + 4x − 3 funksjonsuttrykk for f .
  • 45. R1 Våren 2008 Oppgave 4 I c) Tor Espen Kristensen Vi ser at f (1) = f (3) = 0. f (x) Oppgave 1 Grafen ser ut som en 1 Oppgave 2 «sur» parabel. Så vi Oppgave 3 prøver med x 1 2 3 4 5 Oppgave 4 −(x − 1)(x − 3) = −1 alternativ I −x 2 + 4x − 3. Sjekker a) −2 b) c) noen verdier: f (0) = −3, −3 Oppgave 4 f (2) = 1. alternativ II c) Bruk grafen til f til å Oppgave 5 finne et f (x) = −x 2 + 4x − 3 funksjonsuttrykk for f . Merk: Her kunne vi også brukt regresjon i et digitalt verktøy. I GeoGebra kunne vi gitt kommandoen RegPoly[{(0, -3), (1,0), (2,1), (3,0), (4,-3)} , 2]
  • 46. R1 Våren 2008 Oppgave 4 I d) Tor Espen Kristensen Grafen til f går gjennom origo. Forklar at Oppgave 1 f (x) = − 1 x 3 + 2x 2 − 3x 3 Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I a) b) c) Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 47. R1 Våren 2008 Oppgave 4 I d) Tor Espen Kristensen Grafen til f går gjennom origo. Forklar at Oppgave 1 f (x) = − 1 x 3 + 2x 2 − 3x 3 Oppgave 2 Oppgave 3 Siden f (x) = −x 2 + 4x − 3, så må Oppgave 4 1 f (x) = − 3 x 3 + 2x 2 − 3x + C, for et tall C. Siden f (0) = 0, alternativ I a) må C = 0. b) c) Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5
  • 48. R1 Våren 2008 Oppgave 4 I d) Tor Espen Kristensen Grafen til f går gjennom origo. Forklar at Oppgave 1 f (x) = − 1 x 3 + 2x 2 − 3x 3 Oppgave 2 Oppgave 3 Siden f (x) = −x 2 + 4x − 3, så må Oppgave 4 1 f (x) = − 3 x 3 + 2x 2 − 3x + C, for et tall C. Siden f (0) = 0, alternativ I a) må C = 0. b) c) Oppgave 4 Grafen til f : alternativ II Oppgave 5 y 1,0 0,5 x f 1 2 3 4 −0,5 −1,0 −1,5
  • 49. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II a) Tor Espen Kristensen C Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 S alternativ I Oppgave 4 1 x alternativ II a) b) A B c) D d) Oppgave 5 Vis at arealet til den likebeina trekanten er √ F (x) = (1 + x) 1 − x 2
  • 50. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II a) Tor Espen Kristensen Høyden i trekanten er x + 1. C Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 S alternativ I Oppgave 4 1 x alternativ II a) b) A B c) D d) Oppgave 5 Vis at arealet til den likebeina trekanten er √ F (x) = (1 + x) 1 − x 2
  • 51. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II a) Tor Espen Kristensen Høyden i trekanten er x + 1. C Finner BD ved å bruke Oppgave 1 Oppgave 2 Pytagoras’ setning: Oppgave 3 Oppgave 4 S alternativ I 1 − x2 BD = Oppgave 4 1 x alternativ II a) Det vil si at grunnlinjen er b) √ A B c) 2 1 − x 2. D d) Oppgave 5 Vis at arealet til den likebeina trekanten er √ F (x) = (1 + x) 1 − x 2
  • 52. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II a) Tor Espen Kristensen Høyden i trekanten er x + 1. C Finner BD ved å bruke Oppgave 1 Oppgave 2 Pytagoras’ setning: Oppgave 3 Oppgave 4 S alternativ I 1 − x2 BD = Oppgave 4 1 x alternativ II a) Det vil si at grunnlinjen er b) √ A B c) 2 1 − x 2. D d) Arealet til trekanten blir derfor Oppgave 5 Vis at arealet til den likebeina trekanten er g·h √ areal = F (x) = (1 + x) 1 − x 2 2 √ (1 + x)2 1 − x 2 = 2 = (1 + x) 1 − x 2
  • 53. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II b) Tor Espen Kristensen Tegn grafen til F. Bruk grafen til å finne det største arealet Oppgave 1 av trekanten ABC. Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II a) b) c) d) Oppgave 5
  • 54. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II b) Tor Espen Kristensen Tegn grafen til F. Bruk grafen til å finne det største arealet Oppgave 1 av trekanten ABC. Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 y alternativ I A = (0,5, 1,3) 1,4 Oppgave 4 alternativ II 1,2 a) b) 1,0 c) d) 0,8 Oppgave 5 0,6 0,4 0,2 x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 −1,0 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2 Størst areal lik 1,3 når x = 0,5. NB! Husk å tegne grafen pent på papiret med eneheter på aksene. . .
  • 55. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II c) Tor Espen Kristensen Vis at x = 1 er en løsning av likningen F (x) = 0. 2 Oppgave 1 Kommenter svaret. Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II a) b) c) d) Oppgave 5
  • 56. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II c) Tor Espen Kristensen Vis at x = 1 er en løsning av likningen F (x) = 0. 2 Oppgave 1 Kommenter svaret. Oppgave 2 Oppgave 3 Deriverer F (x): Oppgave 4 alternativ I −2x F (x) = 1 · 1 − x 2 + (1 + x) · √ Oppgave 4 alternativ II 2 1 − x2 √ √ a) b) ( 1 − x 2 )( 1 − x 2 ) x(1 + x) c) √ −√ = d) 1 − x2 1 − x2 Oppgave 5 2 − x − x2 1−x √ = 1 − x2 1 − x − 2x 2 =√ 1 − x2
  • 57. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II c) Tor Espen Kristensen Vis at x = 1 er en løsning av likningen F (x) = 0. 2 Oppgave 1 Kommenter svaret. Oppgave 2 Oppgave 3 Deriverer F (x): Oppgave 4 alternativ I −2x F (x) = 1 · 1 − x 2 + (1 + x) · √ Oppgave 4 alternativ II 2 1 − x2 √ √ a) b) ( 1 − x 2 )( 1 − x 2 ) x(1 + x) c) √ −√ = d) 1 − x2 1 − x2 Oppgave 5 2 − x − x2 1−x √ = 1 − x2 1 − x − 2x 2 =√ 1 − x2 1 1 −2· 1− 1 2 4 Vi får derfor at F ( 2 ) = =0 1 1− 4
  • 58. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II C) Tor Espen Kristensen Vi vet at vi finner ekstremalverdier der hvor den deriverte er null. I oppgave b) fant vi at x = 0,5 gir største areal. Oppgave 1 Derfor forventet vi at F (0,5) = 0. Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II a) b) c) d) Oppgave 5
  • 59. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II d) Tor Espen Kristensen 1 Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 . Oppgave 1 Kommenter svaret. Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II a) b) c) d) Oppgave 5
  • 60. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II d) Tor Espen Kristensen 1 Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 . Oppgave 1 Kommenter svaret. Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 √ alternativ I 3√ 1 3 x2 AB = 2 1 − =2 1− =2 =2 =3 Oppgave 4 alternativ II 4 4 2 a) b) c) d) Oppgave 5
  • 61. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II d) Tor Espen Kristensen 1 Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 . Oppgave 1 Kommenter svaret. Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 √ alternativ I 3√ 1 3 x2 AB = 2 1 − =2 1− =2 =2 =3 Oppgave 4 alternativ II 4 4 2 a) b) c) 1 d) AC 2 = AD 2 + CD 2 = AB 2 + CD 2 Oppgave 5 2 √ 2 2 3 3 39 = + = + 2 2 44 =3 √ √ Det vil si at AD = 3. Av symmetri vil også BC = 3.
  • 62. R1 Våren 2008 Oppgave 4 II d) Tor Espen Kristensen 1 Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 . Oppgave 1 Kommenter svaret. Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 √ alternativ I 3√ 1 3 x2 AB = 2 1 − =2 1− =2 =2 =3 Oppgave 4 alternativ II 4 4 2 a) b) c) 1 d) AC 2 = AD 2 + CD 2 = AB 2 + CD 2 Oppgave 5 2 √ 2 2 3 3 39 = + = + 2 2 44 =3 √ √ Det vil si at AD = 3. Av symmetri vil også BC = 3. Trekanten ABC får det største arealet når trekanten er likesidet.
  • 63. R1 Våren 2008 Oppgave 5 a Tor Espen Kristensen Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 S1 Oppgave 4 alternativ I F Oppgave 4 S2 a alternativ II Oppgave 5 D S3 E b a) b) c c) d) A B C e) f) Finn S1 S2 , S1 S3 og S2 S3 uttrykt ved a, b og c.
  • 64. R1 Våren 2008 Oppgave 5 a Tor Espen Kristensen Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 S1 Oppgave 4 alternativ I F Oppgave 4 S2 a alternativ II Oppgave 5 D S3 E b a) b) c c) d) A B C e) f) Finn S1 S2 , S1 S3 og S2 S3 uttrykt ved a, b og c. S1 S2 = SF + FS2 = a + b S1 S3 = S1 D + DS3 = a + c S2 S3 = s2 E + ES3 = b + c
  • 65. R1 Våren 2008 Oppgave 5 b Tor Espen Kristensen S1 Bruk Pytagoras og vis Oppgave 1 √ at AC = 2 ab Oppgave 2 S2 Oppgave 3 Oppgave 4 a alternativ I b Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5 a) b) A C c) d) e) f)
  • 66. R1 Våren 2008 Oppgave 5 b Tor Espen Kristensen S1 Bruk Pytagoras og vis Oppgave 1 √ at AC = 2 ab Oppgave 2 S2 Oppgave 3 Oppgave 4 a alternativ I b Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5 a) b) A C c) d) e) Hypotenusen i trekanten er S1 S2 = a + b og den ene f) kateten er a − b.
  • 67. R1 Våren 2008 Oppgave 5 b Tor Espen Kristensen S1 Bruk Pytagoras og vis Oppgave 1 √ at AC = 2 ab Oppgave 2 S2 Oppgave 3 Oppgave 4 a alternativ I b Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5 a) b) A C c) d) e) Hypotenusen i trekanten er S1 S2 = a + b og den ene f) kateten er a − b. (a + b)2 − (a − b)2 AC = a2 + 2ab + b 2 − a2 + 2ab − b 2 = √ √ = 4ab = 2 ab
  • 68. R1 Våren 2008 Oppgave 5 c Tor Espen S1 Kristensen Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 Vis på tilsvarende måte√at √ a Oppgave 4 S3 AB = 2 ac og BC = 2 bc alternativ I Oppgave 4 c alternativ II Oppgave 5 a) A B b) c) d) e) f)
  • 69. R1 Våren 2008 Oppgave 5 c Tor Espen S1 Kristensen Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 Vis på tilsvarende måte√at √ a Oppgave 4 S3 AB = 2 ac og BC = 2 bc alternativ I Oppgave 4 Hypotenusen i trekanten er c alternativ II S1 S3 = a + c og den ene Oppgave 5 a) A B kateten er a − c. b) c) d) e) f)
  • 70. R1 Våren 2008 Oppgave 5 c Tor Espen S1 Kristensen Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 Vis på tilsvarende måte√at √ a Oppgave 4 S3 AB = 2 ac og BC = 2 bc alternativ I Oppgave 4 Hypotenusen i trekanten er c alternativ II S1 S3 = a + c og den ene Oppgave 5 a) A B kateten er a − c. Pytagoras b) c) gir oss derfor: d) e) f) (a + c)2 − (a − c)2 AB = a2 + 2ac + c 2 − a2 + 2ac − c 2 = √ √ = 4ac = 2 ac
  • 71. R1 Våren 2008 Oppgave 5 c Tor Espen S2 Kristensen Oppgave 1 Oppgave 2 S3 Oppgave 3 Vis på tilsvarende måte√at √ b Oppgave 4 AB = 2 ac og BC = 2 bc alternativ I c Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5 a) B C b) c) d) e) f)
  • 72. R1 Våren 2008 Oppgave 5 c Tor Espen S2 Kristensen Oppgave 1 Oppgave 2 S3 Oppgave 3 Vis på tilsvarende måte√at √ b Oppgave 4 AB = 2 ac og BC = 2 bc alternativ I c Oppgave 4 Hypotenusen i trekanten er alternativ II S2 S3 = b + c og den ene Oppgave 5 a) B C kateten er b − c. b) c) d) e) f)
  • 73. R1 Våren 2008 Oppgave 5 c Tor Espen S2 Kristensen Oppgave 1 Oppgave 2 S3 Oppgave 3 Vis på tilsvarende måte√at √ b Oppgave 4 AB = 2 ac og BC = 2 bc alternativ I c Oppgave 4 Hypotenusen i trekanten er alternativ II S2 S3 = b + c og den ene Oppgave 5 a) B C kateten er b − c. Pytagoras b) c) gir oss derfor: d) e) f) (b + c)2 − (b − c)2 BC = b 2 + 2bc + c 2 − b 2 + 2bc − c 2 = √ √ = 4bc = 2 bc
  • 74. R1 Våren 2008 Oppgave 5 d Tor Espen Kristensen Bruk resultatene fra b) og c) til å vise følgende Oppgave 1 sammenheng mellom radiene i sirklene: Oppgave 2 1 1 1 √ =√ +√ Oppgave 3 c a b Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5 a) b) c) d) e) f)
  • 75. R1 Våren 2008 Oppgave 5 d Tor Espen Kristensen Bruk resultatene fra b) og c) til å vise følgende Oppgave 1 sammenheng mellom radiene i sirklene: Oppgave 2 1 1 1 √ =√ +√ Oppgave 3 c a b Oppgave 4 alternativ I Vi har at AC = AB + BC. Dette gir oss Oppgave 4 alternativ II √ √ √ Oppgave 5 2 ab = 2 ac + 2 bc a) b) c) √ √ √ d) & & ¨ e) ¨ 2 ab 2 ac 2 bc f) √ =√ +√ a 2 ab c 2 bc 2 abc 1 1 1 √ =√ +√ c a b
  • 76. R1 Våren 2008 Oppgave 5 e) Tor Espen Kristensen Vi setter a = b = r . Finn c uttrykt ved r . Oppgave 1 Oppgave 2 Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5 a) b) c) d) e) f)
  • 77. R1 Våren 2008 Oppgave 5 e) Tor Espen Kristensen Vi setter a = b = r . Finn c uttrykt ved r . Oppgave 1 Oppgave 2 Setter inn i uttrykket fra d): Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I 1 1 1 2 √ =√ +√ =√ Oppgave 4 c r r r alternativ II Oppgave 5 a) r b) c= c) d) 4 e) f)
  • 78. R1 Våren 2008 Oppgave 5 f) Tor Espen Kristensen Konstruer figuren når cm r = 4 cm, enten med passer og Oppgave 1 linjal eller med dynamisk programvare. Forklar hvordan Oppgave 2 du har utført konstruksjonen. Oppgave 3 Oppgave 4 alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5 a) b) c) d) e) f)
  • 79. R1 Våren 2008 Oppgave 5 f) Tor Espen Kristensen Konstruer figuren når cm r = 4 cm, enten med passer og Oppgave 1 linjal eller med dynamisk programvare. Forklar hvordan Oppgave 2 du har utført konstruksjonen. Oppgave 3 Oppgave 4 a = b = 4 cm gir c = 1 cm. alternativ I Oppgave 4 alternativ II Oppgave 5 a) b) c) d) e) f)
  • 80. Oppgave 5 f) Trakk en linje l og merket av 1 punktet A. A
  • 81. Oppgave 5 f) Trakk en linje l og merket av 1 punktet A. Oppreiste en normal i A og 2 avsatte r = 4 cm på denne normalen. Merket av S1 og slo S1 en sirkel med radius 4 cm i S1 . A
  • 82. Oppgave 5 f) Trakk en linje l og merket av 1 punktet A. Oppreiste en normal i A og 2 avsatte r = 4 cm på denne normalen. Merket av S1 og slo S1 en sirkel med radius 4 cm i S1 . Satte av C 8 cm fra A og reiste 3 A opp en normal i C. C
  • 83. Oppgave 5 f) Trakk en linje l og merket av 1 punktet A. Oppreiste en normal i A og 2 avsatte r = 4 cm på denne normalen. Merket av S1 og slo S2 S1 en sirkel med radius 4 cm i S1 . Satte av C 8 cm fra A og reiste 3 A opp en normal i C. C Merket av S2 4 cm over C og 4 slo en sirkel i S2 med radius 4 cm.
  • 84. Oppgave 5 f) Trakk en linje l og merket av 1 punktet A. Oppreiste en normal i A og 2 avsatte r = 4 cm på denne normalen. Merket av S1 og slo S2 S1 en sirkel med radius 4 cm i S1 . S3 Satte av C 8 cm fra A og reiste 3 A opp en normal i C. C Merket av S2 4 cm over C og 4 slo en sirkel i S2 med radius 4 cm. Konstruerte normal i B 4 cm 5 fra A (og B) og satte av S3 1 cm over B.
  • 85. Oppgave 5 f) Trakk en linje l og merket av 1 punktet A. Oppreiste en normal i A og 2 avsatte r = 4 cm på denne normalen. Merket av S1 og slo S2 S1 en sirkel med radius 4 cm i S1 . S3 Satte av C 8 cm fra A og reiste 3 A opp en normal i C. C Merket av S2 4 cm over C og 4 slo en sirkel i S2 med radius 4 cm. Konstruerte normal i B 4 cm 5 fra A (og B) og satte av S3 1 cm over B. Konstruerte så en sirkel med 6 sentrum i S3 med radius lik 1.