1. R1 Våren 2008
Tor Espen
Kristensen
Oppgave 1
Oppgave 2
Oppgave 3
Eksamen R1, Våren 2008
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
Stord Vidaregåande skule
2. R1 Våren 2008
Oppgave 1 a)
Tor Espen
Kristensen
Deriver f (x) = x 2 · ln x
Oppgave 1
a)
b)
c)
d)
e)
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
3. R1 Våren 2008
Oppgave 1 a)
Tor Espen
Kristensen
Deriver f (x) = x 2 · ln x
Oppgave 1
a)
Bruker produktregelen: (u · v) = u v + uv :
b)
c)
d)
e)
1
f (x) = 2x ln x + x 2 · = 2x ln x + x
Oppgave 2
x
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
4. R1 Våren 2008
Oppgave 1 b)
Tor Espen
Kristensen
Utfør polynomdivisjonen
Oppgave 1
a)
(x 3 − 4x 2 + x + 6) : (x − 2)
b)
c)
d)
e)
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
5. R1 Våren 2008
Oppgave 1 b)
Tor Espen
Kristensen
Utfør polynomdivisjonen
Oppgave 1
a)
(x 3 − 4x 2 + x + 6) : (x − 2)
b)
c)
d)
e)
Oppgave 2
(x 3 − 4x 2 + x + 6) : (x − 2) = x 2 − 2x − 3
Oppgave 3
Oppgave 4
x 3 − 2x 2
alternativ I
Oppgave 4
− 2x 2 + x + 6
alternativ II
Oppgave 5
−2x 2 + 4x
− 3x + 6
−3x + 6
0
6. R1 Våren 2008
Oppgave 1 c)
Tor Espen
Kristensen
Bestem grenseverien
Oppgave 1
a)
x 2 − 64
b)
c)
lim
d)
x→8 2x − 16
e)
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
7. R1 Våren 2008
Oppgave 1 c)
Tor Espen
Kristensen
Bestem grenseverien
Oppgave 1
a)
x 2 − 64
b)
c)
lim
d)
x→8 2x − 16
e)
Oppgave 2
Når vi har slike « 0 » tilfeller, kan vi se om en faktorisering
0
Oppgave 3
hjelper:
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
8. R1 Våren 2008
Oppgave 1 c)
Tor Espen
Kristensen
Bestem grenseverien
Oppgave 1
a)
x 2 − 64
b)
c)
lim
d)
x→8 2x − 16
e)
Oppgave 2
Når vi har slike « 0 » tilfeller, kan vi se om en faktorisering
0
Oppgave 3
hjelper:
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
x 2 − 64
alternativ II
(x − 8)(x + 8)
= lim
lim
Oppgave 5
x→8 2x − 16 2(x − 8)
x→8
x +8 8+8
= lim =
2 2
x→8
=8
9. R1 Våren 2008
Oppgave 1 d)
Tor Espen
Kristensen
Skriv så enkelt som mulig
Oppgave 1
a)
x
b)
lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg
c)
y2
d)
e)
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
10. R1 Våren 2008
Oppgave 1 d)
Tor Espen
Kristensen
Skriv så enkelt som mulig
Oppgave 1
a)
x
b)
lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg
c)
y2
d)
e)
Oppgave 2
Oppgave 3
Logaritmereglene: Definisjonen til lg a:
Oppgave 4
alternativ I
lg(a · b) = lg a + lg b
10lg a = a
Oppgave 4
a
alternativ II
lg = lg a − lg b
b
Oppgave 5
lg ar = r lg a
11. R1 Våren 2008
Oppgave 1 d)
Tor Espen
Kristensen
Skriv så enkelt som mulig
Oppgave 1
a)
x
b)
lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg
c)
y2
d)
e)
Oppgave 2
Oppgave 3
Logaritmereglene: Definisjonen til lg a:
Oppgave 4
alternativ I
lg(a · b) = lg a + lg b
10lg a = a
Oppgave 4
a
alternativ II
lg = lg a − lg b
b
Oppgave 5
lg ar = r lg a
x
lg(x · y 2 ) − 2 lg y + lg
y2
= lg x + 2 lg y − 2 lg y + lg x − 2 lg y
x
= 2 lg x − 2 lg y = 2 lg
y
12. Oppgave e) f (x) = xe−x
R1 Våren 2008
Tor Espen
Kristensen
Vis at f (x) = (1 − x) · e−x . Bruk dette til å finne
Oppgave 1
eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .
a)
b)
c)
d)
e)
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
13. Oppgave e) f (x) = xe−x
R1 Våren 2008
Tor Espen
Kristensen
Vis at f (x) = (1 − x) · e−x . Bruk dette til å finne
Oppgave 1
eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .
a)
b)
c)
Vi må her bruke produktregelen for derivasjon sammen
d)
e)
med kjerneregelen. Vi har nemlig at (e−x ) = −e−x .
Oppgave 2
Vi får:
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
f (x) = 1 · e−x + x · (−e−x ) = (1 − x) · e−x
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
14. Oppgave e) f (x) = xe−x
R1 Våren 2008
Tor Espen
Kristensen
Vis at f (x) = (1 − x) · e−x . Bruk dette til å finne
Oppgave 1
eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .
a)
b)
c)
Vi må her bruke produktregelen for derivasjon sammen
d)
e)
med kjerneregelen. Vi har nemlig at (e−x ) = −e−x .
Oppgave 2
Vi får:
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
f (x) = 1 · e−x + x · (−e−x ) = (1 − x) · e−x
Oppgave 4
alternativ II
Fortegnslinjen til den deriverte:
Oppgave 5
1
e−x
(1 − x)
f (x)
Av fortegnslinjen ser vi at grafen til f har et toppunkt i
(1, f (1)) = (1, e−1 ) ≈ (1, 0,37)
15. R1 Våren 2008
Oppgave 2 a)
Tor Espen
Kristensen
Vis at vektorene u = [a, b] og v = [−b, a] står vinkelrett på
Oppgave 1
hverandre.
Oppgave 2
a)
b)
c)
d)
e)
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
16. R1 Våren 2008
Oppgave 2 a)
Tor Espen
Kristensen
Vis at vektorene u = [a, b] og v = [−b, a] står vinkelrett på
Oppgave 1
hverandre.
Oppgave 2
a)
Vi vet at u ⊥ v ⇔ u · v = 0. Sjekker derfor
b)
c)
skalarproduktet:
d)
e)
Oppgave 3
u · v = [a, b] · [−b, a] = −ab + ab = 0
Oppgave 4
alternativ I
Dette viser at de står vinkelrett på hverandre.
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
17. R1 Våren 2008
Oppgave 2 b)
Tor Espen
Kristensen
Punktene A(1, 0), B(5,1)
Oppgave 1
Forklar at
og C(3,4) er hjørner i en
Oppgave 2
x = 3 − t ∧ y = 4 + 4t er
a)
trekant. Fotpunktene til
b)
en parameterframstilling
c)
høydene fra hjørnene A, B
d)
for linja gjeonnom C og
e)
og C er F1 , F2 og F3 . Se
Oppgave 3
F3 .
skissen nedenfor.
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
C
4
Oppgave 5
3
F2 F1
2
B
1
A F3
1 2 3 4 5
18. R1 Våren 2008
Oppgave 2 b)
Tor Espen
Kristensen
Punktene A(1, 0), B(5,1)
Oppgave 1
Forklar at
og C(3,4) er hjørner i en
Oppgave 2
x = 3 − t ∧ y = 4 + 4t er
a)
trekant. Fotpunktene til
b)
en parameterframstilling
c)
høydene fra hjørnene A, B
d)
for linja gjeonnom C og
e)
og C er F1 , F2 og F3 . Se
Oppgave 3
F3 .
skissen nedenfor.
Oppgave 4
alternativ I
Vi vet at
−→ −
− →
Oppgave 4
CF3 ⊥ AB = [4, 1]. Dette
alternativ II
C
viser oss at [−1, 4] er en
4
Oppgave 5
retningsvektor til linja
3
F2 F1 (siden denne er normal på
−→
2
AB jf oppg a).
B
1
A F3
1 2 3 4 5
19. R1 Våren 2008
Oppgave 2 b)
Tor Espen
Kristensen
Vi får at linja er gitt ved
Oppgave 1
[x, y] = [3, 4]+t[−1, 4]
Oppgave 2
C
4
a)
b)
c)
Det vil si
3
d)
F2 F1
e)
2
x =3−t
Oppgave 3
B
Oppgave 4
y = 4 + 4t
1
alternativ I
A F3
Oppgave 4
alternativ II
1 2 3 4 5
Oppgave 5
v = [−1, 4] l og
C(3, 4) ∈ C
20. R1 Våren 2008
Oppgave 2 c)
Tor Espen
Kristensen
Finn en parameterframstilling for linja gjennom A og F1 .
Oppgave 1
Oppgave 2
a)
b)
c)
d)
e)
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
21. R1 Våren 2008
Oppgave 2 c)
Tor Espen
Kristensen
Finn en parameterframstilling for linja gjennom A og F1 .
Oppgave 1
−→ − →
−
Oppgave 2
AF1 ⊥ BC = [−2, 3]. På
a)
b)
samme måte som i
c)
d)
C oppgave b) får vi at
e)
4
Oppgave 3
u = [3, 2] er en
3
Oppgave 4
F2 retningsvektor til linja
F1
alternativ I
2 gjennom A og F1 . Linja er
Oppgave 4
B
alternativ II
derfor gitt ved
1
Oppgave 5
[x, y] = [1, 0] + s[3, 2]. Det
A F3
vil si:
1 2 3 4 5
x = 1 + 3s
y = 2s
22. R1 Våren 2008
Oppgave 2 d)
Tor Espen
Kristensen
Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene
Oppgave 1
CF3 og AF1 .
Oppgave 2
a)
b)
c)
d)
e)
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
23. R1 Våren 2008
Oppgave 2 d)
Tor Espen
Kristensen
Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene
Oppgave 1
CF3 og AF1 .
Oppgave 2
a)
De to linjene har parameterframstillinger
b)
c)
d)
e)
x =3−t x = 1 + 3s
og
Oppgave 3
y = 4 + 4t y = 2s
Oppgave 4
alternativ I
Dette gir oss
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
3 − t = 1 + 3s
4 + 4t = 2s
Den nederste likningen gir
s = 2 + 2t. Dette setter vi inn
i den øverste og får:
24. R1 Våren 2008
Oppgave 2 d)
Tor Espen
Kristensen
Regn ut koordinatene til skjæringspunktet mellom linjene
Oppgave 1
CF3 og AF1 .
Oppgave 2
a)
De to linjene har parameterframstillinger
b)
c)
d)
e)
x =3−t x = 1 + 3s
og
Oppgave 3
y = 4 + 4t y = 2s
Oppgave 4
alternativ I
Dette gir oss
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
3 − t = 1 + 3s 3 − t = 1 + 3(2 + 2t)
4 + 4t = 2s
−7t = 4
Den nederste likningen gir
s = 2 + 2t. Dette setter vi inn
4
i den øverste og får: t=−
7
25. R1 Våren 2008
Oppgave 2 d)
Tor Espen
Kristensen
Oppgave 1
x =3−t
Oppgave 2
a)
y = 4 + 4t
b)
c)
d)
Setter t = − 4 inn og får
e)
7
Oppgave 3
Oppgave 4
4 25
alternativ I
x =3− − =
7 7
Oppgave 4
alternativ II
4 12
Oppgave 5
y =4+4· − =
7 7
25 12
Altså er skjæringspunktet lik S = .
7, 7
26. R1 Våren 2008
Oppgave 2 e)
Tor Espen
Kristensen
Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja
Oppgave 1
gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette
Oppgave 2
et eksempel på?
a)
b)
c)
d)
e)
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
27. R1 Våren 2008
Oppgave 2 e)
Tor Espen
Kristensen
Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja
Oppgave 1
gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette
Oppgave 2
et eksempel på?
a)
b)
−→− →
c)
Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2
d)
e)
ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S.
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
28. R1 Våren 2008
Oppgave 2 e)
Tor Espen
Kristensen
Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja
Oppgave 1
gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette
Oppgave 2
et eksempel på?
a)
b)
−→− →
c)
Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2
d)
e)
ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S.
Oppgave 3
Oppgave 4
−→ 25 12 10 5 5
alternativ I
= [−2, 1]
BS = − 5, −1 = − ,
Oppgave 4
7 7 77 7
alternativ II
Oppgave 5
29. R1 Våren 2008
Oppgave 2 e)
Tor Espen
Kristensen
Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja
Oppgave 1
gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette
Oppgave 2
et eksempel på?
a)
b)
−→− →
c)
Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2
d)
e)
ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S.
Oppgave 3
Oppgave 4
−→ 25 12 10 5 5
alternativ I
= [−2, 1]
BS = − 5, −1 = − ,
Oppgave 4
7 7 77 7
alternativ II
Oppgave 5
−→
[−2, 1] · AC = [−2, 1] · [2, 4] = −4 + 4 = 0
−→− →
Dette viser at BS ⊥ AC.
30. R1 Våren 2008
Oppgave 2 e)
Tor Espen
Kristensen
Vis at skjæringspunktet du fant i d), også ligger på linja
Oppgave 1
gjennom B og F2 . Hvilken setning fra geometrien er dette
Oppgave 2
et eksempel på?
a)
b)
−→− →
c)
Vi kan vise dette ved å vise at BS ⊥ AC. I så fall vil F2
d)
e)
ligge på forlengelsen av linja gjennom B og S.
Oppgave 3
Oppgave 4
−→ 25 12 10 5 5
alternativ I
= [−2, 1]
BS = − 5, −1 = − ,
Oppgave 4
7 7 77 7
alternativ II
Oppgave 5
−→
[−2, 1] · AC = [−2, 1] · [2, 4] = −4 + 4 = 0
−→− →
Dette viser at BS ⊥ AC.
Høydene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.
Skjæringspunktet mellom høydene i en trekant kalles
trekantens ortosenter.
31. R1 Våren 2008
Oppgave 3 a)
Tor Espen
Kristensen
Fra en kortstokk trekker vi tilfeldig ut 5 kort. I flere kortspill
kalles disse 5 kortene en hånd.
Oppgave 1
Oppgave 2
Hvor mange mulige korthender er det?
Oppgave 3
a)
b)
c)
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
32. R1 Våren 2008
Oppgave 3 a)
Tor Espen
Kristensen
Fra en kortstokk trekker vi tilfeldig ut 5 kort. I flere kortspill
kalles disse 5 kortene en hånd.
Oppgave 1
Oppgave 2
Hvor mange mulige korthender er det?
Oppgave 3
a)
b)
Vi har uordnet utvalg uten tilbakelegging. Antall
c)
korthender er derfor
Oppgave 4
alternativ I
52
Oppgave 4
= 2 598 960
alternativ II
5
Oppgave 5
33. R1 Våren 2008
Oppgave 3 b)
Tor Espen
Kristensen
A: Korthånden består av 5 spar.
Oppgave 1
B: Korthånden består av 5 svarte kort.
Oppgave 2
Oppgave 3
Bestem P(A) og P(B)
a)
b)
c)
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
34. R1 Våren 2008
Oppgave 3 b)
Tor Espen
Kristensen
A: Korthånden består av 5 spar.
Oppgave 1
B: Korthånden består av 5 svarte kort.
Oppgave 2
Oppgave 3
Bestem P(A) og P(B)
a)
b)
c)
13
= 1287.
Antall gunstige for A er 5
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
antall gunstig 1287
alternativ II
≈ 4,95 · 10−4
P(A) = =
Oppgave 5
antall mulig 2 598 960
35. R1 Våren 2008
Oppgave 3 b)
Tor Espen
Kristensen
A: Korthånden består av 5 spar.
Oppgave 1
B: Korthånden består av 5 svarte kort.
Oppgave 2
Oppgave 3
Bestem P(A) og P(B)
a)
b)
c)
13
= 1287.
Antall gunstige for A er 5
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
antall gunstig 1287
alternativ II
≈ 4,95 · 10−4
P(A) = =
Oppgave 5
antall mulig 2 598 960
26
= 67 780.
Antall gunstige for B er 5
= 67 780
antall gunstig
≈ 0,025
P(B) = =
antall mulig 2 598 960
36. R1 Våren 2008
Oppgave 3 c)
Tor Espen
Kristensen
Finn P(A | B). Er hendelsene A og B uavhengige?
Oppgave 1
Oppgave 2
Oppgave 3
a)
b)
c)
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
37. R1 Våren 2008
Oppgave 3 c)
Tor Espen
Kristensen
Finn P(A | B). Er hendelsene A og B uavhengige?
Oppgave 1
Oppgave 2
Siden A ∩ B = A, så får vi
Oppgave 3
a)
P(A ∩ B 4,95 · 10−4
P(A)
b)
P(A | B) = = = = 0,0195
c)
P(B) P(B) 0,025
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
38. R1 Våren 2008
Oppgave 3 c)
Tor Espen
Kristensen
Finn P(A | B). Er hendelsene A og B uavhengige?
Oppgave 1
Oppgave 2
Siden A ∩ B = A, så får vi
Oppgave 3
a)
P(A ∩ B 4,95 · 10−4
P(A)
b)
P(A | B) = = = = 0,0195
c)
P(B) P(B) 0,025
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
Vi ser at P(A | B) = P(A), så A og B er avhengig
alternativ II
hendelser.
Oppgave 5
39. R1 Våren 2008
Oppgave 4 I a)
Tor Espen
Kristensen
f (x)
Oppgave 1
1
Oppgave 2
Oppgave 3
x
1 2 3 4 5
Oppgave 4
−1
alternativ I
a)
−2
b)
c)
−3
Oppgave 4
alternativ II
a) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5
avgjøre hvor
funksjonen f vokser og
hvor den avtar.
40. R1 Våren 2008
Oppgave 4 I a)
Tor Espen
Kristensen
Vi ser at f (x) < 0 når
f (x)
x ∈ ←, 1 ∪ 3, → og at
Oppgave 1
1
Oppgave 2
f (x) > 0 når x ∈ 1, 3 .
Oppgave 3
x f er voksende i 1, 3
1 2 3 4 5
Oppgave 4
−1
alternativ I
f er avtagende i
a)
−2
←, 1 ∪ 3, →
b)
c)
−3
Oppgave 4
alternativ II
a) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5
avgjøre hvor
funksjonen f vokser og
hvor den avtar.
41. R1 Våren 2008
Oppgave 4 I b)
Tor Espen
Kristensen
f (x)
Oppgave 1
1
Oppgave 2
Oppgave 3
x
1 2 3 4 5
Oppgave 4
−1
alternativ I
a)
−2
b)
c)
−3
Oppgave 4
alternativ II
b) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5
finne førstekoordinaten
til eventuelle topp-,
bunn- og vendepunkter
på grafen til f .
42. R1 Våren 2008
Oppgave 4 I b)
Tor Espen
Kristensen
Siden f (x) skifter fortegn
f (x)
i x = 1 og x = 3, så vet vi
Oppgave 1
1
Oppgave 2
at disse verdiene for x er
Oppgave 3
førstekoordinaten til
x
1 2 3 4 5
Oppgave 4
henholdsvis et bunnpunkt
−1
alternativ I
a)
og et toppunkt (siden den
−2
b)
c)
først er synkene, så
−3
Oppgave 4
stigende og deretter
alternativ II
synkende igjen).
b) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5
finne førstekoordinaten
Vi finner vendepunkt er
til eventuelle topp-,
hvor f (x) har sine
bunn- og vendepunkter
ekstremalverdier. Det vil si
på grafen til f .
for x = 2.
43. R1 Våren 2008
Oppgave 4 I c)
Tor Espen
Kristensen
f (x)
Oppgave 1
1
Oppgave 2
Oppgave 3
x
1 2 3 4 5
Oppgave 4
−1
alternativ I
a)
−2
b)
c)
−3
Oppgave 4
alternativ II
c) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5
finne et
funksjonsuttrykk for f .
44. R1 Våren 2008
Oppgave 4 I c)
Tor Espen
Kristensen
Vi ser at f (1) = f (3) = 0.
f (x)
Oppgave 1
Grafen ser ut som en
1
Oppgave 2
«sur» parabel. Så vi
Oppgave 3
prøver med
x
1 2 3 4 5
Oppgave 4
−(x − 1)(x − 3) =
−1
alternativ I
−x 2 + 4x − 3. Sjekker
a)
−2
b)
c)
noen verdier: f (0) = −3,
−3
Oppgave 4
f (2) = 1.
alternativ II
c) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5
finne et
f (x) = −x 2 + 4x − 3
funksjonsuttrykk for f .
45. R1 Våren 2008
Oppgave 4 I c)
Tor Espen
Kristensen
Vi ser at f (1) = f (3) = 0.
f (x)
Oppgave 1
Grafen ser ut som en
1
Oppgave 2
«sur» parabel. Så vi
Oppgave 3
prøver med
x
1 2 3 4 5
Oppgave 4
−(x − 1)(x − 3) =
−1
alternativ I
−x 2 + 4x − 3. Sjekker
a)
−2
b)
c)
noen verdier: f (0) = −3,
−3
Oppgave 4
f (2) = 1.
alternativ II
c) Bruk grafen til f til å
Oppgave 5
finne et
f (x) = −x 2 + 4x − 3
funksjonsuttrykk for f .
Merk: Her kunne vi også brukt regresjon i et digitalt
verktøy. I GeoGebra kunne vi gitt kommandoen
RegPoly[{(0, -3), (1,0), (2,1), (3,0), (4,-3)} , 2]
46. R1 Våren 2008
Oppgave 4 I d)
Tor Espen
Kristensen
Grafen til f går gjennom origo. Forklar at
Oppgave 1
f (x) = − 1 x 3 + 2x 2 − 3x
3
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
a)
b)
c)
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
47. R1 Våren 2008
Oppgave 4 I d)
Tor Espen
Kristensen
Grafen til f går gjennom origo. Forklar at
Oppgave 1
f (x) = − 1 x 3 + 2x 2 − 3x
3
Oppgave 2
Oppgave 3
Siden f (x) = −x 2 + 4x − 3, så må
Oppgave 4
1
f (x) = − 3 x 3 + 2x 2 − 3x + C, for et tall C. Siden f (0) = 0,
alternativ I
a)
må C = 0.
b)
c)
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
48. R1 Våren 2008
Oppgave 4 I d)
Tor Espen
Kristensen
Grafen til f går gjennom origo. Forklar at
Oppgave 1
f (x) = − 1 x 3 + 2x 2 − 3x
3
Oppgave 2
Oppgave 3
Siden f (x) = −x 2 + 4x − 3, så må
Oppgave 4
1
f (x) = − 3 x 3 + 2x 2 − 3x + C, for et tall C. Siden f (0) = 0,
alternativ I
a)
må C = 0.
b)
c)
Oppgave 4
Grafen til f :
alternativ II
Oppgave 5
y
1,0
0,5
x
f 1 2 3 4
−0,5
−1,0
−1,5
49. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II a)
Tor Espen
Kristensen
C
Oppgave 1
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
S
alternativ I
Oppgave 4
1
x
alternativ II
a)
b)
A B
c)
D
d)
Oppgave 5
Vis at arealet til den
likebeina trekanten er
√
F (x) = (1 + x) 1 − x 2
50. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II a)
Tor Espen
Kristensen
Høyden i trekanten er x + 1.
C
Oppgave 1
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
S
alternativ I
Oppgave 4
1
x
alternativ II
a)
b)
A B
c)
D
d)
Oppgave 5
Vis at arealet til den
likebeina trekanten er
√
F (x) = (1 + x) 1 − x 2
51. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II a)
Tor Espen
Kristensen
Høyden i trekanten er x + 1.
C
Finner BD ved å bruke
Oppgave 1
Oppgave 2
Pytagoras’ setning:
Oppgave 3
Oppgave 4
S
alternativ I
1 − x2
BD =
Oppgave 4
1
x
alternativ II
a)
Det vil si at grunnlinjen er
b)
√
A B
c)
2 1 − x 2.
D
d)
Oppgave 5
Vis at arealet til den
likebeina trekanten er
√
F (x) = (1 + x) 1 − x 2
52. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II a)
Tor Espen
Kristensen
Høyden i trekanten er x + 1.
C
Finner BD ved å bruke
Oppgave 1
Oppgave 2
Pytagoras’ setning:
Oppgave 3
Oppgave 4
S
alternativ I
1 − x2
BD =
Oppgave 4
1
x
alternativ II
a)
Det vil si at grunnlinjen er
b)
√
A B
c)
2 1 − x 2.
D
d)
Arealet til trekanten blir derfor
Oppgave 5
Vis at arealet til den
likebeina trekanten er g·h
√ areal =
F (x) = (1 + x) 1 − x 2 2 √
(1 + x)2 1 − x 2
=
2
= (1 + x) 1 − x 2
53. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II b)
Tor Espen
Kristensen
Tegn grafen til F. Bruk grafen til å finne det største arealet
Oppgave 1
av trekanten ABC.
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
a)
b)
c)
d)
Oppgave 5
54. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II b)
Tor Espen
Kristensen
Tegn grafen til F. Bruk grafen til å finne det største arealet
Oppgave 1
av trekanten ABC.
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
y
alternativ I
A = (0,5, 1,3)
1,4
Oppgave 4
alternativ II
1,2
a)
b)
1,0
c)
d)
0,8
Oppgave 5
0,6
0,4
0,2
x
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
−1,0 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2
Størst areal lik 1,3 når x = 0,5. NB! Husk å tegne grafen
pent på papiret med eneheter på aksene. . .
55. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II c)
Tor Espen
Kristensen
Vis at x = 1 er en løsning av likningen F (x) = 0.
2
Oppgave 1
Kommenter svaret.
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
a)
b)
c)
d)
Oppgave 5
56. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II c)
Tor Espen
Kristensen
Vis at x = 1 er en løsning av likningen F (x) = 0.
2
Oppgave 1
Kommenter svaret.
Oppgave 2
Oppgave 3
Deriverer F (x):
Oppgave 4
alternativ I
−2x
F (x) = 1 · 1 − x 2 + (1 + x) · √
Oppgave 4
alternativ II
2 1 − x2
√ √
a)
b)
( 1 − x 2 )( 1 − x 2 ) x(1 + x)
c)
√ −√
=
d)
1 − x2 1 − x2
Oppgave 5
2 − x − x2
1−x
√
=
1 − x2
1 − x − 2x 2
=√
1 − x2
57. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II c)
Tor Espen
Kristensen
Vis at x = 1 er en løsning av likningen F (x) = 0.
2
Oppgave 1
Kommenter svaret.
Oppgave 2
Oppgave 3
Deriverer F (x):
Oppgave 4
alternativ I
−2x
F (x) = 1 · 1 − x 2 + (1 + x) · √
Oppgave 4
alternativ II
2 1 − x2
√ √
a)
b)
( 1 − x 2 )( 1 − x 2 ) x(1 + x)
c)
√ −√
=
d)
1 − x2 1 − x2
Oppgave 5
2 − x − x2
1−x
√
=
1 − x2
1 − x − 2x 2
=√
1 − x2
1 1
−2·
1−
1 2 4
Vi får derfor at F ( 2 ) = =0
1
1− 4
58. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II C)
Tor Espen
Kristensen
Vi vet at vi finner ekstremalverdier der hvor den deriverte
er null. I oppgave b) fant vi at x = 0,5 gir største areal.
Oppgave 1
Derfor forventet vi at F (0,5) = 0.
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
a)
b)
c)
d)
Oppgave 5
59. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II d)
Tor Espen
Kristensen
1
Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 .
Oppgave 1
Kommenter svaret.
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
a)
b)
c)
d)
Oppgave 5
60. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II d)
Tor Espen
Kristensen
1
Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 .
Oppgave 1
Kommenter svaret.
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
√
alternativ I
3√
1 3
x2
AB = 2 1 − =2 1− =2 =2 =3
Oppgave 4
alternativ II
4 4 2
a)
b)
c)
d)
Oppgave 5
61. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II d)
Tor Espen
Kristensen
1
Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 .
Oppgave 1
Kommenter svaret.
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
√
alternativ I
3√
1 3
x2
AB = 2 1 − =2 1− =2 =2 =3
Oppgave 4
alternativ II
4 4 2
a)
b)
c)
1
d)
AC 2 = AD 2 + CD 2 = AB 2 + CD 2
Oppgave 5
2
√ 2 2
3 3 39
= + = +
2 2 44
=3
√ √
Det vil si at AD = 3. Av symmetri vil også BC = 3.
62. R1 Våren 2008
Oppgave 4 II d)
Tor Espen
Kristensen
1
Regn ut lengden av sidene i trekanten ABC når x = 2 .
Oppgave 1
Kommenter svaret.
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
√
alternativ I
3√
1 3
x2
AB = 2 1 − =2 1− =2 =2 =3
Oppgave 4
alternativ II
4 4 2
a)
b)
c)
1
d)
AC 2 = AD 2 + CD 2 = AB 2 + CD 2
Oppgave 5
2
√ 2 2
3 3 39
= + = +
2 2 44
=3
√ √
Det vil si at AD = 3. Av symmetri vil også BC = 3.
Trekanten ABC får det største arealet når trekanten er
likesidet.
63. R1 Våren 2008
Oppgave 5 a
Tor Espen
Kristensen
Oppgave 1
Oppgave 2
Oppgave 3
S1
Oppgave 4
alternativ I
F
Oppgave 4
S2
a
alternativ II
Oppgave 5
D S3 E b
a)
b)
c
c)
d)
A B C
e)
f)
Finn S1 S2 , S1 S3 og S2 S3 uttrykt ved a, b og c.
64. R1 Våren 2008
Oppgave 5 a
Tor Espen
Kristensen
Oppgave 1
Oppgave 2
Oppgave 3
S1
Oppgave 4
alternativ I
F
Oppgave 4
S2
a
alternativ II
Oppgave 5
D S3 E b
a)
b)
c
c)
d)
A B C
e)
f)
Finn S1 S2 , S1 S3 og S2 S3 uttrykt ved a, b og c.
S1 S2 = SF + FS2 = a + b
S1 S3 = S1 D + DS3 = a + c
S2 S3 = s2 E + ES3 = b + c
65. R1 Våren 2008
Oppgave 5 b
Tor Espen
Kristensen
S1
Bruk Pytagoras og vis
Oppgave 1
√
at AC = 2 ab
Oppgave 2
S2
Oppgave 3
Oppgave 4
a
alternativ I
b
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
a)
b)
A C
c)
d)
e)
f)
66. R1 Våren 2008
Oppgave 5 b
Tor Espen
Kristensen
S1
Bruk Pytagoras og vis
Oppgave 1
√
at AC = 2 ab
Oppgave 2
S2
Oppgave 3
Oppgave 4
a
alternativ I
b
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
a)
b)
A C
c)
d)
e)
Hypotenusen i trekanten er S1 S2 = a + b og den ene
f)
kateten er a − b.
67. R1 Våren 2008
Oppgave 5 b
Tor Espen
Kristensen
S1
Bruk Pytagoras og vis
Oppgave 1
√
at AC = 2 ab
Oppgave 2
S2
Oppgave 3
Oppgave 4
a
alternativ I
b
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
a)
b)
A C
c)
d)
e)
Hypotenusen i trekanten er S1 S2 = a + b og den ene
f)
kateten er a − b.
(a + b)2 − (a − b)2
AC =
a2 + 2ab + b 2 − a2 + 2ab − b 2
=
√ √
= 4ab = 2 ab
68. R1 Våren 2008
Oppgave 5 c
Tor Espen
S1
Kristensen
Oppgave 1
Oppgave 2
Oppgave 3
Vis på tilsvarende måte√at
√
a
Oppgave 4
S3 AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I
Oppgave 4
c
alternativ II
Oppgave 5
a)
A B
b)
c)
d)
e)
f)
69. R1 Våren 2008
Oppgave 5 c
Tor Espen
S1
Kristensen
Oppgave 1
Oppgave 2
Oppgave 3
Vis på tilsvarende måte√at
√
a
Oppgave 4
S3 AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I
Oppgave 4
Hypotenusen i trekanten er
c
alternativ II
S1 S3 = a + c og den ene
Oppgave 5
a)
A B kateten er a − c.
b)
c)
d)
e)
f)
70. R1 Våren 2008
Oppgave 5 c
Tor Espen
S1
Kristensen
Oppgave 1
Oppgave 2
Oppgave 3
Vis på tilsvarende måte√at
√
a
Oppgave 4
S3 AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I
Oppgave 4
Hypotenusen i trekanten er
c
alternativ II
S1 S3 = a + c og den ene
Oppgave 5
a)
A B kateten er a − c. Pytagoras
b)
c)
gir oss derfor:
d)
e)
f)
(a + c)2 − (a − c)2
AB =
a2 + 2ac + c 2 − a2 + 2ac − c 2
=
√ √
= 4ac = 2 ac
71. R1 Våren 2008
Oppgave 5 c
Tor Espen
S2
Kristensen
Oppgave 1
Oppgave 2
S3
Oppgave 3
Vis på tilsvarende måte√at
√
b
Oppgave 4
AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I
c
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
a)
B C
b)
c)
d)
e)
f)
72. R1 Våren 2008
Oppgave 5 c
Tor Espen
S2
Kristensen
Oppgave 1
Oppgave 2
S3
Oppgave 3
Vis på tilsvarende måte√at
√
b
Oppgave 4
AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I
c
Oppgave 4
Hypotenusen i trekanten er
alternativ II
S2 S3 = b + c og den ene
Oppgave 5
a)
B C kateten er b − c.
b)
c)
d)
e)
f)
73. R1 Våren 2008
Oppgave 5 c
Tor Espen
S2
Kristensen
Oppgave 1
Oppgave 2
S3
Oppgave 3
Vis på tilsvarende måte√at
√
b
Oppgave 4
AB = 2 ac og BC = 2 bc
alternativ I
c
Oppgave 4
Hypotenusen i trekanten er
alternativ II
S2 S3 = b + c og den ene
Oppgave 5
a)
B C kateten er b − c. Pytagoras
b)
c)
gir oss derfor:
d)
e)
f)
(b + c)2 − (b − c)2
BC =
b 2 + 2bc + c 2 − b 2 + 2bc − c 2
=
√ √
= 4bc = 2 bc
74. R1 Våren 2008
Oppgave 5 d
Tor Espen
Kristensen
Bruk resultatene fra b) og c) til å vise følgende
Oppgave 1
sammenheng mellom radiene i sirklene:
Oppgave 2
1 1 1
√ =√ +√
Oppgave 3
c a b
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
75. R1 Våren 2008
Oppgave 5 d
Tor Espen
Kristensen
Bruk resultatene fra b) og c) til å vise følgende
Oppgave 1
sammenheng mellom radiene i sirklene:
Oppgave 2
1 1 1
√ =√ +√
Oppgave 3
c a b
Oppgave 4
alternativ I
Vi har at AC = AB + BC. Dette gir oss
Oppgave 4
alternativ II
√ √
√
Oppgave 5
2 ab = 2 ac + 2 bc
a)
b)
c)
√ √
√
d)
& &
¨
e)
¨
2 ab 2 ac 2 bc
f)
√ =√ +√
a
2 ab c 2 bc
2 abc
1 1 1
√ =√ +√
c a
b
76. R1 Våren 2008
Oppgave 5 e)
Tor Espen
Kristensen
Vi setter a = b = r . Finn c uttrykt ved r .
Oppgave 1
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
77. R1 Våren 2008
Oppgave 5 e)
Tor Espen
Kristensen
Vi setter a = b = r . Finn c uttrykt ved r .
Oppgave 1
Oppgave 2
Setter inn i uttrykket fra d):
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
1 1 1 2
√ =√ +√ =√
Oppgave 4
c r r r
alternativ II
Oppgave 5
a)
r
b)
c=
c)
d)
4
e)
f)
78. R1 Våren 2008
Oppgave 5 f)
Tor Espen
Kristensen
Konstruer figuren når cm r = 4 cm, enten med passer og
Oppgave 1
linjal eller med dynamisk programvare. Forklar hvordan
Oppgave 2
du har utført konstruksjonen.
Oppgave 3
Oppgave 4
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
79. R1 Våren 2008
Oppgave 5 f)
Tor Espen
Kristensen
Konstruer figuren når cm r = 4 cm, enten med passer og
Oppgave 1
linjal eller med dynamisk programvare. Forklar hvordan
Oppgave 2
du har utført konstruksjonen.
Oppgave 3
Oppgave 4
a = b = 4 cm gir c = 1 cm.
alternativ I
Oppgave 4
alternativ II
Oppgave 5
a)
b)
c)
d)
e)
f)
80. Oppgave 5 f)
Trakk en linje l og merket av
1
punktet A.
A
81. Oppgave 5 f)
Trakk en linje l og merket av
1
punktet A.
Oppreiste en normal i A og
2
avsatte r = 4 cm på denne
normalen. Merket av S1 og slo
S1
en sirkel med radius 4 cm i S1 .
A
82. Oppgave 5 f)
Trakk en linje l og merket av
1
punktet A.
Oppreiste en normal i A og
2
avsatte r = 4 cm på denne
normalen. Merket av S1 og slo
S1
en sirkel med radius 4 cm i S1 .
Satte av C 8 cm fra A og reiste
3
A
opp en normal i C.
C
83. Oppgave 5 f)
Trakk en linje l og merket av
1
punktet A.
Oppreiste en normal i A og
2
avsatte r = 4 cm på denne
normalen. Merket av S1 og slo
S2
S1
en sirkel med radius 4 cm i S1 .
Satte av C 8 cm fra A og reiste
3
A
opp en normal i C.
C
Merket av S2 4 cm over C og
4
slo en sirkel i S2 med radius
4 cm.
84. Oppgave 5 f)
Trakk en linje l og merket av
1
punktet A.
Oppreiste en normal i A og
2
avsatte r = 4 cm på denne
normalen. Merket av S1 og slo
S2
S1
en sirkel med radius 4 cm i S1 .
S3
Satte av C 8 cm fra A og reiste
3
A
opp en normal i C.
C
Merket av S2 4 cm over C og
4
slo en sirkel i S2 med radius
4 cm.
Konstruerte normal i B 4 cm
5
fra A (og B) og satte av S3
1 cm over B.
85. Oppgave 5 f)
Trakk en linje l og merket av
1
punktet A.
Oppreiste en normal i A og
2
avsatte r = 4 cm på denne
normalen. Merket av S1 og slo
S2
S1
en sirkel med radius 4 cm i S1 .
S3
Satte av C 8 cm fra A og reiste
3
A
opp en normal i C.
C
Merket av S2 4 cm over C og
4
slo en sirkel i S2 med radius
4 cm.
Konstruerte normal i B 4 cm
5
fra A (og B) og satte av S3
1 cm over B.
Konstruerte så en sirkel med
6
sentrum i S3 med radius lik 1.