Tsulide

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て.
. Ornstein の同型定理について
れんま(n%)（徳富　蘇峰）
2014 年9 月14 日

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て目次
. 1 ベルヌーイ系の導入と主定理
. 2 目印がある場合への帰着
. 3 骨格の導入と基本補題
. 4 詰材の概念と同値類の評価
. 5 団体の結成定理と割り当ての構成
. 6 主定理の証明と参考文献

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当てベルヌーイ系とは？
.
.定義1.1
　 1 以上の整数a について、集合A = {0, . . . , a}
とこの集合上の測度pを考える。
.

.
.定義1.1
　 1 以上の整数a について、集合A = {0, . . . , a}
　集合X = AZ にベルヌーイ測度μ = pZ を入れ
て、
.

.
.定義1.1
　 1 以上の整数a について、集合A = {0, . . . , a}
て、シフト写像T : X ∋ (xi)i7→ (xi−1)i ∈ X を考え
る。
.

.
.定義1.1
　 1 以上の整数a について、集合A = {0, . . . , a}
て、シフト写像T : X ∋ (xi)i7→ (xi−1)i ∈ X を考え
る。この時、測度力学系(X,B, μ, T) をベルヌーイ
系、あるいはベルヌーイシフトと呼ぶ。
.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て測度力学系の同型とは？
.
.定義1.2
　二つの測度力学系 (X,B, m, T), (Y, C, n, S) が測
度同型であるとは、
.

.
.定義1.2
度同型であるとは、その補集合が零集合であるよ
うな可測集合A ⊂ X, B ⊂ Y があって、以下の性
質を満たすことです。
.

.
.定義1.2
(a) T(A) ⊂ A, S(B) ⊂ B
.

.
.定義1.2
(a) T(A) ⊂ A, S(B) ⊂ B
(b) ある双可測写像Φ : A → B があって、
.
Φ ◦ T = S ◦ Φを満たす。

.
.定義1.2
(a) T(A) ⊂ A, S(B) ⊂ B
(b) ある双可測写像Φ : A → B があって、
.
Φ ◦ T = S ◦ Φを満たす。
　以下では、mは確率測度でT は保測変換である
とする。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て測度論的エントロピー
.
.定義1.3
　測度力学系 (X,B, m, T) において、分割
A = {A0, . . . , An} に対しエントロピーが次のよう
に定義される。
.

.
.定義1.3
.
hm(A) =
Σn
i=0
− m(Ai) log2(m(Ai))

.
.定義1.3
.
hm(A) =
Σn
i=0
　ここから測度論的エントロピーが定義される。

.
.定義1.3
.
hm(A) =
Σn
i=0
　ここから測度論的エントロピーが定義される。
hm(T)=sup
A
hm(T,A), hm(T,A)=lim
n→∞
i=0T−iA)
hm(∨n

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て今日考える問題と主定理
.
.問題
　二つのベルヌーイシフト (AZ,B, pZ, T) と
(BZ, C, qZ, T′) の測度論的エントロピーが一致する
とき、それらは互いに測度同型になるか？
.

.
.問題
と.
き、それらは互いに測度同型になるか？
.
.定理1.1
　二つのベルヌーイシフトの測度論的エントロ
ピーが一致するとき、
.

.
.問題
と.
き、それらは互いに測度同型になるか？
.
.定理1.1
　二つのベルヌーイシフトの測度論的エントロ
ピーが一致するとき、両者の間に零集合を除いて
連続となるような写像Φによって測度同型に
なる。
.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て目印を作るための基本的な補題(その1)
.
.補題2.1
　 2 以上の自然数a, b とエントロピーが同じ二つ
のカントール系(AZ,B, pZ, T), (BZ, C, qZ, T′) に対
して、
.

.
.補題2.1
して、ある2 以上の自然数c ともう一つ同じエン
トロピーh を持つカントール系(CZ,D, rZ, T′) で
あって、
.

.
.補題2.1
あって、ある自然数0 5 k 5 a, 0 5 l 5 b が
r0 = pk, r1 = ql を満たすものが存在する。
.

.
.補題2.1
あって、ある自然数0 5 k 5 a, 0 5 l 5 b が
r0 = pk, r1 = ql を満たすものが存在する。
　ここで、A = {0, . . . , a} などとしている。(B, C
についても同様。)
.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題2.1 の証明(6 割ほど)
.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
pa = qb となるようにしておく。
.

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
−ri log2 ri とh、つまり
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
−pi log2 pi を比較する。

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
　今、関数ϕ(x) = −x log2 x は[0, 1] 内で上に凸な
関数なので、

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
関数なので、r2 = p1 = p2 = r1 であることに着目
すれば、

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
関数なのΣ2
で、r2 = p1 = p2 = r1 であることに着目
すれば、
i=1
−ri log2 ri 5
Σ2
i=1
−pi log2 pi が言え
て、

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
関数なのΣ2
すれば、
i=1
−ri log2 ri 5
Σ2
i=1
て、前者のほうが小さいことがわかる。

.
.Proof.
　改めて順序をつけ p0 = · · · = pa, q0 = · · · = qb,
　ここで、r0 = p0, r1 = qb, r2 = 1 − r0 − r1 と定義
して、
.
Σ2
i=0
Σ2
i=1
−ri log2 ri
と
Σa
i=1
関数なのΣ2
すれば、
i=1
−ri log2 ri 5
Σ2
i=1
て、前者のほうが小さいことがわかる。
　あとは次の主張が示されればよい。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題2.1 の証明のための主張
.
.主張
　ある 2 以上の自然数c と正の実数の組
(s2, . . . , sc) であって、次の二式を満たすものが存
在する。
.

.
.主張
在する。
(a) s2 + · · · + sc = r2.
.

.
.主張
在する。
(a) s2 + · · · + sc = r2.
(b) {Σ1
.
i=0
−ri log2 ri} + {Σc
i=2
−si log2 si} = h.

.
.主張
在する。
(a) s2 + · · · + sc = r2.
(b) {Σ1
.
i=0
−ri log2 ri} + {Σc
i=2
−si log2 si} = h.
.
Proof. ..
.中間値の定理の応用問題です。

.
.補題2.2
　もしも、カントール系 (AZ,B, pZ, T),
A = {0, . . . , a} においてa = 2 であったとする。
.

.
.補題2.2
A = {0, . . . , a} においてa = 2 であったとする。
　この時、2 以上の自然数c とカントール系
(CZ,D, rZ, T′′), C = {0, . . . , c} とある自然数k で
あって、
.

.
.補題2.2
A = {0, . . . , a} においてa = 2 であったとする。
あって、次を満たすものが存在する。
.

.
.補題2.2
A = {0, . . . , a} においてa = 2 であったとする。
あって、次を満たすものが存在する。
.
pk
0 p1 = rk
0 r1.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題2.2 の証明
.
.Proof.
　まずは、1 r0 max{p0, p1} を任意に選ぶ。
.

.
.Proof.
ここで、充分k を大きくとりr1 := (p0/r1)k p1 が
r0 + r1 1 を満たすようにできる。
.

.
.Proof.
r0 + r1 1 を満たすようにできる。さらに、
r2 := 1 − r0 − r1 とおけば、
.

.
.Proof.
r2 := 1 − r0 − r1 とおけば、必要ならばr0 を大き
く取り直すことにより、
.

.
.Proof.
く取り直すことにより、次の不等式を得ることが
できる。
.

.
.Proof.
できる。Σ2
.
i=0
{−ri log2 ri} 5 h.

.
.Proof.
できる。Σ2
.
i=0
{−ri log2 ri} 5 h.
　したがって、あとは補題2.1 の主張と同様の議
論をすればよい。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て目印の定義
二つのベルヌーイシフトが殆ど至る所連続な
写像Φによって測度同型になるという関係が
” 同値関係” になっている為、

” 同値関係” になっている為、(AZ,B, pZ, T),
(CZ,D, rZ, T′′) の間にそれぞれ求める測度同
型を構成すればよい。

そこで、補題2.1 の場合は、p0 = q0 を仮定
し、目印(記号列)MをM = 0 と定義する。

　補題2.2 の場合は、pk
0
p1 = qk
0
q1. を仮定し、
M = 0k1 と定義する。

　補題2.2 の場合は、pk
0
p1 = qk
0
q1. を仮定し、
M = 0k1 と定義する。ここで、0k とは0 がk
回連続して表われることを意味している。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て骨格の定義
以下では、増大する自然数列{Nr}r∈N
(0 N1, Nr Nr+1) を一つ固定して考える。

.
.定義3.1
　自然数 r と目印Mに対し、階数r の骨格s とい
うと、自然数r と次の図式の組を指す。
.

.
.定義3.1
　　　　　s : Mn0
.
l1
Mn1
l2
. . .
lm
Mlm

.
.定義3.1
　　　　　s : Mn0
.
l1
Mn1
l2
. . .
lm
Mlm
　ここで、lt(1 5 t 5 m), nt(0 5 t 5 m) は自然数
で、次の不等式を満たす。

.
.定義3.1
　　　　　s : Mn0
.
l1
Mn1
l2
. . .
lm
Mlm
　ここで、lt(1 5 t 5 m), nt(0 5 t 5 m) は自然数
で、次の不等式を満たす。
　　　nt Nr 5 min{n0, nm}(1 5 t 5 m − 1).

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て骨格の意味と階数、長さ
　骨格の定義において、Mn は目印Mがn回
連続して表われることを表す。

l
は目印を含
まない長さl の記号列を表す。

l
は目印を含
　自然数r も込めて考えているので、

l
は目印を含
　自然数r も込めて考えているので、二つの
骨格s, s′ が同じ図式であってもr が異なれ
ば、s, s′ は別の骨格として考える。

l
は目印を含
　骨格s における自然数r を骨格s の階数と
言って、r(s) とかく。

l
は目印を含
　骨格s における自然数r を骨格s の階数と
言って、r(s) とかく。
Σ　骨格s における長さとは、l(s) :=
m
t=1 lt の
ことを指す。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て部分骨格と骨格の階数分解(その1)
.
.定義3.2
.
　階数 r′ の骨格s′ が骨格s の部分骨格である
とは、

.
.定義3.2
.
とは、s′ の図式が適切な0 5 t t′ 5 mに
よって次のように書けることを言う。

.
.定義3.2
.
s′ : Mnt
lt+1
Mnt+1 . . .
lt′
Mlt′

.
.定義3.2
.
s′ : Mnt
lt+1
Mnt+1 . . .
lt′
Mlt′
　骨格s の二つの部分骨格s1, s2 が交わらな
いとは、

.
.定義3.2
.
s′ : Mnt
lt+1
Mnt+1 . . .
lt′
Mlt′
　骨格s の二つの部分骨格s1, s2 が交わらな
いとは、集合{t1, . . . , t′
1}, {t2, . . . , t′
2} が交わ
らないことを指す。

.
.定義3.2(続き)
.
　骨格 s の部分骨格の組(s1, . . . , sk) が骨格s
の分解であるとは、

.
.定義3.2(続き)
.
の分解であるとは、各s j たちが互いに交わら
ず、

.
.定義3.2(続き)
.
ず、かつ∪{15l5ktl, . . . , t′
} = {l0, . . . , m} とな
ることを指し、s = s1 × · · · × sk とかく。

.
.定義3.2(続き)
.
ず、かつ∪{15l5ktl, . . . , t′
} = {l0, . . . , m} とな
.
.補題3.3(骨格の階数分解)
　任意の階数 r が2 以上の骨格s は、
.

.
.定義3.2(続き)
.
ず、かつ∪{15l5ktl, . . . , t′
} = {l0, . . . , m} とな
.
.補題3.3(骨格の階数分解)
　任意の階数 r が2 以上の骨格s は、階数r − 1 の
部分骨格s j たちによって一意にs = s1 × · · · × sk
と分解する。
.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題3.3 の証明(その1)
.
.Proof.
　今、Nr−1 Nr 5 n0 なので、
.

.
.Proof.
　今、Nr−1 Nr 5 n0 なので、Nr−1 5 nt を満た
す最小のt , 0 について、
.

.
.Proof.
す最小のt , 0 について、骨格s の{0, . . . , t} の部
分を切り出せば、
.

.
.Proof.
分を切り出せば、階数r − 1 の部分骨格s1 が得ら
れる。
.

.
.Proof.
れる。t = mならばここで分解が完成し、
.

.
.Proof.
れる。t = mならばここで分解が完成し、そうで
なくともt から始めて以下帰納的に部分骨格を構
成していけば、
.

.
.Proof.
れる。t = mならばここで分解が完成し、そうで
なくともt から始めて以下帰納的に部分骨格を構
成していけば、長くともm回でt′
.
= mに到達し
て、階数分解が得られる。

.
.Proof.
　一意性については、二通りの分解
s = s1 × · · · × sk = s′
1 × · · · × s′
l があったとする。
.

.
.Proof.
s = s1 × · · · × sk = s′
1 × · · · × s′
まず、部分骨格s1, s′
1 についてt1 t′
1 であれば、
.

.
.Proof.
s = s1 × · · · × sk = s′
1 × · · · × s′
1 であれば、
nt1 Nr−1 5 nt1 より矛盾が出るので、
.

.
.Proof.
s = s1 × · · · × sk = s′
1 × · · · × s′
1 であれば、
nt1 Nr−1 5 nt1 より矛盾が出るので、対称性より
t1 = t′
1 となる。
.

.
.Proof.
s = s1 × · · · × sk = s′
1 × · · · × s′
1 であれば、
nt1 Nr−1 5 nt1 より矛盾が出るので、対称性より
t1 = t′
1 となる。以下、帰納的にk = l, ti = t′
i が
得られる。
.

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て骨格とベルヌーイ系との関連性
　ベルヌーイ系(AZ,B, pZ, T) の点x ∈ AZ と
骨格s について、

骨格s について、s がx において現れるとは
次の状況を指す。

次の状況を指す。つまり、その前後に目印M
が現れないx の有限区間であって、

が現れないx の有限区間であって、骨格s に
おいて各
lt
を長さlt の目印を含まない記号
列を埋めることで得られるものが存在する。

おいて各
lt
　さらに、整数i についてx の第i 座標がs に
より被覆されるとは、

おいて各
lt
より被覆されるとは、上述の条件を満たすx
の有限区間であって、

おいて各
lt
より被覆されるとは、上述の条件を満たすx
の有限区間であって、第i 座標があるt の
lt
の部分に現れるものが存在することを指す。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当てベルヌーイ系における骨格の基本補題
.
.補題3.4(基本補題)
(a) 　整数i と目印Mについて、
.

.
(a) 　整数i と目印Mについて、殆どのx ∈ AZ
.
はその第i 座標が目印Mに含まれるか、

.
.
はその第i 座標が目印Mに含まれるか、それ
とも任意のr = 1 について一意な骨格sr(x) で
あって第i 座標を被覆するものが存在するか
のいずれかである。

.
.
(b) 　長さの増大列{Ln}n∈N が与えられると、

.
.
(b) 　長さの増大列{Ln}n∈N が与えられると、冒
頭の増大列{Nn}n∈N をうまくとって、

.
.
(b) 　長さの増大列{Ln}n∈N が与えられると、冒
頭の増大列{Nn}n∈N をうまくとって、殆どの
x ∈ AZ に対して十分大きなすべてのr が
l(sr(x)) = Lr を満たすようにできる。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題3.4 の(a) の証明
.
.Proof.
　階数 Nr と目印Mの長さをk とし、
.

.
.Proof.
　階数 Nr と目印Mの長さをk とし、測度空間と
して(AZ,B, pZ), ({ANrk}Z,B′, {pNr k}Z) を同一視す
るとき、
.

.
.Proof.
るとき、i の属するブロックが第j ブロックである
とすると、
.

.
.Proof.
とすると、第j − 1 ブロックから第j − l ブロック
まで一度もMNr が現れない確率は(1 − pk(M)Nr)
.
l
であるから、

.
.Proof.
.
l
であるから、確率1 でx ∈ AZ はi より左側に最低
一回MNr が現れ、Mが有限個続いて止まる。

.
.Proof.
.
l
一回MNr が現れ、Mが有限個続いて止まる。零
集合の可算和は零集合なので、確率1 で任意の階
数r に対し両側にNr 回以上Mが続く区間があり、

.
.Proof.
.
l
一回MNr が現れ、Mが有限個続いて止まる。零
集合の可算和は零集合なので、確率1 で任意の階
数r に対し両側にNr 回以上Mが続く区間があり、
両側で一番i に近いところを端として骨格を構成
すればよい。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題3.4 の(b) の証明
.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
とおいてl(sr(x)) Lr となる確率qr を
考えよう。

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
考えよう。第t 座標から第t − (Lr + 1)Lrk + 1 座
標までの様子は、

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
標までの様子は、骨格sr(x) の左端Mn0 が現れる
か否かで場合分けして考えれば、

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
か否かで場合分けして考えれば、最低(Lr − 1)Lr
回現れることがわかる。

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
回現れることがわかる。その確率は重複組み合わ
せを用い、

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
せを用い、(Lr−1)Lr+1H2Lrk(pk(M))(Lr−1)Lr と表され、
m = pk(M) を用いて、

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
2r
m = pk(M) を用いて、mLr((Lr−1)−2k(log2 3L/ log2 m)) と
評価される。

.
.Proof.
　 Nr = L2r
.
2r
m = pk(M) を用いて、mLr((Lr−1)−2k(log2 3L/ log2 m)) と
評価される。これにより
Σ∞
r=l qr → 0(l → ∞) が得
られ、証明が終わる。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て目印過程と詰材の導入
　ベルヌーイ系(AZ,B, pZ, T) と長さk の目
印Mについて、

印Mについて、二点集合E = {0, 1} に
q0 = pk(M), q1 = 1 − q0 と確率測度を入れて
考えたベルヌーイ系を目印過程といい、

考えたベルヌーイ系を目印過程といい、その
エントロピーe を目印エントロピーと呼ぶ。
　この目印エントロピーを用いて、詰材エン
トロピーg を次で定義する。

g :=
h − e
1 − kpk(M)

g :=
h − e
1 − kpk(M)
　先述の補題の目印については、g 0 となる。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て詰材に関する一連の定義
.
.定義4.1
　階数 r の骨格s に対して、その詰材集合F(s) と
は次の有限積測度空間である。
.

.
.定義4.1
.
F(s) =
Πm
i=1
Ali
0

.
.定義4.1
.
F(s) =
Πm
i=1
Ali
0
　ここで、Al
0 とはAl の元の中で目印Mが現れ
ないものを集めた集合で、

.
.定義4.1
.
F(s) =
Πm
i=1
Ali
0
　ここで、Al
0 とはAl の元の中で目印Mが現れ
ないものを集めた集合で、ここには正規化された
確率測度pl/(pl(Al
0
)) が入っている。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て詰材に関した記号の定義(その1)
　骨格s の詰材F ∈ F(s) と座標番号の集合
I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
k ∈ I(s) J に対して、次のように推移確率を
定義する。

I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
定義する。
p(k, F, J) = p(Xk = Xk(F)|(Xl = Xl(F)(l ∈ J)))

I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
定義する。
　ここでXk とは、第k 座標を返す確率変数、

I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
定義する。
Xk = Xk(F) は{ω ∈ F(s)|Xk(ω) = Xk(F)} と
いう意味で、

I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
定義する。
いう意味で、p(A|B) = p(A ∩ B)/p(B) であ
る。

I(s) := {1, . . . , l(s)} の部分集合J と
定義する。
いう意味で、p(A|B) = p(A ∩ B)/p(B) であ
る。pは詰材集合の確率測度である。

　先ほどの記号をもとにして次の二つの量を
定義する。

定義する。
η := min{p(k, F, J)|J, F, k : 0 p(k, F, J) 5 1}

定義する。
θ := max{p(k, F, J)|J, F, k : 0 5 p(k, F, J) 1}

定義する。
　ここで、階数分解s = s1 × · · · × sm があれ
ば、

定義する。
　ここで、階数分解s = s1 × Π· · · × sm があれ
ば、測度空間としてF(s) =
m
i=1
F(si) と詰
材集合も同一視できることに注意する。

定義する。
　ここで、階数分解s = s1 × Π· · · × sm があれ
ば、測度空間としてF(s) =
m
i=1
F(si) と詰
材集合も同一視できることに注意する。この
ことを利用して詰材集合に同値関係を導入
する。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て詰材集合上の同値関係の定義(その1)
　以下、実数の減少列ϵr ϵr+1, limr→∞ ϵr = 0 を
固定して考え、

固定して考え、階数r の骨格s の詰材F に対して
I(s) の部分集合J(F) を定義する。

.
.
　階数1 の骨格に対し、次のように定義する。

.
.
ΠJ(F) = {k : 1 5 k 5 l, k−1
η2−g(1−ϵ1)l}
i=1 p(i, F, {1, . . . , i − 1}) = 1

.
.
ΠJ(F) = {k : 1 5 k 5 l, k−1
η2−g(1−ϵ1)l}
i=1 p(i, F, {1, . . . , i − 1}) = 1
　それ以上の階数では、階数分解を用いて
F = F1 × · · · × Fm ∈ Πm
i=1
F(si) として、

.
.
ΠJ(F) = {k : 1 5 k 5 l, k−1
η2−g(1−ϵ1)l}
i=1 p(i, F, {1, . . . , i − 1}) = 1
　それ以上の階数では、階数分解を用いて
F = F1 × · · · × Fm ∈ Πm
i=1
F(si) として、
eJ(F) := ∪m
i=1
J(Fi) ⊂ I(s) と定義しておく。

.
.
　 I(s) eJ(F) の単調増加な番号付けを
{k1, . . . , kv} とし、J(F) を次で定義する。

.
.
J(F) := eJ(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v,

.
.
J(F) := e Π J(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v, u−1
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})

.
.
J(F) := e Π J(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v, u−1
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) = 1
η2−g(1−ϵr)l}

.
.
J(F) := e Π J(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v, u−1
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) = 1
η2−g(1−ϵr)l}
　詰材同士の同値関係をXk(F) = Xk(F′)
(k ∈ J(F)) と定義するために、

.
.
J(F) := e Π J(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v, u−1
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) = 1
η2−g(1−ϵr)l}
(k ∈ J(F)) と定義するために、F ∼ F′ ならば
J(F) = J(F′) を示す必要があるが、

.
.
J(F) := e Π J(F) ∪ {ku : 1 5 u 5 v, u−1
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) = 1
η2−g(1−ϵr)l}
(k ∈ J(F)) と定義するために、F ∼ F′ ならば
J(F) = J(F′) を示す必要があるが、J(F), J(F′) の
定義でのXk のF, F′ での値の一致からでる。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て詰材集合の同値類の評価(その1)
　詰材集合F(s) をこの同値関係で割った集
合をe F(s) とかき、

合をe F(s) とかき、詰材Fの同値類を[F] とか
く。

く。この集合には、詰材集合から自然に確率
測度p0 が導かれる。

.
.補題4.2
(a) 　階数r 長さl の骨格s の詰材F ∈ F(s) は、
.
次の不等式を満たす。

.
.補題4.2
(a) 　階数r 長さl の骨格s の詰材F ∈ F(s) は、
.
次の不等式を満たす。
p0([F]) = 2−g(1−ϵr)l

.
.補題4.2(つづき)
(b) 　任意のδ 0, r に対して、
.

.
(b) 　任意のδ 0, r に対して、ある長さ
.
l0 =l0(δ, r) 以上の長さl を持つ階数r の骨格s
の詰材F ∈ F(s) は測度δ 以下の集合のものを
除き次を満たす。

.
.
　　　p0([F]) 5 1
η2−g(1−ϵr)l

.
.
　　　p0([F]) 5 1
η2−g(1−ϵr)l
(c) 　任意のδ 0, r に対して、

.
.
　　　p0([F]) 5 1
η2−g(1−ϵr)l
(c) 　任意のδ 0, r に対して、ある長さ

.
.
　　　p0([F]) 5 1
η2−g(1−ϵr)l
(c) 　任意のδ 0, r に対して、ある長さ
除き次を満たす。　　#(J(F))
l = 1 − 4g
| log2 θ|ϵr

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題4.2(a) の証明
.
.Proof.
　 J(F) の定義における最大のku をとり、以下の
ように評価する。
.

.
.Proof.
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})
p(Xk = Xk(F)(k ∈ eJ(F))

.
.Proof.
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F) ∪ {k1, . . . , ki−1})
p(Xk = Xk(F)(k ∈ eJ(F))=
p(ku,F,eJ(F)∪{k1,...,ku−1})
η 2−g(1−ϵr)l = 2−g(1−ϵr)l

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当てバーコフのエルゴード定理
.
.定理4.3（バーコフのエルゴード定理）
　確率空間 (X,B, p) とエルゴード的な保測写像T
において、
.

.
において、f ∈ L1(X,B, p) に対して次がω − a.s
で成り立つ。
.

.
において、f ∈ L1(X,B, p) に対して次がω − a.s
で成り立つ。
.
lim
n→∞
1
n
Σn−1
k=0
f (Tk(ω)) =
∫
X
f dp

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当てシャノン-マクミルマン-ブライマンの定理
.
定理4.4（シャノン-マクミルマン-ブライマンの
定. 理）
において、
.

.
定. 理）
において、X の有限分割P = {P1, . . . , Pk} に対し
て次がω − a.s で成り立つ。
.

.
定. 理）
.
lim
n→∞
1
n
Σ
i1,...,in
χPi1,...,in(ω) log2 p(Pi1,...,in) = hp(T, P)

.
定. 理）
.
lim
n→∞
1
n
Σ
i1,...,in
χPi1,...,in(ω) log2 p(Pi1,...,in) = hp(T, P)
　ここでPi1,...,in = ∩n
k=1
T−(k−1)Pik でχ は特性関数
を表す。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題4.2(b) の証明（途中まで）
.
.Proof.
　骨格 F ∈ F(s) はJ(F) = I(s) であるか、
.

.
.Proof.
　骨格 F ∈ F(s) はJ(F) = I(s) であるか、そうで
なければJ(F) の定義における最大のku をとって
以下のように評価される。
.

.
.Proof.
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F)∪{k1, . . . , ki−1})

.
.Proof.
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F)∪{k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) 5 1
η2−g(1−ϵr)l

.
.Proof.
p0([F]) =
.
Πu
i=1 p(ki, F, eJ(F)∪{k1, . . . , ki−1})p(Xk =
Xk(F)(k ∈ eJ(F)) 5 1
η2−g(1−ϵr)l
η2−g(1−ϵr)l を満たす詰材
　したがって、p(F) 1
F ∈ F(s) の集合の大きさがl 大きくすることでい
くらでも小さく評価できればよい。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て補題4.2(c) の証明（途中まで）
.
.Proof.
　詰材 F ∈ F(s) であって件の不等式を満たさな
い、
.

.
.Proof.
い、つまり#(J(F))
.
l 1 − 4g
| log2 θ|ϵr を満たしているな
らば、

.
.Proof.
.
l 1 − 4g
らば、[ 4gl
| log2 θ|ϵr] 個のI(s) J(F) の元がある。

.
.Proof.
.
l 1 − 4g
らば、[ 4gl
| log2 θ|ϵr] 個のI(s) J(F) の元がある。各
lt
でI(s) J(F) の左端の座標の推移確率は1 未満で
あるから、

.
.Proof.
.
l 1 − 4g
らば、[ 4gl
lt
あるから、少なくとも[ 2gl
| log2 θ|ϵr] 個の推移確率が1
未満なので次の評価が成り立つ。

.
.Proof.
.
l 1 − 4g
らば、[ 4gl
lt
あるから、少なくとも[ 2gl
| log2 θ|ϵr] 個の推移確率が1
未満なので次の評価が成り立つ。
p(F) 5
1
θ
p0([F])θ2glϵr/| log2 θ| 5
1
ηθ
2−g(1+ϵr)l

.
.主張
　次のそれぞれの不等式について、これを満たす
詰材F ∈ F(s) の集合の大きさはl を大きくするこ
とでいくらでも小さく評価できる。
.

.
.主張
　次のそれぞれの不等式について、これを満たす
詰材F ∈ F(s) の集合の大きさはl を大きくするこ
とでいくらでも小さく評価できる。
.
p(F) =
1
η
2−g(1−ϵr)l, p(F) 5
1
ηθ
2−g(1+ϵr)l

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て先ほどの主張の証明(その1)
.
.Proof.
　次の不等式を満たす詰材の集合が小さく評価で
きることを言えばよい。
.
|g +
1
l
log2 p(F)| = ϵr

.
.Proof.
.
|g +
1
l
log2 p(F)| = ϵr
　ここで、目印過程の”1” を1k に置き換えたも
のΩを考えれば、

.
.Proof.
.
|g +
1
l
log2 p(F)| = ϵr
のΩを考えれば、これは目印過程と測度同型にな
るが、

.
.Proof.
.
|g +
1
l
log2 p(F)| = ϵr
のΩを考えれば、これは目印過程と測度同型にな
るが、元のベルヌーイ系からシフトと両立的な可
測写像Φ; AZ → Ω ⊂ EZ が自然に得られる。

ベルヌーイ系の導入と主定理目印がある場合への帰着骨格の導入と基本補題詰材の概念と同値類の評価団体の結成定理と割り当て先ほどの主張の証明（その2）
.
.Proof.
　骨格が目印の部分も含めて第 q 座標から第r 座
標まで現れるとすると、
.

.
.Proof.
標まで現れるとすると、詰物のところをF ∈ F(s)
で埋めたものをyi(q 5 i 5 r) とすれば、次の等式
が成立する。
.

.
.Proof.
標まで現れるとすると、詰物のところをF ∈ F(s)
で埋めたものをyi(q 5 i 5 r) とすれば、次の等式
が成立する。
.
pZ({xi = yi}) = p(F)q′(exi = Φ(yi))

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