Math

1. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 8-11-06 16:15 ™ÂÏ›‰·171
ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ - 171 -
¢‡Ô ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ fiÙ·Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ·˘Ù¤˜ Â1
ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜, Â›Ó·È ÔÚı¤˜.
¶Ò˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ Î·ıÂÙfiÙËÙ· ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ;
Â2
°È· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜, Â1
⊥
¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ “⊥”, ÁÚ¿ÊÔ˘Ì Â1⊥Â2 Î·È Â B
‰È·‚¿˙Ô˘ÌÂ: “Ë Â1 Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙËÓ Â2”.
°
¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· (‹ ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜) Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¢
¿Óˆ Û ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜, ϤÁÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· Â2
ÙÌ‹Ì·Ù· (‹ οıÂÙ˜ ËÌÈ¢ı›˜). ∞
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™
1. ¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜;
§‡ÛË
™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 Û ¤Ó· ʇÏÏÔ ¯·ÚÙ›.
¢ÈÏÒÓÔ˘Ì ÙÔ ¯·ÚÙ› ηٿ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜ Â2 Î·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ:
(·) ¢ ° °
(Â1) (Â2)
OÈ ËÌÈ¢ı›˜ ∞¢ Î·È ∞∂
∞
∞ ‰ÂÓ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó.
c ( ) 2 (Â1) ∂Ô̤ӈ˜ ÔÈ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜
B
¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ‰ÂÓ Â›Ó·È
∂ B ¢ ∂ οıÂÙ˜.
(‚) ¢ (Â2) ° °
√È ËÌÈ¢ı›˜ ∞¢ Î·È ∞∂
Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË
∞ c ( ) ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÔÈ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜
2 ∞ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ›ӷÈ
B (Â1) οıÂÙ˜ (Â1⊥Â2).
 Â
(Â1) B
¢
∂ ∂
2. ¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜;
§‡ÛË
∞Ó ‰ÈÏÒÛÔ˘Ì ÙÔ Ê‡ÏÏÔ ¯·ÚÙ› ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜, Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ
Û¯‹Ì·Ù· Î·È ÌÂÙ¿ ÙÔ ·ÓÔ›ÍÔ˘ÌÂ, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ù· Ù۷ΛÛÌ·Ù·, Ô˘ ¤ÁÈÓ·Ó ¿Óˆ
ÛÙÔ ¯·ÚÙ›, ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2.
µ µ
µ
(Â1)
c (Â1) c (Â1)
∞ ∞ ° ∞ °
°
(Â2) (Â2)

2. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·172
- 172 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ
3. ¡· ۯ‰ȷÛÙ› ¢ı›·  , Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙË Û ¢ı›· Â.
1 Ë ÂÚ›ÙˆÛË: ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â
Â
∞
∞ ∞ ∞
∞
     Â
Â
➊ ➋ ➌ ➍ ➎
2 Ë ÂÚ›ÙˆÛË: ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ∞ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â
∞ ∞ ∞ Â
∞ ∞
    Â
➊ ➋ ➌ Â ➍ Â ➎
4. ¢›ÓÂÙ·È Ë Â˘ı›· Â Î·È Ù· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢. ¡· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó Â˘ı›˜ Â1, Â2, Â3 ηÈ
Â4, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, οıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â.
§‡ÛË Â1
∞ Â2
∆ÔÔıÂÙԇ̠ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›·  ¤ÙÛÈ, ÒÛÙÂ Ë Ì›· Â4
·fi ÙȘ ‰‡Ô οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ Ó· Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â. Â3
µ
™‡ÚÔ˘Ì ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÛÙËÓ Â˘ı›· Â, ¤ˆ˜ fiÙÔ˘ Ë ¿ÏÏË Î¿ıÂÙË
ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Ó· ¤ÚıÂÈ Û Â·Ê‹ Ì ¤Ó· ·fi Ù· ‰ÔṲ̂ӷ ÛËÌ›·.
∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·˘Ùfi ¯·Ú¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË °
ÛÙËÓ Â. ∂·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·‰Èηۛ· ·˘Ù‹, ÁÈ· οı ÛËÌÂ›Ô ¢ °
∞, µ, ° Î·È ¢ Î·È Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ÙȘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3 Î·È Â4 Â
·ÓÙ›ÛÙÔȯ·, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â.
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ToÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË.
(·) ∞Ó ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ËÌÈ¢ı›˜ οıÂÙ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜,
ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È: ❑ √Í›· ❑ √Úı‹ ❑ ∞Ì‚Ï›·.
(‚) ∞Ó Û ÌÈ· ÁˆÓ›· Ë ÙÂÏÈ΋ ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙËÓ ·Ú¯È΋, ·ÊÔ‡ οÓÂÈ ÌÈ· Ï‹ÚË
ÛÙÚÔÊ‹, ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ϤÁÂÙ·È: ❑ ªË‰ÂÓÈÎË ÁˆÓ›· ❑ ∂˘ı›· ÁˆÓ›· ❑ ¶Ï‹Ú˘ ÁˆÓ›·.
2. ™¯Â‰›·Û ËÌÈ¢ı›· √x Î·È ¯¿Ú·Í ¢ı›· Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ √ οıÂÙË ÛÙËÓ √x.
3. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó·
Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û’ ·˘Ùfi.
4. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y Ô˘ Ó· ÌËÓ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ™ËÌ›ˆÛ ÛÙËÓ
√x ÙÚ›· ÛËÌ›· ∞,µ Î·È °. ∞fi οı ÛËÌÂ›Ô ·fi ·˘Ù¿ ۯ‰›·Û ¢ı›· οıÂÙË ÚÔ˜ ÙËÓ √y.
5. ™¯Â‰›·Û ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y Ô˘ Ó· ÌËÓ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √
Ó· ʤÚÂȘ ÙȘ οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ox Î·È √y. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;
6. ™¯Â‰›·Û ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ Î·È Ê¤Ú ·fi οı ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ÙËÓ Î¿ıÂÙË ÚÔ˜ ÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘.
7. ™¯Â‰›·Û ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹. º¤Ú ·fi Ù· ∞ ηÈ
µ ¢ı›˜ οıÂÙ˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È ÂͤٷÛ Û ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ οıÂÙ˜ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó.
8. ToÔı¤ÙËÛ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÔÓÔ̷ۛ˜ ÁˆÓÈÒÓ, Ì ÛÂÈÚ¿ ÌÂÁ¤ıÔ˘˜ ÙÔ˘ ̤ÙÚÔ˘ ÙÔ˘˜:
√Úı‹ - ∂˘ı›· - ¶Ï‹Ú˘ - ∞Ì‚Ï›· - ªË‰ÂÓÈ΋ - ªË ΢ÚÙ‹ - √Í›·.

3. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·173
ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ - 173 -
µ.1.7. E Ê Â Í ‹ ˜ Î · È ‰ È · ‰ Ô ¯ È Î ¤ ˜ Á ˆ Ó › Â ˜ - Õ ı Ú Ô È Û Ì · Á ˆ Ó È Ò Ó
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞
∧ ∧
™Â ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚ›· Û¯‹Ì·Ù· ˘¿Ú¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ê Î·È ˆ.
➣ ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙËÓ ÚfiÙ·ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ÙÚ›· Û¯‹Ì·Ù·
Î·È ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.
µ ¢
°
∞ °
ˆ
Ê µ
Ê µ ˆ
ˆ
Ê
√ ∞
° ¢ ∞
Œ¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÙËÓ .............. Œ¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ÎÔÈÓ‹ Œ¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÙËÓ................
Î·È ÙËÓ ....................... Î·È .................... Î·È Î·Ó¤Ó· Ì›· ...................................
ηӤӷ ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Î·È ...................................
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
°
∂ÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó
ÙËÓ ›‰È· ÎÔÚ˘Ê‹, Ì›· ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó µ
ηӤӷ ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô .
√ ∞
°
¢È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ϤÁÔÓÙ·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi
‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È µ
ηıÂÌÈ¿ ·fi ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›· Ì ÙËÓ
√ ∞
ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ‹ ÙËÓ ÂfiÌÂÓ‹ Ù˘.
¢

4. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·174
- 174 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™
1. À¿Ú¯ÂÈ ÙÚfiÔ˜ ÁÈ· Ó· Á›ÓÔ˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÂÊÂÍ‹˜;
µ
§‡ÛË ¢
°
AÔÙ˘ÒÓÔ˘Ì ÙË Ì›· ÁˆÓ›· ÛÂ
∫
‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Î·È ÙË ÌÂٷʤÚÔ˘Ì √ ∞
ηٿÏÏËÏ· ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ Á›ÓÂÈ
ÂÊÂÍ‹˜ Ì ÙËÓ ¿ÏÏË.
➊ ➋ ➌
µ µ ¢
°
c c ∫
µ
√
√ ∞ √ ∞
∞
™Â ·ÚÎÂÙ¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜, dËÏ·‰‹ Ó· ‚Úԇ̠ÌÈ·
ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›·, Ô˘ Ó· Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. ∞˜ ‰Ô‡Ì Ò˜ Á›ÓÂÙ·È ·˘Ùfi.
2. ¡· ‚ÚÂı› Ë ÁˆÓ›·, Ô˘ Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ.
§‡ÛË
ªÂ ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›, fiˆ˜ οӷÌÂ Î·È ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, ʤÚÓÔ˘Ì ÙȘ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜
∧ ∧
∞√ µ Î·È °∫ ¢ Û ı¤ÛË Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙ ӷ Á›ÓÔ˘Ó ÂÊÂÍ‹˜. ∆fiÙ ÔÈ ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ √∞
∧
Î·È √¢ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· Ó¤· ÁˆÓ›· ÙËÓ ∞√ ¢, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, Ì ÙÔ
∧ ∧
ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ, fiÙÈ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ · + ‚ , ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ
∧ ∧
(· Î·È ‚ ) ÙˆÓ ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ.
·
µ
¢
° ¢
·
√ ∞ c ∫
µ c √ ·
√ ‚ ‚ ·+‚
¢
° ∞ ∞
K

5. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·175
ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ - 175 -
3. N· ‚ÚÂı› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ Ì ̤ÙÚ· 50Æ Î·È 82Æ.
y
§‡ÛË x y
∧ ∧
ŒÛÙˆ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ xO x Î·È yO y Ì ̤ÙÚ·
∧ ∧ ∧
· =50Æ Î·È ‚ =82Æ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ‚ =82Æ
∧ ∧
∏ ÁˆÓ›· xO y Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÓÔÈÁÌ·: · =50Æ
∧ ∧ ∧ x
xOy = · + ‚ = 50Æ + 82Æ = 132Æ, O
Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ·˘ÙÒÓ.
4. ¢›ÓÂÙ·È Â˘ı›· x x. ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô √ Ù˘ ¢ı›·˜ ʤÚÓÔ˘Ì ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘,
‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √y Î·È √z. ¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÁˆÓÈÒÓ, Ô˘
Û¯ËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·.
§‡ÛË
∧
Ÿˆ˜ ·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, Ë ÁˆÓ›· xO x Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·
∧ ∧ ∧
ÙˆÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ yO x , yO z Î·È zO x. ÕÚ· ÙÔ z
∧
̤ÙÚÔ Ù˘ ‰ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ
∧ ∧ ∧
̤ÙÚˆÓ · , ‚ Î·È Á ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ·˘ÙÒÓ, y
∧ ∧ ∧ ∧ ∧
‰ËÏ·‰‹ ‰ = · + ‚ + Á . ∂Âȉ‹ fï˜ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ‰
∧
∧
‚ ∧
ÁˆÓ›·˜ xO x Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜, Ë ÁˆÓ›· ∧ Á
∧ ·
x x
·˘Ù‹ ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ‰ = 180Æ. O
∧ ∧ ∧
ÕÚ·, · + ‚ + Á = 180Æ.
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿:
(·) ¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÎÔÚ˘Ê‹, ÌÈ· ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ
¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È .......................................... .
(‚) ∆ÚÂȘ ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÁˆÓ›Â˜, Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È Î·ıÂÌÈ¿ ·fi ·˘-
Ù¤˜ Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›· Ì ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ‹ ÙËÓ ÂfiÌÂÓË Ù˘ ϤÁÔÓÙ·È ............................... .
∞
B
2. ¡· ‚ÚÂȘ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ fiϘ ÙȘ ÂÊÂÍ‹˜ Î·È fiϘ
ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜. ∂
°
°
¢
3. ¡· ‚ÚÂȘ Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ∂ ¢
ÂÊÂÍ‹˜ ÁˆÓÈÒÓ ÛÙÔ Û¯‹Ì·. x
∞ µ
4. ¡· ÁÚ¿„ÂȘ ÙȘ ÂÊÂÍ‹˜ Î·È ÙȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù·.
µ ➊ y ➋ O ➌ ¢
x ➍
¢ ° °
¢
∑ ∫
v
x
x
∞ ° x ∞ µ y z ∞ µ

6. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·176
- 176 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ
µ.1.8. ¶ · Ú ·  Ï Ë Ú ˆ Ì · Ù È Î ¤ ˜ Î · È ™ ˘ Ì  Ï Ë Ú ˆ Ì · Ù È Î ¤ ˜ Á ˆ Ó › Â ˜ -
K·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞
∧ ∧
¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ xO y Î·È yO z Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜.
√È ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜.
➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜;
∧ ∧
¢‡Ô ÁˆÓ›Â˜ xO y Î·È yO z Â›Ó·È ÂÊÂÍ‹˜.
√È ÌË ÎÔÈÓ¤˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ ËÌÈ¢ı›˜.
➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜;
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
y
¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô
ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 180Æ.
∏ οı ̛· ·fi ·˘Ù¤˜ ϤÁÂÙ·È Ê ˆ
·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ ¿ÏÏ˘. x z
O
x
y
™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô
ÁˆÓ›Â˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 90Æ.
‚
∏ οı ̛· ·fi ·˘Ù¤˜ ϤÁÂÙ·È ·
x
√
Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ ¿ÏÏ˘.
x y
∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜
O
Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓ‹ Î·È ÙȘ
y
Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ . x

7. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·177
ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ - 177 -
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™
∧ ∧
1. ¢›ÓÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· xO y Ì ̤ÙÚÔ · =72Æ. ¡· ‚ÚÂı› Î·È Ó· ۯ‰ȷÛÙ› Ë ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘.
§‡ÛË
∧
ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ · ¤¯ÂÈ
∧ ∧ ∧
y
̤ÙÚÔ ‚ . £· Â›Ó·È ÙfiÙÂ: ‚ = 180Æ– · , ‰ËÏ·‰‹
∧
ı· ›ӷÈ: ‚ = 180Æ– 72Æ = 108Æ.
°È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋
∧
ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ xO y, ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿
·˘Ù‹˜ √x ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ √, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ
∧ ∧
‚ =108Æ · =72Æ
ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √x , ·ÓÙÈΛÌÂÓË Ù˘ √x. ŒÙÛÈ x x
∧
Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· yO x , Ô˘ Â›Ó·È ·Ú·ÏË- O
∧ ∧
ڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ xO y Î·È ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ ‚ , ÒÛÙ ӷ
∧ ∧
›ӷÈ: · + ‚ = 180Æ.
∧ ∧
2. ¢›ÓÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· xO y Ì ̤ÙÚÔ · =33Æ. ¡· ‚ÚÂı› Î·È Ó· ۯ‰ȷÛÙ› Ë Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘.
§‡ÛË x
∧ ∧
ŒÛÙˆ fiÙÈ Ë Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ · ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ‚ .
∧ ∧
£· Â›Ó·È ÙfiÙ ‚ = 90Æ– ·,
∧
‰ËÏ·‰‹ ı· ›ӷÈ: ‚ = 90Æ– 33Æ = 57Æ. y
°È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙË Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ ÌÈ·˜
∧
ÁˆÓ›·˜ xO y ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √x ⊥ Ox ÚÔ˜
∧
ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÌÈÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ë √y. ‚ =57Æ
∧
∧
ŒÙÛÈ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È Ë ÁˆÓ›· y O x , Ô˘ Â›Ó·È · =33Æ x
∧ ∧
Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘ xO y Î·È ¤¯ÂÈ Ì¤ÙÚÔ ÙÔ ‚ , O
∧ ∧
ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: · + ‚ = 90Æ.
3. ™Â ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó Î·È ÁÈ·Ù›;
∂›Ó·È ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ¢ÂÓ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó
¢ÈfiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ ¢ÈfiÙÈ ‹ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ÎÔÚ˘Ê‹ ‹ ÔÈ Ï¢ڤ˜
ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜.

8. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·178
- 178 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ
4. ¡· ÂÍÂÙ·ÛÙ› Ì ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Ë Û¯¤ÛË ‰‡Ô ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ.
y y y x √ x √
√ x
x
x
√ x √ x y
y y
y
➊ ➋ ➌ ➍ ➎
∞Ó·Ô‰ÔÁ˘Ú›˙Ô˘Ì ÙÔ ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ›
¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ fiÙÈ:
¢‡Ô ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜..
5. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó Ù¤ÛÛÂÚȘ ÔÚı¤˜ ÁˆÓ›Â˜.
y
§‡ÛË
∧ ∧
™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ÔÚı‹ ÁˆÓ›· xO y (Ì ̤ÙÚÔ · = 90Æ)
Î·È ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÚÔ˜ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜
Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Ù˘, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ‚ ·=90Æ
x x
x x Î·È y y.
∧ ∧ Á √ ‰
∂Âȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ xO y ∧ x O y Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó,
ηÈ
∧
ı· Â›Ó·È ›Û˜, ‰ËÏ·‰‹ Á = · = 90Æ.
∧ ∧
√È ÁˆÓ›Â˜, fï˜, x O y Î·È xO y Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷- y
∧
ÙÈΤ˜, ¿Ú· ı· ›ӷÈ: ‚ = 180Æ – 90Æ = 90Æ. ∧ ∧
∧ ∧
ηٷÎÔÚ˘Ê‹Ó, ÔfiÙÂ: ‰ = ‚ = 90Æ .
∞ÏÏ¿ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ x O y Î·È xO y Â›Ó·È ∧ ∧
∧
∧
∂Ô̤ӈ˜ ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ: · = ‚ = Á = ‰ = 90Æ .
∧
6. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Â¿Ó Â›Ó·È · =40Æ.
§‡ÛË
∧ ∧
∂Âȉ‹ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ì ̤ÙÚ· Á Î·È · Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó, ÂÔ̤ӈ˜ ı· Â›Ó·È ›Û˜,
∧ ∧ ∧ ∧
‰ËÏ·‰‹ Á = · = 40Æ. √È ÁˆÓ›Â˜, fï˜, Ì ̤ÙÚ· ‚ Î·È ·
Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ¿Ú· ı· ›ӷÈ:
∧ ‚ ·=40Æ
‚ = 180Æ – 40Æ = 140Æ. Á
∧ ∧ ‰
∞ÏÏ¿ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ Ì ̤ÙÚ· ‚ Î·È ‰ Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó,
∧ ∧
ÔfiÙÂ: ‰ = ‚ = 140Æ

9. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:44 ™ÂÏ›‰·179
ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ - 179 -
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË.
∞Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓ‹ Î·È ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜
ËÌÈ¢ı›˜, ÙfiÙ ϤÁÔÓÙ·È:
❑ ∂ÊÂÍ‹˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ¢È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ¶·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜
❑ ™˘ÌÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ❑ ∫·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜.
2. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ Ì›· ÁˆÓ›· 125Æ Î·È ÌÂÙ¿ Ó· ‚ÚÂȘ Î·È Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂȘ ÙËÓ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘.
3. ¡· ‚ÚÂȘ ÙÈ Â›‰Ô˘˜ ÁˆÓ›· Â›Ó·È Ë ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋ (·) ÌÈ·˜ ·Ì‚Ï›·˜, (‚) ÌÈ·˜ ÔÚı‹˜
Î·È (Á) ÌÈ·˜ ÔÍ›·˜ ÁˆÓ›·˜.
4. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ÁˆÓ›· 35Æ Î·È ÌÂÙ¿ Ó· ‚ÚÂȘ Î·È Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂȘ ÙË Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈ΋ Ù˘.
∧ ∧ ∧
™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È °√ ∞ = ¢√ ∞ = Ê . ¡· Û˘ÁÎÚ›- °
5. ∧ ∧
ÓÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ °√ µ, ¢√ µ Î·È Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙÔ √ Ê
µ Ê ∞
·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ù˘ Û‡ÁÎÚÈÛ˘.
¢
∧ ∧ ∧
6. √È ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. ∏ · Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ Î·È ÙÔ Ì¤ÙÚÔ Ù˘ ‰›ÓÂÙ·È
∧
ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·. (·) ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙËÓ · , (‚) Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ Î·È Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ
∧ ∧
ÙË ‚ Ì ÙÔ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ, (Á) Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙËÓ ‚ . ªÂÙ¿ Ó· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂȘ ÛÙÔ
ÙÂÙÚ¿‰Èfi ÛÔ˘ ÙÔÓ ›Ó·Î· Î·È Ó· ÙÔÓ Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ.
∧
· 15Æ 18Æ 43Æ 77Æ 90Æ 116Æ 169Æ 10
∧
‚ ·fi ̤ÙÚËÛË
∧
‚ ·fi ˘ÔÏÔÁÈÛÌfi
∧ ∧
ÀÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ · Î·È ‚ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.
7. 147Æ ·
‚ 110Æ
8. ™¯Â‰›·Û ÌÈ· ÁˆÓ›· 37Æ Î·È ÌÂÙ¿ ۯ‰›·Û ÙËÓ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó Ù˘.
Â
‚ · Â1
9. ¡· ‚ÚÂȘ fiÏ· Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓÈÒÓ
ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. Ï Î
Á ‰
Ì Ó Â2
10. ∂¿Ó ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ Ë Ì›· ÁˆÓ›· ·fi ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ‰‡Ô ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜
¢ı›˜ Â›Ó·È 57Æ ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÁˆÓ›Â˜.
·
N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ 90Æ
11. (¯ˆÚ›˜ ÌÔÈÚÔÁÓˆÌfiÓÈÔ). ‰ Á
‚
25Æ

10. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:45 ™ÂÏ›‰·180
- 180 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ
µ.1.9. £ ¤ Û Â È ˜ Â ˘ ı Â È Ò Ó Û Ù Ô Â  ›  Â ‰ Ô
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë
√È ‰È·ÁÚ·ÌÌ›ÛÂȘ ÙÔ˘ ·˘ÙÔÎÈÓËÙfi‰ÚÔÌÔ˘ ÛÙË
‰ÈÏ·Ó‹ ÂÈÎfiÓ· Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È (Ù¤ÌÓÔÓÙ·È) οÔ˘;
➣ ªÔÚ›˜ Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘;
º∞ƒ™∞§∞ §∞ƒπ™∞ µ√§√™
¶√ƒ∂π∞ ¶√ƒ∂π∞ ¶√ƒ∂π∞
À¶√Ã∂ø∆π∫∏ À¶√Ã∂ø∆π∫∏ À¶√Ã∂ø∆π∫∏
∂•√¢√™
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë 500 m
A ∑ µ
£ ∏ ∂ °
¢ ™ÙËÓ ‰ÈÏ·Ó‹ ÂÈÎfiÓ· ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ÙË
Û¯ÂÙÈ΋ ı¤ÛË ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ:
I ∫ § M (·) ∞µ Î·È ∏∂, (‚) ∞µ Î·È µ°, (Á) ∏∂ Î·È ∫§,
(‰) ∏∑ Î·È ∑∂, (Â) ∞£ Î·È µ°.
(¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘).
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËϘ, ·Ó ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô
fiÛÔ ÎÈ ·Ó ÚÔÂÎÙ·ıÔ‡Ó.
¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È
ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜ Î·È ÙÔ ÎÔÈÓfi ÙÔ˘˜ ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔÌ‹˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ.
∂Ô̤ӈ˜:
¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô ‹ ı· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ‹
ı· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È .
¶Ò˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ú·ÏÏËÏ›· ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ;
Â1
°È· Ó· ‰ËÏÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ›ӷÈ
Â2
·Ú¿ÏÏËϘ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ “//” ηÈ
/
ÁÚ¿ÊÔ˘Ì Â1// 2.
°È· Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Î·È ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ԇ̠fiÙÈ:
¢‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ A µ
Û ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜, ı· ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏ· Â1
¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞µ//°¢. Â2
° ¢

11. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:45 ™ÂÏ›‰·181
ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ - 181 -
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™
1. ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔȘ ·fi ÙȘ ¢ı›˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜
Â1 Â2
Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ Î·È ÔȘ ÙÂÌÓfiÌÂÓ˜.
§‡ÛË ∞
¶·Ú¿ÏÏËϘ Â›Ó·È ÔÈ Â˘ı›˜ ‰1 Î·È ‰2 (‰1//‰ 2).
‰ µ ¢
∆ÂÌÓfiÌÂÓ˜ Â›Ó·È ÔÈ Â˘ı›˜: (·) Â1 Î·È Â2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, ‰1
(‚) Â1 Î·È ‰1 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢, (Á) Â1 Î·È ‰2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∂, ° ∂ ‰2
(‰) Â2 Î·È ‰1 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ Î·È (Â) Â2 Î·È ‰2 ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °.
2. ¡· ۯ‰ȷÛÙ› ¢ı›· Â1, Ô˘ Ó· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È
·fi ÛËÌÂ›Ô ∞, ÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â.
1 Ô ˜ Ù Ú fi  Ô ˜ : ™Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ‚ϤÔ˘Ì ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÌÔÚÔ‡-
Ì ӷ ۯ‰ȿÛÔ˘Ì Ì ÙÔÓ Î·ÓfiÓ· Î·È ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÙËÓ Â˘ı›· Â1, Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi
ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ Â.
➊ ➋ ➌ ➍ ➎
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
↔↔
Â1 Â1
    Â
2 Ô ˜ Ù Ú fi  Ô ˜ : ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ· ÁÈ· Ó· ʤÚÔ˘Ì οıÂÙÔ ∞µ ·fi ÙÔ
ÛËÌÂ›Ô ∞ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ʤÚÓÔ˘Ì ÙËÓ Â1 οıÂÙË ·fi ÙÔ ∞ ÛÙËÓ ∞µ
Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Ë ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÏÏËÏË Ù˘ Â.
➊ ➋ ➌ ➍ ➎
∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Â1
  µ  µ  Â
¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ οıÂÙ˜ Û ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·Ú¿ÏÏËϘ.
ªÔÚÔ‡ÌÂ, ¿Ú·ÁÂ, Ó· ʤÚÔ˘Ì ÎÈ ¿ÏÏË (‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋) ·Ú¿ÏÏËÏË Â˘ı›· ·fi ÙÔ ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â;
¢Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÚfiÙ·ÛË: ∞
Â1
∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ Â, ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ì›·
Â
Î·È ÌÔÓ·‰È΋ ¢ı›·  1 ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙËÓ Â .

12. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 8-11-06 19:55 ™ÂÏ›‰·182
- 182 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ
π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏
√ ¶Ï¿ÙˆÓ·˜ ¤ÁÚ·„ ÛÙËÓ Â›ÛÔ‰Ô Ù˘ ∞η‰ËÌ›·˜ ÙÔ ÚËÙfi: “ªË‰Â›˜ ·Áˆ̤ÙÚËÙÔ˜
ÂÈÛ›Ùˆ”, ‰›ÓÔÓÙ·˜ ȉȷ›ÙÂÚÔ ‚¿ÚÔ˜ ÛÙË ÛÔ˘‰‹ Î·È ÙË ÁÓÒÛË Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∆Ô
ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙÂÚÔ ¤ÚÁÔ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ÛÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· ‹Ù·Ó Ù· “™ÙÔȯ›·” (13 ‚È‚Ï›·) ÙÔ˘
™
∂˘ÎÏ›‰Ë (330 - 270 .Ã.), Ô˘ ·ÂÙ¤ÏÂÛ ÛÙ·ıÌfi ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È ·Ó·‰Â›¯ÙËÎÂ
Û ÚfiÙ˘Ô Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÛΤ„˘. ∂›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈÎfi Ó· ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ù· “™ÙÔȯ›·”
ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë ·Ó·ÁÓˆÚ›˙ÔÓÙ·È ‰ÈÂıÓÒ˜ ˆ˜ ¤Ó· ·fi Ù· ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ· ÂÈÙ‡ÁÌ·Ù· ÙÔ˘
·ÓıÚˆ›ÓÔ˘ Ó‡̷ÙÔ˜. ¢ÂÓ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ì·˙› Ì ÙË µ›‚ÏÔ Â›Ó·È ·fi
Ù· Û˘ÁÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ô˘ ›¯·Ó ÙȘ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÂΉfiÛÂȘ. √ ‰È¿ÛËÌÔ˜ °¿ÏÏÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Jean
Dieudonné, ¤ÁÚ·„ ÁÈ· Ù· “™ÙÔȯ›·” ÙÔ˘ ∂˘ÎÏ›‰Ë, fiÙÈ: “∏ °ÂˆÌÂÙÚ›· ÙˆÓ ∞Ú¯·›ˆÓ ∂ÏÏ‹ÓˆÓ Â›Ó·È
›Ûˆ˜ ÙÔ ÈÔ ÂÎÏËÎÙÈÎfi ÓÂ˘Ì·ÙÈÎfi ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÌ· ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘. ÿÚË ÛÙÔ˘˜ ŒÏÏËÓ˜ ÌÔÚ¤Û·ÌÂ
Ó· ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ÛÔ˘Ì ÙË Û‡Á¯ÚÔÓË ÂÈÛÙ‹ÌË”.
√ ∂˘ÎÏ›‰Ë˜ ÛÙ· “™ÙÔȯ›·” ÙÔ˘ ÔÚ›˙ÂÈ ˆ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ: “ Ù È ˜  ˘ ı  ›  ˜  Π › Ó Â ˜  Ô ˘
™
¢ڛÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È ÚÔÂÎÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ Â’ ¿ÂÈÚÔÓ ÎÈ ·fi Ù· ‰‡Ô ̤ÚË
‰ Â Û ˘ Ó · Ó Ù Ò Ó Ù · È Û Â Î · Ó ¤ Ó · ·  ’ · ˘ Ù ¿ ” (√ÚÈÛÌfi˜ 23) Î·È ·Ì¤Ûˆ˜ ÌÂÙ¿ ‰È·Ù˘ÒÓÂÈ
ÙÔ ‰È¿ÛËÌÔ “5Ô ∞›ÙËÌ·”, ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ÚfiÙ·ÛË fiÙÈ: “  ¿ Ó Ì È ·  ˘ ı  › ·  Ô ˘ Ù ¤ Ì Ó Â È ‰ ‡ Ô
¢ı›˜ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ ÙȘ ÂÓÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÁˆÓ›Â˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚ˜ ·fi ‰‡Ô
ÔÚı¤˜, ÙfiÙ ÔÈ ‰‡Ô ¢ı›˜ ÚÔÂÎÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ Â’ ¿ÂÈÚÔÓ Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È ÛÙÔ Ì¤ÚÔ˜
 Ô ˘ Ô È Û ¯ Ë Ì · Ù È ˙ fi Ì Â Ó Â ˜ Á ˆ Ó › Â ˜ Â › Ó · È Ì È Î Ú fi Ù Â Ú Â ˜ ·  fi ‰ ‡ Ô Ô Ú ı ¤ ˜ ”.
™‹ÌÂÚ· ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜ ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È Ì ÙËÓ ÂÍ‹˜
ÌÔÚÊ‹: “∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ¿ÁÂÙ·È ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó Ì›· ÌfiÓÔ ·Ú¿ÏÏËÏË”.
∞
™ÙË ‰È·Ù‡ˆÛË ·˘Ù‹ Û˘Ó¤‚·Ï ÛËÌ·ÓÙÈο ÙÔ 1899 Ô °ÂÚÌ·Ófi˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ David
Hilbert .
∏ ·Ï‹ıÂÈ· Ù˘ ÚfiÙ·Û˘ ·˘Ù‹˜ Ê·›ÓÂÙ·È Ó· ÚÔ·ÙÂÈ ·‚›·ÛÙ· ·fi ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ Ì·˜
ÂÌÂÈÚ›·. ŸÌˆ˜, ·fi ÙËÓ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ· ̤¯ÚÈ ÙȘ ·Ú¯¤˜ ÙÔ˘ ÂÚ·Ṳ̂ÓÔ˘ ·ÈÒÓ·, ¤ÁÈÓ·Ó ÔÏϤ˜
·ÔÙ˘¯Ë̤Ó˜ ÚÔÛ¿ıÂȘ Ó· ·Ô‰Âȯı› Ì ‚¿ÛË ÙȘ ¿ÏϘ ÈÛ¯‡Ô˘Û˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ù˘
°ÂˆÌÂÙÚ›·˜. ∏ Ï‹Ú˘ ·ÔÙ˘¯›· ÙˆÓ ÚÔÛ·ıÂÈÒÓ, fï˜, ‰ÂÓ ‹Á ¯·Ì¤ÓË. ∞ԉ›¯ıËΠfiÙÈ
ÂΛÓÔ Ô˘ ¤ÊÙ·ÈÁ ‹Ù·Ó ÙÔ Ï·›ÛÈÔ Ì¤Û· ÛÙÔ ÔÔ›Ô ÁÈÓfiÓÙÔ˘Û·Ó ÔÈ ÚÔÛ¿ıÂȘ ·˘Ù¤˜, ‰ËÏ·‰‹
Ë Û˘ÁÁÂÎÚÈ̤ÓË “∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·” °ÂˆÌÂÙÚ›·. ŒÙÛÈ ·Ó·Ù‹¯ıËÎ·Ó Î·È ¿ÏϘ ÁˆÌÂÙڛ˜ ÛÙȘ Ôԛ˜
‰ÂÓ ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ·›ÙËÌ· ·˘Ùfi.
™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ Ô ƒÒÛÔ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi˜ Nikolai Lobatchevsky
(1792-1856) ÚÔÙ›ÓÂÈ Ì›· ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡ Ù‡Ô˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·, ÙËÓ
“ÀÂÚ‚ÔÏÈ΋”, ÛÙËÓ ÔÔ›· ÙÔ 5Ô ·›ÙËÌ· ·ÓÙÈηı›ÛÙ·Ù·È ·fi ÙËÓ
ÚfiÙ·ÛË fiÙÈ: “·fi ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó
·
ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó”. ∏ °ÂˆÌÂÙÚ›·
·˘Ù‹ ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ¯ÒÚÔ˘˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú¿ÍÂÓ˜ ȉÈfiÙËÙ˜,
fiˆ˜ fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ›ӷÈ
ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ‰‡Ô ÔÚı¤˜ Î.·. ŒÓ·˜ Ù¤ÙÔÈÔ˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È .¯.
ÙÔ “ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÛÙÔÓ ·Ú¿Ï¢ÚÔ ›Ó·Î· ÙÔ˘ √ÏÏ·Ó‰Ô˘ ˙ˆÁÚ¿ÊÔ˘ Escher.
∂›Û˘, Ô Bernhard Riemann (1826-1866) ıÂÌÂÏ›ˆÛ ÙËÓ ÏÂÁfiÌÂÓË “∂ÏÏÂÈÙÈ΋”
°ÂˆÌÂÙ›·, ÛÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ: “·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ
·
η̛· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ·˘Ù‹Ó” Î·È ÛÙËÓ ÔÔ›· ÛÙËÚ›¯ıËÎÂ Ô Albert Einstein ÁÈ· Ó·
‰È·Ù˘ÒÛÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÊËÌË ıˆڛ· ÙÔ˘, Ù˘ ™¯ÂÙÈÎfiÙËÙ·˜.

13. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:45 ™ÂÏ›‰·183
ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ - 183 -
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ToÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “Ô ÛÙË ı¤ÛË Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË.
(·) ¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô Î·È ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi
ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÔÓÙ·È:
❑ ¶·Ú¿ÏÏËϘ
❑ ∆ÂÌÓfiÌÂÓ˜
❑ ∫¿ıÂÙ˜
(‚) ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, ÂÎÙfi˜ ¢ı›·˜ Â, ‰È¤Ú¯ÂÙ·È:
❑ ª›· Î·È ÌÔÓ·‰È΋ οıÂÙË Â˘ı›· ÛÙËÓ Â.
❑ ¢‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ οıÂÙ˜ ¢ı›˜ ÛÙËÓ Â.
❑ ∫·Ì›· οıÂÙË Â˘ı›· ÛÙËÓ Â.
(Á) ∞Ó ‰‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û ÌÈ· ¢ı›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜:
❑ ∫¿ıÂÙ˜
❑ ¶·Ú¿ÏÏËϘ
❑ ∆ÂÌÓfiÌÂÓ˜
2. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿:
(·) ∞fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÚ¿ÛÔ˘Ó ................................................................. ¢ı›˜.
(‚) ¢‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙÔ ›‰ÈÔ Â›Â‰Ô ‹ ı· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ‹ ......................... .
(Á) ¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ οıÂÙ˜ Û ÌÈ· ¢ı›· Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ....................... .
(‰) ¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Â›Ó·È .......................... .
(Â) ¢‡Ô ¢ı›˜ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÔÓÙ·È ................... .
Î·È ÙÔ ÎÔÈÓfi ÙÔ˘˜ ÛËÌÂ›Ô Ï¤ÁÂÙ·È ÛËÌÂ›Ô ......................................... ÙˆÓ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ.
3. ¡· ¯·Ú¿ÍÂȘ ÙÚÂȘ ¢ı›˜ Â1, Â2 Î·È Â3, ÒÛÙÂ: (·) ÔÈ Â˘ı›˜ ·˘Ù¤˜ Ó· ÌËÓ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È,
(‚) Ë Ì›· Ó· Ù¤ÌÓÂÈ ÙȘ ¿ÏϘ ‰‡Ô, (Á) Ó· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·Ó¿ ‰‡Ô Î·È (‰) Ó· ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô.
4. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ¢ı›˜ Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘
ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Â›Ó·È Î¿ıÂÙ˜ Û’ ·˘Ùfi.
5. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y, ÔÈ Ôԛ˜ Ó· ÌËÓ ÂÚȤ¯ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È·
¢ı›·. ¡· ÛËÌÂÈÒÛÂȘ ÛÙËÓ √x ÙÚ›· ÛËÌ›· ∞, µ Î·È °. ∞fi οı ÛËÌÂ›Ô ·fi ·˘Ù¿ Ó·
ۯ‰ȿÛÂȘ ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ √y.
6. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹.
¡· ʤÚÂȘ ·fi Ù· ∞ Î·È µ ¢ı›˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ Â Î·È Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂȘ Û ÔÈ·
ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ·Ú¿ÏÏËϘ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó.

14. MEƒ√™ µ'-1-(169-184) 2-11-06 10:45 ™ÂÏ›‰·184
- 184 ª∂ƒ√™ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ
µ.1.10. ∞  fi Û Ù · Û Ë Û Ë Ì Â › Ô ˘ ·  fi  ˘ ı  › · - ∞  fi Û Ù · Û Ë  · Ú · Ï Ï ‹ Ï ˆ Ó
™ÙË ÁˆÌÂÙÚ›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÛÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ:
– ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ÛËÌ›Ô, Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜
ÙÔ ÔÔ›Ô Ù· ÂÓÒÓÂÈ.
– ∞fiÛÙ·ÛË ÛËÌ›Ԣ ·fi ¢ı›·.
– ∞fiÛÙ·ÛË ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ.
∞˜ ·Ó·˙ËÙ‹ÛÔ˘Ì ·˘Ù‹ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜.
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë
N· ‚ÚÂȘ Û ÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ‰ËÌfiÛÈÔ˘ ·ÁˆÁÔ‡ ÓÂÚÔ‡, ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ۯ‰ȿÁÚ·ÌÌ·,
Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÂÈ Ë Û‡Ó‰ÂÛË Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÙÔ˘ ÛÈÙÈÔ‡, ÒÛÙÂ Ô ÛˆÏ‹Ó·˜ Ó· ¤¯ÂÈ ÙÔ
ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ‰˘Ó·Ùfi Ì‹ÎÔ˜.
∞
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë
™Â ÔÈ· ·fi ÙȘ ‰‡Ô ÛȉËÚÔÙÚԯȤ˜ (· Î·È ‚) ÌÔÚ› Ó· ÎÈÓËı› ÙÔ ÙÚ·›ÓÔ, ¯ˆÚ›˜ Ó·
ÂÎÙÚԯȷÛÙ›; ªÔÚ›˜ Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘;
·→
‚→
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
∞
∞fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›·  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È
ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ οıÂÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞∞0
∞0
·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â.
∞ Â1
∞fiÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ
Ì‹ÎÔ˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘
Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙȘ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Î·È ¤¯ÂÈ Ù· µ
¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û’ ·˘Ù¤˜, .¯. ÙÔ ∞µ. Â2

15. MEƒ√™ µ'-1-(185-198) 2-11-06 10:57 ™ÂÏ›‰·185
ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ - 185 -
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™
N· ‚ÚÂı› Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›· Â.
1.
∞
§‡ÛË ∞
ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ÁÓÒÌÔÓ· ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ÙÔ Î¿ıÂÙÔ
¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ ·fi ÙÔ ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ Â˘ı›· Â.
ªÂ ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ÌÂÙÚ¿Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì·
∞µ Î·È ÙÔ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì .¯. 2,6 cm. ÕÚ·, Ë ·fiÛÙ·ÛË µ
ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›·  ›ӷÈ, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Â µ
2,6 Â
·˘Ù‹, 2,6 cm.
N· ‚ÚÂı› ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ Â, Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ ÂÎÙfi˜ ·˘Ù‹˜
2. Ó· Â›Ó·È Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË.
§‡ÛË ∞8 ∞
∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ʤÚÓÔ˘Ì ÙÔ Î¿ıÂÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞∞0 ÛÙËÓ ∞6
∞4
¢ı›· Â Î·È Û˘Ó‰¤Ô˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Ì ‰È¿ÊÔÚ·
∞2
ÛËÌ›· ∞1, ∞2, ∞3, ∞4, ∞5, ∞6, ∞7, ∞8 Î·È ∞9 Ù˘ Â.
∞0
ªÂÙÚ¿Ì ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ∞ ·fi ·˘Ù¿ ηÈ
∞1
·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù¤˜ ÌÂÁ·ÏÒÓÔ˘Ó Û˘Ó¯Ҙ fiÛÔ ∞3
·ÔÌ·ÎÚ˘ÓfiÌ·ÛÙ ·ÚÈÛÙÂÚ¿ Î·È ‰ÂÍÈ¿ ·fi ÙÔ ∞0, ¿Ú· ∞5
Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ·fiÛÙ·ÛË Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞∞0. ∞7
∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ∞0, Â›Ó·È ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ÛËÌÂ›Ô Î·È ∞9
ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ›¯ÓÔ˜ Ù˘ οıÂÙ˘ ·fi ÙÔ ∞. Â
3. N· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó Î·È Ó· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÔÓÙ·È ·fi Ù·
ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° Î·È ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2.
§‡ÛË
{ } }
Â1 ¢ ∑ °
º¤ÚÓÔ˘Ì ÙȘ οıÂÙ˜ ∞¢, ∂µ∑ Î·È ∏° ·fi Ù·
ÛËÌ›· ∞, µ Î·È ° ÛÙȘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2.
ªÂÙÚ¿Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞¢, ∂∑ Î·È ∏° 2,5cm 2,5cm 2,5cm
Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È fiÏ· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›Û·. ÕÚ· µ
Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 Î·È Â2
Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚ‹ Î·È ›ÛË Ì 2,5 cm. Â2 ∞ ∂ ∏
‰
4. N· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó ‰‡Ô ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÌÈ·
¢ı›· Â, Ô˘ Ó· ·¤¯Ô˘Ó ·fi ·˘Ù‹ 3 cm.
∞
Â1
§‡ÛË
3 cm
™Â Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ª Ù˘  ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ¢ı›· ‰ οıÂÙË ÛÙËÓ Â.
¶¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›· ‰ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ ‰‡Ô ª
Â
ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: ª∞ = ªµ = 3 cm. Afi Ù·
∞ Î·È µ, Ì ÙÔÓ ÁÓÒÌÔÓ·, ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 3 cm
οıÂÙ˜ ÛÙËÓ Â. √È Â˘ı›˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÔÈ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜, ÁÈ·Ù› Ë
µ Â2
·fiÛÙ·Û‹ ÙÔ˘˜ ·fi ÙËÓ Â Â›Ó·È 3 cm.

16. MEƒ√™ µ'-1-(185-198) 2-11-06 10:57 ™ÂÏ›‰·186
- 186 ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿:
(·) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ηı¤ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞∞0 ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÚÔ˜ ÙËÓ
¢ı›·  ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ............................................... ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙËÓ Â˘ı›·.
(‚) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, Ô˘ Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ Û ‰‡Ô
·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Î·È ¤¯ÂÈ Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û’ ·˘Ù¤˜ ϤÁÂÙ·È ......................................
ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ.
2. ™ËÌ›ˆÛÂ, ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›· Â, Ì ÙË ÛÂÈÚ¿, Ù· ÛËÌ›· °, µ Î·È ¢, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ
°µ=µ¢=3 cm. ÿڷÍ ÌÈ· ¢ı›·, Ô˘ Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ µ οıÂÙË ÛÙËÓ Â. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ
οıÂÙË ·˘Ù‹ Ó· ÛËÌÂÈÒÛÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞, Ô˘ Ó· ·¤¯ÂÈ ·fi ÙÔ µ ·fiÛÙ·ÛË ∞µ=4 cm.
¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÌÂÙÚÒÓÙ·˜ Ì ÙÔ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È ∞¢.
3. ¡· Â·Ó·Ï¿‚ÂȘ ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ¿ÛÎËÛË, Â¿Ó Â›Ó·È: °µ=6 cm, µ¢=15 cm, ∞µ=8 cm.
4. N· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ÌË ·ÓÙÈΛÌÂÓ˜ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È √y. ¡· ¿ÚÂȘ ÛÙËÓ Ox, Ù·
ÛËÌ›· ∞, µ Î·È °, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ ӷ ›ӷÈ: √∞ = ∞µ = µ° = 2 cm. N· ÔÚ›ÛÂȘ ÛÙËÓ Oy
¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ , ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È √∞ = 1,6 cm Î·È Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙËÓ Â˘ı›· ∞∞ . ™ÙË
Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ʤÚÂȘ ·fi Ù· µ Î·È ° ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙËÓ ∞∞ Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ µ ηÈ
° Ù· ÛËÌ›· ÛÙ· ÔÔ›· ·˘Ù¤˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙËÓ √y. ¡· ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ Ì ÙÔ
˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ∞ µ Î·È µ ° . ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;
5. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ¢ı›· Â Î·È Ù¤ÛÛÂÚ· ÛËÌ›· ∞, µ, ° Î·È ¢, Ù· ÔÔ›· Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È
ÛÙÔ ¤Ó· ·fi Ù· ËÌÈÂ›‰· Ô˘ ¯ˆÚ›˙ÂÈ Ë Â ÙÔ Â›‰Ô, Î·È ÙÔ Î·ı¤Ó· Ó’ ·¤¯ÂÈ ·’
·˘Ù‹ 3,2 cm. N· ʤÚÂȘ ·fi ηı¤Ó· ·’ ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›· ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙËÓ
Â. ¶fiÛ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÛÙÔ Û¯‹Ì· ÛÔ˘;
¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2 ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ·fiÛÙ·ÛË Ó· ›ӷÈ
6. 35 mm. ¡· ‚ÚÂȘ ¤ÓÙ ÛËÌ›· ∞, µ, °, ¢ Î·È ∂, Ô˘ Ó· ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙȘ Â1 Î·È Â2.
¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÌÈ· ¢ı›·  ·fi ÙÔ ∞ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ Â1 Î·È Â2. ∆· ÛËÌ›· µ, °, ¢
Î·È ∂ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ‹ fi¯È ÛÙËÓ Â;
¡· ·ÓÙÈÁÚ¿„ÂȘ Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· 2 cm ∞
7. Î·È Ó· ‚ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ ∞x, Ô˘ Ó’ ·¤¯ÂÈ
B
3 cm ·fi ÙËÓ Â˘ıÂÈ· Â.  x
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π
ŒÓ· ÏÔ›Ô ·ÎÔÏÔ˘ı› ¢ı›· ÔÚ›· ∞µ, Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÓÔÏÈο 21 Km. ŸÙ·Ó ‚Ú›ÛÎÂÙ·È
ÛÙË ı¤ÛË ∞ ·¤¯ÂÈ 10 Km ·fi ¤Ó· Ê¿ÚÔ º Î·È fiÙ·Ó ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË µ ·¤¯ÂÈ
17 Km ·fi ÙÔÓ ›‰ÈÔ Ê¿ÚÔ. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÔ Û¯‹Ì· º∞µ ·›ÚÓÔÓÙ·˜ 1 cm ÁÈ·
·fiÛÙ·ÛË ›ÛË Ì 1 Km Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ fiÛÔ ÎÔÓÙ¿ ·fi ÙÔ Ê¿ÚÔ ¤Ú·Û ÙÔ ÏÔ›Ô.

17. MEƒ√™ µ'-1-(185-198) 2-11-06 10:57 ™ÂÏ›‰·187
ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ - 187 -
µ.1.11. K ‡ Î Ï Ô ˜ Î · È Û Ù Ô È ¯ Â › · Ù Ô ˘ Î ‡ Î Ï Ô ˘
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1Ë
™ÙËÓ ∆Ú›ÔÏË Ù˘ ∞Ú牛·˜ Á›ÓÂÙ·È ÌÈ·
ÁÈÔÚÙ‹, ÛÙËÓ ÔÔ›· Â›Ó·È Î·ÏÂṲ̂ÓÔÈ ÔÈ
οÙÔÈÎÔÈ, Ô˘ ηÙÔÈÎÔ‡Ó Û ·fiÛÙ·ÛË
ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙˆÓ 6 km. ¶ÔÈˆÓ ¯ˆÚÈÒÓ ÔÈ
οÙÔÈÎÔÈ ı· ·Ú¢ÚÂıÔ‡Ó ÛÙË ÁÈÔÚÙ‹;
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2Ë
O ÚˆÙfiÁÔÓÔ˜ ¿ÓıÚˆÔ˜ ÁÈ· Ó· ÌË ¯¿ÛÂÈ
ÙËÓ Î·Ùۛη ÙÔ˘ ÙËÓ ¤‰ÂÛ Ì ¤Ó· Û¯ÔÈÓ›, Û’
¤Ó· ͇ÏÈÓÔ ¿ÛÛ·ÏÔ, ̤۷ ÛÙÔ ÏÈ‚¿‰È.
ŸÙ·Ó Á‡ÚÈÛ ӷ ÙËÓ ¿ÚÂÈ Â›‰Â fiÙÈ Ë Î·Ùۛη
›¯Â ‚ÔÛ΋ÛÂÈ ÂΛÓÔ ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÏÈ‚·‰ÈÔ‡
Ô˘ Ù˘ Â¤ÙÚÂ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Û¯ÔÈÓÈÔ‡ Ó·
Êı¿ÛÂÈ. ŒÙÛÈ, fiÏ· Ù· ¯fiÚÙ· Ô˘ ·›¯·Ó
ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÙÔ Û¯ÔÈÓ›,
Ô˘ ‹Ù·Ó ‰Â̤ÓË, ›¯·Ó Ê·Áˆı›.
➣ ¶ÔÈ· ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÈ ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ Ù˘ ÔÔ›·˜ ÙÔ ¯ÔÚÙ¿ÚÈ
Ê·ÁÒıËÎÂ;
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3Ë
¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ‰¤Î· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›·, Ô˘ Ó’ ·¤¯Ô˘Ó fiÏ· 2 cm ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞.
M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ˘Ô‰ÂοÌÂÙÚÔ˘ ÌÂÙÚ¿Ì ηÈ
‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ·ÎÚÈ‚¤˜ Ì‹ÎÔ˜ ÙˆÓ 2 cm Û ¤Ó· Û¯ÔÈÓ›. ∞4
ªÂÙ¿, ÎÚ·ÙÒÓÙ·˜ Ì ÙÔ ¤Ó· ¯¤ÚÈ ÙË Ì›· ¿ÎÚË ·˘ÙÔ‡ ∞5 ∞3
ÙÔ˘ Û¯ÔÈÓÈÔ‡ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È ¤¯ÔÓÙ·˜ ¿ÓÙ·
∞6 ∞2
ÙÂÓو̤ÓÔ ÙÔ Û¯ÔÈÓ›, ÎÈÓԇ̠̠ÙÔ ¿ÏÏÔ ¯¤ÚÈ ÙËÓ
¿ÏÏË ¿ÎÚË ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ ·˘ÙÔ‡, ÙˆÓ 2 cm, Û ‰¤Î· ∞1
‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ı¤ÛÂȘ ∞1, ∞2, ∞3, ∞4, ∞5, ∞6, ∞7, ∞8, ∞9
∞7
Î·È ∞10, Ô˘ ÂÈϤÁÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë, ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·˜ Ù·
·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ‰¤Î· ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ· ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ÛËÌ›·. ∞8 ∞10
∞9
µÏ¤Ô˘Ì fiÙÈ Ù· ÛËÌ›·, Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÌÈ·
Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·fiÛÙ·ÛË ·fi ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌ›Ô, ›ӷÈ
¿Ú· ÔÏÏ¿.
➣ ∆È Û¯‹Ì· ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ó, ÏÔÈfiÓ, fiÏ· ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›· Ì ÙËÓ ÎÔÈÓ‹ ·˘Ù‹ ȉÈfiÙËÙ·;

18. MEƒ√™ µ'-1-(185-198) 2-11-06 10:58 ™ÂÏ›‰·188
➊ ➋ ➌ ➍ ➎
- 188 ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ
M¤Û· ·fi ÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹, ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠·ÚÎÂÙ¿
·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ηÌ‡ÏˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. Ÿˆ˜ Â›Ó·È .¯. Ô ‹ÏÈÔ˜ ÛÙË
‰‡ÛË ÙÔ˘, Ô ÙÚÔ¯fi˜ ÂÓfi˜ Ô‰ËÏ¿ÙÔ˘, Ë ÛÙÂÊ¿ÓË Ù˘ Ì·ÛΤٷ˜,
¤Ó· ÌÂÙ·ÏÏÈÎfi ÓfiÌÈÛÌ·, ÙÔ ÚÔÏfiÈ Ì·˜, ÌÈ· ÙÔ‡ÚÙ· ÁÂÓÂıÏ›ˆÓ,
¤Ó·˜ ‰›ÛÎÔ˜ ÌÔ˘ÛÈ΋˜ Î.Ï.
∆Ô ÚÒÙÔ Û¯‹Ì· Ô˘ ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÂÈÓÔ‹ÛÂÈ ‹ Ó· ·Ó·Î·Ï‡„ÂÈ ¿Óˆ ÛÙË ÁË Ô ¿ÓıÚˆÔ˜
›ӷÈ, Ê˘ÛÈο, Ô Î‡ÎÏÔ˜. √ ‹ÏÈÔ˜ Î·È ÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ ·ÚÎÔ‡Ó ÁÈ· Ó· ‰ÒÛÔ˘Ó ÛÙÔ Ì¿ÙÈ ÙÔ
Û¯‹Ì· Î·È ÛÙËÓ „˘¯‹ ÙËÓ ÔÌÔÚÊÈ¿ Ù˘ ÙÂÏÂÈfiÙËÙ·˜. ∫·È fiÙ·Ó Êı¿ÛÂÈ Ë ÒÚ· Ù˘ ÛΤ„˘,
ÙfiÙÂ Ë °ÂˆÌÂÙÚ›· ·ÔÎÙ¿ ÙÔ ÈÔ ÔχÙÈÌÔ Û¯‹Ì· Ù˘.
£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ
∫‡ÎÏÔ˜ ϤÁÂÙ·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘
ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ·fiÛÙ·ÛË ·fi ¤Ó·
ÛÙ·ıÂÚfi ÛËÌÂ›Ô √.
∏ ·fiÛÙ·ÛË ·˘Ù‹ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ÌÂ Ú Î·È Ï¤ÁÂÙ·È ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘
·ÎÏÔ˘. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô √ ϤÁÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ . O
ŒÓ·˜ ·ÎÏÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ·ÎÙ›Ó· Ú, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì A↔
Û˘ÓÙÔÌ›· (√, Ú).
°È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ¤Ó· ·ÎÏÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ‰È·‚‹ÙË.
¢‡Ô ·ÎÏÔÈ Ì ·ÎÙ›Ó˜ ›Û˜ Â›Ó·È ›ÛÔÈ .
√
∂›Û˘:
∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ¯ÔÚ‰‹
∞ µ
·ÎÏÔ˘, ϤÁÂÙ·È ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.
.
∂ȉÈο Ë ¯ÔÚ‰‹ Ô˘ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ϤÁÂÙ·È
‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘.. √
∞ µ
∏ ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ Â›Ó·È Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ¯ÔÚ‰‹ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜
‰ÈÏ¿ÛÈ· ·fi ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Î·È ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ
Û ‰‡Ô ›Û· ̤ÚË (ËÌÈ·ÎÏÈ·). ÙfiÍÔ
√
¢‡Ô ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ÙÔÓ ¯ˆÚ›˙Ô˘Ó Û ‰‡Ô ̤ÚË Ô˘
ÙÔ Î·ı¤Ó· ϤÁÂÙ·È ÙfiÍÔ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Ì ¿ÎÚ· Ù· ∞ Î·È µ.
∞ µ
ÙfiÍÔ
∫˘ÎÏÈÎfi˜ ‰›ÛÎÔ˜ (√, Ú) Â›Ó·È Ô Î‡ÎÏÔ˜ (√, Ú) Ì·˙› Ì ÙÔ Ì¤ÚÔ˜ Ú
ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ÂÚÈÎÏ›ÂÈ.
√
ŸÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙÔ
ΤÓÙÚÔ √ ·fiÛÙ·ÛË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ‹ ›ÛË Ì ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ú.

19. MEƒ√™ µ'-1-(185-198) 2-11-06 10:58 ™ÂÏ›‰·189
ª∂ƒ√™ µ’ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - µ·ÛÈΤ˜ ÁˆÌÂÙÚÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ - 189 -
¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏
N· ۯ‰ȷÛÙ› ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘.
§‡ÛË Á = 1,5 cm
∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·=3 cm, ‚ = 2 cm
‚=2 cm Î·È Á=1,5 cm Â›Ó·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ · = 3 cm
Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘ÌÂ. ∞ÎÔÏÔ˘ıԇ̠ÙËÓ ÂÍ‹˜
‰È·‰Èηۛ·: ¶·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ Î·È ÙÔ
ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÏÂ˘Ú¿ µ° = ·. ∞
ªÂÙ¿ ¯·Ú¿˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (µ , Á = 1 , 5 c m )
Á ‚
Î·È ( ° , ‚ = 2 c m ). √È ‰‡Ô ·˘ÙÔ› ·ÎÏÔÈ
Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È µ °
ÙÔ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓÔ ‰ÈfiÙÈ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜: µ°=3 cm, ·
AB=1,5 cm, ˆ˜ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (µ , 1 , 5 c m )
Î·È ∞°=2 cm, ˆ˜ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (° , 2 c m ),
·ÊÔ‡ ÙÔ ∞ ·Ó‹ÎÂÈ Î·È ÛÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÎÏÔ˘˜.
∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞
1. M ΤÓÙÚÔ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ·ÎÏÔ˘˜ Ì ·ÎÙ›Ó˜ 2,4 cm, 2 cm Î·È 15 mm.
2. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÔÓ Î‡ÎÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È¿ÌÂÙÚÔ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ=3,8 cm.
¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÔÌfiÎÂÓÙÚÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ Ì ΤÓÙÚÔ ÛËÌÂ›Ô ª Î·È ‰È·Ì¤ÙÚÔ˘˜ 4 cm, 5 cm ηÈ
3. 48 mm. (¢‡Ô ·ÎÏÔÈ Ï¤ÁÔÓÙ·È ÔÌfiÎÂÓÙÚÔÈ, ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Î¤ÓÙÚÔ Î·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·ÎÙ›Ó˜)
4. N· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó·Ó ·ÎÏÔ Ì ΤÓÙÚÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ Î·È ·ÎÙ›Ó· 3,4 cm. N· ¿ÚÂȘ ¤Ó· ÛËÌ›Ô
ª ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Î·È Ó· ¯·Ú¿ÍÂȘ ‰‡Ô ¯ÔÚ‰¤˜ ÙÔ˘: ª∞ = 2,4 cm Î·È MB = 4,1 cm.
5. ŒÛÙˆ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 4 cm. (·) ¡· ‚ÚÂȘ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘
·¤¯Ô˘Ó: 3 cm ·fi ÙÔ ∞ Î·È 2 cm ·fi ÙÔ µ. (‚) ¶ÔÈ· ÛËÌ›· ·¤¯Ô˘Ó Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· 3 cm
·fi ÙÔ ∞ Î·È 2 cm ·fi ÙÔ µ;
6. ŒÛÙˆ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 3,2 cm. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÎÏÔ˘˜ (∞, ∞µ) Î·È (µ, ∞µ)
Î·È Ó· ÔÓÔÌ¿ÛÂȘ ª Î·È ¡ Ù· ÛËÌ›· ÛÙ· ÔÔ›· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ·˘ÙÔ›. ¡· ‚ÚÂȘ ÙȘ
·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ª ·fi Ù· ¿ÎÚ· ∞ Î·È µ ηıÒ˜ Î·È ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ¡ ·fi Ù· ∞ Î·È µ.
™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂȘ ÙȘ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜.
¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∂™ °π∞ ∆√ ™¶π∆π
ŒÓ·˜ Û·ÏÔ˜ Â›Ó·È ‰Â̤ÓÔ˜ Ì ÌÈ·
1. ·Ï˘Û›‰· Ì‹ÎÔ˘˜ 12 m, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È
ºÚ¿ÎÙ˘
ÛÙÔ Û¯‹Ì·. ¡· ÌÂٷʤÚÂȘ ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi 6m
12m
Û¯‹Ì· ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿‰ÈÔ ÛÔ˘ Î·È Ó· ‚ÚÂȘ,
¯ÚˆÌ·Ù›˙ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ ÙËÓ ÔÔ›· 6m
O 6m
ÌÔÚ› Ó· ÎÈÓËı› Ô Û·ÏÔ˜. ∂›Û˘, Ó· 6m 6m
‚ÚÂȘ Û ÔȘ ÂÚÈÔ¯¤˜ Ù˘ ·˘Ï‹˜ ÙÔ˘ 6m
™›ÙÈ
ÛÈÙÈÔ‡ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÛÙ·ıÔ‡Ó ÔÈ Á¿Ù˜,
¯ˆÚ›˜ Ó· ÎÈÓ‰˘ÓÂ‡Ô˘Ó ·fi ÙÔ Û·ÏÔ;
¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ۯ‰ȿÛÂȘ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì Ï¢ڤ˜ Ô˘ ›ӷÈ:
2. ·) ·=10 cm, ‚=6 cm Î·È Á=3 cm, ‚) ·=12 cm, ‚=5 cm Î·È Á=7 cm. T› ·Ú·ÙËÚ›˜;