Ga on ngọc ki 1

Chủ đề1: MỆNH ĐỀ Tuần dạy:
(4 tiết)
Mục tiêu
1. kiến thức: Ôn tập cho hs các kiến thức đã học về mệnh đề và áp dụng mệnh đề vào
suy luận toán học
2. Kỹ năng:
- Trình bày các suy luận toán học .
- Nhận xét đanh giá một vấn đề
- Rèn tư duy logic, suy luận chính xác
Nội dung
Hoạt động của GV- HS Nội dung
Gv giao bài tập cho HS
Gọi HS đúng tại chỗ trả lời
HS lên bảng giải
Gv nhận xét, sửa sai
Hướng dẫn, đáp số
3. a) P⇒Q: “ Nếu góc A bằng 900
thì
BC2
=AB2
+AC2
”→ đúng
Q⇒P: “ Nếu BC2
=AB2
+AC2
thì góc
A bằng 900
”→ đúng
b) P⇒Q: “ BA ˆˆ = thì tam giác ABC
cân”→ đúng
Q⇒ P:” “Nếu tam giác ABC cân thì
BA ˆˆ = ”→ sai (vì có thể CA ˆˆ =
4. a) ∃ x ∈ R: x2
=−1; “ Có một số thực mà
bình phương của nó bằng −1”→ sai
∀ x ∈ R: x2
≠−1; “ Với mọi số thực,
bình phương của nó đều khác −1”
b) ∀ x ∈ R:x2
+x+2≠0; “ Với mọi số thực
đều có x2
+x+2≠0” → đúng
∃ x ∈ R:x2
+x+2=0
5. a) Đúng. P : “
1
3 2
3 2
+ ≠
−
”
b) Sai. P : ( )
2
2 8 8− ≤
1. Xét xem các câu sau, câu nào là mệnh
đề, câu nào là mệnh đề chứa biến?
a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x<3
d)
3
2
có phải là số nguyên không?
e) 5 +4 là số vô tỉ.
2. Tìm giá trị của x để được một mệnh
đúng, mệnh đề sai
a) P(x):”3x2
+2x−1=0”
b) Q(x):” 4x+3<2x−1”.
3. Cho tam giác ABC. Lập mệnh đề P⇒Q
và mệnh đề đảo của nó, rồi xét tính đúng
sai, với:
a) P: “ Góc A bằng 900
”
Q:“BC2
=AB2
+AC2
”
b) P: “ BA ˆˆ = ” Q: “ Tam giác ABC
cân”.
4. Phát biểu bằng lới các mệnh đề sau.
Xét tính đúng/sai và lập mệnh đề phủ định
của chúng
a) ∃ x ∈ R: x2
=−1
b) ∀ x ∈ R:x2
+x+2≠0
5. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau
và phát biểu mệnh đề phủ định của nó
a)
1
3 2
3 2
+ =
−
b) ( )
2
2 8 8− >
c) ( )
2
3 12+ là số hữu tỉ
d) x=2 là nghiệm của phương trình
1

c) Đúng vì ( )
2
3 12+ =27 là số hữu
tỉ. P : “( )
2
3 12+ là số vô tỉ”
d) Sai. P :” x=2 khônglà nghiệm của
phương trình
2
4
0
2
x
x
−
=
−
”
- HS: trả lời,
8. Lập mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai
của nó, với:
a) Nếu 2<3 thì −4<−6 → Sai
b) Nếu 10=1 thì 100=0 → Đúng
9. a) Nếu x là số hữu tỉ thì x2
là một số
hữu tỉ → Đúng
b) Nếu x2
là một số hữu tỉ thì x là số
hữu tỉ
c) Khi x= 2 mệnh đề đảo sai.
10. b) mệnh đề đảo đúng
c) x=−1 thì P⇒Q sai.
11.
a) P⇒Q đúng
b) Q⇒P đúng
12. a) Nếu AB=AC thì tam giác ABC cân
→đúng
b) Nếu tam giác ABC cân thì
AB=AC , khi AB=BC≠AC → mđ sai
2
4
0
2
x
x
−
=
−
6. Tìm giá trị của m để được mệnh đề
đúng, mệnh đề sai.
a) P(m): “ m< −m” b) Q(m): “m<
1
m
” c) R(m): “ m=7m”.
7. Phát biểu mệnh đề phủ định của các
mệnh đề sau và xét tính đúng sai của
chúng
a) P: “ 15 không chia hết cho 3”
b) Q: “ 7 3> ”
8. Lập mệnh đề P⇒Q và xét tính đúng sai
của nó, với:
a) P: “2<3” Q: “−4<−6”
b) P: “10=1” Q: “100=0”.
9. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x là
số hữu tỉ”, Q: “ x2
là một số hữu tỉ”
a) Phát biểu mệnh đề P⇒Q và xét tính
đúng sai
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề
trên
c) Chỉ ra một giá trị x mà mệnh đề đảo
sai.
10. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x
2
=1”, Q: “ x=1”
a) Phát biểu mệnh đề P⇒Q
b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề
trên và xét tính đúng sai
c) Chỉ ra một giá trị x mà mệnh đề P⇒Q
sai.
11. Cho số thực x . Xét mệnh đề P: “ x là
số nguyên”, Q: “ x+2 là một số nguyên”
a) Phát biểu mệnh đề P⇒Q
b) Phát biểu mệnh đề Q⇒P
c) Xét tính đúng sai của P⇒Q, Q⇒P.
12. Cho tam giác ABC. Xét mệnh đề P:
“AB=AC”, Q: “Tam giác ABC cân”
a) Phát biểu P⇒Q, cho biết tính đúng sai
b) Phát biểu mệnh đề đảo Q⇒P.
2

13. a) Nếu tam giác ABC đều thì
AB=BC=CA →cả hai đúng
b) Nếu AB>BC thì AC ˆˆ > ; → đúng và
mđ đảo đúng
c) Nếu µA=900
thì ABC là tam giác
vuông. → đúng và mđ đảo sai (vuông tại B
hoặc C)
14. a) ∃ n ∈ Z: n không chia hết cho n
b) ∀ x ∈ R: x+0=0
c) ∃ x ∈ Q: x<
1
x
d) ∀ n ∈ N: n>−n
15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và xét
tính đúng sai của chúng
a) Bình phương mọi số thực đều nhỏ
hơn hoặc bằng 1→ sai
b) Có một số thực mà bình phương của
nó nhỏ hơn hoặc bằng 0→đúng
c) Với mọi số thực , sao cho
2
1
1
1
x
x
x
−
= +
−
→ Sai
d) Có số thực, sao cho
2
1
1
1
x
x
x
−
= +
−
→ Đúng
e) Với mọi số thực x, sao cho x2
+ x
+1>0→ đúng
f) Có một số thực x, sao cho x2
+ x
+1>0→ đúng
16. a) ∃ x ∈ R : x.1≠ x → sai
b) ∃ x ∈ R: x . x ≠1→ đúng
c) ∃ n ∈ Z: n≥n2
→ đúng
17. a) “Có ít nhất một hình vuông không
phải là hình thoi”→ sai
b) “Mọi tam giác cân là tam giác
đều”→ sai
18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng hay
sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh
đề:
13. Cho tam giác ABC. Phát biểu mệnh
đề đảo của các mệnh đề sau:
a) Nếu AB=BC=CA thì tam giác ABC
đều;
b) Nếu AB>BC thì AC ˆˆ > ;
c) Nếu Aˆ =900
thì ABC là tam giác
vuông.
14. Dùng kí hiệu ∀ hoặc ∃ để viết các
mệnh đề sau:
a) Có một số nguyên không chia hết cho
chính nó;
b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính
nó;
c) Có một số hữu tỉ nhỏ hơn nghịch đảo
của nó;
d) Mọi số tự nhiên đều lớn hơn số đối của
nó.
15. Phát biểu bằng lời các mệnh đề sau và
xét tính đúng sai của chúng
a) ∀ x ∈ R: x2
≤ 0
b) ∃ x ∈ R:
2
1
1
1
x
x
x
−
= +
−
c) ∀ x ∈ R:
2
1
1
1
x
x
x
−
= +
−
d) ∃ x ∈ R: x2
≤0
e) ∀ x ∈ R: x2
+ x+1>0
f) ∃ x ∈ R: x2
+ x+1>0
16.Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh
đề sau và xét tính đúng sai của nó
a) ∀ x ∈ R : x.1= x
b) ∀ x ∈ R: x . x =1
c) ∀ n ∈ Z: n<n2
17. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh
đề sau và chó biết tính đúng saicủa chúng
a) Mọi hình vuông là hình thoi;
b) Có một tam giác cân không phải là tam
giác đều;
18. Xét xem các mệnh đề sau đây đúng
3

a) ∃ x∈ Q, 4x2
-1= 0→ sai;
mđ phủ “ ∀ x ∈ Q, 4x2
-1≠0”
b) ∃ n∈ N, n2
+1 chia hết cho 4→ Sai
vì : Nếu n là số tự nhiên chẳn : n =2k (k∈
N)⇒ n2
+1 = 4k2
+1 không chia hết cho 4
Nếu n là số tự nhiên lẻ : n = 2k+1 (k∈N)
⇒ n2
+1 = 4(k2
+k)+2 không chia hết cho 4
Mđ phủ định “ ∀ n ∈ N, n2
+1 không
chia hết cho 4”
c) ∀ x∈ R, (x-1)2 ≠ x-1. → Sai khi x
=0
Mđ phủ định “∃ x ∈ R,(x-1)2
=x-1”
19. a) đúng, ví dụ x=1/10
b) sai, vì khi x<3 ⇒ | x|<3 sai khi x
=−8
Sửa lại : “∃ x ∈ R, | x|<3⇔ x<3”
c) đúng (giải thích)
d) sai. Sửa lại “∀a∈ Q, a2
≠2”
20. tương tự 19
21. Phát biểu các định lý sau, sử dụng khái
niệm "điều kiện đủ":
a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng
phân biệt cùng vuông góc một đường thẳng
thứ ba là điều kiện đủ để hai đường thẳng ấy
song song nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau là điều kiện
đủ để chúng có diện tích bằng nhau.
c) Số tự nhiên tận cùng là chữ số 5 là
điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5.
d) a+b > 5 là điều kiện đủ để một trong
hai số a và b dương.
niệm "điều kiện cần":
a) Điều kiện cần để hai tam giác bằng
nhau là chúng có các góc tươmg ứmg bằng
nhau.
b) Điều kiện cần để tứ giác T là một
hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc
nhau.
c) Điều kiện cần để một số tự nhiên
chia hết cho là nó chia hết cho 3.
d) Điều kiện cần để a=b là a2
=b2
.
23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện
cần và đủ”
“Tam giác ABC là một tam giác đều là
hay sai và lập mệnh đề phủ định của mỗi
mệnh đề:
a) ∃ x∈ Q, 4x2
-1= 0.
b) ∃ x∈ N, n2
+1 chia hết cho 4.
c) ∀ x∈ R, (x-1)2 ≠ x-1.
19. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:
a) ∃ x∈ R, x > x2
.
b) ∀ x∈ R, |x| < 3  x< 3.
c) ∀ x∈ N, n2
+1 không chia hết cho 3.
d) ∃ a∈ Q, a2
=2.
Nếu sai, hãy sửa lại cho đúng:
A: ” 15 là số nguyên tố”
B: ”∃ a ∈ Z, 3a=7”
C: “∀ a ∈ Q, a2
≠3”
niệm "điều kiện đủ":
a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường
thẳng phân biệt cùng vuông góc một
đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy
song song nhau.
b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì
chúng có diện tích bằng nhau.
c) Nếu một số tự nhiên tận cùng là chữ
số 5 thì chia hết cho 5.
d) Nếu a+b > 5 thì một trong hai số a
và b phải dương.
niệm "điều kiện cần":
a) Nếu hai tam giác bằng nhau thì
chúngcó các góc tươmg ứmg bằng nhau.
b) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì
nó có hai đường chéo vuông góc nhau.
c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho
thì nó chia hết cho 3.
d) Nếu a=b thì a2
=b2
.
23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều
kiện cần và đủ”
“Tam giác ABC là một tam giác đều
khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác
4

H
G
PQ
MN
A
B C
điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam
giác cân và có một góc bằng 600
”
24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau
đây để được mệnh đề đúng:
a) Sai. “Tứ giác T là một hình vuông là
điều kiện đủ để nó có bốn cạnh bằng nhau”
b) Sai. “Tổng hai số tự nhiên chia hết
cho 7 là điều kiện cần để mỗi số đó chia hết
cho 7.
c) Sai. “ ab>0 là điều kiện cần để hai
số a và b dương”
d) Đúng.
25. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải
thích.
a) Sai. Vì khi diện tích bằng nhau thì
chỉ cần 1 cạnh và đường cao ứng với cạnh đó
bằng nhau
b) Sai.
c) Đúng. Vì Nếu ABC vuông tại A thì
µ µ µB C A+ = . Ngược lại nếu µ µ µB C A+ = thì
µ µ µ µ µ0 0 0
180 2 180 90A B C A A+ + = ⇒ = ⇒ =
d) Đúng. Vì ABC đều thì 2 trung
tuyến bằng nhau.
Ngược lại, nếu BM=CN. Lấy Q đối
xứng của C qua N, P đối xứng B qua M
Khi đó AQBC và APCB là hai hình
bình hành bằng nhau
Mà CQ=BP⇒ AB=AC⇒ ABC cân.
cân và có một góc bằng 600
”
24. Hãy sửa lại (nếu cần) các mệnh đề sau
đây để được mệnh đề đúng:
a)Để tứ giác T là một hình vuông, điều
kiện cần và đủ là nó có bốn cạnh bằng
nhau.
b)Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho
7, điều kiện cần và đủ là mỗi số đó chia
hết cho 7.
c)Để ab>0, điều kiện cần là cả hai số a
và b điều dương.
d)Đề một số nguyên dương chia hết cho
3, điều kiện đủ là nó chia hết cho 9.
Giải thích.
a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ
khi chúng có diện tích bằng nhau.
b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ
khi chúng đồng dạng.
c) Một tam giác là tam giác vuông khi
và chỉ khi có một góc(trong) bằng tổng hai
góc còn lại.
d) Một tam giác là tam giác đều khi và
chỉ khi nó có hai trung tuyến bằng nhau và
có một góc bằng 600
.
BÀI TẬP THÊM
1. Xét đúng (sai)của mệnh đề sau :
a/ Hình thoi là hình bình hành
b/ Số 4 không là nghiệm của phương trình : x2
− 5x + 4 = 0
c/ ( 2 > 3 ) ∧ (3 < π) d/ (
3
11
>
2
7
) ∨ (42
< 0)
e/ (5.12 > 4.6) ⇒ (π2
< 10)f) (1< 2 ) ⇒ 7 là số nguyên tố
2. Phủ định các mệnh đề sau :
a/ 1 < x < 3 b/ x ≤ −2 hay x ≥ 4
c/ Có một ∆ABC vuông hoặc cân
d/ Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3
e/ Có ít nhất một học sinh lớp 10A học yếu hay kém.
f/ x< 2 hay x=3.
5

g/ x ≤ 0 hay x>1.
h/ Pt x2
+ 1 = 0 vô nghiệm và pt x+3 =0 có nghiệm
3. Xét đúng (sai)mênh đề và phủ định các mệnh đề sau :
a/ ∀x ∈ R , x2
+ 1 > 0 b/ ∀x ∈ R , x2
− 3x + 2 = 0
c/ ∃n ∈ N , n2
+ 2 chia hết cho 4 d/ ∃n ∈ Q, 2n + 1 ≠ 0
e/ ∀a ∈ Q , a2
> a f) ∀x ∈ R , x2
+x chia hết cho 2.
4.Dùng bảng đúng (sai)để chứng minh:
a) A⇒ B = B A⇒ b) A B A BΛ = ∨
c) A B A B∨ = ∧ d) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∧ ∨ = ∧ ∨ ∧
Tuần dạy:
Chủ đề 2: TẬP HỢP
(4 TIẾT)
MỤC TIÊU
- Kiến thức: củng cố các khái niệm tập con, tập hợp bằng nhau và các phép toán trên
tập hợp.
- Rèn luyện kĩ năng thực hiên các phép toán trên tập hợp. Biết cách tìm phần hợp ,
giao, phần bù của các tập hợp đã cho và mô tả được sau khi thực hiện xong các phép toán
- Biết sử dụng các ký hiệu và phép toán tập hợp để phát triển các bài toán suy luận toán
học một cách logic
Tiết 1
- Gv giao bài tập cho HS
- Gọi HS lên bảng trình bày
- Gv gọi hs nhận xét
- HS nhận xét, hoàn thiện
- Gv nhận xét, sửa sai
1. Viết các tập sau bằng cách liệt kê các phần tử
A = {x ∈ Z | (2x – x2
)(2x2
– 3x – 2) = 0}
B = {x ∈ N*
| 3 < n2
< 30}
C = {x = 2k + 1 | 3 ≤ k ≤ 10; k ∈ N}
D = {x = 3k – 1 | k ∈ Z, – 5 ≤ k ≤ 3}
E = {x = | k ∈ N và 1 ≤ k ≤ 6}
F = {x ∈ Z | 3 < |x| ≤ }
2. Viết các tập sau theo cách chỉ ra tính chất đặc
trưng
A={2;3;5;7} B= {1;2}
C={2;4;6;8;...;88;90}
D={4;9;16;25}
3. Trong các tập sau tập nào là tập rỗng?
A = {x∈R | x2
-x+1=0 }
B = {x∈R | x2
-4x+2= 0}
6

1) X={1,2}; X={1,2;3};
X={1,2;3;4}; X={1,2;4}; X={1,2;5};
X={1,2;3;5}; X={1,2;3;4;5}
2) X ⊂ {2 ;4; 6}, có 8 tập con thoả
mãn yêu cầu bài toán
3) X={1;3;4}; X={3;4};
X={1,2;3;4}; X={2;3;4};
C = {x∈R | 6x2
-7x+1= 0}
D = {x∈ R | | x| < 1} .
4. Trong các tập sau, tập nào là con của tập nào?
A = {1,2,3} B = { x∈N | x<4 }
C = (0;+∞ ) D = { x∈R | 2x2
-7x+3= 0} .
5. Tìm tất cả các tập con của các tập sau:
a) A = {1;2} b) B= {1;2;3;4}.
c) C= ∅ d) D= {∅}
6. Tìm tất cả các tập X sao cho:
{1,2} ⊂ X ⊂ {1,2,3,4,5} .
7. Tập A = {1,2,3,4,5,6} có bao nhiêu tập con gồm
hai phần tử ? Để giải bài toán , hãy liệt kê tất cả
các tập con của A gồm hai phần tử rồi đếm số tập
con này. Hãy thử tìm một cách giải khác.
8. Liệt kê tất cả các phần tử của mỗi tập sau:
R={3k-1| k ∈ Z, -5≤ k ≤5}
S={x ∈ Z| 3<|x|≤
19
2
}
T= { x ∈ R| 2x2
−5x+2=0}
Bài tập nâng cao
1) Tìm tất cả các tập hợp X sao cho:
{1,2}⊂ X ⊂ {1,2,3,4,5}
2) Cho A = {1,2,3,4,5,6}, B ={0,2,4,6,8}. Tìm
các tập hợp X sao cho X ⊂ A và X ⊂ B
3) Cho A = {1,2} và B = {1,2,3,4}.Tìm các tập
hợp X sao cho A ∪ X = B
BÀI TẬP THÊM
1. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau :
a/ A = {x ∈ N / x < 6}
b/ B = {x ∈ N / 1 < x ≤ 5}
c/ C = {x ∈ Z , /x / ≤ 3}
d/ D = {x ∈ Z / x2
− 9 = 0}
e/ E = {x ∈ R / (x − 1)(x2
+ 6x + 5) = 0}
f/ F = {x ∈ R / x2
− x + 2 = 0}
g/ G = {x ∈ N / (2x − 1)(x2
− 5x + 6) = 0}
h/ H = {x / x = 2k với k ∈ Z và −3 < x < 13}
i/ I = {x ∈ Z / x2
> 4 và /x/ < 10}
j/ J = {x / x = 3k với k ∈ Z và −1 < k < 5}
7

k/ K = {x ∈ R / x2
− 1 = 0 và x2
− 4x + 3 = 0}
l/ L = {x ∈ Q / 2x − 1 = 0 hay x2
− 4 = 0}
2. Xác định tập hợp bằng cách nêu tính chất :
a/ A = {1, 3, 5, 7, 9} b/ B = {0, 2, 4}
c/ C = {0, 3, 9, 27, 81} d/ D = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
e/ E ={2, 4, 9, 16, 25, 36} f/ F = {
3
1
,
5
2
,
7
3
,
9
4
}
3. Tìm tất cả các tập con của tập hợp sau :
a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c}
c/ C = {a, b, c, d} d) A = {1, 2, 3, 4}
4. Cho A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 3} ; C = {2, 3} ; D = {2, 3, 5}
a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ ⊂
b/ Tìm tất cả các tập X sao cho C ⊂ X ⊂ B
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C ⊂ Y ⊂ A
5. Cho A = {x / x là ước nguyên dương của 12} ;
B = {x ∈ N / x < 5} ; C = {1, 2, 3} ;
D = {x ∈ N / (x + 1)(x − 2)(x − 4) = 0}
a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ ⊂
b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D ⊂ X ⊂ A
c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C ⊂ Y ⊂ B
Tuần dạy:
Tiết 2
1. Cho các tập A = {0 ; 1; 2; 3},
B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5}. Tính
A ∩ B, B ∪ C, CA, (A ∪ B) (B ∪ C)
2. Cho A = {x∈N | x < 7} và
B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác định A ∪ B ; A∩B ; AB ; B A
b) CMR : (A ∪ B) (A∩B) = (AB)∪ (B A)
3. Cho M={3k-1| k ∈ Z, -5≤ k ≤5},
S={x ∈ Z| 3<|x|≤
19
2
},
T= { x ∈ R| 2x2
−4x+2=0}.
Tính M ∩ S, S ∪ T, MS
4. Cho A={0;2;4;6;8}, B={0;1;2;3;4},
C={0;3;6;9}. Tính
a) (A ∪ B) ∪ C và A ∪ (B ∪ C). Có
nhận xét gì về hai kết quả?
b) (A ∩ B) ∩ C
d) (A ∪ B) ∩ C
e) (A B) ∪ C
8

6. E = {1;2;3;4;5;6}, A = {- 3; - 1;3;6},
B ={2;3;5}
b) CEB = {1;4;6},
CE(A∩B) = {1;2 ;4;5;6},
7. a) A ∩ (B ∪ C)= { }10;8;6;4;2
b) (AB) ∪ (AC) ∪ (BC)=
{ }10;8;4;3;2;1
5. Cho A={0;2;4;6;8;10}, B={0;1;2;3;4;5;6},
C={4;5;6;7;8;9;10}. Tính
a) B ∪ C, A ∩ B, B ∩ C, AB, CB
b) A ∩ (B ∩ C)
c) (A ∪ B) ∩ C
d) A ∩ (B ∪ C)
e) (A ∩ B) ∪ C
f) (AB) ∪ (CB)
6. Cho E = { x∈Z | 1 ≤ x < 7}
A= { x∈Z | (x2
-9)(x2
– 5x – 6) = 0 }
B = { x∈Z | x là số nguyên tố ≤ 5}
a) Chứng minh rằng B ⊂ E
b) Tìm CEB ; CE(A∩B)
c) Chứng minh rằng :
E (A ∩B)= (E A) ∪ ( E B)
E ( A∪B) = ( E A) ∩ ( E B)
7. Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẳn
không lớn hơn 10, B = {n ∈ N| n ≤ 6} và
C = {n ∈ N| 4 ≤ n ≤ 10} . Xác định các tập hợp
sau: a) A ∩ (B ∪ C)
b) (AB) ∪ (AC) ∪ (BC)
BÀI TẬP THÊM
1. Cho các tập hợp A = {0,2,4,6,8} B = {0,1,2,3,4} C = {0,3,6,9}
a)Xác định các tập hợp A ∪ B ; A ∩ B ; (A ∪ B)∪C ; A ∪ (B ∪ C)
b)Xác định các tập hợp (A ∪ B)∩ C ; (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ; AB , C A.
2. Cho các tập hợp A = {1,2,3,4,5,6,9}; B = {0.2,4,6,8,9}; C = {3,4,5,6,7}
Hãy xác định các th A ∩ (BC) và (A ∩ B)C.So sánh
3. Cho các tập A= {k ∈ Z| |k| ≤ 3}; B= {k2
-k | k ∈ Z; |k| ≤ 2} và
C = {x | x (x-1)(x2
-x-2) =0}
a. Tính: A ∩ B; A ∪ (B ∩ C); (A ∪ B)C.
b. Liệt kê các tập con của tập C.
Tuần dạy: Tiết 3,4
- Gv giao bài tập cho HS 1) Xác định các tập hợp sau và biểu diễn
9

1)
a) [ ]4;3− b) [ ]2;1− c)
( )+∞− ;2
d) [– 1;2) e) (–∞;+ ∞ ) f) [ ]3;1−
g) Φ h) Φ
2) a) [ ]2;2− b) (– 2;1]
c) (– 2;1) d) (–∞ ;2]
e) (3;+ ∞ ) f) Φ
g) { }5;4;3;2;1;0;1;2 −−
h) Φ
i) 2 k)
{ }5;4;3;2;1;0
4) [– 1;2)
5) A ∪ B= (-∞;2) ∪ (5/2; + ∞ )
A ∩ B = (0;3/2)
6) A ∩ B = (3;4)
7) TH: m+2 < n
TH: n+1<m
8) CR(A ∪ B) = (-∞;0] ∪ [4; + ∞ )
CR(A ∩ B)= (-∞;1) ∪ (2; + ∞ )
9) A = {1;3;5,6;7;8,9}
B = {2;3,6,9;10}
trên trục số:
a) [– 3;1) ∪ (0;4] b) (0;2]∪[– 1;1]
c) (– 2;15) ∪ (3;+ ∞ ) d) (– 1;) ∪ [– 1;2)
e) (– ∞ ;1) ∪ (– 2;+ ∞ ) f) (– 12;3] ∩ [– 1;4]
g) (4;7) ∩ (– 7;– 4) h) (2;3) ∩ [3;5)
2) Xác định các tập hợp sau và biểu diễn trên
trục số:
a) (– ∞;2] ∩ [– 2;+ ∞ ) b) (– 2;3) (1;5)
c) (– 2;3) [1;5) d) R (2;+ ∞ )
e) R (– ∞ ;3] f) (– 1;0] ∩ [0;1)
g) (– 3;5] ∩ Z h) (1;2) ∩ Z
i) (1;2] ∩ Z k) [– 3;5] ∩ N
3) Xác định và biễu diễn các tập hợp sau trên
trục số:
a) A = {x ∈ R| 2 < |x| < 3}
b) B = {x ∈ R| |x| ≥ 2}
4) Thực hiện phép tính và biểu diễn kết quả
lên trục số: (- ∞ ; 2) ∩ [ -1; + ∞).
5) Cho các th A = {x ∈ R| > 2} và
B = {x ∈ R| |x – 1| < 1}.
Hãy tìm A ∪ B và A ∩ B
6) Cho các th A = {x ∈ R| |x – 1| < 3} và
B = {x ∈ R| |x + 2| > 5} .Hãy tìm A ∩ B
7) Cho A = [m;m + 2] và B = [n;n + 1] .Tìm
điều kiện của các số m và n để A ∩ B = ∅
8) Cho A = (0;2] và B = [1;4). Tìm
CR(A ∪ B) và CR(A ∩ B)
9) Xác định các th A và B biết rằng:
A ∩ B = {3,6,9} ; AB = {1,5,7,8} ;
BA = {2,10}
10

BÀI TẬP THÊM
1. Viết lại các tập sau về kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng. Biểu diễn chúng trên trục số.
A={ x ∈ R| x≥ −3} B={ x ∈ R| x<8}
C={ x ∈ R| −1< x< 10} D={ x ∈ R| −6 < x ≤ 8}
E={ x ∈ R|
1
2
≤ x≤
5
2
} F={ x ∈ R| x−1<0}
2. Viết các khoảng, đoạn sau về dạng kí tập hợp
E=(1;+∞) F=(−∞;6]
G=(−2;3] H=[−
3
2
;1]
3. Xác định A∩ B, A∪ B, AB, BA và biểu diễn kết quả tên trục số
a) A = { x ∈R | x ≥ 1 } B ={ x ∈R | x ≤ 3 }
b) A = { x ∈R | x ≤ 1 } B ={ x ∈R | x ≥ 3 }
c) A = [1;3] B = (2;+∞ )
d) A = (-1;5) B = [ 0;6)
4. Cho A={ x ∈ R | x−2≥0 }, B={ x ∈ R | x−5>0}.
Tính A ∩ B, A ∪ B, AB, BA.
5. Xác định các tập sau và biểu diễn chúng trên trục số
a) (−5;3) ∩ (0;7) b) (−1;5) ∪ (3;7)
c) R(0;+∞) d) (−∞;3) ∩ (−2;+∞)
6. Xác định AB , A ∩ B, A ∪ B và biểu diễn chúng trên trục số
a) A=(−3;3) B=(0;5)
b) A=(−5;5) B=(−3;3)
c) A=R B=[0;1]
d) A=(−2;3) B=(−3;3)
7. Xác định tập hợp C ∩ D, biết
a) C=[1;5] D=(−3;2) ∪ (3;7) b) C=(−5;0) ∪ (3;5) D=(−1;2) ∪ (4;6)
8. Xác định các tập sau
a) (−3;5] ∩ Z b) (1;2) ∩ R c) [−3;5] ∩ R
9. Xác định các tập sau
a) R((0;1) ∪(2;3)) b) R((3;5) ∩(4;6))
c) (−2;7)[1;3] d) ((−1;2) ∪(3;5))(1;4)
Tuần dạy:
CHUYÊN ĐỀ 3: VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VÉC TƠ (6 tiết)
Đề bài Lời giải
Bài 1: CMR: với 4 điểm A, B, C, D bất kỳ ta
có:
AC BD AD BC+ = +
uuur uuur uuur uuur
Bài 1
Ta có:
11

Bài 2: Cho hbh ABCD với tâm O. Các khẳng
định sau đây đúng hay sai?
a. AB AD BD+ =
uuur uuur uuur
b. AB BD BC+ =
uuur uuur uuur
c. OA OB OC OD+ = +
uuur uuur uuur uuur
d. BD AC AD BC+ = +
uuur uuur uuur uuur
Bài 3: Cho hbh ABCD với tâm O. Hãy điền
vào chỗ trống để được đẳng thức đúng.
a. ...AB AD+ =
uuur uuur
b. ...AB CD+ =
uuur uuur
c. ...AB OA+ =
uuur uuur
d. ...OA OC+ =
uuur uuur
Bài 4: Cho hbh ABCD với tâm O. Các khẳng
định sau đây đúng hay sai?
a. OA OB AB− =
uuur uuur uuur
b. CO OB BA− =
uuur uuur uuur
c AB AD AC− =
uuur uuur uuur
d. AB AD BD− =
uuur uuur uuur
Bài 5: CMR: Nếu AB CD=
uuur uuur
thì AC BD=
uuur uuur
Bài 6: Cho hbh ABCD và một điểm M tuỳ ý.
CMR: MA MC MD MB+ = +
uuur uuuur uuuur uuur
Bài 7 Cho hbh ABCD với tâm O. CMR:
a. CO OB BA− =
uuur uuur uuur
b. AB BC DB− =
uuur uuur uuur
cDA DB OD OC− = −
uuur uuur uuur uuur
d. DA DB DC O− + =
uuur uuur uuur ur
Bài 8 Cho hbh ABCD. CMR:
DA DB DC O− + =
uuur uuur uuur ur
( )
AC BD AD DC BC CD
AD BC DC CD
AD BC
+ = + + +
= + + +
= +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
Bài 2
a. Sai
b. Đúng
c. Sai
d. Đúng
Bài 3:
a. AC
uuur
b. O
ur
c. OB
uuur
d. O
ur
Bài 4:
a. Sai
b. Đúng
c. Sai
d.Sai
Bài 5:
AB CD AC CB CB BD
AC BD
= ⇒ + = +
⇒ +
uuur uuur
Bài 6:
( )
MA MC MA MA AC
MB MD MA AB MA AD
MA MA AB AD
+ = + +
+ = + + +
= + + +
uuur uuuur uuur uuur uuur
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
⇒ Đpcm
Bài 7:
a. CO OB OA OB BA− = − =
uuur uuur uuur uuur uuur
b. AB BC AB AD DB− = − =
c.
( )DA DB DO OA DO OB
OA OB OC OD
− = + − +
= − = − +
uuur uuur uuur uuur
Bài 8
12

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết
AC = a, AB = 2a. Tính độ dài của véc tơ tổng:
,AB AC AB AC+ −
uuur uuur uuur uuur
Bài 10: Cho tam giác ABC. Hãy xác định
điểm M thoả mãn điều kiện:
MA MB MC O− + =
uuur uuur uuuur ur
Bài 11: Cho tam giác ABC. Hãy xác định
điểm M thoả mãn điều kiện:
MA MB MC BC− + =
uuur uuur uuuur uuur
Bài 12: Cho tam giác ABC. Hãy tìm các điểm
M thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a. MA MB BA− =
uuur uuur uuur
b. MA MB AB− =
uuur uuur uuur
c. MA CA AC AB− = −
uuur uuur uuur uuur
DA DB DC DA DC DB O− + = + − =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur ur
Bài 9:
Theo quy tắc HBH thì
AB AC AD+ =
uuur uuur uuur
, với AD là đường
chéo HBH ABCD mà góc A
vuông nên ABCD là HCN
AD BC⇒ = . Áp dụng định lí
Pytago trong tam giác vuông ABC
ta có
2 2 2 2
5BC AB AC a= + =
5AB AC AD a+ = =
uuur uuur uuur
Vậy 5AB AC CB a− = =
uuur uuur uuur
Bài 10:
Ta có:
MA MB MC O− + =
uuur uuur uuuur ur
MA MB CM BA CM⇔ − = ⇔ =
uuur uuur uuuur uuur uuuur
Vậy M là đỉnh thứ tư trong HBH
ABCM
Bài 11:
M trùng A
Bài 12:
a. M tuỳ ý
b. Không có M
c. Đường tròn tâm C, bán kính BC
Bài tập tự luyện
Bài 13: Cho HBH ABCD, CMR: 2AB AC AD AC+ + =
uuur uuur uuur uuur
Bài 14: Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
2MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur
Bài 15: Cho hbh ABCD, đặt ,AB a AD b= =
uuur r uuur r
. Hãy biểu diễn các véc tơ sau theo các véc tơ
,a b
r r
a. DI
uuur
, I là trung điểm của BC
b. ,AG
uuur
với G là trọng tâm của tam giác CDI
Bài 16: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, H là điểm đối xứng của B qua G.
a. Tính ,AH BH
uuur uuur
theo ,AB AC
uuur uuur
b. Gọi M là trung điểm của BC. CMR:
1 5
6 6
MH AC AB= −
uuuur uuur uuur
Tuần dạy:
13

CHUYÊN ĐỀ 4: HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ ( 4 tiết )
Đê bài Lời giải
Bài 1: Cho tam giác ABC. Các điểm
M (1 ; 0) , N (2 ; 2) và P (-1 ; 3) lần lượt
là trung điểm các cạnh BC, CA và AB.
Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác.
Bài 2: Cho hbh ABCD có A (-1 ; 3) , B
(2 ; 4) và C (0 ; 1). Tìm toạ độ đỉnh D.
Bài 3: Cho ( ) ( )3; 2 , 7;4u v= − =
r r
. Tính toạ
độ các véc tơ , ,2 ,3 4u v u v u u v+ − −
r r r ur r r r
.
Bài 4: Tìm x để các cặp véc tơ sau
cùng phương :
a. ( ) ( )2;3 , 4;a b x= =
r r
b. ( ) ( )0;5 , ;7u v x= =
r r
c. ( ) ( ); 3 , 2;2m x n x= − = −
ur r
Bài 5: Cho 3 điểm A (-1 ; 1), B (1 ; 3)
và C (-2 ; 0). CMR 3 điểm A, B, C
thẳng hàng.
Bài 6: Cho A (3 ; 4), B (2 ; 5). Tìm x
Bài 1: Ta có : NAPM là HBH
Suy ra ( )
( )
2; 2
2;3
A A
NA MP
NA x y
MP
=
= − −
= −
uuur uuur
uuur
uuur
Suy ra
2 2 0
2 3 5
A A
A A
x x
y y
− = − = 
⇒ 
− = = 
Vậy toạ độ của A là (0 ; 5).
Tương tự ta tính được B (-2 ; 1)
và C (4 ; -1).
Bài 2: Giả sử toạ độ của điểm D là
( )
( )
( )
;
, 1; 3
2; 3
D D
D D
x y
AD BC AD x y
BC
= = + −
= − −
uuur uuur uuur
uuur
Vậy toạ độ của D là (-3 ; 0)
Bài 3: Ta có :
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
10;2 , 4; 6 ,
2 6; 4
3 9; 6 ,4 28;16
3 4 19; 22
u v u v
u
u v
u v
+ = − = − −
= −
= − =
⇒ − = − −
r r r r
r
r r
r r
Bài 4: a.
4
6
2 3
x
x= ⇒ =
b. x = 0
c.
3
3
2 2
x
x
x
−
= ⇒ = ±
−
Bài 5: Ta có :
( ) ( )2;2 , 1; 1
2
AB AC
AB AC
= = − −
⇒ = −
uuur uuur
uuur uuur
Bài 6: Điểm C thuộc đường thẳng AB
14

để điểm C (-7 ; x) thuộc đường thẳng
AB.
Bài 7: Cho 4 điểm A (0 ; 1), B (1 ; 3),
C (2 ; 7) và D (0 ; 3). CM 2 đường
thẳng AB và CD song song.
Bài 8: Cho tam giác ABC với A (3 ; 2),
B (-11 ; 0) và C (5 ; 4). Tìm toạ độ trọng
tâm G của tam giác ABC.
Bài 9: Cho tam giác ABC có A (1 ; -1),
B (5 ; -3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G
trên Ox. Tìm toạ độ của C.
Bài 10: Cho A (-2 ; 1), B (4 ; 5).Tìm
toạ độ trung điểm I của AB và tìm toạ
độ điểm C sao cho tứ giác OACB là
HBH, O là gốc toạ độ.
khi và chỉ khi 3 điểm A, B, C thẳng
hàng.
( ) ( )1;1 , 10, 4
10 4
14
1 1
AC k AB
AB AC x
x
AC k AB x
⇔ =
= − = − −
− −
= ⇔ = ⇒ =
−
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Bài7:
( ) ( )1;2 , 2; 4 2AB CD CD AB= = − − ⇒ = −
uuur uuur uuur uuur
Do đó AB và CD song song hoặc trùng
nhau.
Ta có : ( ) ( )2;6 , 1;2AC AB= =
uuur uuur
Vậy 2 véc tơ ,AC AB
uuur uuur
không cùng
phương. Do đó C không thuộc AB.
Vậy AB và CD song song.
Bài 8: Theo công thức toạ độ trọng tâm
tam giác ta có :
3 11 5 2 0 2
1, 2
3 3
G Gx y
− + + +
= = − = =
Bài 9: Vì C nằm trên Oy nên ta có điêm
C (0 ; y). Tương tự G (x ; 0). Ta có :
1 3
0 4
3
G
y
y y
− − +
= = ⇒ =
Vậy C có toạ độ là (0 ; 4).
Bài 10: Theo công thức toạ độ trung
điểm ta có :
2 4 1 5
1, 3
2 2
I Ix y
− + +
= = = =
vậy toạ độ I là (1 ; 3)
Tứ giác OACB là HBH ⇔ I là trung
điểm của OC. Do đó
0
1 2
2
0
3 6
2
C
C
C
C
x
x
y
y
+
= ⇒ =
+
= ⇒ =
Vậy toạ độ của C là (2 ; 6).
Bài 11: Cho hbh ABCD có A (2 ; -3) , B (4 ; 5) và C (0 ; -1). Tìm toạ độ đỉnh D.
Bài 12: Cho tam giác ABC với A (3 ; 1), B (-1 ; 0) và C (7 ; 4). Tìm toạ độ trọng tâm G
của tam giác ABC.
Bài 13: Cho tam giác ABC. Các điểm
15

M (2 ; 0) , N (3 ; 2) và P (-1 ; 5) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB. Tìm toạ
độ các đỉnh của tam giác.
Bài 14: Cho 3 điểm A (-1 ;8), B (1 ; 6) và C (3 ; 4).
CMR 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Tuần dạy:
CHỦ ĐỀ 5 : HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ (10 tiết)
Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số
Mục tiêu: Nắm được cách tìm tập xác định của hàm số
Tóm tắt kiến thức:
Định nghĩa: Tập xác định của hàm số )(xfy = là tập hợp tất cả các số thực x sao cho
biểu thức )(xf có nghĩa.
Chú ý: )(
1
)(
xA
xf = có nghĩa 0)( ≠⇔ xA
)()( xAxf = có nghĩa 0)( ≥⇔ xA
)(
1
)(
xA
xf = có nghĩa 0)( >⇔ xA
- Nếu biểu thức )(xf có nhiều điều kiện xác định thì ta phải lấy phần giao của các
điều kiện đó.
- Nếu biểu thức )(xf cho bởi nhiều biểu thức trong từng miền khác nhau thì ta phải
lấy phần hợp của các miền đó.
Đề bài Hướng dẫn, gợi ý,đáp số
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) x
x
y −+
−
= 3
1
5
;
b) x
x
x
x
y
−
+
+
=
2
1
;
c)
34
2
2
+−
+
=
xx
x
y
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) )2)(1( +−
=
xx
x
y ;
b) 1||
2
−
+
=
x
x
y ;
c) 2
4
1
2
++
−
= x
x
y
ĐS:
a) ]3;1()1;( ∪−∞=D ;
b) )2;0()0;1[ ∪−=D ;
c) }3;1{RD= ;
ĐS: a) );1()1;0[ +∞∪=D ;
b) );1()1;1()1;2[ +∞∪−∪−−=D ;
c) );2()2;2( +∞∪−=D
Bài tập về nhà
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)
1
1
2
−
−
=
x
x
y ; b)
12
12
2
−−
+
=
xx
x
y ; c) 4)2(
43
+−
+
=
xx
x
y .
16

Tuần dạy:
Dạng 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Mục tiêu: -Nắm được cách xét tính chẵn lẻ của hàm số
Định nghĩa:
- Hàm số )(xfy = với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu Dx ∈∀ thì Dx ∈− và
)()( xfxf =− .
- Hàm số )(xfy = với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu Dx ∈∀ thì Dx ∈− và
)()( xfxf −=− .
Phương pháp xét tính chẵn lẻ của hàm số
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số )(xfy =
- Nếu D không đối xứng qua gốc tọa độ thì ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.
- Nếu D đối xứng qua gốc tọa độ thì ta thực hiện bước 2
Bước 2: Tính )( xf − và so sánh với )(xf
- Nếu )()( xfxf =− thì ta kết luận )(xf là hàm số chẵn
- Nếu )()( xfxf −=− thì ta kết luận )(xf là hàm số lẻ
Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) 23 24
−+= xxy ;
b) xxy 52 3
−= ;
c) || xxy = ;
d) xxy −++= 11 ;
e) xxy −−+= 11
Bài 2. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) )1)(1( +−
=
xx
x
y ;
b) xxy 2121 +−−= ;
c) xx
x
y
+−−
=
11
.
ĐS:
a) chẵn
b) lẻ
c) lẻ
d) chẵn
e) lẻ
ĐS:
a) lẻ
b) lẻ
c) chẵn
Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a)
11
1
22
++−+−
=
xxxx
y ;
b) |2||2|
|1||1|
−−+
+−−
=
xx
xx
y .
17

Tuần dạy:
Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng
Mục tiêu: -Nắm được cách lập phương trình đường thẳng
Chú ý:
-Đường thẳng không vuông góc với trục hoành có phương trình dạng baxy +=
-Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau
-Hai đường thẳng vuông góc có tích các hệ số góc bằng -1
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d biết:
a) d đi qua hai điểm M(-2;2) và N(4;-1);
b) d đi qua A(2;1) và song song với đường thẳng
d1:y=2x+1;
c) d cắt đường thẳng d1: 5
2
3
−= xy tại điểm có
hoành độ bằng 4 và cắt đường thẳng d2: 22 −= xy tại
điểm có tung độ bằng 2;
d) d song song với đường thẳng d’: xy
3
2
= và đi
qua giao điểm của hai đường thẳng 12 += xy và
23 −= xy
ĐS:
a) 1
2
1
+−= xy ;
b) 32 −= xy ;
c) 3
2
1
+−= xy
d) 5
3
2
+= xy
Lập phương trình đường thẳng d biết:
a) d song song với đường thẳng d1: xy
2
1
= và cắt d2: 32 −= xy tại một điểm trên trục
hoành;
b) d đi qua điểm A(1;2) và cắt đường thẳng d1: 3+−= xy tại một điểm thuộc trục tung;
c) d cắt đường thẳng d1: 63 −= xy tại một điểm trên hoành và cắt đường thẳng d2:
12 −= xy tại một điểm trên trục tung .
Tuần dạy:
Dạng 4: Xác định các yếu tố của parabol
Mục tiêu: -Xác định được các yếu tố của parabol
Parabol cbxaxy ++= 2
có:
-Đỉnh I( aa
b
4
;
2
∆
−− )
18

-Trục đối xứng a
b
x
2
−=
-Bề lõm hướng lên khi a>0
-Bề lõm hướng xuống khi a<0
Bài 1. Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh,
các giao điểm với trục tung và trục hoành của
parabol:
a) 12
+−= xy ;
b) xxy 22
−= ;
c) 342
+−= xxy ;
d) 442
−+−= xxy ;
e) 322
++−= xxy ;
f) 4
2
1 2
−+= xxy
HD:
ĐS:
a) Trục đối xứng: x=0
Đỉnh I(0;1)
Giao với trục tung: (0;1)
Giao với trục hoành: (-1;0), (1;0)
b) Trục đối xứng: x=1
Đỉnh I(1;-1)
Giao với trục tung: (0;0)
Giao với trục hoành: (0;0), (2;0)
Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh, các giao điểm với trục tung và trục hoành của
parabol:
a) 12 2
+= xy ; b) 322
+−−= xxy ;
c) 32
+−= xxy ; d) 12 2
−+−= xxy ;
Tuần dạy:
Dạng 5: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Mục tiêu: -Lập được bảng biến thiên và vẽ được đồ thị hàm số
*Lập bảng biến thiên:
-Xác định aa
b
4
;
2
∆
−−
-Xác định dấu của a => bảng biến thiên
*Vẽ đồ thị:
-Xác định tọa độ đỉnh I( aa
b
4
;
2
∆
−− )
-Xác định trục đối xứng a
b
x
2
−=
-Xác định giao điểm với trục tung
-Xác định giao điểm với trục hoành (nếu có)
Bài 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ
thị hàm số:
a) 12
++= xxy ;
b) 22 2
−+−= xxy ;
c) 122
−+−= xxy ;
ĐS:
a) a=1, b=1, c=1
4
3
4
;
2
1
2
=
∆
−−=−
aa
b
Hệ số a=1>0 nên ta có bảng biến thiên
19

d) 2
2
1 2
+−= xxy
e) |4| 2
−= xy ;
f) 3||22
++−= xxy
x ∞− 2
1
− ∞+
y
∞+ ∞+
4
3
6
4
2
-1/2
3/4
Xác định trục đối xứng, tọa độ đỉnh, các giao điểm với trục tung và trục hoành của
parabol:
a) 12 2
+= xy ;
b) 322
+−−= xxy ;
c) 32
+−= xxy ;
d) 12 2
−+−= xxy
Tuần dạy:
Dạng 6: Xác định parabol
Phương pháp: Để xác định các hệ số a,b,c của parabol cbxaxy ++= 2
ta làm như sau:
-Ta thiết lập hệ phương trình với các ẩn a,b,c biểu thị các yếu tố của parabol
-Giải hệ phương trình này để tính a,b,c.
Bài 1. Cho hàm số cbxaxxfy ++== 2
)( (P). Tìm a,b,c
trong mỗi trường hợp sau:
a) (P) đi qua ba điểm A(-1;-2), B(1;2), C(2;1);
b) (P) có đỉnh S(2;-2) và đi qua A(4;2).
Bài 2. Cho hàm số cbxxy ++= 2
(P). Tìm b và c trong mỗi
trường hợp sau:
a) (P) đi qua hai điểm A-1;2) và B(2;-1);
b) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 khi x=1.
Bài 3. Cho parabol (P) có đỉnh là I(-1;2) và đi qua gốc tọa
độ. Hãy tìm hàm số có đồ thị là parabol đã cho.
ĐS:
a)a=-1;b=2;c=1
b) a=1;b=-4;c=2
ĐS:
a) b=-2;c=-1
b) b=-2;c=0
ĐS: xxy 42 2
−−=
Xác định parabol (P), biết:
20

a) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và đi qua hai điểm A(1;5) , B(-2;8);
b) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ
là1 và 2
Tuần dạy:
CHỦ ĐỀ 6 : PHƯƠNG TRÌNH (9 tiết)
Dạng 1: Phương trình bậc hai
Mục tiêu: Nắm được cách tìm tập xác định của hàm số
1. Phương trình bậc hai 02
=++ cbxax (1) có hai nghiệm 21, xx thì
a
c
xxP
a
b
xxS ==−=+= 2121 , .
2. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
-Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 0<⇔ P
-Phương trình (1) có hai nghiệm dương 0,0,0 >>≥∆⇔ SP
-Phương trình (1) có hai nghiệm âm 0,0,0 <>≥∆⇔ SP
3. Xác định m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện (*) cho trước.
Giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán









=
−=+
≥∆
⇔
(*)
0
21
21
a
c
xx
a
b
xx
.
Giải hệ trên ta tìm được m.
Bài 1. Cho phương trình 03)1(2)1( 2
=++−+− mxmxm
(1). Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm
21, xx thỏa mãn 12
221
2
1 =++ xxxx .
Bài 2. Tìm giá trị của a sao cho phương trình
02)12( 22
=++−+ axax có hai nghiệm, trong đó có một
nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
Bài 3. Xác định m để phương trình 0)23( 22
=+++ mxmx
có hai nghiệm 21, xx thỏa mãn 21 9xx = và xác định các
nghiệm đó.
Bài 4. Xác định m để phương trình 0
4
152
=+− mxx có
hai nghiệm, trong đó có một nghiệm là bình phương của
nghiệm kia.
HD:
ĐS: φ∈m ;
ĐS: a=-4
ĐS: 3
2
,6 −== mm
ĐS: 8
125
,
8
27
−== mm
21

Cho phương trình 022)32( 22
=++++− mmxmx (1). Xác định m để:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm 21, xx . Khi đó chứng minh rằng
( ) ( ) 524 21
2
2121 ++−+= xxxxxx .
b) Phương trình (1) có hai nghiệm 21, xx thỏa mãn 152
2
2
1 =+ xx .
b) Phương trình (1) có một nghiệm bằng 2 và một nghiệm lớn hơn 4.
Tuần dạy:
Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Mục tiêu: Nắm được cách giải một số phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng
định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Chú ý: : - Trong một số trường hợp ta đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đơn giản.
- Một số dạng cơ bản
* )()(|)(||)(| xgxfxgxf ±=⇔=
*



±=
≥
⇔=
)()(
0)(
)(|)(|
xgxf
xg
xgxf
Bài 1. Giải phương trình
a) 3|32| 2
−=−− xxx
b) 52|13| −=− xx
c) |74||12| −=+ xx
d) 54|43||25| +=−++ xxx
a) |13|
1
|72|
−=
−
+
x
x
x
b) 2
)2(||
|1|12
=
−
++−
xx
xx
c) 13||1|2| 2
+=−− xxx
d) 34|1||2| −=−++ xxx
ĐS:
a) x=3
b) vô nghiệm
c) x=1,x=4
d) 4
7
,
2
1
== xx
ĐS:
a) 31+=x
b) x=5
c)
2
51
,2,0
+
=== xxx
d) x=2
Giải phương trình
a) 3
|1|
|42|
12
44
2
2
=
−
−
+
+−
+−
x
x
xx
xx
22

b) 1
12
2
2
2
12
=
−
+
−
+
−
x
x
x
x
c) 04|2|342
=++−+ xxx
d) 06
1
2
1
4 2
2
=−−++
x
x
x
x
Tuần dạy:
Dạng 3: Giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Mục tiêu: Nắm được cách giải một số dạng phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Phương pháp: Ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình không chứa
dấu căn. Tìm nghiệm của phương trình hệ quả rồi thử lại.
Chú ý: - Trong một số trường hợp ta đặt ẩn phụ để đưa về phương trình đơn giản.
- Một số dạng cơ bản
*



=
≥
⇔=
)()(
0)(
)()(
xgxf
xf
xgxf hoặc



=
≥
)()(
0)(
xgxf
xg
*
[ ]


=
≥
⇔= 2
)()(
0)(
)()(
xgxf
xg
xgxf
a) 452 22
−=− xxx
b) 2173 =+−+ xx
c) 1123 =−−+ xx
d) 464 2
+=−− xxx
a) 735322
+=+−+ xxxx
b) 78231523 22
=+−++− xxxx
c) 183214 2
+−=+ xxx
d) 21152 2
−=++ xxx
Hướng dẫn câu b,c: chuyển vế rồi bình
phương 2vế của phương trình
ĐS:
a) x=4
b) x=0,x=-1
c) x=1
d) x=-1
Hướng dẫn câu a: đặt ẩn phụ
ĐS:
a) x=4,x=-1
b)
c) x=1,x=16
d) vô nghiệm
23

a) 112 2
+=− xx
b) 92214 222
++=+++++ xxxxxx
c) 3221 =−+− xx
d) 01312 2
=+−+− xxx
Tuần dạy:
Dạng 4: Một số phương trình bậc bốn đưa về phương trình bậc hai
Mục tiêu: Nắm được cách giải một số dạng phương trình bậc bốn
Chú ý:
- Phương trình 024
=++ cbxax . Đặt 0,2
≥= ttx .
- Phương trình cbxax =+++ 44
)()( . Đặt 2
ba
xt
+
+= .
- Phương trình 0))()()(( =+++++ kdxcxbxax với 0≠k và dcba +=+ .
Đặt abxbaxt +++= )(2
.
- Phương trình 0234
=+±++ abxcxbxax . Chia hai vế cho 2
x , ta được phương trình:
0)
1
()
1
( 2
2
=+±++ c
x
xb
x
xa . Đặt t
x
x =±
1
.
a) 034 24
=+− xx
b) 04)2(5)2( 222
=+−+− xxxx
c) 05126)2( 222
=+−−+ xxxx
d) 16)8()6( 44
=−+− xx
a) 9)7)(5)(3)(1( =++++ xxxx
b) 01454 234
=+−+− xxxx
c) 222
14)43)(42( xxxxx =+++−
HD:
ĐS: a) 3,1 ±=±= xx
b) x=1
c) 61,21 ±−=±−= xx
d) x=6,x=8
ĐS: a) 104,4 ±−=−= xx
b)
2
53 ±
=x
c) x=-1,x=-4,x=2
24

a) 0274 24
=−− xx
b) 16)2( 44
=++ xx
c) 40)8)(5)(2)(1( =−−−+ xxxx
d) 017147 234
=+−+− xxxx
Tuần dạy:
Chủ đề 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(9 tiết)
MỤC TIÊU
1. Về kiến thức:
- Nắm được phương pháp giải hệ phương trình
2. Về kỹ năng:
- Giải thành thạo hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số và hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
số.
- Giải thành thạo hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình
bậc hai.
3. Về thái độ - tư duy
- Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác khi giải toán cho học sinh.
- Rèn luyện tư duy logic cho học sinh.
Tiết 1;2
GV: Cho ví dụ
- Hướng dẫn hs làm
- HS: Nhận xét, rút ra bài học
VD1: Giải hệ phương trình:
6 3 2
5
1 1
4 2 4
2
1 1
x y
y x
x y
y x
−
− = − +

− − =
 − +
Đặt
2 1
,
1 1
x y
u v
y x
−
= =
− +
. Hệ đã cho trở thành
25

1/
a. (3;-2) b. (-6;12)
c. (1; 1),(-3; 1) d. 





−
4
3
;
2
1
e. (1; 1),(-3; 1) f. VN
g. (-3; 2), (-3; 0), (-1; 2), (-1; 0)
h. VN
2/
2
3 2 5
1
2 4 2
2
u
u v
u v v
=
− = 
⇔ 
− = = 
Ta được hệ phương trình:
2 1
2 0
2 2 11
1
2 11
2
1 2
x
x
x yy
x y yy
x
−
= = − = −− 
⇔ ⇔  
− = − = = 
 +
VD2: Giải hệ:
3 2(1)
4 2 3 15(2)
2 4 7(3)
x y z
x y z
x y z
− + = −

+ − = −
 − + =
Hướng dẫn giải:
Ta khử ẩn z ở phương trình (2) và (3) bằng cách
nhân (1) với 3 rồi cộng vào (2), nhân (1) với -4 rồi
cộng vào (3). Khi đó ta được:
3 2
7 7 21(2')
2 11 15(3')
x y z
x y
x y
− + = −

− = −
− + =
Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (2’) và (3’) ta
được x=-2,y=1. Thay các giá trị này vào (1) ta được
z=3.
Vậy hệ đã cho có nghiệm (-2;1;3).
1/ Giải các hệ phương trình sau:
a.



=+
=−
1838
1925
yx
yx
b.





−=−
=+
22
2
3
3
2
1
32
yx
yx
c.



=−−+
=−++
13)2(7)2(2
11)2(4)2(5
22
22
yyxx
yyxx
d.






=
−
−
−=
−
+
2
1
23
8
1
12
yx
yx
e.



=++
=−+
14415
1312
yx
yx
f.



=+−−
=++−
111522
71223
yx
yx
g.



=−++
−=−−+
121725
21523
yx
yx
h/



=+
=+
3yx2
7y3x8
22
22
2/ Giải các hệ phương trình sau:
26

ĐS: a. (1;3;2)
b. (-1;2;3)
c. vn
d. (x,y,z) tùy ý
3/ 2;
3
2
== ba
a.





=++
=++
=+−
2275
17423
0
zyx
zyx
zyx
b.





=++
=++
=++
72
62
32
zyx
zyx
zyx
c.





−=−+
=+−
=+−
333
733
432
zyx
zyx
zyx
d.





=++
=+−
=++
233
63
22
zyx
zyx
zyx
3/ Tìm a và b để hệ phương trình



−=+
−=+
aybx
abyax
942
26
có nghiệm (-3; 2)
BÀI TẬP THÊM
Bài 1:Giải hệ phương trình:
( 3) 5)
)
( 2)( 5)
1 1 3
4
)
1 1 2
6 5 15
x y xy
a
x y xy
x y
b
x y
+ − =

− + =

+ =


 + =

c/
5 4 3
7 9 8
x y
x y
− =

− =
d/
3 2 7
5 3 1
x y
x y
+ =−

− =
e/
3 2 1
2 2 3 0
x y
x y
 + = −

+ =
f/
3( )
7
5 5
3
x y
x y
x y
y x
+
= − −

− =
 −
g/
6 5
3
9 10
1
x y
x y

+ =


 − =

h/
6 2
3
2 2
3 4
1
2 2
x y x y
x y x y

+ = − +

 + = −
 − +
Bài 2:Giải hệ phương trình:
a)
4 4 0
5 2 3
8 2 1
x y z
x y z
z y z
− − + =

+ − =
− + − =
b)
11
2 5
3 2 14
x y z
x y z
x y z
+ + =

− + =
 + + =
27

c)
2
2
2
2
3
4
x xy xz
y yz xy
z xz yz
 + + =

+ + =
 + + =
d)
3 2 9
2 3 2 3
4 3 11
x y z
x y z
x y z
− + + =

− − =−
 + − =−
e)
3 2 2
2 5 5
3 7 4 8
x y z
x y z
x y z
− + = −

− + + =
 − + =
f)
5 2
2 9 2 8
3 4 5
x y z
x y z
x y z
− + + =

− + =
 − + =
Tuần dạy:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN (Nâng cao)
Tiết: 3,4
1/ Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
Dạng



haipt baäc:(2)
nhaátpt baäc:(1)
*Cách giải :
• Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
• Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
• Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
GV: Cho ví dụ
Hướng dẫn hs làm
HS: Nhận xét, rút ra bài học
Ví dụ: Giải hệ



=+
=+
(2)42
(1)84 22
yx
yx
Giải
Từ pt(2) => x = 4-2y thế vào pt(1) ta được (4-
2y)2
+4y2
= 8
16-16y+4y2
+4y2
= 0  8y2
-16y+8 = 0
 y2
-2y+1 = 0  y = 1 => x = 2
Vậy nghiệm của hệ là (2;1).
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau
28

Đáp số: a) (2;1)
b) (-9;-19/3); (8;5)
c) (2;1); (3;3)
d) (16;9); (8;15)
2 2 2
2 2 2
8 x -xy 24
) b)
2 4 2x-3y 1
3 2 3 6 0 ( ) 49
) )
2 3 3 4 84
x y
a
x y
x xy y x y x y
c d
x y x y
 + = =
 
+ = = 
 − + + + − = − =
 
− = + = 
Bài 2. Giải các hệ phương trình :
a/



=−
=−
24xyx
1y3x2
2 b/



=−−
=+
18)3y)(2x(
36y2x3
c/
2 3 2
6 0
x y
xy x y
+ =

+ + + =
d/



=+
=+
52
422
yx
xyx
e/



=++
=−
7yxyx
5yx2
22 f/



=+
=+
4y2x
8y4x 22
BÀI TẬP THÊM
Giải các hệ phương trình sau:
a)
x y
x y
2 2
4 8
2 4
 + =

+ =
b)
x xy
x y
2
24
2 3 1
 − =

− =
c)
x y
x y
2
( ) 49
3 4 84
 − =

+ =
d)
x xy y x y
x y
2 2
3 2 3 6 0
2 3
 − + + + − =

− =
e)
x y
xy x y
3 4 1 0
3( ) 9
 − + =

= + −
f)
x y
xy x y
2 3 2
6 0
 + =
 + + + =
Tuần dạy:
Tiết: 5,6
Hệ đối xứng loại 1
Hệ có dạng: (I)
f x y
g x y
( , ) 0
( , ) 0
 =

=
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
• Đặt S = x + y, P = xy.
• Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
• Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
• Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X SX P2
0− + = .
GV: Cho ví dụ
Hướng dẫn hs làm.
HS: làm theo hướng dẫn của
gv
Ví dụ 1: giải hệ



=+
=
28
4.
22
yx
yx
(I)
Giải
(I)



=−+
=
282)(
4.
2
xyyx
yx
(II)
29

Đặt S = x+y ; P = x.y thay vào hệ (II) ta được hệ



=−
=
282
4
2
PS
P



=∧=
=∧=
4P-6S
4P6S
+ Với S = 6 ; P = 4 thì x, y là nghiệm của phương trình
x2
-6x+4 = 0





−=
+=
53
53
2
1
x
x
⇒ nghiệm của hệ là




+−
−+
)53;53(
)53;53(
+ Với S =-6 ; P = 4 thì x,y là nghiệm của phương trình
x2
+6x+4 = 0





+−=
−−=
53
53
2
1
x
x
⇒ hệ có hai cặp nghiệm
Vậy hệ đã cho có 4 cặp nghiệm.
Ví dụ 2: Giải hệ



−=+−−+
=++
31)(2
11
22
yxxyyx
yxyx
HD: hệ VN
Ví dụ 3:
Giải hệ



=−
=+
2
16422
yx
yx
HD: đặt t =-y ; nghiệm (10;8) , (-8;10)
Ví dụ 4:
Giải hệ



=
=−
90.
9
yx
yx
HD: đặt t =-y ; nghiệm (15;6) , (-6;-15)
1. Ví dụ:
VD5: Giải hpt sau:
( )2 2
3
2
x y xy
I
x y y x
+ + =

+ =
( )
( )
( )
3
2
x y xy
I
xy x y
+ + =
⇔ 
+ =
Đặt:
S x y
P xy
= +

=
với 2
4 0S P− ≥
Hpt đã cho trở thành:
30











=
=



=
=
⇔



=
=+
1
2
2
1
2.
3
P
S
P
S
PS
PS
Với
2
1
S
P
=

=
thì
2
1
x y
xy
+ =

=
1
1
x
y
=
⇔ 
=
Vậy hệ có nghiệm x = 1 và y = 1
VD6:
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
8
7
x y x y
x y xy
 + + + =

+ + =
Ta có
2 2
2 2
8
7
x y x y
x y xy
 + + + =

+ + =
⇔
2
2
( ) 8
( ) 7
x y xy x y
x y xy
 + − + + =

+ + =
Có dạng
2
2
2 8
7
S P S
S P
 − + =

− =
với
S x y
P xy
= +

=
2 2
2
2( 7) 8
7
S S S
P S
 − − + =
⇔ 
= −
thoả S2
– 4P ≥ 0
Với
2 3 1
3 1 3
S x y x x
hay
P xy y y
 = + = − = − − 
⇔  
= = − = = − 
Với
3 1 2
2 2 1
S x y x x
hay
P xy y y
= + + = = 
⇔  
= = = = 
VD7:
2 2
2 3 2
6
x xy y
x y
 + + = +

+ =
31

- Gọi HS lên bảng trình
bày
Đáp số:
Bài 1
a) VNo b) (1;3); (3;1)
c)
(3 5;3 5);( 3 5; 3 5)− + − − − +
d) (1;2); (2;1)
Bài 2
Đáp số:
Đặt S x y= + ; P xy= , ta có hệ:




−+=
+=+
⇔




+=+
+=+
⇔




=−
+=+
SP
S
PS
SS
PS
PS
232
23)1(
232
26102
62
232 22
2
2 2
2 2
4 2
6 4 2
S
P
S
P
 = +

 =
⇔ 
 = − −

= +
+ Với 2 2S = + ; 2 2P = ; x,y là nghiệm phương
trình:
2
2
(2 2) 2 2 0
2
X
X X
X
=
− + + = ⇔ 
=
+ Với 4 2S = − − ; 6 4 2P = + ;x,y là nghiệm
phương trình:
2
(4 2) 6 4 2 0X X+ + + + = : vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm: (2; 2)và ( 2;2).
VD8:
3 3
2
( ) 2
x y
xy x y
 + =

+ =
3 3 3
2 ( ) 3 ( ) 2
( ) 2 ( ) 2
x y x y xy x y
xy x y xy x y
 + = + − + =
⇔ 
+ = + = 
Đặt: ;u x y v xy= + =
Ta có
3 3
3 2 6 2
2 2
u uv u
uv uv
 − = − =
⇔ 
= = 
2 2
2 1
u u
uv v
= = 
⇔ ⇔ 
= = 
Vậy
2
1
x y
xy
+ =

=
32

a) (15;6); (-6;-15)
b) (10;8); (-8;-10)
c) (0;-3); (3;0)
d) ( 2; 2);(1;2);( 2; 1)± ± − −
x,y là nghiệm của phương trình 2
2 1 0X X− + =
1X⇔ =
Vậy nghiệm ( ; )x y của hệ đã cho là (1;1) .
BÀI TẬP
2 2 2 2
2 2 2 2
11 4
) )
2( ) 31 13
4 5
) )
28 8
x xy y x y
a b
x y xy x y x xy y
xy xy x y
c d
x y x y x y
+ + = + = 
 
+ − − + = − + + = 
= + + = 
 
+ = + + + = 
2 2
2 2
2 2
9 x y 164
) b)
90 x-y 2
3 4
) )
6 ( 1) ( 1) 2
x y
a
xy
xy x y x y x y
c d
x y x y xy x x y y y
− =  + =
 
= = 
− + = −  + + − =
 
+ − + + = − + + − = 
Bài tập củng cố:
Bài 1/ Giải hệ phương trình:
2 2
4
2
x xy y
x xy y
 + + =

+ + =
HD: Đặt S= x + y & P= xy với điều kiện S2 - P≥ 0 ta được kết quả
2 0
hay
0 2
x x
y y
 = =
 
= =
Bài 2/ Giải hệ phương trình
30
35
x y y x
x x y y
 + =

+ =
HD: Đặt S= x y+ & P= xy ta được kết quả
9 4
4 9
x x
hay
y y
 = =
 
= =
Bài 3/ Giải hệ phương trình 2 2
2 3 2
6
x xy y
x y
 + + = +

+ =
2 2
2 2
x x
hay
y y
 =  = 
 
= = 
Bài 4/ Giải hệ phương trình
33

a)
( )2 2
2 2
1
( ) 1 5
1
1 9
x y
xy
x y
x y
  
+ + =  ÷
 

  + + = ÷
 
HD:
1 3 5
hay 23 5
12
x
x
y
y
 =  ±
= 
 ±
=  =
Bài 6/ Giải hệ phương trình:
2 2
4
2
x xy y
x xy y
 + + =

+ + =
2 0
hay
0 2
x x
y y
 = =
 
= =
BÀI TẬP THÊM
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x xy y
x y xy x y2 2
11
2( ) 31
 + + =

+ − − + = −
b)
x y
x xy y2 2
4
13
 + =

+ + =
c)
xy x y
x y x y2 2
5
8
 + + =

+ + + =
d)
x y
y x
x y
13
6
6

+ =

 + =
e)
x x y y
x y xy
3 3 3 3
17
5
 + + =

+ + =
f)
x x y y
x xy y
4 2 2 4
2 2
481
37
 + + =

+ + =
Bài 2. Giải các hệ phương trình :
a/



=+
=+
53yx
5yx
22 b/



=+
=
26yx
5xy
22
c/



=+
=+
61yx
1yx
33 d/



−=+
=+−
2yx
13yxyx 22
e/



=++
=++
7xyyx
5xyyx
22 f/



=+
+=+
6yx
)2xy(2yx 22
Bài 3. Giải các hệ phương trình
a/



=
=−
21xy
4yx
b/



=++
=−
4yxyx
2yx
22
c/
2 3 2
6 0
x y
xy x y
+ =

+ + + =
d/



−=−+
=+−+
1yxxy
2yxyx 22
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
x xy y
x y y x2 2
1
6
 + + = −

+ = −
b)
x y
x x y y
2 2
4 2 2 4
5
13
 + =

− + =
c)
x y y x
x y
2 2
3 3
30
35
 + =

+ =
d)
x y
x y x y
3 3
5 5 2 2
1 + =

+ = +
e)
x y xy
x y x y
2 2
4 4 2 2
7
21
 + + =

+ + =
f)
x y xy
x y x y2 2
11
3( ) 28
 + + =

+ + + =
Tuần dạy:
34

Tiết: 7,8 Hệ đối xứng loại 2
f x y
f y x
( , ) 0 (1)
( , ) 0 (2)
 =

=
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
• Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
(I) ⇔
f x y f y x
f x y
( , ) ( , ) 0 (3)
( , ) 0 (1)
 − =

=
• Biến đổi (3) về phương trình tích:
(3) ⇔ x y g x y( ). ( , ) 0− = ⇔
x y
g x y( , ) 0
 =
 =
.
• Như vậy, (I) ⇔
f x y
x y
f x y
g x y
( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0
 =
 =
 = =
.
• Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
GV: Cho ví dụ
HS: làm theo hướng dẫn của gv
2 1 3
2 1 3
x y
y x
 + − =

+ − =
Điều kiện: 1; 1x y≥ ≥ .
Đặt: 1; 1( , 0)X x Y y X Y= − = − ≥ , ta có hệ:
2 2
2 2
2( 1) 3 2 1(1)
2( 1) 3 2 1(2)
X Y X Y
Y X Y X
 + + = + = 
⇔ 
+ + = + =  
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế:
2 2
2( ) ( ) 0 ( )(2 2 1) 0X Y X Y X Y X Y− − − = ⇔ − + − =
2 2 1 0
X Y
X Y
=
⇔  + − =
i) Với X=Y, thay vào (2) ta có:
2 1
2 1 0
2
X X X+ − = ⇔ = (vì
5
0)
4
X x y≥ ⇔ = =
ii) Với
1
2 2 1 0 (1 2 )
2
X Y Y X+ − = ⇔ = − ,
thay vào (1) ta có:
2
1 5 1 5
( )
4 4
4 2 1 0
1 5
( )
4
X Y l
X X
X l
 + −
= ⇒ =
− − = ⇔
 −
=

35

Vậy hệ có nghiệm
5 5
;
4 4
 
 ÷
 
.
VD2:
2 3 2
2 3 2
3 2 (1)
3 2 (2)
y x x x
x y y y
 = − +

= − +
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
2 2 3 3 2 2
2 2
2 2 2
3( ) 2( )
( )( 2 2 2) 0
1
( ) ( 2) 0
2
y x x y x y x y
x y x xy y x y
x y x y x y x y
− = − − − + −
⇔ − + + − − + =
 ⇔ − + + + − = ⇔ = 
(vì 2 2 2
( 2) 0)x y x y+ + + − >
Thay x= y vào (1) ta được:
3 2 2
4 2 0 ( 4 2) 0x x x x x x− + = ⇔ − + =
2
00
4 2 0 2 2
xx
x x x
== 
⇔ ⇔ 
− + = = ± 
Vậy hệ có 3 nghiệm:
(0;0);(2 2;2 2);(2 2;2 2)+ + − − .
2 2
2 2
2 2 (1)
2 2 (2)
x y x y
y x y x
 − = +

− = +
Trừ từng vế cua phương trình (1) cho (2) ta có:
x2
– y2
– 2y2
+ 2x2
= 2x – 2 y+ y– x




−
=
=
⇔


=−+
=−
⇔
−+−⇔−=−⇔
3
31
0133
0
33)(()(3 22
x
y
yx
yx
yx
yxyxyxyx
Thay vào phương trình (1) ta có:
TH1: x = y ⇔ x2
– 2x2
= 3x ⇔ x ( x+3) = 0
⇔
0 0
3 3
x y
x y
= ⇒ =
 = − ⇒ = −
TH2: y =
1 3
3
x−
⇔
2
2 1 3 1 3
2 2
3 3
x x
x x
− − 
− = + ÷
 
⇔ 2 2
9 2(1 6 9 ) 18 3 9x x x x x− − + = + −
⇔ 2
9 3 5 0x x x− + = ⇔ ∈∅
Vậy x = y = 0 hoặc x = y = -3
36

Đáp số:
Bài 1
a/ (0;0) , (5;5) , (2;-1) , ( 1;2)−
b/
(0;0) , (1;-1) , (-1;1) , ( 3; 3) ; (- 3; 3)−
2
2
2 5 4
2 5 4
x x y
x y x
 − + =

− + =
2
2
2 5 4
2 5 4
x x y
x y x
 − + =

− + =
⇔
2 2
2
( ) 2( ) 4( )
2 5 4
x y x y x y
x x y
 − − − = − −

− + =
⇔ 2
( )( 2) 0
2 5 4
x y x y
x x y
− + + =

− + =
2
2
0
2 5 4 0
2 0
2 5 4 0
x y
x x y
x y
x x y
 − =

− + − =⇔
 + + =

− + − =
TH1:
2 2
2
0
2 5 4 0 2 5 4 0
6 5 0 (a+b+c=0)
1
1 hay x=5 5
x y x y
x x y x x x
x y
x x
x y x y
x x y
 − = =
⇔ 
− + − = − + − =
=
⇔ 
− + =
 = = =
⇔ ⇔ 
= = =
TH2:
2
2 2
2 0
2 5 4 0
2 2
2 13 0 ( 1) 12 0 2
x y
x x y
y x y x x
x x x y x
+ + =
⇔ 
− + − =
 = − − = − − ∈∅
⇔ ⇔ ⇔  
+ + = + + = = − − 
Hệ phương trình vô nghiệm
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
1 5
hay
1 5
x x
y y
 = =
 
= =
Bài tập
Bài 1/ Giải hệ phương trình sau:
a/




+=
+=
xyy
yxx
23
23
2
2
b/




+=
+=
xyy
yxx
2
2
3
3
37

Bài 2
a/
1 1
( ; )
2 2
− −
b/ 1x y= =
c/
( )
1 5 1 5 1 5 1 5
1;1 , ; , ;
2 2 2 2
   − + − + − − − −
 ÷  ÷ ÷  ÷
   
Bài 3
a/ x = y = 0 hoặc x = y = -3
b/
1 5
hay
1 5
x x
y y
 = =
 
= =
Bài 4
a/
5 5
;
4 4
 
 ÷
 
b/
( )0;0 ; (2+ 2;2 2) ; (2 2;2 2)+ − −
2
2
1
0 (1)
4
)
1
0 (2)
4
x y
a
x y

+ + =

 + + =

b)
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
 +
=


+ =

c)
3
3
1 2
1 2
x y
y x
 + =

+ =
Bài 3 : Giải hệ
a/
2 2
2 2
2 2 (1)
2 2 (2)
x y x y
y x y x
 − = +

− = +
b/
2
2
2 5 4
2 5 4
x x y
x y x
 − + =

− + =
Bài 4: Giải hệ phương trình:
a/
2 1 3
2 1 3
x y
y x
 + − =

+ − =
b/
2 3 2
2 3 2
3 2 (1)
3 2 (2)
y x x x
x y y y
 = − +

= − +
BÀI TẬP THÊM
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:
a)
x x y
y y x
2
2
3 2
3 2
 = +

= +
b)
x x y
y y x
3
3
2
2
 = +

= +
c)
x x y
y y x
3
3
3 8
3 8
 = +

= +
d)
x y
y
y x
x
2
2
1
2
1
2

= +

 = +

e)
x y
x
y x
y
2
2
3
2
3
2

+ =


 + =

f)
y
y
x
x
x
y
2
2
2
2
2
3
2
3
 +
=


+ =


Bài 2 Giải các hệ phương trình sau:
a)
x x y
y y x
2
2
3 2
3 2
 = +

= +
b)
x y x y
y x y x
2 2
2 2
2 2
2 2
 − = +

− = +
c)
x x y
y y x
3
3
2
2
 = +

= +
d)
y
x y
x
x
y x
y
3 4
3 4

− =

 − =

e)
y
y
x
x
x
y
2
2
2
2
2
3
2
3
 +
=


+ =


f)
x y
y
y x
x
2
2
1
2
1
2

= +

 = +

Tuần dạy:
Tiết: 9
Hệ đẳng cấp bậc hai
a x b xy c y d
a x b xy c y d
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
 + + =

+ + =
.
• Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
38

• Khi x ≠ 0, đặt y kx= . Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được
phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x;
y).
GV: Cho ví dụ
HS: làm theo hướng dẫn
của gv
HS: Nhận xét, rút ra bài
học
VD1:Giải hệ phương trình
2 2
2 2
1
2 3 4 3
x xy y
x xy y
 − + =

− + =
_Ta thấy x=0 không thoả hệ
_Với 0x ≠ , đặt y=tx, thay vào hệ ta được
2 2
2 2
( 1) 1(1)
(2 3 4) 3(2)
x t t
x t t
 − + =

− + =
Lấy (1) chia (2) ta được
2 2
3( 1) 2 3 4 1t t t t t− + = − + ⇒ = ±
Với t=1, ta có 2
1x = , suy ra hệ có nghiệm:
(1;1);( 1; 1)− −
Với t=-1 ta có
2 1
3
x = , suy ra hệ có nghiệm
1 1 1 1
; ; ;
3 3 3 3
− −   
 ÷  ÷
   
VD2:
Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
3 2 11
2 3 17
x xy y
x xy y
 + + =

+ + =
Ta thấy x=0, y=0 không thoả hệ phương trình, nói
cách khác hệ phương rình không có nghiêm x =0
Đặt x = ky và thay vào hệ ta được:
2 2
2 2
(3 2 1) 11 (1)
( 2 3) 17 (2)
y k k
y k k
 + + =

+ + =
2
2
3 2 1 11
2 3 17
k k
k k
+ +
⇒ =
+ +
(
2
2 3k k+ + >0)
2 2
51 34 17 11 22 33k k k k⇔ + + = + +
2
40 12 16 0k k⇔ + − =
4
5
1
2
k
k

= −
⇔ 
 =

Thay vào (1) ta được:
39

+ k =
4
5
− 2 25
3
y⇒ = ⇔
5 4
3 3
5 4
3 3
y x
y x

= ⇒ = −


= − ⇒ =

+
1
2
k = ⇒ 2
4y = ⇔
2 1
2 1
y x
y x
= ⇒ =
 = − ⇒ = −
ĐS: ( ) ( )
4 5 4 5
; ; ; ; 1;2 ; 1; 2
3 3 3 3
   
− − − − ÷  ÷
   
VD3: Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
 + − =

− − =
cách khác hệ phương trình không có nghiêm x =0.
Đặt x = ky và thay vào hệ ta được:
2 2 2 2
2 2 2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x tx t x
x tx t x
 + − =

− − =
2 2
2 2
2
2
2
(3 5 4 ) 38 (1)
(5 9 3 ) 15 (1)
1
3 5 4 38 3
54 417 145 0
1455 9 3 15
18
x t t
x t t
t
t t
t t
t t
t
 + − =
⇔ 
− − =

=+ −
⇒ = ⇔ + − = ⇔ 
− −  = −

Với t=
1
3 thì (2) ⇔ x2
= 9 ⇔
3 1
3 1
x y
x y
= ⇒ =
 = − ⇒ = −
Với t =
145
18
− thì (2)⇔ x2
=
15.108
12655
− : Phương trình vô
nghiệm
Vậy
3 3
hay
1 1
x x
y y
= = − 
 
= = − 
VD4: Giải hệ phương trình sau:
2 2
2
6 5 0
4 2 6 27 0
x y xy
x xy x
 + − =

+ + − =
cách khác hệ phương trình không có nghiêm x =0
Đặt x = ty và thay vào hệ ta được:
40

- Gọi HS lên bảng trình
bày
- HS nhận xét, hoàn
thiện
Đáp số:
Bài 1
a/
( ) ( ) ( ) ( )1;2;2;1;1;2;2;1 −−−−




=++
=−+
27624
056
22
2222
xtxx
txxtx
2 2
2 2
(1 6 5 ) 0
4 2 6 27
x t t
x tx x
 + − =
⇔ 
+ + =
2
2 2
6 5 1 0
4 2 6 27
t t
x tx x
 − + =
⇔ 
+ + =
2 2
2 2
1
2
4 6 27
1
3
2
4 6 27
3
t
x x x
x
x x x
 
=

 + + = 
⇔  =

 + + =

2
2
3
1 3
2
2
9 9
5 6 27 0
5 10
1
3
1 5
14 18 81 0 9.
14
x y
t
x x x y
t
x x x
 
= − ⇒ = − = ⇔ 
  + − = = ⇒ =  
⇔

=
   ± + − = ⇔ = −  ÷  ÷  
1 15
3.
14
y
 ±
⇒ = −  ÷ ÷
 
ĐS:













 ±−
−
±−
−







 ±−
−
±−






−−
10
9
;
5
9
;)
14
151
(3);
14
51
(9
)
14
151
(9);
14
51
(9;
2
3
;3
Bài tập
2 2
2 2
3 1
)
3 3 13
x xy y
a
x xy y
 − + = −

− + =
2 2
2 2
2 4 1
)
3 2 2 7
x xy y
b
x xy y
 − + = −

+ + =
2
2 2
3 4
)
4 1
y xy
c
x xy y
 − =

− + =
2 2
2 2
3 5 4 38
)
5 9 3 15
x xy y
a
x xy y
 + − =

− − =
2 2
2 2
2 3 9
)
4 5 5
x xy y
b
x xy y
 − + =

− + =
41

b/
( ) ( ) 





−−
161
17
;
161
9
;1;1;1;1






−−
161
17
;
161
9
c/ (1 ;4); (-1; -4)
Bài 2
a/ (3 ;1); (-3;-1)
b/
( ) ( )








−−







−−
2
2
;
2
25
;
2
2
;
2
25
2;3;2;3
c)
2 2
2 2
2 3 13
4 2 6
x xy y
x xy y
 − + =

+ − = −
ĐS:
c)( ) ( )
4 25 4 25
2;1 ; 2; 1 ; ; ; ;
139 139 139 139
   
− − − − ÷  ÷
   
BÀI TẬP THÊM
Bài 1Giải các hệ phương trình sau:
a)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 1
3 3 13
 − + = −

− + =
b)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 4 1
3 2 2 7
 − + = −

+ + =
c)
y xy
x xy y
2
2 2
3 4
4 1
 − =

− + =
d)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
 + − =

− − =
e)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 3 9
4 5 5
 − + =

− + =
f)
x xy y
x xy y
2 2
2 2
3 8 4 0
5 7 6 0
 − + =

− − =
a)
2 2
2 2
3 1
3 3 13
x xy y
x xy y
 − + = −

− + =
b)
2 2
2 2
2 4 1
3 2 2 7
x xy y
x xy y
 − + = −

+ + =
c)
2
2 2
3 4
4 1
y xy
x xy y
 − =

− + =
d)
2 2
2 2
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
 + − =

− − =
e)
2 2
2 2
2 3 9
4 5 5
x xy y
x xy y
 − + =

− + =
f)
2 2
2 2
2 3 13
4 2 6
x xy y
x xy y
 − + =

+ − = −
Tuần dạy:
CHỦ ĐỀ 8 : BẤT ĐẲNG THỨC (4 tiết)
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương
Mục tiêu: Nắm được cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương
đương
Chú ý: Để chứng minh bất đẳng thức 11 BA ≥ bằng phương pháp biến đổi tương đương
ta thực hiện như sau:
nn BABABABA ≥⇔⇔≥⇔≥⇔≥ ...332211
Trong đó nn BA ≥ là bất đẳng thức đúng đã biết.
Vậy bất đẳng thức 11 BA ≥ được chứng minh.
42

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức
sau:
a) Rcbacbacba ∈∀++≥+++ ,,),(23222
b) Rbaabbaba ∈∀+≥+ ,,3344
c) Rbaabbaba ∈∀≥++++ ,,)3(322
d) 0,,2233
≥∀+≥+ baabbaba
HD:
a) Chuyển vế rồi phân tích thành tổng các
bình phương
b) Chuyển vế rồi phân tích thành nhân tử
c) Chuyển vế rồi phân tích thành tổng các
bình phương
d) Chuyển vế rồi phân tích thành nhân tử
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) Rcbacaabacba ∈∀++−≥+++ ,,),1(21 2244
b) Ryxyxxyyx ∈∀++≥++ ,,122
c) Rzyxzyxzyx ∈∀++>+++ ,,,61221434 222
Tuần dạy:
Dạng 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức
Mục tiêu: Nắm được cách áp dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức
1. Bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm: .0,,
2
≥∀≥
+
baab
ba
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba = .
Một số dạng khác của bất đẳng thức Côsi:
• .0,,2 ≥∀≥+ baabba
• baabba ,,222
∀≥+
• ba
ba
ab ,,
2
2
∀




 +
≤
• ba
ba
ab ,,
2
22
∀
+
≤
2. Bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: .0,,,
3
3
≥∀≥
++
cbaabc
cba
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cba == .
Một số dạng khác của bất đẳng thức Côsi:
• .0,,,33
≥∀≥++ cbaabccba
• 0,,,3333
≥∀≥++ cbaabccba
• 0,,,
3
3
≥∀




 ++
≤ cba
cba
abc
43

• 0,,,
3
222
≥∀
++
≤ cba
cba
abc
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức
sau:
a) 0,,4
11
)( >∀≥





++ ba
ba
ba
b) 0,),(2
1122
>∀+≥+++ baba
ba
ba
c) 0,,,2
2
2
2
2
2
≠∀++≥++ cba
a
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
d) 3,24
3
9
4 >∀≥
−
+ x
x
x
HD:
a) Áp dụng bđt Côsi với các cặp số
a và b, a
1
và b
1
, rồi cộng hai bđt cùng
chiều.
b) Áp dụng bđt Côsi với các cặp số
2
a và a
1
, 2
b và b
1
, rồi cộng hai bđt cùng
chiều.
c) Áp dụng bđt Côsi với các cặp số
2
2
b
a
và 2
2
c
b
, 2
2
c
b
và 2
2
a
c
, 2
2
a
c
và 2
2
b
a
rồi cộng
các bđt cùng chiều.
d) Áp dụng bđt Côsi với các cặp số
4(x-3) và 3
9
−x
.
Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) 0,,,9
111
)( >∀≥





++++ cba
cba
cba
b) ( )( )( ) Rcbacbaaccbba ∈∀≥+++ ,,,8 222222222
c) 0,,
411
>∀
+
≥+ ba
baba
d) 0,,,
9111
>∀
++
≥++ cba
cbacba
Tuần dạy:
CHUYÊN ĐỀ 9 : TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ ( 6 tiết )
Đê bài Lời giải
Bài 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a.
Tính: . , .AB AD AB AC
uuur uuur uuur uuur
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại C
có AC = 9, CB = 5. Tính: .AB AC
uuur uuur
Bài 1:
0
. . . os90 0AB AD AB AD c= =
uuur uuur uuur uuur
Bài 2: Ta có:
( )
( )
2 2
. . . os AB,
os AB,
. . . 9 81.
AB AC AB AC c AC
AC
c AC
AB
AC
AB AC AB AC AC
AB
=
=
⇒ = = = =
uuur uuur
uuur uuur
44

Bài 3: Cho tam giác ABC Có góc
A = 900
, B = 600
và AB = a. Tính:
. . .AB AC CACB AC CB
Bài 4: Cho tam giác ABC. CMR: với
mỗi điểm M tuỳ ý ta có:
. . . 0MA BC MB CA MC AB+ + =
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
Bài 5: Cho O là trung điểm của đoạn
thẳng AB và M là 1 điểm tuỳ ý. CMR:
2 2
.MA MB OM OA= −
uuur uuur
Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho
A = (4 ; 6), B =(1 ; 4), C = (7 ;
3
2
).
a. CMR tam giác ABC vuông tại A.
b. Tính độ dài các cạnh AB, AC, BC
của tam giác ABC.
Bài 3: Ta có: BC=2a, AC=2 3
0
0
2
0
2
. . . os90 0
3
. . . os30 3.2 .
2
. 3
. . . os150
3
. 3.2 . 3 .
2
AB AC AB AC c
CACB CA CB c a a
CACB a
AC CB AC CB c
AC CB a a a
= =
= =
⇒ =
=
 
⇒ = − = − ÷ ÷
 
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
Bài 4: Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
. .
. . . 1
. .
. . . 2
. .
MA BC MA MC MB
MA BC MA MC MA MB
MB CA MB MA MC
MB CA MB CA MB MC
MC AB MC MB MA
MC
= −
⇒ = −
= −
⇒ = −
= −
⇒
uuur uuur uuur uuuur uuur
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
uuuur uuur uuuur uuur uuur
uu r
( ). . . 3AB MC MB MC MA= −
uu uuur uuuur uuur uuuur uuur
Cộng các kết quả từ (1), (2), (3) ta được
đpcm.
Bài 5: Ta có:
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
. .
. .
0, .
. .
MA MB MO OA MO OB
MO MO OA OB OAOB
MO OA
OA OB OAOB OA
MA MB OM OA
= + +
= + + +
= −
+ = = −
⇒ = −
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur
uuuur uuur
uuur uuur
Bài 6: a. Ta có:
( )
( ) ( )
9
3; 2 , 3;
2
9
. 3 .3 2 . 0
2
AB AC
AB AC
 
= − − = − ÷
 
 
⇒ = − + − − = ÷
 
uuur uuur
uuur uuur
Vậy AB
uuur
vuông góc với AC
uuur
và tam giác
ABC vuông tại A.
45

Bài 7: Tính góc giữa 2 véc tơ ,a b
r r
trong
các trường hợp:
. ( ) ( )1; 2 , 1; 3a b= − = − −
r r
. ( ) ( )3; 4 , 4;3a b= − =
r r
Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho 2
điểm A(2 ; 4), B(1 ; 1). Tìm toạ độ
điểm C sao cho tam giác ABC vuông
cân tại B.
Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho tam
giác ABC với A = (-1; 1), B = ( 1 ; 3) và
C = (1 ; -1). CMR tam giác ABC vuông
cân tại A.
điểm A(-1 ; 1), B(0 ; 2), C(3 ; 1) và
D(0 ; -2). CMR tứ giác ABCD là hình
thang cân.
điểm A(-1 ; 1), B(3 ; 1), C(6 ; 0)
a. Chứng minh 3 điểm A, B, C không
thẳng hàng
b.
AB= AB 9 4 13
81 117
9
4 2
25 13
36 .
4 2
AC AC
BC BC
= + =
= = + =
= = + =
uuur
uuur
uuur
Bài7:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0
1. 1 2 . 3.
os a,
1 4. 1 9.
5 2
250
, 45 .
a b
c b
a b
a b
− + − −
= =
+ +
= =
⇒ =
r r
r r
r r
r r
Tương tự ta có:
( ) ( )
( ) 0
3.4 4 .3 0
os a, 0
259 16. 16 9
, 90 .
c b
a b
+ −
= = =
+ +
⇒ =
r r
r r
Bài 8:
Giả sử điểm C cần tìm có toạ độ là
(x; y). Để tam giác ABC vuông cân tại B ta
phải có:
. 0BA BC
BA BC
 =

=
uuur uuur
uuur uuur
2 2 2 2
2
1( 1) 3( 1) 0
1 3 ( 1) ( 1)
4 3
10 20 0
x y
x y
x y
y y
− + − =
⇔ 
+ = − + −
= −
⇔ 
− =
Giải hệ trên ta tìm được toạ độ của
C(4; 0), C(-2; 2)
Bài 9:
Ta có
(2;2), (2; 2)
0
2 2
AB AC
ABAC AB AC
AB AC
= = −
= ⇒ ⊥
= =
uuur uuur
uuuruuur uuur uuur
uuur uuur
Vậy tam giác ABC vuông tại A
Bài 10:
(1;1), (3;3)
3
AB DC
DC AB
= =
⇒ =
uuur uuur
uuur uuur
do đó Dc song song với AB và
DC = 3 AB. Mặt khác:
10AD BC= =
uuur uuur
Nên ABCD là hình thang cân
46

b. Tính góc B của tam giác ABC
điểm A(5; 4) và B(3; -2). Một điểm M
di động trên trục hoành. Tìm GTNN của
MA MB+
uuur uuur
Bài 11:
a. (4;2), (7;1)AB AC= =
uuur uuur
Vậy A, B, C không thẳng hàng
b. ( 4; 2), (3; 1)BA BC= − − = −
uuur uuur
Cos B = 02
135
2
B− ⇒ =
Bài 12:
Gọi I là trung điểm của AB, I(4; 1)
MA MB+
uuur uuur
NN khi đoạn IM NN. M chạy trên
0x nên có toạ độ M(x; 0)
2
( 1) 1 1IM x⇒ = − + ≥
uuur
Dấu bằng xảy ra khi x = 4
Vậy M(4; 0)
Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(3 ; 1), B(-1 ; 1), C(6 ; 0)
a. Chứng minh 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
b. Tính góc B của tam giác ABC
Bài 14: Tính góc giữa 2 véc tơ ,a b
r r
trong các trường hợp:
a. ( ) ( )2; 2 , 1;4a b= − = −
r r
b. ( ) ( )1; 4 , 2;3a b= − = −
r r
Bài 15: Trong mặt phẳng Oxy cho
A = (-1 ; 1), B =(1 ; 3), C = (1 ;-1).
a. CMR tam giác ABC vuông tại A.
b. Tính độ dài các cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC.
Bài 16: Trong mặt phẳng Oxy cho 4 điểm A(3 ; 4), B(4 ; 1), C(2 ; -3) và
D(-1 ; 6). CMR tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.
47

Ga on ngọc ki 1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (17)

Similar to Ga on ngọc ki 1

Similar to Ga on ngọc ki 1 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Ga on ngọc ki 1