теория множеств

Элементы теорииЭлементы теории
множествмножеств
Элементы теорииЭлементы теории
1.1. Множество и его элементы. Способы задания множеств.Множество и его элементы. Способы задания множеств.
2.2. Подмножества.Подмножества.
3.3. Операции над множествами.Операции над множествами.
4.4. Числовые множества.Числовые множества.
5.5. Решения задач при помощи теории множествРешения задач при помощи теории множеств..
6.6. Литература.Литература.
ЦельЦель: Создать базу данных по теме «Теория множеств для работы с одаренными детьми»: Создать базу данных по теме «Теория множеств для работы с одаренными детьми»
ЗадачиЗадачи::
1.1. Исследовать основы теории множеств.Исследовать основы теории множеств.
2.2. Изучить основные принципы этой теории и подобрать практический материал для ееИзучить основные принципы этой теории и подобрать практический материал для ее
иллюстрации.иллюстрации.
3.3. Разработать систему задач по принципу усложнения материала.Разработать систему задач по принципу усложнения материала.
4.4. Создать итоговую презентацию по результатам исследовательской работы.Создать итоговую презентацию по результатам исследовательской работы.
ЦельЦель: Создать базу данных по теме «Теория множеств для работы с одаренными детьми»: Создать базу данных по теме «Теория множеств для работы с одаренными детьми»
ЗадачиЗадачи::
1.1. Исследовать основы теории множеств.Исследовать основы теории множеств.
2.2. Изучить основные принципы этой теории и подобрать практический материал для ееИзучить основные принципы этой теории и подобрать практический материал для ее
иллюстрации.иллюстрации.
3.3. Разработать систему задач по принципу усложнения материала.Разработать систему задач по принципу усложнения материала.
4.4. Создать итоговую презентацию по результатам исследовательской работы.Создать итоговую презентацию по результатам исследовательской работы.
Подготовил ученик 8 класса: Алияров РусланПодготовил ученик 8 класса: Алияров Руслан
Руководитель: Апресян С.И.Руководитель: Апресян С.И.

Множество и егоМножество и его
элементыэлементы
Оно обычно не определяется, а вводится на интуитивном уровне.Оно обычно не определяется, а вводится на интуитивном уровне.
ПонятиеПонятие множествамножества – одно из основных понятий в математике.– одно из основных понятий в математике.
Например:Например:
1)1) Множество гласных букв русского алфавитаМножество гласных букв русского алфавита
2)2) Множество учеников классаМножество учеников класса
3)3) Множество месяцев в годуМножество месяцев в году
4)4) Множество геометрических фигурМножество геометрических фигур
Объекты, составляющие множество, называются егоОбъекты, составляющие множество, называются его элементамиэлементами..
1)1)
2)2)
3)3)
4)4)

А, В, С…..А, В, С…..Обозначение множествОбозначение множеств
Отношения между множествами выражают при помощи словаОтношения между множествами выражают при помощи слова
принадлежитпринадлежит..
Обозначение элементовОбозначение элементов а, в, с…..а, в, с…..
∈НАПРИМЕР:НАПРИМЕР:
Аа∈ Ав∉
Множество, в котором нет ни одного элемента, называетсяМножество, в котором нет ни одного элемента, называется
пустымпустым..
НАПРИМЕР:НАПРИМЕР:
Множество людей побывавших наМножество людей побывавших на
Марсе.Марсе.

1. Перечисление его элементов1. Перечисление его элементов
Способы задания множествСпособы задания множеств
А – множество натуральных чисел, меньших 7.А – множество натуральных чисел, меньших 7.
А =А = {{1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6}}
В – множество пор годаВ – множество пор года
В =В = {{зима, весна, лето, осеньзима, весна, лето, осень}}
2. Формулировкой характеристического2. Формулировкой характеристического
свойства всех элементов множествасвойства всех элементов множества
А =А = {{хх || характеристическое свойство ххарактеристическое свойство х }}
А – множество натуральных чисел, меньших 7.А – множество натуральных чисел, меньших 7.
А =А = {{хх || хх N, x<7}N, x<7}∈

ПодмножестваПодмножестваПодмножестваПодмножества
Множество В называетсяМножество В называется подмножествомподмножеством множества А, когдамножества А, когда
каждый элемент В принадлежит множеству А.каждый элемент В принадлежит множеству А.
АВ ⊂
АВ ⊂
АА множество учеников школымножество учеников школы
ВВ множество учеников классамножество учеников класса

Операции надОперации над
множествамимножествами
Пересечением множеств А и ВПересечением множеств А и В ( ) называется множество,( ) называется множество,
состоящее из всех элементов,состоящее из всех элементов,
которые принадлежаткоторые принадлежат
одновременно каждому из них.одновременно каждому из них.
BA∩
BA∩

Объединением множеств А и ВОбъединением множеств А и В ( ) называется множество,( ) называется множество,
состоящее из всех элементов,состоящее из всех элементов,
которые принадлежат икоторые принадлежат и
множеству А и множеству В.множеству А и множеству В.
ÂŔ∪
ÂŔ∪

Разностью множеств А и ВРазностью множеств А и В ( ) называется множество,( ) называется множество,
состоящее из всех тех элементов,состоящее из всех тех элементов,
которые принадлежат множеству А икоторые принадлежат множеству А и
не принадлежат множеству В.не принадлежат множеству В.
ÂŔ
ÂŔ

Числовые множестваЧисловые множестваЧисловые множестваЧисловые множества
NN – множество натуральных чисел– множество натуральных чисел
ZZ – множество целых чисел– множество целых чисел
QQ – множество рациональных чисел– множество рациональных чисел
II – множество иррациональных чисел– множество иррациональных чисел
RR – множество действительных чисел– множество действительных чисел
I∈3 R∈2,5
N∉0

Решения задач при помощиРешения задач при помощи
Решения задач при помощиРешения задач при помощи

Задача 1:Задача 1: В классеВ классе 4040 учеников. В математическом кружкеучеников. В математическом кружке
занимаютсязанимаются 3232 ученика,ученика, 2121 ученик занимается вученик занимается в
кружке «Умелые руки», акружке «Умелые руки», а 1515 учащихся в двухучащихся в двух
кружках. Сколько учеников не занимаются ни вкружках. Сколько учеников не занимаются ни в
одном кружке?одном кружке?

Решение:Решение:
ПустьПусть большой кругбольшой круг – все ученики класса– все ученики класса
АА – множество участников– множество участников математическогоматематического
кружкакружка
ВВ – множество участников– множество участников кружкакружка
««Умелые рукиУмелые руки»»
Общая частьОбщая часть круговкругов АА ии ВВ показываетпоказывает
множество учеников, которые занима-множество учеников, которые занима-
ются в двух кружках (ются в двух кружках (1515))
32 – 15 =32 – 15 = 1717 (уч) – занимается только в(уч) – занимается только в
мат. кружкемат. кружке
21 – 15 =21 – 15 = 66 (уч) – только в кружке(уч) – только в кружке

ПустьПусть большой кругбольшой круг – все участники класса– все участники класса
АА – множество участников– множество участников математическогоматематического
ВВ – множество участников– множество участников кружкакружка
Найдем количество учеников,Найдем количество учеников,
занимающихся в кружках:занимающихся в кружках:
17 + 15 + 6 = 3817 + 15 + 6 = 38
ОТВЕТ:ОТВЕТ: 22 ученикаученика
Тогда 40 – 38 =Тогда 40 – 38 = 22 (уч) не занимаются ни(уч) не занимаются ни
в одном кружке.в одном кружке.

Задача 2:Задача 2: В классеВ классе 3535 учеников. Из нихучеников. Из них 2020 занимаются взанимаются в
математическом кружке,математическом кружке, 1111 в биологическом, ав биологическом, а
1010 ребят не посещают эти кружки. Сколькоребят не посещают эти кружки. Сколько
биологов увлекается математикой?биологов увлекается математикой?

ПустьПусть большой кругбольшой круг – количество учащихся– количество учащихся
классакласса
ММ – множество участников– множество участников математическогоматематического
ББ – множество участников– множество участников
биологического кружкабиологического кружка
35 – 10 = 25 (уч) – занимаются в кружках35 – 10 = 25 (уч) – занимаются в кружках
25 – 20 = 5 (уч) – биологи, не посещающие25 – 20 = 5 (уч) – биологи, не посещающие
математический кружокматематический кружок
11 – 5 = 6 (уч) – биологи, занимающиеся11 – 5 = 6 (уч) – биологи, занимающиеся
математикойматематикой
1010 – учащихся– учащихся не занимаются в кружкахне занимаются в кружках
ОТВЕТ:ОТВЕТ: 66 учащихсяучащихся

Задача 3:Задача 3: В группеВ группе 110110 туристов,туристов, 7070 человек знаютчеловек знают
английский язык,английский язык, 4545 человек знаютчеловек знают
французский язык,французский язык, 2323 человека знают обачеловека знают оба
языка. Сколько человек в группе не знают ниязыка. Сколько человек в группе не знают ни
английского ни французского языка?английского ни французского языка?
английский язык,английский язык, 4545 человек знают французскийчеловек знают французский
язык,язык, 2323 человека знают оба языка. Сколькочеловека знают оба языка. Сколько
человек в группе не знают ни английского ничеловек в группе не знают ни английского ни
французского языка?французского языка?

ПустьПусть большой кругбольшой круг – все туристы– все туристы
АА – множество туристов знающих,– множество туристов знающих, английскийанглийский
языкязык
ФФ – множество туристов, знающих– множество туристов, знающих
французский языкфранцузский язык
70 – 23 = 4770 – 23 = 47 (т) – знают только(т) – знают только
английский языканглийский язык
45 – 23 = 2245 – 23 = 22 (т) – знают только(т) – знают только
французский языкфранцузский язык
Определим сколько туристов знаютОпределим сколько туристов знают
тот или иной язык:тот или иной язык: 47 + 23 + 22 = 9247 + 23 + 22 = 92 (т)(т)
Общая часть двух множеств – этоОбщая часть двух множеств – это
туристы, знающиетуристы, знающие оба языкаоба языка
ОТВЕТ:ОТВЕТ: 1818 туристовтуристов
Ни одного языка не знают:Ни одного языка не знают: 110 – 92 = 18110 – 92 = 18 (т)(т)

Задача 4:Задача 4: В классеВ классе 3030 учеников.учеников. 1515 посещают литературный кружок,посещают литературный кружок,
1111 – биологический. Из них– биологический. Из них 44 участвуют в работе двухучаствуют в работе двух
кружков.кружков. 55-занимаются литературой и математикой.-занимаются литературой и математикой. 33--
занимаются биологией и математикой. Толькозанимаются биологией и математикой. Только 11 ученикученик
посещает все три кружка. Остальные занимаются впосещает все три кружка. Остальные занимаются в
математическом кружке. Сколько всего учеников вматематическом кружке. Сколько всего учеников в
математическом кружке?математическом кружке?
Задача 4:Задача 4: В классеВ классе 3030 учеников.учеников. 1515 посещают литературный кружок,посещают литературный кружок, 1111 ––
биологический. Из нихбиологический. Из них 44 участвуют в работе двух кружков.участвуют в работе двух кружков.
55-занимаются литературой и математикой.-занимаются литературой и математикой. 33-занимаются-занимаются
биологией и математикой. Толькобиологией и математикой. Только 11 ученик посещает все триученик посещает все три
кружка. Остальные занимаются в математическом кружке.кружка. Остальные занимаются в математическом кружке.
Сколько всего учеников в математическом кружке?Сколько всего учеников в математическом кружке?

ЛЛ – множество участников– множество участников литературноголитературного
кружкакружкаББ – множество участников– множество участников
4 – 1 = 34 – 1 = 3 (уч) – только литература и(уч) – только литература и
биологиябиология
5 – 1 = 45 – 1 = 4 (уч) – только литература и(уч) – только литература и
математикаматематика
Общая часть трех кругов – множествоОбщая часть трех кругов – множество
учеников, занимающихся вучеников, занимающихся в трех кружкахтрех кружках
ММ – множество участников– множество участников
математического кружкаматематического кружка
44 – занимаются биологией и литературой– занимаются биологией и литературой
3 – 1 = 23 – 1 = 2 (уч) – только биология и(уч) – только биология и
математикаматематика

ЛЛ – множество участников– множество участников литературноголитературного
кружкакружкаББ – множество участников– множество участников
15 – ( 4 + 1 + 3 ) = 15 – 8 = 715 – ( 4 + 1 + 3 ) = 15 – 8 = 7 (уч)(уч)
– только литература– только литература
11 – ( 2 + 1 + 3 ) = 11 – 6 = 511 – ( 2 + 1 + 3 ) = 11 – 6 = 5 (уч)(уч)
– только биология– только биология
ММ – множество участников– множество участников
математического кружкаматематического кружка
30 – ( 7 + 4 + 1 + 3 + 2 + 5 ) = 30 – 22 = 830 – ( 7 + 4 + 1 + 3 + 2 + 5 ) = 30 – 22 = 8 (уч)(уч)
– только математика– только математика
ОТВЕТ:ОТВЕТ: 88 учениковучеников

Задача 5:Задача 5: На полу комнаты площадьюНа полу комнаты площадью 2424 мм22
лежат три ковра. Площадьлежат три ковра. Площадь
одногоодного 1010 мм22
, другого –, другого – 88 мм22
, третьего -, третьего - 66 мм22
. . Каждые два. . Каждые два
ковра перекрываются по площадиковра перекрываются по площади 33 мм22
, а площадь участка пола, а площадь участка пола
покрытого всеми тремя коврами, составляетпокрытого всеми тремя коврами, составляет 11мм22
Найти площадьНайти площадь
участка полаучастка пола
а) покрытого 1 и 2 коврами, но не покрытого 3;а) покрытого 1 и 2 коврами, но не покрытого 3;
б) покрытого только одним 1 ковром;б) покрытого только одним 1 ковром;
в) не покрытого коврами?в) не покрытого коврами?
лежат три ковра. Площадь одноголежат три ковра. Площадь одного
1010 мм22
, третьего -, третьего - 66 мм2 .2 .
. Каждые два ковра. Каждые два ковра
перекрываются по площадиперекрываются по площади 33 мм22
, а площадь участка пола покрытого, а площадь участка пола покрытого
всеми тремя коврами, составляетвсеми тремя коврами, составляет 11мм22
Найти площадь участка полаНайти площадь участка пола
1010 мм22

ПустьПусть большой кругбольшой круг – комната– комната
ПП ––первый коверпервый ковер
ВВ –– второй ковервторой ковер
3 – 1 = 23 – 1 = 2 (м(м22
) – общее П и В) – общее П и В
3 – 1 = 23 – 1 = 2 (м(м22
) – общие П и Т) – общие П и Т
Общая часть 1 мОбщая часть 1 м22
1010 мм22
1010 мм22
ТТ–– третий ковертретий ковер
3 – 1 = 23 – 1 = 2 (м(м22
) – общие В и Т) – общие В и Т
10 – ( 2 + 1 + 2 ) = 510 – ( 2 + 1 + 2 ) = 5 (м(м22
) – только П) – только П
8 – ( 2 + 1 + 2 ) = 38 – ( 2 + 1 + 2 ) = 3 (м(м22
) – только В) – только В
6 – ( 2 + 1 + 2 ) = 16 – ( 2 + 1 + 2 ) = 1 (м(м22
) – только Т) – только Т

ПустьПусть большой кругбольшой круг – комната– комната
ПП ––первый коверпервый ковер
ВВ –– второй ковервторой ковер
а)а) 5 + 2 + 3 = 105 + 2 + 3 = 10 (м(м22
) – П и В без Т) – П и В без Т
1010 мм22
1010 мм22
ТТ–– третий ковертретий ковер
б)б) 55 (м(м22
) – П) – П
в)в) 24 – ( 5 + 3 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 ) =24 – ( 5 + 3 + 1 + 2 + 2 + 2 + 1 ) =
= 24 – 16 = 8= 24 – 16 = 8 (м(м22
) – не покрыто) – не покрыто

Задача 6:Задача 6: В классеВ классе 3838 учеников. Каждый из них занимается хотя бы однимучеников. Каждый из них занимается хотя бы одним
видом спорта. Легкой атлетикой –видом спорта. Легкой атлетикой – 1919 учащихся; волейболом –учащихся; волейболом –
2121 учащийся; плаванием –учащийся; плаванием – 1212 учащихся; легкой атлетикой иучащихся; легкой атлетикой и
волейболом –волейболом – 77 учащихся; плаванием и легкой атлетикой –учащихся; плаванием и легкой атлетикой – 66
учащихся; волейболом и плаванием –учащихся; волейболом и плаванием – 33 учащихся. Сколькоучащихся. Сколько
учеников занимается всеми тремя видами спорта?учеников занимается всеми тремя видами спорта?
Задача 6:Задача 6: ВВ классеклассе 3838 учеников. Каждый из них занимается хотя бы однимучеников. Каждый из них занимается хотя бы одним
видом спорта. Легкой атлетикой –видом спорта. Легкой атлетикой – 1919 учащихся; волейболом –учащихся; волейболом – 2121
учащийся; плаванием –учащийся; плаванием – 1212 учащихся; легкой атлетикой и волейболомучащихся; легкой атлетикой и волейболом
–– 77 учащихся; плаванием и легкой атлетикой –учащихся; плаванием и легкой атлетикой – 66 учащихся;учащихся;
волейболом и плаванием –волейболом и плаванием – 33 учащихся. Сколько учеников занимаетсяучащихся. Сколько учеников занимается
всеми тремя видами спорта?всеми тремя видами спорта?

ПустьПусть большой кругбольшой круг – это учащиеся класса– это учащиеся класса
ЛЛ –множество учащихся–множество учащихся занимающихсязанимающихся
легкой атлетикойлегкой атлетикой
ВВ – множество учащихся– множество учащихся занимающиесязанимающиеся
волейболомволейболом
7 – х7 – х – легкая атлетика и волейбол– легкая атлетика и волейбол
6 - х6 - х – легкая атлетика и плавание– легкая атлетика и плавание
Общая часть всех трех кругов (х) -Общая часть всех трех кругов (х) -
учащиеся занимающиеся тремя видамиучащиеся занимающиеся тремя видами
спортаспорта
ПП– множество учащихся– множество учащихся занимающихсязанимающихся
плаваниемплаванием
3 - х3 - х – волейбол и плавание– волейбол и плавание

19 – (6 – х + 7 – х + х) = 19 – (13 - х) = 6+х19 – (6 – х + 7 – х + х) = 19 – (13 - х) = 6+х
– только легкая атлетика– только легкая атлетика
21 – (3 – х + х + 7 – х) = 21 – (10 – х) = 11 + х21 – (3 – х + х + 7 – х) = 21 – (10 – х) = 11 + х
– только волейбол– только волейбол
12 – (6 – х + х + 3 – х) = 12 – (9 - х) = 3 + х12 – (6 – х + х + 3 – х) = 12 – (9 - х) = 3 + х
– только плавание– только плавание

Все ученики заняты, получим уравнение:Все ученики заняты, получим уравнение:
6 + х + 11 + х + 3 + х + 6 – х + х + 7 – х + 3 – х = 386 + х + 11 + х + 3 + х + 6 – х + х + 7 – х + 3 – х = 38
х = 38 – 36х = 38 – 36
х = 2х = 2
ОТВЕТ:ОТВЕТ: 22 ученикаученика

Задача 7:Задача 7: В классеВ классе 4040 учеников. Из нихучеников. Из них 2626 играют в баскетбол,играют в баскетбол, 2525 – плавают,– плавают,
2727 – ходят на лыжах.– ходят на лыжах. 1515 – занимаются плаванием и– занимаются плаванием и
баскетболом;баскетболом; 1616 – баскетболом и лыжами;– баскетболом и лыжами; 1818 – плаванием и– плаванием и
лыжами. Один ученик освобожден от физкультуры. Скольколыжами. Один ученик освобожден от физкультуры. Сколько
учеников занимаются всеми видами спорта?учеников занимаются всеми видами спорта?
Задача 7:Задача 7: ВВ классеклассе 4040 учеников. Из нихучеников. Из них 2626 играют в баскетбол,играют в баскетбол, 2525 – плавают,– плавают,
2727 – ходят на лыжах.– ходят на лыжах. 1515 – занимаются плаванием и баскетболом;– занимаются плаванием и баскетболом; 1616 ––
баскетболом и лыжами;баскетболом и лыжами; 1818 – плаванием и лыжами. Один ученик– плаванием и лыжами. Один ученик
освобожден от физкультуры. Сколько учеников занимаются всемиосвобожден от физкультуры. Сколько учеников занимаются всеми
видами спорта?видами спорта?

ББ –множество учащихся–множество учащихся играющих виграющих в
баскетболбаскетбол
ПП – множество учащихся– множество учащихся занимающиесязанимающиеся
15 – х15 – х – занимаются П и Б– занимаются П и Б
16 - х16 - х – занимаются Б и Л– занимаются Б и Л
Общая часть всех трех кругов (х) -Общая часть всех трех кругов (х) -
учащиеся занимающиеся всеми видамиучащиеся занимающиеся всеми видами
спортаспорта
ЛЛ– множество учащихся– множество учащихся занимающихсязанимающихся
лыжным спортомлыжным спортом
18 - х18 - х – занимаются П и Л– занимаются П и Л
1 – освобожден от физкультуры1 – освобожден от физкультуры

ББ –множество учащихся–множество учащихся играющих виграющих в
баскетболбаскетбол
ПП – множество учащихся– множество учащихся занимающиесязанимающиеся
ЛЛ– множество учащихся– множество учащихся занимающихсязанимающихся
лыжным спортомлыжным спортом
1 – освобожден от физкультуры1 – освобожден от физкультуры
26 – (15 – х + х + 16 – х) = 26 – (31 – х) = х - 526 – (15 – х + х + 16 – х) = 26 – (31 – х) = х - 5
– только Б– только Б
25 – (15 – х + х + 18 – х) = 25 – (33 – х) = х - 825 – (15 – х + х + 18 – х) = 25 – (33 – х) = х - 8
– только П– только П
27 – (16 – х + х + 18 – х) = 27 – (34 – х) = х - 727 – (16 – х + х + 18 – х) = 27 – (34 – х) = х - 7
– только Л– только Л

Зная сколько учеников в классе, получимЗная сколько учеников в классе, получим
уравнение:уравнение:
1 + х – 5 + х – 8 + х – 7 + х + 15 – х +1 + х – 5 + х – 8 + х – 7 + х + 15 – х +
+ 18 – х + 16 – х = 40+ 18 – х + 16 – х = 40
х = 40 – 1 + 20 – 31 - 18х = 40 – 1 + 20 – 31 - 18
х = 60 - 50х = 60 - 50
ОТВЕТ:ОТВЕТ: 1010 учениковучеников
х = 10х = 10

Литература:Литература:Литература:Литература:
1. Балк М. Б., Балк Г. Д. Математика после уроков. М.: Просвещение, 1971
2. Коваленко В.Г. Дидактические игры на уроках математики. М.:
Просвещение, 1990
3. Мазаник А.А. Реши сам. Мн.: Народная асвета ,1990
4. Программы факультативных курсов для общеобразовательных школ.
Мн.: Народная асвета,1991
5. Онанченко К.О. Алгебра – 8, учебник для общеобразовательной школы
с углубленным изучением математики, 2006

теория множеств

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (7)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to теория множеств

Similar to теория множеств (13)

теория множеств