1. รับบจํานวนจริง
(Real Number System)
หนะงสือเรียนออนไลน ชวงชะนที่ 4
้
ชุด “คณิตศาสตรบนเว็บไซต” เลมที่ 3
สะทธา หาญวงศฤทธิ์
F F F F . . 2537
F F F ก F ก F F ก ก F

3. F F F 3 15 F F
F ก F F F F ก F F ก ก
F F ก F ก ก F F F
ก F ก F ก F F ก ก
ก F F F F
F F F F F
ก ก F F F Fก F Fก F
F F F 1
F ก
2 ก ก ก กก F
ก ก ก ก กF ก F ก F
3 ก ก ก ก กF ก ก F F F F 4
F F ก ก ก กF ก F
ก ก F F F กF
ก F ก ก F
F
13 ก F . . 2549
ก 1
ก F F ก F F กF 3
ก
F กF ก กF 3.4 F กF ก F 3.1
3.2 F กF ก 3.1 3.2 F F กF ก กF
F 4.3 ก F F F ก ก
F ก กF Fก F F F
F
15 . . 2549

5. 1 F 1 7
1.1 F 1
1.2 ก ก 1
1.3 2
1.4 F F กF 4
1.5 F F 5
2 กก 9 12
2.1 กก 9
2.2 ก k 10
3 ก ก 13 27
3.1 ก ก F 13
3.2 F 15
3.3 ก ก ก n 17
3.4 ก ก F F 23
4 ก F 29 35
4.1 ก F F 29
4.2 ก F F 31
4.3 ก F F 32
4.4 ก F F ก F ก ก 34
ก 37 41
1. ก F 37
2. ก ก (Power Series) 40
3. F กF 41
ก F F F 43

7. 1
F
1.1 F
(Real Number System) F F F ก F
F (Peano s Postulates) ก ก ก
F
(R)
ก (Q) ก (Q′)
ก (I)
F F (I′)
F ก
+
(I ) (I N)
1.1
ก F F FF ก F ก
ก ก ก ก F ก F F
F ก
F ก F Fก F
1.2 ก ก (Rational numbers and Irrational numbers)
ก F F F F
F ก กF ก ก ก F
F F F F
F ก F 2 , 0.3 , 5, 1
3 ɺ F F ก F π, e

8. 6 , 3 36 F
F ก ก ก F Fก F
ก 1.1
1. ก F ก F ก3
2. F F F πe , e π , 2e F F
F F
3. F F π ≈ 22
7 F F F F F
4. F F F π , πe
2 5 F F F
1.3
1.3.1
F
1.1 ก F a, b, c
1) ∀a, b ∈ R, a + b ∈ R กF ก ก
2) ∀a, b ∈ R, a ⋅ b ∈ R กF ก
3) ∀a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c) ก F ก ก F ก ก
4) ∀a, b, c ∈ R, (a ⋅ b) ⋅ c = a⋅(b⋅c) ก F ก ก F ก
5) ∀a, b ∈ R, a ⋅ b = b ⋅ a ก F ก ก
6) ∀a, b ∈ R, a + b = b + a ก F ก ก ก
7) ∀a ∈ R, a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a ก F ก ก F ก
8) ∀a ∈ R, , a + 0 = 0 + a = a ก F ก ก F ก ก
9) ∀a ∈ R, ∃x ∈ R, a ⋅ x = x ⋅ a = 1 ก F F ก กx F ก
ก
10) ∀a ∈ R, ∃y ∈ R, a + y = y + a = 0 ก F F ก ก กy F ก
ก ก
2

9. F F 3

10. 10 F 1.1 F F F F
1.3.2
F 1.1
ก Fx F FF F F F F F
1) x ∈ R+
2) x = 0
3) x ∈ R
ก F 1.1 ก F Fก F F ก F x, y F F F
F F F
1) x < y
2) x = y
3) y < x
1.3.3 F
1.2
ก F S⊆R ก F F a (upper bound) S ก F x≤a ก x∈R
ก F F b F (lower bound) S ก F b≤x ก x∈R
1.3
ก F S⊆R ก F F S (bounded set) ก F S F
4

11. F F ก F F F
F F
1.4
ก FS⊆R F ก F F a F S( F sup(S)) ก F
1) a S
2) ∀c ∈ R, F c S F a≤c
ก 1.2
1. ก F S = {y | 0 < y ≤ 3} F sup(S) F F F
2. F S F 1 F
1.4 F F กF
1.5
ก F a, b ∈ R ก F F a<bก F b a ∈ R+
ก 2.1 ก < F F กF ก Fa<b F F
F กF F F กF F
1.1 ก F a, b, c ∈ R
1) a < b ⇔ a + c < b + c
2) F a < b c > 0 F ac < bc
3) F a < b c < 0 F ac > bc
4) F 0 < a < b F 0 < 1 < 1b a
F 1) (⇒) F a < b ⇒ a+c < b+c
Fa<b 1.5 F F b a ∈ R+
ก b a = (b + c) (a + c) ∈ R+
F a+c < b+c F ก
F F 5

12. (⇐) F a+c < b+c ⇒ a < b
F a+c < b+c 1.5 F F (b + c) (a + c) ∈ R+
ก (b + c) (a + c) = (b a) + c c = b a ∈ R+
FF a<b F ก
2) F a<b c>0
1.5 F F b a ∈ R+
ก b a ∈ R+ F c F c(b a) = cb ca = bc ac ∈ R+
ก 1.5 F F ac < bc F ก
1.5 F F (Absolute value of real number)
1.6
ก Fx F FF F F x F |x|
x x≥0
|x| =
x x<0
F ก ก 1.6 ก F F F F F x
ก F ก0 x F
6

13. F F F ก F
1.2 ก F x, y F FF
1) | x | | y | = | xy |
2) x = x
y y
3) |x| = | x|
4) |x+y| ≤ |x|+|y| กF ก (Triangle Inequality)
5) a>0 FF
1. | x | < a ก F a<x< a
2. | x | ≤ a ก F a≤x≤ a
3. | x | > a ก F x< a x>a
4. | x | ≥ a ก F x≤ a x≥a
x x≥0
F 3) ก |x| =
x x<0
x F x FF
x x≥0
| x| =
( x) x<0
x x≤0
| x| =
x x>0
F F |x| = | x|
F F F F FFF F ก
F 5) F ก กF ก F ก
ก n F FFF F F F
F F 7

14. F 1.1 ก F x = 12, y = 16 F 1.2 (1), (2), (3) (4)
x, y ก F
1) ก |x||y| = | 12 | ⋅ | 16 |
= 12 ⋅ 16
= | 12 ⋅ 16 |
= | xy |
x 12
2) ก =
y −16
12
=
16
= 12
16
= 12
−16
= x
y
3) ก |x| = | 12 |
= | 1 |⋅ | 12 |
= | ( 1) ⋅ 12 |
= | 12 |
= | x|
4) ก |x+y| = | 12 + ( 16) |
= | 4|
= 4
≤ | 12 | + | 16 | = | x | + | y |
ก 1.3
1. F 1.1 1.2 F
2. ก F x, y F Fก F F F F F F
F F F
1) 1 = |x1| = |x|1
x
2) | x y | = | y x |
8

15. 2
กก
2.1 กก
2.1
กก (exponent) an a n ก
an F ก ก n a ก F
an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ a
n
2.1.1 กก
กก F
2.1 ก F a, b m, n ก F
1) am + n = am ⋅ an
2) (am)n = amn
3) a n = 1n
a
4) (a ⋅ b) = am ⋅ bm
m

16. 2.1 FFF F ก F F ก ก 2.1
ก 2.1
1) a m n am
= n
a
2) a0 = 1
ก 2.1 F F F F FFF F ก
ก 2.1
1. F 2.1
2. F ก 2.1
3. F F 00 F F F
2.2 ก k
F F 36 ก 36 2 F 6ก 6 F
ก k k = 3, 4, 5, F กF F ก
2.2 ก Fa m, k ก F
m
a k = k am
F k am F F ก k am
10

17. ก F F ก F ก kก
F ก ก ก F F F
2.2 ก F a, b F m, n, k ก F
= k a m+n
k m k n
1) a ⋅ a
k m k m
2) a ⋅ b = k ( a ⋅ b )m
k m
3) a = k a m
k m
b
b ()
3
F 2.1 F 27 4 F F
2.2 FF
4 4
3 4
27 = 27 3 = 33 ( ) 3
= 34 = 81
3
27 4 = 81
F 2.2 F 3 −64 F F
2.2 FF
3 −64 = ( 64)1/3 = [( 4)3]1/3 = 4
3 −64 = 4
6 64 + 3 343
F 2.3 F 3 216 − 4 16
1 1
6 64 + 3 343 6 3
ก 3 216 − 4 16 = 64 1+ 343 1
216 3 − 16 4
1 1
=
( ) ( )
2 + 73
6 6 3
1
1
( ) ( )4
6 − 24
3 3
= 62 − 7 = 4
+
2
9
6 64 + 3 343
FF 3 216 − 4 16
9
= 4
F F 11

18. F 2.4 F F a−b F F F ก F
a+b
ก a−b a+b F F
a+b a+b
a−b = a−b ⋅ a+b
a+b a+b a+b
=
( a − b)⋅( a+b)
( a+b)⋅( a+b)
(a − b) ⋅ (a + b)
=
(a + b)2
= a2 − b2
a+b
1 1
F 2.5 ก F a = 6, b = 3 F a3 − b3
F x3 = a = 6 F y3 = b = 3
1 1
F F x= y= a3 , b3
ก x3 y3 = (x y)(x2 + xy + y2)
1 1 2 1 2
6 3 = (a3 − b 3 )( a 3 + (ab) 3 + b3 )
1 1 2 1 2
3 = ( a 3 − b 3 )( 6 3 + 18 3 + 3 3 )
1 1
a3 − b3 = 3
2 1 2
6 3 + 18 3 + 3 3
ก 2.2
F 2.2
12

19. 3
ก ก
3.1 ก ก F
3.1.1 ก F
3.1
ก F ก F ax + b = 0 a, b
ก 3.1 ก F ax + b = 0 F ก F ก F
b F F ax + b + ( b) = ax + 0 = b => ax = b
ก a ก Fx= b a
F 3.1 ก 3x + 1 = x + 3
2
ก ก 3x + 1 = x + 3
2
ก F ก F x 2 F 3x x + 1 = x + 3 x = 3
2 2 2
ก F ก F 1 F 3x 2x +1 1 = 3 1 = 2
F F 3x x = 2 => 2(3x) − x = 2
2 2
ก F 2 F 2(3x) x = 2 ⋅ 2 = 4 => 6x x = 4
F 5x = 4 => ก F 5 Fx=4 5
: 3( 4 ) + 1 = 1 ( 4 ) + 3
5 2 5
12 + 1 = 2 + 3
5 5
17 = 17
5 5
ก x= 4
5

20. F 3.2 ก 1 x = x+3
ก ก F1 x = x+3
ก F ก F x F 1 2x = 3
ก F ก F 1 F 2x = 2
ก F 2 Fx= 1
: 1 ( 1) = ( 1) + 3
2 = 2
ก x= 1
3.1.2 ก F
3.2 ก F ก F
1) ax + b < 0
2) ax + b > 0
3) ax + b ≥ 0
4) ax + b ≤ 0
5) ax + b ≠ 0
ก กF ก F ก กก F ก ก กF ก F ก F
ก F F F F F F ก F F F ก F ก ก
F Fก F F ก F F Fก F F F กก F F F
ก ก ก F ก F F F
F 3.3 ก 3x + 2 ≥ 4x + 5
ก ก 3x + 2 ≥ 4x + 5
ก F ก F 2 F 3x ≥ 4x + 3
ก F ก F 4x F x ≥ 3
F ก F 1 Fx≥ 3
ก x≥ 3 F F {x | x ≥ 3}
14

21. ก กF ก ≠ ก F ก F ก ≠ =
ก ก กF ก F ก F ก ≠
F F
F 3.4 ก 4x + 1 ≠ x 1
ก ก ก F ก ≠ = FF
4x + 1 = x 1
4x x = 1 1
3x = 2
x= 2 3
ก x≠ 2
3
3.2 F (Interval)
3.3 ก F a, b a<b F
1) a<x<b (a, b) ก F F
2) a<x≤b (a, b] ก F F ก F
3) a≤x≤b [a, b] ก F F
4) a≤x<b [a, b) ก F F ก
5) x>a (a, ∞)
6) x≥a [a, ∞)
7) x<a ( ∞, a)
8) x≤a ( ∞, a]
9) ∞<x<∞ ( ∞, ∞) กF F F ก
F 5 8 กF F ก F
F 3.5 ก F A = {x | 1 ≤ x ≤ 6} A F
ก ก F F 3.3 (3) F F
A F F F A = [ 1, 6]
F F 15

22. F 3.6 ก F A = [2, 7], B = [0, 7], C = [ 1, 7] F n((A ∩ B) C)
ก Fก F ก F F
F
B
C
A
1 0 2 7
ก n((A ∩ B) C) = n(A ∩ B) n(A ∩ B ∩ C) -----(1)
ก n(A ∩ B) = n([2, 7]) = 6
n(A ∩ B ∩ C) = n([2, 7]) = 6
ก ก (1) F F n((A ∩ B) C) = 6 6 = 0
F F F ก F
ก ก F
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, C = { 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
F F A∩B = A ( F A ⊆ B)
(A ∩ B) C F A C
A Cก F กF A⊆C F n(A) = n(A ∩ C)
F F n(A C) = n(A) n(A ∩ C) = 0
ก 3.1
1. F ก F 3.3 F 3.4
16

23. 3.3 ก ก ก n
3.3.1 ก ก n
3.4
ก nก F Pn(x) n ≥ 2 F anxn + an 1xn 1 + an 2xn 2 + +
a1x + a0 an, an 1, an 2, , a1, a0 an ≠ 0 ก F
FF ก 3.4 ก ก n F F Pn(x) = 0
ก กF ก ก ก ก F ก ก Fก Fก
ก ก F F ก F F F a, b ab = 0 F F F a =0
b=0 ก F FFF ก F F
F 3.7 ก x2 5x + 6 = 0
ก ก Fก F ก Fก ก ก F
F F x2 5x + 6 = (x 3)(x 2) = 0
x=3 x=2
ก x=2 x=3
F ก F ก FF FF
F F
F 3.8 ก x3 + 2x2 x 2 = 0
ก x3 + 2x2 x 2 = (x3 + 2x2) (x + 2)
= x2(x + 2) (x + 2)
= (x + 2)(x2 1)
= (x + 2)(x 1)(x + 1)
F F (x + 2)(x 1)(x + 1) = 0
ก x= 2 x= 1 x=1
F F 17

24. ก ก F ก ก F ก F F
ก ก ก F
3.1 (Remainder Theorem or Residue Theorem)
ก F P(x) ก n F P(x) F x c F FF กก F ก P(c)
F F P(x) ก n x c
F F P(x) = (x c)Pn 1(x) + Rn(x) -----(3.3.1)
Pn 1(x) ก n 1 Rn(x) F กก P(x) F x c
F x=c ก (3.3.1) F F P(c) = 0 + Rn(c) = Rn(c) -----(3.3.2)
กก P(x) F x c F F ก P(c) F ก
F ก 3.1 F 3.2 F
3.2 ก ก (Rational Factor Theorem)
ก F P(x) ก n FF x c ก P(x) ก F P(c) = 0
F (⇒)
ก ก (3.3.1) 3.1 FF x c ก P(x)
Rn(x) = 0 ก ก (3.3.2) F F P(c) = 0
(⇐)
F ก
F F ก F
F 3.9 ก F P(x) = 2x3 5x2 x 6 ก P(x) ก F
กก P(x) F x + 3
ก 3.1 FF กก P(x) F x c F ก P(c)
F x + 3 = 0 => x = 3
FF กก P(x) F x + 3 F ก P( 3)
3 2
P( 3) = 2( 3) 5( 3) ( 3) 6
= 2( 27) 5(9) + 9 6
= 54 45 + 9 6 = 96
18

25. F 3.10 ก F P(x) = 6x3 + 7x2 7x 6 F x 1 ก P(x)
ก ก 3.1 FF x 1 ก P(x) P(1) = 0
F ก P(x) = 6x3 + 7x2 7x 6 FF
3 2
P(1) = 6(1) + 7(1) 7(1) 6 = 6 + 7 7 6 = 0
ก P(1) = 0 F x 1 ก P(x)
ก 3.3 ก
1. F ก ก ก ก F 3.6, 3.7 3.8
2. Fa F x a x3 + 2x2 5x 2 Fก 4 F ก F a
F ก ก F Fก F ( F F . . 2537)
3. F px3 15x2 + 27x + q F x 2 x 5 F F ก 22 F F p+q
( ก , 2539)
2
4. ก x x+ 1 x − 1 = 1
x F
3.3.2 ก ก n
ก ก n ก F F
3.5
ก F P(x) Q(x) ก n Q(x) ≠ 0 F ก ก n F
1) P(x) ⋅ Q(x) < 0 P(x) ⋅ Q(x) > 0
2) P(x) ⋅ Q(x) ≤ 0 P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0
P(x) P(x)
3) Q(x) < 0 Q(x) > 0
P(x) P(x)
4) Q(x) ≤ 0 Q(x) ≥ 0
1) ก F P(x) ⋅ Q(x) < 0, P(x) ⋅ Q(x) > 0, P(x) ⋅ Q(x) ≤ 0 P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0
ก กF ก F ก ก F F ก ก F F ก F
P(x) ⋅ Q(x) = 0 ก F F x กกF F กF ก F ก x F
F F 19

26. F ก F ก ก F
F F ก F ก F F F ก
ก F ก ก F ก F F F
< ≤ F F F
> ≥ ก ก ก F ก F ก ก F
F 3.11 ก x3 + 2x2 x + 2 > 0
ก F 3.7 F x3 + 2x2 x + 2 = (x + 2)(x 1)(x + 1)
ก F (x + 2)(x 1)(x + 1) > 0
FF ก x = 2, x = 1, x = 1
F ก F ก F F F F
+ +
2 1 1
ก F > ก F ก
FF ก {x | 2 < x < 1 x > 1}
F F F A = ( 2, 1) ∪ (1, ∞)
F 3.12 ก FA ก 6x3 + 7x2 7x 6 ≤ 0 ก
{x ∈ A | x ∈ I+ x ≤ 5}
ก 6x3 + 7x2 7x 6 = (x 1)(2x + 3)(3x + 2)
F F (x 1)(2x + 3)(3x + 2) ≤ 0 F ก F กF x = − 2 , x = − 2 , x = 1
3
3
F ก F ก F F
+ +
3
−2 −2 1
3
ก ก F ≤ FF
ก A = {x | ∞ ≤ x ≤ − 23 x ≥ 1} F F
( ∞, − 2 ] ∪ [1, ∞) F F F ก
3 ก
{x ∈ A | x ∈ I+ x ≤ 5} F F n({x ∈ A | x ∈ I+ x ≤ 5}) = 5
20

27. F 3.13 ก 2 < x2( x − 3)
8
( 23 − x ) F F
ก. (1, ∞) . ( 2, 100)
. ( 10, 10) . ( ∞, 2)
( , 2544)
ก Fก F ก ก F
ก 2 x2( x − 3)
< 8
( 23 − x )
x2( x − 3) 3( 2 − x )
2 < 2 3
2(
2 x x − 3 ) < 2 2 − 3x
ก กF (2 > 0)
F F x2(x 3) < 2 3x
x2(x 3) < 2 3x
x3 3x2 + 3x 2 < 0 -----(1)
ก ก (1) F ก
F P(x) = x3 3x2 + 3x 2 => ก P(2) = 0 F x 2 P(x)
ก F(ก ก ก) FF
3 2 2
x 3x + 3x 2 = (x 2)(x x + 1)
= (x 2)[(x2 x + 1 ) + 1 1 ]
4 4
3
= (x 2)[(x 1 )2 + 4 ]
2
ก ก (1) F (x 2)[(x 1 )2 + 4 ] < 0
2
3
F F F [(x 1 )2 + 4 ] > 0
2
3 F F x 2 < 0 => x < 2
F F ( ∞, 2)
2) ก F P( x )
Q( x ) <0 P( x )
Q( x ) > 0, Q( x )) ≤ 0
P(
x
P( x )
Q( x ) ≥0
ก กF ก F ก ก F ก F ก ก F 1) ก F ก F
F FF ก ก กF ก ก F ก ก
ก F 1) F F ก F ก F F ก F F F
F F ก ก F F Fก F
F F 21

28. 2
F 3.14 ก −
5≤ xx6 ≤1
ก. 8 .9
. 10 . 11
( , 2547)
2
ก −
F 5≤ xx6 ≤1 F ก ก F F2
2
1) 5≤ xx6−
2) x2 − 6 ≤ 1
x
2 2
=> ก 5≤ xx6− −
F F x x 6 +5 ≥ 0
x 2 + 5x − 6 ≥ 0
x
x(x + 6)(x 1) ≥ 0
FF ก x = 6, x = 0, x = 1
ก [ 6, 0) ∪ [1, ∞)
2 2
=> −
ก xx6 ≤1 −
FF xx6 1≤0
x2 − x − 6 ≤ 0
x
x(x 3)(x + 2) ≤ 0
FF ก x = 2, x = 0, x = 3
ก ( ∞, 2] ∪ (0, 3]
=> ก 2 F ก
{[ 6, 0) ∪ [1, ∞)} ∩ {( ∞, 2] ∪ (0, 3]} = [ 6, 2] ∪ [1, 3]
= { 6, 5, 4, 3, 2} ∪ {1, 2, 3} = { 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3}
F F n([ 6, 2] ∪ [1, 3]) = 8
22

29. ก 3.3
ก F F F
1. ก (4x 2) log(1 x2) > 0 F F
ก. ( 2, 1 )
2 . ( − 1 , 2)
2
. (0, 10) . ( 1 , 20)
2
2. ก FI S = {x | x − 1 − 1 ⋅ x − 1 + 1 < 50}
ก S∩I F ก F F
ก. 13 . 14
. 15 . 16
3. FS ก log(log x) + log(9 log x2) ≥ 1
F a b ก S F ก F F F ab F Fก F
7 9
ก. 10 2 . 10 2
11 13
. 10 2 . 10 2
3.4 ก ก F F
F ก ก ก F F F F 1.5 F
ก กF ก ก F F F F
3.4.1 ก F F
3.6
ก F P(x) Q(x) ก n c F ก F F
F
1) |P(x)| + |Q(x)| = c |P(x)| |Q(x)| = c
2) |P(x) ⋅ Q(x)| = c
ก กF ก F F F 1) F F ก P(x) Q(x) F P(x) = 0 Q(x) = 0
ก F F ก F F F ก F F ก ก กF ก
F F 23

30. F F
F 3.15 FA ก |x 4| + |x 3| = 1 A Fก F
ก. (3, 4) . {x ∈ R | |x 7 | ≤ 1 }
2 2
. ( ∞, 4] . [3, ∞)
( ก , 2539)
F x 4 = 0 => x = 4
F x 3 = 0 => x = 3
F F ก F ก F F F F F F
x<3 3<x<4 x>4
|x 3| = (x 3) 3 |x 3| = x 3 1 |x 3| = x 3
|x 4| = (x 4) |x 4| = (x 4) |x 4| = x 4
ก F F F
=> Fx<3 F F
(x 4) (x 3) = 1
2x = 6
x=3
F F {3}
=> F 3<x≤4 FF
(x 4) + (x 3) = 1
1=1
F ก F ก F F (3, 4]
=> F x>4 F F
(x 4) + (x 3) = 1
2x 7 = 1
2x = 8
x=4
F Fก F ก F F {}
ก FF ก |x 4| + |x 3| = 1 [3, 4]
24

31. ก กF ก F F F 2) F F F F x, y
F F |xy| = |x||y| ก ก F ก ก F 1) F F
F 3.16 ก |(x 4)(x 3) | = 1
ก |(x 4)(x 3)| = |x 4|⋅|x 3| = 1
F x 4 = 0 => x = 4
F x 3 = 0 => x = 3
x<3 3<x<4 x>4
|x 3| = (x 3) 3 |x 3| = x 3 1 |x 3| = x 3
|x 4| = (x 4) |x 4| = (x 4) |x 4| = x 4
ก F F F
=> F x<3 FF
[ (x 4)] [ (x 3)] = 1
(x 4)(x 3 ) = 1
2
x2 7x + 11 = 0 => x = −(−7) ± (−7) − 4(1)(11)
2
x1 = 7 + 2 5 , x2 = 7 −2 5
F F { 7 + 2 5 , 7 −2 5 }
=> F 3<x≤4 FF
(x 3)(x 4) = 1
(x2 7x + 12) = 1
2 −(−7) ± (−7) 2 − 4(1)(13)
x 7x + 13 = 0 => x = 2
x1 = 7 + 2 −3 , x2 = 7 − 2 −3
ก ก F F F {}
=> x>4 F FF
(x 4)(x 3) = 1
FF ก ก ก ก ก
F F 25

32. ก FF ก |x 4|+|x 3| = 1
{ 7 + 2 5 , 7 −2 5 }
3.4.2 ก F F
3.7
ก F P(x) Q(x) ก n F ก F F F
1) |P(x) ⋅ Q(x) | > 0 |P(x) ⋅ Q(x) | < 0
2) |P(x) ⋅ Q(x) | ≥ 0 |P(x) ⋅ Q(x) | ≤ 0
3) |P(x) + Q(x) | ≤ 0 |P(x) + Q(x) | ≥ 0
4) |P(x) + Q(x) | < 0 |P(x) + Q(x) | > 0
ก กF ก F F 3.7 F F F F
F
F 3.17 ก |x2 16| < 9
ก F F F |a| < b F b<a<b FF
9 < x2 16 < 9 ก F
=> 9 < x2 16
x2 7 > 0
(x 7 )(x + 7 ) > 0
F ( ∞, 7 ) ∪ ( 7 , ∞)
=> x2 4 < 9
x2 13 < 0
(x 13 )(x + 13 ) < 0
F ( 13 , 13 )
ก F ก
(( ∞, 7 ) ∪ ( 7 , ∞)) ∩ ( 13 , 13 ) = ( 13 , 7 ) ∪ ( 7 , 13 )
26

33. F 3.18 ก |2 x| ≤ 2 + x
F F F F (2 + x) ≤ 2 x ≤ 2 + x ก ก ก F F
=> (2 + x) ≤ 2 x
x 2≤2 x
2≤2
F ก F x
=> 2 x ≤ 2 + x
2x ≤ 2 2 = 0
x≥0
ก ( ∞, ∞) ∩ [0, ∞) = [0, ∞)
x −1
F 3.19 ก x −2 ≤ 0
ก x≥0 x−1
F F x−2 ≤ 0 [1, 2)
ก x<0 −x − 1
F F −x − 2 ≤ 0
−(x + 1)
−(x + 2) ≤ 0
x+2 ≤ 0 F
x+1 ( 2, 1]
ก ( 2, 1] ∪ [1, 2)
F F 27

35. 4
ก F
ก F ก F F
F F F F ก F F F ก ก ก FFF
ก F F ก F ก F FF
ก F F F ก ก 4 F F
F ก F FF F กF (average method of approximation) ก
(geometrical method of approximation) (Calculus Method of Approximation)
F F F ก F ก ก (power series) F
4.1 ก F F
ก F F ก กก ก ก ก F
F FF F ก F F ก F F
F F F F F F ก F F
ก F F
F 4.1 F 6
ก F 22 < ( 6 )2 < 32 F F 6 F F F 2ก 3
F F 2ก 3 F 2 + 3 = 2.5
2
F 22 < ( 6 ) < 2.52
2
2.52 = 6.25 F 2 ก 2.5
F 2 +22.5 = 2.25
2.252 = 5.0625 F 2.252 < ( 6 )2 < 2.52 F 2.25 ก 2.5
F 2.252+ 2.5 = 2.375
2.3752 = 5.64 F 2.3752 < ( 6 )2 < 2.52 F 2.375 ก 2.5
F 2.3752+ 2.5 = 2.4375
F 2.43752 < ( 6 ) < 2.52
2
2.43752 = 5.94 F 2.4375 ก 2.5
F 2.4375 + 2.5 = 2.4688
2

36. 2.46882 = 6.0949 F 2.43752 < ( 6 )2 < 2.46882 F 2.4375
ก 2.4688 F 2.4375 + 2.4688 = 2.4532
2
2.45322 = 6.0182 F 2.43752 < ( 6 )2 < 2.45322 F 2.4375
ก 2.4532 F 2.4375 + 2.4532 = 2.4454
2
2.44542 = 5.9799 F 2.44542 < ( 6 )2 < 2.45322 F 2.4454
ก 2.4532 F 2.4454 + 2.4532 = 2.4493
2
2.44932 = 5.9991 F F ก F ก ( 6 )2 F ก F
FF 6 ≈ 2.4493
ก F F F Fก ก ก ก กF ก F F
(initial value) F F F ก F F ก
F 4.2 F 6 F [2, 2.5]
F 22 < ( 6 )2 < 2.52 F 2 ก 2.5 F 2 +22.5 = 2.25
2.252 = 5.0625 F 2.252 < ( 6 )2 < 2.52
F 2.25 ก 2.5 F 2.252+ 2.5 = 2.375
F 2.3752 < ( 6 ) < 2.52
2
2.3752 = 5.6406
F 2.375 ก 2.5 F 2.3752+ 2.5 = 2.4375
2.43752 = 5.9414 F 2.43752 < ( 6 )2 < 2.52
F 2.4375 ก 2.5 F 2.4375 + 2.5 = 2.4688
2
2.46882 = 6.0949 F 2.43752 < ( 6 )2 < 2.46882 F 2.4375
ก 2.4688 F 2.4375 + 2.4688 = 2.4532
2
2.45322 = 6.0182 F 2.43752 < ( 6 )2 < 2.45322 F 2.4375
ก 2.4532 F 2.4375 + 2.4532 = 2.4454
2
2.44542 = 5.9799 F 2.44542 < ( 6 )2 < 2.45322 F 2.4454
ก 2.4532 F 2.4454 + 2.4532 = 2.4493
2
2.44932 = 5.9991 F F ก F ก ( 6 )2 F ก F
30

37. FF 6 ≈ 2.4493
ก F F F FF FF ก F F F Fก ก ก
F F ก ก FF Fก ก ก F ก Fก F
F F ก (algorithm : ) F F F F
ก F ก ก ก F FF ก ก ก F F FF ก F ก F
F ก F F F
ก 4.1
F 17 FกF F (F 4.1231)
4.2 ก F F
ก F F กก ก F ก
F F ก ก F ก ก Fก ก
F ก F ก F F F F Fก F F ก
ก ก F F ก F F F F F ก
F
F 4.3 F 2 F
ก 12 + 1 2 = ( 2 )
2
F F F ก F F ก ก
F 1 F
4.1 ก F ก ก F 1 F
F F 31

38. ก 4.1 FF F F F F ก (1.41, 0)
FF 2 F 1.41
ก 4.2
ก F F F
1. 8
2. 18
3. 72
4. 98
4.3 ก F F
ก F กF F F กF f x = x0 ก
f(x 0 + h) − f(x 0 )
f′(x0) = lim h -----(4.3.1)
h→0
f(x 0 + h) − f(x 0 )
F h F F ก F F f′(x0) ≈ h -----(4.3.2)
F (4.3.2) F h F h⋅f′(x0) ≈ f(x0 + h) f(x0) F FF
f(x0 + h) ≈ f(x0) + h⋅f′(x0) -----(4.3.3)
⋅′
F (4.3.3) ก F f(x0 + h) F f(x0) f′(x0) ก F
F ก F F (4.3.3) F กก กF กF F F ก
F ก F ก F h f′(x0) F F F (4.3.3) ก F
F ก FFF F F F F ก
F 4.4 F 6 F ก F x0 = 4
ก F f(x) = x F F f′(x) = 1
2 x
h=6 4=2 f′(4) = 1 = 1 = 0.25
2 4 4
ก F f(x0 + h) ≈ f(x0) + h⋅f′(x0) FF
32

39. f(6) = f(4 + 2) ≈ f(4) + (2)(0.25) ≈ 2.50
F ก ก F 6 ≈ 2.449 FF ก F ก ก
F 4.5 F (numerical value) sin 0.25 F ก F x0 = 0
ก F f(x) = sin x (x F ) F F f′(x) = cos x
h = 0.25 0 = 0.25 f′(0) = cos 0 = 1
ก F f(x0 + h) ≈ f(x0) + h⋅f′(x0) FF
f(0.25) = f(0 + 0.25) ≈ f(0) + (0.25)(1) ≈ 0.25
ก 4.3
1. F F F
2.5 −2.5
1) e +2e
2) 10001
3) sin 0.75 cos 0.75 (ก F sin 0.70 = 0.6442 cos 0.70 = 0.7648)
F กF ก ก
2. F F F F F 1 F F กก ก F ก F ก F
F F 33

40. 4.4 ก F F ก F ก ก
ก F F ก F ก ก ก Fก ก ก F F F
F F ก ก F F ก ก ก F กF
F F ก ก F F กF
F 4.6 ก F f(x) = ex F f(1.25) Fก F ก
6 F ก( F 3 F)
ก ก f(x) ≈ 1 + x + 2! x 2 + 3! x 3 + 4! x 4 + 5! x 5
ex 1 1 1 1
f(1.25) ≈ 1 + (1.25) + 2! (1.25)2 + 3! (1.25)3 + 4! (1.25) 4 + 5! (1.25)5
1 1 1 1
≈ 1 + 1.250 + 0.781 + 0.326 + 0.102 + 0.025 ≈ 3.484
F 4.7 ก F f(x) = ln x F f(2.1) Fก F ก F F
x0 = 1 6 F ก
ก f(x) = ln x, f(1) = ln 1 = 0 FF
f′(x) = 1 , f′(1) = 1
x
f″(x) = 1 , f″(1) = 1
x2
f′′′(x) = 23 , f′′′(1) = 2
x
f (x) = 64 , f(4)(1) = 6
(4)
x
(5)
f (x) = 524 , f(5)(1) = 24
x
∞ f (k) (x )
F T(x) ≈ ∑ k! 0 ( x − x 0 )
k
ก ก F
k =0
≈ ln 1 + 1! (2.1 − 1) + ( −1) (2.1 − 1) 2 + 3! (2.1 − 1)3 +
1
2!
2
( −6) (2.1 − 1) 4 + 24 (2.1 − 1)5
4! 5!
≈ 0 + 1.1 0.605 + 0.444 0.366 + 0.322 ≈ 0.895
34

41. ก 4.4
1. Fก F ก ก F ก 4.3
2. ก F F กก ก F 1
3. ก F f(x) = sin x F f(0.75) F ก ก ก ก F
Fก FF f(0.75) = 0.013 Fก F F ก
F F 35

43. ก
1. ก F
ก F ก ก F ก F
ก ก F
ก F P(x) ก n P(x) = anxn + an 1xn 1 + an 2xn 2 + + a2x2 + a1x + a0
an, an 1, an 2, , a2, a1, a0 an ≠ 0 F Q(x) = x c
c≠0 Fก F F
an a n−1 a n −2 ⋯
x=c ↓ ca n ca n −1 + c 2 a n ⋯
an a n −1 + ca n a n −2 + ca n−1 + c 2 a n ⋯
.1 ก F
ก F F F ก ก F ก
ก F ก F F F Fก F F F F
F F F กก F
F ก Fก F F Fก ก F ก Fก
ก กก F 1 F ก ก กF F Fก Fก
ก F F ก ก Fก F
F F F ก ก F F FFF ก F F
F .1.1 F P(x) ก F P(x) = x2 2x + 1 F Q(x) = x + 2
Q(x)
ก ก F ก F ก F F
1 −2 1
x = −2 ↓
1
F F ก ก F F ก 2 ก 1 F F F F
F Fก 2 F F F F F F 2

44. 1 −2 1
x = −2 ↓ −2
1
ก 2 กก 2 F F ก กF F F Fก 4
1 −2 1
x = −2 ↓ −2
1 −4
F 2 ก F FกF F 4 F Fก 8 8 F F F 1
1 −2 1
x = −2 ↓ −2 8
1 −4 9
F 1 กก 8 F F ก กF F F Fก 9
2
F F Q(x) = x − + 2 + 1 = x 4 + x + 2
P(x)
x
2x 9 ก F F F F กก x 4
Fก 9
F .1.2 ก F P(x) = x3 + 3x 1 Q(x) = x 1 F ก P(x) F Q(x)
ก ก F F
1 0 3 −1
x =1 ↓
1
1 ก 1 F F Fก 1 F F F 0 F 0
กก 1 F F F F F
1 0 3 −1
x =1 ↓ 1
1 1
1 ก 1 F ก กF F F Fก 1 F F F 3
ก 3 กก 1 F F F F F F
38

45. 1 0 3 −1
x =1 ↓ 1 1
1 1 4
F 1 ก 4 F ก กF F F Fก 4
F F F 1 ก 1 กก 4 F F ก 3 F F F F
1 0 3 −1
x =1 ↓ 1 1 4
1 1 4 3
ก F F FF F กก x2 + x + 4 Fก 3
F .1.3 F กก x4 3x3 + 2x2 x + 1 F x2 4
ก ก F ก ก กF F F ก (x 2)(x + 2)
FF F F กก x 3x + 2x x + 1 F (x 2)(x + 2)
4 3 2
ก (x 2) ก ก F F
1 −3 2 −1 1
x=2 ↓ 2 −2 0 −2
1 −1 0 −1 −1
ก F F กก ก F x 2 F
F x+2 F
1 −1 0 −1 −1
x = −2 ↓ −2 6 −12 26
1 −3 6 −13 25
ก x4 3x3 + 2x2 x + 1 F x2 4 F F x2 3x + 6
Fก 13x + 25
F F 39

46. 2. ก ก (Power Series)
∞
∑ c k ( x − x0 )
k
ก ก (Power Series) ก F F x0
k =0
กF ก ก ก ck F k ก ก
ก ก F F ก กF (Transcendental function) F F ก
ก F ก ก F ก FกF ก ก F
∞
F y = f(x) = ∑ c k ( x − x 0 )
k
ก
k =0
= c0 + c1(x x0) + c2(x x0)2 + c3(x x0)3 + c4(x x0)4 + ---( .2.1)
F FF y′ = f′(x) = c1 + 2c2(x x0) + 3c2(x x0)2 + 4c4(x x0)3 + -----( .2.2)
F FF y″ = f″(x) = 2c2 + 6c3(x x0) + 12c4(x x0)2 + -----( .2.3)
F FF y′′′ = f′′′(x) = 6c3 + 24c4(x x0) + -----( .2.4)
(k)
F k F F y(k)(x) = f(k)(x) = k!ck => ck = f k!(x) -----( .2.5)
ก ( .2.5) F k ก ก ก F ก F F
∞ f (k) (x )
T(x) = ∑ k! 0 ( x − x 0 ) -----( .2.6)
k
ก F F
k =0
ก ( .2.6) กF ก F F (Taylor s Series) x = x0 F x0 = 0 F
∞ (k)
FF ก ( .2.6) F F M(x) = ∑ f k!(0) x k -----( .2.7)
k =0
ก ( .2.7) กF ก (Mcclaurin s Series)
40

47. F .2.1 ก F f(x) = ex f(x) F F ก ก x0 = 0
ก f(x) = f′(x) = f″(x) = = f(k)(x) = ex
F ก ( .2.7) F F
M(x) = f 0! + f ′1! x + f ′′2! x 2 + f ′′′(0) x 3 +
(0) (0) (0)
3!
1 2 1 3 1 4
= 1 + x + 2! x + 3! x + 4! x +
∞ k
(closed form) F M(x) = ∑ xk!
k =1
F .2.2 ก F f(x) = sin 2x f(x) F F ก ก x0 = 0
ก f(x) = sin 2x, f′(x) = 2 cos 2x, f″(x) = 4 sin 2x, f′′′(x) = 8 cos 2x,
f(4)(x) = 16 sin 2x, f(5)(x) = 32 cos 2x
F ก ( .2.7) FF
(4) (5)
M(x) = f 0! + f ′1! x + f ′′2! x 2 + f ′′′(0) x 3 + f 4!(0) x 4 + f 5!(0) x 5 +
(0) (0) (0)
3!
= 0 + 2x + 0 3! x 3 + 0 + 32 x 5 +
8
5!
3. F กF
ก Fu กF x (u(x)) F FF
f(u) ′
f′(u)
eu eu du
dx
sin u cos u du
dx
cos u sin u du
dx
u 1 du
2 u dx
F F 41

49. ก
ก ก กก F. ก F. F 2. ก : F F ก F ,
2541. 240 F.
. F Ent 46. ก : ก , 2546. 272 F .
. F Ent 47. ก : F F ก F, 2547. 264 F .
. F Ent 48. ก : F F ก F, 2548. 256 F .
F F. ก F. F 7. ก : ก ก F, 2545. 599 F .
ก . ก F .4 ( 011, 012). ก : ก F F, 2539. 718 F .
F F F
http://mathworld.wolfram.com
http://en.wikipedia.org
http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers/2414/TaylorSeries.asp
F F 43