2. Дробовий вираз –
вираз, що
містить
дію ділення
на вираз зі змінною
Цілі та дробові вирази
називають
раціональними виразами
Цілий вираз –
вираз, що
не містить
дію ділення
на вираз зі змінною
ЗАПАМ’ЯТАЙТЕ
Те о р і я
3. Приклад 1.
Обчисліть значення раціонального дробу
9𝑥
𝑎+𝑥2, якщо 𝑎 = 5, 𝑥 = −7.
1) Переконаємося, що в разі підстановки в даний вираз значень 𝑎 = 5, 𝑥 = −7 знаменник
не перетворюється на нуль:
𝑎 + 𝑥2 = 5 + −7 2 = 5 + 49 = 54; 54 ≠ 0
2) Підставимо у вираз замість 𝑥 значення (-7), замість 𝑎 – значення 5.
9𝑥
𝑎+𝑥2 =
9∗ −7
5+ −7 2;
3) Обчислимо значення отриманого числового виразу
9∗ −7
5+ −7 2 =
−63
5+49
= −
63
54
= −
7∗9
6∗9
= −
7
6
= −1
1
6
.
Відповідь: −𝟏
𝟏
𝟔
.
4. Вираз має зміст, коли можна виконати всі
математичні дії в даному раціональному виразі Вираз
𝟐𝒙
𝒙−𝟓
має зміст, якщо 𝒙 − 𝟓 ≠ 𝟎, тобто
𝒙 ≠ 𝟓
Дріб має зміст, коли його знаменник відмінний від
нуля
Областю допустимих значень (ОДЗ) виразу з
однією змінною називають усі значення змінної,
при яких цей вираз має зміст
Також її називають областю визначення виразу
Наприклад:
ОДЗ виразу
𝒙+𝟕
(𝒙−𝟐)(𝒙+𝟑)
складається з таких
значень 𝒙, при яких
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑) ≠ 𝟎
Алгоритм знаходження ОДЗ виразу
1. Прирівняти всі знаменники дробів, що входять
у вираз, до нуля.
𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟑 = 𝟎
2. Знайти розв’язки отриманих рівнянь. Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із
множників дорівнює нулю, отже, маємо
розв’язки рівняння:
𝒙 − 𝟐 = 0 або 𝒙 + 𝟑 = 𝟎
𝒙 = 𝟐 або 𝒙 = −𝟑.
Те о р і я
5. Приклад 2.
Знайдіть область допустимих значень виразу
2
2𝑥−6
1) Знайдемо значення 𝑥, при якому знаменник виразу дорівнює нулю, тобто визначимо
нулі знаменника. Для цього розв’яжемо рівняння:
2𝑥 − 6 = 0;
2𝑥 = 0 + 6;
2𝑥 = 6;
𝑥 = 6: 2;
𝑥 = 3.
2) Зробимо висновок: змінна 𝑥 може набувати будь-яких значень, крім 𝑥 = 3
𝑥 ≠ 3,.
Відповідь: 𝒙 − будь-яке число, крім 3, тобто ОДЗ: 𝒙 ≠ 𝟑.
6. Приклад 3.
Знайдіть область допустимих значень виразу
5
𝑥−2
+
3𝑥
𝑥+1
1) Запишемо рівняння для визначення нулів знаменників
𝑥 − 2 = 0 𝑥 + 1 = 0
2) Розв’яжемо обидва рівняння:
𝑥 = 0 + 2 𝑥 = 0 − 1
𝑥 = 2 𝑥 = −1
3) Зробимо висновок: змінна 𝑥 може набувати будь-яких значень, крім 𝑥 = 2, 𝑥 = −1
𝑥 ≠ 2 𝑥 ≠ −1
Відповідь: 𝒙 − будь-яке число, крім 2 і -1, тобто ОДЗ: 𝒙 ≠ 𝟐, 𝒙 ≠ −𝟏.
7. Приклад 4.
Знайдіть область допустимих значень змінної виразу
1
𝑥
+
𝑥
𝑥 −2
1) Запишемо рівняння для визначення нулів знаменників
𝑥 = 0 𝑥 − 2 = 0
2) Розв’яжемо обидва рівняння:
𝑥 = 0 𝑥 = 0 + 2
|𝑥| = 2
𝑥 = 2 або 𝑥 = −2
3) Зробимо висновок: змінна 𝑥 може набувати будь-яких значень, крім 𝑥 = 0, 𝑥 = 2, −2
𝑥 ≠ 0 𝑥 ≠ 2, −2
Відповідь: 𝒙 − будь-яке число, крім 0, 2 і -2, тобто ОДЗ: 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒙 ≠ ±𝟐.
8. Приклад 5.
Визначити знак виразу
𝑥2
𝑦3, якщо 𝑥 < 0, 𝑦 > 0
Визначити знак виразу
𝑥+5
𝑦3 , якщо 𝑥 > 0, 𝑦 < 0
Визначити знак виразу
𝑥 +4
𝑦4 , якщо 𝑥 < 0, 𝑦 > 0
Дріб додатний
Дріб додатний
Дріб від’ємний
9. Перевірка знань:
1. Виберіть серед наведених виразів цілий вираз.
А Б В Г
5
𝑎2
𝑎2
5
𝑎 + 5
𝑎
𝑎
𝑎 + 5
2. Дано вираз
𝑥+1
𝑥−4
. Допустимими значеннями змінної 𝑥 є всі значення, крім:
А Б В Г
𝑥 = −1 𝑥 = 1 𝑥 = 4 𝑥 = −4
10. Перевірка знань:
3. Виберіть вираз, який має зміст при всіх значеннях змінної.
А Б В Г
4
3𝑥
4
𝑥 − 3
4
𝑥 + 3
4𝑥
3
4. Установіть відповідність між виразами (1-3) та їх значеннями (А-Г), якщо 𝑏 = 2.
1.
5
𝑏
А 3,5
2.
2
𝑏−1
Б 2,5
3.
2𝑏+3
4−𝑏
В 2
Г 0,4
