距離空間とconcaveな写像

1. 次の各命題について正しければ証明し, 正しくなければ反例をあげよ。
1.位相空間 X のコンパクト集合 A, B の和集合 A ∪ B はコンパクトである。
2.位相空間 X のコンパクト集合 A, B の共通部分 A ∩ B はコンパクトである。
3.位相空間 X の連結部分集合 A, B が交われば、和集合 A ∪ B は連結である。
4.距離空間 (X,d) と狭義単調増加な C2 級関数 φ : [0,∞) → R で
φ (0)=0 φ”(x)<0 (0<x を満たすものに対してd1(p,q)= φ (d(p,q)) p,q∈X
とおくと、d1 は X 上の距離関数になる.

2. 次の各命題について正しければ証明し, 正しくなければ反例をあげよ。
(1)位相空間 X のコンパクト集合 A, B の和集合 A ∪ B はコンパクトである。
答え 真
証明 [斎藤] 集合と位相p157
(2)位相空間 X のコンパクト集合 A, B の共通部分 A ∩ B はコンパクトである。
答え 偽
証明 [斎藤] 集合と位相p157
(3)位相空間 X の連結部分集合 A, B が交われば、和集合 A ∪ B は連結である。
答え 真
証明 [斎藤] 集合と位相p143
(4)距離空間 (X,d) と狭義単調増加x<y ならばφ(x)<φ(y)な C2 級関数 φ : [0,∞) → R で
φ (0)=0 φ”(x)<0 (0<x を満たすものに対してd1(p,q)= φ (d(p,q)) p,q∈X
とおくと、d1 は X 上の距離関数になる。
答え 真
証明
d1(p,q)=0あらばd(p,q)=0であるからp=q
狭義単調増加であるからp≠qならばd1(p,q)>0
対称性d1(p, q) = d1(q, p)はdの対称性から明らか。
三角不等式d1(p, q) + d1(q, r) ≥ d1(p, r)は全てのx+y≧zに対してφ(x)+φ(y)≧φ(z)を示せばよい。
また単調増加生からx,y>zならばφ(x)+φ(y)＞φ(z)であるからx,y<zの時を示せばよい。
x+y>zからz/2<x or z/2<yとφ”(x)<0からconcaveであることに注意して
Φ(z)=
𝑧
𝑧
𝜑 𝑧 ≦
𝑥+𝑦
𝑧
𝜑 𝑧
𝑥
𝑧
𝜑 𝑧 ≦
𝑥
𝑧
𝜑 𝑧 +
𝑧−𝑥
𝑧
𝜑 0 ≦ 𝜑
𝑥
𝑧
𝑧 +
𝑧−𝑥
𝑧
0 = 𝜑(𝑥) 同様に
y
𝑧
𝜑 𝑧 ≦φ(y)
よって等式が示せた。