1. 1
ТЕХНОЛОГИЯ ВЫДЕЛЕНИЯ БАЗОВЫХ ПОНЯТИЙ
МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ ДЛЯ КУРСОВ ФИЗИКИ
ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
(на примере механики)
А.М. Кливасов
Лаборатория технологии профессионального образования
Проблемы преподавания физики в профессиональных
учебных заведениях
1.Роль физики в познании окружающего мира и осмысливании
специфических профессий.
2.Научные и технические революции (НТР).
3.Научно-техническая революция и актуальность
реформирования профессионального образования, его
значимость при НТР.
4.Объективные трудности реформирования.
5.Общие требования к современным учебникам.
6.Принципы отбора содержания учебного материала по физике.
Необходимость подготовки новых учебников и новых
методических пособий.
7.Требования к новым учебникам физики, продиктованные
необходимостью формирования у учащихся самостоятельного
мышления:
а)Изменение стиля и формы изложения учебного материала по
сравнению с традиционными. Обоснование необходимости
акцентирования внимания учащихся первоначально на
ограниченное количество тщательно отобранных структурных
единиц школьного курса физики при условии их вполне
прозрачной определенности.
б) Изменение сигнатуры учебников.
в) Классификация задач по степени трудности их решения.
г) Введение домашних экспериментальных задач.
д) Использование вероятностных задач.
е) Обстоятельная коррекция устоявшихся
общеобразовательных программ.
8.Технология составления системы базовых элементов
учебного курса физики.

2. 2
9. Технология обучения физики в профессиональных учебных
заведениях. Раскрытие роли физики при изложении
элективных (по выбору) учебных курсов.
10. Достаточный и высокий уровень результатов обучения
физике.
1
Практика показала, что при творческом распределении
времени базовые элементы могут быть успешно сформированы как
на основных, так и на факультативных занятиях, далее они
используются учащимися колледжей для самоконтроля как
справочный материал.
1. Метод составления системы базовых структурных
элементов школьного курса физики для профильных классов.
Мы являемся свидетелями величайшей научно-технической
революции (НТР). Она привела к глубочайшему информационному
взрыву. В связи с этим вопрос об отборе материала для школьных
учебников стал весьма актуальным. С особой остротой он стоит
перед представителями естественно-математического цикла.
Решить эту задачу можно только путем переноса центра тяжести в
обучении с запоминания разрозненных фактов на усвоение логики
той или иной науки и на развитие умения самостоятельно мыслить.
К сожалению, число вариантов учебников по ведущим
основным предметам заметно возросло, а их качество в целом
заметно нет. Стало очевидным, что увеличение вариантов учебников
в основном диктуется коммерческими целями, а не
профессиональными. Коммерческие цели вносят в обучение только
бесконтрольный сумбур.
Сделать школьный курс физики доступным для усвоения можно
лишь путем кропотливого, тщательного отбора структурных
элементов (условно понятий) и обоснования логических связей
между ними.
2. Этапы выделения базовых структурных элементов курса
«Механика»
для профильных классов.
Первый этап. Выписывание понятий и других структурных
элементов школьного курса физики в порядке их введения в
следующие школьные учебники;
1)в действующий учебник физики «Физика 9» («Физика 8»)
авторов И.К. Кикоина и А.К. Кикоина;

3. 3
2)в «Экспериментальное учебное пособие - 9 (8) класс» автора
В.Г.Зубова.
Второй этап. Сопоставление применительно к школьному
курсу понятийного каркаса по хорошо устоявшемуся курсу
классической теоретической механики.1
Под «понятием» подразумевался термин в его несколько
обиходном значении, том широком смысле, каком он
употребляется в выражении «дать понятие о чем-то» полезном,
имеющим не только прямое, и потому неизбежное, но и косвенное
отношение к физике. По этой причине на первом и втором этапах,
кроме непосредственных физических понятий (таких, например,
как «скорость», «ускорение», «абсолютно твердое тело»,
«плотность», «механическая сила», «импульс», «работа»,
«мощность», «энергия» и т.п.), выписывались законы (например,
«законы Ньютона», «законы сохранения...»), аспекты понятий
(например, «сила - причина ускорения»), частные полезные,
необходимые сведения, продиктованные логикой курса
(например, о «международной системе единиц», о «... космической
скорости» и др.).
1
При составлении понятийного перечня по «Теоретической
механике» непосредственное участие принимал доцент кафедры
теоретической физики МГОПУ им. Н.К. Крупской А.А. Сенкевич.
На первом и втором этапах не предусматривалась ни
численная, ни логическая (качественная) последовательная
оценка важности тех или иных элементов понятийной структуры
курса по степени их связанности с другими элементами -
целенаправленная оценка «работы» этих элементов при
выстраивании логики курса.
Третий этап. Фиксация и подсчет необходимых связей
между структурными элементами курса.
В целях углубленного качественного анализа связей
дополнительно использовались «Физический энциклопедический
словарь», «Энциклопедический словарь юного физика» и более
десяти логически стройных учебников и пособий по хорошо
устоявшемуся вузовскому курсу теоретической механики.
Для целей численного анализа использованы следующие
количественные характеристики связей между понятиями (см.
рис.1):

4. 4
1.Число раз, когда данное понятие необходимо при
введении новых понятий,- число связей (1).
2.Число раз, когда данное понятие участвует в развитии,
уточнении и конкретизации уже имеющихся понятий, - число
связей (2).
3.Число понятий, необходимых для введения данного
понятия, - число связей (3).
4.Число понятий, которые уточняют, развивают и
конкретизируют данное понятие, - число связей (4).
5.Степень связи данного понятия с другими понятиями –
степень «работы» данного понятия при введении последующих
понятий и при развитии, уточнении и конкретизации уже
имеющихся понятий - число связей (1+2).
6.Степень связи других понятий с данным понятием – степень
«работы» других понятий при введении данного понятия и при
его развитии, уточнении и конкретизации - число связей (3+4).
7.Степень важности данного понятия при формировании между
понятиями прямых и обратных связей - число связей (1+2+3+4).
Описание процедуры анализа.
Процесс составления и последующего анализа матриц
наглядно изображен на рис.1 См. также участки матриц на рис.2 и 3.
Рис.1 Схема процесса составления и последующего анализа
матриц.

5. 5
УСТАНОВЛЕНИЕ ПРОСТЫХ СВЯЗЕЙ
Прямые связи Число понятий,
необходимых для
введения данного
понятия
Сколько раз данное Сколько раз
понятие участвует в ПОНЯТИЕ необходимо данное
развитии, уточнении и понятие при
конкретизации уже введении новых
имеющихся понятий последующих
понятий
Число понятий,
которые уточняют Обратные
и конкретизируют связи
данное понятие
УСТАНОВЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ
СВЯЗЕЙ
(1+2)-степень связи данного (3+4) –степень связи других
понятия с другими понятиями - понятий с данным понятием
степень «работы» данного понятия –степень «работы» других
при введении последующих понятий при введении
понятий и при развитии, данного понятия и при его
уточнении и конкретизации уже развитии, уточнении и
имеющихся понятий конкретизации
(1+2+3+4) - степень важности данного
понятия при формировании прямых и
обратных связей между понятиями

6. СВЯЗИ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ Число связей
3 I II III IV 7
5. время +
6. механическое движение
7. механика
8. основная задача механики
9. положение тел в пространстве
16. координата тела
20.траектория
21. перемещение как вектор +
23. составляющая вектора
24. прямолинейное равномерное движение +
25. скорость равномерного прямолинейного движения 7 + + ++ + + + + + + + + + 6 7 3 5 21
26. абсолютное значение скорости (модуль)
29. график проекции скорости
30. относительность движения, сложение S и V
33. единица скорости
41. непрерывность скорости, пути, времени
42. мгновенная скорость +
66. первый закон Ньютона
100. сила жидкого трения - сила сопротивления +
144. мощность +
166. объем жидкости, протекшей через $ трубы за единицу t +
167. постоянство объема жидкости, протекшей за единицу t +
В данном участке матрицы пропущены понятия, с которыми 5 I П III IV 7
Понятие «25» не связано.
Рис.2 Участок матрицы по действующему учебнику «Физика 9 (8)» авторов акад. И.К.Кикоина и проф.
А.К.Кикоина (участокр, иллюстрирующий связи понятия № 25 Скорость равномерного прямолинейного
движения» с другими структурными элементами курса «Механика».

8. ПЕРЕЧЕНЬ ПОНЯТИИ
1) 48-55; 2) 70-74; 3) 97-99; 4) 114-117; 5) 129-131;
6) 144-146
48. уравновешивающая сила 97. сила,
действующая
перпенкулярно
скорости
49. разложение сил 98. центростремительная
сила
50. составляющие силы 99. центробежная сила
51. силы в механике 114. понятие о
переносе сил (в абс.
твердом теле)
52. сила тяготения (причина §) 115. сложение сходящихся
сил
53. сила упругости 116. сложение
параллельных и
антипараллельных сил)
54. сила трения скольжения 117. центр тяжести как
точка приложения
55. сила трения покоя 129. работа силы тяжести
70. активные силы (заданные 130. работа силы упругости
силы)
71. силы реакции (пассивные 131. работа силы трения
силы)
72. связи (тела, 144. столкновение тел (удар)
ограничивающие
свободу перемещения)
73. возможны перемещения 145. центральный удар
74. абсолютно твердое тело 146. косой удар
Рис. 4 Перечень понятий по теоретической механике, с
которыми не фиксировались связи понятия № 59
«сосредоточенные силы».
«Последовательность составления и обработки матриц»

9. На миллиметровой бумаге по главной (от левого верхнего угла
к правому нижнему) диагонали были проставлены номера понятий в
соответствии с перечнем в крайней левой колонке матрицы.
1.Вверх от номера понятий (по вертикали) крестиками
отмечались понятия (начиная со второго), необходимые для
введения данного понятия - связи 3.
2.Влево от понятия (по горизонтали) крестиками
фиксировались связи 2.
В результате такой последовательной фиксации прямых связей
- связей данного понятия с предыдущими понятиями -
заполняется рабочее поле матрицы. Обратные связи - связи
последующих понятий с данным - фиксируется автоматически.
После заполнения рабочего поля матриц данные
обрабатывались следующим образом:
1.Подсчитывались простые связи 1, 2, 3, и 4 каждого понятия.
Результаты подсчета выносились вдоль четырех взаимно
перпендикулярных направлений на границы поля (см. рис.2 и
3).
2.В колонки, расположенные справа за границей рабочего поля
матрицы, записывались результаты подсчетов по видам
связей (на рис. 2 и 3 показаны только колонки, куда
заносились числа связей 1, 2, 3, 4 и 1+2+3+4).
3.Суммировались результаты по каждой колонке в
отдельности, т.е. определялась сумма однородных связей
для всех понятий. Сумма указывалась внизу колонки.
4.Итоговые цифры каждой колонки делились на число
понятий и устанавливался средний балл для каждого
направления связей отдельно учебнику (рис.2) и отдельно по
теоретической механике (рис.3).
5.Число связей для каждого понятия сравнивалось со средним
баллом и оценивался удельный вес каждого понятия в
образовании межпонятийных связей.
В каждом из матриц аналогичным образом были отдельно
подсчитаны средний балл законов физики и удельный вес каждого
закона.
Надежность числа связей в качестве меры важности
понятия обусловлена, в частности, тем, что этот показатель мало
зависит от порядкового номера понятия (т.е. от того, на каком
этапе оно вводится в курс). Действительно, если порядковый

10. номер понятия увеличить (конечно, не нарушая физической
логики), то количество образуемых им прямых связей увеличится, но
зато приблизительно во столько же раз уменьшится их роль в
образовании обратных связей и наоборот. Поэтому число
необходимых связей (1+3) и число дополнительных связей (2+4)
останется приблизительно прежним. Еще большим постоянством
обладает число сложных связей (1+2+3+4). Именно по этой причине
роль понятий в образовании межпонятийных связей мы оценивали
прежде всего по их роли в образовании сложных связей (1+2+3+4).
Для простоты и наглядности: а) на рисунках изображены связи
только одного понятия: на рис.2 - понятия № 25 «скорость
равномерного прямолинейного движения», на рис.3 - понятия №
59 «сосредоточение силы»; б) в левой колонке каждой матрицы
указаны только понятия, связанные с анализируемым понятием; в)
на рис.3 для части понятий указаны только номера. Перечень этих
понятий дан на рис.4.
Отметим, что некоторые выводы относительно
целесообразности и последовательности введения тех или иных
понятий могут быть сделаны уже на этапе фиксации связей. Иногда
эти выводы могут оказаться решающими, например, если выявлено
отсутствие в учебниках необходимых связей.
Преимущества матричного метода.
Прежде всего отметим, что предлагаемый нами матричный
метод дал возможность относительно быстро и надежно выполнить
крайне трудоемкую и кропотливую работу по установлению связей
между понятиями, оценке их роли в учебнике и в теоретическом
курсе более высокого порядка, позволил, наконец, осуществить
дифференцированный отбор понятий. Ни один из испытанных
нами методов исследования (другие варианты матричного анализа,
метод граф, метод составления структурных формул и др.) не
позволял выполнить исследование столь большого объема -
проанализировать понятийный аппарат целого курса.
Четвертый этап. Численная и качественная оценка понятий по
важности для построения учебного курса, предварительное
разграничение их на общие и частные.
Приводим ряд выводов, сделанных на основании
сопоставительного анализа.
1.Считалось бесспорным, что, законы играют главную роль
в образовании связей между понятиями и, как следствие

11. этого, выделение важнейших понятий нередко считалось
излишним. Между тем исследование показало, что роль
законов в образовании межпонятийных связей не всегда
бывает наибольшей.
2.Число связей в матрице по теоретической механике
оказалось больше числа связей в матрице по школьному
учебнику в среднем в 1,85 раза (необходимых - в 1,2 раза,
дополнительных - в 2,5).
Аналогичная картина наблюдается и при сравнении средних
баллов. Такое различие можно, по-видимому, объяснить тремя
причинами:
а) отсутствием в школьном учебнике ряда важных
связующих понятий («распределенные силы», «сосредоточенные
силы», «активные и пассивные силы» и др.);
б) недостаточным вниманием, проявленным в учебнике к
логическим связям между понятиями;
в) различием в общем количестве используемых понятий:
число понятий, включенных в учебник, но отсутствующих в
понятийном каркасе теоретической механики, ровно 40, тогда как
понятий из курса теоретической механики, не включенных в
учебник, - 66.
3. Наиболее важную роль в образовании сложных связей
(1+2+3+4) играют следующие понятия, расположенные в
порядке уменьшения их удельного веса:
а) «движение в механике». Это единственное понятие,
число связей которого равно 136 (в матрице, составленной по
учебнику, вводится более узкое понятие - «механическое
движение»), в то время как число связей
следующих по значению понятий гораздо меньше;
б) «второй закон Ньютона», «ускорение».
- В матрице по теоретической механике зафиксировано 75
связей «второго закона Ньютона», в матрице по учебнику - 66
связей понятия «ускорение»;
в) «сосредоточенная сила»;
г) «сила как причина изменения скорости», «сила как
векторная
величина»;
д) «закон сохранения энергии в общем виде»;
е) «инерциальная система отсчета».

12. Пятый этап. Повторная, более объемная оценка
каждого структурного элемента курса:
-сравнение понятий одного логического уровня, учет
специфичности последних в теоретической и физической
механике;
-оценка конструктивной роли элементов для
последовательного построения курса под углом соблюдения
дидактических принципов, особо критериев оптимизации и
учета личного опыта;
-окончательное разграничение понятий на общие и частные
и составление перечня базовых понятий для различных
профильных классов.
Ниже приводим указанный перечень.
БАЗОВЫЕ СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ КУРСА
А.М. Кливасов, А.А. Сенкевич
НИИ развития образования
1. Понятия кинематики
1. Пространство. 2. Время. 3. Международная система единиц
(СИ). 4. Материя и её изменения в пространстве. 5. Движение в
механике. 6. Материальная точка. 7. Относительность движения.
8. Тело отсчёта. 9. Инерциальная система отсчёта.
Для углублённого изучения: Абсолютная, относительная и
переносная скорости. Сложное движение точки.
10. Система координат. 11. Уравнения движения. 12. Прямая задача
теоретической механики. 13. Траектория. 14. Путь.
15. Перемещение как векторная величина. 16. Линейная скорость
точки как векторная величина. 17. График скорости. 18. Средняя
путевая скорость. 19. Линейное ускорение как векторная величина.
20. Равномерное движение тела по окружности. 21.Угловая
скорость.
Для углублённого изучения: Угловое ускорение. Уравнение
равнопеременного движения тела по окружности.
22. Центростремительное ускорение. 23. Поступательное
движение твердого тела.

13. Для углублённого изучения: Степень свободы. Шесть степеней
свободы твердого тела. Сложное движение тела.
2. Понятия динамики.
25. Уравновешивание (компенсация) действия сил.
26. ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА.
27. Инертность. 28. Сила - причина ускорения. 29. Силы в
механике. 30. Закон упругой силы: F= - kх1
Для углублённого изучения: Колебательное движение.
31. Закон трения. 32. Распределённые силы.
33. Сосредоточенные силы.
34. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА:
35. Момент силы.
Для углублённого изучения. Момент силы как причина углового
ускорения. Момент инерции - мера инертности при вращательном
движении.
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА ДЛЯ ВРАЩАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ.
36. Сила - причина изменения направления скорости.
37. ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА.
38. Активные и пассивные силы.
Для углублённого изучения: Связи. Возможные перемещения.
Силы реакции. Абсолютно твердое тело. Свойство сил,
действующих на абсолютно твердое тело.
ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ.
39. Сила тяжести. Движение под действием силы тяжести по
круговой орбите.
Для углублённого изучения: Природа невесомости. Вторая и
третья космические скорости. Ускорение свободного падения на
других планетах.
ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА.
42. Неинерциальные системы отсчёта.
Для углублённого изучения: Силы инерции. Эквивалентность
гравитационных сил и сил инерции. Рассмотрение силы веса в
инерциальных и неинерциальных системах отсчёта.
43. Равновесие тел. 44. Деформация. 45. Упругие напряжения
внутри тела.
46. ЗАКОН ГУКА.
3. Понятия по разделу "Законы сохранения".
1
В дальнейшем написание формул опускается.

14. 47. Импульс тела - количество движения. 48. Система тел.
49. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА В ЗАМКНУТОЙ
СИСТЕМЕ.
Для углублённого изучения: Движение относительно центра
масс. Реактивная сила. Движение тел переменной массы. Уравнение
Мещерского (без вывода).
50. Механическая работа. 51. Мощность.
Для углублённого изучения: Связь между моментом силы и
работой. Момент импульса.
ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА.
52. Энергия.
Для углублённого изучения: ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
ПРИ РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
ПО ОКРУЖНОСТИ.
53. Кинетическая энергия тела и системы тел.
Для углублённого изучения: Вывод формулы. Кинетическая
энергия при сложном движении.
54. Потенциальная энергия.
Для углублённого изучения: Случаи зависимости и
независимости работы от формы траектории. Потенциальное поле.
55. ЗАКОН СОХРЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В МЕХАНИКЕ.
56. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ В
ОБЩЕМ ВИДЕ.
Для углублённого изучения: Применение законов сохранения к
столкновению тел, центральный удар, косой удар, неупругий удар.
Тема для повторения и закрепления:
Особенности движения жидкостей и газов.
Частные понятия 1
Ниже приводится перечень частных понятий. Большинство из
них использовалось в курсах природоведения, математики и
физики VI - VII классов. Часть этих понятий встречается в VIII
классе впервые, но они, как правило, формируются на основании
главных, базовых понятий.
1
Следует особо подчеркнуть тот установленный в результате
исследования факт, что введение новых частных понятий не всегда
увеличивает нагрузку на учащихся. Всё дело в той цели, для которой
вводится понятие. Если частное понятие вводится для уточнения,

15. углубления и закрепления базовых понятий, то оно работает на
усвоение курса, облегчает это усвоение.
В перечне после номера базового понятия (без указания его
названия) перечисляются опирающиеся на него частные понятия.
I. Частные понятия кинематики.
1. Трёхмерное пространство. Единицы длины. Эталон длины.
2. Единицы времени. Эталон времени. Непрерывность времени.
3. Основные единицы. Производные единицы. 6. Геометрическая
точка. 9. Относительность механического движения. Покой -
частный случай движения. 10. Начало отсчёта. Координатная ось.
Положение точки в пространстве. Координата тела. Проекция
вектора на ось. 13. Прямолинейное движение. Криволинейное
движение. 14. Непрерывность пути. 15. Модуль перемещения.
Сложение перемещений. 16. Модуль скорости. Единица модуля
скорости. Мгновенная скорость. Непрерывность скорости.
Равномерное движение. Равномерное перемещение по прямой.
Перемещение при равномерном движении. Сложение скоростей.
Равномерное движение по кривой. Уравнения равномерного
прямолинейного движения. 17. График скорости при равномерном
движении. 19. Модуль ускорения. Единица модуля ускорения.
Ускорения в прямолинейном движении. Ускорение в
криволинейном движении. Ускорения свободного падения.
Равнопеременное движение. Ускоренное движение. Замедленное
движение. Уравнения равнопеременного движения. График
скорости при равнопеременном движении. 20. Период вращения.
Частота вращения. 21. Угол поворота радиуса - вектора - угловое
перемещение тела. Радиан. Единица угловой скорости. 24. Ось
вращения.
II. Частные понятия динамики
57. Сила - векторная величина. Равнодействующая сила.
26. Инерциальное движение. Инерция. Инерциальные системы
отсчёта. Равноправность инерциальных систем отсчёта. 27. Масса
как мера инертности. Плотность. Эталон массы и единица массы.
28. Ускорение тела или его частей - следствие влияния других тел.
29. Единица силы. Гравитационные силы. Электромагнитные силы:
силы упругости и силы трения. Независимость действия сил.
30. Абсолютное удлинение. Жесткость. Возвращающая сила.
31. Сила нормального давления. Коэффициент трения. Трение
скольжения, качения, покоя. Вязкое трение. Сила сопротивления

16. движению. 32. Сила давления. 33. Точка приложения силы.
Сложение сил. Составляющие силы. 34. Ньютон. т -
количественная мера инертности. Р - равнодействующая всех
приложенных к телу сил. Принцип относительности Галилея.
Обратная задача механики. 35. Плечо силы. Момент пары сил.
Сложение моментов сил. 36. Сила причина центростремительного
ускорения. Центростремительная сила и её природа. 37. Линия
действия сил. 38. Одновременность возникновения действия сил.
39. Гравитационная постоянная. Масса как мера гравитационных
свойств тела. 40. Свободное падение. Ускорение свободного
падения. Независимость свободного падения от массы. Вес тела.
Невесомость и перегрузка. 41. Первая космическая скорость.
43. Условие равновесия. Виды равновесия. Центр тяжести (масс).
44. Виды деформаций. Абсолютная и относительная деформации.
Возникновение упругих сил как результат деформаций. 45.
Натяжение. Сила натяжения. Напряжение. Давление. 46. Модуль
Юнга. Коэффициент жесткости
III. Частные понятия по разделу "Законы сохранения "
47. Изменение импульса. 48. Внешние и внутренние силы.
Замкнутая система. Масса системы тел. Центр масс. Импульс
системы тел. 49. Скорость центра масс. Реактивное движение.
Абсолютно неупругий удар. 50. Работа силы. Единица работы.
Положительная и отрицательная работа. Работа сил трения,
упругости, тяжести. 51. Единица мощности. Мощность при
равномерном движении. 52. Кинетическая энергия. Потенциальная
энергия. Единица энергии. 53. Связь изменения кинетической
энергии с работой. Абсолютно упругий удар. 54. Уровень отсчёта.
Связь изменения потенциальной энергии с работой. Полная
механическая энергия. Консервативные системы. Золотое правило
механики. Нарушение данного закона в случае действия сил трения.
56. Связь с законом сохранения энергии в механике. Потеря
энергии. Другие формы энергии. Машина. Генератор. К.п.д.
превращения энергии. Невозможность создания вечного двигателя.
57. Движение жидкостей и газов - движение сплошной среды.
Текучесть. Элемент объёма. Плотность как масса элемента объёма.
Вязкое трение. Гидростатика. Равномерное движение под
действием перепада давления. Зависимость силы трения от
скорости. Уравнение неразрывности струи; закон сохранения
массы. Частный вид второго закона Ньютона. Статическое

17. давление как плотность потенциальной энергии упругого
взаимодействия частей сплошной среды в расчёте на единицу
объёма. Гидростатическое давление как плотность потенциальной
энергии упругого взаимодействия частей сплошной среды в расчёте
на единицу объёма. Давление, обусловленное скоростью жидкости
как плотность кинетической энергии в расчёте на единицу объёма.
Полное давление. Уравнение Бернулли;
ЗАКОН БЕРНУЛЛИ
Силы, действующие на тела, движущиеся в жидкости.
Гидравлический удар. Вихревое движение.
ОБЩИЙ МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ ОСНОВ ЗНАНИЙ
УЧАЩИХСЯ ПО ПРЕДМЕТАМ БАЗОВОГО СРЕДНЕГО
ОБРАЗОВАНИЯ
А.М. Кливасов
НИИ развития образования
Анализируемый ниже метод – метод формирования знаний об
окружающем мире через выделение неизменных во времени,
постоянных характеристик различных явлений природы –
относится ко всем типам учебных заведений, независимо от
ступени познания окружающего мира учащимися. К данному
методу продуктивно прибегают многие ученые и специалисты по
любому предмету, т.к. он естественным образом, нередко
подсознательно, вписывается в их творческую деятельность.
Практика убедительно показала, что именно этот метод
должен быть в первую очередь положен в основу обязательных
требований изложения материала в учебниках. Значимость
указанного метода будет проанализирована на примере
эффективного использования постоянной для всех идеальных газов
PV PV
величины = const или = kT , (1)
N N
Где Р – давление газа, V – объем газа, N – число молекул в
нем, T – температура по Кельвину, k – постоянная Больцмана.
Сначала кратко напомним, что понимают физики под
явлением.

18. Явление – любое изменение, являющееся следствием
нарушения устойчивого равновесия между физическими
объектами.
Как же можно осознать, познать изменение – понять природу
того, что изменяется в пространстве и времени? Можем ли мы в
этом случае оценивать по существу явления, если они по самому
определению являются изменениями в природе?
Давайте вместе с учащимися постараемся ответить на более
простой, незамысловатый вопрос: когда можно вполне определенно
назвать цвет поверхности классной доски или цвет любого
окружающего предмета, если вы уже знакомы с цветами и для
ответа вам совсем не следует прибегать к раскрытию природы их
возникновения. В такой постановке ответ на поставленный вопрос
напрашивается сам собой следующий: за время наблюдения цвета
он должен оставаться постоянным – одним и тем же, то есть цвет
не должен меняться на ваших глазах.
Не изменяющиеся характеристики любой науки играют
особую и весомую роль. Без их усвоения качественное
целенаправленное продвижение в познании прогрессировать не
будет – оно тормозится.
Всевозможные изменения в многоликом мире не являются
изменениями всего. Что-то остается неизменным.
Оказывается, при определенных условиях остаются
неизменными почерки каждого явления и их сосредоточенное лицо,
выражение которого одновременно отвечает совокупности
родственных явлений. Физики говорят иначе: «Остается
неизменным подчинение при определенных условиях отдельных
явлений устойчивым реальным закономерностям и объективным
фундаментальным законам, дающим возможность грамотно
подойти к объяснению родственных явлений с единой обобщенной
точки зрения, их объяснению не только снизу, но и сверху».
В связи с этим, крайне полезно с самого начала с указанием
границ использования уравнения (1) специально акцентировать
внимание учащихся на эффективности его использования для
большого ряда разнообразных целей в качестве исходного
уравнения в силу постоянства отношения для всех идеальных газов.
Например, для
1) установления естественной меры температуры, величины
строго постоянной при установлении теплового равновесия

19. в любой части изолированной (не взаимодействующей с
другими телами) системе тел.
Примечание. Следует обратить внимание учащихся на тот
факт, что прекращение изменения давления во всех идеальных
газах при наступлении теплового равновесия совсем не означает,
что давление в них будет одинаковым. Такое толкование является
ошибочным.
Любой параметр P, V, N, входящий в уравнение (1), при
установлении равновесия может изменяться, кроме величины,
измеряемой отношением произведения давления газа на его объём
PV
к числу частиц в нём: = const . Последний факт многочисленное
N
число раз проверялся и неоднократно экспериментально
подтверждался.
Конечно, в отличие от давления и объёма, число молекул
определить непосредственно экспериментальным путём не
представляется возможным. Указанное число легко определить,
используя уравнение (2),
N = ν NA = (m/M)NA = (ρV/M) NA (2)
то есть, зная количество вещества ν и постоянную Авогадро
NA, или зная массу газа m, постоянную Авогадро NA и молярную
массу M, или зная плотность вещества ρ , его объём и постоянную
Авогадро NA;
2) Для введения абсолютной (только положительной)
температурной шкалы (в градусах), не зависящей от вещества,
используемого для измерения температуры (через параметры
идеального газа).
Нулевая температура по абсолютной шкале соответствует
абсолютному нулю, а каждая единица температуры по этой шкале
кельвин ничем не отличается от градуса Цельсия;
3) Установления связи между основным уравнением
молекулярно – кинетической теории идеального газа:
1 1 N m <ϑ2 > 2
P = nmo < ϑ 2 >= ⋅ ⋅ o ⋅2 = n < E >
3 3 V 2 3
PV
и уравнением состояния: = kT и на основании этого
N
формулирование важнейшего следствия о том, что абсолютная

20. температура есть мера средней кинетической энергии движения
молекул.
Поскольку кинетическая энергия положительна, то
абсолютная температура, действительно, всегда положительна и
3
отсчитывается только выше нуля. 2
k- есть соотношение между
3
джоулем и градусом. Численно k = 2,07 ⋅ 10 − 23 Дж / 0 С 2.
2
Подчеркнём ещё раз, что соотношение между температурой и
средней кинетической энергией установлено для разреженных
газов, но оно оказывается справедливым для любых веществ, у
которых движение атомов или молекул подчиняется законам
механики Ньютона. Оно верно для жидкостей, а также и для
твёрдых тел, в которых атомы могут лишь колебаться возле
положения равновесия в узлах кристаллической решётки. С точки
зрения молекулярно-кинетической теории понятие температуры
оказывается справедливым только для тел в обычном понимании
этого слова, то есть для тел, состоящих из атомов, молекул, ионов.
Как ни странно, исходное уравнение состояния (1), в отличие
3
от уравнения 〈 E〉 = kT , является более частным – оно строго
2
справедливо только для идеальных газов, поэтому использовать
данное уравнение не всегда уместно. Например, при подсчёте числа
молекул в любом веществе. Тем не менее, крайне полезно обратить
внимание на тот факт, что только при рассмотрении процессов,
происходящих с газами, рассматриваемое уравнение играет такую
же роль, какую играют законы Ньютона при изучении движения
PV
тел. Постоянство отношения N
реально продиктовано самой
природой всех идеальных газов – независимо от их молекулярной
массы;
4) Установления зависимости давления газа от концентрации
PV N
его молекул n= N/V и температуры Т: = kT , отсюда P= kT = nkT
N V
;
m
5) Вывода уравнения Менделеева-Клапейрона PV = RT :
M
2
Традиционно принято сохранять множитель 3/2, а не 1,5, и
его не перемножать с другим числом 1,38 10-23.

21. PV m m
= kT , отсюда PV = NkT = ( kN A )T ,
RT PV = , где R = kN A .
N M M
По сути, выражение произведения PV
через количество
вещества ν, число Авогадро NA и через произведение kT - это
вторая форма записи уравнения состояния (1), а его выражение
через массу газа m, молярную массу М и через произведение RT -
есть третья форма записи уравнения состояния;
6) Для вывода уравнения Клапейрона, из которого вытекает
связь трех макроскопических параметров идеального газа P,V,T для
P1V1 P2V2
двух любых его состояний: = .
T1 T2
Для одной и той же массы данного газа можно записать:
P1V1 P1V1
= kT1 , отсюда = kN1
N1 T1
P2V2 P2V2
= kT2 , отсюда = kN 2 .
N2 T2
P1V1 P2V2
При неизменном числе молекул ( N 1 = N 2 ) получаем: = .
T1 T2
По сути, это четвертая форма записи уравнения состояния;
7) Вывода закона Бойля-Мариотта: PV = const при T = const
m
(изотермический процесс) и ν1= ν2 = ν= M . Формула данного
закона легко выводится из уравнения Менделеева-Клапейрона или
уравнения Клапейрона:
m
P1V1 = RT = const
M
m
P2V2 = RT = const
M
P1V1 P2V2
или из T = T следует P1V1 = P2V2 = const при T = const ;
1 2
V
8) Вывода закона Гей-Люссака: = const при P = const
T
(изобарический процесс). Формула закона Гей-Люссака по-
прежнему также легко выводится из указанной ранее в
предыдущем пункте системы уравнений при P = const ;
P
9) Вывода закона Шарля: = const при V = const (изохорный
T
процесс).
Формула закона Шарля также легко выводится из прежней
системы уравнений (см.п.7) при V = const ;

22. 10) Вывода закона Авогадро для идеальных газов: в равных
kT
объемах N 1 = N 2 = N 3 = ... = = const ;
pV
11) Вывода закона Дальтона для смеси газов в объеме V:
P = P1 + P2 + P3 + ... + Pn .
В соответствии с особенностью агрегатного состояния каждый
газ самопроизвольно распространяется на весь объем V, поэтому
V1 = V2 = V3 = ... = Vn = V .
Используя, как и ранее, уравнение (1), запишем для каждого
N1 N N N
газа их давления: V
= kT1 = P1 , 2 kT2 = P2 , 3 kT3 = P3 , … n kTn = Pn .
V V V
В случае теплового равновесия T1 = T2 = ... = Tn = T .
Сложив почленно левые и правые члены, получим:
kT
( N 1 + N 2 + N 3 + ... + N n ) = P1 + P2 + P3 + ... + Pn ,
V
kT n n n
⋅ ∑ N i = ∑ Pi , где ∑ N i - суммарное, общее число молекул в
V i =1 i =1 i =1
n
газе, а ∑ Pi - сумма парциальных давлений в смеси газов.
i =1
Следовательно, в случае теплового равновесия, давление
смеси газов равно сумме парциальных давлений каждого из газов;
12) Для иллюстрации возможности введения общего,
значимого понятия на основании явно частного уравнения. В
нашем случае – использование исходного уравнения состояния
идеальных газов (1) для введения широкого понятия температуры –
однозначной, определенной характеристики полного теплового
равновесия между различными телами изолированной системы.
Между прочим, в физике такой прием не является единственным,
уникальным исключением.
Уточним, что понятие температуры вообще не ограничивается
ее определением с точки зрения молекулярно-кинетической теории.
В ней она формируется, как отмечалось ранее, мерой средней
кинетической энергии молекул. Последняя не зависит ни от сорта
идеальных газов, ни от их объема и давления, ни от числа молекул
в них, ни от формы резервуара с ними.
С точки зрения термодинамики понятие температуры имеет
еще более общий смысл. Это понятие применимо не только для
систем макроскопических тел. Она по-прежнему является
энергетической характеристикой и одновременно показателем
полного теплового равновесия среды, степени ее нагретости.

23. В указанной трактовке понятие имеет тенденцию к его
интерпретации на более широкий круг различных равновесных
явлений. В результате оно оказывается приемлемым не только к
телам в обычном их смысле, но и к другим средам. Например, к
электронному газу, электромагнитному излучению (фотонному
газу), атомным ядрам и т.д., также находящимся в тепловом
равновесии, т.е. когда сколько энергии излучается изнутри среды,
столько и поглощается извне, и наоборот.
Примеры эффективного использования уравнения состояния
(1) можно творчески продолжить. Для иллюстрации последнего в
данной статье ограничимся приведенными выше примерами. По
объективной причине перегрузка методических статей и пособий
учебным материалом непрямого назначения снижает их основную
учебную ценность, если этот материал не вызывает у учащегося
устойчивого интереса. Искусственно, без предварительного
продумывания поспешно включать в программный материал
дополнения явно преждевременно, даже если их физическая суть и
очень ценна по содержанию. Последнее мало приемлемо даже при
изложении вопросов чисто теоретической физики.
Практика убеждает, что с точки зрения методики обучения
дополнительная информация всегда нуждается в тщательном
просеивании не только по уровню ценности ее содержания, но и по
перспективе усиления интереса и степени учета возможностей
усвоения отобранного материала конкретной категорией учащихся.
По этой причине в данной статье «Примечания» и «Замечания»
делаются не столько для расширения знаний, сколько для их
углубления с целью повышения интереса к изучению материала.
Методы измерения температуры.
Замечание: При наличии свободного времени, например, на
дополнительных занятиях, полезно более обстоятельно
остановиться на методах измерения температуры.
Заметим, что температура не может быть измерена
непосредственно. Об изменении температуры судят по изменению
других удобных для измерения физических свойств (на практике,
чаще всего, объема ртути или спирта за счет их теплового
расширения, давления газа, электрического сопротивления
проводников и полупроводников, э.д.с., интенсивности излучения,
скорости звука и др.), однозначно с ней связанных, по изменению
так называемых термодинамических свойств. При этом любой

24. метод измерения температуры связан с определением
температурной шкалы.
На практике все термометры, такие как ртутные, спиртовые,
термометры сопротивления, термопары и т.п. градуируются с
помощью газового термометра, который служит, таким образом,
эталонным прибором. В баллоне этого термометра в качестве
термометрического тела берется водород. Этот выбор не случаен.
Оказывается, что показания водородного термометра точнее, чем
газового термометра, баллон которого заполнен любым другим
газом. Показания указанного термометра ближе к показаниям,
которые дал бы газовый термометр с идеальным газом.
При абсолютном нуле теряет смысл понятие идеального газа,
он вырождается (соотношение P = nkT оказывается
несправедливым и соответственно использовать газовый термометр
не имеет смысла).
Методы измерения температуры различны для разных
диапазонов измеряемых температур, они зависят от условий
измерений и требуемой, диктуемой точности. Их можно разделить
на две основные группы методов: контактные (именно
термометрия) и бесконтактные, оптические (термометрия
излучения или пирометрия).
К сожалению, авторы школьных учебников и абсолютное
большинство учителей указывают лишь контактные методы
измерения температуры. В результате у учащихся создается
ошибочное представление о том, что температура измеряется
только контактными методами, для которых характерно то, что
прибор, измеряющий температуру среды, должен находиться с ней
в тепловом равновесии, т.е. иметь с ней одинаковую температуру.
Для учащихся остается совершенно непонятным вопрос о том,
как же проводится измерение высоких температур, при которых
современные чувствительные элементы термометров существовать
не могут3, а также как измеряется температура в удаленных,
неконтактных с термометром средах. В связи с этим, учащимся
уместно сообщить о том, что с помощью пирометров – приборов
для измерения температуры непрозрачных нагретых тел по
интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне
3
При температурах более 3000оС методы пирометрии
становятся практически единственными методами измерения
температуры.

25. спектра - можно определить температуру недоступных тел,
например, поверхности звезд.
Подводя итог кратким сведениям о бесконтактных методах,
подчеркнем, что почти все они основаны на измерении
интенсивности теплового излучения тел (иногда - поглощения).
В заключение отметим, что понятием температуры люди
пользовались задолго до выяснения истинного смысла
температуры. Исторически ее начали измерять в градусах.
Последнее связано еще и с тем, что порядок измерения
температуры в энергетических единицах очень малая величина –
порядка 10-21 в системе СИ.
В принципе, величину равную для всех идеальных газов
PV
отношению =θ можно было бы с самого начала считать
N
температурой в энергетических единицах. Опыты подтверждают,
что значение θ зависит от состояния нагрева и для идеальных газов
не зависит ни от сорта газа (их молярных масс), ни от объема
резервуара и давления газа в нем, а также от числа частиц в нем и
формы резервуара.
С помощью термометра был открыт важный закон природы –
закон теплового равновесия.4 Состоит он в следующем: Если в
изолированной (не взаимодействующая с другими телами) системе
тел, температуры тел в какой-то момент времени различны, то
через некоторое время их температуры станут одинаковыми,
автоматически самопроизвольно выравниваются во всех частях
сколь угодно сложной термодинамической системы. О такой
системе говорят, что она находится в состоянии теплового
равновесия. После установления теплового равновесия
температуры тел уже изменяться не будут. Изменяться они могут
лишь в результате внешнего воздействия.
С тепловым равновесием так или иначе связано само
измерение температуры.
Перспективность использования метода.
Опираясь на непосредственный опыт работы в школе, кратко
подчеркнем перспективность использования анализируемого
метода с целью познания явлений природы.
По существу, постоянными характеристиками мы не
игнорировали с первых шагов познания окружающего мира,
4
См. «Физика-10» А.К. Кикоин и др. М.1992,с.23-24.

26. вначале подсознательно, затем анализировали их, стараясь дать им
обоснованные определения.
Конечно, постоянные характеристики относятся не только к
явлениям природы, но и к отдельным веществам, телам, системам и
т.п. Так, например, на первой ступени изучения физики вводится
постоянная величина, характеризующая различные вещества –
m
плотность: ρ= , где m – масса тел, V – их объем могут меняться,
V
но их отношение для данного вещества (алюминия, железа,
серебра, золота, ртути и т.д.) остается постоянным. Именно
благодаря этой особенности для подобных величин составляются
специальные таблицы и не только в физике.
Приведем еще примеры. Для решения основной прямой
задачи механики: определения положения тел (их координат) при
равномерном движении вводилась постоянная величина – скорость
равномерного движения; при равнопеременном движении –
постоянное ускорение. Для характеристики других явлений
вводился ряд других специфических постоянных.
Подводя итог изложенному, заметим, что для осознания,
познания прозрачности объективного мира, различных явлений в
нем еще раз подчеркиваем: введение и выделение постоянных
характеристик просто необходимо. Интересно, что изменение
физических констант, именуемых универсальными, диктуются
изменениями целых галактик. В этом случае, мы вынуждены будем
прибегать к формированию иных представлений путем введения
новых констант.
Физические закономерности и законы.
Физика отличается от других наук тем, что при изучении
свойств всего, что реально существует в мире, на Земле и вне
Земли, вводятся физические величины, которые можно измерять и
выражать числами. Поэтому и ход явлений, и связи между ними
выражаются математическими формулами (соотношениями между
введенными величинами).
К сожалению, самые важные соотношения между величинами,
характеризующими свойства реального мира - свойства материи,
нередко именуют физическими законами.
Конечно, указанные соотношения отражают в первом
приближении закономерности и законы реальных явлений
природы. Но всего лишь отражают, а не являются ими.

27. Формирование физических величин, установление связи между
ними, анализ этих связей зависят от нашего сознания, а физические
закономерности и законы - нет, они реальны, т. к. последние не
определяются нашим сознанием, а диктуются при определённых
условиях стандартами самой природы. При этом
саморегулирование может быть очень сложным. Так, например,
факты убедительно доказывают существование на Земле
естественного природного ядерного реактора – устройства
(атомного котла), в котором осуществляется управляемая ядерная
цепная реакция, сопровождающаяся выделением энергии.
Справка. В начале 70-х годов двадцатого столетия на
урановом руднике Окло, расположенном в Габоне вблизи города
Франсфиля (Африка), были обнаружены следы действия около
двух миллиардов лет назад природного ядерного реактора. Средняя
продолжительность работы этого реактора составила 0,6 млн. лет.
Выработанное им общее количество энергии по оценкам
сегодняшнего дня составляло столько, сколько вырабатывают два
блока Ленинградской АЭС за 2,3 года при полной нагрузке. Чтобы
продолжительность работы реактора была столь большой,
необходимо было автоматическое воспроизводство «сгоревшего»
урана. Всю «автоматику» работы реактора обеспечивала сама
природа.
Образно говоря, физический закон является не
умозрительным, а природным стандартом процесса
саморегулирования обширного круга родственных явлений и
соответственно теоретического толкования и объяснения их
частных закономерностей с единой точки зрения.
Закономерность также является природным стандартом
процесса саморегулирования явлений, но, в отличие от законов,
более частным.
Законы физики исторически назывались законами природы. С
самого начала они открывались и сейчас открываются не
умозрительным, а строго только опытным путём, хотя
теоретический анализ и составление физических величин при этом
безусловно имеют место. Любое предсказание теории должно быть
подтверждено опытом. Так, первоначально опытным путём
устанавливались рассмотренные выше все газовые законы. В
настоящее время эти «законы» легко получаются как следствия из

28. общих уравнений. Традиционно они по-прежнему исторически
справедливо называются законами.
Любой стандарт обладает устойчивым постоянством, поэтому
подобно тому, как природа выбирает стандарт саморегулирования
явлений, так и человек должен стремиться к выбору столь же
эффективных и устойчивых стандартов образования.
МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ В КУРСЕ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
К.Н. Лунгу
Московский государственный открытый университет
1. Метод неопределенных коэффициентов в самом простом
виде проявляется в арифметике при определении неизвестного
члена (коэффициента) пропорции: если А:Х=С:Д, то Х=АД:С.
Дальнейшее развитие метода «неопределенных коэффициентов»
происходит во всех разделах школьной и высшей математики, а
также во многих естественных и технических науках. Цель данной
статьи состоит в частичной систематизации применения этого
метода в элементарной и высшей математики. При этом, в
некоторых случаях он имеет существенное преимущество перед
приемами специально разработанными для решения тех или иных
задач. Для самих студентов этот метод представляет собой важный
элемент творческой деятельности, поскольку он позволяет
получить собственные «открытия», реализуя результаты
собственных наблюдений, поисков и выводов. Метод
неопределенных коэффициентов появляется в высшей математике
как способ разложения правильной рациональной функции в виде
суммы простейших дробей. Далее, этим приемом «подбирают»
частное решение неоднородного линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами.
2. Покажем для начала, как учащиеся (студенты) могут найти
корни квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 . Ясно, что можно
ограничиться случаем приведенного уравнения x 2 + px + q = 0 . Если
исходное уравнением имеет два корня x1 и x2 , (подчеркнем, что
речь идет не о новом методе решения квадратного уравнения, а о

29. «собственных открытиях» учащихся старших классов или
слушателей подготовительных отделений или курсов), то:
x 2 + px + q = ( x − x1 ) ⋅ ( x − x2 ) = x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 .
Из сравнения правой и левой частей следует, что
 x1 + x 2 = − p,  x1 + 2 x1 ⋅ x 2 + x2 = p 2 , ( x1 − x2 ) 2 = p 2 − 4q

2 2

 ⇒ ⇒ .
 x1 ⋅ x2 = q, 4 x1 ⋅ x2 = 4q,
  x1 + x2 = − p.

После извлечения квадратного корня из первого равенства
последней системы (при условии положительности правой части),
получаем (при условии неотрицательности правой части первого
равенства):
 x − x = ± p 2 − 4q ,
 1 2

 x1 + x2 = − p.

Последующее сложение или вычитание соответствующих
уравнений этой системы и согласования знаков перед радикалом
приводит к известным формулам решения квадратного уравнения.
Из равенства p 2 − 4q = 0 очевидным образом получаем
p
x1 = x2 = − .
2
3. Эффективен метод неопределенных коэффициентов при
делении многочленов, заменяя известный прием деления в столбик.
В качестве примера отметим лишь, что деление многочлена
Pn ( x) = 6 x 5 − 7 x 4 + 11x 3 − 2 x 2 − 3x + 4 на многочлен Qm ( x) = 3 x 3 − 2 x 2 + 2
сводится к нахождению «неопределенных» коэффициентов А, В, С,
Д, Е и F из равенства
6 x 5 − 7 x 4 + 11x 3 − 2 x 2 − 3x + 4 =
(3x 3 − 2 x 2 + 2) ⋅ ( Ax 2 + Bx + C ) + Dx 2 + Ex + F .
В разделе «Построение графиков» методом неопределенных
коэффициентов легко найти наклонную асимптоту графика
функции, не прибегая к вычислению параметров асимптоты при
помощи пределов.
4. Известно, что доказательство некоторых равенств,
относящихся к сумме степеней натуральных чисел можно
осуществить при помощи метода математической индукции. Этим
способом можно доказать, например, равенства:
n(n + 1)
S 1 =1 + 2 + 3 + ... + n = ;
2

30. n( n + 1)(2n + 1)
S 2 = 12 + 2 2 + 32 + ... + n 2 = ;
6
n 2 ( n + 1) 2
S3 = 13 + 23 + 33 + ... + n 3 = ;
4
n ( n + 1)(2n + 1) (3n 2 + 3n − 1)
S 4 =14 + 2 4 + 34 + ... + n 4 =
30
Но метод математической индукции, не позволяет установить
правую часть каждого равенства. Метод неопределенных
коэффициентов позволяет решить подобные задачи. Покажем
действие метода на конкретном примере.
Методом неопределенных коэффициентов найдем, например,
сумму:
S =1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n ( n + 1) .
Существуют числа А, В, С и D такие, что
S =1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n ( n + 1) = An3 + Bn 2 + Cn + D .
Это равенство есть тождество по n. Напишем его частные
случаи:
1) n=1: А + В+ С+ D =2; 2) n=2: 8A+ 4В+2C+ D =
8;
3) n=3: 27А+ 9В +3C+ D= 20; 4) n=4: 64A+16B+4C+ D=
40.
Получена основная система уравнений, из которой: А=1/3 В=1;
С= 2/3; D=0.
n(n + 1)(n + 2)
Тем самым: S =1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n ( n + 1) = .
3
5. Методом неопределенных коэффициентов легко найти
∞ 11n + 3
суммы некоторых рядов. Например. Найдем S= ∑ 3 2
n =1 n + 6n +11n + 6
. Имеем ∫ e kx ⋅ cos bxdx = e kx ( A cos bx + B sin bx) + C
n 1 1 n 1 1 1 1 1 1
Sn = − 4 ∑ ( − ) + 15 ∑ ( − ) =− 4( − ) + 15( − )
k =1 k +1 k + 2 k =1 k +2 k +3 2 n+2 3 n+3
.
Отсюда, переходя к пределу, следует, что S=3.
6. К методу неопределенных коэффициентов можно отнести
задачу определения элементов обратной матрицы A−1 для данной
невырожденной матрицы А. Эта задача сводится к решению n
линейных уравнений с n неизвестными, причем все системы имеют