Solange Zambrano, profile picture
Uploaded bySolange Zambrano
1,497 views

Ojm 2011 problemas y soluciones

Pruebas de las Olimpíadas Juveniles de Matemática en Venezuela, aplicadas a estudiantes de bachillerato en el año 2011. Incluye las soluciones a los problemas.

Embed presentation

Downloaded 138 times
ÇÐ ÑÔ × Å Ø Ñ Ø × ¾¼½½ ´ÇŸ ÇŸ ÇÅ ¸ ÇÁŸ ÁÅǵ ÈÖÓ Ð Ñ × Ý ËÓÐÙ ÓÒ × ÂÓ× À Ö Æ ØÓ Ë Ê Ð Ë Ò Þ Ä ÑÓÒ Ä ÙÖ Î ÐÑ À ÖÖ ÖÓ
Ò Ò Ö Ð ÁÒØÖÓ Ù Ò ½ ½º ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¿ ½º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ½º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¿º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð ¾ ¾º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼ ¾º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½ ¾º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½ ¾º¿º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½ ¾º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾ ¾º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿ ¾º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¾º º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¾º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º ÈÖÙ Ò Ð ¿ ¿º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º¿º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¿º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¿º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
¿º º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ º½º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¿º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÐÙ ÓÒ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö ¿ º½º ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ½ º½º ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ½ º½º ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÐÓ× Ö Ó ×ØÙ ÒØ × ÈÖ Ñ Ó× Ò Ð Ò Ð Æ ÓÒ Ð Ð ÇÂÅ ¾¼½½ ¾
ÁÒØÖÓ Ù Ò Ä × ÇÐ ÑÔ × Å Ø Ñ Ø × ×ÓÒ ÓÑÔ Ø Ò × Ö × ÔÖ Ò Ô ÐÑ ÒØ ¹ Ú Ò × × Ù Ð Ð Ñ ÒØ Ð Ý × ÙÒ Ö º ØÙ ÐÑ ÒØ ×Ø Ø Ú × ÜØ Ò Ó ÔÓÖ ØÓ Ó Ð ÑÙÒ Ó¸ Ó ×Ù Ö Ò Ø Ú Ò Ð ÔÓÔÙÐ Ö Þ Ò Ð × Ñ Ø Ñ Ø × Ý Ò Ð Ø Ò Ú Ò × ÓÒ Ø Ð ÒØÓ Ô Ö Ð ×ØÙ Ó ×Ø Ò º Ð ÔÖ × ÒØ Ð ÖÓ Ö Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÔÖÓÔÙ ×ØÓ× Ò Ð ÇÐ ÑÔ ÂÙÚ Ò Ð Å Ø Ñ Ø ×¸ ÇÂÅ ¾¼½½º Ì Ñ Ò ÔÖ × ÒØ ÑÓ× ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ð × ØÖ × Óѹ Ô Ø Ò × ÒØ ÖÒ ÓÒ Ð × Ð × Ù Ð × × ×Ø ÑÓ× ÙÖ ÒØ ×Ø Ó¸ Ð 52a ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ×¸ ÁÅǸ Ð Ö Ò Ñ×Ø Ö Ñ¸ È × × Ó׸ Ð ½¾ Ð ¾ ÂÙÐ Óº Ä ÁÁÁ ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö ¸ ÇÅ ¸ Ð Ö Ò ÓÐ Ñ ¸ Å Ü Ó¸ Ð ½ Ð ¾ Å ÝÓ Ý Ð ÎÁ ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ×¸ ÇÁŸ Ð Ö Ò Ë Ò ÂÓ× ¸ Ó×Ø Ê ¸ Ð ¾¿ Ë ÔØ Ñ Ö Ð ½ Ç ØÙ Ö º ÙÒ ×Ø × ØÖ × ÓÑÔ Ø Ò × ÒØ ÖÒ ÓÒ ¹ Ð × ÓÒ×Ø Ó× Ü Ñ Ò ×¸ ÔÖ × ÒØ Ó× Ò × ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ ÔÖÙ Ø Ò ¿ ÔÖÓ Ð Ñ × Ý ÐÓ× Ô ÖØ Ô ÒØ × ×ÔÓÒ Ò Ù ØÖÓ ÓÖ × Ý Ñ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ð Ú ÐÓÖ ÔÖ ÙÒØ × ÔÙÒØÓ׸ Ô Ö ÙÒ Ñ Ü ÑÓ ÔÓ× Ð ¾ ÔÙÒØÓ× Ò Ð ÓÑÔ Ø Ò º ÄÓ× Ò ÓÖ × Ö Ò Ñ ÐÐ × ÓÖÓ¸ ÔÐ Ø Ó ÖÓÒ Ý Ñ Ò Ò ÓÒÓÖ ¸ × Ò × ×Ù × ÑÔ Óº Ò ÐÓ× ØÖ × Ú ÒØÓ× ÒÙ ×ØÖÓ× ÐÙÑÒÓ× Ò ÖÓÒ ÔÖ Ñ Ó׺ Ó È Ð ÓÐ Ó ÄÓ× À ÔÓ ÑÔ ØÓ× ÐÓ× ÐØÓ× Å Ö Ò ÒÓ׸ Ò Å Ò Ò ÀÓÒÓÖ Ò Ð ÁÅÇ Ý Å ÐÐ ÖÓÒ Ò Ð ÇÁź ÖÐÓ× Ä Ñ × Ð ÓÐ Ó ÁÒ Ô Ò Ò ÖÕÙ × Ñ ØÓ¸ Ò Å Ò Ò ÀÓÒÓÖ Ò Ð ÁÅǺ ÊÙ ¹ Ñ ÖÝ ÊÓ ×¸ Ð ÓÐ Ó Ú Ò È ×ØÓÖ ÖÕÙ × Ñ ØÓ¸ Ò Å ÐÐ ÔÐ Ø Ò Ð ÇÅ Ý Å Ò Ò ÀÓÒÓÖ Ò Ð ÇÁź Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÖÓ Ð¸ Ð ÓÐ Ó Ë Ò Ä Þ ÖÓ ÙÑ Ò ¸ Ò Å ÐÐ ÖÓÒ Ò Ð ÇÅ Ý Å Ò Ò ÀÓÒÓÖ Ò Ð ÇÁź Ì Ñ Ò Ò ÐÙ ÑÓ× Ò ×Ø Ð ÖÓ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ð ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ ¹ Ø Å ÝÓ¸ ÓÑÔ Ø Ò ÔÓÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÕÙ × ÔÐ ÒØ Ó× Ò Ú Ð × Ô Ö ÐÙÑÒÓ× ÒÓ Ñ ÝÓÖ × ½¿ Ý ½ Ó× Ý Ö Ø Ö ÖÓ Ñ Ö ÒÓº Ö ÑÓ× Ð ÙÒ Ò ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø Ö ÒØ Ò ¸ ÓÖ Ò Þ ÓÖ × ×Ø ÓÑÔ ¹ Ø Ò ¸ ÔÓÖ Ô ÖÑ Ø ÖÒÓ× ÔÙ Ð Ö ÕÙ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ý ×Ù× ×ÓÐÙ ÓÒ ×º Ð Ò Ð Ð Ð ÖÓ Ô Ö Ð Ð ×Ø ÐÙÑÒÓ× Ò ÓÖ × Ò ×Ø ÓÑÔ Ø Ò Ý ÐÓ× ÔÖ Ñ Ó× ÕÙ Ó ØÙÚ ÖÓÒº Ä ÇÂÅ ÓÒ×Ø ØÖ × Ø Ô × Ó ÔÖ٠׺ Ä ÔÖ Ñ Ö ÐÐ × × Ð Ò ÙÖÓ Å ¹
Ø Ñ Ø Ó¸ ÙÒ Ü Ñ Ò ØÖ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ × × Ð Ò × ÑÔÐ ¸ ÕÙ Ù ÔÖ × ÒØ Ó ÔÓÖ º ×ØÙ ÒØ × ÔÖÓÚ Ò ÒØ × ¾½ ×Ø Ó× Ð Ô ×º Ä × ÙÒ Ø Ô Ð ÓÑÔ Ø Ò × Ð ÈÖÙ Ò Ð Ê ÓÒ Ðº Ä Ñ ×Ñ ÓÒ×Ø ÙÒ Ü Ñ Ò Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ × × ÖÖÓÐÐÓ Ý ÓÑÔ Ø Ò ÐÓ× ÐÙÑÒÓ× ÕÙ ÕÙ ÖÓÒ Ù Ó× Ò Ð Þ ÔÓÖ ÒØÓ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ð Ò ÙÖÓ Å Ø Ñ Ø Óº ×Ø ÔÖÙ × ÓÖ Ò Þ Ò ×Ø Ó ÕÙ Ô ÖØ Ô Ò Ð ÇÂÅ Ý ÐÓ× Ò ÓÖ × Ö Ò Ñ ÐÐ × ÓÖÓ¸ ÔÐ Ø Ý ÖÓÒ º Ä Ø Ö Ö Ý ÐØ Ñ × × Ð ÈÖÙ Ò Ð Æ ÓÒ Ð¸ Ò ÐÐ Ô ÖØ Ô Ò ÐÓ× ÐÙÑÒÓ× Ò ÓÖ × Ñ ÐÐ ÓÖÓ Ò Ð ÈÖÙ Ò Ð Ê ÓÒ Ðº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö × Ð ÓÑÔ Ø Ò ÐÓ× ÐÙÑÒÓ× ÔÖ × ÒØ Ò Ð ÔÖÙ Ò ×Ù× ÓÐ Ó׺ Ä ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð Ð ÔÖ × ÒØ Ò ÙÒØÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× ×ØÙ ÒØ × ×Ø Ó¸ Ò ÙÒ × ÔÖ Ú Ñ ÒØ × Ð ÓÒ ÔÓÖ Ð ÓÓÖ Ò ÓÖ ÐÓ Ðº È Ö Ð Ò Ð Æ ÓÒ Ð × Ð Ó ÙÒ × Ý ÐÐ × ÓÖ Ò Þ Ð Ú ÒØÓ¸ Ô ÖÑ Ø Ò Ó ÐÓ× Ô ÖØ Ô ÒØ ×¸ ×Ù× ÔÖÓ ×ÓÖ × Ý Ö ÔÖ × ÒØ ÒØ × ×ØÖ Ö Ð ÞÓ× Ñ ×Ø Ý ÓÑÔ ÖØ Ö ÙÒ ÜÔ Ö Ò Ù Ø Ú ÒÖ ÕÙ ÓÖ º Ä ÈÖÙ Ò Ð Æ ÓÒ Ð ¾¼½½ × Ö Ð Þ Ò Ð ÍÒ Ú Ö¹ × Ë Ñ Ò ÓÐ Ú Ö¸ Ò Ö × Ý Ô ÖØ Ô ÖÓÒ ½¼ ÐÙÑÒÓ× Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ó ½ ×Ø Ó׺ ×Ø Ó Ö ÓÒ×Ø × Ø Ô ØÙÐÓ׸ Ò ÐÓ× ØÖ × ÔÖ Ñ ÖÓ× × ×ØÙ Ò ÐÓ× ÔÖÓ¹ Ð Ñ × Ð ÇŸ Ò Ó ÙÒ Ô ØÙÐÓ × Ð ÓÑÔ Ø Ò º ÄÓ× ÐØ ÑÓ× Ù ØÖÓ Ô ØÙÐÓ× Ú Ö× Ò ×Ó Ö Ð × ÓÑÔ Ø Ò × ÒØ ÖÒ ÓÒ Ð ×º Ò ÐÐÓ× × ÔÖ × ÒØ Ò ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ý ×Ù× ×ÓÐÙ ÓÒ ×º Ð Ò Ð Ð Ð ÖÓ Ò ÐÙ ÑÓ× ÙÒ ÐÓ× ¹ Ö Ó ÓÒ ÔØÓ× Ñ Ø Ñ Ø Ó× ÕÙ ×ÓÒ ÙØ Ð Þ Ó× ÐÓ× Ð Ö Ó Ð Ø ÜØÓº ×Ô Ö ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ð ÖÓ × Ö Ò ÙØ Ð Ø ÒØÓ Ô Ö ÔÖÓ ×ÓÖ × ÓÑÓ Ô Ö ×ØÙ ÒØ ×¸ Ý ÕÙ Ð × Ô ÖÑ Ø ÓÒÓ Ö Ð × Ñ Ø Ñ Ø × × ÙÒ ÔÙÒØÓ Ú ×Ø ÒØ Ö × ÒØ Ý ÒØÖ Ø Ò Óº ÔÖÓÚ ÑÓ× Ð ÓÔÓÖØÙÒ Ô Ö Ö Ö ÒÙ ×ØÖÓ× Ô ØÖÓ Ò ÓÖ ×¸ Ò ×Ô Ð Ð ÙÒ Ò ÑÔÖ × × ÈÓÐ Ö¸ Ð Ò Ó ÒØÖ Ð Î Ò ÞÙ Ð ¸ Ð ¹ Ñ Î Ò ÞÓÐ Ò Ò × × ×¸ Å Ø Ñ Ø × Ý Æ ØÙÖ Ð ×¸ Ð ÙÐØ Ò × Ð Í Î ÙÒØÓ Ð ÙÒ Ò Ñ Ó× Ò ×¸ Ð ÍÒ Ú Ö× Ë Ñ Ò ÓÐ Ú Ö¸Ð ÍÒ Ú Ö× Ê Ð ÍÖ Ò Ø ¸ ÙÑÙÐ ÓÖ × ÙÒ Ò¸Ý ÌÖ Ò×¹ ÔÓÖØ Ý Ù Ó¸ ÅÊÏ Ý Ð ÙÒ Ò ÙÐØÙÖ Ð Ð ÓÐ Ó Ñ Ð Ö Ñ Ò¸ × ÓÑÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÐ × ÕÙ ÓÒ ×Ù ØÖ Ó Ý × Ù ÖÞÓ¸ Ô ÖÑ Ø Ò ÕÙ Ð ÇÐ ÑÔ ÂÙÚ Ò Ð Å Ø Ñ Ø × × ÙÒ Ö Ð º
Ô ØÙÐÓ ½ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ´ Ò ÙÖÓ Å Ø Ñ Ø Óµ ½º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º × Ð Ó × Ö Ð Ô Ð Ö Æ ÍÊǸ ÙÒ Ð ØÖ ÔÓÖ º Ë Ó¹ Ñ ÒÞ Ð Ñ Ö ÓР׸ ú Ò ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö ÐÙÒ × Ñ ÖØ × Ñ Ö ÓÐ × Ù Ú × Ú ÖÒ ×º ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÍÒ ÑÓØÓ Ð ×Ø Ö ÓÖÖ ÙÒ ×Ø Ò ¾ Ñ Ò ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ ú ÕÙ Ú ÐÓ Ñ ´ Ñ» µ ÐÓ ÞÓ ¾ ¿ ¾º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º ÍÒ Ù Ö Ó Ô Ô Ð × Ú Ò Ó× Ô Þ × ÓÒ ÙÒ ÓÖØ Ö Ø Ð Ò Óº ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × ÓÖÑ × ÒÓ ÔÙ × Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð ÓÖØ ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÙÒ Ù Ö Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÙÒ Ô ÒØ ÓÒÓ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × × Ð ×º ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ø Ò È Ö Þ Ú Ð Ì ÖÖ Ð ÉÙ ×Óº È ÖÓ Ô Ö ÐÐ Ö × Ø ÖÖ Ð Ò Ö Ø Ò ÕÙ Ô × Ö ØÖ Ú × ÙÒ × ×Ø Ñ Ø Ò Ð ×¸ ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ º ÆÓ × Ð Ô ÖÑ Ø ÚÓÐÚ Ö ÙÒ ÒØ Ö× Ò Ò Ð ÕÙ Ý Ý ×Ø Óº Ò ÒØ Ö× Ò × Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ö ÓØ º ú Ù ÒØ × Ö ÓØ ×¸ ÓÑÓ Ñ Ü ÑÓ¸ ÔÙ Ö Ó Ö Ð Ö Ø Ò È Ö Þ ½¿ ½ ½¾ ½ ½ º
ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ù ÆÙÑ Ö ¸ Ð × × × Ð Ð Ó Ö Ó Ð ÐÐ Æ Ñ ÖÓ Ø Ò Ò Ò Ñ ÖÓ× ÑÔ Ö ×º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÒÓ × ÙØ Ð Þ Ò Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ð ØÓ ¿º Ë Ð ÔÖ Ñ Ö × Ð Ð Ó Ö Ó Ð ÐÐ ÐÐ Ú Ð Ò Ñ ÖÓ ½¸ ú Ù Ð × Ð Ò Ñ ÖÓ Ð ÑÓÕÙ ÒØ × Ò × Ñ ×ÑÓ Ð Ó ¾ ½ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ º Ó Ð × Ð Ó ÕÙ × Ú Ð Ö ¸ ú Ù Ð Ð × Ò Ó Ô Þ × Ó × Ð ÔÙ Ö Ö Ô Ö ÓÑÔÐ Ø Ö ÙÒ ÔÖ ×Ñ º ÈÖÓ Ð Ñ º Ë Ò Ú ÖØ Ó ½¼¼¼ Ð ØÖÓ× Ù Ò Ð Ô ÖØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð ØÙ Ö º Ò ÙÖ Ò Ð Ù × Ú Ò Ó× Ô ÖØ × Ù Ð ×º ú Ù ÒØÓ× Ð ØÖÓ× Ù ÐÐ Ö Ò Ð Ö Ô ÒØ ¼¼ ¼¼ ¸ ¼ ¼º ÈÖÓ Ð Ñ º Í× Ò Ó Ô Þ × ÖØ Ò Ð × ÕÙ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð Ö × ÓÖÑ ÙÒ ÙÖ º ú Ù Ð Ð × Ò Ó ÙÖ × Ó × ÑÔÓ× Ð Ö
½º½ ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó ÈÖÓ Ð Ñ º Ä ¼½¹¼¿¹¼ ´½ Ñ ÖÞÓ ¾¼¼ µ ÓÒØ Ò ØÖ × Ò Ñ ÖÓ× ÑÔ Ö × ÓÒ× ÙØ ÚÓ× Ò ÓÖ Ò Ö ÒØ º ×Ø × Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ × ÔÖÓÔ Ò Ð × ÐÓ ¾½º ÁÒ ÐÙÝ Ò Ó Ð ÓÑÓ ÑÔÐÓ¸ ú Ù ÒØ × × ´ ÜÔÖ × × Ò Ð ÓÖÑ ØÓ ¹Ñѹ µ Ø Ò Ò × ÔÖÓÔ Ò Ð × ÐÓ ¾½ ½ ½¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Ë Ð Ø Ä ÙÖ × Ò× ÙÖ ÒØ Ð ¸ ¼ ÑÐ Ð º Ë Ò Ñ Ó Þ Ö ØÓÒ ×¸ ÙÒ Ø Ö Ó Ñ × Ð º ÙÖ ÒØ Ð × Ó× ÐØ Ñ × × Ñ Ò × Þ Ó Ö ØÓÒ × ÙÒ × Ý ÓØÖÓ ÒÓº ú Ù ÒØ Ð Ó Ò Ð × ÐØ Ñ × Ó× × Ñ Ò × ¼ ÑÐ ½ ¼ ½¼ ¼ ÑÐ ½½¾¼ ÑÐ ¼ Ñк ÈÖÓ Ð Ñ ½½º Ò Ö × × Ö Ð ØÖ Ð Ô Ð Ö Æ ÍÊÇ Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ 4×2¸ Ð ØÖ Ò ÙÒ × ÐÐ Ö ÒØ º Ä ÔÖ Ñ Ö Ð ØÖ Ð × Ö Ò Ù ÐÕÙ Ö × ÐÐ ¸ Ô ÖÓ Ð ØÖ ÔÓ×Ø Ö ÓÖ Ð × Ö Ò ÙÒ × ÐÐ ÕÙ Ø Ò Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò ÓÑ Ò ÓÒ Ð × ÐÐ Ò Ð ÕÙ × Ö Ð Ð ØÖ ÒØ Ö ÓÖº ú Ù Ð ÐÓ× × Ù ÒØ × Ø Ð ÖÓ× ÒÓ ÔÙ × Ö Ò Ö × Æ Ç Ê Í Æ Í Ê Ç Ç Ê Í Æ Æ Ç Ê Í Ç Ê Æ Í º ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º ÌÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ØÓ× ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ØÓ× ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ ¾¼½½ ´ Ó× ÙÒÓ׸ ÙÒ ÖÓ Ý ÙÒ Ó×µ × × Ö Ò Ò ÓÖ Ò Ö ÒØ º ú Ù Ð × Ð Ö Ò ÒØÖ ÐÓ× Ó× Ú ÒÓ× Ð Ò Ñ ÖÓ ¾¼½½ Ò ×Ø Ð ×Ø ½ ¼¼ ¼ ¼ ¼º
ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½¿º ÅÙ Ú Ù ØÖÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ð ÞÕÙ Ö Ð × Ð × Ð Ö ÑÓ Ó ÕÙ Ð Ò × ÓÖÖ Ø º úÉÙ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ½ ¿¼ ½ º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Æ Ò Ù× ¿ Ù Ó× ÒØ Ó× Ô Ö ÓÒ×¹ ØÖÙ Ö ÙÒ Ö Ù Ó× ÐÖ ÓÖ ÙÒ Ö Ò Ù Ö ¹ ´Ô ÖØ ÐÐ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ µº ú Ù ÒØÓ× Ù Ó× × Ò × Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ö Ð Ö Ò ¿ ½¼¼ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ä × ÙÖ × ÑÙ ×ØÖ Ò ÑÓ Ñ Ð Ó× Ö Ô ×Ó× Ù Ö Ó× Ð Ó× ¿ Ý ÓÒ Ð Ó× × Ð Ò × Ý Ò Ö ×¸ ÓÐÓ Ò Ó ÙÒ Ð Ó× Ò Ö Ò ×ÕÙ Ò Ý ÑÓ Ó ÕÙ Ð Ó× Ò Ö ×Ø ÖÓ ÔÓÖ Ð Ó× × Ð Ò ×º Ë Ô Ö Ñ Ð Ó× Ö ÙÒ Ô ×Ó Ù Ö Ó ÓÒ ×Ø Ñ ×ÑÓ Ô ØÖ Ò × ÙØ Ð Þ ÖÓÒ ¾ Ð Ó× × Ò Ö ×¸ ú Ù ÒØ × Ð Ó× × Ð Ò × × ÙØ Ð Þ ÖÓÒ ¿ ¾ ¾º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º È ÐÓ ÕÙ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÓÖ ¿¼½¸ Ô ÖÓ × Ð ÓÐÚ Ð ÖÓ Ý ÐÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ ¿½¸ Ó Ø Ò Ò Ó ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó ¿ ¾º ÒÓ Ö× ÕÙ ÚÓ Ó¸ úÕÙ Ö ×ÙÐØ Ó Ö Ö Ó Ø Ò Ó ¿ ¾¼ ¿ ¼¾ ¿¼½¼ ¿ ½¾ ¿¼ ¾¼º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ò ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð Ú ÒÓ Ø ÒØÓ ÒÓØ ¿ ÓÐ × Ý Ð ÖÓÒ ÙÒ Óк Ò ×Ó× ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð ÕÙ ÔÓ Ò ÙÒ Ô ÖØ Ó¸ ÑÔ Ø ÙÒÓ Ý Ô Ö ÙÒÓº ú Ù Ð Ù Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ô ÖØ Ó Ò Ó ¾ ¼ ¿ ¼ ½ ¼ ¾ ½ ¼ ½º
½º½ ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÆÓ× Ò ØÖ × ÔÙÒØÓ× ÕÙ ÓÖÑ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ÉÙ Ö ÑÓ× Ö ÙÒ Ù ÖØÓ ÔÙÒØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ö ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ú Ù ÒØ × ÔÓ× Ð × Ý Ô Ö Ð Ù ÖØÓ ÔÙÒØÓ ½ ¾ ¿ Ô Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ðº ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ö Ó× Ò Ð ÙÖ × Ö Ö× ÙÒÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½¸ ¾¸ ¿ ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× × Ñ ÒØÓ Ø Ò Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö ÒØ ×º ÌÖ × Ò Ñ ÖÓ× Ý Ò × Ó × Ö ØÓ׺ ú Ù ÒØ × Ú × Ö ÕÙ Ù× Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ½ ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼º Ò Ð ÕÙ Ö Ö ÙÒ Ù Ö Ó ÙØ Ð Þ Ò¹ Ó ×ÓÐ Ñ ÒØ Ô Þ × ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ º ú Ù Ð × Ð Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ Ô Þ × ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö ¾¼ ½ ½¾ ½¼ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾½º Ò ÙÒ Ð × Ð Ý ½¼ ÐÙÑÒÓ׸ ÒØÖ Ò Ó× Ý Ò ×º Ð Ñ ×ØÖÓ Ø Ò ¼ Ö Ñ ÐÓ׺ Ë Ð Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ ÐÓ׸ Ð ×Ó Ö Ò ¿ Ö Ñ ÐÓ׺ ú Ù ÒØÓ× Ò Ó× Ý Ò Ð Ð × ½ ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¾º ÍÒ Ø Ø Ò Ø ØÓ× Ð Ò Ó¸ Ò ÖÓ¸ Ñ ÖÖ Ò¸ Ð Ò Ó¹Ò ÖÓ¸ Ð Ò Ó¹Ñ ÖÖ Ò¸ Ò ÖÓ¹Ñ ÖÖ Ò Ý Ð Ò Ó¹Ò ÖÓ¹Ñ ÖÖ Òº ú Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × Ý × Ó Ö Ø ØÓ× ÑÓ Ó ÕÙ Ó× Ù Ð ×ÕÙ Ö ÐÐÓ× Ø Ò Ò ÙÒ ÓÐÓÖ ÓÑ Ò ½ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¿º Ë Ø Ò Ò Ù ØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× ÒØ Ó× Ò Ð ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ¸ ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º Ð ÙÐ Ð Ö ØÓØ Ð ÐÓ× Ù ØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ׺ Ñ 2 Ñ 2 Ñ 2 ¾ Ñ 2 Ñ 2 º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ð Ó ÕÙ È ÖÓ ×Ø Ñ ÒØ Ò Óº È ÖÓ ÕÙ Å Ö Ó× ×Ø Ñ ÒØ Ò Óº Å Ö Ó× ÕÙ È ÖÓ ×Ø Ñ ÒØ Ò Óº ÌÓÑ × ÕÙ Ð Ó ×Ø Ñ ÒØ Ò Óº ú Ù ÒØÓ× Ò Ó× ×Ø Ò Ñ ÒØ Ò Ó ¾ ½ ¼ ¿ º
ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ë Ù Ò Ù ØÖÓ Ö ÙÒ Ö Ò × Ò Ð Ô Þ ÖÖ Ñ Ò Ö ÕÙ Ô Ö ÐÐ × Ø Ò Ò Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò ÓÑ Òº ú Ù Ð × Ð Ñ ÝÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÔÙÒØÓ× ÕÙ ÔÙ Ò Ô ÖØ Ò Ö Ñ × ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ½ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÄÙ × ÓÐÓ Ó Ó× × ´ ÙÒ ÓÖ¹ Ñ ÔÓÖ Ò Ó Ù Ö Ó× 1 × 1µ Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ 5 × 5¸ ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ º ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × Ò Ó × ÔÓ Ö ÓÐÓ Ö× Ò Ð Ô ÖØ Ú Ð Ø Ð ÖÓ¸ ÑÓ Ó ÕÙ ÒÓ × ÔÙ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ð × ÓØÖ × Ù ØÖÓ × º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÍÒ Ó × ÒÓÖÑ Ð × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò Ô Ö Ö × ÓÔÙ ×Ø × ×ÙÑ Ò º Ä ÙÖ ÑÙ ×ØÖ ØÖ × Ó× ÒÓÖÑ Ð × Ô Ð Ó× ÙÒÓ Ò Ñ Ð ÓØÖÓº Ë × ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ö × Ò ÓÒØ ØÓ × º Ñ ×¸ ÙÒ Ð × Ö × Ð Ø Ö Ð × Ð Ó Ò Ö ÓÖ Ø Ò ÙÒ ÔÙÒØÓº ú Ù ÒØÓ× ÔÙÒØÓ× Ø Ò Ð Ö Ñ Ö ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ò ÙÒ Ñ × Ù Ó × Ó× Ý ÓÑ Ò Ó׸ Ô ÖÓ × ÐÓ Ú ÖÒ × Ý ÐÙÒ ×º Ò Ð Ñ × ÕÙ Ú Ò Ö Ù Ú × Ñ Ö ÓÐ × × Ó× ÓÑ Ò Ó× Ú ÖÒ ×º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ë Ò Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× a¸ b¸ c Ý d Ø Ð × ÕÙ a < b < c < dº Ë Ô ÙÑ ÒØ Ö ÙÒÓ ÐÐÓ× Ò ½ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ ¸ ÐÙ Ó Ð ÙÑ ÒØÓ¸ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× × ÐÓ Ñ × Ô ÕÙ Ó ÔÓ× Ð º ú Ù Ð × ÙÑ ÒØ Ö a b c d b Ó c Ò ×Ø ÒØ Ñ ÒØ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿¼º ú Ù ÒØÓ× ÒØ ÖÓ× × ÔÙ Ò ÓÖÑ Ö ÓÒ ÐÓ× ØÓ× ½¸ ¾¸ ¿¸ Ý ¸ Ù× Ò Ó ØÓ Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ú Þ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö ØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ × Ú × Ð ÒØÖ ½¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ ¾¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× ØÖ × ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ ¿¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ù ØÖÓ ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ Ý Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ò Ó ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ Æ Ò ÙÒÓ ½ ¾ ½¼º
½º½ ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó ½º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ Ñ ÖØ ×º ¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ¿¼ Ñ ÒÙØÓ× × Ñ ÓÖ ¸ Ð Ú ÐÓ Ñ × 28/(1/2) = 56 Ñ» º ¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ ÙÒ Ù Ö Óº ÌÓ × Ð × ÓØÖ × ÙÖ × ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö× º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ ½¿¸ Ý × ÓÒ× Ù Ò Ó ÙÒ Ô ×Ó¸ × Ù Ò Ó Ð Ö ¸ Ò Ó ÓØÖÓ Ô ×Ó¸ × Ù Ò Ó Ð ÞÕÙ Ö ×Ø Ð Ò Ð¸ Ò Ó ÓØÖÓ Ô ×Ó Ý × Ù Ò Ó Ð Ö ×Ø Ð Ò Ðº º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ º Ä × ÔÖ Ñ Ö × ½ × × ÐÐ Ú Ò Ò Ñ ÖÓ× ½¸ ¸ ¸ ¸ ½½¸ ½ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ¾½¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ½¸ Ý º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÄÓ× ¼¼ Ð ØÖÓ× ÕÙ Ú Ò Ð Ö Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÙÖ Ò¸ Ú Ò Ô Ö Ö Ð Ö Ô ÒØ º È ÖÓ ÐÓ× ¼¼ Ð ØÖÓ× ÕÙ Ú Ò Ð ÞÕÙ Ö ¸ Ð Ñ Ø ´¾ ¼µ Ú Ò Ð Ö Ò Ð × ÙÒ ÙÖ Ò Ý Ø Ñ Ò Ø ÖÑ Ò Ò Ò º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ Ý ÕÙ ÒÓ × ÔÙ ÐÓ Ö Ö Ð Ô ÖØ Ò Ö ÓÖ ×Ø ÙÖ º Ä × ÓØÖ × Ù ØÖÓ × × ÔÙ Ò ÓÖÑ Öº º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × Ò Ó × ×ÓÒ ¼½¹¼¿¹¼ ¸ ¼¿¹¼ ¹¼ ¸ ¼ ¹¼ ¹ ¼ ¸ ¼ ¹¼ ¹½½ Ý ¼ ¹½½¹½¿º ½¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ò × Ö 60 + 1 3 60 = 60+20 = 80 ÑÐ Ð º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ØÓØ Ð 7×80+7×60 = 560+420 = 980 ÑÐ Ð º ½½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ ÔÙ × Ð × × ÐÐ × ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ð Ý Ð Í ÒÓ Ø Ò Ò Ò Ò Ò ÔÙÒØÓ Ò ÓÑ Òº ½¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØ Ö ÓÖ Ð ¾¼½½ × Ð ½¾½¼¸ Ð × Ù ÒØ Ð ¾½¼½¸ Ý 2101 − 1210 = 891º ½¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ 17 + 30 + 49 = 96¸ × ÑÓÚ ÑÓ× ×ØÓ× Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× Ð Ö ¸ Ð ÞÕÙ Ö ÕÙ Ð ½ º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÌÓÑ Ò Ó ÓÑÓ ÙÒ Ð Ð Ó Ð Ù Ó¸ Ð Ö Ò Ò ÖÖ × 8 × 8 Ý × ÐÐ Ò ÓÒ Ù Ó׺ ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº È Ö Ð Ù Ö Ó Ð Ó × Ò × Ø Ò 52 = 25 Ð Ó× × Ò Ö × Ý 92 − 52 = 56 Ð Ó× × Ð Ò ×¹ ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë 31n = 372 ÒØÓÒ × n = 372/31 = 12 Ý 12 × 301 = 3612º
½¼ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ô ÖØ Ó Ô Ö Ó × ÐÓ ÔÙ Ó Ö × Ó ¼ ½¸ ÒØÓÒ × Ð ÑÔ Ø Ó Ø ÖÑ Ò ¼ ¼ Ý Ð Ò Ó ¿ ¼º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ù ÖØÓ ÔÙÒØÓ × Ö Ð × Ñ ØÖ Ó ÙÒ Ú ÖØ Ö ×Ô ØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ý ¿ ÔÓ× Ð ×º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº À Ý Ù ØÖÓ ÔÙÒØÓ× ÕÙ ×Ø Ò ÓÒ Ø Ó× ÔÓÖ × Ñ ÒØÓ× ÐÓ× ÕÙ ×Ø Ò Ñ Ö Ó× ÓÒ ½¸ ¾ Ý ¿ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ÐÐ Ú Ö Ò × Ö Ñ ÒØ ÙÒ º ¾¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ Ð × Ô Þ × × ÓÑÔÓÒ Ò Ù Ö ØÓ׸ Ð Ö Ð Ù Ö Ó ÕÙ × ÓÖÑ ´Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ×Ù Ð Óµ Ò × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ× º È ÖÓ × Ð ÓÒÚ Ò Ö× ÕÙ ÙÒ Ù Ö Ó Ð Ó ÒÓ × ÔÙ ÓÖÑ Öº Ä × Ù ÒØ ÔÓ× Ð ¸ Ð Ù Ö Ó Ð Ó ½¼¸ × × ÔÙ º Ò ØÓ¸ ÓÒ Ó× Ô Þ × × ÔÙ ÓÖÑ Ö ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ 2 × 5 Ý ÓÒ ½¼ ×ØÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× × ÐÐ Ò Ð Ù Ö Ó Ð Ó ½¼º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × Ò × Ø Ò ÓÑÓ Ñ Ò ÑÓ ¾¼ Ô Þ ×º ¾½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ú Ö ¼ ÒØÖ ½¸ ¾¸º º º ¸ × Ó Ø Ò Ò ÐÓ× Ö ×ØÓ× ¼¸ ¼¸ ¾¸ ¼¸ ¼¸ ¾¸ ¿¸ ¼ Ý º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ Ò × × ¸ Ý Ð Ò Ó× × ¿º ¾¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × Ù ØÖÓ Ñ Ò Ö × ×ÓÒ ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ð Ò Ó¸ ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ñ ÖÖ Ò¸ ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ò ÖÓ Ý ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÓÐÓÖ ×º ¾¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ø ØÓ Ñ ÒÓÖ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× Ñ 30 − 28 = 2 Ѹ Ý Ð Ø ØÓ Ñ ÝÓÖ Ñ 28/2 = 14 Ѻ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÙÒÓ Ø Ò Ö ½ Ñ 2 Ý ÐÓ× Ø Ò Ò Ö Ñ 2 º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë ÌÓÑ × Ð Ú Ö ÒØÓÒ × Ð Ó Ñ ÒØ ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ È ÖÓ Ð Ú Ö Ý Å Ö Ó× Ñ ÒØ º Ë Ò Ñ Ó ÌÓÑ × Ñ ÒØ ÒØÓÒ × Ð Ó Ð Ú Ö ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ È ÖÓ Ñ ÒØ Ý Å Ö Ó× Ð Ú Ö º Ò Ù ÐÕÙ Ö ×Ó ÐÓ× ÕÙ Ñ ÒØ Ò ×ÓÒ Ó׺ ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ Ý Ô Ö × Ö¹ ÙÒ Ö Ò ×¸ Ð Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÔÙÒØÓ× × º ×Ø Ñ Ü ÑÓ × Ð ÒÞ × ØÖ × Ö ÙÒ Ö Ò × ×ÓÒ Ø Ò ÒØ × ÜØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ý Ð Ù ÖØ × Ø Ò ÒØ ÜØ Ö ÓÖÑ ÒØ ´Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ µ Ð × ØÖ × ÔÖ Ñ Ö ×º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÐÓ Ò Ó Ð Ô Þ Ì ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ ÒÓ × ÔÙ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ð × ÓØÖ × Ù ØÖÓ ×º
½º¾ ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ½½ ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ò Ö ÓÖ ÒÓ ÔÙ Ø Ò Ö ÙÒ ½º Ë Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾¸ Ð Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ < 3¸ Ð Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ > 4 Ý ÒÓ ÔÓ Ö ×ÙÑ Ö ÓÒ Ð Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖº Ä Ò ÔÓ× Ð × ÕÙ Ð Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ò Ö ÓÖ Ø Ò ÙÒ ¾º ÒØÓÒ × Ð Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó Ø Ò ÙÒ ¿¸ Ð Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó ÙÒ ¸ Ð Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ ÙÒ ½ Ý Ð Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ ÙÒ º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ × Ö × Ó × Ó Ý Ð ÐØ ÑÓ ÓÑ Ò Ó¸ Ø Ò Ò Ó Ð Ñ × ¿¼ ׺ ÊÐ Ñ × × Ù ÒØ Ø Ò ¿½ × Ý ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ ÐÙÒ ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ø Ò ÐÙÒ ×¸ Ñ ÖØ ×¸ Ñ Ö ÓÐ × Ý × ÐÓ ÙÒÓ ÐÓ× × Ö ×Ø ÒØ × Ð × Ñ Ò º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë × ÙÑ ÒØ a Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÐÓ× Ù ØÖÓ × Ò Ö Ñ ÒØ Ò (a + 1)bcd − abcd = bcdº Ò ÐÓ Ñ ÒØ × × ÙÑ ÒØ Ò b¸ c Ó d Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÐÓ× Ù ØÖÓ × Ò Ö Ñ ÒØ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ò acd¸ abd Ó abcº Ð Ñ ÒÓÖ ÒØÖ bcd¸ acd¸ abd Ý abc × abc¸ ÕÙ × Ó Ø Ò Ù Ò Ó Ð ÕÙ × ÙÑ ÒØ × dº ¿¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ abcde ÙÑÔÐ Ð × ÓÒ ÓÒ ×¸ ÒØÓÒ × × Ö e = 5 ´Ô Ö ÕÙ × Ú × Ð ÒØÖ µº Ñ × b Ý d Ò × Ö Ô Ö × ´¾ Ý µ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ a Ý c Ò × Ö ½ Ý ¿ ´ Ò Ð Ò ÓÖ Òµº ÓÑÓ abc × Ö Ú × Ð ÒØÖ ¿¸ a + b + c = 4 + b × Ö Ú × Ð ÒØÖ ¿¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ b = 2 Ý Ò ÓÒ× Ù Ò d = 4º È ÖÓ ÒØÓÒ × abcd × Ö ½¾¿ ¿¾½ ¸ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ù Ð × × Ú × Ð ÒØÖ º ½º¾º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º ú Ù Ð ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× × Ð Ñ ÝÓÖ 20111 1 + 2011 1 × 2011 12011 1 ÷ 2011º ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ð× Ù ÓÒ Ù Ó× Ý Ø ØÖ ÖÓ׺ Ë Ø Ò Ù Ó× Ý ¿ Ø ØÖ ÖÓ׺ ú Ù ÒØ × Ö × Ý Ò ØÓØ Ð ¼ ¾ ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ò ÙÒ ÖÙ Ô ØÓÒ Ð × ÐØ ÖÒ Ò Ö Ò × Ð Ò × Ý Ò Ö ×¸ ÙÒ Ò ÙÖ ¼ Ѻ ÍÒÓ ×ØÓ× ÖÙ × ÓÑ ÒÞ Ý Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÙÒ Ö Ò Ð Ò Ý Ø Ò Ö Ò × Ð Ò × Ò ØÓØ Ðº ú Ù Ð × Ð Ò ÙÖ ØÓØ Ð Ð ÖÙ Ñ ¸ Ñ Ñ ¸ Ñ Ñº ÈÖÓ Ð Ñ º Å Ð ÙÐ ÓÖ Ú Ò Ú Þ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ý Ö ×Ø Ò ÐÙ Ö ×ÙÑ Öº Ë Ø Ð Ó (12 × 3) + (4 × 2)¸ úÕÙ ÑÙ ×ØÖ Ð Ð ÙÐ ÓÖ
½¾ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¾ ½¾ ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ º Å Ö ÐÓ Ø Ð ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÓÖ ¾¼ ½½º ú Ù ÒØÓ× Ñ ÒÙØÓ× Ñ × Ø Ö ÑÓ×ØÖ Ö ÙÒ ÓÖ ÓÒ ÐÓ× ØÓ× ¼¸ ½¸ ½¸ ¾¸ Ò Ð Ò ÓÖ Ò ¼ ¼ ¼º ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ ØÖ × Ù Ö Ó׺ Ð Ù Ö ¹ Ó Ñ ÒÓ ÙÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× Ð Ù Ö Ó Ö Ò º Ð Ù ¹ Ö Ó Ô ÕÙ Ó ÙÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× Ð Ù Ö Ó Ñ ÒÓº Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ô ÕÙ Ó Ò Ð ÙÖ × Ñ 2 º ú Ù Ð × Ð Ö Ò ÒØÖ Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ö Ò Ý Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ñ ÒÓ¸ Ò Ñ 2 ½¾ ½ ½ º ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ð ÐÐ ÓÒ Ú ÚÓ Ý ½ × ×º ÙÒ Ð Ó Ð ÐÐ Ð × × × ×Ø Ò ÒÙÑ Ö × ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× Ô Ö × Ý Ð ÓØÖÓ ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× ÑÔ Ö ×º Å × × Ð ÐØ Ñ Ð Ð Ó Ô Ö Ý ×Ù Ò Ñ ÖÓ × ½¾º Å ÔÖ ÑÓ Ú Ú Ò Ð ÐØ Ñ Ð Ð Ó ÑÔ Öº ú Ù Ð × Ð Ò Ñ ÖÓ ×Ù × ½¿ ½ ¾½ ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ü Ð ØÓ ÔØÙÖ ½¾ Ô × Ò ¿ ׺ ¸ ×ÔÙ × Ð ÔÖ Ñ ÖÓ¸ ÔØÙÖ Ñ × Ô × ÕÙ Ð ÒØ Ö ÓÖº Ò Ð Ø Ö Ö ¸ ÔØÙÖ Ñ ÒÓ× Ô × ÕÙ Ò ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ× × ÙÒØÓ׺ ú Ù ÒØÓ× Ô × ÔØÙÖ Ð Ø Ö Ö º ÈÖÓ Ð Ñ º ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ØÖ × ØÓ× ÓÒ ×ÙÑ ØÓ× Ù Ð ¸ × × Ó Ò Ð Ñ × Ö Ò Ý Ð Ñ × Ô ÕÙ Óº ú Ù Ð × ×Ù ×ÙÑ ¼ ½ ¼ ½¼¼½ ½¼¼¼º ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ Ù ØÖÓ Ù Ö Ó× ÒØ Ó× ×¹ ÔÙ ×ØÓ× Ò ÓÖÑ Äº Ë × Ö Ö ÙÒ ÕÙ ÒØÓ Ù Ö Ó ÑÓ Ó ÕÙ × ÓÖÑ ÙÒ ÙÖ ÓÒ ÙÒ × Ñ ØÖ º ú Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × × ÔÙ Ö ×ØÓ ½ ¾ ¿º ÈÖÓ Ð Ñ ½½º 2011 · 2,011 201,1 · 20,11 = ¼¸¼½ ¼¸½ ½¼ ½ ½¼¼º ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º Å Ö Ø Ò Ô ÖÐ × ÕÙ Ô × Ò ½ ¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Ý º ÐÐ Ù ØÖÓ Ò ÐÐÓ× ÓÒ Ó× Ô ÖÐ × Ò ÙÒÓº ÄÓ× Ô ×Ó× Ð ×
½º¾ ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ½¿ Ô ÖÐ × Ò ×ØÓ× Ù ØÖÓ Ò ÐÐÓ× ×ÓÒ ½ ¸ ½¿ ¸ Ý º ú Ù Ð × Ð Ô ×Ó Ð Ô ÖÐ Ö ×Ø ÒØ ¿ ¾ ½ º ÈÖÓ Ð Ñ ½¿º Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½ ¸ ½¿¸ ¸ ½¼¸ ½ ¸ ¸ ½¾ Ý ½ ¸ úÕÙ Ô Ö ÐÐÓ× × ÔÙ ÕÙ Ø Ö × Ò ÑÓ Ö Ð ÔÖÓÑ Ó ½¾ Ý ½ Ý ½ Ý ½ ½¼ Ý ½¾ ½ Ý ½¼º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ð Ö Ø Ò È Ö Þ Ú Ð Ì ÖÖ Ð ÉÙ ×Óº È ÖÓ Ô Ö ÐÐ Ö × Ø ÖÖ Ð Ò Ö Ø Ò ÕÙ Ô × Ö ØÖ Ú × ÙÒ × ×Ø Ñ Ø Ò Ð ×¸ ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ º ÆÓ × Ð Ô ÖÑ Ø ÚÓÐÚ Ö ÙÒ ÒØ Ö× Ò Ò Ð ÕÙ Ý Ý ×Ø Óº Ò ÒØ Ö× Ò × Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ö ÓØ º ú Ù ÒØ × Ö ÓØ ×¸ ÓÑÓ Ñ Ü ÑÓ¸ ÔÙ Ö Ó Ö Ð Ö Ø Ò È Ö Þ ½¾ ½¿ ½ ½ ½ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ö Ò Ò Ð Ö Ñ × Ô ÒØ ÓÒ ÙÒÓ ÐÓ× Ù ØÖÓ ÓÐÓÖ × ÖÓ Ó ´Rµ¸ Ú Ö ´V µ¸ ÞÙÐ ´Aµ Ó Ð Ò Ó ´Bµº Ó× Ö ÓÒ × ÓÒ ÙÒ ÓÖ ÓÑ Ò Ò Ø Ò Ö ÓÐÓÖ × Ö ÒØ ×º ÒØÓÒ × Ð ÓÐÓÖ Ð Ö Ò X × X V R A ÖÓ Ó ÞÙÐ Ú Ö Ð Ò Ó ÒÓ × ÔÓ× Ð Ø ÖÑ Ò ÖÐÓº ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÍÒ ØÖÓÞÓ Ù Ö Ó Ô Ô Ð × ÓÖØ Ò × × Ô Þ × Ö Ø Ò ÙÐ Ö × ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º Ä ×ÙÑ ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ð × × × Ô Þ × Ö Ø Ò ÙÐ Ö × × ½¾¼ Ѻ Ò Ù Ò¹ ØÖ Ð Ö Ð Ô Þ Ù Ö Ô Ô Ðº Ñ 2 Ñ 2 ½½¼¸¾ Ñ 2 ½ Ñ 2 ¾ Ñ 2 º
½ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ò ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð Ú ÒÓ Ø ÒØÓ ÒÓØ ¿ ÓÐ × Ý Ð ÖÓÒ ÙÒ Óк Ò ×Ó× ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð Ú ÒÓ Ø ÒØÓ Ò ÙÒ Ô ÖØ Ó¸ ÑÔ Ø ÙÒÓ Ý Ô Ö ÙÒÓº ú Ù Ð Ù Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ô ÖØ Ó Ò Ó ¾ ¼ ¿ ¼ ½ ¼ ¾ ½ ¼ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ö Ó Ù ÙÒ × Ñ ÒØÓ Ö Ø DE ÐÓÒ ØÙ ¾ Ò ÙÒ Ô ÞÓ Ô Ô Ðº ú Ù ÒØÓ× ÔÙÒØÓ× Ö ÒØ × F ÔÙ Ù Ö Ò Ð Ô Ô Ð ÓÖÑ ÕÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ DEF × Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý Ø Ò Ö ½ ¾ ½¼º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ð Ò Ñ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ a × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ½¸ Ý Ð Ò Ñ ÖÓ b × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ½º ú Ù Ð ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× Ø Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ a · b b a ÷ b a + b Ä Ö ×ÔÙ ×Ø Ô Ò a Ý bº ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼º ÍÒ Ù Ó × ÓÒ×ØÖÙÝ ÓÒ Ô Ô Ð ÔÐ Ó ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º ÈÓÖ Ð ×ÙÔ Ö Ð Ù Ó × ØÖ Þ ÙÒ Ð Ò Ó× ÙÖ ÕÙ Ú Ð ×ÙÔ Ö Ð Ù Ó Ò Ó× Ô ÖØ × ÒØ ×º ú ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ô Ð ×ÔÙ × ÕÙ Ð Ù Ó × × Ó Ð º ÈÖÓ Ð Ñ ¾½º Ð Ò Ñ ÖÓ Ò Ó ØÓ× 24X8Y × Ú × Ð ÔÓÖ ¸ Ý º ú Ù Ð × Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× X Y ½¼ ½¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¾º ÄÙ × ÓÐÓ Ó Ó× × ´ ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÖ Ò Ó Ù Ö Ó× 1 × 1µ Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ 5×5º ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × Ò Ó × ÔÓ Ö ÓÐÓ Ö× Ò Ð Ô ÖØ Ú Ð Ø Ð ÖÓ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ ÒÓ × ÔÙ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ð × ÓØÖ × Ù ØÖÓ × º
½º¾ ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ½ ÈÖÓ Ð Ñ ¾¿º ÙÒÓ ÐÓ× ØÖ × ÐÓÖÓ× Á× ¸ Å Ö Ó Ý Ç× Ö Ø Ò ÙÒ Ò Ó ÔÖÓÔ Óº Á× Ó ×ØÓÝ Ñ × Ð Ó Ð Ð Ó× Å Ö Ó ÕÙ Ç× Ö º Å Ö Ó Ó ×ØÓÝ Ñ × Ð Ó Ð Ð Ó× Ç× Ö ÕÙ Á× º Ç× Ö Ó ×ØÓÝ Ñ × ÕÙ Ð Ó Ð Ð Ó× Å Ö Ó ÕÙ Á× º Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÐÐÓ× ×Ø Ò Ò Ó Ð Ú Ö º ú Ù Ð × Ð ÕÙ Ñ ÒØ Á× Å Ö Ó Ç× Ö Æ Ò ÙÒÓ ÐÐÓ× ÆÓ × ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö ÓÒ ÐÓ× ØÓ× ×ÙÑ Ò ×ØÖ Ó׺ ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÒØÖÓ ÙÒ Ù Ö Ó Ð Ó Ñ Ù ÙÒ Ù Ö Ó Ð Ó ¿ Ѻ ÄÙ Ó Ù ÓØÖÓ Ù Ö Ó Ð Ó Ñ¸ ÕÙ ÒØ Ö× Ø ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ׺ ú Ù Ð × Ð Ö Ò ÒØÖ Ð × Ö × Ð Ô ÖØ Ò Ö Ý Ð Ô ÖØ Ö × ½ Ñ 2 ½½ Ñ 2 ½¼ Ñ 2 ¼ Ñ 2 ÑÔÓ× Ð Ø ÖÑ Ò ÖÐÓº ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Å Ù Ð ×Ô Ö Ð Ð Ò Óº Ò ×Ô ÖÓ ÖØ Ó ÔÙ Ó Ø Ò Ö ¸ ½¼ ÔÙÒØÓ׺ ËÙ ÔÙÒØÙ Ò ØÓØ Ð Ù ¸ Ý Ó ØÙÚÓ Ø ÒØ × Ú × ÓÑÓ ½¼º Ë Ò Ð ¾ ± ×Ù× Ø ÖÓ× ÒÓ ÖØ Ð Ð Ò Ó¸ ú Ù ÒØÓ× ×Ô ÖÓ× ÞÓ Å Ù Ð Ò ØÓØ Ð ½¼ ½¾ ½ ¾¼ ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ò ÙÒ Ù Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ABCD ÓÒ AB = AC¸ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ ÓÒÓ Ó× ∠BAD = 80◦ ¸ ∠ABC = 75◦ ¸ ∠ADC = 65◦ º ú Ù ÒØÓ Ñ ∠BDC 45◦ 30◦ 20◦ 15◦ 10◦ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º À × Ø Ó׸ Ð Ú Ö ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ ¸ Ý ÒØÖÓ Ó Ó Ó× × Ö ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ º À Ó Ó Ó׸ Ð Ê Ð Ö ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ ¸ Ý ÒØÖÓ × Ø Ó× × Ö ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ º ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ÔÙ × Ö Ú Ö Ö Ê Ð × Ó× Ó× Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ú Ê Ð × ÙÒ Ó Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ú Ê Ð Ý Ú Ø Ò Ò Ð Ñ ×Ñ Ê Ð × ÙÒ Ó Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ú Ê Ð × Ó× Ó× Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ú º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ò Ð ÜÔÖ × Ò A · B · C · D · B · E · F · F D · B · G · H Ð ØÖ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ØÓ Ö ÒØ ÖÓº Ä ØÖ × Ù Ð × Ö ÔÖ × ÒØ Ò ØÓ× Ù Ð × Ý Ð ØÖ × ¹ Ö ÒØ × Ö ÔÖ × ÒØ Ò ØÓ× Ö ÒØ ×º ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ Ñ × Ô ÕÙ Ó ÔÓ× Ð ×Ø ÜÔÖ × Ò ½ ¾ ¿
½ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ä × Ù ÒØ ÙÖ × ÓÑÔÓÒ Ó× Ö Ø Ò ÙÐÓ׺ Ä × ÐÓÒ ØÙ × Ó× Ð Ó× ×Ø Ò Ñ Ö × ½½ Ý ½¿º Ä ÙÖ × ÓÖØ Ò ØÖ × Ô ÖØ × Ý Ð × Ô ÖØ × × Ö ÓÖ Ò Þ Ò Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ú Ù Ð × Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó x ¼ ¿ ¿ ¿ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿¼º Å Ö Ó× Ù ÙÒ Ù Ó ÓÑÔÙØ ÓÖ Ò ÙÒ Ù Ö ÙÐ 4×4º Ð × ÖÓ Ó ÞÙи Ô ÖÓ Ð ÓÐÓÖ × ÐÓ × Ú × × Ð Ò ÐÐ º Ë × ÕÙ × ÐÓ Ý Ó× Ð × ÞÙР׸ Ý ÕÙ Ø Ò Ò ÙÒ Ð Ó ÓÑ Òº ú Ù Ð × Ð Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ Ð × ÕÙ Å Ö Ó× Ø Ò ÕÙ Ö Ô Ö ×Ø Ö × ÙÖÓ Ú Ö Ð × Ó× Ð × ÞÙÐ × Ò Ð Ô ÒØ ÐÐ ½¼ ½¾ ½½ ½¿º ½º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × Ò Ó ÐØ ÖÒ Ø Ú × ÔÖÓÔÙ ×Ø × ×ÓÒ ´ µ 20111 = 2011¸ ´ µ 1 + 2011 = 2012¸ ´ µ 1 × 2011 = 2011¸ ´ µ 12011 = 1 Ý ´ µ 1/2011¸ Ð Ñ ÝÓÖ Ð × Ù Ð × × ´ µ ¾¼½¾º ¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÄÓ× Ù Ó× Ø Ò Ò Ö × Ý ÐÓ× Ø ØÖ ÖÓ× ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ö × × 5 × 6 + 3 × 4 = 30 + 12 = 42º ¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ý Ö Ò × Ð Ò ×¸ Ð × Ò Ö × Ò × Ö Ý Ð ØÓØ Ð ½ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò ÙÖ ØÓØ Ð × 15 × 50 = 750 Ѹ Ó ¸ Ѻ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä Ð ÙÐ ÓÖ ÑÓ×ØÖ Ö (12 ÷ 3) − (4 ÷ 2) = 4 − 2 = 2º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × Ù ÒØ ÓÖ ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ØÓ× × Ö Ð ¾½ ¼½¸ Ô Ö ÐÓ Ù Ð ÐØ Ò ¼ Ñ ÒÙØÓ׺
½º¾ ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº × Ð Ú Ö ÕÙ Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ñ Ó × Ð Ó Ð Ð Ö Ð Ô ÕÙ Ó¸ × Ö ½¾ Ñ 2 ´ÔÙ × Ð Ù Ö Ó Ô ÕÙ Ó × Ú Ò ØÖ Ò ÙÐÓ× ÒØ Ó׸ Ý Ð Ù Ö Ó Ñ Ó × Ú Ò ×Ó× ØÖ Ò ÙÐÓ×µº Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ö Ò × Ð Ó Ð Ð Ö Ð Ñ Ó¸ × Ö ¾ Ñ 2 ¸ Ý Ð Ö Ò Ô × 24 − 12 = 12 Ñ 2 º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × × × Ð Ð Ó Ô Ö ×Ø Ò ÒÙÑ Ö × ¾¸ ¸ ¸ ¸ ½¼ Ý ½¾º ÒØÓÒ × Ð Ð Ó ÑÔ Ö Ö ½½ × ×¸ ÒÙÑ Ö × ½¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸ ½½¸ ½¿¸ ½ ¸ ½ ¸ ½ Ý ¾½º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ º Ð Ø Ö Ö Ð Ü ÔØÙÖ Ñ ÒÓ× Ð Ñ Ø Ð ØÓØ Ð¸ × Ö ÕÙ ÔØÙÖ ÐÓ ×ÙÑÓ Ô ×º È ÖÓ ÒÓ ÔÙ Ó Ö ÔØÙÖ Ó Ñ ÒÓ× ¸ ÔÙ × × × Ù × Ð ØÓØ Ð × Ö ÐÓ ×ÙÑÓ 2 + 3 + 4 = 9º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ñ × Ô ÕÙ Ó × ½¼ Ý Ð Ñ ÝÓÖ × ¼¼¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ×ÙÑ × ¼ º ½¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ½½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ý ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ ½¼¼¼ Ð Ö Ò × ÕÙ Ú Ð ÒØ 20112 /20112 = 1º ½¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ô ×Ó ØÓ × Ð × Ô ÖÐ × × 1+2+3+4+5+ 6+7+8+9 = 45¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð × Ô ÖÐ × Ò ÐÓ× Ò ÐÐÓ× × 17+13+7+5 = 42º Ä Ö Ò 45 − 42 = 3 × Ð Ô ×Ó Ð Ô ÖÐ Ö ×Ø ÒØ º ½¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð ÔÖÓÑ Ó ØÓ Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ × (17+13+ 5+10+14+9+12+16)/8 = 96/8 = 12º Ð ÔÖÓÑ Ó ÐÓ× ÕÙ × ÕÙ Ø Ò¸ Ô Ö ÒÓ ÐØ Ö Ö Ð ÔÖÓÑ Ó ÐÓ× Ö ×Ø ÒØ ×¸ × Ö ½¾º ÐÓ× Ô Ö × ÔÖÓÔÙ ×ØÓ× ÓÑÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ×¸ Ð Ò Ó ÓÒ ÔÖÓÑ Ó ½¾ × Ð ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ½ Ý ½¼º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ó Ó¸ Ô Ò º
½ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä Ö Ò Ñ Ö ½ Ò Ð ÙÖ ÒÓ ÔÙ × Ö × ÒÓ Ð Ò ¸ Ý ÕÙ Ø Ò ÓÖ × ÓÑÙÒ × ÓÒ Ö ÓÒ × ÓÐÓÖ R¸ V Ý Aº ÈÓÖ Ö ÞÓÒ × Ò ÐÓ × Ð Ö Ò ¾ × Ö ÖÓ ¸ Ð ¿ × Ö Ú Ö ¸ Ð ÞÙи Ð Ð Ò Ý Ò ÐÑ ÒØ Ð Ö Ò X × Ö ÖÓ º X V R A ½ B ¾ R ¿ V A B R ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë a × Ð Ð Ó Ð Ù Ö Ó¸ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÐÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× × Ù Ð Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð Ù Ö Ó Ñ × Ó× Ú × ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ ×º È ÖÓ ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × Ú ÖØ Ð × ×ÙÑ Ò a Ý ÐÓ× ÓÖ ÞÓÒØ Ð × 2a¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 120 = 4a + 2(a + 2a) = 10a¸ ÓÒ a = 12 Ý Ð Ö Ð Ù Ö Ó × 122 = 144 Ñ 2 º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ó Ó¸ Ô Ò ½¼º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë ÔÙ Ò ÓÖÑ Ö ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò DE ÓÑÓ Ø ØÓ Ñ ÝÓÖ¸ ÓÒ Ð ÓØÖÓ Ø ØÓ ÐÓÒ ØÙ ½¸ Ý Ó× ØÖ Ò ÙÐÓ× ×ÓÖÖ Ø Ò¹ ÙÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò DE ÓÑÓ ÔÓØ ÒÙ× Ý ÐØÙÖ ½º D E ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ a < 1 < b¸ × Ø Ò ÕÙ a·b < b < a+ b Ý a ÷ b < a < a + b¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ñ ÝÓÖ × a + bº ¾¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ ÓÑÓ ÔÙ Ú Ö× ÖÑ Ò Ó Ð × ÖÖÓÐÐÓº ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ´ µ¸ ´ µ Ý ´ µ Ð Ö Ñ ÒØ Ò × ÖØ Ö× ÔÙ × Ð Ð Ò Ó× ÙÖ ÓÖØ Ð ÙÒ × Ö ×Ø × Ò ÔÙÒØÓ× Ö ÒØ × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× ×Ø ×¸ Ý ´ µ × × ÖØ ÔÓÖÕÙ ÙÒ Ö ÓÒØ Ò Ó× × Ñ ÒØÓ× Ð Ð Ò Ó× ÙÖ º ¾½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ × Ú × Ð ÒØÖ Ý ¸ Y × Ö ¼º ÓÑÓ Ð ×ÙÑ ØÓ× 2+4+X +8+Y = 14+X × Ö Ú × Ð ÒØÖ ¸ X × ÐÓ ÔÙ × Ö º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ X + Y = 4º ¾¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ó Ó¸ Ô Ò ½¼º ¾¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × ÖÑ ÓÒ × Á× ¸ Å Ö Ó Ý Ç× Ö ×ÓÒ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ´½µ IM > 2IO¸ ´¾µ MO > 2IM Ý ´¿µ MO > 2IOº È ÖÓ ´½µ Ý ´¾µ ×ÓÒ ÓÒØÖ ØÓÖ ×¸ ÔÙ × ×ÙÑ Ò ÓÐ × Ö ×ÙÐØ IM + MO > 2IO + 2IM¸ ÓÒ MO > 2IO + IM > IO + IM¸ Ú ÓÐ Ò Ó Ð × Ù Ð ØÖ Ò ÙÐ Öº Ì Ñ Ò ×ÓÒ ÓÒØÖ ØÓÖ × ´¾µ Ý ´¿µ¸ ÔÙ × ×ÙÑ Ò ÓÐ × × ÐÐ MO > IM + IOº Ä Ò ÓÖÑ ÕÙ Ý Ó× Ú Ö Ö × × ÕÙ Á× Ý Ç× Ö × Ò ÓÒ ×ØÓ× Ý Å Ö Ó × Ñ ÒØ ÖÓ×Óº
½º¾ ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ½ ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ò a¸ b¸ c¸ d Ý e Ð × Ö × Ð × Ö ÓÒ × Ò ÕÙ × × Óѹ ÔÓÒ Ð ÙÖ º ÄÓ ÕÙ × Ô × a − c − eº È ÖÓ a−c−e = a+b+c+d+e−(c+d+e)−(b+c) = 72 − 52 − 32 = 15º a b c d e ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë x Ð Ò Ñ ÖÓ Ú × ÕÙ Ó ØÙÚÓ ÔÙÒØÓ× Ý y Ð Ò Ñ ÖÓ Ú × ÕÙ Ó ØÙÚÓ ÔÙÒØÓ׸ ÒØÓÒ × 5x + 8y + 10y = 99¸ × Ö ÕÙ 5x + 18y = 99º ÓÑÓ 5x = 99 − 18y × ÑÔ Ö Ý Ñ ÐØ ÔÐÓ ¸ Ø Ñ Ò × ÖÐÓ xº ×ØÓ ÓÑÓ Ò ÔÓ× Ð x = 9 ´ÔÙ × × x ≥ 27 ÒØÓÒ × 5x ≥ 135 > 99µ¸ ÓÒ y = 3º Ë n × Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð ×Ô ÖÓ׸ ÒØÓÒ × (3/4)n = x + 2y = 9 + 6 = 15¸ ÓÒ n = (4/3)15 = 20º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ABC × × × Ð × × Ø Ò ∠ACB = ∠ABC = 75◦ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠BAC = 180◦ − 75◦ − 75◦ = 30◦ Ý ∠CAD = ∠BAD − ∠BAC = 50◦ º ÒØÓÒ × ∠ACD = 180◦ − 65◦ − 50◦ = 65◦ Ý ACD × × × Ð ×¸ ÓÒ AD = AC = AB Ý ABD Ø Ñ Ò × × × Ð ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠ADB = ∠ABD = (180◦ − 80◦ )/2 = 50◦ Ý Ò ÐÑ ÒØ ∠BDC = ∠ADC − ∠ADB = 65◦ − 50◦ = 15◦ º A B 75◦ D 80◦ C 65◦ ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ò E Ý R Ð × × Ú Ý Ê Ð¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÒØÓÒ × E − 7 Ý R + 7 ×ÓÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ× ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ E + 8 Ý R − 8 ×ÓÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ× º Ä ÓÔ Ò ´ µ × ÑÔÓ× Ð ¸ ÔÙ × × E = R ÒØÓÒ × E −7 Ý R+7 = E +7 × Ö Ò Ñ ÐØ ÔÐÓ× ¸ ÐÓ Ù Ð × ×ÙÖ Ó ÔÙ × Ö Ò Ò ½ º ÓÑÓ E +R = (E −7)+(R+7) × Ñ ÐØ ÔÐÓ ´Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ô Öµ E Ý R Ò × Ö Ð Ñ ×Ñ Ô Ö ×ØÓ × ÖØ Ð × ÓÔ ÓÒ × ´ µ Ý ´ µº Ì ÑÔÓ Ó ÔÙ × Ö ÖØ ´ µ¸ Ý ÕÙ × R = E − 2 ÒØÓÒ × E − 7 Ý R + 7 = E + 5 × Ö Ò Ñ Ó× Ñ ÐØ ÔÐÓ× ¸ ×ÙÖ Ó ÔÙ × Ö Ò Ò ½¾º Ä Ò ÔÓ× Ð ÕÙ ÕÙ × Ð ´ µ¸ × Ö R = E + 2º ×ØÓ Ø Ú Ñ ÒØ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ × E = 55 Ý R = 57º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä ÜÔÖ × Ò × Ù Ð ABCEF 2 GH Ý ×Ù Ñ Ò ÑÓ × 2·3·4·5·12 8·9 = 15 9 > 1º ÓÑÓ 2·3·4·6 8·9 = 2 ×Ø × Ð Ñ Ò ÑÓ Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÓ Ý × Ð ÒÞ Ô Ö A = 2¸ B = 3¸ C = 4¸ D = 5¸ E = 6¸ F = 1¸ G = 8 Ý H = 9º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ò Ó Ð ÙÖ Ð ÞÕÙ Ö × 11 + 13 = 24º Ò Ð ÙÖ Ð Ö × Ð ÖÓ ÕÙ x = 13 + 24 = 37º
¾¼ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¿¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë × ÖÙÔ Ò Ð × ½ × ÐÐ × Ò Ô Ö × × ÐÐ × Ý ÒØ ×¸ Ö ×ÙÐØ Ð ÖÓ ÕÙ × Ö ÕÙ Ö Ò Ð Ñ ÒÓ× Ð × Ô Ö Ò Ò Ö ÓÒ ÖØ Þ ÙÒ × ÐÐ ÞÙи Ý Ð Ñ ÒÓ× ¾ Ñ × Ô Ö Ò Ò Ö Ð ÓØÖ º Þ Ð × × ÑÔÖ ×ÓÒ ×Ù ÒØ ×º È Ö ÐÐÓ ÑÓ× Ð ×Ù × Ú Ñ ÒØ Ò Ð × × ÐÐ × Ñ Ö × ½¸ ¾¸ ¿¸ º º º Ò Ð ÙÖ ¸ ×Ø Ú Ö ÙÒ × ÐÐ ÞÙк Ë Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ × Ú × Ð ¸ Ò Ó Ð Ò Ð × ¾ Ý ÒØ × × × Ù Ö Ð ÓØÖ ÞÙк Ë Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ × Ú × Ð ¸ Ò Ó ½ ¾ ¿ Ð Ò Ð × ¿ Ý ÒØ × × × Ù Ö Ð ÓØÖ º × × Ð ÙÒ Ð ½ Ð ¸ Ò Ó Ð Ò Ð × Ý ÒØ × ´ÕÙ ×ÓÒ ÐÓ ×ÙÑÓ µ × × Ù Ö Ð ÓØÖ º ½º¿º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ò ÙÒ ÖÙ Ô ØÓÒ Ð × ÐØ ÖÒ Ò Ö Ò × Ð Ò × Ý Ò Ö ×¸ ÙÒ Ò ÙÖ ¼ Ѻ ÍÒÓ ×ØÓ× ÖÙ × ÓÑ ÒÞ Ý Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÙÒ Ö Ò Ð Ò Ý Ø Ò Ö Ò × Ð Ò × Ò ØÓØ Ðº ú Ù Ð × Ð Ò ÙÖ ØÓØ Ð Ð ÖÙ Ñ ¸ Ñ Ñ ¸ Ñ Ñº ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ ×ÓÑ Ö Ó Ø Ò ÙÒ Ö ½¿ Ñ 2 º A Ý B ×ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× ÐÓ× Ð Ó× Ð ØÖ Ô Óº ú Ù Ð × Ð Ö Ð ØÖ Ô Ó A B ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º × Ð × ÜÔÖ × ÓÒ ×¸ S1 = 2 · 3 + 3 · 4 + 4 · 5¸ S2 = 22 + 32 + 42 ¸ S3 = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4¸ ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × Ö Ð ÓÒ × × Ú Ö Ö S2 < S1 < S3 S3 < S2 < S1 S1 < S2 < S3 S1 < S2 = S3 S1 = S2 < S3º ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ð × Ù ÒØ ÙÖ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ú ÖØ ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× × Ñ ÒØÓ × Ð Ñ ×Ñ º Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ý ×Ø Ò ÐÐ º úÉÙ Ò Ñ ÖÓ Ö Ò Ð ÔÙÒØÓ x ½ ¿ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÒÓ × ×Ù ÒØ º ÈÖÓ Ð Ñ º Ù Ò Ó ¾¼½½ × Ú ÔÓÖ ÙÒ ÖØÓ Ò Ñ ÖÓ¸ Ð Ö ×ØÓ Ù ½¼½½º ú Ù Ð ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× × Ù ÒØ × Ù Ð Ú ×ÓÖ ½¼¼ ¼¼ ½¼¼¼ ¾¼¼¼ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ó Ø Ò Ö × Ö ×ØÓº
½º¿ ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾½ ÈÖÓ Ð Ñ º ÍÒ ÑÓ× Ó Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÓÒ ¿ ¼ Ñ 2 Ö ×Ø Ó Ð Ó× × Ù Ö ×¸ ØÓ × Ð Ñ ×ÑÓ Ø Ñ Óº Ð ÑÓ× Ó Ø Ò ¾ Ñ ÐØÓ Ý Ð Ó× × Ò Óº ú Ù Ð × Ð Ö Ð Ó× Ò Ñ 2 ½ ½ ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ º ÌÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ù ØÖÓ ØÓ× ÙÝÓ× ØÓ× ×ÙÑ Ò × × Ö Ò Ò ÓÖ Ò × Ò ÒØ º ú Ò ÕÙ ÐÙ Ö ×Ø × Ù Ò ×Ø Ù Ó Ð Ò Ñ ÖÓ ¾¼½½ Ó Ó Ó ½¼ Ó Ó º ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ Ù ØÖÓ Ù Ö Ó× ÒØ Ó× ×¹ ÔÙ ×ØÓ× Ò ÓÖÑ Äº Ë × Ö Ö ÙÒ ÕÙ ÒØÓ Ù Ö Ó ÑÓ Ó ÕÙ × ÓÖÑ ÙÒ ÙÖ ÓÒ ÙÒ × Ñ ØÖ º ú Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × × ÔÙ Ö ×ØÓ ½ ¾ ¿º ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÙÖ ÓÑÔÙ ×Ø ÔÓÖ ÙÒ Ü ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö Ð Ó ÙÒ ¸ × × ØÖ Ò ÙÐÓ× Ý × × Ù Ö Ó׺ ú Ù Ð × Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ÙÖ 6(1 + √ 2) 6(1 + √ 3 2 ) ½¾ 6 + 3 √ 2 º ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º ÍÒ Ó × ÒÓÖÑ Ð × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò Ô Ö Ö × ÓÔÙ ×Ø × ×ÙÑ Ò º ÌÖ × Ó× ÒÓÖÑ Ð × ×ÓÒ Ô Ð Ó× ÙÒÓ Ò Ñ Ð ÓØÖÓ ÑÓ Ó ÕÙ Ð ×ÙÑ ÔÙÒØÓ× Ò Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ö × Ò ÓÒØ ØÓ × º ÍÒ Ð × Ö × Ú × Ð × Ð Ó Ò Ö ÓÖ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÔÙÒØÓº ú Ù ÒØÓ× ÔÙÒØÓ× Ø Ò Ð Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ½½º Ò ÙÒ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ × × ÔÖÓ Ù ÖÓÒ ÐÙÒ ×¸ Ñ ÖØ × Ý Ñ Ö ÓР׺ Ò Ð Ñ × ÒØ Ö ÓÖ Ù Ó × ÐÓ Ù ØÖÓ ÓÑ Ò Ó׺ ÒØÓÒ × Ð ÔÖ Ü ÑÓ Ñ × Ò ÐÙ Ö Ò × Ö Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ó× Ñ Ö ÓÐ × Ü Ø Ñ ÒØ Ú ÖÒ × Ü Ø Ñ ÒØ × Ó× Ð × ØÙ Ò × ÑÔÓ× Ð º ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º Ó ÕÙ 9n + 9n + 9n = 32011 ¸ ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ Ò ½¼¼ ½¼¼ ¾¼½¼ ¾¼½½ Ò Ò ÙÒÓ ÐÐÓ׺
¾¾ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½¿º ÌÖ × ÔÓÖØ ×Ø × Ô ÖØ Ô ÖÓÒ Ò ÙÒ ÖÖ Ö Å Ù Ð¸ ÖÒ Ò Ó Ý Ë ×Ø Òº ÁÒÑ Ø Ñ ÒØ ×ÔÙ × Ð ÓÑ ÒÞÓ¸ Å Ù Ð ÔÖ Ñ ÖÓ¸ ÖÒ Ò Ó × ÙÒ Ó Ý Ë ×Ø Ò Ø Ö ÖÓº ÙÖ ÒØ Ð ÖÖ Ö ¸ Å Ù Ð Ý ÖÒ Ò Ó × Ô × ÖÓÒ ÙÒÓ Ð ÓØÖÓ Ú ×¸ ÖÒ Ò Ó Ý Ë ×Ø Ò ÐÓ ÖÓÒ ½¼ Ú ×¸ Ý Å Ù Ð Ý Ë ×Ø Ò ½½º ú Ò ÕÙ ÓÖ Ò Ò Ð Þ ÖÓÒ Ð ÖÖ Ö Å Ù Ð¸ ÖÒ Ò Ó¸ Ë ×Ø Ò ÖÒ Ò Ó¸ Š٠и Ë ×Ø Ò Ë ×Ø Ò¸ Š٠и ÖÒ Ò Ó Ë ×Ø Ò¸ ÖÒ Ò Ó¸ Å Ù Ð ÖÒ Ò Ó¸ Ë ×Ø Ò¸ Š٠к ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ë Ø Ò Ò Ó× Ù Ó× ÓÒ Ð Ó× ÐÓÒ ØÙ × x Ñ Ý x + 1 Ѻ Ð Ù Ó Ö Ò ×Ø ÐÐ ÒÓ Ù Ý Ð Ô ÕÙ Ó ×Ø Ú Óº Ë Ú ÖØ Ù Ð Ù Ó Ö Ò Ò Ð Ù Ó Ô ÕÙ Ó ×Ø ÐÐ Ò ÖÐÓ¸ Ý ÕÙ Ò ¾½ Ð ØÖÓ× Ò Ð Ù Ó Ö Ò º ú Ù ÒØ Ù × Ú ÖØ Ò Ð Ù Ó Ô ÕÙ Ó ¾ ¿ Ð ½¾ Ð ½¾ Ð ½º¿¿½ Ð ¾ к ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÍÒ × Ö ÓÒ Ö Ó ½ ÖÙ ÒØÖÓ ÙÒ Ù ÖÓ Ò Ó Ý Ò Ü Ø Ñ ÒØ º Ä Ú ×Ø Ð Ø Ö Ð Ð Ù ÖÓ Ò Ó × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº úÉÙ Ø Ò ÔÖÓ ÙÒ Ó × Ð ÓÝÓ 25 √ 3 ¼ 30 √ 2 60( √ 3 − 1)º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ð ÙÒ × Ð × ÙÒ Ù Ö ÙÐ Ð Ò 4 × 4 Ò Ô ÒØ Ö× Ò ÖÓº Ò Ð ÙÖ × Ò ¸ Ð Ð Ó Ð Ó ÓÐÙÑÒ ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ Ð × Ò × Ð Ó ÓÐÙÑÒ ÕÙ Ò Ô ÒØ Ö× Ò ÖÓº ú Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × × ÔÙ Ö ×ØÓ ¾ ¼ ½ ½ ½ ½ ¼ ¾ ¼ ½ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ú Ù Ð × Ð Ñ ÝÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ× ÓÒ× ÙØ ÚÓ× ¿ ØÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ØÓ ÑÔ Ö ¾¾½ ½½½ ½½¼ ½¼ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Æ ÓÐ × ÕÙ Ö × Ö Ö Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× Ò Ð × Ð × ÙÒ Ù Ö ÙÐ 3 × 3 Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò Ù Ö Ó 2 × 2 × Ù Ð ½¼º × Ö ØÓ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ׸ ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ º Ò Ù ÒØÖ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× Ö ×Ø ÒØ ×º ¿ ¾ ½ ¼ ½¼ ½¾ ½¿ ½½º
½º¿ ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾¿ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÙÖ ÒØ ÙÒ Ú ÑÙÝ ÑÓÚ Ó¸ ÂÙ Ò ØÖ Ø × ÓÞ Ö ÙÒ Ñ Ô ×Ù Ð Ò Ø Ðº Ë Ð × ÖÖ Ð Ô Ö Ù Ö Ð × Ù ØÖÓ ÐР׸ ×Ù× × Ø ÖÙ × Ý Ð × × × ×Ù× Ñ Ó׸ Ô ÖÓ Ò Ö Ð ØÖ × Ð × ÐÐ × ×ÓÒ Ö Ø × Ý × ÐÓ ÙÒ × ÙÖÚ º úÉÙ Ò Ú Ú Ò Ð ÐÐ ÙÖÚ Ò Ú ÖÐ Ò ÖÐ Ú Ä Ò ÓÖÑ Ò × Ò×Ù ÒØ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼º Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC¸ × Ð ¹ ÙÒ ÔÙÒØÓ D Ò Ð × Ñ ÒØÓ BC¸ Ý ÐÙ Ó × Ð Ð ÔÙÒØÓ E Ò Ð × Ñ ÒØÓ ADº Ë Ó Ø ¹ Ò Ò × Ò ÙÐÓ× ÒÓØ Ó× Ò Ð ÙÖ ÔÓÖ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½¸ ¾¸º º º ¸ º Ò Ù ÒØÖ Ð Ñ Ò ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ× Ð Ú ÐÓÖ × Ö ÒØ × ÕÙ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ½¸ ¾¸º º º ¸ ÔÓ Ö Ò ØÓÑ Öº ¿ ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾½º Ë Ñ Ò Ø Ò ÙÒ Ù Ó Ú Ö Ó ½ Ñ Ð Ó¸ Ò ÙÝ × Ö × Ô Ú Ö Ó× Ù Ö Ó× ÒØ Ó× Ô Ô Ð Ó× ÙÖÓ¸ ÑÓ Ó ÕÙ Ð Ù Ó × Ú Ù Ð × ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ó× ´Ú Ö ÙÖ µº ú Ù ÒØÓ× Ñ 2 ×ÓÒ Ô Ô Ð Ó× ÙÖÓ ¿ ¸ ½ ¼ ¾¾ ¿¼¼ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¾º ÄÐ Ñ ÑÓ× ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ó ØÓ× abcde ÒØ Ö × ÒØ × ×Ù× Ö × ×ÓÒ ØÓ × Ö ÒØ × Ý a = b+ c+ d+ eº ú Ù ÒØÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ Ö × ÒØ × Ý ¾ ½ ½ ¾½ ¾ º
¾ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ¾¿º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× x y ×ÓÒ Ñ Ó× Ñ ÝÓÖ × ÕÙ ½º ú Ù Ð Ð × × Ù Ò¹ Ø × Ö ÓÒ × Ø Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ x y + 1 x y − 1 2x 2y + 1 2x 2y − 1 3x 3y + 1 º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÍÒ Ù Ó × ÓÒ×ØÖÙÝ ÓÒ Ô Ô Ð ÔÐ Ó ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º ÈÓÖ Ð ×ÙÔ Ö Ð Ù Ó × ØÖ Þ ÙÒ Ð Ò Ó× ÙÖ ÕÙ Ú Ð ×ÙÔ Ö Ð Ù Ó Ò Ó× Ô ÖØ × ÒØ ×º ú ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ô Ð ×ÔÙ × ÕÙ Ð Ù Ó × × Ó Ð º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ä × Ù ÒØ ÙÖ × ÓÑÔÓÒ Ó× Ö Ø Ò ÙÐÓ׺ Ä × ÐÓÒ ØÙ × Ó× Ð Ó× ×Ø Ò Ñ Ö × ½½ Ý ½¿º Ä ÙÖ × ÓÖØ Ò ØÖ × Ô ÖØ × Ý Ð × Ô ÖØ × × Ö ÓÖ Ò Þ Ò Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ú Ù Ð × Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó x ¼ ¿ ¿ ¿ ¿ º
½º¿ ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾ ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ú Ù ÒØÓ× Ô Ö × ÓÖ Ò Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × (x, y) × Ø × Ò Ð Ù Ò 1 x + 1 y = 1 3 ¼ ½ ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º È Ö ÙÒ ÒØ ÖÓ n ≥ 2 ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ n Ð Ñ ÝÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓ ÕÙ ÒÓ Ü nº ú Ù ÒØÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× k × Ø × Ò Ð Ù Ò k + 1 + k + 2 = 2k + 3 ¼ Ñ × ¿ ¾ ¿ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ð Ð ÑÔ Ú Ö Ó× ØÖ × ÖÓ ÙÒ ÖÖÓ ×Ø ÓÒ×ØÖÙ Ó Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð × Ó ÐÐ w Ý Ð Ö ÞÓ r Ø Ò Ò Ù Ð ÐÓÒ ØÙ Ý Ò Ð ÔÙÒØÓ ÙÒ Ò ÓÖÑ Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ αº Ð Ð ÑÔ Ú Ö Ó× Ô ÚÓØ Ò Ð ÒØÖÓ C Ý Ð ÑÔ Ð Ö ÕÙ × Ú Ò Ð ÙÖ º Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÙÐÓ β ´ Ò Ö Ò ×µ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ð Ó Ö ØÓ Ö Ó Ð Ö Ð ÑÔ ÓÒ Ð Ø Ò ÒØ º 3π−α 2 π − α 2 3π 2 − α π 2 + α π + α 2 º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÄÓ× ÖÑ ÒÓ× Ò Ö × Ý ÖÙÒÓ ÖÓÒ Ö ×ÔÙ ×Ø × Ú Ö Ö × Ð ÔÖ ÙÒØ Ù ÒØÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ø Ò ×Ù ÐÙ × ÓÐ Ö Ö Þº Ò Ö × Ó ÌÓ Ó× ÐÓ× Ñ Ñ ÖÓ× ÒÙ ×ØÖÓ ÐÙ ¸ Ü ÔØÓ Ò Ó¸ ×ÓÒ Ú ÖÓÒ × º ÖÙÒÓ Ó Ò Ù ÐÕÙ Ö ÖÙÔÓ × × Ñ Ñ ÖÓ× Ð ÐÙ ¸ Ð Ñ ÒÓ× Ù ØÖÓ ×ÓÒ Ò × º ú Ù ÒØÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ø Ò Ð ÐÙ ½ ½¾ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿¼º ú Ù ÒØ × Ù Ø ÖÒ × Ö ×Ø × ÙÒ Ù Ó ÔÓ× Ò Ð ÔÖÓÔ ÕÙ Ò Ò Ò Ô Ö Ö ×Ø × Ð Ù Ø ÖÒ Ø Ò Ú ÖØ × ÓÑÙÒ × ½¾ ½ º
¾ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ½º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¿ Ø Ö Ö Ó¸ Ô Ò ½ º ¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ö Ð ØÖ Ô Ó × Ð ÔÖÓ Ù ØÓ Ð × Ñ ×ÙÑ Ð × × × ÔÓÖ Ð ÐØÙÖ º È ÖÓ Ð × Ñ ×ÙÑ Ð × × × × Ù Ð Ð Ð Ó Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ¸ Ý Ð ÐØÙÖ Ð ØÖ Ô Ó × Ð Ó Ð Ð Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö Ð ØÖ Ô Ó × Ð Ó Ð Ð Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ¸ × Ö ¾ Ñ 2 º ¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº È Ö Ú ÖÐÓ ×Ø Ð ÙÐ Ö S1 = 38¸ S2 = 29¸ S3 = 20 Ý ×Ù×Ø ØÙ Ö ×ØÓ× Ú ÐÓÖ × Ò Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × ×º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× × Ñ ÒØÓ × S¸ Ð Ö ÓÖÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ Ô ÖØ Ò Ó Ð Ú ÖØ Ñ Ö Ó ÓÒ ½ × Ú Ò Ò ÓÒØÖ Ò Ó Ú ÖØ × ÓÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× S − 1 Ý ½¸ ÐØ ÖÒ Ñ ÒØ º ÓÑÓ Ð Ú ÖØ Ñ Ö Ó ÓÒ x × ÐÐ ØÖ Ú × Ò Ó × Ñ ÒØÓ׸ × Ð ÖÓ ÕÙ x = 1º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ð Ó ÒØ × q Ý Ð Ú ×ÓÖ d¸ ÔÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÔ Ð Ú × Ò × Ø Ò Ö 2011 = qd + 1011¸ ÓÒ qd = 1000 Ý d ≤ 1000º È ÖÓ ÒØÓÒ × Ð Ö ×ØÓ ½¼½½ × Ö Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ú ×ÓÖ¸ ÐÓ ÕÙ × ×ÙÖ Óº º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ð ÕÒ Ó Ð Ó× × x Ѹ ÒØÓÒ × 360 = 24 · 5 · x = 120x¸ ÓÒ x = 3 Ý Ð Ö Ð Ó× × Ñ 2 º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ × × Ö Ò ×ÓÒ ¼¼¼¸ ¿½¼¼¸ ¿¼½¼¸ ¿¼¼½¸ ¾¾¼¼¸ ¾½½¼¸ ¾½¼½¸ ¾¼¾¼¸ ¾¼½½¸ Ø º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½¼ Ø Ö Ö Ó¸ Ô Ò ½ º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÒØ ÖÒÓ× Ð Ü ÓÒÓ ×ÓÒ ½¾¼ ◦ ¸ Ð Ò ÙÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ð Ú ÖØ ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ü ÓÒÓ × 360◦ − 120◦ − 90◦ − 90◦ = 60◦ ¸ Ý ÓÑÓ ×ÓÒ × × Ð × Ö ×ÙÐØ Ò Ø Ñ Ò ÕÙ Ð Ø ÖÓ× ´ Ð Ó ½µº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ÙÖ × ½¾º ½¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ ÔÖ Ñ ÖÓ Ý × ÙÒ Ó Ó׸ Ô Ò º ½½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº È Ö Ø Ò Ö ÐÙÒ ×¸ Ñ ÖØ × Ý Ñ Ö ÓÐ × Ð Ñ × ÓÑ ÒÞ Ö Ò ÐÙÒ × Ý Ø Ò Ö ¿½ ׺ Ð Ñ × ÒØ Ö ÓÖ Ò Ð Þ Ò ÓÑ Ò Ó¸ Ý ÓÑÓ × ÐÓ ØÙÚÓ ÓÑ Ò Ó× Ø Ò Ö ¾ ׸ × Ö ÕÙ Ù Ö ÖÓº Ð Ñ × × Ù ÒØ Ù ÒØÓÒ × Ö Ð¸ ÕÙ Ø Ò ¿¼ ׸ Ý ÓÑ ÒÞ Ò Ù Ú ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ØÙÚÓ Ù Ú ×¸ Ú ÖÒ × Ý ÙÒÓ ÐÓ× Ñ × × Ð × Ñ Ò º Ä Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÑÔ Ø Ð ÓÒ ×Ø × ØÙ Ò × Ð ´ µº ½¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº 9n + 9n + 9n = 3 · 9n = 3 · (32 )n = 3 · 32n = 32n+1 = 32011 º Á Ù Ð Ò Ó ÐÓ× ÜÔÓÒ ÒØ × 2n + 1 = 2011 Ö ×ÙÐØ n = 1005º
½º¿ ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾ ½¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ÖÒ Ò Ó Ý Ë ×Ø Ò × Ô × ÖÓÒ ÙÒÓ Ð ÓØÖÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ú ×¸ ÕÙ ÖÓÒ Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÓÖ Ò Ö Ð Ø ÚÓ Ò ÕÙ ×Ø Ò¸ × Ö ÖÒ Ò Ó Ð ÒØ Ë ×Ø Òº Ò Ñ Ó Å Ù Ð Ý ÖÒ Ò Ó × Ô × ÖÓÒ ÙÒÓ Ð ÓØÖÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÑÔ Ö Ú ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÕÙ ÖÓÒ Ò ÙÒ ÓÖ Ò Ö ÒØ Ð Ò Ð¸ × Ö ÖÒ Ò Ó Ð ÒØ Å Ù Ðº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó Å Ù Ð Ý Ë ×Ø Ò ÕÙ ÖÓÒ Ò ÙÒ ÓÖ Ò Ö ÒØ Ð Ò Ð¸ × Ö Ë ×Ø Ò Ð ÒØ Å Ù Ðº Ò ÓÒ ÐÙ× Ò¸ Ø ÖÑ Ò ÖÓÒ Ò Ð ÓÖ Ò ÖÒ Ò Ó¸ Ë ×Ø Ò¸ Š٠к ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ø Ò (x + 1)3 − x3 = 217¸ ÓÒ 3x2 + 3x − 216 = 0¸ x2 + x − 72 = 0¸ ÙÝ Ò Ö Þ ÔÓ× Ø Ú × º ÄÙ Ó Ð ÚÓÐÙÑ Ò Ð Ù Ó Ô ÕÙ Ó × 83 = 512 Ð ØÖÓ׺ ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ö Ó Ð × Ö × Ð Ø Ö Ö Ô ÖØ Ð ÐØÙÖ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ¸ ÐÙ Ó ×Ø × º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ×ÓÒ ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ ½½¸ Ý × ÐÓ Ö ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÓÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× × Ð ¾ ×Ø Ð ¿ º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë x × ÙÒÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ ÐØ Ò¸ ÐÓ× Ö ×Ø ÒØ × ×ÓÒ 7 − x¸ 8 − x Ý x − 3 ´Ú Ö ÙÖ µº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ×ÙÑ Ô × x+(7−x)+(8−x)+(x−3) = 12º ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ÒØ ¸ × Ð ×ÙÑ Ô × S¸ ×ÙÑ Ò Ó ÐÓ× Ù Ö Ó× 2 × 2 × Ó Ø Ò 40 = 1 + 4 + 3 + 0 + 4 × 2 + 2S¸ × Ö 24 = 2S¸ ÓÒ S = 12º ¿ ¾ ½ ¼x 7 − x 8 − x x − 3 ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ó× ÐÐ × Ö Ø × ÔÙ Ò Ø Ò Ö ÐÓ ×ÙÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Òº ÓÑÓ Ð × ÐÐ × Ò Ý Ú × ÓÖØ Ò Ó× Ú ×¸ ÙÒ ÐÐ × × Ö ÙÖÚ º È ÖÓ Ð × ÐÐ × Ý Ú Ø Ñ Ò × ÓÖØ Ò Ó× Ú ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÙÒ ÐÐ × × Ö ÙÖÚ º Ë ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ Ð ÐÐ ÙÖÚ × Ð Ú º ¾¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ∠4 = ∠1 + ∠2 Ý ∠7 = ∠4 + ∠5¸ Ö Ð Ñ ÒÓ× ØÖ × Ò ÙÐÓ× Ö ÒØ ×º ×Ø Ñ Ò ÑÓ × Ð ÒÞ × ∠1 = ∠2 = ∠5 = ∠8 = ∠9 = 36◦ ¸ ÔÙ × Ò × ×Ó ∠3 = 108◦ ¸ ∠4 = ∠6 = 72◦ Ý ∠7 = 108◦ º ¾½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä ×ÙÔ Ö Ð Ø Ö Ð ØÓØ Ð × ¼¼ Ñ 2 ¸ Ð Ù Ð 3/8 ×Ø Ò Ù ÖØÓ× ÔÓÖ Ô Ô Ð Ó× ÙÖÓ¸ × Ö ¾¾ Ñ 2 º
¾ ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¾¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÄÓ× ØÓ× bcde Ò × Ö ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ò ¼½¾¿¸ ¼½¾ ¸ ¼½¾ ¸ ¼½¾ ¸ ¼½¿ ¸ ¼½¿ Ó ¼¾¿ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × 7 · 4! = 7 · 24 = 168º ¾¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × ÜÔÖ × ÓÒ × × ÔÙ Ò × Ö Ö× ÓÑÓ A = x y + 1 ¸ B = x y − 1 ¸ C = x y + 1 2 ¸ D = x y − 1 2 ¸ E = x y + 1 3 ¸ ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ö ×ÙÐØ Ð ÖÓ ÕÙ A < C < E < D < Bº ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾¼ Ø Ö Ö Ó¸ Ô Ò ½ º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ Ø Ö Ö Ó¸ Ô Ò ½ º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ 3xy × Ú ÕÙ Ð Ù Ò × ÕÙ Ú Ð ÒØ 3x+ 3y = xy¸ ÕÙ ×Ù Ú Þ × ÔÙ × Ö Ö ÓÑÓ (x− 3)(y − 3) = 9¸ ÓÒ × Ó Ø Ò Ò Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × ´ ¸½¾µ¸ ´ ¸ µ Ý ´½¾¸ µº ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº È Ö k = 1 × ÙÑÔÐ 2 + 3 = 5 º Ë k > 1¸ Ð Ñ Ñ ÖÓ ÞÕÙ Ö Ó Ð Ù Ò × Ð ×ÙÑ Ó× ÔÖ ÑÓ× Ñ ÝÓÖ × ÕÙ ¾¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × Ô Ö ÔÓÖ × Ö Ð ×ÙÑ Ó× ÑÔ Ö ×¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ñ Ñ ÖÓ Ö Ó × ÑÔ Öº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ k = 1 × Ð Ò ×ÓÐÙ Òº ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ò ÙÐÓ β × Ð ×ÙÑ ÙÒ Ö ØÓ Ý ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × × Ð × ÓÒ Ò ÙÐÓ Ð Ú ÖØ α¸ × Ö π 2 + π − α 2 = π − α 2 . ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð ÐÙ Ø Ò Ò Ó Ò × Ý Ð Ñ ÒÓ× Ó× Ú ÖÓÒ × ´ Ò Ö × Ý ÖÙÒÓµº È ÖÓ ÒÓ ÔÙ Ö Ñ × Ú ÖÓÒ ×¸ ÔÙ × ÒØÓÒ × × ÔÓ Ö ÓÖÑ Ö ÙÒ ÖÙÔÓ × × ÓÒ ØÖ × Ò × Ý ØÖ × Ú ÖÓÒ ×º ¿¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº À Ý Ó× Ø ÔÓ× Ù Ø ÖÒ × Ö ×Ø × × ÙÒ¹ Ø × ´½µ Ð × ÓÖÑ × ÔÓÖ Ù ØÖÓ Ö ×Ø × Ô Ö Ð Ð × Ý ´¾µ Ð × ÕÙ Ø Ò Ò Ó× Ö ×Ø × Ô Ö Ð Ð × ÙÒ Ö Ý Ó× Ó× Ö ×Ø × Ô Ö Ð Ð × Ð Ö ÓÔÙ ×Ø ¸ Ô ÖÓ ÓÖØÓ Ó¹ Ò Ð × Ð × Ó× ÔÖ Ñ Ö ×º Ä × Ù Ø ÖÒ × Ð Ø ÔÓ ´½µ ×ÓÒ ¿¸ ÙÒ Ô Ö Ö Ò ÔÓ× Ð º Ä × Ð Ø ÔÓ ´¾µ ×ÓÒ ¸ ÔÙ × Ô Ö Ô Ö Ö × ÓÔÙ ×Ø × × ÔÙ Ò Ð Ö ÐÓ× Ô Ö × Ö ×Ø × ¾ Ñ Ò Ö ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × 3 + 6 = 9º
Ô ØÙÐÓ ¾ ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð Ä ÔÖÙ Ö ÓÒ Ð Ð ÇÂÅ ÓÒ×Ø Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ ÕÙ × Ú ÐÓÖ Ò Ò ÙÒ × Ð ½ º ÄÓ× Ô ÖØ Ô ÒØ × ×ÔÓÒ Ò ØÖ × ÓÖ × Ô Ö Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ ¾º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ë 2x = 15 Ý 15y = 32¸ ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ xy ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ABCD × ÙÒ Ù Ö Ó Ý ABE × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº ú Ù ÒØÓ Ñ Ð Ò ÙÐÓ ∠CED A B CD E ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ë Ø Ò Ò ØÖ × Ò Ñ ÖÓ× ØÖ × ØÓ× ÙÒÓ¸ abc¸ bca Ý cab¸ ÙÝ ×ÙÑ × ¾ º ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ a + b + c
¿¼ ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð ÈÖÓ Ð Ñ º Ð ÔÖÓÑ Ó Ð ÓÒ × ÐÓ× ¿ ×ØÙ ÒØ × ÙÒ ÙÖ×Ó × ½ ¸ º Ë Ð ÔÖÓÑ Ó ÐÓ× Ó× × ½ ¸¾ Ý Ð Ð × × × ½ ¸ ú Ù ÒØ × × Ý Ò Ð Ð × ÈÖÓ Ð Ñ º ÍÒ Ð Ò Ù Ø Ò Ð ØÓ ÁÂÄÅÆÇÈÊËÌÍ ´ ÚÓ Ð × Ô ÖÓ × ÐÓ ½¾ ÓÒ¹ ×ÓÒ ÒØ ×µº Ä × Ô Ð Ö × × ÓÖÑ Ò ÓÒ ØÖ × Ð ØÖ ×¸ × Ò ÕÙ Ô Ö Þ Ò Ó× ÚÓ Ð × Ó Ó× ÓÒ×ÓÒ ÒØ × ÓÒ× ÙØ Ú ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ È Ë¸ ÁÆ ¸ ÄÍÄ Ý ÇÆÇ ×ÓÒ Ô Ð Ö ×¸ Ô ÖÓ ÌÊÁ¸ Ƹ ÅÁ Ý Í ÒÓ ÐÓ ×ÓÒº ´ µ ú Ù ÒØ × Ô Ð Ö × Ý Ò × Ð Ò Ù ´ µ Ë × × Ö ÙÒ ÓÒ Ö Ó × Ð Ò Ù Ò Ó× ØÓÑÓ׸ Ò ÓÖ Ò Ð Ø Ó Ý Ñ Ò Ö ÕÙ ØÓÑÓ ÓÒØ Ò Ð Ñ ×Ñ ÒØ Ô Ð Ö ×¸ ú Ù Ð × Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ð Ö Ð × ÙÒ Ó ØÓÑÓ ¾º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º 2xy = (2x )y = 15y = 32¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ xy = 5º ¾º ∠EAD = ∠BAD − ∠BAE = 90◦ − 60◦ = 30◦ º ÓÑÓ EA = AB = AD Ð ØÖ Ò ÙÐÓ EAD × × × Ð × Ý ∠ADE = (180◦ − ∠EAD)/2 = 75◦ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠EDC = 15◦ Ý Ó Ú Ñ ÒØ Ø Ñ Ò ∠ECD = 15◦ ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠CED = 180◦ − 15◦ − 15◦ = 150◦ º ¿º Ä ×ÙÑ ÐÓ× ØÖ × Ò Ñ ÖÓ× × (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) = (100 + 10 + 1)(a + b + c), ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 111(a + b + c) = 2664 Ý a + b + c = 2664/111 = 24º º Ë x Ð Ò Ñ ÖÓ ×º ÒØÓÒ × 35 · 15,75 = 14,25(35 − x) + 18x, ÓÒ 35(15,75 − 14,25) = (18 − 14,25)x = 3,75x, x = 35 · 1,5 3,75 = 14. À Ý ½ ׺ º ´ µ 5 · 12 · 5 + 12 · 5 · 12 = 300 + 720 = 1020º ´ µ È Ö Ð ØÖ Ý ¼ Ô Ð Ö × ÕÙ ÓÑ ÒÞ Ò ÔÓÖ ÐÐ ¸ Ý ÓÑÓ Ð Ð ØÖ Ð Ñ Ó × Ð Ä¸ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × Ö Ð Ô Ð Ö ¿½ ÕÙ ÓÑ Ò ÓÒ Äº À Ý ½¾ Ô Ð Ö × ÕÙ ÓÑ ÒÞ Ò ÓÒ Ä ¸ ÓÒ Ä Ý ÓÒ Ä º Ä × Ô Ð Ö ÕÙ × Ù Ò ×ÓÒ Ä ¸ Ä ¸ Ä ¸ Ä ¸ Ä Â¸ Ä Ä¸ Ä Å¸ Ä Æ Ý Ä È¸ ÕÙ × Ð Ö ×ÔÙ ×Ø º
¾º¾ ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó ¿½ ¾º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ½¸ ¾¸ Ý × ÙÒ Ó Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÔÖ Ñ Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¾ µº Ä × ÔÖÙ × × ÐÓ × Ö Ò Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¿¸ ÕÙ × ÒÙÒ ÓÒØ ÒÙ Òº ÈÖÓ Ð Ñ ¿º µ ú Ù Ð × Ð ØÓ Ð × ÙÒ × 32011 + 52011 ´ µ Ð Ò Ñ ÖÓ 32011 + 52011 ¸ úÔÙ × Ö ÙÒ Ù Ö Ó Ô Ö ØÓ ¾º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ½¸ ¾¸ Ý × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Ô Ò ¿¼º ¿º ´ µ Ä × ÔÓØ Ò × ¿ Ø ÖÑ Ò Ò ×Ù × Ú Ñ ÒØ Ò ¿¸ ¸ ¸ ½¸ ¿¸ ¸ ¸ ½¸º º º Ä Ô Ö Ó Ô ÖÑ Ø ÖÑ Ö ÕÙ 32011 Ø ÖÑ Ò Ò º × Ð ÖÓ ÕÙ 52011 ´ ÓÑÓ ØÓ × Ð × ÔÓØ Ò × µ Ø ÖÑ Ò Ò º ´ µ ÓÑÓ 32011 Ø ÖÑ Ò Ò Ý 52011 Ø ÖÑ Ò Ò ¸ Ð ×ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ò ¾º È ÖÓ ÐÓ× Ù Ö Ó× Ô Ö ØÓ× × ÐÓ ÔÙ Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ò ¼¸ ½¸ ¸ ¸ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 32011 + 52011 ÒÓ × ÙÒ Ù Ö Ó Ô Ö ØÓº ¾º¿º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½ Ð ÙÐ Ð Ö Ð Ü ÓÒÓ Ð ÙÖ ¸ × Ò Ó ÕÙ Ð Ð Ó Ð Ù Ö ÙÐ Ñ ½ Ѻ 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Á ÒØ Ó Ð ÈÖÓ Ð Ñ ¿ Ë ÙÒ Ó Ó ´Ú Ö Ñ × ÖÖ µº ÈÖÓ Ð Ñ ¿ ÍÒ Ø Ð ÖÓ Ù Ö Ó 4×4 Ø Ò Ù ØÖÓ ×Ù Ø Ð ÖÓ× 3×3 ´ Ò Ð ÙÖ × ÑÙ ×ØÖ ÙÒÓ ÐÐÓ× Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ Ð Ð Ò ÖÙ × µº ´ µ ÅÙ ×ØÖ ÑÓ Ñ Ö Ö Ð × ½ × ÐÐ × Ð Ø Ð ÖÓ Ñ Ò Ö ÕÙ ×Ù Ø Ð ÖÓ 3 × 3 ÓÒØ Ò Ü Ø Ñ ÒØ × ÐÐ × Ñ Ö ×º ´ µ ÅÙ ×ØÖ ÑÓ Ñ Ö Ö Ð × ½ × ÐÐ × Ð Ø Ð ÖÓ Ñ Ò Ö ÕÙ ×Ù Ø Ð ÖÓ 3 × 3 ÓÒØ Ò Ü Ø Ñ ÒØ × ÐÐ × Ñ Ö ×º
¿¾ ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð ´ µ ú × ÔÓ× Ð Ñ Ö Ö Ð × ½ × ÐÐ × Ð Ø Ð ÖÓ Ñ Ò Ö ÕÙ ×Ù Ø ¹ Ð ÖÓ 3 × 3 ÓÒØ Ò Ü Ø Ñ ÒØ × ÐÐ × Ñ Ö × ÂÙ×Ø ÕÙ ×Ù Ö ×ÔÙ ×Ø º ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒØ ÒÙ Ò × ÑÙ ×ØÖ Ò Ó× ÐÓ× × × ØÓ× ÙÒ Ø Ö Ø Ö ØÓ ¿ Ë Ò Ó ÕÙ Ð ×ÙÑ Ù Ð ×ÕÙ Ö ØÖ × ØÓ× ÓÒ× ÙØ ÚÓ× × ½ ¸ úÔÙ Óѹ ÔÐ Ø Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÈÖÓ Ð Ñ º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × k Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × Ð × Ó× Ö × x2 − 30x + k = 0 ×ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× ÔÖ ÑÓ׺ ¾º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Ð Ü ÓÒÓ ×Ø ÒØÖÓ ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ð Ó× Ý Ý Ö ¾¼º Ä Ö Ò ÒØÖ Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý Ð Ü ÓÒÓ ÓÒ ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö × ¾¸ 3 2 ¸ 3 2 ¸ ¿ Ý ½¸ ÕÙ ×ÙÑ Ò Ñ 2 º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö Ð Ü ÓÒÓ × 20 − 9 = 11 Ñ 2 º ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ð Ö × 8 + 8 2 − 1 = 11 Ñ 2 º ¾º Î Ö ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ Ì Ö Ö Ó Ô º ¿½º ¿º ´ µ À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × ÖÐÓº ÓÒØ ÒÙ Ò × ÑÙ ×ØÖ Ò Ó× ÐÐ × ´ µ À Ý Ó× Ñ Ò Ö × ÖÐÓ ´ µ × ÑÔÓ× Ð ¸ Ý ÕÙ Ö Ö Ó× × ÐÐ × × Ò Ñ Ö Ö Ò ×Ù Ø Ð ÖÓ 3 × 3¸ Ô ÖÓ ÓÑÓ ×Ù Ø Ð ÖÓ Ø Ò ×ÓÐ Ñ ÒØ ÙÒ × ÐÐ ÕÙ ÒÓ Ô ÖØ Ò
¾º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó ¿¿ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÓØÖÓ× ØÖ × ´Ð Ð ×ÕÙ Ò µ × × × ÐÐ × ÒÓ ÔÙ Ò × Ö ØÓ × Ö ÒØ ×¸ Ý Ð Ø Ð ÖÓ Ø Ò Ö Ñ ÒÓ× × ÐÐ × × Ò Ñ Ö Öº º ÄÓ× Ó× ØÓ× Ð Ö Ð Ò ×ÙÑ Ö ¸ ÐÙ Ó Ð Ô Ò ÐØ ÑÓ Ò Ñ ÖÓ × º ÈÓÖ Ð Ñ ×Ñ Ö Þ Ò Ò Ð × ÔÓ× ÓÒ × ¸ Ý ¿ Ú Ð ¿ ÓÖ × Ú ÕÙ Ò Ð × ÙÒ × ÐÐ Ú Ð Ý Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ¿º Ð Ö ×ØÓ × ÓÑÔÐ Ø ÐÑ ÒØ ÞÕÙ Ö Ö ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ º Ä ×ÙÑ Ð × Ö × × Ö ¿¼ Ý ×Ù ÔÖÓ Ù ØÓ kº ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö × ÓÑÔÓ× Ò ¿¼ ÓÑÓ ×ÙÑ Ó× ÔÖ ÑÓ× p Ý q¸ × Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÙ Ò k = pqº Ä × × ÓÑÔÓ× ÓÒ × Ú Ð × ×ÓÒ 7+23 = 11+19 = 13+17¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ù× Ó× k ×ÓÒ 7 · 23 = 161¸ 11 · 19 = 209 Ý 13 · 17 = 221º ¾º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º Á ÒØ Ó Ð ÈÖÓ Ð Ñ Ì Ö Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¿¾µº ÈÖÓ Ð Ñ ¾º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× n¸ 1 ≤ n ≤ 8¸ Ø Ð × ÕÙ × ÔÓ× Ð Ñ Ö Ö Ð ÙÒ × × ÐÐ × Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ 5×5 ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ Ý Ü Ø Ñ ÒØ n × ÐÐ × Ñ Ö × Ò Ù Ö Ó 3 × 3º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × k Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × Ð × Ó× Ö × x2 − 30x + k = 0 ×ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× ÔÖ ÑÓ׺ ÈÖÓ Ð Ñ À ÐÐ Ð Ö Ð Ù Ö Ð Ø ÖÓ ABCD¸ × Ò Ó ÕÙ AB = BC¸ ∠ABC = ∠ADC = ∠BED = 90◦ Ý BE = 5º A B C DE ÈÖÓ Ð Ñ º ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð × Ô Ù Ö Ó × × ÙÒ Ù Ö Ó Ô Ö ØÓ Ý Ñ × × Ð Ù Ð Ö ÞÕÙ Ö ÕÙ ÞÕÙ Ö Ö º ÈÓÖ ÑÔÐÓ 484 = 222 × ÙÒ Ô Ù Ö Ó ¿ Ö ×º µ × Ö Ð Ñ ÒÓ× ØÖ × Ô Ù Ö Ó× Ö ×º µ ú Ü ×Ø Ò Ô Ù Ö Ó× Ö ×
¿ ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð ¾º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Î Ö Ô Ò ¿¿º ¾º × ÔÓ× Ð Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× × Ð ½ ×Ø Ð ¸ ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö Ñ × n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 ¿º Ä ×ÙÑ Ð × Ö × × Ö ¿¼ Ý ×Ù ÔÖÓ Ù ØÓ kº ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö × ÓÑÔÓ× Ò ¿¼ ÓÑÓ ×ÙÑ Ó× ÔÖ ÑÓ× p Ý q¸ × Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÙ Ò k = pqº Ä × × ÓÑÔÓ× ÓÒ × Ú Ð × ×ÓÒ 7+23 = 11+19 = 13+17¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ù× Ó× k ×ÓÒ 7 · 23 = 161¸ 11 · 19 = 209 Ý 13 · 17 = 221º º ÌÖ ÑÓ× ÔÓÖ B Ð Ô Ö Ð Ð AD ×Ø ÓÖØ Ö Ò F Ð ÔÖÓÐÓÒ Ò DCº ÄÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× ABE Ý CBF ×ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ × ÔÓÖ Ø Ò Ö AB = BC Ý ∠ABE = ∠CBF¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ BF = BE = 5 Ý Ö ´ABCD) = Ö ´EBFD) = 25º A B C DE F º µ × Ö ÞÓÒ Ð ÔÖÓ Ö ÓÒ Ð Ù Ö Ó ÙÒ Ô ØÖ × Ö × Ô ÕÙ × ´Ô Ö Ú Ø Ö ÖÖ Ó×µ¸ × × Ó Ø Ò Ò 1012 = 10201¸ 1112 = 12321¸ 1212 = 14641¸ 2022 = 40804 Ý 2122 = 44944º À Ý ÓØÖÓ Ñ × Ð ÐÐ Ö 3072 = 94249º
¾º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó ¿ µ ÆÓ Ýº ÍÒ Ô Ù Ö Ó n Ö × × Ö Ð ÓÖÑ abba¸ × Ö n = 1000a+ 100b+10b+a = 1001a+ 110b = 11(91a+ 10b)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ ½½º Ë n = k2 ¸ ÒØÓÒ × k × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ ½½º Ë k = 11r ÒØÓÒ × n = (11r)2 = 121r2 º È Ö ÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ Ó × Ö × r × Ö Ð Ñ ÒÓ× ¿ Ý ÐÓ ×ÙÑÓ ¸ Ô ÖÓ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× 121r2 ÓÒ 3 ≤ r ≤ 9 ´ × Ö ½¼ ¸ ½ ¿ ¸ ¿¼¾ ¸ ¿ ¸ ¾ ¸ Ý ¼½µ × Ô ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × Ø Ú º ¾º º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ ÕÙ ÒØÓ Ó × Ð Ñ ×ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¿¾µº ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾ Ý ¿ ÕÙ ÒØÓ Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾ Ý ¿ Ù ÖØÓ Ó ´Ú Ö Ô º ¿¿µº ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ Ý × ÒÙÒ Ò ÓÒØ ÒÙ Òº ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ü ÓÒÓ ABCDEF ×Ø Ö ÙÒ× Ö ÔØÓ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ´ × Ö ÕÙ ØÓ Ó× ×Ù× Ð Ó× ×ÓÒ Ø Ò ÒØ × Ð Ö ÙÒ Ö Ò µº Ë Ð × ÐÓÒ ØÙ × ÐÓ× Ð Ó× AB¸ BC¸ CD¸ DE Ý EF ×ÓÒ ¸ ¸ ¸ Ý Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ú Ù Ð × Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó FA A B C DE F ÈÖÓ Ð Ñ º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × n Ø Ð × ÕÙ Ð ×ÙÑ ØÓ Ó× ×Ù× Ú ×ÓÖ × ´ Ò ÐÙ Ó× ½ Ý Ð Ñ ×ÑÓ nµ × Ù Ð ½ º ¾º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × Ä ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ô Ò ¿¿º Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾ Ý ¿ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Ô Ò ¿ º º ÓÑÓ ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× Ø Ò ÒØ × ÙÒ ÔÙÒØÓ ÜØ Ö ÓÖ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ×ÓÒ Ù Ð ×¸ × Ø Ò AP = PB¸ BQ = QC¸ CR = RD¸ DS = SE¸ ET = T F FU = UAº ÒØÓÒ × AB − BC + CD − DE + EF − FA = 0¸ Ý ÕÙ Ò Ð ×ÙÑ ÐØ ÖÒ × Ñ ÒØÓ Ø Ò ÒØ × Ò Ð ÓÒ ÓØÖÓ Ù Ðº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ FA = AB − BC + CD − DE + EF = 4 − 5 + 6 − 7 + 8 = 6.
¿ ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð A B C DE F P Q R S T U º Ë pa qb · · · × Ð × ÓÑÔÓ× Ò Ò ØÓÖ × ÔÖ ÑÓ× n ÒØÓÒ × Ð ×ÙÑ ×Ù× Ú ×ÓÖ × × (1 + p + · · · + pa )(1 + q + · · · + qb ) · · · ÄÓ× ØÓÖ × (1+p+· · ·+pa ) ÕÙ ÒÓ ×ÙÔ Ö Ò ½ ×ÓÒ µ ÐÓ× Ð ÓÖÑ (1+p) ÓÒ p < 156 ÔÖ ÑÓ¸ µ 1 + 2 + 22 = 7¸ 1 + 3 + 32 = 13¸ 1 + 5 + 52 = 31¸ 1 + 7 + 72 = 57¸ 1+11+112 = 133¸ µ 1+2+22 +23 = 15¸ 1+3+32 +33 = 40¸ 1+5+52 +53 = 156¸ µ 1+2+22 +23 +24 = 31¸ 1+3+32 +33 +34 = 121¸ µ 1+2+22 +23 +24 +25 = 63¸ µ 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 127º ÓÑÓ 156 = 22 · 3 · 13 Ø Ò ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × ÔÓ× Ð × 156 = 3 · 4 · 13 = (1 + 2)(1 + 3)(1 + 3 + 32 )¸ ÕÙ ÒÓ × ÖÚ ÔÙ × × ×Ø Ö Ô Ø Ò Ó Ð ¿º 156 = 3 · 52¸ 156 = 4 · 39¸ 156 = 6 · 26¸ ÕÙ ÒÓ × ÖÚ Ò ÔÙ × ¾¸ ¿ Ý ¾ ÒÓ ×Ø Ò Ò Ð Ð ×Ø º 156 = 12 · 13 = (1 + 11)(1 + 3 + 32 )¸ ÕÙ ÒÓ× n = 11 · 32 = 99º 156 = 1 + 5 + 52 + 53 ¸ ÕÙ ÒÓ× n = 53 = 125º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ý Ó× ×ÓÐÙ ÓÒ ×¸ Ý ½¾ º
Ô ØÙÐÓ ¿ ÈÖÙ Ò Ð Ä ÔÖÙ Ò Ð Ð ÇÂÅ ¾¼½½ × Ö Ð Þ Ò Ð ÍÒ Ú Ö× Ë Ñ Ò ÓÐ Ú Ö¸ Ð × Ó ½½ ÙÒ Óº Ä ÔÖÙ ÓÒ×Ø Ù ØÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ ÙÒÓ ÐÐÓ× Ú ÐÓÖ Ó Ò ÙÒ × Ð ½ º ÄÓ× Ô ÖØ Ô ÒØ × ×ÔÙ× ÖÓÒ ØÖ × ÓÖ × Ý Ñ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ ¿º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ë n ÙÒ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ Ý × k Ð ÒØ ÖÓ ÕÙ Ö ×ÙÐØ Ð ÓÖÖ Ö Ð Ö Ð × ÙÒ × n ´ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ × n Ù × ¾ ÒØÓÒ × k × Ö µº Ë n − k = 2011¸ ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ n ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ò Ð ÙÖ Ð Ö ABCD × ÙÒ Ù Ö Ó Ý P × ÙÒ ÔÙÒØÓ ÜØ Ö ÓÖ Ø Ð ÕÙ AP = AC Ý ∠BCP = 17◦ º Ð ÙÐ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ ∠BAPº A B CD P 17◦ ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ë ÓÖÑ ÙÒ Ð Ö Ð ×Ø ØÓ× × Ö Ò Ó ÐÓ× ÒØ ÖÓ× Ð ½ Ð ¾¼½½ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ò Ð ÓØÖÓ 12345678910111213 . . .200920102011.
¿ ÈÖÙ Ò Ð ú Ù ÒØ × Ú × Ô Ö Ð × Ù Ò ½¾ Ò × Ð ×Ø ÈÖÓ Ð Ñ º Ò ÖØÓ ÔÙ ÐÓ¸ 2 3 Ð ØÓØ Ð ÓÑ Ö × ×Ø Ò × Ó× ÓÒ 3 5 Ð ØÓØ Ð ÑÙ Ö ×º Ë ÒÙÒ × × Ò ÓÒ ÓÖ ×Ø ÖÓ׸ ú Ù Ð × Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ô Ö×ÓÒ × ×ÓÐØ Ö × Ö ×Ô ØÓ Ð ÔÓ Ð Ò ØÓØ Ð Ð ÔÙ ÐÓ ÆÓØ ÄÓ ÕÙ × Ô × Ò Ñ ÖÓ Ô Ö×ÓÒ × ×ÓÐØ Ö × Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ô Ö×ÓÒ × º ¿º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º × Ð ÖÓ ÕÙ n × Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö × abcd Ý ÕÙ a × Ö ¾ ´× a = 3 ÒØÓÒ × abcd − abc ≥ 3000 − 399 > 2011¸ Ý × a > 3 ÒØÓÒ × abcd − abc ≥ 4000−999 > 2011µº ÓÖ ÙÑÔÐ Ö× 2bcd−2bc = 2011¸ Ó Ò bcd−2bc = 11¸ ÐÓ ÕÙ × ÐÓ Ö ÓÒ b = 2¸ c = b + 1 = 3 Ý d = c + 1 = 4º ½º ´ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú µº Ë Ð Ö Ð × ÙÒ × n × x ÒØÓÒ × n = 10k+x Ý n − k = 9k + x = 2011º ÓÑÓ 2011 = 9 · 223 + 4¸ Ö ×ÙÐØ x = 4 Ý k = 223º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ n = 10 · 223 + 4 = 2234º ¾º ∠ACP = ∠ACB + ∠BCP = 45◦ + 17◦ = 62◦ º ÓÑÓ ACP × × × Ð ×¸ ∠APC = ∠ACP = 62◦ Ý ∠CAP = 180◦ − 2 · 62◦ = 56◦ º ÒØÓÒ × ∠BAP = ∠CAP − ∠CAB = 56◦ − 45◦ = 11◦ º ¿º Ä × Ù Ò ½¾ ÔÙ Ô Ö Ö ÓÑÓ ÐÓ× Ó× ÐØ ÑÓ× ØÓ× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ½¾¸ ½½¾¸ ¾½¾¸º º º ¸ ½¾¸ ½¼½¾¸ ½½½¾¸º º º ¸ ½ ½¾ ´¾¼ Ú ×µº Ì Ñ Ò ÓÑÓ Ö × Ð × ÒØ Ò × Ý Ð × Ò × ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ½¾¼¸ ½¾½¸ º º º ¸ ½¾ ´½¼ Ú ×µ Ý ½½¾¼¸ ½½¾½¸ º º º ¸ ½½¾ ´½¼ Ú ×µº Ì Ñ Ò ÓÑÓ Ö Ð × ÙÒ × ½¼¼¼ Ý Ö Ð × ÒØ Ò × Ò ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ½¾¼¼¸ ½¾¼½¸º º º ¸ ½¾ ´½¼¼ Ú ×µº Ñ × ÔÙ Ô Ö Ö ÓÑÓ ÐØ Ñ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ý ÔÖ Ñ Ö Ð × Ù ÒØ ¸ Ò ÐÓ× ×Ó× ½ ¾¸ ¾½ ¾¾¸ ¾¼½ ¾¼¾¸ ¾½½ ¾½¾¸ ¾¾½ ¾¾¾¸ ¾¿½ ¾¿¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾ Ý ¾¼¼½ ¾¼¼¾ ´½¿ Ú ×µº Ò ØÓØ Ð Ð × Ù Ò ½¾ Ô Ö 10 + 10 + 10 + 10 + 100 + 13 = 153 Ú ×º º Ë Ò h Ð ØÓØ Ð ÓÑ Ö ×¸ m Ð ØÓØ Ð ÑÙ Ö × Ý n = h + m Ð ØÓØ Ð Ø ÒØ × Ð ÔÙ ÐÓº Ä × Ô Ö×ÓÒ × ×ÓÐØ Ö × ×ÓÒ s = (1/3)h + (2/5)mº È ÖÓ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÑ Ö × × Ó× × Ö Ù Ð Ð ÑÙ Ö × × ×¸ × Ö (2/3)h = (3/5)m¸ ÓÒ h = (9/10)mº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ô × s n = 1 3 h + 2 5 m h + m == 3 10 m + 2 5 m 9 10 m + m = 7 10 19 10 = 7 19 .
¿º¾ ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó ¿ ¿º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý × ÙÒ Ó Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÔÖ Ñ Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¿ µº Ä × ÔÖÙ × × ÐÓ × Ö Ò Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ò Ð ×ÙÑ ÕÙ × Ú Ð Ö Ð × Ð ØÖ × A¸ B Ý C Ö ÔÖ × ÒØ Ò ØÓ× Ö ÒØ × ÒÓ ÒÙÐÓ׺ ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ ÙÒ ÐÐ × ABC + ABC BBA ¿º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý ¿ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð Ô Ò ¿ º ½º Ð ×ÙÑ Ö Ð ÓÐÙÑÒ Ð Ö ÒÓ× ÑÓ× ÐÐ Ú Ö ÙÒ ¸ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó Ð Ò Ó Ú ÐÓÖ ÔÓ× Ð Ô Ö B × Ö ¼º Ë ÐÐ Ú ÑÓ× ÙÒ ÒØÓÒ × B = 9 Ý A + A + 1 = B = 9¸ ÓÒ A = 4º Ò ÐÑ ÒØ C + C = 14 × × Ù C = 7º ¿º¿º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÓÖÑ Ó× ÔÓÖ ÐÓ× ØÓ× ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Ý ¸ Ò Ð Ò ÓÖ Ò¸ Ø Ð × ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ× ´ ÞÕÙ Ö Ö µ × Ú × Ð ÒØÖ ¾¸ Ð ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð × ÙÒ Ó Ý Ð Ø Ö Ö ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ ¿¸ Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ ×Ø ÕÙ Ð ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ó Ø ÚÓ Ý Ð ÒÓÚ ÒÓ ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ð ÔÖÓÑ Ó Ø Ó ÙÒ × ÓÐ ×Ø × Ð ÙÐ ÓÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ Ø× Ó Ø Ò Ó× Ú Ó ÒØÖ Ð Ò Ñ ÖÓ ØÙÖÒÓ× Ð Ø Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ ½¼¼¼º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ò ½¼ ØÙÖÒÓ× Ø ¿ Ø׸ Ð ÔÖÓÑ Ó Ø Ó × ¿¼¼º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ò ÖØÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ø ÑÔÓÖ Ð ÔÖÓÑ Ó ÙÒ × ÓÐ ×Ø × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ¾ ¼ Ô ÖÓ ÕÙ Ñ × Ð ÒØ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾ ¼¸ úÔÙ ÖÑ Ö× ÕÙ Ò Ð Ò ÑÓÑ ÒØÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ¾ ¼ Ð ÒÚ Ö× ¸ × Ò ÖØÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ð ÔÖÓÑ Ó × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾ ¼ Ý Ñ × Ð ÒØ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ¾ ¼¸ ú Ù Ò Ð Ò ÑÓÑ ÒØÓ Ü Ø Ñ ÒØ ¾ ¼ ÈÖÓ Ð Ñ ¿º ÍÒ ÖÖ Ó ÓÐ Ø Ø Ò ÓÖÑ Ù Ö ÙÐ 4 × 7¸ ÓÒ ÙÒ Ù Ö ØÓ Ò ÙÒ ×ÕÙ Ò Ñ Ö Ó ÓÒ º Ò Ö × Ý ÖØ Ù Ò Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö ÙÒÓ Ò ×Ù ØÙÖÒÓ¸ ÓÑ ÒÞ Ò Ó ÔÓÖ Ò¹ Ö ×¸ Ô ÖØ Ö Ð ÖÖ Ò Ó× ÔÓÖ ÙÒ Ð × Ð Ò × Ö Ø × Ð Ù Ö ÙÐ ¸ ÓÑ Ö× Ð ØÖÓÞÓ ÕÙ ÒÓ ÓÒ¹ Ø Ò Ð Ý Ô × ÖÐ ÐÓ ÕÙ ÕÙ Ð ÓØÖÓ Ù ÓÖº
¼ ÈÖÙ Ò Ð Ð ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ô ÖØ Ö Ð ÖÖ ´ÐÓ ÕÙ Ó ÙÖÖ Ö Ù Ò Ó Ö ×ÓÐ Ñ ÒØ ÙÒ Ù Ö ØÓµ Ô Ö Ð Ù Óº Ø ÖÑ Ò × Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ó× Ù ÓÖ × Ø Ò ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ ¸ Ý ÜÔÐ Õ٠٠Р׺ ÆÓØ ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ × ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ù Ó ÕÙ × ÙÖ Ð Ú ØÓÖ Ð ÕÙ ÐÓ ÔÐ ¸ Ù Ù ÐÓ ÕÙ Ù Ù ×Ù Ú Ö× Ö Óº ÈÖÓ Ð Ñ º Ë Ò ABCD ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ¸ E Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð Ó CD¸ F Ý G ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ð Ó AB Ø Ð × ÕÙ AF = FG = GB¸ H Ý K ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÒØ Ö× Ò Ð ÓÒ Ð AC ÓÒ EF Ý EG¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ´ µ Ð ÙÐ HC AH Ý AK KC º ´ µ Ð ÙÐ HK AC º ´ µ Ð ÙÐ Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ EHK Ö Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ ABCD º ¿º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Ë abcdefghi Ð Ò Ñ ÖÓº È Ö ÕÙ de × Ú × Ð ÒØÖ ¸ Ð ÕÙ ÒØÓ ØÓ e × ÐÓ ÔÙ × Ö º ÓÖ Ô Ö ÕÙ 5f × Ú × Ð ÒØÖ ¸ f × Ö Ô Ö ÕÙ 4g × Ú × Ð ÒØÖ ¸ g × Ö Ô Ö ÕÙ 9h × Ú × Ð ÒØÖ ¸ h × Ö Ý Ô Ö ÕÙ 6i × Ú × Ð ÒØÖ ¸ i × Ö ¿º È Ö ÐÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ× Ù ØÖÓ ØÓ× ÕÙ Ò ½¸ ¾¸ Ý º È Ö ÕÙ cd × Ú × Ð ÒØÖ × Ö d = 2¸ Ý ÕÙ Ò ½ Ò ×ÓÒ Ú × Ð × ÒØÖ º ÒØÓÒ × b × Ö Ð Ô Ö ÕÙ ÒÓ× ÕÙ ¸ × Ö º ÓÖ ÕÙ Ò Ó× ÔÓ× Ð × Ô Ö ÓÑÓ Ö Ð ½ Ý Ð ¸ ÕÙ Ò ÐÙ Ö ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½ ¾ ¿ Ý ½¾ ¿º Ñ Ó× ÙÑÔÐ Ò Ð × ÓÒ ÓÒ × Ý ×ÓÒ Ð × Ò × ×ÓÐÙ ÓÒ ×º ¾º Ë Ò ×Ù ÔÖ Ñ Ö ØÙÖÒÓ ÒÓ Ø ×Ù ÔÖÓÑ Ó × ¼¸ Ý × Ò Ð × ÙÒ Ó ØÙÖÒÓ Ø ÙÒ Ø ×Ù ÔÖÓÑ Ó ×Ù ¼¼¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÙ Ô × Ö × Ö Ñ ÒÓÖ ¾ ¼ × Ö Ñ ÝÓÖ ¾ ¼ × Ò ØÓÑ Ö Ð Ú ÐÓÖ ¾ ¼º Ð ÒÚ Ö× Ð × ØÙ Ò × Ö ÒØ º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖÓÑ Ó Ô × × Ö Ñ ÝÓÖ × Ö Ñ ÒÓÖ ÕÙ ¾ ¼º Ë Ò Ð ÐØ ÑÓ ØÙÖÒÓ Ò ÕÙ Ö Ñ ÝÓÖ ¾ ¼ Ð Ù ÓÖ Ø Ó h Ø× Ò n ØÙÖÒÓ׸ ÒØÓÒ × 1000h/n > 250¸ Ó 4h > nº Ò Ð ØÙÖÒÓ × Ù ÒØ ÒÓ ÔÙ Ö Ø Ó Ø ÔÙ × Ò × ×Ó ×Ù ÔÖÓÑ Ó ÒÓ ×Ñ ÒÙ Ö ¸ Ý ÕÙ Ô × Ö × Ö 1000(h + 1)/(n + 1) Ý (h + 1)/(n + 1) − h/n = (n − h)/(n(n + 1)) ≥ 0º È ÖÓ × ÒÓ Ø Ø ×Ù ÔÖÓÑ Ó Ô × × Ö 1000h/(n+ 1) ≤ 250º × Ö ÕÙ 4h ≤ n+ 1º ÒØÓÒ × n < 4h ≤ n + 1 Ý ÓÑÓ h Ý n ×ÓÒ ÒØ ÖÓ× × Ö 4h = n + 1 Ý Ð ÔÖÓÑ Ó ÐÐ × Ö Ü Ø Ñ ÒØ ¾ ¼º ¿º Ò Ö × Ø Ò ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ ¸ ÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò Ô ÖØ Ö Ð ÖÖ Ò ÓÐ × ÑÔÖ ÙÒ Ù Ö Ó ÖØ º Ò ×Ù ÔÖ Ñ Ö Ù Ð Ö ÙÒ Ù Ö Ó 4 × 4º Ò ÐÓ ×Ù × ÚÓ¸ × ÖØ Ö ÙÒ Ù Ö Ó k × k ÓÒ k > 1¸ Ö Ô ÖØ ÖÐÓ Ò Ó ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ k ×h¸ ÓÒ h < k¸ Ð Ù Ð Ò Ö × Ô ÖØ Ö Ò Ó ÙÒ Ù Ö Ó h × hº × Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÖØ Ö Ö ÙÒ Ù Ö Ó 1 × 1 Ý Ô Ö Ö º ¿º ´ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú µº
¿º¿ ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ½ º A B CD E F G H K ´ µ ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× HAF Ý HCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò HC AH = EC AF = 1 2 AB 1 3 AB = 3 2 . Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× KAG Ý KCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò AK KC = AG EC = 2 3 AB 1 2 AB = 4 3 . ´ µ ´ µ × × Ù ÕÙ AC AH = AH + HC AH = 1 + 3 2 = 5 2 º Ò ÐÓ Ñ ÒØ AC KC = AK + KC KC = 1 + 4 3 = 7 3 º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ AH AC = 2 5 Ý KC AC = 3 7 ¸ ÓÒ HK AC = 1 − 2 5 − 3 7 = 6 35 . µ [EHK] = 6 35 [EAC] = 6 35 · 1 2 [DAC] = 6 35 · 1 2 · 1 2 [ABCD], × Ö [EHK] [ABCD] = 3 70 .
¾ ÈÖÙ Ò Ð ¿º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ Ù ÖØÓ Ó × Ù Ð Ð Ø Ö Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¿ µº ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ò Ð ÙÖ Ð Ö ABCDE × ÙÒ Ô ÒØ ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö Ý ABFGHIJKLM × ÙÒ ÓÒÓ Ö ÙÐ Öº ´ µ ÈÖÙ ÕÙ D × Ð ÒØÖÓ Ð ÓÒÓ¸ ´ µ Ð ÙÐ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ ∠DIGº A B C D E F G H IJ K L M ÈÖÓ Ð Ñ ¿º ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ ´½¸ ¾¸ ¿º º º µ × Ô ÒØ Ñ Ö ÐÐÓ¸ ÞÙÐ Ó ÖÓ Ó¸ ÑÓ Ó ÕÙ Ý Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÓÐÓÖº ú × ÔÓ× Ð Ö ×ØÓ Ñ Ò Ö ÕÙ ¸ Ô Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× Ö ÒØ ÓÐÓÖ¸ ×Ù ×ÙÑ × Ð ÓÐÓÖ Ö ÒØ Ð Ñ Ó× ×ÙÑ Ò Ó× ÈÖÓ Ð Ñ º ÙÒÓ ÐÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ð Ñ Ð ÄÙ × ØÓÑ ÓÒ Ð Ò Ð × ÝÙÒÓº ÌÓ Ó× ØÓÑ ÖÓÒ Ù Ð ÒØ ¸ ÙÒÕÙ Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ý Ð Ú Ö Ò Ø Þ º Ë ÄÙ × ØÓÑ ÙÒ Ù ÖØÓ Ð ØÓØ Ð Ð Ð Ý ÙÒ × ÜØÓ Ð ØÓØ Ð Ð ¸ ´ µ ú Ù ÒØÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ý Ò Ð Ñ Ð ÄÙ × ´ µ ú Ò ÔÖÓÑ Ó¸ Ù Ð Ö Ð ÔÓÖ ÒØ Ð Ò Ð ÓÒ Ð ¿º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × Ä ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð Ô Ò ¼º ¾º ´ µ Ð ÒØÖÓ Q Ð Ô ÒØ ÓÒÓ ABCDE × Ð ÒØÖÓ Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÙÒ×¹ Ö ÔØ Ð Ô ÒØ ÓÒÓ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ ∠AQD = 360◦ /5 = 72◦ º ÓÑÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò× Ö ÔØÓ × Ð Ñ Ø Ð ÒØÖ Ð¸ × Ø Ò ∠ADB = 1 2 ∠AQD = 72◦ /2 = 36◦ ´ ×ØÓ × ÔÙ ÔÖÓ Ö ÑÙ × Ñ Ò Ö ×¸ Ð Ó Ñ × Ð Ö × ÕÙ Ð ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÓÑÓ AED × × × Ð × Ý ∠AED = 108◦ Ö ×ÙÐØ ∠EDA = ∠EAD = (180◦ − 108◦ )/2 = 36◦ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ∠BDC = 36◦ Ý ÒØÓÒ × ∠ADB = ∠EDC−∠EDA−∠BDC = 108◦ − 36◦ − 36◦ = 36◦ µº ÓÖ Ò¸ DA = DB ´ ×ØÓ × × Ù Ð × Ñ ØÖ Ð Ô ÒØ ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö¸ Ó Ð Ó ÕÙ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× DAE Ý DBC ×ÓÒ Ó Ú Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ ×µº ÈÓÖ ÐÓ
¿º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó ¿ Ø ÒØÓ D ×Ø Ò Ð Ñ ØÖ Þ AB¸ Ù Ð ÕÙ Ð ÒØÖÓ O Ð ÓÒÓº Ñ × ∠AOB = 360◦ /10 = 36◦ = ∠ADB¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ O = Dº ´ µ ÓÑÓ GDI × × × Ð × Ý ∠GDI = ∠GDH +∠HDI = 36◦ +36◦ = 72◦ ¸ Ö ×ÙÐØ ∠DIG = ∠DGI = (180◦ − 72◦ )/2 = 54◦ º ¿º ÆÓ × ÔÓ× Ð º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÔÓÖ ×ÙÖ Ó ÕÙ Ù Ö ÔÓ× Ð º ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ ÓÐÓÖ Ò ÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÓÒ Ò¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ó× ×Ó× ´½µ ÉÙ ½ Ý ¾ × Ò ×Ø ÒØÓ ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× ½ Ñ Ö ÐÐÓ Ý ¾ ÞÙк ÒØÓÒ × 3 = 1+2 Ö × Ö ÖÓ Ó Ý 4 = 1 + 3 Ö × Ö ÞÙк È ÖÓ ÓÖ ¸ ÔÓÖ × Ö 1 + 4 Ö × Ö ÖÓ Ó¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÔÓÖ × Ö 2 + 3 Ö × Ö Ñ Ö ÐÐÓ¸ ×ÙÖ Óº ´¾µ ÉÙ ½ Ý ¾ × Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× Ñ Ö ÐÐÓº Ë n ÙÒ ÒØ ÖÓ ÓØÖÓ ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× ÞÙк ÒØÓÒ × Ø ÒØÓ n + 1 ÓÑÓ n + 2 Ö Ò × Ö ÖÓ Ó׺ È ÖÓ ÔÓÖ × Ö n + 2 = (n + 1) + 1 ´ÖÓ Ó Ñ × Ñ Ö ÐÐÓµ Ö × Ö ÞÙи ×ÙÖ Óº ¿º ´ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú µº ÆÓ × ÔÓ× Ð º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÔÓÖ ×ÙÖ Ó ÕÙ Ù × ÔÓ× Ð Ý × n ÙÒ ÒØ ÖÓ ÓÐÓÖ Ö ÒØ Ð Ð ½º ÑÓ× ÕÙ ½ × ÓÐÓÖ Ý ÕÙ n × ÓÐÓÖ º ÒØÓÒ × n + 1 × Ö Ð Ø Ö Ö ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× º ÓÖ n+2 = (n+1)+1 × Ö ÓÐÓÖ ¸ n+3 = (n+2)+1 × Ö ¸ n+4 = (n+3)+1 × Ö Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ ¸ × Ö ÕÙ Ô ÖØ Ö n ÐÓ× ÓÐÓÖ × Ý × ÐØ ÖÒ Òº È ÖÓ ÒØÓÒ × 2n + 1 × Ö ÓÐÓÖ Ó ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ¸ ÔÓÖ × Ö 2n + 1 = n + (n + 1) ´×ÙÑ ÙÒ Ý ÙÒ µ Ö × Ö º º A B CD E F G H K ´ µ ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× HAF Ý HCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò HC AH = EC AF = 1 2 AB 1 3 AB = 3 2 . Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× KAG Ý KCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò AK KC = AG EC = 2 3 AB 1 2 AB = 4 3 .
ÈÖÙ Ò Ð ´ µ ´ µ × × Ù ÕÙ AC AH = AH + HC AH = 1 + 3 2 = 5 2 º Ò ÐÓ Ñ ÒØ AC KC = AK + KC KC = 1 + 4 3 = 7 3 º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ AH AC = 2 5 Ý KC AC = 3 7 ¸ ÓÒ HK AC = 1 − 2 5 − 3 7 = 6 35 . µ [EHK] = 6 35 [EAC] = 6 35 · 1 2 [DAC] = 6 35 · 1 2 · 1 2 [ABCD], × Ö [EHK] [ABCD] = 3 70 . ¿º º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý ÕÙ ÒØÓ Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× Ù ÖØÓ Ó ´Ú Ö Ô º ¾µº Ä × ÔÖÙ × × ÐÓ × Ö Ò Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ½º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖ ÑÓ× p ≥ 2 Ø Ð × ÕÙ 11p − 8 × ÙÒ Ù Ó Ô Ö ØÓº ¿º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý × Ò Ù ÒØÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð Ô Ò ¾º ½º Ë 11p − 8 = x3 ÒØÓÒ × 11p = x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4)º ÓÑÓ p = 2 ÒÓ × ×ÓÐÙ Ò¸ Ù× ÑÓ× p ≥ 3 ÓÒ ÐÓ Ù Ð x3 ≥ 11 · 3 − 8 = 25 Ý x ≥ 3º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ x2 − 2x + 4 = x(x − 2) + 4 ≥ x + 4 > x + 2 Ý Ý ÕÙ ÓÒ× Ö Ö Ó× ×Ó× µ x + 2 = p Ý x2 − 2x + 4 = 11º ×ØÓ ÒÓ × ÔÓ× Ð ÔÙ × x2 − 2x − 7 = 0 ÒÓ Ø Ò Ö × ÒØ Ö ×¸ Ó Ò ÔÓÖÕÙ 5 ≤ x + 2 = p < 11 × ÐÓ Ô Ö p Ó× ÔÓ× Ð ×¸ Ý ¸ Ý Ò 11 · 5 − 8 = 47 Ò 11 · 7 − 8 = 69 ×ÓÒ Ù Ó× Ô Ö ØÓ׺ µ x + 2 = 11 Ý x2 − 2x + 4 = pº Ò ×Ø ×Ó x = 9 Ý ÓÑÓ 92 − 2 · 9 + 4 = 67 × ÔÖ ÑÓ¸ p = 67 × Ð Ò ×ÓÐÙ Òº
Ô ØÙÐÓ ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ Ä ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ × ÙÒ ÓÑÔ Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø ÒØ ÖÒ ÓÒ Ð ÓÓÖ Ò ¹ ÔÓÖ Ð ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø Ö ÒØ Ò ´ÇÅ µº ÓÒ× ×Ø Ò ÙÒ ÔÖÙ × Ö Ø ¿ ÓÖ × ÙÖ Ò Ý ÓÒ×Ø Ó× Ò Ú Ð × Ð ÔÖ Ñ Ö Ò Ú Ð × Ô Ö Ú Ò × ÕÙ ÒÓ Ý Ò ÙÑÔÐ Ó ½¿ Ó× ×Ø Ð ¿½ Ñ Ö Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ Ð ÔÖÙ Ð × ÙÒ Ó Ò Ú Ð × Ô Ö Ú Ò × ÕÙ ÒÓ Ý Ò ÙÑÔÐ Ó ½ Ó× ×Ø Ð ¿½ Ñ Ö Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ Ð ÔÖÙ º Ô × Ô ÖØ Ô ÒØ Ø Ò ÙÒ ÓÑ Ø ÕÙ Ð Ð × ÔÖÙ × Ù Ö Ó ÙÒ Ô ØÖ Ò ÓÑ Ò ÓÖÖ Òº ÍÒ Ú Þ Ð × × Ð Ò Ð × ½¼ Ñ ÓÖ × Ò Ú Ð Ý × ÒÚ Ò ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× Ö ÒØ Ò ¸ ÙÒØÓ Ð × ÔÖÙ × ÕÙ Ó ÙÔ ÖÓÒ ÐÓ× ÐÙ Ö × ½ Ó ¸ ¿ Ó Ý Ó Ò Ò Ú Ðº ×Ø Ñ Ò Ö Ð Ô × ÓÖ Ò Þ ÓÖ Ø Ò ÙÒ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð Ô ÖÑ Ø Ú Ð Ö Ð ÓÖÖ Ò Ò Ô × Ý Ö Ø Ö Ð × Ñ ×Ñ ×¸ Ô Ö ÐÙ Ó ÔÖÓ Ö Ð ÔÖ Ñ Òº º½º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ä × Ô Ð Ö × Ó × ⋄ ∗ ⊗ ⊕ # • ∗ ⋄ • ⊗ ⋆⊕ ×ÓÒ Ò Ð Ò ÓÖ Ò ÅÇ ËÍÊ Ê Ç Å Ëº × Ö Ö ⊗ ⋆ ⋄ ∗ ⊕# ⋄ •⊗º ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÙÒ ×ÓÐ Ú Þ ÙÒÓ ÐÓ× ØÓ× ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸ Ý × × Ö Ò Ð Ù Ö Ó Ý Ð Ù Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº Ø ÖÑ Ò Ö Ù ÒØÓ ÔÙ Ú Ð Ö Ó Ò Ñ ÖÓº
ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ò Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ ABCD¸ BC = 5¸ EC = 1 3 CD Ý F × Ð ÔÙÒØÓ ÓÒ × ÓÖØ Ò AE Ý BDº Ð ØÖ Ò ÙÐÓ DFE Ø Ò Ö ½¾ Ý Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABF Ø Ò Ö ¾ º À ÐÐ Ö Ð Ö Ð Ù Ö Ð Ø ÖÓ BCEFº A B CD E F ÈÖÓ Ð Ñ º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ú Ö Ó× Ù ØÓ× Ð Ò Ó× Ö ×Ø ½ Ù ÐÐ ÖÑ ÙÒ Ù Ó Ö Ò º ÄÙ Ó Ð Ö × Ð Ù Ó Ö Ò Ý Ð × Ô ÒØ ÖÓ Óº Ò ÐÑ ÒØ × ÖÑ Ð Ù Ó Ö Ò Ý Ó × ÖÚ ÕÙ ÐÓ× Ù ØÓ× ÓÒ Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ Ö Ô ÒØ ÖÓ Ó ×ÓÒ ¿½º À ÐÐ Ö Ð ÒØ Ù ØÓ× ÕÙ ÙØ Ð Þ Ô Ö ÖÑ Ö Ð Ù Ó Ö Ò º Ò Ð Þ Ö ØÓ × Ð × ÔÓ× Ð ×º ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ× Ö ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× ½ ØÓ׸ Ú × Ð × ÔÓÖ ½ ¸ ÙÝÓ× ØÓ× ×ÓÒ Ü ÐÙ× Ú Ñ ÒØ ½ Ý ¾¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ý ØÓ× ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ ú Ù ÒØÓ× ×ØÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ý º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð ½º À Ý × ÐÓ Ó× Ô Ð Ö × ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ð ØÖ ¸ ÅÇ Ý Ê Ç¸ Ý Ø Ñ Ò Ó× ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò ÓÒ •º ÒØÓÒ × • = Ǻ À Ý Ó Ò Ò Ò ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ð ØÖ ¸ Ü ÔØÓ Ð ÓÖ Ò¸ Ò ⋄ Ý ∗, Ý Ò ÅÇ Ý Å Ë¸ ÑÓ Ó ÕÙ ⋄ Ý ∗ ×ÓÒ¸ Ò Ð Ò ÓÖ Ò¸ Ý Åº ÓÑÓ • = Ǹ ÅÇ ∗ ⋄ •, ÓÒ ∗ Ý Å ⋄. À Ý Ó Ò Ò ÔÖ Ñ Ö Ý Ø Ö Ö Ð ØÖ Ò ⊗ Ý ⊕, Ý Ò ËÍÊ Ý Å Ë¸ Ý Ò ËÍÊ Ý Ê Çº ÓÑÓ Ç •, ÒØÓÒ × Ê Ç ⊕#• ÓÒ ⊕ = ʸ # = Ý Å Ë ⋄ ∗ ⊗, Ó × ÕÙ ⊗ = ˺ Ò ÐÑ ÒØ ¸ ⋆ = ͸ ÔÙ × ËÍÊ ⊗ ⋆ ⊕. ÒØÓÒ × ∗, #¸ Å ⋄¸ Ç •, Ê ⊕¸ Ë ⊗, Í ⋆ Ý Ð Ô Ð Ö × ËÍÅ Ê ÅÇ˺ ¾º Ë Ò ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× × Ö ØÓ× A = n2 Ý B = n3 ¸ ÓÒ n × ÙÒ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº ÒØÓÒ × n > 20, ÔÙ × Ò ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó A Ý B Ò ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ò Ò Ñ ÒÓ× ØÓ× ´¾¼¾ ¼¼¸ ¾¼¿ ¼¼¼¸ Ò ØÓØ Ð ØÓ×µº Ì Ñ Ò n < 32¸ ÔÙ × ¿¾¾ ½¼¾ Ý ¿¾¿ ¿¾ Ø Ò Ò Ò ØÓØ Ð ØÓ׺ Ð ØÓ Ð × ÙÒ × n ÒÓ ÔÙ × Ö ½¸ ¸ ÔÙ × A = n2 Ý B = n3 Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÐÓ× Ó× ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ ØÓº Ñ × Ð ÐØ ÑÓ ØÓ n ÒÓ × ¿ ¸ ÔÙ × Ò ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó A = n2 Ø ÖÑ Ò Ö Ò º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð ÐØ ÑÓ ØÓ n × ¾¸ Ù ¸ × Ö¸ n ¾¾¸ ¾
º¾ ËÓÐÙ ÓÒ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð ¾ º Ë n = 22¸ ÒØÓÒ × A = 484 Ý B = 10648¸ Ý Ý ØÓ× Ö Ô Ø Ó׺ Ë n = 24¸ ÒØÓÒ × A = 576 Ý B = 13824º Ë n = 28¸ ÒØÓÒ × A = 784 Ý B = 21952¸ Ô ÖÓ ÒÓ × ÔÙ Ù× Ö Ð ØÓ º Ò ÓÒ ÐÙ× Ò¸ Ð Ò ÔÓ× Ð × n = 24º ¿º ÄÐ Ñ ÑÓ× a = EC Ý x Ð Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ DAFº ÒØÓÒ × Ö (DAE) = Ö (DAF) + Ö (DFE) = x ÷ 12 = DE · DA 2 = 2a · 5 2 , Ö (DAB) = Ö (DAF) + Ö (ABF) = x ÷ 27 = DA · AB 2 = 3a · 5 2 . ÄÙ Ó¸ x + 12 = 5a¸ x + 27 = 15 · a 2 ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ x = 18 Ý a = 6º × Ö ÕÙ Ö (DAF) = 18 Ý AB = DC = 3a = 18º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ö (BCEF) = Ö (ABCD) − Ö (DFE) − Ö (DAF) − Ö (ABF) = 18 · 5 − 12 − 18 − 27 = 33. ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ë h Ý H ×ÓÒ Ð × ÐØÙÖ × ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× DFE Ý AFB × Ð Ú ÖØ F Ö ×ÙÐØ ÕÙ h + H = 5º ÄÙ Ó Ö (DFE) = 2a · h 2 = 12, ÓÒ ah = 12, Ö (AFB) = 3a · H 2 = 27, ÓÒ aH = 18¸ Ý Ø Ò ÑÓ× ah aH = 12 18 = 2 3 . ÓÑÓ h + H = 5 Ö ×ÙÐØ h = 2, H = 3 Ý a = 6º ÒØÓÒ × AB = 3 · 6 = 18º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ö (BCEF) = Ö (ABCD) − Ö (AED) − Ö (AFB) = 5 · 18 − 5 · 12 2 − 18 · 3 2 = 33. ÆÓØ º Ë × Ö ×Ù ÐÚ Ù× Ò Ó × Ñ ÒÞ ¸ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÙÒ ØÓ ÕÙ ×Ó Ö º º Ë a Ð ÒØ Ù ØÓ× Ö ×Ø Ð Ù Ó Ö Ò º Ì Ò ÑÓ× Ó× ×Ó׺ Ë × Ò Ô ÒØ Ö Ó× Ö × ÓÔÙ ×Ø × Ý Ô ÒØ Ð × ÓØÖ × Ù ØÖÓ Ö × Ö Ô ÒØ Ó P = 4a(a − 1) Ù ØÓ׺ ÓÑÓ ×Ø Ò Ñ ÖÓ × Ô Ö¸ ÒÓ Ý ×ÓÐÙ Òº Ë × Ò Ô ÒØ Ö Ó× Ö × ÓÒ ÙÒ Ö ×Ø ÓÑ Ò Ý Ô ÒØ Ð × ÓØÖ × Ö × Ö Ô ÒØ Ó P = a2 + 2a(a − 1) + (a − 1)(a − 2) = 4a2 − 5a + 2. Ë P = 431, ÒØÓÒ × 4a2 − 5a + 2 = 431, Ó × ¸ 4a2 − 5a − 429 = 0, Ý Ø Ò ÑÓ× a = 11. Ë a = 11, ÒØÓÒ × a3 = 113 = 1331 × Ð ÒØ Ù ØÓ× Ù× Ó׺ º Ë N × ÙÒÓ ×ØÓ× Ò Ñ ÖÓ׸ ÒØÓÒ × N × Ú × Ð ÔÓÖ ¸ ÑÓ Ó ÕÙ × Ø Ò x ØÓ× ¾ Ý 14−x ØÓ× ½¸ Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× × 2·x+1(14−x) = 14+x
ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ ÕÙ × Ö Ú × Ð ÔÓÖ º Ò ÓÒ× Ù Ò x Ø Ò Ö ×ØÓ Ò Ð Ú × Ò ÔÓÖ ¸ × Ö¸ x = 4, 13, . . . È ÖÓ × ÑÔÓ× Ð ÕÙ × x ≥ 13 ÔÙ × Ò Ø Ð ×Ó Ð Ò Ñ ÖÓ N ½ ØÓ× Ø Ò Ö ØÓ× ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ ÄÙ Ó x = 4¸ Ó × ÕÙ N Ø Ò ØÓ× ¾ Ý ½¼ ØÓ× ½º Ñ ×¸ N × Ô Ö¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÐØ ÑÓ ØÓ × ¾º Ð × Ù ÒØ ØÓ¸ Ð ÞÕÙ Ö ¸ × ½¸ ÔÙ × ÒÓ Ý ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ ÄÙ Ó ÑÓ× ÐÐ Ö Ù ÒØÓ× ×ÓÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½¾ ØÓ× ÕÙ Ù× Ò ØÓ× ½ Ý ¿ ØÓ× ¾¸ Ò ÐÓ× ÕÙ ÒÓ Ý ØÓ× ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ Ä ÒØ ØÓØ Ð Ò Ñ ÖÓ× ½¾ ØÓ× ÓÒ ØÓ× ½ Ý ¿ ØÓ× ¾ × Ù Ð Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ × Ð Ö ¿ ÔÓ× ÓÒ × Ô Ö ÐÓ× ØÓ× ¾ ÒØÖ ½¾ ÔÓ× Ð ×¸ × Ö¸ 12 · 11 · 10 1 · 2 · 3 = 220. ×Ø ×¸ ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ×Ø ÑÓ× ÐÓ× ½¼ ×Ó× Ò ÐÓ× ÕÙ ÐÓ× ØÖ × ¾ Ó ÙÔ Ò ÔÓ× ÓÒ × ÓÒ× ÙØ Ú ×º ÉÙ ÔÓÖ ÓÒØ Ö Ð × ÓÔ ÓÒ × ÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ Ó× ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׸ Ý Ø Ñ Ò Ö ×Ø ÖÐÓ× ¾¾¼º Ë Ð Ô Ö ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ× ×Ø Ò Ð × ÔÓ× ÓÒ × ½¸ ¾ ½½¸ ½¾¸ Ý ÔÓ× Ð × Ô Ö Ð Ø Ö Ö ¾º Ë Ø Ð Ô Ö ×Ø Ò Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ÔÓ× Ò¸ Ð × Ù Ð × Ý ¸ Ð Ø Ö Ö ¾ × ÔÙ Ð Ö Ñ Ò Ö ×º ÑÓ Ó ÕÙ Ý 2 · 9 + 9 · 8 = 90 Ò Ñ ÖÓ× ÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ Ó× ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ù× ÑÓ× × 220 − 10 − 90 = 120. º¿º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð ÈÖÓ Ð Ñ ½º À ÐÐ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ x Ø Ð ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× x × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾¼½½ Ú × Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× Ð Ò Ñ ÖÓ 3x´¿ ÔÓÖ xµº ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ù ØÖÓ ØÓ× abcd(a = 0) × ÔÓÖ × × ÙÑÔÐ Ò Ð × × Ù ÒØ × ÓÒ ÓÒ × a ≥ b; ab − cd = cd − ba. ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ¾¼½½ × ÔÓÖ ÔÓÖÕÙ 20 − 11 = 11 − 02. À ÐÐ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÔÓÖ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ABC Ø Ð ÕÙ AB = AC, M × Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó BC. Ë P ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ñ ØÖ Þ AC ÕÙ Ô ÖØ Ò Ð × Ñ ÔÐ ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ BC ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ò A. Ä × Ö Ø × CP Ý AM × ÓÖØ Ò Ò Q. Ð ÙÐ Ö Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ò AP Ý BQ. ÈÖÓ Ð Ñ º Ó× n ÔÙÒØÓ× Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò × × Ö Ð Ð Ó ÙÒÓ ÐÐÓ× ÙÒ ½ Ý Ð Ð Ó ÙÒÓ ÐÓ× ÓØÖÓ× ÙÒ ¼º Ä ÓÔ Ö Ò Ô ÖÑ Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ð Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ ÕÙ Ø Ò ÙÒ ½ Ý Ñ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ × ÔÙÒØÓ Ý Ø Ñ Ò ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ×Ù× Ó× Ú ÒÓ׸ Ð Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð Ð Ö ´ ÓÒ Ý ½ × × Ö ¼ Ý ÓÒ Ý ¼ × × Ö ½µº
º ËÓÐÙ ÓÒ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð µ Ë n = 101¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ × ÔÙ ÐÓ Ö Ö¸ Ñ ÒØ ÙÒ ×Ù × Ò ÓÔ Ö ¹ ÓÒ × Ô ÖÑ Ø ×¸ ÕÙ ÙÒÓ ÐÓ× n ÔÙÒØÓ× Ø Ò × Ö ØÓ ÙÒ ¼º µ Ë n = 102¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ × ÑÔÓ× Ð ÐÓ Ö Ö ØÓ Ó× ¼º ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö ÕÙ Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × n × ÔÓ× ¹ Ð Ù Ö Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ð ÖÓ n× n¸ Ú Ó Ò × ÐÐ × 1 × 1¸ ÓÒ Ô Þ × ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ ¸ × Ò Ù Ó× Ò ×ÙÔ Ö¹ ÔÓ× ÓÒ × Ý × Ò × Ð Ö× Ð Ø Ð ÖÓº ÙÒ Ð × Ô Þ × Ù Ö Ü Ø Ñ ÒØ × × × ÐР׺ ÆÓØ Ä × Ô Þ × × ÔÙ Ò Ö Öº º º ËÓÐÙ ÓÒ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð ½º Ë x = 10n − 1 3 + 1 = 33 . . . 3ßÞ n−1 Ú × 4¸ ÒØÓÒ × 3x = 10n − 1 + 3 = 10n + 2 = 1 00 . . .0ßÞ n−1 Ú × 0º Ä ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× x × 3n + 1¸ Ý Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× 3x × ¿¸ Ù ÐÕÙ Ö × Ð Ú ÐÓÖ nº È Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ÒÙ ×ØÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ×Ø ØÓÑ Ö n = 2011º ÆÓØ º Ä ×ÙÑ Ð × Ö × 3x × Ö Ô ÕÙ Ý Ñ ÐØ ÔÐÓ ¿º ÇØÖ × ÔÓ× Ð × ×ÓÒ 3x = 1 00 . . .0ßÞ n 11 x = 33 . . .3ßÞ n+1 7 3x = 2 00 . . .0ßÞ n 1 x = 66 . . . 6ßÞ n 7 ¾º È ÖØ ÑÓ× Ð × ÙÒ ÓÒ Ò¸ ab − cd = cd − ba, ÐÙ Ó 2cd = ab + ba, ×ØÓ ×¸ 2cd = 10a + b + 10b + a, 2cdd = 11(a + b), ÓÒ a, b ×ÓÒ ØÓ׺ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ 11|2cd. Ó ÕÙ mcd(2, 11) = 1, 11|cd. È Ö cd Ý ½¼ ÔÓ× Ð ×¸ cd = 00, 11, 22, . . ., 99. Ë cd = 00 ⇒ a + b = 0 ⇒ a = 0. Ë cd = 11 ⇒ a + b = 2 ⇒ ab = 11 ¾¼º Ë cd = 22 ⇒ a + b = 4 ⇒ ab = 40, 31 ¾¾º Ë cd = 33 ⇒ a + b = 6 ⇒ ab = 60, 51, 42 ¿¿º Ë cd = 44 ⇒ a + b = 8 ⇒ ab = 80, 71, 62, 53 º Ë cd = 55 ⇒ a + b = 10 ⇒ ab = 91, 82, 73, 64 º Ë cd = 66 ⇒ a + b = 12 ⇒ ab = 93, 84, 75 º Ë cd = 77 ⇒ a + b = 14 ⇒ ab = 95, 86 º Ë cd = 88 ⇒ a + b = 16 ⇒ ab = 97 Ù º Ë cd = 99 ⇒ a + b = 18 ⇒ ab = 99.
¼ ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò {½½½½¸ ¾¼½½¸ ¼¾¾¸ ¿½¾¾¸ ¾¾¾¾¸ ¼¿¿¸ ¿¿¿¿¸ ½¿¿¸ ¾¿¿¸ ¼ ¸ ½ ¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¸ ½ ¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ }º ¿º ÓÑÓ M × Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð ÔÓØ ÒÙ× Ð ØÖ Ò ÙÐÓ × × Ð × ABC, × Ø Ò ÕÙ AM × Ð Ñ ØÖ Þ BC. Ó ÕÙ Q Ô ÖØ Ò AM, BQ = CQ, ÓÒ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ BQC × × × Ð × ÓÒ ∠QBC = ∠QCB = βº ÄÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× APM Ý CPM ×ÓÒ Ù Ð × (AP = CP Ý AM = CM ÔÙ × P Ý M Ô ÖØ Ò Ò Ð Ñ ØÖ Þ AC Ý PM × ÓÑ Òµ¸ ÐÙ Ó ∠PAM = ∠PCM = ∠QCB = βº Ñ ×¸ Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ BQM, ∠BQM = 90◦ − β. Ë R Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò Ð × Ö Ø × BQ Ý AP ´¶µº Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ARQ Ø Ò ÑÓ× ∠ARQ = 180◦ − ∠RAQ − ∠RQA = 180◦ − β − (90◦ − β) = 90◦ . ÇØÖ ×ÓÐÙ Ò × ´¶µ Ë S × Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò BC Ý AP, ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× BSR Ý ASM ×ÓÒ × Ñ ÒØ × (∠RBS = ∠MAS = β Ý ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ò S ×ÓÒ ÓÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ð Ú ÖØ µ ÓÒ ∠BRS = ∠BRA = ∠AMS = 90◦ . ÇØÖ ×ÓÐÙ Ò × ´¶µ Ð Ù Ö Ð Ø ÖÓ ABRM × Ð Ó ÔÙ × ∠RBM = ∠RAM = β, ÓÒ ∠BRA = ∠BMA = 90◦ . º µ Ä ÔÖ Ñ Ö ÓÔ Ö Ò × Ó Ð ¸ 0100 . . . → 10100 . . . Ô ÖØ Ö ÒØÓÒ ×¸ Ð ÑÓ× Ð ÐØ ÑÓ ½ Ý ÕÙ 0111 . . .10100 . . .0 → 0111 . . .11010 . . .0, ÓÒ × ÓÖÖ Ð Ö Ð ÐØ ÑÓ ½ Ý ×Ñ ÒÙÝ Ò ÙÒÓ Ð ÒØ Ò Ð ÖÓ׺ Ê Ô Ø ÑÓ× ×Ø Ø Ò Ö ØÓ Ó× ½ Ý ÙÒ ¼ 11 . . .1011. Ë ÓÖ Ð ÑÓ× B ÕÙ 11 . . .1100, Ó × ÙÒÓ× ÓÒ× ÙØ ÚÓ× Ý Ó× ÖÓ׺ ÄÓ× ÙÒÓ× ÐÓ× ÔÓÒ ÑÓ× Ò ÖÙÔÓ× ¿ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׸ ½½½¸ Ý ÓÔ Ö ÑÓ× ×Ó Ö Ð ÒØÖ Ðº ÓÒ ×ØÓ × ÙÑÔÐ Ð Ó Ø ÚÓ ÐÐ Ú Ö ÐÓ× ÙÒÓ× ÖÓ׺ µ ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ × ÔÓ× Ð Ó Ø Ò Ö ØÓ Ó× ¼º Ë ai Ð Ò Ñ ÖÓ Ú × ÕÙ × Ð ÓÔ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ai. ÖÙÔ ÑÓ× (A1A2A3)(A4A5A6) . . . (A100A101A102). a1 +a2 +a3 × Ô Ö¸ ÔÙ × × Ð Ò Ñ ÖÓ Ú × ÕÙ Ñ A2, ÕÙ Ò ÐÑ ÒØ × ¼º ÄÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ ÓÒ a4 + a5 + a6, a7 + a8 + a9, Ø º ÒØÓÒ × S = 1a + a2 + . . . + a102 × ×ÙÑ Ô Ö ×¸ ÐÙ Ó × Ô Öº ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ × ÖÙÔ ÑÓ× (A102A1A2)(A3A4A5) . . . , ØÓ Ó × ÓÑÓ ÒØ ×¸ Ü ÔØÓ a102 + a1 + a2 ÕÙ Ù ÒØ Ð Ò Ñ ÖÓ Ñ Ó× A1, ÕÙ ÓÑÓ × Ò ÐÑ ÒØ ½ Ñ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÑÔ Ö Ú × Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ò ¼º ÄÙ Ó a102 + a1 + a2 + . . . + a101 × ÑÔ Ö ´ÙÒ ÑÔ Ö Ñ × ØÓ Ó× Ô Ö ×µº ÓÒØÖ Òº º Ð Ò Ñ ÖÓ × ÐÐ × Ð Ø Ð ÖÓ × n2 , Ð Ù Ð Ø Ò ÕÙ × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ º ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ n Ø Ñ Ò × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ ¸ ÑÓ× n = 6k. ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ k × ÑÔ Öº È ÒØ ÑÓ× Ð × × ÐÐ × ÐÙ Ö ÑÔ Ö¸ Ò Ð × Ð × ÑÔ Ö × ´ Ò Ð ÙÖ × Ù ÒØ × ÑÙ ×ØÖ Ð ×Ó k = 1µº ÄÙ Ó¸ Ô Þ Ù ×Ó Ö Ð Ø Ð ÖÓ Ù Ö Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ó ØÖ × × ÐÐ × Ô ÒØ ×º
º ËÓÐÙ ÓÒ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð ½ Ë p Ð Ò Ñ ÖÓ Ô Þ × ÕÙ Ù Ö Ò Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ × ÐÐ Ô ÒØ Ý × q Ð Ò Ñ ÖÓ Ô Þ × ÕÙ Ù Ö Ò Ü Ø Ñ ÒØ ØÖ × × ÐÐ × Ô ÒØ ×º Ë Ð Ø Ð ÖÓ × ÔÙ Ö Ù Ö Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ð × Ô Þ ×¸ ÒØÓÒ × p + q = (6k)2 6 = 6k2 . ÓÑÓ ØÓ × Ð × × ÐÐ × Ô ÒØ × Ø Ñ Ò × Ö Ò Ù ÖØ ×¸ ÒØÓÒ × p + 3q = 6k 2 2 = 9k2 . Ê ×ÓÐÚ Ò Ó Ð × ×Ø Ñ Ö ×ÙÐØ q = 3k2 2 ÕÙ ÒÓ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ k × ÑÔ Öº Ë k × Ô Ö¸ Ö ×ÙÐØ ÕÙ n × Ñ ÐØ ÔÐÓ ½¾º ÓÒ Ð × Ô Þ × × ÔÙ Ù Ö Ö ÙÒ Ù Ö Ó Ð Ó ½¾ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ ÄÙ Ó¸ Ô Ö ØÓ Ó n Ñ ÐØ ÔÐÓ ½¾¸ × Ö ÔÓ× Ð Ù Ö Ö Ð Ø Ð ÖÓ ÓÒ ×Ø × Ô Þ ×º
¾ ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ
Ô ØÙÐÓ ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö Ä ÁÁÁ ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö ØÙÚÓ ÐÙ Ö Ò Ó¹ Ð Ñ ¸ Å Ü Ó¸ × Ð ¾½ Ñ ÝÓ ×Ø Ð ½ Ó ÙÒ Ó ¾¼½½º Ò Ð Ñ ×Ñ Ô ÖØ Ô ÖÓÒ Ó Ô × × ÓÐÓÑ ¸ Ó×Ø Ê ¸ Ð Ë ÐÚ ÓÖ¸ Ù Ø Ñ Ð ¸ ÀÓÒ Ù¹ Ö ×¸ Â Ñ ¸ Å Ü Ó¸ Æ Ö Ù ¸ È Ò Ñ ¸ ÈÙ ÖØÓ Ê Ó¸ Ê Ô Ð ÓÑ Ò Ò Ý Î Ò ÞÙ Ð º Î Ò ÞÙ Ð Ô ÖØ Ô ÓÒ ÙÒ Ð Ò ÒØ Ö ÔÓÖ ÐÓ× ×ØÙ ÒØ × Ú Ð Ò À ÖÒ Ó ´ ÓÐ Ó ÐØ Ñ Ö ¸ Å Ö Óµ¸ ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ × ´ ÓÐ Ó Ú Ò È ×ØÓÖ ¸ ÖÕÙ × Ñ ØÓµ Ý Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÓ Ð ´ ÓÐ Ó Ë Ò Ä Þ ÖÓ¸ ÙÑ Ò µº Ð Â Ð Ð Ò Ù ÂÓ× À Ö Æ ØÓ Ý Ð ØÙØÓÖ ÖÑ Ð Ú Óº ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ × Ó ØÙÚÓ ÙÒ Ñ ÐÐ ÔÐ Ø Ý Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÓ Ð ÙÒ Ñ ÐÐ ÖÓÒ º º½º ÈÖÓ Ð Ñ × ÈÖ Ñ Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ú ÖØ × ÙÒ Ù Ó Ý ÙÒ ÑÓ× º Ð ×ÓÒ Ö ÙÒ × Ð ØÓ¸ ÙÒ Ð × ÑÓ× × ÚÙ Ð Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ú ÖØ × Ð Ù Ó × ØÙ Ó Ò ÙÒ Ñ ×Ñ Ö ÕÙ Ð Ú ÖØ ÓÒ Ô ÖØ ¸ Ô ÖÓ ÓÒ ÐÑ ÒØ ÓÔÙ ×ØÓ ×Ø º Ð ×ÓÒ Ö Ð × Ð ØÓ¸ ú Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × ÔÙ Ò ÚÓÐ Ö Ð × ÑÓ× × ÑÓ Ó ÕÙ Ò Ò Ò Ò Ú ÖØ ÕÙ Ò Ó× Ó Ñ × ÑÓ× × ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ë Ò ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × Ð ÒÓ¸ D Ð Ô Ð ÐØÙÖ × A¸ E Ð ÒØ Ö× Ò Ð Ð Ó AC ÓÒ Ð × ØÖ Þ Ð ∠ABC¸ Ý F ÙÒ ÔÙÒØÓ ×Ó Ö Ð Ð Ó ABº Ë O Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ý × Ò X¸ Y ¸ Z ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÒ × ÓÖØ Ò Ð × Ö Ø × AD ÓÒ BE¸ BE ÓÒ CF¸ CF ÓÒ AD¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë
ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö XY Z × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ¸ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ÙÒÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× OXY ¸ OY Z¸ OZX × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº ÈÖÓ Ð Ñ ¿º ÔÐ Ö ÙÒ ×Ð Þ ÙÒ ÒØ ÖÓ n ≥ 2 × Ò ØÓÑ Ö Ù ÐÕÙ Ö ÔÖ ÑÓ p ÕÙ Ú n Ý Ö ÑÔÐ Þ Ö n ÔÓÖ n+p2 p º Ë ÓÑ ÒÞ ÓÒ ÙÒ ÒØ ÖÓ Ù ÐÕÙ Ö Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð Ý × Ð ÔÐ ÙÒ ×Ð Þº Ð Ò Ñ ÖÓ × Ó Ø Ò Ó × Ð ÔÐ ÙÒ ×Ð Þ¸ Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ × × Ù Ò ÔÐ Ò Ó ×Р׺ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ¸ × Ò ÑÔÓÖØ Ö ÐÓ× ×Ð × ÔÐ Ó׸ Ò Ð Ò ÑÓÑ ÒØÓ × Ó Ø Ò Ð Ò Ñ ÖÓ º Ë ÙÒ Ó ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ù ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× p¸ q Ý r¸ ÓÒ p Ý q Ò Ñ ÖÓ× ÔÖ ÑÓ׸ ÕÙ × Ø × Ò Ð Ù Ð 1 p + 1 + 1 q + 1 − 1 (p + 1)(q + 1) = 1 r . ÈÖÓ Ð Ñ º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ× x¸ y¸ z ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x + y z = y + z x = z + x y = 2. Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÔÓ× Ð × x + y + zº ÈÖÓ Ð Ñ º Ë ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÙØ Ò ÙÐÓ Ý × Ò D¸ E Ý F ÐÓ× Ô × Ð × ÐØÙÖ × × A¸ B Ý C¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë Ò Y Ý Z ÐÓ× Ô × Ð × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö × × B Ý C ×Ó Ö FD Ý DE¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë F1 Ð Ö Ü Ò F ÓÒ Ö ×Ô ØÓ E Ý × E1 Ð Ö Ü Ò E ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Fº Ë 3EF = FD + DE¸ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ∠BZF1 = ∠CY E1º ÆÓØ Ä Ö Ü Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ö ×Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Q × Ð ÔÙÒØÓ P1 Ù Ó ×Ó Ö Ð Ö Ø PQ Ø Ð ÕÙ Q ÕÙ ÒØÖ P Ý P1¸ Ý PQ = QP1º º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º ´ËÓÐÙ Ò ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ ×µº Ú ÖØ Ð Ù Ó × Ð × Ò ÙÒ Ð ØÖ Ð A Ð F¸ Ý × Ô ÒØ Ò Ó× ÓÐÓÖ × ´ ÑÓ× Ð Ò Ó Ý Ò ÖÓµ ÑÓ Ó ÕÙ Ó× Ú ÖØ × Ø Ò Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÓÐÓÖ × Ý × ÐÓ × Ô ÖØ Ò Ò ÙÒ Ñ ×Ñ Ö Ý ×ÓÒ ÓÒ ÐÑ ÒØ ÓÔÙ ×ØÓ׺ × Ö ×ÙÐØ Ð × Ù ÒØ Ù Ó¸ ÓÒ A¸ D¸ E Ý H ×ÓÒ Ð Ò Ó× Ý B¸ C¸ F Ý G ×ÓÒ Ò ÖÓ׺ ÍÒ ÑÓ× × ÐÓ ÔÙ ÚÓÐ Ö ÙÒ Ú ÖØ ÓØÖÓ Ð Ñ ×ÑÓ ÓÐÓÖº
º¾ ËÓÐÙ ÓÒ × E F H G C D BA ÓÖ ÓÒØ Ö ÑÓ× Ð × ÓÖÑ × ÚÓÐ Ö Ð × ÑÓ× × Ù × Ò Ú ÖØ × Ð Ò Ó׸ ÓÒ× Ö Ò Ó Ú Ö Ó× ×Ó׺ ×Ó ½ Ó× ÑÓ× × ÒØ Ö Ñ Ò ÔÓ× ÓÒ ×º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð ÑÓ× Ò A ÚÙ Ð D Ý Ð D ÚÙ Ð Aº ÄÙ Ó Ð ÑÓ× Ò E × ÐÓ ÔÙ ÚÓÐ Ö H Ý Ð H Dº ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö ×Ø ×Ó¸ ×Ø ÓÒØ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ × Ò ÕÙ × ÔÙ Ú Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ñ ÒØÓ× Ò Ó× Ô Ö ×¸ ÕÙ ×ÓÒ ØÖ ×¸ × Ö Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó {A, D} Ý {E, H}¸ {A, E} Ý {D, H}¸ {A, H} Ý {D, E}º ×Ó ¾ Æ Ò Ò Ô Ö ÑÓ× × ÒØ Ö Ñ Ò ÔÓ× ÓÒ ×º Ä ÑÓ× Ò A ÔÙ ÚÓÐ Ö ¿ Ú ÖØ × Ö ÒØ × D¸ H Ý Eº ËÙÔÓÒ ÑÓ× × Ò Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ ÚÙ Ð Ð Ú ÖØ Dº ÒØÓÒ × Ð Ð Ú ÖØ D ÚÙ Ð E Ó Hº Ë ÚÙ Ð E¸ Ð E ÚÓÐ Ö Ð Ú ÖØ H ´Ý ÕÙ × ÚÙ Ð A Ð H ÒÓ Ø Ò Ö ÓÒ ÚÓÐ Öµ Ý Ð H ÚÓÐ Ö Ð Ú ÖØ Aº Ò ÐÓ Ñ ÒØ × Ð ÑÓ× Ð Ú ÖØ D ÚÙ Ð H Ð H ÚÓÐ Ö E Ý Ð E Aº × Ö ÕÙ Ô Ö ÙÒÓ ÐÓ× ØÖ × Ú ÖØ × ÓÒ ÔÙ ÚÓÐ Ö Ð ÑÓ× A Ý Ó× ÓÖÑ × ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÚÙ ÐÓ Ð × ÓØÖ × ØÖ ×¸ Ô Ö ÙÒ ØÓØ Ð ÓÖÑ × ÕÙ × ÔÙ Ò Ó × ÖÚ Ö Ò Ð × Ù ÒØ Ö Ñ A D E H E H D H D E H E H D E D A A A A A A ÓÑÓ Ô Ö Ð ×Ó ½ Ý ¿ ÓÖÑ × Ý Ô Ö Ð ×Ó ¾ Ý ÓÖÑ ×¸ Ð × ÑÓ× × Ù × Ò Ú ÖØ × Ð Ò Ó× ÔÙ Ò ÚÓÐ Ö ÓÖÑ × ×Ø ÒØ ×º Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð ×
ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö ÑÓ× × Ù × Ò Ú ÖØ × Ò ÖÓ× ÔÙ Ò ÚÓÐ Ö ÓÖÑ × ×Ø ÒØ ×¸ Ý ×ØÓ ÒÓ× ÙÒ ØÓØ Ð 9 × 9 = 81 ÓÖÑ × Ö ÒØ ×º ¾º ÈÓÖ Ô Ø × × Ð ØÖ Ò ÙÐÓ XY Z × ÕÙ Ð Ø ÖÓ¸ ÓÒ ∠Y XZ = 60◦ Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ ∠BXD = ∠Y XZ = 60◦ º ÓÑÓ D × Ð Ô Ð ÐØÙÖ ÔÓÖ A × × Ù ÕÙ ∠XDB = 90◦ Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ ∠DBX = 90◦ − ∠BXD = 90◦ − 60◦ = 30◦ º ÓÑÓ BE × Ð × ØÖ Þ Ð ∠ABC ÒØÓÒ × ∠XBA = ∠CBY = 30◦ º ÄÙ Ó Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ABD × Ø Ò ÕÙ ∠ABD = 60◦ Ý ÒØÓÒ × ∠DAB = 30◦ º Ë Ò L Ý M ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× AB Ý BC¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ý O Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ ABCº A B CD E M L O X F Y Z Ó ÕÙ ∠XBA = 30◦ Ý ∠XAB = ∠DAB = 30◦ ¸ × × Ù ÕÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ AXB × × × Ð × ÓÒ AX = XBº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ñ ØÖ Þ AB Ô × ÔÓÖ L Ý ÔÓÖ Xº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÔÓÖ × Ñ ØÖ ´ÒÓØ ÕÙ ∠FY B = 60◦ ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ CF × Ø Ñ Ò ÐØÙÖ µ¸ × × Ù ÕÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ BY C × × × Ð × ÓÒ BY = Y C Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ñ ØÖ Þ BC Ô × ÔÓÖ M Ý ÔÓÖ Y º Ò ÐÑ ÒØ ¸ MY × Ô Ö Ð Ð AD Ý LX × Ô Ö Ð Ð CFº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠XY O = ∠BY M = 60◦ Ý ∠OXY = ∠LXB = 60◦ º Ò ÓÒ× Ù Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ XY O × ÕÙ Ð Ø ÖÓº ¿º Ä ÑÓ×ØÖ Ò × Ö ÔÓÖ Ò Ù Ò Ù ÖØ º ÒÓØ Ö ÑÓ× ÙÒ ×Ð Þ ÓÒ ÙÒ º Ð Ò Ó ×Ð Þ ÔÓ× Ð Ô Ö Ð ×¸ 5 → (5 + 52 )/5 = 6º È Ö Ý Ó× ÔÓ× Ð × ×Ð × Ò Ð × ÓÒ p = 2 ¿¸ Ô ÖÓ Ñ Ó× ÐÓ ÐÐ Ú Ò ¸ Ý ÕÙ (6 + 22 )/2 = (6 + 32 )/3 = 5º ÄÙ Ó 5 → 6 → 5º ×ØÓ × Ð × Ð Ò Ù Òº Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ò Ò Ö Ð Ô Ö ÙÒ ÔÖ ÑÓ p¸ Ð Ò Ó ×Ð Þ ÔÓ× Ð × p → (p+p2 )/p = p+1º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ô Ö ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ÓÒ 6 ≤ k < n¸
º¾ ËÓÐÙ ÓÒ × Ý ÙÒ × Ö ×Ð × Ø Ð × ÕÙ Ò Ð Ò ÑÓÑ ÒØÓ × Ò º Ë n × ÓÑÔÙ ×ØÓ¸ ÑÓ× n = pm ÓÒ p ÔÖ ÑÓ¸ Ý ÑÓ× Ð ×Ð Þ n → (pm + p2 )/p¸ × Ó Ø Ò m + pº ÖÑ ÑÓ× ÕÙ m + p ≤ n − 2º Ë ÒÓ × × ¸ × ÔÓÖÕÙ m + p ≥ mp − 1¸ ÐÙ Ó (p − 1)(m − 1) ≤ 2º È ÖÓ ÓÑÓ m ≥ 2 Ý p ≥ 2¸ Ð × Ò × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÒØ Ö × (p, m) ÕÙ Ø Ò ×Ø × Ù Ð ×ÓÒ ´¿¸ ¾µ¸ ´¾¸ ¾µ¸ ´¾¸ ¿µº È ÖÓ ÒØÓÒ × n × Ö ¸ ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ÐÓ Ù Ð ÒÓ × ÔÓ× Ð ÔÙ × n > k ≥ 6º Ñ ×¸ m + p ≥ 5º × ¸ × n > 6 × ÙÒ ÒØ ÖÓ ÓÑÔÙ ×ØÓ¸ ÙÒ ×Ð Þ ÐÓ ÐÐ Ú ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÙÒ × Ñ ÒÓÖ¸ Ô ÖÓ Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð º ÈÓÖ Ô Ø × × Ò Ù Ø Ú ¸ Ô ÖØ Ö ÕÙ ÐÐ Ö º Ò ÐÑ ÒØ ¸ × n × ÔÖ ÑÓ¸ ÒØÓÒ × ØÖ × ÙÒ ×Ð Þ × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò n + 1¸ ÕÙ ÒÓ × ÔÖ ÑÓº ÈÓÖ Ð ×Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ Ò Ð × Ù ÒØ Ô ×Ó × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð (n+1)−2 = n−1 Ý Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð º × ¸ ÔÓÖ Ô Ø × × Ò Ù Ø Ú ¸ Ô ÖØ Ö ÕÙ ÐÐ Ö º º ´ËÓÐÙ Ò Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÓ Ðµº Ä Ù Ð × ÔÙ × Ö Ö ÓÑÓ p + q + 1 (p + 1)(q + 1) = 1 r , Ó Ò r(p + q + 1) = (p + 1)(q + 1)º × ÖÖÓÐÐ Ò Ó Ý Ö ÖÙÔ Ò Ó ÕÙ (r − 1)(p + q + 1) = pq. ÓÑÓ p Ý q ×ÓÒ ÔÖ ÑÓ× Ö× Ð ÙÒÓ ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ó× ´½µ r − 1 = p Ý p + q + 1 = q¸ ´¾µ r − 1 = q Ý p + q + 1 = p¸ ´¿µ r − 1 = pq Ý p + q + 1 = 1¸ ´ µ r − 1 = 1 Ý p + q + 1 = pqº È ÖÓ p + q + 1 × Ñ ÝÓÖ ÕÙ p¸ ÕÙ q Ý ÕÙ ½¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ´½µ¸ ´¾µ Ý ´¿µ ÒÓ ×ÓÒ ÔÓ× Ð × Ý × ÐÓ ÔÙ Ö× ´ µº × Ö ÕÙ r = 2 Ý p + q + 1 = pqº È ÖÓ ÒØÓÒ × (p − 1)(q − 1) = pq − p − q + 1 = 2¸ ÐÓ ÕÙ × ÐÓ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö × p = 2 Ý q = 3 Ó × p = 3 Ý q = 2º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × ×ÓÒ p = 2¸ q = 3¸ r = 2 Ý p = 3¸ q = 2¸ r = 2º º Ä × Ù ÓÒ × x + y z = 2¸ y + z x = 2¸ z + x y = 2 ÑÔÐ Ò ÕÙ zx + y = 2z, xy + z = 2x, yz + x = 2y Ý ÕÙ xyz + y2 = 2yz, xyz + z2 = 2zx, xyz + x2 = 2xy. ÈÓÖ ÐÓ ÕÙ xy + yz + zx = x + y + z ´½µ Ý 3xyz + (x2 + y2 + z2 ) = 2(xy + yz + zx). ´¾µ
ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö Ì Ñ Ò Ø Ò ÑÓ× ÕÙ 1 = y z z x x y = (2 − x)(2 − y)(2 − z) = 8 − 4(x + y + z) + 2(xy + yz + zx) − xyz. ´¿µ Ë ÑÓ× a = x + y + z¸ Ø Ò ÑÓ× ÔÓÖ ´½µ ÕÙ xy + yz + zx = a Ý Ø Ñ Ò x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx) = a2 − 2a. ÓÖ ´¾µ × Ø Ò ÕÙ 3xyz = −a2 + 4a Ý ´¿µ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ 1 = 8 − 4a + 2a − −a2 + 4a 3 , ÐÓ ÕÙ ÐÐ Ú Ð Ù Ò a2 − 10a + 21 = 0¸ ÙÝ × Ö × ×ÓÒ a = 3 Ý a = 7º ÈÓÖ ÐÓ ÕÙ x+y +z × Ù Ð ¿ º È ÖÓ × x+y +z = 7¸ ÓÑÓ x+ y z +y + z x +z + x y = 6¸ × Ø Ò Ö ÕÙ y z + z x + x y = −1¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ô Ö x¸ y¸ z ÔÓ× Ø ÚÓ׺ Ä ×ÙÑ x + y + z = 3 × ÐÓ Ö ÓÒ x = y = z = 1¸ ÕÙ Ø Ñ Ò ×ÓÒ ×ÓÐÙ ÓÒ × Ð × Ù ÓÒ ×¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð Ò Ó Ú ÐÓÖ ÔÓ× Ð x + y + z × ¿º ËÓÐÙ Ò ×Ø Ò ÖÖ ¸ Ð Ö Ù Ø Ñ Ð ËÙÔÓÒ ÑÓ× ´× Ò Ô Ö Ò Ö Ð µ ÕÙ m´ax{x, y, z} = zº ÒØÓÒ × 2 = x + y z ≤ x + 1¸ ÓÒ x ≥ 1¸ Ý 2 = y + z x ≥ y + 1¸ ÓÒ y ≤ 1º ÒØÓÒ × 2 = z + x y ≥ z + 1¸ ÓÒ z ≤ 1º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 1 ≤ x ≤ z ≤ 1¸ ÓÒ x = z = 1¸ Ý 2 = y + z x × × Ù ÕÙ Ø Ñ Ò y = 1º ÈÓÖ Ø ÒØÓ x + y + z = 3º º × × Ó ÕÙ Ð × ÐØÙÖ × Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC ×ÓÒ × ØÖ × ×Ù ØÖ Ò ÙÐÓ ÖØ Ó DEF¸ Ý ÐÓ× Ð Ó× Ð ABC ×ÓÒ × ØÖ × ÜØ Ö ÓÖ × Ð DEF¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ A¸ B Ý C ×ÓÒ Ü ÒØÖÓ× Ð DEFº Ì Ñ Ò × ÓÒÓ Ó ÕÙ Ð × Ñ ÒØÓ Ø Ò ÒØ × F ×Ø Ð Ü Ò Ö ÙÐÓ ÒØÖÓ C × Ù Ð Ð × Ñ Ô Ö Ñ ØÖÓ DEF¸ × Ö 1 2 (FE + ED + DF) = 1 2 (FE + 3FE) = 2FE = FF1, ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ F1 × Ð ÔÙÒØÓ ÓÒØ ØÓ Ð Ü Ò Ö ÙÐÓ ÓÒ Ð Ð Ó FE Ý FF1C = 90◦ º Ñ × EZ = EF1 = EF¸ × Ö ÕÙ Z Ô ÖØ Ò Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ñ ØÖÓ FF1 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠FZF1 = 90◦ º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ FE = FE1 = FY Ý ∠EY E1 = 90◦ º ÓÖ Ò¸ ÓÑÓ ∠AEB = ∠ADB = 90◦ ¸ Ð Ù Ö Ð Ø ÖÓ AEDB × Ð Ó¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ∠BAC = 180◦ − ∠BDE = ∠CDEº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ∠BAC = ∠BDFº
º¾ ËÓÐÙ ÓÒ × A B CD E F F1 E1 Y Z ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó¸ ÓÑÓ EF = EZ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ EFZ × × × Ð × Ý ÓÑÓ EB × × ØÖ Þ ∠FEZ Ö ×ÙÐØ ÕÙ × Ø Ñ Ò ÐØÙÖ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ EFZ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ EB × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö FZº È ÖÓ Ø Ñ Ò EB × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö AC¸ ÐÙ Ó FZ Ý AC ×ÓÒ Ô Ö Ð Ð ×º ÄÙ Ó ∠ZFB = ∠EAB Ý ∠BDZ ×ÓÒ ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× Ý Ð Ù Ö Ð Ø ÖÓ AEDB × Ð Ó¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ∠BZF = ∠BDF = ∠BAC. ´´½µµ Ñ Ò Ö × Ñ Ð Ö × Ø Ò ÕÙ DCEY × Ð Ó Ý ÒØÓÒ × ∠CY E = ∠CDE = ∠BAC. ´´¾µµ ´½µ Ý ´¾µ × Ø Ò ÕÙ ∠BZF = ∠CY E¸ ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ Òº
¼ ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö
Ô ØÙÐÓ ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ä ÎÁ ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ØÙÚÓ ÐÙ Ö Ò Ë Ò ÂÓ× ¸ Ó×Ø Ê ¸ Ð ¾¿ Ð ¿¼ × ÔØ Ñ Ö ¾¼½½º Ò Ð Ñ ×Ñ Ô ÖØ Ô ÖÓÒ ¹ ÒÙ Ú Ô × × Ö ÒØ Ò ¸ ÓÐ Ú ¸ Ö × Ð¸ Ð ¸ ÓÐÓÑ ¸ Ó×Ø Ê ¸ Ù ¸ Ð Ë ÐÚ ÓÖ¸ ×Ô ¸ Ù Ø Ñ Ð ¸ ÀÓÒ ÙÖ ×¸ Å Ü Ó¸ Æ Ö Ù ¸ È Ò Ñ ¸ È Ö Ù Ý¸ ÈÓÖØ٠и ÈÙ ÖØÓ Ê Ó¸ ÍÖÙ Ù Ý Ý Î Ò ÞÙ Ð º Î Ò ÞÙ Ð Ô ÖØ Ô ÓÒ ÙÒ Ð Ò ÒØ Ö ÔÓÖ ÐÓ× ×ØÙ ÒØ × Ó Ä ÓÒ Ö Ó È ÓÐ Ó Ó ´ ÓÐ Ó ÄÓ× À ÔÓ ÑÔ ØÓ׸ ÐØÓ× Å Ö Ò ÒÓ×µ¸ ÕÙ Ò Ó ØÙÚÓ ÙÒ Ñ ÐÐ ÖÓÒ ¸ ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ × ´ ÓÐ Ó Ú Ò È ×ØÓÖ ¸ ÖÕÙ ¹ × Ñ ØÓµ Ý Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÖÓ Ð ´ ÓÐ Ó Ë Ò Ä Þ ÖÓ¸ ÙÑ Ò µ¸ ÕÙ Ò × Ò ÖÓÒ × Ò × Ñ Ò ÓÒ × ÓÒÓÖ ×º Ä Ð Ð Ò Ù Ä ÙÖ Î ÐÑ À ÖÖ ÖÓ Ý Ð ØÙ¹ ØÓÖ ×Ø Ò ÇÖ Þº º½º ÈÖÓ Ð Ñ × ÈÖ Ñ Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ò Ð Ô Þ ÖÖ ×Ø × Ö ØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ 2º Ò Ý ÖÙÒÓ Ù Ò ÐØ Ö¹ Ò Ñ ÒØ ¸ ÓÑ ÒÞ Ò Ó ÔÓÖ Ò ¸ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö ÙÒÓ Ò ×Ù ØÙÖÒÓ ×Ù×Ø ØÙÝ Ð Ò Ñ ÖÓ × Ö ØÓ ÔÓÖ Ð ÕÙ × Ó Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÓÐÓ ÔÓÖ 2¸ ÔÓÖ 3¸ Ó ×ÙÑ Ò ÓÐ 1º Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ó Ø Ò ÙÒ Ö ×ÙÐØ Ó Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ 2011 Ò º ÅÙ ×ØÖ ÕÙ ÙÒÓ ÐÓ× Ó× Ø Ò ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ Ý × Ö Ð º
¾ ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ò ÓÒØÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× n Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × Ü ×Ø Ò ØÖ × Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ÒÓ ÒÙÐÓ× x, y, z Ø Ð × ÕÙ x + y + z = 0 Ý 1 x + 1 y + 1 z = 1 n . ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ë ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÙØ Ò ÙÐÓ Ý X, Y, Z ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ø Ò Ò ×Ù Ö ÙÒ Ö Ò Ò× Ö Ø ÓÒ ÐÓ× Ð Ó× BC, CA, AB¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë Ò C1, C2, C3 Ö ÙÒ Ö Ò × ÓÒ Ù Ö × Y Z, ZX, XY ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ñ Ò Ö ÕÙ C1 Ý C2 × ÓÖØ Ò ×Ó Ö Ð Ö Ø CZ Ý ÕÙ C1 Ý C3 × ÓÖØ Ò ×Ó Ö Ð Ö Ø BY º ËÙÔÓÒ ÕÙ C1 ÓÖØ XY Ò J Ý ÓÖØ ZX Ò M ÕÙ C2 ÓÖØ Y Z Ò L Ý ÓÖØ XY Ò I Ý ÕÙ C3 ÓÖØ Y Z Ò K Ý ÓÖØ ZX Ò Nº ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ I¸ J¸ K¸ L¸ M¸ N ×Ø Ò ×Ó Ö ÙÒ Ñ ×Ñ Ö ÙÒ Ö Ò º Ë ÙÒ Ó ÈÖÓ Ð Ñ º Ë ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÙØ Ò ÙÐÓ Ý O ×Ù Ö ÙÒ ÒØÖÓº Ë Ò P Ý Q ÔÙÒØÓ× Ø Ð × ÕÙ BOAP Ý COPQ ×ÓÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ׺ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Q × Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ ABCº ÈÖÓ Ð Ñ º Ë Ò x1¸º º º ¸ xn Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ׺ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ü ×Ø Ò a1¸º º º ¸ an ∈ {−1, 1} Ø Ð × ÕÙ a1x2 1 + · · · + anx2 n ≥ (a1x1 + · · · + anxn)2 . ÈÖÓ Ð Ñ º Ë Ò k ≥ 2 Ý n ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ׺ Ë Ø Ò Ò kn × Ò Ð Ò Ö Ø Ý Ò × Ù ÙÒ Ô Ö Ð ÙÒÓ k ÓÐÓÖ × Ö ÒØ × Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ý n Ô Ö × ÓÐÓÖº ÍÒ ÒØ Ö Ñ Ó ÓÒ× ×Ø Ò ÒØ Ö Ñ Ö Ó× Ô Ö × ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò × Ý ÒØ ×º Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ñ ÒÓÖ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ m Ø Ð ÕÙ × ÑÔÖ × ÔÓ× Ð ÐÓ Ö Ö Ñ ÒØ m ÒØ Ö Ñ Ó× ÕÙ Ð × n Ô Ö × ÓÐÓÖ ÕÙ Ò Ò × × Ù × × µ n × Ô Öº µ n × ÑÔ Ö Ý k = 3º º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ × Ò ÓÖ × Ð Ù ÓÖ ÕÙ Ò ×Ù ØÙÖÒÓ × ÐÓ Ò Ù ÒØÖ Ø Ò ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ º ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ò Ñ ÖÓ × Ô Ö ÓÖº × Ð ÖÓ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ð Ö Ò Ó ½ ¾¼½¼ ×ÓÒ Ò ÓÖ ×¸ ÔÙ × Ð ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ ÓÒ ÙÒÓ ÐÐÓ× ÐÓ ØÖ ÔÐ Ý Ò ÒÑ ØÓº
º¾ ËÓÐÙ ÓÒ × ¿ Ò Ñ Ó ¼ × Ô Ö ÓÖ¸ ÔÙ × Ð ÕÙ ÐÓ Ò Ù ÒØÖ ¸ ÐÓ ÕÙ ¸ ÙÒ Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ð Ö Ò Ó ÒØ Ö ÓÖº × Ò ÓÖ¸ ÔÙ × Ð ×ÙÑ ÖÐ ½ × Ð ¼ ´ÕÙ × Ô Ö ÓÖµ Ð ÓÒØÖ Ö Óº × Ô Ö ÓÖ¸ ÔÙ × Ù ÐÕÙ Ö Ù Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Óº × Ò ÓÖ¸ ÔÙ × Ð ×ÙÑ ÖÐ ½ × Ð ¸ ÕÙ × Ô Ö ÓÖ¸ Ð ÓÒØÖ Ö Óº Ë Ù Ò Ó ×Ø ÑÓ Ó × Ú ÕÙ Ò ØÓ Ó Ð Ö Ò Ó ¿¿ ¼ ÐÓ× ÑÔ Ö × ×ÓÒ Ò ÓÖ × Ý ÐÓ× Ô Ö × Ô Ö ÓÖ ×º ×Ø Ô ØÖ Ò Ñ ÓÒ ¿¿ ¸ ÔÙ × Ð ÙÔÐ ÖÐÓ Ð ÕÙ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÕÙ × Ô Ö ÓÖº ×Ø ÑÓ Ó ¿¿ × Ò ÓÖ¸ Ý ÐÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò ÙÑ ÖÓ× Ð Ö Ò Ó ½ ¿¿ º È ÖÓ ½ × Ô Ö ÓÖ ÔÙ × 167 + 1 = 168 ´ Ò ÓÖµ¸ 167 × 2 = 334 ´ Ò ÓÖµ Ý 167 × 3 = 501 ´ Ò ÓÖµº ½ × Ò ÓÖ¸ ÔÙ × Ð ×ÙÑ ÖÐ ½ × ½ ¸ ÕÙ × Ô Ö ÓÖº ÓÒØ ÒÙ Ò Ó ×Ø ÑÓ Ó × Ú ÕÙ Ò ØÓ Ó Ð Ö Ò Ó ½ ÐÓ× ÑÔ Ö × ×ÓÒ Ô Ö ÓÖ × Ý ÐÓ× Ô Ö × Ò ÓÖ ×º Ò Ð Ö Ò Ó ¾ ÐÓ× ÑÔ Ö × ×ÓÒ Ò ÓÖ × ´ØÖ ÔÐ Ò Óµ Ý ÐÓ× Ô Ö × ×ÓÒ Ô Ö ÓÖ ×º Ò Ð Ö Ò Ó ½ ¾ ×ÓÒ ØÓ Ó× Ò ÓÖ × ´ ÙÔÐ Ò Óµº Ò Ð Ö Ò Ó ½¿ ÐÓ× Ô Ö × ×ÓÒ Ò ÓÖ × ´×ÙÑ Ò Ó ½µ Ý ÐÓ× ÑÔ Ö × ×ÓÒ Ô Ö ÓÖ ×º Ò ÐÑ ÒØ ¸ ¿ × Ò ÓÖ ´ØÖ ÔÐ Ò Óµ Ý ¾ × Ô Ö ÓÖº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÕÙ Ò Ø Ò ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ × ÖÙÒÓº ËÙ ×ØÖ Ø × ÔÙ Ö ×ÙÑ Ö × Ë Ò Ð ¿¸ ÖÙÒÓ ØÖ ÔÐ º Ë Ò Ð ¸ ¸ ¸ ½¼ ½¾¸ ÖÙÒÓ ×ÙÑ ½º Ë Ò Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð ½ Ð ¾ ¸ ÖÙÒÓ ÐÓ ÙÔÐ º Ë Ò Ð ÙÒ ÑÔ Ö Ð ¾ Ð ¸ ÖÙÒÓ ÐÓ ØÖ ÔÐ º Ë Ò Ð ÙÒ Ô Ö Ð Ð ½ ¸ ÖÙÒÓ Ð ×ÙÑ ½º Ë Ò Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð ½ Ð ¿¿ ¸ ÖÙÒÓ ÐÓ ÙÔÐ º Ë Ò Ð ÙÒ ÑÔ Ö Ð ¿¿ Ð ¸ ÖÙÒÓ ×ÙÑ ½º Ë Ò Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð ½ Ð ¾¼½¼¸ ÖÙÒÓ ÐÓ ØÖ ÔÐ º ¾º Ë n = 2k Ô Ö Ð Ò ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ k¸ ÔÓ ÑÓ× ØÓÑ Ö x = y = 3k Ý z = −6k Ý × ÙÑÔÐ Ò Ð × Ó× ÓÒ ÓÒ × Ð ÒÙÒ Óº Ë n × ÑÔ Ö¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× ÔÓÖ ÓÒØÖ Ò ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ò x, y, zº Ì Ò ÑÓ× ÕÙ n(xy + yz + zx) = xyz, Ý ÓÑÓ x + y + z = 0, ÒØÓÒ × n3 − n2 (x + y + z) + n(xy + yz + zx) − xyz = n3 , Ó Ò (n − x)(n − y)(n − z) = n3 . Ë Ò p = n − x¸ q = n − y¸ r = n − z¸ ÒØÓÒ × pqr = n3 Ý p + q + r = 3nº ÕÙ ÔÓ ÑÓ× ×Ø Ö Ö Ô Ñ ÒØ Ð ×Ó n = 1¸ ÔÙ × × Ð ÖÓ ÕÙ Ð Ò × p = q = r = 1, ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ x = y = z = 0. Ô ÖØ Ö ÓÖ ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× n ≥ 3. ÄÙ Ó¸ × d = (p, q, r) ÓÒ p = dp′ , q = dq′ Ý r = dr′ . ÓÑÓ d3 |n3 ÒØÓÒ × d|n¸ Ý × n = dk. ÄÙ Ó¸ p′ q′ r′ = k3 Ý p′ + q′ + r′ = 3k. Ë Ð Ò ÔÖ ÑÓ t Ú p′ Ý q′ , ÒØÓÒ × t|k3 , ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ t|k Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ t|r′ , ÐÓ ÕÙ × Ö ÙÒ ÓÒØÖ Ò ÔÓÖÕÙ p′ , q′ , r′ ÒÓ ÔÙ Ò Ø Ò Ö ÙÒ ØÓÖ ÔÖ ÑÓ Ò ÓÑ Òº ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ p′ , q′ Ý r′ ×ÓÒ ÓÔÖ ÑÓ× Ó× Ó׺ ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó¸ ÓÑÓ p′ q′ r′ = k3 , Ø Ò ÑÓ× ÕÙ p′ = a3 , q′ = b3 Ý r′ = c3 ´ ÓÒ a, b, c ×ÓÒ ÒØ ÖÓ×µ¸ Ñ × abc = k Ý a3 + b3 + c3 = 3k = 3abc. ÒØÓÒ ×
ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = 0, Ô ÖÓ a, b Ý c ×ÓÒ ÑÔ Ö × ÔÙ × ×ÓÒ Ú ×ÓÖ × n3 , ÒØÓÒ × a + b + c = 0. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ a2 +b2 +c2 −ab−bc−ca = 0, ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ a = b = c, × Ö p = q = r = n Ý x = y = z = 0, ÐÓ Ù Ð × ÙÒ ÓÒØÖ Ò¸ Ý ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Óº ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ËÙ×Ø ØÙÝ Ò Ó z = −(x + y) ×Ò Ð × ÙÒ ÓÒ Ò Ý ×Ô Ò Ó × Ó Ø Ò ÕÙ xy(x + y) x2 + xy + y2 = n. Ë x = da Ý y = db, ÓÒ (a, b) = 1. ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ dab(a + b) a2 + ab + b2 = n. × Ð ÖÓ ÕÙ (ab, a2 + ab + b2 ) = 1. Ñ ×¸ × p × ÙÒ ÔÖ ÑÓ ÕÙ Ú (a + b, a2 + ab + b2 ) ÒØÓÒ × p Ø Ñ Ò Ú ab = (a + b)2 − (a2 + ab + b2 ). ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ × Ù ÐÑ ÒØ ÕÙ p Ú (a, b), ÐÓ Ù Ð × ÙÒ ÓÒØÖ Òº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ a2 + ab + b2 Ú d¸ × Ö¸ d = (a2 + ab + b2 )k. ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ab(a + b)k = n. ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ × × Ù ÕÙ n Ø Ò ÕÙ × Ö Ô Ö¸ ÔÙ × Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× a, b, a + b × Ö Ô Öº Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ô Ö ÒÓØ Ö ÕÙ ØÓ Ó Ô Ö × ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö ×Ø ÓÖÑ ØÓÑ a = −2, b = 1. ×Ø ÓÖÑ ¸ n = 2k. Ò ØÓ¸ Ô Ö ×Ø × Ó Ò × Ø Ò ÕÙ x = −6k, y = 3k, z = 3k Ý × −1 6k + 1 3k + 1 3k = 1 2k ÓÒ ÐÓ ÕÙ × ÓÒ ÐÙÝ Ð ÔÖÙ º ¿º × ÓÒÓ Ó ÕÙ Ð × Ö Ø × AX, BY Ý CZ ×ÓÒ ÓÒ ÙÖÖ ÒØ ×¸ ÑÓ× ÕÙ ÓÒ ÙÖÖ Ò Ò Hº ÈÓÖ Ô Ø × × CZ × Ð Ö Ð C1 Ý C2 Ý BY × Ð Ö Ð C1 Ý C3 ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ AX × Ð Ö Ð C2 Ý C3 Ý H × Ð ÒØÖÓ Ö Ð Ð × ØÖ × Ö ÙÒ Ö Ò ×º Ä Ñ º Ë Ò Ý ÓÑÓ Ð ÒÙÒ Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ë Ò Á¸ Æ ÔÙÒØÓ× ×Ó Ö ¸ Ñ Ò Ö ÕÙ ÆÁ × Ô Ö Ð Ð º ËÁ Ä Ý Ã ×ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÒØ Ö× Ò Ð Ö Ø ÓÒ ÐÓ× Ö ÙÒ Ö ÙÐÓ× ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× Á Ý Æ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÒØÓÒ × Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò Í ÄÁ ÓÒ ÃÆ ×Ø ×Ó Ö Ð Ö Ø º
º¾ ËÓÐÙ ÓÒ × A B C Z Y X J M N K L I ÈÖÙ Ð Ð Ñ º ÓÑÓ Ð × Ñ × ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ò× Ö ØÓ× Ý ÐÓ× Ô ÙÐÓ× × ¹ Ñ Ò× Ö ØÓ× ÕÙ Ö Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ö Ó ×ÓÒ Ù Ð ×¸ × Ø Ò ÕÙ ∠ZXY = ∠AY Z = ∠AZY = α. ÈÓÖ × Ö Ð Ó ÐÓ× Ù Ö Ð Ø ÖÓ× XILZ Ý XNKY, × Ø Ò ÕÙ ∠KLI = ∠LKN = α. ÔÓÖ × Ö NI Ô Ö Ð Ð Y Z, ∠KNI = ∠LIN = α, ÐÙ Ó ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× AZY Ý UNI ×ÓÒ × Ñ ÒØ × Ý Ð Ó× Ô Ö Ð ÐÓ׸ ÐÙ Ó ×ÓÒ ÓÑÓØ Ø Ó× Ý ÓÑÓ ZN Ý Y I ÓÒ ÙÖÖ Ò Ò X¸ Ð ÒØÖÓ ÓÑÓØ × X¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ X, U Ý A ×ÓÒ ÓÐ Ò Ð ×º Ê Ö × ÑÓ× Ð ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Î ÑÓ× ÕÙ Ò Ö Ð × × Ø Ò ÕÙ NI × Ô Ö Ð Ð Y Zº Ë I′ ×Ó Ö XY Ñ Ò Ö ÕÙ NI′ × Ô Ö Ð Ð Y Z. ÓÒ× Ö ÑÓ× C2 Ð Ö ÙÒ Ö ÙÐÓ ZXI′ Ý × L′ Ð ÒØ Ö× Ò Ø Ð Ö ÙÒ Ö ÙÐÓ ÓÒ Y Zº ÈÓÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ L′ I′ Ý KN × ÓÖØ Ò Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ U ÕÙ ×Ø ×Ó Ö AXº Ñ × ÓÑÓ L′ UK Ý NUI′ ×ÓÒ × × Ð × × Ø Ò ÕÙ UI′ · UL′ = UN · UK. ÄÙ Ó Ð Ö Ð C2 Ý C3 × Ð Ö Ø AX¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ C2 Ô Ö ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò C2 Ý C3 Ý ÒØÓÒ × C2 = C2 Ý ÒØÓÒ × I′ = I Ý N′ = N. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ NI × Ô Ö Ö Ð Y Zº Ñ Ò Ö Ò ÐÓ × ÔÙ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ KJ × Ô Ö Ð Ð ZX Ý LM × Ô Ö Ð Ð XY. ÓÑÓ NI × Ô Ö Ð Ð Y Z Ý ÓÑÓ Y ZMJ × ÙÒ Ù Ö Ð Ø Ö Ð Ó¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ ∠NIX = ∠ZY J = ∠JMN ÐÓ ÕÙ Ö ÒØ Þ ÕÙ MNIJ ×Ø Ò ×Ó Ö ÙÒ Ö¹ ÙÒ Ö Ò Γ1. Ñ Ò Ö Ò ÐÓ KLMN ×Ø Ò ×Ó Ö ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Γ2 Ý Ø Ñ Ò IJKL ×Ø ×Ó Ö ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Γ3. Ë Ð Ò Ô Ö ×Ø × Ö ÙÒ Ö Ò¹ × ×ÓÒ Ù Ð × ÒØÓÒ × Ð × ØÖ × × Ö Ò Ð Ñ ×Ñ º È ÖÓ × ÒÓ Ù Ö Ð ×Ó ÒØÓÒ × Ð Ö Ð Γ1 Ý Γ2 × ZX, Ð Ö Ð Γ2 Ý Γ3 × Y X, Ý Ð Ö Ð Γ3 Ý Γ1 × XY, Ô ÖÓ ×ØÓ× ØÖ × × Ò ÓÒ ÙÖÖ Ö¸ Ô ÖÓ ÕÙ ÒÓ × Ð ×Óº ×Ø ÓÒØÖ Ò¸ ÐÐ Ú ÕÙ Ð × ØÖ × Ö ÙÒ Ö Ò × ×ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ý ÒØÓÒ × ÐÓ× × × ÔÙÒØÓ× ×ÓÒ ÓÒ Ð Ó׺
ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ë P Ð ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò C2 ÓÒ AB Ý Q Ð ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö¹ × Ò C3 ÓÒ AC. ÓÑÓ AX × Ð Ö Ð C2 Ý C3, ÒØÓÒ × × ÙÑÔÐ AZ · AP = AY · AQ. ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ AP = AQ ÔÙ × AZ = AY. ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ZP = Y Q Ý Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÑÔÓ PQ × Ô Ö Ð Ð ZY. ÓÖ ÔÖÓ Ö ÑÓ× ÕÙ I ×Ø ×Ó Ö PQ. È Ö ×Ó Ú Ö ÑÓ× ÕÙ PI Ø Ñ Ò × Ô Ö Ð Ð ZY. ´ Ð ÔÙÒØÓ P × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö ÝÓ ZB Ó ÕÙ I ×Ø Ò Ð Ù Ö XY.µ Ò ØÓ¸ ZPXI × Ð Ó¸ ÐÙ Ó ∠PIX = ∠PZX. Ñ × ∠PZX × × ¹ Ñ Ò× Ö ØÓ Ò Ð Ò Ö ÙÐÓ¸ ∠ZY X × Ò× Ö ØÓ¸ Ö Ò Ó Ð Ñ ×Ñ Ù Ö º ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ∠PIX = ∠ZY X Ý × PI × Ô Ö ÖÐ Ð ZY × ÕÙ I ×Ø ×Ó Ö PQ. Ñ Ò Ö Ò ÐÓ ¸ × ÔÖÙ ÕÙ N ×Ø ×Ó Ö PQ¸ × ÕÙ NI × Ô Ö Ð Ð ZY ¸ ÓÑÓ × ÔÖ Ø Ò ÔÖÓ Öº Ë ÓÒ ÐÙÝ ÓÑÓ Ò Ð ×ÓÐÙ Ò Ó Ðº º µ ËÓÐÙ Ò Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÖÓ Ð Ë ÑÓ× ÕÙ AC = BC. O × Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ △ABC Ý ×Ø × ÙØ Ò ÙÐÓº Ñ ×¸ BOAP Ý COPQ ×ÓÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ׺ A B C O R Q P Ð × Ö O Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ × Ø Ò ÕÙ AO = OC = OBº ÈÓÖ × Ö BOAP Ô Ö Ð ¹ ÐÓ Ö ÑÓ¸ × Ø Ò ÕÙ BO = AP Ý PB = AO Ý Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÔÓÖ × Ö COPQ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ¸ PQ = OC Ý PO = QC. ÒØÓÒ ×¸ × Ø Ò ÕÙ AO = OC = OB = AP = PB = PQ ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÕÙ APBO × ÙÒ ÖÓÑ Óº Ë ÑÓ× ÕÙ Ð × Ó¹ Ò Ð × ÙÒ ÖÓÑ Ó × ÓÖØ Ò ÓÖÑ Ò Ó ÙÒ Ò ÙÐÓ 90◦ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ∠AMO¸ ÓÒ M × Ð ÔÙÒØÓ ÓÖØ Ð × ÓÒ Ð ×¸ Ñ 90◦ º ÓÑÓ PQCO × ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ¹ Ö ÑÓ ÐÙ Ó PO QC ÓÒ Ö ×ÙÐØ ÕÙ QC Ø Ñ Ò × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ABº
º¾ ËÓÐÙ ÓÒ × Ë ÔÙ Ú Ö ÕÙ ∠ANC Ý ∠AMO ×ÓÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º ÄÙ Ó¸ ÓÑÓ QC Ô ÖØ C¸ QC × ÐØÙÖ × C Ð △ABCº ÄÄ Ñ Ö ÑÓ× N Ð Ô × ÐØÙÖ º Ë Ð ÐØÙÖ × B Ó A Ô × ÔÓÖ Q¸ × Ø Ò Ö ÕÙ Q × Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ △ABC. ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ × Ò ÑÓ× P′ ÓÑÓ Ð ÔÙÒØÓ Ø Ð ÕÙ P′ CO × ÙÒ Ô Ö ¹ Ð ÐÓ Ö ÑÓ¸ ÐÙ Ó P′ C = AO, P′ C AO Ý P′ A OC, P′ A = OC ÓÒ P′ C PB, P′ C = PB Ý P′ A PQ, P′ A = PQ ÐÓ ÕÙ ØÖ ÓÑÓ ÓÒ× Ù Ò¹ ÕÙ APQP′ Ø Ñ Ò × ÙÒ ÖÓÑ Óº ÄÙ Ó Ð × ÓÒ Ð × APQP′ × ÓÖØ Ò ÓÖÑ Ò Ó ÙÒ Ò ÙÐÓ 90◦ ÒØÖ PP′ Ý AQ(∠AKP′ ), ÐÙ Ó P′ C PB Ý P′ C = PB ÓÒ PP′ CB Ø Ò ÕÙ × Ö Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÄÙ Ó × ÔÖÓÐÓÒ ÑÓ× AQ ×Ø ÕÙ ÓÖØ BC Ò Ð ÔÙÒØÓ L Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ ∠AKP′ Ý ∠ALC ×ÓÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ý ÕÙ PP′ BC ÔÓÖ × Ö PP′ CB ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ¸ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ∠AKP′ = ∠ALC = 90◦ º Ó ÕÙ AL ÓÖÑ ÙÒ Ò ÙÐÓ 90◦ ÓÒ BC, AL × Ð ÐØÙÖ △ABC ØÖ Þ Ó × Aº Ñ ×¸ Ð ÓÒ Ð APQP′ , AQ ÓÖÑ Ô ÖØ Ð Ñ ×Ñ AL ÓÒ Q Ô ÖØ Ò AL Ý ÓÑÓ Q Ô ÖØ Ò ÒØ × NC ´ ÐØÙÖ × C Ð △ABCµ ÐÙ Ó Q × Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ △ABC ÔÓÖ × Ö Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò AL Ý CN. µ ËÓÐÙ Ò Ó È Ë Γ1 Ð Ö ÙÒ Ö ÙÐÓ Ð △ABC. Ê ÑÓ× Ð △ABC ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð Ö Ø AB. ÓÑÓ OAPB × ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ý OA = OB ´ÔÓÖ × Ö Ö Ó× Γ1µ¸ ÒØÓÒ × OAPB × ÙÒ ÖÓÑ Óº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ AB Ý OP ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×¸ Ý ÓÑÓ Ñ ×¸ ÔÓÖ × Ö OAPB ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ¸ AB Ý OP × × Ò Ø Ò ÑÓ× ÕÙ P × Ð Ö Ü Ò O ÓÒ Ö ×Ô ØÓ AB. ÄÙ Ó¸ Ð Ö Ü Ò Γ1 ÓÒ Ö ×Ô ØÓ AB × Ð Ö ÙÐÓ Γ2 ÒØÖÓ P Ý Ö Ó PA ´ÔÙ × P × Ð Ñ Ò O¸ Ð ÒØÖÓ Γ1 Ý A × ×Ù Ñ ×Ñ Ñ Òµº ÓÑÓ OP Ý AB ×ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×¸ Ý ÓÑÓ ÔÓÖ × Ö COPQ ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ¸ OP Ý CQ ×ÓÒ Ô Ö Ð Ð ×¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ AB Ý CQ ×ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×º ÈÓÖ × Ö OCPQ ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ PQ = OC = OA = PA ´ÔÙ × OC Ý OA ×ÓÒ Ö Ó× Γ1 Ý OAPB × ÙÒ ÖÓÑ Óµº ÄÙ Ó¸ Q ×Ø Ò Γ2. ÓÑÓ CQ Ý AB ×ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×¸ Ð Ñ Ò Q′ Q ÐÙ Ó Ð Ö Ü Ò ×Ø ×Ó Ö Ð Ö Ø CQ, Ý ÓÑÓ Q ×Ø Ò Γ2, Q′ ×Ø Ö Ò Γ1 ´ÔÙ × ÓÑÓ Ý Ú ÑÓ× Ð Ö Ü Ò Ñ Γ1 ÓÒ Γ2µº ÄÙ Ó¸ Q′ × Ö Ð ÔÙÒØÓ ÓÖØ CQ Ý Γ1, × Ö¸ Ð Ö Ü Ò Ð ÔÙÒØÓ Q ÓÒ Ö ×Ô ØÓ AB ×Ó Ö Ð Ö ÙÒ Ö ÙÐÓº ÓÑÓ Ñ × Ý Ú ÑÓ× ÕÙ CQ ⊥ AB¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ Ð Ö Ø CQ × Ð ÐØÙÖ ÔÓÖ C Ð △ABCº ÄÙ Ó¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ Q′ × ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð ÐØÙÖ ÔÓÖ C Ð △ABC ÕÙ ÙÑÔÐ ÕÙ ×Ù Ö Ü Ò ×Ó Ö Ð Ð Ó AB Ò Ð Ö ÙÒ Ö ÙÐÓ¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Q × Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ Ð △ABCº µ ËÓÐÙ Ò ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ × ÓÑÓ O × Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ OA = OB Ý ÓÑÓ OAPB × Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ × Ø Ò ÕÙ OA = PB Ý BO = PA Ý Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× Ù ØÖÓ × Ñ ÒØÓ× Ð
ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ×ÓÒ Ù Ð ×¸ × Ö OAPB × ÙÒ ÖÓÑ Ó Ý ×Ù× ÓÒ Ð × × ÓÖØ Ò Ò Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ý ×ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×º ÄÙ Ó CQ × Ô Ö Ð Ð OP Ý OP ⊥ AB Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ CQ ⊥ AB ÓÒ × Ó Ø Ò ÕÙ Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Ø CQº ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ × Ø Ò ÕÙ Ð ×Ø Ò × ÙÒ Ú ÖØ ×Ø Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ × Ð Ó Ð Ð ×Ø Ò ÕÙ Ý × Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ ×Ø Ð Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓ Ó Ú ÖØ º ÈÓÖ ×ØÓ × ×Ù ÒØ ÓÒ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ CQ = 2OC′ ÓÒ C′ × Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð Ó ACº È ÖÓ ×ØÓ × ÖØÓ Ý ÕÙ ÓÑÓ COPQ × ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ CO = OP = 2OC′ . Ä ÐØ Ñ Ù Ð ÙÑÔÐ Ý ÕÙ Ð × Ö C′ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó AB × Ð ÔÙÒØÓ ÓÖØ Ð × ÓÒ Ð × Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ OAPB Ý Ø Ñ Ò × Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó OP. º ËÙÔÓÒ × Ò Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn. Ë Ú ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð × Ù Ð × Ú Ö × ak = (−1)k+1 . Ë Ú ÑÓ×ØÖ Ö ÔÓÖ Ò Ù Ò ×Ó Ö nº Ë n = 2 Ð × Ù Ð × Ö Ù 2x2(x1 − x2) ≥ 0 Ý × n = 3 Ð × Ù Ð × Ö Ù (x1 − x2)(x2 − x3) ≥ 0. ËÙÔÓÒ ÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ Ó × ÖØÓ Ô Ö n¸ × Ú ÔÖÓ Ö Ô Ö n + 2. ËÙÔÓÒ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ n × Ô Ö¸ Ý × n = 2m. Ò ×Ø ×Ó Ð × Ù Ð ÕÙ Ý ÕÙ ÑÓ×ØÖ Ö × ÕÙ Ú Ð ÒØ (x1 + · · · + x2m−1 + x2m+1)(x2 + · · · + x2m + x2m+2) − 1≤i<i≤m+1 (x2i−1x2j−1 + x2ix2j) − m+1 i=1 x2 2i ≥ 0. Ë Sm+1(x1, x2, . . . , X2m+2) Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð × Ù Ð ÒØ Ö ÓÖº Ë Ú Ö Ð ÒØ Sm+1(x1, x2, . . . , X2m+2) = (x1 − x2)(x2 − x3 + · · · + x2m − x2m+1 + x2m+2) + Sm(x3, x4, . . . , x2m+2), Ý Ð ÔÖÙ × × Ù ÔÓÖ Ò Ù Òº ËÙÔÓÒ ÕÙ n × ÑÔ Ö Ý × n = 2m + 1. Ä × Ù Ð ÕÙ Ý ÕÙ ÑÓ×ØÖ Ö × (x1 +· · ·+x2m−1+x2m+1)(x2 +· · ·+x2m)− È 1≤i<i≤m+1 x2i−1x2j−1 − È 1≤i<i≤m x2ix2j − Èm i=1 x2 2i ≥ 0. Ë Tm+1(x1, x2, . . . , X2m+1) Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð × Ù Ð ÒØ Ö ÓÖº × × Ò ÐÐÓ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Tm+1(x1, x2, . . . , X2m+1) = (x1 −x2)(x2 −x3 +· · ·+x2m− x2m+1) + Tm(x3, x4, . . . , x2m+1), Ý Ð ÔÖÙ × × Ù ÔÓÖ Ò Ù Òº ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ËÙÔÓÒ × Ò Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn. Ë Ú ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð × Ù Ð × Ú Ö × ak = (−1)k+1 . Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð ×ÓÐÙ Ò ÒØ Ö ÓÖ × ÓÑÔÖÙ Ò ÐÑ ÒØ ÐÓ× ×Ó× n = 2 Ý n = 3. È Ö Ú n > 2 ÓÒ× Ö × Y = x3 − x4 + · · · + (−1)n+1 xn. Æ Ø × ÕÙ Y = x3 − (x4 − x5) − (x6 − x7) − · · · , ÒØÓÒ × Y ≤ x3 Ý ÔÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ Y = (x3 − x4) + (x5 − x6) + · · · ≥ 0.
º¾ ËÓÐÙ ÓÒ × Æ Ø × ÕÙ Ò ÙØ Ð Þ Ò Ó ÐÓ× ×Ó× n = 2 Ý n = 3 × Ø Ò Ð × Ù Ð x2 1 − x2 2 + Y 2 ≥ (x1 − x2 + Y )2 . ÔÐ Ò Ó Ð Ô Ø × × Ò Ù Ò × Ø Ò ÕÙ x2 3 − x2 4 + · · · + (−1)n+1 x2 n ≥ Y 2 . ÙÒ Ò Ó Ñ × × Ù Ð × × Ø Ò Ð Ö ×ÙÐØ Óº º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ý n Ô Ö × Ð Ò × Ý r Ô Ö × Ò Ö ×º Ë Ò b1¸ b2¸º º º ¸ bn Ð × Ô Ö × Ð Ò × ÒÙÑ Ö × ÞÕÙ Ö Ö º È Ö i ∈ {1, 2, . . ., n} × Ò Ii Ý Di Ð ÒØ Ô Ö × Ò Ö × Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð Ö bi¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º × Ð ÖÓ ÕÙ Ii+Di = rº Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØ Ö Ñ Ó× Ò × Ö Ó× Ô Ö Ø Ò Ö ØÓ × Ð × Ô Ö × Ð Ò × Ð ÞÕÙ Ö × I = Èn i=1 Ii¸ Ý Ô Ö Ø Ò ÖÐ × Ð Ö × D = Èn i=1 Diº ÓÑÓ Ó Ú Ñ ÒØ I + D = nr¸ Ö ×ÙÐØ ÕÙ Ð Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÒØ Ö Ñ Ó× Ô Ö ÕÙ Ð × Ô Ö × ÙÒ Ñ ×ÑÓ ÓÐÓÖ ÕÙ Ò Ò × × Ù × × m´ın(I, D) ≤ ⌊nr 2 ⌋º µ Ë Ý k ÓÐÓÖ ×¸ ÐÐ Ñ ÑÓ× ÙÒÓ ÐÐÓ× Ð Ò Ó ÒØ ÕÙ ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ × ÓÑÓ Ò ÖÓº ÒØÓÒ ×¸ ÔÓÖ Ð ×Ó k = 2 Ý Ò Ð Þ Ó¸ ÓÒ r = (k − 1)n¸ Ö ×ÙÐØ ÕÙ Ð × Ô Ö × Ð Ò × × ÔÙ Ò × Ô Ö Ö Ò ÐÓ ×ÙÑÓ ⌊n2 (k−1) 2 ⌋ = n2 (k−1) 2 ´ÔÙ × ×Ø ÑÓ× ×ÙÔÓÒ Ò Ó ÕÙ n × Ô Öµº Ë ÓÖ × Ô Ö ÑÓ× Ð × Ô Ö × Ð ÙÒÓ ÐÓ× ÓÐÓÖ × ÕÙ ÒØ ÑÓ× ÓÑÓ Ò ÖÓ Ý ÓÒØ ÒÙ ÑÓ× × Ð Ñ ×Ñ Ñ Ò Ö × Ô Ö Ò Ó ÐÓ× ÓÐÓÖ × ÙÒÓ Ò ÙÒÓ¸ Ö ×ÙÐØ Ö ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÐÓÖ × × ÔÙ Ò × Ô Ö Ö Ò ÐÓ ×ÙÑÓ n2 (k − 1) 2 + n2 (k − 2) 2 + · · · + n2 2 = n2 k(k − 1) 4 . È Ö Ú Ö ÕÙ ×Ø ÓØ ÒÓ × ÔÙ Ñ ÓÖ Ö¸ × Ò C1¸º º º ¸ Ck ÐÓ× ÓÐÓÖ × Ý ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ Cs i ÙÒ ×Ù × Ò s Ô Ö × ÓÒ× ÙØ Ú × ÓÐÓÖ Ciº ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÖÖ ÐÓ C n 2 1 C n 2 2 . . . C n 2 k C n 2 k . . . C n 2 2 C n 2 1 º È Ö ÑÓÚ Ö ØÓ × Ð × Ô Ö × ÓÐÓÖ Ci Ð ÞÕÙ Ö ´Ó Ð Ö µ × Ò × Ø Ò Ð Ñ ÒÓ× (i − 1) n 2 2 + (k − 1 + k − i) n 2 2 = (2k − 2) n 2 2 = n2 (k − 1) 2 ÒØ Ö Ñ Ó׺ Ê Ô Ø Ò Ó Ð ÔÖÓ ×Ó Ö ×ÙÐØ ÕÙ Ð × Ô Ö Ò ØÓØ Ð Ö ÕÙ Ö Ð Ñ ÒÓ× n2 (k − 1) 2 + n2 (k − 2) 2 + · · · + n2 2 = n2 k(k − 1) 4 ÒØ Ö Ñ Ó׺ µ Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × 3n2 −1 2 º ÈÓÖ ÐÓ Ú ×ØÓ Ð Ò Ó¸ × Ô Ö Ö ÙÒ ÓÐÓÖ Ö ÕÙ Ö ÐÓ ×ÙÑÓ ⌊n(2n) 2 ⌋ = n2 ÒØ Ö Ñ Ó׺ × Ô Ö Ö ÐÓ× Ó× ÓÐÓÖ × Ð × 2n Ô Ö × ÕÙ ÕÙ Ò
¼ ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ö ÕÙ Ö ÐÓ ×ÙÑÓ ⌊n2 2 ⌋ = n2 −1 2 ÒØ Ö Ñ Ó׺ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ m ≤ n2 + n2 − 1 2 = 3n2 − 1 2 . Ë ÐÓ× ØÖ × ÓÐÓÖ × ×ÓÒ A¸ B Ý C ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÖ Ð ÖÖ ÐÓ A n−3 2 B n−3 2 C n−3 2 ABCBCACABC n−3 2 B n−3 2 A n−3 2 . × Ð Ú Ö ÕÙ Ô Ö ÑÓÚ Ö Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× ØÖ × ÓÐÓÖ × ÙÒ ÜØÖ ÑÓ × Ö ÕÙ Ö Ò n2 ÒØ Ö Ñ Ó׸ ÐÙ Ó ÐÓ Ù Ð × Ö ÕÙ Ö Ò n2 −1 2 ÒØ Ö Ñ Ó× Ô Ö × Ô Ö Ö ÐÓ× Ó× ÓÐÓÖ × Ö ×Ø ÒØ ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÓØ 3n2 −1 2 ÒÓ × ÔÙ Ñ ÓÖ Öº
Ô ØÙÐÓ ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ×Ø × Ò ×Ø Ð ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø × ¾¼½½¸ ÁÅǸ Ð Ö Ð ½¾ Ð ¾ ÂÙÐ Ó Ò Ñ×Ø Ö Ñº Ð ÕÙ ÔÓ Ú Ò ÞÓÐ ÒÓ ×ØÙÚÓ ÒØ Ö Ó ÔÓÖ ÐÓ× ÐÙÑÒÓ× ÖÐÓ× Ä Ñ × Ö Ò ×¸ Ð ÓÐ Ó ÁÒ Ô Ò¹ Ò ÖÕÙ × Ñ ØÓ Ý Ó È ÓÐ Ó Ó¸ Ð ÓÐ Ó ÄÓ× À ÔÓ ÑÔ ØÓ× ÐÓ× ÐØÓ× Å Ö Ò ÒÓ׺ Ð ØÙØÓÖ Ð Ð Ò Ù Ð ÔÖÓ ×ÓÖ Ä ÙÖ Î ÐÑ À ÖÖ ÖÓ Ð Ñ Ï × Ò ØÓÒ Ý Ð Ð Ð Ò Ð ÔÖÓ ×ÓÖ Ê Ð Ë Ò Þ Ä ÑÓÒ ¸ Ð Í Îº Ñ Ó× ÐÙÑÒÓ׸ ÖÐÓ× Ý Ó Ó ØÙÚ ÖÓÒ Ñ Ò¹ Ò ÓÒÓÖ ÔÓÖ ×Ù× ×ÓÐÙ ÓÒ × Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½¸ Ð × Ù Ð × × Ò ÐÑ ÒØ ¸ ×ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ö ×ÔÙ ×Ø Ó Ðº Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÕÙ ÑÓ× ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÔÐ ÒØ Ó× ×ÓÒ Ð × Ó Ð × Ð Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ × ÐÚÓ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÓÒ ÜÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ ×ÓÐÙ Ò ÑÙÝ Ð ÒØ ÔÓÖ Ð ÔÖÓ ×ÓÖ Å ×× ÑÓ Ó ÒÓ¸ Ç × ÖÚ ÓÖ Ð ÕÙ ÔÓ Ø Ð ÒÓº º½º ÈÖÓ Ð Ñ × ÈÖ Ñ Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½º È Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓÒ ÙÒØÓ A = {a1, a2, a3, a4} Ù ØÖÓ ÒØ ÖÓ× ÔÓ¹ × Ø ÚÓ× ×Ø ÒØÓ× × ÒÓØ Ð ×ÙÑ a1 + a2 + a3 + a4 ÔÓÖ sAº Ë nA Ð Ò Ñ ÖÓ Ô Ö × (i, j) ÓÒ 1 ≤ i < j ≤ 4 Ô Ö Ð × Ù Ð × ai +aj Ú sAº Ò ÓÒØÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× A Ù ØÖÓ ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× ×Ø ÒØÓ× Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × × Ð ÒÞ Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÓ× Ð nA. ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ë S ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓ Ó× Ó Ñ × ÔÙÒØÓ× Ð ÔÐ ÒÓº Ò S ÒÓ Ý ØÖ × ÔÙÒØÓ× ÓÐ Ò Ð ×º ÍÒ Ö ÑÓÐ ÒÓ × ÙÒ ÔÖÓ ×Ó ÕÙ ÑÔ Þ ÓÒ ÙÒ Ö Ø ℓ ÕÙ
¾ ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø Ô × ÔÓÖ ÙÒ Ò Ó ÔÙÒØÓ P ∈ S¸ Ð Ù Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Ô ÚÓØ º Ë ÖÓØ ℓ Ò Ð × ÒØ Ó Ð × Ñ Ò ÐÐ × Ð Ö ÐÓ ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð Ô ÚÓØ P ×Ø ÕÙ Ð Ö Ø Ò Ù ÒØÖ ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ S Ð Ù Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Qº ÓÒ Q ÓÑÓ ÒÙ ÚÓ ÒØÖÓ¸ ´Ô ÚÓØ µ¸ × × Ù ÖÓØ Ò Ó Ð Ö Ø Ò Ð × ÒØ Ó Ð × Ñ Ò ÐÐ × Ð Ö ÐÓ ×Ø ÕÙ Ð Ö Ø Ò Ù ÒØÖ ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ Sº ×Ø ÔÖÓ ×Ó ÓÒØ Ò Ò Ò Ñ ÒØ ¸ × Ò Ó × ÑÔÖ Ð ÒØÖÓ ÖÓØ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Sº ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ × ÔÙ Ð Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ P ∈ S Ý ÙÒ Ö Ø ℓ ÕÙ Ô × ÔÓÖ P Ø Ð × ÕÙ Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ ÕÙ Ö ×ÙÐØ Ù× ÔÙÒØÓ S ÓÑÓ ÙÒ ÒØÖÓ ÖÓØ Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ò ØÓ Ú ×º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ë f ÙÒ ÙÒ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ò × Ñ ×ÑÓ ÕÙ × Ø × f(x + y) ≤ yf(x) + f(f(x)) Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x¸ yº ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ f(x) = 0 Ô Ö ØÓ x ≤ 0º Ë ÙÒ Ó ÈÖÓ Ð Ñ º Ë n > 0 ÙÒ ÒØ ÖÓº Ë ×ÔÓÒ ÙÒ Ð ÒÞ Ó× ÔÐ Ø ÐÐÓ× Ý n Ô × × ÙÝÓ× Ô ×Ó× ×ÓÒ 20 ¸ 21 , . . . , 2n−1 º Ë ÓÐÓ ÙÒ Ð × Ô × × Ò Ð Ð ÒÞ ¸ ÙÒ Ò ÙÒ ¸ Ñ ÒØ ÙÒ ×Ù × Ò n ÑÓÚ Ñ ÒØÓ׺ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓÚ Ñ ÒØÓ × Ð ÙÒ Ô × Ý × ÓÐÓ Ò Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ ÞÕÙ Ö Óº Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÑÓÚ Ñ ÒØÓ× × Ù ÒØ × × Ð ÙÒ Ð × Ô × × Ö ×Ø ÒØ × Ý × ÓÐÓ Ò Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð ÞÕÙ Ö Ó Ò Ð Ð Ö º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ × ÐÐ Ú Ö Ó ×ØÓ× n ÑÓÚ Ñ ÒØÓ× Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ò Ò Ò Ò ÑÓÑ ÒØÓ Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð Ö Ø Ò Ñ × Ô ×Ó ÕÙ Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð ÞÕÙ Ö º ÈÖÓ Ð Ñ º Ë f ÙÒ ÙÒ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× ÒØ ÖÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ׺ Ë ×ÙÔÓÒ ÕÙ Ô Ö Ù Ð ×ÕÙ Ö Ó× ÒØ ÖÓ× m Ý n¸ Ð Ö Ò f(m) − f(n) × Ú × Ð ÔÓÖ f(m − n)º ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× m Ý n ÓÒ f(m) ≤ f(n)¸ Ð Ò Ñ ÖÓ f(n) × Ú × Ð ÔÓÖ f(m)º ÈÖÓ Ð Ñ º Ë ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÙØ Ò ÙÐÓ ÙÝ Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÙÒ× Ö Ø × Γº Ë ℓ ÙÒ Ö Ø Ø Ò ÒØ Γ¸ Ý × Ò ℓa¸ ℓb Ý ℓc Ð × Ö Ø × ÕÙ × Ó Ø Ò Ò Ð Ö Ö ℓ ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð × Ö Ø × BC¸ CA Ý AB¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÙÒ× Ö Ø Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð × Ö Ø × ℓa¸ ℓb Ý ℓc × Ø Ò ÒØ Ð Ö ÙÒ Ö Ò Γº º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º ÑÓ×ØÖ ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× A Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × nA × Ñ Ü Ñ Ð ×ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ× Ð ÓÖÑ {d, 5d, 7d, 11d} Ó {d, 11d, 19d, 29d}¸ ÓÒ d × ÙÒ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº È Ö ×ØÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× Ð Ú ÐÓÖ nA × 4º
º¾ ËÓÐÙ ÓÒ × ¿ ÑÓ×ØÖ ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ nA ≤ 4º Ë Ò Ô Ö Ò Ö Ð ÔÓ ÑÓ× ×Ù¹ ÔÓÒ Ö ÕÙ a1 < a2 < a3 < a4. Ç × ÖÚ × ÕÙ Ô Ö Ô Ö Ò × (i, j) ÓÒ 1 ≤ i < j ≤ 4, Ð ×ÙÑ ai + aj Ú sA × Ý ×ÓÐÓ × ¸ ai + aj Ú sA − (ai + aj) = ak + al, ÓÒ k Ý l ×ÓÒ ÐÓ× ÓØÖÓ× Ó× Ò ×º ÓÑÓ Ò ØÓØ Ð Ø Ò ÑÓ× 6 Ô Ö × ÓÖ Ò Ó× Ö ÒØ ×¸ Ö ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÐÐÓ× ÒÓ × Ø × Ò Ð ÓÒ Ò ÔÖ Ú º ÖÑ ÑÓ× ÕÙ ×Ó× Ó× Ô Ö × ×ÓÒ (a2, a4) Ý (a3, a4). ÓÑÓ a1 < a2 < a3 < a4, ÒØÓÒ × a2 + a4 > a1 + a3 Ý a3 + a4 > a1 + a2º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ a2 + a4 Ý a3 + a4 ÒÓ ÔÙ Ò Ú Ö sAº ×ØÓ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ nA ≤ 4º ÍÒ × ÑÔÐ Ð ÙÐÓ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ nA = 4 × ÔÓÖ ÑÔÐÓ A = {1, 5, 7, 11}º Î ÑÓ× ÓÖ Ð ÓÖÑ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× A Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × nA = 4º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ nA = 4º ÈÓÖ Ð Ö ÙÑ ÒØÓ Ó ÒØ × Ø Ò ÑÓ× ÕÙ a1 + a4|a2 + a3 y a2 + a3|a1 + a4 a1 + a2|a3 + a4 y a3 + a4 ∤ a1 + a2 a1 + a3|a2 + a4 y a2 + a4 ∤ a1 + a3 ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ü ×Ø Ò ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× u Ý v ÓÒ u > v ≥ 2 Ø Ð ÕÙ a1 + a4 = a2 + a3 u(a1 + a2) = a3 + a4 v(a1 + a3) = a2 + a4 Ð ×ÙÑ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ò ÓÒ Ð Ø Ö Ö ¸ Ó Ø Ò ÑÓ× v(a1 +a3) = 2a2 +a3 −a1º Ë v ≥ 3, ÒØÓÒ × v(a1 + a3) ≥ 3(a1 + a3) > 3a3 > 2a2 + a3 > 2a2 + a3 − a1¸ ÐÓ Ù Ð × ÙÒ ÓÒØÖ Òº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ v = 2º Ë ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ð Ø Ö Ö Ù Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ× × ×ÙÑ ÔÓÖ 2¸ Ó Ø Ò ÑÓ׸ 6a1 + 2a3 = 4a2. Ë ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ð × ÙÒ Ù Ò¸ ÒÓ× (u + 1)a1 + (u − 1)a2 = 2a3. Ð ×ÙÑ Ö ×Ø × Ó× ÐØ Ñ × Ù ÓÒ × Ó Ø Ò ÑÓ× (u + 7)a1 = (5 − u)a2. ÓÑÓ Ø ÒØÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ×Ø ÐØ Ñ Ù Ò ÓÑÓ a2 ×ÓÒ ÔÓ× Ø ÚÓ׸ × Ø Ò ÕÙ 5 − u ≥ 1º È ÖÓ × ÑÓ× ÕÙ u > v = 2¸ Ò ÓÒ× Ù Ò u = 3 Ó u = 4º ËÙ×Ø ØÙÝ Ò Ó ÐÓ× Ô Ö × (3, 2) Ý (4, 2) ÔÓÖ (u, v)¸ Ý Ö ×ÓÐÚ Ò Ó ÐÓ× × ×Ø Ñ × Ù ÓÒ × ÕÙ Ö ×ÙÐØ Ò ¸ Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ð × Ñ Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × {d, 5d, 7d, 11d} Ý {d, 11d, 19d, 29d}, ÓÒ d × ÙÒ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº ¾º È Ö ÓÑ ÒÞ Ö Ö ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ó× Ö Ø × Ô Ö Ð Ð × Ø Ò Ð Ñ ×Ñ Ö Òº Ì Ñ Ò Ð ÔÓ ÑÓ× Ö ÓÖ ÒØ Ò ÙÒ Ö Ø Ý ×Ó ÐÓ Ò ÑÓ× ÓÒ ÙÒ
ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÙÒØ Ò Ð × ÒØ Ó Ð ÓÖ ÒØ Ò Ð º Ò Ð ×Ó Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ ÑÓ× Ð Ö Ø Ò Ð ÙÒ ÓÖ ÒØ Ò Ý ×Ø Ò ÑÓ× Ñ Ó× × Ñ ÔÐ ÒÓ× Ø ÖÑ Ò Ó× ÔÓÖ Ð Ö Ø ÓÑÓ Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓ Ý Ð Ó ÞÙк Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ù Ò Ó Ð Ô ÚÓØ Ñ ÙÒ ÔÙÒØÓ T ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ U¸ ÐÙ Ó Ð Ñ Ó¸ T × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ð Ó Ò Ð Ù Ð × Ò ÓÒØÖ Ò ÐÑ ÒØ Uº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× S Ò Ð Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓ Ý Ò Ð Ð Ó ÞÙи Ô ÖÑ Ò ÒÚ Ö ÒØ ÙÖ ÒØ ØÓ Ó Ð ÔÖÓ ×Óº T T T U U U ÓÒ× Ö ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ Ð ×Ó ÓÒ |S| = 2n+1 × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÑÔ Öº ÖÑ ¹ ÑÓ× ÕÙ Ô Ö ÔÙÒØÓ T ∈ S¸ Ü ×Ø ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ú S Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ý n ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓ Ý n ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ð Ó ÞÙк Ò ØÓº Ð ÑÓ× ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÒØ ÕÙ Ô × ÔÓÖ T Ý ÒÓ ÓÒØ Ò ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ S Ý ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ý n + r ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓº Ë r = 0¸ ÒØÓÒ × ÒÓ Ý Ò ÕÙ ¹ ÑÓ×ØÖ Ö¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ r > 0º Ù Ò Ó ÖÓØ ÑÓ× Ð Ö Ø ÓÒ ÒØÖÓ Ò T Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ 180◦ ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÔÙÒØÓ× S Ò ×Ù Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓ Ñ Ò 1 Ñ ÕÙ Ð Ö Ø Ú Ô × Ò Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ ×ÔÙ × 180◦ ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓ × Ö n − rº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ü ×Ø ÙÒ Ø Ô ÒØ ÖÑ Ò Ð Ù Ð Ð Ó¸ Ð Ñ Ö ÐÐÓ Ý Ð ÞÙи Ø Ò Ò n ÔÙÒØÓ× ÙÒÓº ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÖ ÓÑÓ ×Ø Ó Ò Ð Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö P Ý ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ P Ý ÕÙ × Ô Ö S Ò Ó× Ô ÖØ × Ù Ð ×¸ ÓÒ n ÔÙÒØÓ× ÙÒ º ÑÓ×ØÖ ÑÓ× ÕÙ ÙÖ ÒØ ÙÒ ÖÓØ Ò 180¸ Ð Ö Ø Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ Ô × Ö ÔÓÖ ÔÙÒØÓ S¸ ÓÒÚ ÖØ Ò ÓÐÓ Ò ÙÒ Ô ÚÓØ º È Ö Ú Ö ×ØÓ¸ ØÓÑ ÑÓ× ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö T S Ý ÙÒ Ö Ø ℓ ÕÙ Ô × ÔÓÖ T Ý ÕÙ × Ô Ö S Ò Ó× Ô ÖØ × Ù Ð ×º ×Ø Ö Ø × Ò ÔÙ × ØÖ ×Ð ÓÒ × Ô Ö Ð Ð × ÖÓÑÔ Ò Ð Ð Ò Ð ×ØÖ Ù Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Sº Ó ÓØÖ ÓÖÑ ¸ Ð ÔÙÒØÓ T × Ð Ò Ó ÔÙÒØÓ S ÔÓÖ Ð Ù Ð ÔÙ Ô × Ö ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ö Ò ÕÙ ℓ Ý ÕÙ × Ô Ö S Ò Ó× Ô ÖØ × Ù Ð ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ù Ò Ó Ð Ö Ø Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ × Ô Ö Ð Ð ℓ¸ ÐÐ × Ö ℓ¸ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ô × ÔÓÖ T º
º¾ ËÓÐÙ ÓÒ × ÓÖ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ |S| = 2nº Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð ×Ó ÑÔ Ö¸ Ô Ö ØÓ Ó ÔÙÒØÓ T ∈ S¸ Ü ×Ø ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÒØ ÕÙ Ô × ÔÓÖ T ÓÒ n − 1 ÔÙÒØÓ× Ò ×Ù Ô ÖØ Ñ Ö ÐÐ Ý n ÔÙÒØÓ× Ò ×Ù Ô ÖØ ÞÙк Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö P¸ Ð ÑÓ× × Ö Ø ÓÖ ÒØ ÕÙ Ô × ÔÓÖ P ÓÑÓ Ð ×Ø Ó Ò Ð Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ º Î ÑÓ× ÕÙ ÙÖ ÒØ ÙÒ ÖÓØ Ò 360◦ ¸ Ð Ö Ø Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ Ú × Ø Ö ÔÙÒØÓ S ÓÑÓ ÙÒ Ô ÚÓØ º Ò ØÓ¸ Ð ÑÓ× ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö T S Ý ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÒØ ℓ ÕÙ Ô × ÔÓÖ T Ý ÕÙ × Ô Ö S Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ý n − 1 ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ô ÖØ Ñ Ö ÐÐ Ý n ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ô ÖØ ÞÙк ÒÙ ÚÓ ØÖ ×Ð ÓÒ × Ô Ö Ð Ð × Ñ Ö Ò Ð Ò Ñ ÖÓ ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ô ÖØ × Ñ Ö ÐÐ Ý ÞÙи ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ù Ò Ó Ð Ö Ø Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ × Ô Ö Ð Ð ℓ Ý ÓÒ Ð Ñ ×Ñ ÓÖ ÒØ Ò¸ ÐÐ Ô × Ö ÔÓÖ T º ¿º ÄÐ Ñ ÑÓ× (1) Ð × Ù Ð Ð ÒÙÒ Óº À Ò Ó Ð ×Ù×Ø ØÙ Ò y = t−x Ó Ø Ò ÑÓ× Ð × Ù Ð f(t) ≤ tf(x) − xf(x) + f(f(x)) (2) . ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÖ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × a Ý b Ù Ð ×ÕÙ Ö Ý Ù× Ò Ó (2) ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÒ t = f(a) Ý x = b Ý ÐÙ Ó ÓÒ t = f(b) Ý x = a¸ Ø Ò ÑÓ× Ð × × Ù Ð × f(f(a)) − f(f(b)) ≤ f(a)f(b) − bf(b) f(f(b)) − f(f(a) ≤ f(a)f(b) − af(a). ×ÙÑ Ò Ó ×Ø × Ó× × Ù Ð × Ý ×Ô Ò Ó ÒÓ× ÕÙ 2f(a)f(b) ≥ af(a) + bf(b). Ë ÑÓ× Ð ×Ù×Ø ØÙ Ò b = 2f(a) Ó Ø Ò ÑÓ× 2f(a)f(b) ≥ af(a)+ 2f(a)f(b)¸ Ó Ò af(a) ≤ 0º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ f(a) ≥ 0 para todo a < 0. (3) ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÓÖ ÕÙ f(x) > 0 Ô Ö Ð Ò Ò Ñ ÖÓ Ö Ð xº ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÖ ØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t¸ Ø Ð ÕÙ t < xf(x) − f(f(x)) f(x) . ×Ô Ò Ó¸ tf(x)−xf(x)+f(f(x)) < 0¸ ÒØÓÒ × ÔÓÖ (2)¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ f(t) < 0¸ Ý ×ØÓ ÓÒØÖ (3)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ f(x) ≤ 0 para todo x ∈ R. (4) Í× Ò Ó ÓØÖ Ú Þ (3)¸ Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ f(x) = 0 Ô Ö ØÓ Ó x < 0. È Ö Ò Ð Þ Ö ×ÓÐÓ ÒÓ× ÕÙ Ð ÙÐ Ö f(0)º ÈÓÒ ÑÓ× t = x < 0 Ò (2)º Ç Ø ¹ Ò ÑÓ× f(x) ≤ f(f(x))º È ÖÓ Ù Ò Ó x < 0 × ÑÓ× ÕÙ f(x) = 0¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ
ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ø Ò ÑÓ× × ÕÙ 0 ≤ f(0). ÓÑ Ò Ó ×ØÓ ÓÒ (4) ÒÓ× ÕÙ ÕÙ f(0) = 0 Ý ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ó Ð ÑÓ×ØÖ Òº º ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ f(n) Ð Ò Ñ ÖÓ Ñ Ò Ö ÓÐÓ Ö Ð × n Ô × ×º ÑÓ×ØÖ Ö ¹ ÑÓ× ÔÓÖ Ò Ù Ò ×Ó Ö n ≥ 1 ÕÙ f(n) = (2n−1)!! = 1·3·5 · · · (2n−1). ÈÖ Ñ ÖÓ Ó × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ f(1) = 1. ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÓÖ ÕÙ n ≥ 2º ÖÑ ÑÓ× ÒØÓÒ × ÕÙ f(n) = (2n − 1)f(n − 1). ´ º½µ ÓÑ Ò ÑÓ× Ó × ÖÚ Ò Ó ÕÙ ÐÙ Ó Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð ÞÕÙ Ö × × ÑÔÖ Ñ × Ô × Ó ÕÙ Ð Ð Ö Ò Ð Ñ ÒÓ× 1º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö Ñ Ò Ö Ú Ð ÓÐÓ Ö Ð × n Ô × × Ò Ð Ð ÒÞ ¸ ÐÙ Ö¸ × Ò ÓÒ¹ × Ö Ö Ð Ô × Ô ×Ó 1¸ ÙÒ Ñ Ò Ö Ú Ð ÓÐÓ Ö Ð × Ô × × Ô ×Ó× 2, 22 , . . . , 2n−1 . Ë ÓÖ Ú ÑÓ× ÐÓ× Ô ×Ó× ÔÓÖ 2¸ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø ÒÓ Ñ ¸ × Ù ¹ ÑÓ× Ø Ò Ò Ó ÙÒ Ñ Ò Ö Ú Ð ÓÐÓ Ö Ð × Ô × × Ô ×Ó× 1, 2, 22 , . . . , 2n−2 º ÈÓÖ Ò Ù Ò ×Ø × n − 1 Ô × × × ÔÙ Ò ÓÐÓ Ö f(n − 1) ÓÖÑ × ×Ø ÒØ ×º Î ÑÓ× ÓÖ ÕÙ Ö ÓÒ Ð Ô × Ô ×Ó 1º Ë Ð ÔÓÒ ÑÓ× Ò Ð Ð ÒÞ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓÚ Ñ ÒØÓ¸ ÐÐ Ö × Ö ÔÙ ×Ø Ò Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð ÞÕÙ Ö ¸ × ÒÓ Ð ÔÓÒ ÑÓ× Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓÚ Ñ ÒØÓ¸ ÒØÓÒ × ÓÑÓ ÐÙ Ó ×Ø ÔÖ Ñ Ö ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð Ö Ò Ô ×Ó× ÒØÖ Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð Ð Ö × Ð Ñ ÒÓ× 2¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð Ô × Ô ×Ó 1 Ð ÔÓ ÑÓ× ÓÐÓ Ö Ò Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ó× ÔÐ Ø ÐÐÓ׸ Ó Ø Ò Ò Ó ÙÒ Ñ Ò Ö Ú Ð ×ÔÓÒ Ö Ð × Ô × × Ò Ð Ð ÒÞ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ö 2n − 1 Ñ Ò Ö × Ö ÒØ × Ò× ÖØ Ö Ð Ô ×Ó 1 Ò ÙÒ Ð × f(n − 1) × Ù Ò × Ú Ð × ÕÙ Ø Ò ÑÓ× Ô Ö Ð × Ô × × 2, 22 , . . . , 2n−1 . ×ØÓ ÑÙ ×ØÖ ÐÓ ÖÑ Ó Ý ÔÓÖ Ò Ù Ò Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ f(n) = (2n − 1)f(n − 1) = (2n − 1)(2n − 3) · · · 5 · 3 · 1. º ËÓÐÙ Ò Å ×× ÑÓ Ó ÒÓ Ë f(Z) = {a1, a2, . . . } Ð Ñ Ò Ð ÙÒ Ò f¸ ÓÒ a1 < a2 < a3 < . . . º ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× ÕÙ ai Ú ai+1 Ô Ö ØÓ Ó i ≥ 1. Ò ØÓº Ë Ò x y ÒØ ÖÓ× Ø Ð × ÕÙ f(x) = ai Ý f(y) = ai+1. À Ò Ó m = x Ý n = y Ø Ò ÑÓ× ÕÙ ¸ f(x − y)|f(x) − f(y), Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ f(x − y)|f(y) − f(x). È ÖÓ f(y) − f(x) = ai+1 − ai < ai+1. ÒØÓÒ × f(x − y) < ai+1 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ f(x − y) ≤ ai = f(x)º Ë f(x − y) < f(x)¸ ÒØÓÒ × f(x) − f(x − y) > 0º À Ò Ó m = x Ý n = x − y Ø Ò ÑÓ× ÕÙ
º¾ ËÓÐÙ ÓÒ × f(y) = f(x − (x − y))|f(x) − f(x − y). ÓÑÓ f(x) − f(x − y) > 0 Ø Ò ÑÓ× ÕÙ f(y) ≤ f(x) − f(x − y) < f(x) < f(y), ÐÓ Ù Ð × ×ÙÖ Óº Ë f(x − y) = f(x)¸ ÒØÓÒ × f(x − y)|f(x) − f(y)¸ ÐÓ Ù Ð ÑÔÐ ÕÙ f(x) Ú f(y)¸ ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Öº º ÓÑ Ò ÑÓ× ×Ø Ð Ò Ó ÙÒ ÒÓØ Ò ÕÙ Ð Ø Ö Ð ÜÔÐ Ò Ð ×ÓÐÙ Òº È Ö Ó× Ö Ø × m Ý n¸ ÒÓØ Ö ÑÓ× ÔÓÖ ∠(m, n) Ð Ò ÙÐÓ Ñ ÒØ Ð Ù Ð ÔÓ ÑÓ× ÖÓØ Ö Ð Ö Ø m Ò Ð × ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ð × Ù × Ð Ö ÐÓ ¸ ×Ø Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ö Ø Ô Ö Ð Ð nº ÍÒ Ò ÙÐÓ ∠(m, n) Ö Ð ÒÓÑ Ö Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Óº × Ð ÖÓ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÓÖ ÒØ Ó× ×ÓÒ ÓÒ× Ö Ó× Ñ ÙÐÓ 180◦ º l la lb lc Γ A B C T D E F A′ B′ C′ = S A′′ C′′ B′′ K X I Î ÑÓ× ÓÖ ÓÒ Ð ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ 6º ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ T Ð ÔÙÒØÓ Ø Ò Ò ℓ Ý Γº Ë A′ = ℓb ∩ ℓc¸ B′ = ℓa ∩ ℓc Ý C′ = ℓa ∩ ℓbº ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÔÙÒØÓ A′′ Ò Γ Ø Ð ÕÙ T A = AA′′ ´A′′ = T × ÐÚÓ ÕÙ T A × ÙÒ Ñ ØÖÓ Γµº Ò ÑÓ× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× B′′ Ý C′′ Ñ Ò Ö Ò ÐÓ º ÓÑÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× C Ý B ×ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× ÐÓ× Ö Ó× T C′′ Ý T B′′ ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ø Ò ÑÓ× ∠(ℓ, B′′ C′′ ) = ∠(ℓ, T C′′ ) + ∠(T C′′ , B′′ C′′ ) = 2∠(ℓ, T C) + 2∠(T C′′ , BC′′ ) = 2(∠(ℓ, T C) + ∠(T C, BC)) = 2∠(ℓ, BC) = ∠(ℓ, ℓa).
ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø Ò ÓÒ× Ù Ò ℓa Ý B′′ C′′ ×ÓÒ Ö Ø × Ô Ö Ð Ð ×º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ℓb Ý A′′ C′′ ×ÓÒ Ô Ö Ð Ð × Ý ℓc Ý A′′ B′′ ×ÓÒ Ô Ö Ð Ð ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× A′ B′ C′ Ý A′′ B′′ C′′ Ó Ò ×ÓÒ × Ñ ÒØ × Ó ×ÓÒ ÙÒÓ Ñ Ò Ð ÓØÖÓ ÔÓÖ ØÖ ×Ð Òº Î ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ÐÐÓ× ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ ÑÓ×ØÖ Ò Ó ÕÙ ÙÒÓ × Ñ Ò Ð ÓØÖÓ Ñ ÒØ ÙÒ ÓÑÓØ ÙÝÓ ÒØÖÓ × ÙÒ ÔÙÒØÓ K ÕÙ Ô ÖØ Ò Γº ×ØÓ ÑÔÐ Ö ÒØÓÒ × ÕÙ Ð × Ö ÙÒ Ö Ò × Ö ÙÒ× Ö Ø × ×ØÓ× Ó× ØÖ Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ Ø Ñ Ò ÓÑÓØ ¹ Ø × ÓÒ Ö ×Ô ØÓ K Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ø Ò ÒØ × Ò ×Ø ÔÙÒØÓ¸ ÕÙ × ÐÓ ÕÙ × ÕÙ Ö ÑÓ×ØÖ Öº ÑÓ×ØÖ ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ Ó× ÖÑ ÓÒ × ÖÑ Ò ½ Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò X Ð × Ö Ø × B′′ C Ý BC′′ Ô ÖØ Ò Ð Ö Ø ℓaº Ò ØÓ Ä × Ö Ø × CT Ý CB′′ ×ÓÒ × Ñ ØÖ × ÓÒ Ö ×Ô ØÓ BC Ý Ø Ñ Ò ÐÓ ×ÓÒ Ð × Ö Ø × BT Ý BC′′ ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ X Ý T ×ÓÒ × Ñ ØÖ Ó× ÓÒ Ö ×Ô ØÓ BCº Ò ÓÒ× Ù Ò ÓÑÓ T Ô ÖØ Ò ℓ¸ ÒØÓÒ × X Ô ÖØ Ò ℓa¸ ÕÙ × ÔÓÖ ÓÒ×ØÖÙ Ò¸ × Ñ ØÖ ℓ ÓÒ Ö ×Ô ØÓ BCº ÖÑ Ò ¾ Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò I Ð × Ö Ø × BB′ Ý CC′ Ô ÖØ Ò Ð Ö ÙÒ Ö Ò Γº Ò ØÓ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ×Ó Ò Ð Ù Ð ℓ ÒÓ × Ô Ö Ð Ð ÐÓ× Ð Ó× Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABCº ÄÓ× ÓØÖÓ× ×Ó× × ÔÙ Ò Ú ×ØÓ× ÓÑÓ ×Ó× Ð Ñ Ø º Ë Ò D Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò ℓ Ý BC¸ E Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò ℓ Ý AC Ý F Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò ℓ Ý ABº ÈÓÖ Ð × Ñ ØÖ ¸ Ð Ö Ø BD × × ØÖ Þ ÙÒÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÕÙ × ÓÖÑ Ò ÒØÖ Ð × Ö Ø × B′ D Ý FDº Ò ÐÓ Ñ ÒØ FB × × ØÖ Þ ÙÒÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÒØÖ Ð × Ö Ø × B′ F Ý DFº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ B Ó Ò × Ð Ò ÒØÖÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ B′ DF Ó ÙÒÓ ×Ù× Ü ÒØÖÓ׺ Ù ÐÕÙ Ö × Ð ×Ó Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ ∠(BD, DF) + ∠(DF, FB) + ∠(B′ B, B′ D) = 90◦ Ý ÒØÓÒ × ∠(B′ B, B′ C′ ) = ∠(B′ B, B′ D) = 90◦ − ∠(BC, DF) − ∠(DF, BA) = 90◦ − ∠(BC, AB). Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ ∠(C′ C, B′ C′ ) = 90◦ − ∠(BC, AC)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ∠(BI, CI) = ∠(B′ B, B′ C′ ) + ∠(B′ C′ , C′ C) = ∠(BC, AC) − ∠(BC, AB) = ∠(AB, AC). × Ö¸ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A¸ B¸ I Ý C ×ÓÒ ÓÒ Ð Ó× Ý I Ô ÖØ Ò Γ¸ ÓÑÓ ÑÓ× ÖÑ Óº ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ë K Ð × ÙÒ Ó ÔÙÒ¹ ØÓ ÒØ Ö× Ò B′ B′′ Ý Γº ÔÐ Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ È × Ð Ð Ü ÓÒÓ KB′′ CIBC′′ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× B′ = KB′′ ∩ IB¸ X = B′′ C ∩ BC′′ Ý S = CI ∩ C′′ K ×ÓÒ ÓÐ Ò Ð ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ S = CI ∩ B′ X = C′ , Ý ÐÓ× ÔÙÒ¹ ØÓ× C′ ¸ C′′ Ý K ×ÓÒ ÓÐ Ò Ð ×º ÄÙ Ó K × Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò B′ B′′ Ý C′ C′′ ¸ ÐÓ Ù Ð ÑÔÐ ÕÙ K × Ð ÒØÖÓ Ð ÓÑÓØ ÕÙ ÔÐ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ A′ B′ C′ Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ A′′ B′′ C′′ ¸ Ý ÒØÓÒ × K Ô ÖØ Ò Γº
ÐÓ× Ö Ó ýÒ ÙÐÓ Ò× Ö ÔØÓº Ë A¸ B Ý C ×ÓÒ ÔÙÒØÓ× ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ O¸ × ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ ∠ABC ×Ø Ò× Ö ÔØÓ Ò Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ý ÕÙ ×Ù Ø Ò Ð Ö Ó AC ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ò Bº Ä Ñ ∠ABC × Ù Ð Ð Ñ Ø Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð ∠AOCº ýÒ ÙÐÓ × Ñ Ò× Ö ÔØÓº × Ð ÕÙ Ø Ò Ð Ú ÖØ Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ¸ ÙÒ Ð Ó Ø Ò ÒØ Ð Ñ ×Ñ Ý Ð ÓØÖÓ × ÒØ º ÒØÖÓ Ö Ðº × ØÖ × Ö ÙÒ Ö Ò × ÓÒ ÒØÖÓ× ÒÓ Ð Ò Ó׸ × Ð Ò Ó ÔÙÒØÓ ÕÙ Ø Ò Ù Ð ÔÓØ Ò Ö ×Ô ØÓ ØÓ × ÐР׺ Ö ÙÐÓ ÔÓÐÓÒ Óº × Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× P Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ð × ÕÙ ×Ù Ö Þ Ò ×Ø Ò × Ó× ÔÙÒØÓ× Ó× A Ý B × ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ r > 0¸ r = 1º × ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÙÝÓ ÒØÖÓ ×Ø ×Ó Ö Ð × Ñ ÒØÓ ABº ´Ë r = 1 Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó × Ð Ñ ØÖ Þ Ð × Ñ ÒØÓ ABµº Ö ÙÒ Ö ÙÐÓº × Ð ´ Ò µ Ö ÙÒ Ö Ò ÕÙ Ô × ÔÓÖ ÐÓ× ØÖ × Ú ÖØ × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÙÒ× Ö ÔØ º Î Ö Ö ÙÒ Ö ÙÐÓº Ó ÒØ ÒÓÑ Ðº × Ð Ó ÒØ xk Ò Ð × ÖÖÓÐÐÓ (1 + x)n º Ì Ñ¹ Ò × Ù Ð Ð Ò Ñ ÖÓ ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× k Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ Ø Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ n Ð Ñ ÒØÓ׺ Ë ÒÓØ  n k ¡ Ý ÔÙ Ð ÙÐ Ö× × n k = n! k!(n − k)! = n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1 · 2 · 3 · · · n . ÓÐ Ò Ð ×º × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÕÙ ×Ø Ò ×Ó Ö ÙÒ Ñ ×Ñ Ð Ò Ö Ø º ÓÔÖ ÑÓ׺ ´Ó ÔÖ ÑÓ× Ö Ð Ø ÚÓ×µº × Ó× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× × Ò ØÓÖ × ÔÖ ÑÓ× ÓÑÙÒ × ´Ó¸ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÙÝÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÑ Ò Ú ×ÓÖ × ½µº Ù Ö Ð Ø ÖÓ Ð Ó ´Ø Ñ Ò ÐÐ Ñ Ó ÓÒ Ð Ó Ó Ò× Ö ÔØ Ð µº × ÙÒ Ù ¹ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ ÔÙ × Ö Ò× Ö ÔØÓ Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ¸ × Ö¸ Ø Ð ÕÙ
¼ ÐÓ× Ö Ó Ð ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ô × ÔÓÖ ×Ù× Ù ØÖÓ Ú ÖØ ×º ÍÒ ÓÒ Ò Ò × ¹ Ö Ý ×Ù ÒØ Ô Ö ÕÙ ÙÒ Ù Ö Ð Ø ÖÓ × Ð Ó × ÕÙ Ø Ò ÙÒ Ô Ö Ò ÙÐÓ× ÓÔÙ ×ØÓ× ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó׺ Ù Ø ÖÒ ÖÑ Ò º ÄÓ× ÔÙÒØÓ× Ð Ò Ó× A¸ B¸ C Ý D ÓÖÑ Ò ÙÒ Ù Ø ÖÒ ÖÑ Ò × Ý × ÐÓ × Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A Ý B Ô ÖØ Ò Ð × Ñ ÒØÓ CD Ý Ñ × × ÙÑÔÐ AC AD = BC BD º Ö Ðº × Ó× Ö ÙÒ Ö Ò × ÒÓ ÓÒ ÒØÖ ×¸ × Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ù Ð ÔÓØ Ò Ö ×Ô ØÓ Ñ ×º Ë ÑÔÖ × ÙÒ Ö Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÕÙ ÙÒ ÐÓ× ÒØÖÓ× Ñ × Ö ÙÒ Ö Ò ×º ÁÒ ÒØÖÓº × Ð ÔÙÒØÓ Ò ÕÙ ÓÒ ÙÖÖ Ò Ð × ØÖ × × ØÖ × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ÓÑÓ ÕÙ ×Ø ÐÓ× ØÖ × Ð Ó× Ð ØÖ Ò ÙÐÓ¸ × Ð ÒØÖÓ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ø Ò ÒØ ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ ÐÐÓ׺ ÁÒ Ö ÙÐÓº × Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ø Ò ÒØ ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ ÐÓ× ØÖ × Ð Ó× ÙÒ ØÖ Ò¹ ÙÐÓº ÈÓØ Ò º Ë Ò P ÙÒ ÔÙÒØÓ¸ Γ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ý r ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ P Ý ÓÖØ Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ò A Ý B ´× r × Ø Ò ÒØ Γ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÕÙ A = Bµº ÒØÓÒ × Ð ÔÖÓ Ù ØÓ PA · PB ÒÓ Ô Ò r¸ Ý ×Ù Ú ÐÓÖ × ÔÓÖ Ò Ò Ð ÔÓØ Ò P Ö ×Ô ØÓ Γ¸ ÈÓØ(P, Γ)º Ä × ×Ø Ò × PA Ý PB × ÓÒ× Ö Ò ÓÖ ÒØ ×¸ × Ö ÕÙ Ð ÔÓØ Ò × ÔÓ× Ø Ú Ó Ò Ø Ú × Ò ÕÙ P × ÜØ Ö ÓÖ Ó ÒØ Ö ÓÖ Γº Ç Ú Ñ ÒØ ÈÓØ(P, Γ) = 0 × Ý × ÐÓ × P Ô ÖØ Ò Γº ÈÖ Ò Ô Ó Ð × × ÐР׺ Ë n Ó ØÓ× × ×ØÖ ÙÝ Ò Ò k ׸ Ý n > k¸ Ò¹ ØÓÒ × Ð ÙÒ Ö Ñ × ÙÒ Ó ØÓº Ê Þ Ò ÙÖ º Ë ÕÙ ÙÒ ÔÙÒØÓ C Ú ÙÒ × Ñ ÒØÓ AB Ò Ñ Ý ÜØÖ Ñ Ö Þ Ò × AB/BC = AC/ABº Ò ×Ø ×Ó Ð Ö Þ Ò AC/AB × Ð ÓÒÓ ÓÑÓ Ö Þ Ò ÙÖ ¸ Ò Ñ ÖÓ ÙÖ Ó¸ Ú Ò ÔÖÓÔÓÖ Ò Ý Ú Ö Ó× ÓØÖÓ× ÒÓÑ Ö ×º Ë ×Ù Ð ÒÓØ Ö ÓÒ Ð Ð ØÖ Ö ϕ Ý ×Ù Ú ÐÓÖ × ϕ = 1 + √ 5 2 . Ì ÓÖ Ñ Ð × ØÖ Þº Ë Ò ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ¸ V Ð ÔÙÒØÓ Ò ÕÙ Ð × ØÖ Þ × A ÓÖØ Ð Ð Ó BC Ý U Ð ÔÙÒØÓ Ò ÕÙ Ð × ØÖ Þ ÜØ Ö ÓÖ ÔÓÖ A ÓÖØ Ð ÔÖÓÐÓÒ Ò Ð Ð Ó BCº ÒØÓÒ × V B V C = UB UC = AB AC = BC AB + AC .
ÐÓ× Ö Ó ½ Ì ÓÖ Ñ Å Ò Ð Óº Ë ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ý × Ò P¸ Q Ý R ØÖ × ÔÙÒØÓ× Ù Ó× Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ò Ð × Ö Ø × BC¸ CA Ý AB Ý Ö ÒØ × A¸ B Ý Cº ÒØÓÒ × P¸ Q Ý R ×Ø Ò Ð Ò Ó× × Ý × ÐÓ × BP PC · CQ QA · AR RB = 1. Ì ÓÖ Ñ È × Ðº Ë ABCDEF ÙÒ Ü ÓÒÓ Ò× Ö ÔØÓ Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò¹ ´Ó¸ Ñ × Ò Ò Ö Ð¸ Ò Ù ÐÕÙ Ö Ò µº ÒØÓÒ ×¸ × × ÜØ Ò Ò ÐÓ× Ô Ö × Ð Ó× ÓÔÙ ×ØÓ× ×Ø ÕÙ × ÓÖØ Ò¸ ÐÓ× ØÖ × ÔÙÒØÓ× ÒØ Ö× Ò K = AB · DE¸ L = BC · EF Ý M = CD · FA ×Ø Ò Ð Ò Ó׺ B C D E F A K L M Ì ÖÒ Ô Ø Ö º × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ØÖ × ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× a¸ b Ý c ÕÙ ÙÑÔÐ Ò Ð Ö Ð Ò a2 + b2 = c2 º Ë mcd(a, b, c) = 1 Ð Ø ÖÒ × ÔÖ Ñ Ø Ú º Ò × ×Ó a Ý b Ò × Ö Ö ÒØ Ô Ö ¸ ÑÓ× a ÑÔ Ö Ý b Ô Ö¸ Ý × ÔÙ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ü ×Ø Ò ÒØ ÖÓ× u Ý v¸ ÓÔÖ ÑÓ× Ý Ö ÒØ Ô Ö ¸ Ø Ð × ÕÙ a = u2 − v2 ¸ b = 2uv Ý c = u2 + v2 º
¾ ×ØÙ ÒØ × ÈÖ Ñ Ó× Ò Ð Ò Ð Æ ÓÒ Ð Ð ÇÐ ÑÔ ÂÙÚ Ò Ð Å Ø Ñ Ø × ¾¼½½ ÈÖ Ñ Ö Ó Å ÐÐ × ÇÖÓ ÂÓ× Ù Ú Ö ÓÐ Ó ÐÐ Î ×Ø Óº Ö Ù Ê Ð ÞÒ Ö ÄÓ× Ö Ó× ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å ÐÐ × ÈÐ Ø ËÓ ×Ø Ò ÓÐ Ó Ð Ñ Ò Óº ÙÐ ÓÖ ÐÐ ÌÓÐ ÒÓ ÆÙ ×ØÖ Ë ÓÖ ÕÙ ÒÕÙ Ö Óº ÙÐ ×Ø Ö À ÖÒ Ó ÓÐ Ó ÐØ Ñ Ö Óº ÙÐ Å ÐÐ × ÖÓÒ Ö Ð ÅÓÖ Ð × ÄÓ× ÑÔ ØÓ× ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ç× Ö Å ÖÕÙ Þ Ù ÓÒ Ð Ö Ù Óº Ö Ù Ñ Ò Ø Ö Ó× Á ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å Ò ÓÒ × ÀÓÒÓÖ ÄÙ × ÍÞ Ø Ù ÄÓ× ÈÖÓ Ö × Óº ÓÐ Ú Ö ËÓ ÓÒÞ Ð Þ Å Ö Ù ÐÙÔ Óº ÆÙ Ú ×Ô ÖØ Ö Ð ÙØ ÖÖ Þ À ÔÓ ÑÔ ØÓ× Óº Å Ö Ò Ñ Ð Ã ÐÐ Ñ Ò ÄÓ× ÑÔ ØÓ× ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ë ÙÒ Ó Ó Å ÐÐ × ÇÖÓ Å Ö ÅÓÖ Ð × Ë Ò Á Ò Ó ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÄÙ × ÊÙ Þ Ä × ÓÐ Ò × Óº Ä Ö Å ÐÐ × ÈÐ Ø ÄÙ × ÓÑ Ò Ù Þ Ë Ò Á Ò Ó ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÂÓÖ Æ Ú ÐÐ × ÖØ × Óº ÙÐ Å Ö Ý Ö × Ñ Ï × Ò ØÓÒ ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÖØÙÖÓ ËØÓÖÝ Ë Ò Á Ò Ó ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å ÐÐ × ÖÓÒ Ó È Ö Ë Ò Á Ò Ó ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ê Ö Ó Ë ÐÚ ÓÐ Ó Ë Ò Ö Ð Ö Ò Ð Óº Ö Ó Ó Â × × ÖÒ Ò Þ Ä × Ñ Ö × Óº ÅÓÒ × Ð Þ Ø ÔØ ×Ø Ä × ÓÐ Ò × Óº Ä Ö Æ ÓÐ × Ê × Ù Ð ÐÐ Î ×Ø Óº ÙÐ Ê Ö Ó ÇÖØ Ë Ò Ä Þ ÖÓ Óº ËÙ Ö
¿ Å Ò ÓÒ × ÀÓÒÓÖ Ö Ñ ÈÙÐ Ö À ÔÓ ÑÔ ØÓ× Óº Å Ö Ò ÖÒ Ð Ó × ÐÓÒ ÓÐ Ó Ö ×ØÓ Ê Ý Óº Ö Ó Ó Â × × ×Ø Ö Ó Á ÖÓ Ñ Ö ÒÓ Óº ÓÐ Ú Ö ÂÙ Ò Ö Ñ Ö Ë Ò ÂÓ× Å Ö ×Ø × Óº Ö Ù Î Ð ÒØ Ò Å ÖØ Ò Þ Ð Ò ÖÓ ÀÙÑ ÓÐØ Óº ÆÙ Ú ×Ô ÖØ Ö×ÓÒ Î Ð Þ Ê Ñ Ò Ê ÒÓ×Ó ÆÙ Þ Óº ÙÐ Ì Ö Ö Ó Å ÐÐ × ÇÖÓ ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ × Ú Ò È ×ØÓÖ Óº Ä Ö ÄÙ × Ê ÕÙ Þ Á ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÒÔ ÓÐÓ ÙØ Ë Ò ÂÓ× Å Ö ×Ø × Óº Ö Ù Å ÐÐ × ÈÐ Ø È ÖÓ ÊÓÑ ÖÓ Á ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÂÙ Ò Ç Ò Ó Ê Ô Ð Î Ò ÞÙ Ð Óº ÌÖÙ ÐÐÓ Ç× Ö ÖÓÑ Ö ÅÓÖ Ð Ý ÄÙ × ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ò Ð Æ Þ Î ÐÐ ÐØÓ Óº Å Ö Ò Ð × ÂÓÖ ÓÐ Ó ÐÐ Î ×Ø Óº Ö Ù ÂÓ Ð ÖØ ÂÙ Ò ÁÁÁ Î Ð Ò Óº Ö Ó Ó Å ÐÐ × ÖÓÒ Ð × Ö Ñ ÅÓÖ Ð Ý ÄÙ × ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÄÙ × Å Ò Ò Ö × ÐÓÝ Ð Ò Ó Óº ÙÐ ÊÓ ÓÐ Ó Å ÖÕÙ Þ Å Ö Ë ÒØ × Ñ Óº Ä Ö Ö Ð Î Ð Þ ÂÙ Ò Â Ó Ó ÊÓÙ×× Ù Óº ÒÞÓ Ø Ù ÂÓ× Â Ñ Ò Þ ÊÓ ÖØÓ ×Ø ÐÐÓ Ö Ö Óº ÒÞÓ Ø Ù Ò Ö Ó ÓÐ Ó ÐØ Ñ Ö Óº ÙÐ Î ØÓÖ ×Ø Ú Þ Ò Ö × ÐÐÓ Óº ÆÙ Ú ×Ô ÖØ Ò Ö Ä Ô Þ Ë Ò Ä Þ ÖÓ Óº ËÙ Ö Ð Ê Ý × Ò Ö × ÐÓÝ Ð Ò Ó Óº ÙÐ Å Ò ÓÒ × ÀÓÒÓÖ ÖØ ÖØÓÐ ÄÓ× ÑÔ ØÓ× ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð
Ù ÖØÓ Ó Å ÐÐ × ÇÖÓ Ó È À ÔÓ ÑÔ ØÓ× Óº Å Ö Ò Å ÐÐ × ÈÐ Ø Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÖÓ Ð Ë Ò Ä Þ ÖÓ Óº ËÙ Ö Å ÐÐ × ÖÓÒ Â Ö ÑÝ ÊÓ × Ò Ö × ÐÓÝ Ð Ò Ó Óº ÙÐ Å Ù Ð Ä Ò Ö × Ë Ò È ÖÓ Óº Ä Ö Ð Þ Ø Ó×Ø Ö ×ØÓ Ê Ý ¹ Ë ÒØ ÅÓÒ ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Î ØÓÖ ÙÖ Ò Äº º Â × × º Å Ö ÒÓ ÞÙÖ Óº ËÙ Ö ÂÙ Ò Þ ÈÍÄ Óº Å Ö Å Ò ÓÒ × ÀÓÒÓÖ Ð Ò ÖÓ Ä Ö Ñ Ð Ö Ñ Ò ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ö Ò × Ó ÓÐÐ Ö ×ØÓ Ê Ý ¹ Ë ÒØ ÅÓÒ ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å Ù Ð Ä Ô Þ ÅÓÒØ ÖÑ ÐÓ Óº ÓÐ Ú Ö Å Ö Ò Ë Ú Ö ÆÙ ×ØÖ Ë ÓÖ ÄÓÙÖ × Óº Ö Ó Ó Ð Ò ÖÓ Å Ò × Ù Ð ÓÑÙÒ Ø Ö Ë Ò ÒØÓÒ Ó Óº Å Ö Ò Ò ÄÓÔ Þ Ë Ò Ä Þ ÖÓ Óº ËÙ Ö ÉÙ ÒØÓ Ó Å ÐÐ × ÇÖÓ ÖÐÓ× Ä Ñ × ÁÒ Ô Ò Ò Óº Ä Ö ÌÓÑ × ÊÓ Ö Ù Þ ÁÒ×Ø ØÙØÓ Ö Ó ÁÖ × Óº ÆÙ Ú ×Ô ÖØ Å ÐÐ × ÈÐ Ø ÅÓ × × ÖÑ Ò ÅÓÖ Ð Ý ÄÙ × ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å ÐÐ × ÖÓÒ Å Ö Ò ÐÓÖ × Ù ÓÒ Ð Ö Ù Óº Ö Ù ÒÝ× À ÖÒ Ó ÓÐ Ó ÐØ Ñ Ö Óº ÙÐ ÀÙÑ ÖØÓ È Ö Ë Ò Á Ò Ó ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ó Å Ò ÓÞ Á ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å Ò ÓÒ × ÀÓÒÓÖ ÖÐÓ× Å ÖØ Ò Þ ÂÙ Ò ÁÁÁ Î Ð Ò Óº Ö Ó Ó Î Ð ÒØ Ò È ÒÓ À ÔÓ ÑÔ ØÓ× Óº Å Ö Ò ÖÐÓ× È Ö Ð ÁÒ Ô Ò Ò Óº Ä Ö
ÈÖ Ñ Ó× ×Ô Ð × ÄÙ × ÊÙ Þ ´Ä × ÓÐ Ò ×¸ Óº Ä Ö µ ÈÖ Ñ Ó Ð ÙÒ Ò ÑÔÖ × × ÈÓÐ Ö Ð Ñ ÓÖ ÔÖÙ º ÊÙ Ñ ÖÝ º ÊÓ × Äº ´ Ú Ò È ×ØÓÖ ¸ Óº Ä Ö µ ÈÖ Ñ Ó ÍÆ ÈÇ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø Ñ × Ö Ø Ú º ÌÓÑ × ÊÓ Ö Ù Þ ´ÁÒ×Ø ØÙØÓ Ö Ó ÁÖ ×¸ Óº ÆÙ Ú ×Ô ÖØ µ ÈÖ Ñ Ó ÔÓÖ Ö Ô ÖØ Ô Ó Ò Ð Ò Ð Æ ÓÒ Ð × Ì Ö Ö Ö Ó ×Ø ØÓ Óº Å ÖÝ Ó×Ø ´ ×Ø Ó ÓÐ Ú Öµ ÈÖ Ñ Ó Ù Ö Ó ÓÒØÖ Ö × Ð ÓÓÖ Ò ÓÖ Ñ × ×Ø º
ÇÐ ÑÔ ÂÙÚ Ò Ð Å Ø Ñ Ø × ¾¼½½ ÓÑ Ø ÇÖ Ò Þ ÓÖ Æ ÓÒ Ð Ê Ð Ë Ò Þ Ä ÑÓÒ ´ÈÖ × ÒØ µ Ë ØÙÖÒ ÒÓ ÖÑ Ò Ê Ý × ´ ÓÓÖ Ò ÓÖ Ñ Ò ×ØÖ Ø ÚÓµ ÂÓ× À Ö Æ ØÓ Ë ´ ÓÓÖ Ò ÓÖ Ñ Óµ Ä ÙÖ Î ÐÑ À ÖÖ ÖÓ ´ ÓÓÖ Ò ÓÖ ÒØÖ Ò Ñ ÒØÓ×µ ÓÓÖ Ò ÓÖ × Ê ÓÒ Ð × ÈÖÓ º Ä × Ò ÖÓ ÐÚ Ö Ó ´ ÐØÓ× Å Ö Ò ÒÓ×µ ÈÖÓ º Å Ö Å × ´ ÒÞÓ Ø Ù ÆÓÖØ µ ÈÖÓ º Ê Ð ÒØÓÒ Ó Î Ð Þ ÌÓÚ Ö ´ ÔÙÖ µ ÈÖÓ º Î ÐÑ × ÐÓÒ ´ Ö Ù µ ÈÖÓ º Å ÖÝ Ó×Ø ´ ÓÐ Ú Öµ ÈÖÓ º ÂÓÖ Ïº Ë Ð Þ Ö ´ Ö Ó Óµ ÈÖÓ º ËÓÒ Ò ´ Ó ×µ ÈÖÓ º Ø Ö ÚÓ ´ Ð Òµ ÈÖÓ º ÖÐÓ× Ä Ö ´ Ù Ö Óµ ÈÖÓ º Î ØÓÖ ÖÙ ´Ä Ö µ ÈÖÓ º ÂÓ× ÌÓÐÓÞ ´Å Ö µ ÈÖÓ º Ð ÒÒÝ Ù Ò Ô ´ÅÓÒ ×µ ÈÖÓ º Ñ Ð È ´ÆÙ Ú ×Ô ÖØ µ ÈÖÓ º Å Ö Å ÖØ Ò Þ º ´ÈÓÖØÙ Ù × µ ÈÖÓ º ÄÙ × Ä Ô Þ ´ËÙ Ö µ ÈÖÓ º ÂÓÖ ÄÓÞ ´Ì Ö µ ÈÖÓ º Ê Ñ Ò Ð Ò Ó ´ÌÖÙ ÐÐÓµ ÈÖÓ º Æ Ò Ý Ò Ð × ´ Ö Ùݵ ÈÖÓ º ÂÓ× À Ö Æ ØÓ ´ ÙÐ µ

More Related Content

PDF
Ojm 2013 problemas-y_soluciones
bySolange Zambrano
 
PDF
Examen adaptado "Los números decimales"
byLourdes Sáez
 
PDF
Chi tiet-may -bai-tap-thi-trac-nghiem-ctm-2014
byduc le minh
 
PDF
Edoc.site 5 primaria-vicen-vives-matematicaspdf
byMarta Burillo Iranzo
 
PDF
Đề tài: Tính toán thiết kế hệ dẫn động cơ khí, HAY
byViết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
DOC
Prueba matematicas, pre test 7° fraccionarios
byCarlos Mario Lopez Ramirez
 
PDF
Sử dụng bài tập tình huống để rèn luyện cho học sinh kĩ năng tư duy
byDịch vụ viết thuê Luận Văn - ZALO 0932091562
 
PDF
9. Phay chia điều khoảng, bài giảng công nghệ, công ty Sotech, http://sotech.vn
bySotech.,ltd
 
Ojm 2013 problemas-y_soluciones
bySolange Zambrano
 
Examen adaptado "Los números decimales"
byLourdes Sáez
 
Chi tiet-may -bai-tap-thi-trac-nghiem-ctm-2014
byduc le minh
 
Edoc.site 5 primaria-vicen-vives-matematicaspdf
byMarta Burillo Iranzo
 
Đề tài: Tính toán thiết kế hệ dẫn động cơ khí, HAY
byViết thuê trọn gói ZALO 0934573149
 
Prueba matematicas, pre test 7° fraccionarios
byCarlos Mario Lopez Ramirez
 
Sử dụng bài tập tình huống để rèn luyện cho học sinh kĩ năng tư duy
byDịch vụ viết thuê Luận Văn - ZALO 0932091562
 
9. Phay chia điều khoảng, bài giảng công nghệ, công ty Sotech, http://sotech.vn
bySotech.,ltd
 

What's hot

DOC
Examen mate 1º eso divisibilidad adaptado
byrodapies
 
PDF
Đề tài: Phát triển kỹ năng giao tiếp cho học sinh miền núi phía Bắc
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
DOCX
Ma trận và đề kiểm tra môn Toán học kì 2 lớp 4 theo thông tư 22
byBồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3
 
PDF
ĐỒ ÁN CHI TIẾT MÁY - Hộp giảm tốc bánh răng trụ hai cấp khai triển.pdf
byMan_Ebook
 
DOCX
BÀI TẬP CUỐI TUẦN TOÁN + TV TUẦN 5 - LỚP 1
byBồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3
 
PDF
Tuyển tập 30 đề HSG Toán lớp 2
byBồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3
 
PDF
Matematica10 egb 2021 2022
byWillan José Erazo Erazo
 
DOC
Planteo de ecuaciones ejercicios
byjesusmezamauricio
 
PDF
Đồ án Chi tiết máy - Thiết kế trong hộp giảm tốc (Thiết kế trục, lựa chọn ổ ...
byDịch vụ viết thuê Khóa Luận - ZALO 0932091562
 
PDF
Đề tài: Nghiên cứu, thiết kế và chế tạo máy gọt dừa tươi, HAY
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
PDF
Giáo trình thí nghiệm vật liệu học - Nguyễn Văn Thức.pdf
byMan_Ebook
 
Examen mate 1º eso divisibilidad adaptado
byrodapies
 
Đề tài: Phát triển kỹ năng giao tiếp cho học sinh miền núi phía Bắc
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
Ma trận và đề kiểm tra môn Toán học kì 2 lớp 4 theo thông tư 22
byBồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3
 
ĐỒ ÁN CHI TIẾT MÁY - Hộp giảm tốc bánh răng trụ hai cấp khai triển.pdf
byMan_Ebook
 
BÀI TẬP CUỐI TUẦN TOÁN + TV TUẦN 5 - LỚP 1
byBồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3
 
Tuyển tập 30 đề HSG Toán lớp 2
byBồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3
 
Matematica10 egb 2021 2022
byWillan José Erazo Erazo
 
Planteo de ecuaciones ejercicios
byjesusmezamauricio
 
Đồ án Chi tiết máy - Thiết kế trong hộp giảm tốc (Thiết kế trục, lựa chọn ổ ...
byDịch vụ viết thuê Khóa Luận - ZALO 0932091562
 
Đề tài: Nghiên cứu, thiết kế và chế tạo máy gọt dừa tươi, HAY
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO 0917193864
 
Giáo trình thí nghiệm vật liệu học - Nguyễn Văn Thức.pdf
byMan_Ebook
 

Viewers also liked

PDF
Ojm 2014 problemas y soluciones
bySolange Zambrano
 
PDF
Los favoritos ojm_2017
bySolange Zambrano
 
PDF
Ojm 2012 problemas y soluciones
bySolange Zambrano
 
PDF
Triptico om2017
bySolange Zambrano
 
PDF
Ojm 2010 problemas y soluciones
bySolange Zambrano
 
PDF
Ojm 2009 problemas y soluciones
bySolange Zambrano
 
PDF
Matemáticas y olimpiadas 5to de secundaria onam trilce 2013
bycleversmart20
 
PDF
17 conamat
byPablo Rivadeneira Velasquez
 
DOCX
Prueba Olimpiadas
byBatp Zurdo
 
PPTX
Olimpiadas 11
byliliana maria rosero
 
PDF
Oli5
byJuan Carlos Arbulú Balarezo
 
PPTX
Olimpiadas 6to
byAndres Ignacio Yàñez Bravo
 
PDF
5ª basico a
byColegio Camilo Henríquez
 
PPTX
Multiplicación con problemas
byKarla Sepulveda Obreque
 
DOCX
Examen matematicas
byPetalo de Luna
 
PPT
Presentación olimpiadas deportivas 2014
byColegio Londres
 
PDF
Examenes
byVíctor Cuevas
 
DOC
Evaluación de ciencias naturales
byLady Verdugo Reyes
 
PPS
PrettyPics. Restauración de Imágenes
byJoemmanuel Ponce
 
PPT
Oieg 2007
byJoemmanuel Ponce
 
Ojm 2014 problemas y soluciones
bySolange Zambrano
 
Los favoritos ojm_2017
bySolange Zambrano
 
Ojm 2012 problemas y soluciones
bySolange Zambrano
 
Triptico om2017
bySolange Zambrano
 
Ojm 2010 problemas y soluciones
bySolange Zambrano
 
Ojm 2009 problemas y soluciones
bySolange Zambrano
 
Matemáticas y olimpiadas 5to de secundaria onam trilce 2013
bycleversmart20
 
17 conamat
byPablo Rivadeneira Velasquez
 
Prueba Olimpiadas
byBatp Zurdo
 
Olimpiadas 11
byliliana maria rosero
 
Oli5
byJuan Carlos Arbulú Balarezo
 
Olimpiadas 6to
byAndres Ignacio Yàñez Bravo
 
5ª basico a
byColegio Camilo Henríquez
 
Multiplicación con problemas
byKarla Sepulveda Obreque
 
Examen matematicas
byPetalo de Luna
 
Presentación olimpiadas deportivas 2014
byColegio Londres
 
Examenes
byVíctor Cuevas
 
Evaluación de ciencias naturales
byLady Verdugo Reyes
 
PrettyPics. Restauración de Imágenes
byJoemmanuel Ponce
 
Oieg 2007
byJoemmanuel Ponce
 

Similar to Ojm 2011 problemas y soluciones

PDF
Ebook fundamentos de_routing
byJaime Guerrero Soriano
 
PDF
LRPhDThesis
byLuca Rossi
 
PDF
Mecanica analitica nivaldo lemos versao preliminar (1)
byErandi Lima
 
PDF
Mecanica analitica nivaldo a. lemos
byValdir Vitalino
 
PDF
Manual clips
byworkhome
 
PDF
Apuntes de Estadistica 2Bach
bymarvargas1981
 
PDF
Thesis_ROCHAT
byMichel Rochat
 
PDF
Ph. D. Thesis - Information Theoretic Limits on Communication Over Multipath ...
byRichard Buz, Ph.D.
 
PDF
newfile1.bck
byDavide Sito
 
PDF
Terapia gerson
byAntonio Carneiro
 
PDF
Ricostruzione di interazioni di pioni nelle Emulsion Cloud Chamber di OPERA
byGerardo Di Iorio
 
PDF
Augenstab-Bolzen-Verbindungen
bykronenether
 
PDF
tel-00004839
byAlfredo Goldman
 
PDF
3 vectors and scalar
byGalih Suryono
 
PDF
Games, Design, and Living well - Dave Dubin
byfalxman
 
PDF
Invalsi nefandezze
byGenitore Attivo
 
PDF
Hierarchical problem solving using reinforcement learning methodology and m...
byYassine Faihe
 
PDF
Hardware backdooring is practical
byMoabi.com
 
PDF
DefCon 2012 - Hardware Backdooring (White Paper)
byMichael Smith
 
PDF
Cv baudouin eoche-duval
byBaudouin Dillmann
 
Ebook fundamentos de_routing
byJaime Guerrero Soriano
 
LRPhDThesis
byLuca Rossi
 
Mecanica analitica nivaldo lemos versao preliminar (1)
byErandi Lima
 
Mecanica analitica nivaldo a. lemos
byValdir Vitalino
 
Manual clips
byworkhome
 
Apuntes de Estadistica 2Bach
bymarvargas1981
 
Thesis_ROCHAT
byMichel Rochat
 
Ph. D. Thesis - Information Theoretic Limits on Communication Over Multipath ...
byRichard Buz, Ph.D.
 
newfile1.bck
byDavide Sito
 
Terapia gerson
byAntonio Carneiro
 
Ricostruzione di interazioni di pioni nelle Emulsion Cloud Chamber di OPERA
byGerardo Di Iorio
 
Augenstab-Bolzen-Verbindungen
bykronenether
 
tel-00004839
byAlfredo Goldman
 
3 vectors and scalar
byGalih Suryono
 
Games, Design, and Living well - Dave Dubin
byfalxman
 
Invalsi nefandezze
byGenitore Attivo
 
Hierarchical problem solving using reinforcement learning methodology and m...
byYassine Faihe
 
Hardware backdooring is practical
byMoabi.com
 
DefCon 2012 - Hardware Backdooring (White Paper)
byMichael Smith
 
Cv baudouin eoche-duval
byBaudouin Dillmann
 

More from Solange Zambrano

PDF
Guía de Despejes
bySolange Zambrano
 
PDF
Fis estática 2
bySolange Zambrano
 
PDF
Análisis Teórico de MRUV - Cinemática
bySolange Zambrano
 
PDF
Mat estadística (teoría y ejemplo) carta
bySolange Zambrano
 
PDF
Fis electricidad y magnetismo
bySolange Zambrano
 
PDF
Getting started-guide-scratch2
bySolange Zambrano
 
PDF
Mat funciones reales
bySolange Zambrano
 
PDF
Función lineal y cuadrática teoría y ejercicios (carta)
bySolange Zambrano
 
PPTX
Turtle cartesiano
bySolange Zambrano
 
PDF
Termodinámica (teoría y ejercicios) carta
bySolange Zambrano
 
PDF
Tablas de física
bySolange Zambrano
 
PDF
Mat teoremas geométricos
bySolange Zambrano
 
PDF
Mat sel
bySolange Zambrano
 
PDF
Fis óptica
bySolange Zambrano
 
PDF
Fis electricidad y magnetismo
bySolange Zambrano
 
PDF
Fis dilatación térmica
bySolange Zambrano
 
PDF
Fis calor y eq. térmico
bySolange Zambrano
 
PDF
Fis óptica teoría carta
bySolange Zambrano
 
PDF
Cálculo de Raíz Cuadrada
bySolange Zambrano
 
PDF
Termodinámica (teoría y ejercicios)
bySolange Zambrano
 
Guía de Despejes
bySolange Zambrano
 
Fis estática 2
bySolange Zambrano
 
Análisis Teórico de MRUV - Cinemática
bySolange Zambrano
 
Mat estadística (teoría y ejemplo) carta
bySolange Zambrano
 
Fis electricidad y magnetismo
bySolange Zambrano
 
Getting started-guide-scratch2
bySolange Zambrano
 
Mat funciones reales
bySolange Zambrano
 
Función lineal y cuadrática teoría y ejercicios (carta)
bySolange Zambrano
 
Turtle cartesiano
bySolange Zambrano
 
Termodinámica (teoría y ejercicios) carta
bySolange Zambrano
 
Tablas de física
bySolange Zambrano
 
Mat teoremas geométricos
bySolange Zambrano
 
Mat sel
bySolange Zambrano
 
Fis óptica
bySolange Zambrano
 
Fis electricidad y magnetismo
bySolange Zambrano
 
Fis dilatación térmica
bySolange Zambrano
 
Fis calor y eq. térmico
bySolange Zambrano
 
Fis óptica teoría carta
bySolange Zambrano
 
Cálculo de Raíz Cuadrada
bySolange Zambrano
 
Termodinámica (teoría y ejercicios)
bySolange Zambrano
 

Ojm 2011 problemas y soluciones

  • 1.
    ÇÐ ÑÔ ×Å Ø Ñ Ø × ¾¼½½ ´ÇŸ ÇŸ ÇÅ ¸ ÇÁŸ ÁÅǵ ÈÖÓ Ð Ñ × Ý ËÓÐÙ ÓÒ × ÂÓ× À Ö Æ ØÓ Ë Ê Ð Ë Ò Þ Ä ÑÓÒ Ä ÙÖ Î ÐÑ À ÖÖ ÖÓ
  • 3.
    Ò ÒÖ Ð ÁÒØÖÓ Ù Ò ½ ½º ÈÖÙ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¿ ½º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ½º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¿º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ½º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð ¾ ¾º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¼ ¾º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½ ¾º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½ ¾º¿º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿½ ¾º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¾ ¾º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿¿ ¾º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¾º º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¾º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º ÈÖÙ Ò Ð ¿ ¿º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º¿º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ ¿º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¿º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¿º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾
  • 4.
    ¿º º ÈÖÙÉÙ ÒØÓ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ º½º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¿º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÐÙ ÓÒ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö ¿ º½º ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¿ º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ½ º½º ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ½ º½º ÈÖÓ Ð Ñ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÐÓ× Ö Ó ×ØÙ ÒØ × ÈÖ Ñ Ó× Ò Ð Ò Ð Æ ÓÒ Ð Ð ÇÂÅ ¾¼½½ ¾
  • 5.
    ÁÒØÖÓ Ù Ò Ä× ÇÐ ÑÔ × Å Ø Ñ Ø × ×ÓÒ ÓÑÔ Ø Ò × Ö × ÔÖ Ò Ô ÐÑ ÒØ ¹ Ú Ò × × Ù Ð Ð Ñ ÒØ Ð Ý × ÙÒ Ö º ØÙ ÐÑ ÒØ ×Ø Ø Ú × ÜØ Ò Ó ÔÓÖ ØÓ Ó Ð ÑÙÒ Ó¸ Ó ×Ù Ö Ò Ø Ú Ò Ð ÔÓÔÙÐ Ö Þ Ò Ð × Ñ Ø Ñ Ø × Ý Ò Ð Ø Ò Ú Ò × ÓÒ Ø Ð ÒØÓ Ô Ö Ð ×ØÙ Ó ×Ø Ò º Ð ÔÖ × ÒØ Ð ÖÓ Ö Ò ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÔÖÓÔÙ ×ØÓ× Ò Ð ÇÐ ÑÔ ÂÙÚ Ò Ð Å Ø Ñ Ø ×¸ ÇÂÅ ¾¼½½º Ì Ñ Ò ÔÖ × ÒØ ÑÓ× ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ð × ØÖ × Óѹ Ô Ø Ò × ÒØ ÖÒ ÓÒ Ð × Ð × Ù Ð × × ×Ø ÑÓ× ÙÖ ÒØ ×Ø Ó¸ Ð 52a ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ×¸ ÁÅǸ Ð Ö Ò Ñ×Ø Ö Ñ¸ È × × Ó׸ Ð ½¾ Ð ¾ ÂÙÐ Óº Ä ÁÁÁ ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö ¸ ÇÅ ¸ Ð Ö Ò ÓÐ Ñ ¸ Å Ü Ó¸ Ð ½ Ð ¾ Å ÝÓ Ý Ð ÎÁ ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ×¸ ÇÁŸ Ð Ö Ò Ë Ò ÂÓ× ¸ Ó×Ø Ê ¸ Ð ¾¿ Ë ÔØ Ñ Ö Ð ½ Ç ØÙ Ö º ÙÒ ×Ø × ØÖ × ÓÑÔ Ø Ò × ÒØ ÖÒ ÓÒ ¹ Ð × ÓÒ×Ø Ó× Ü Ñ Ò ×¸ ÔÖ × ÒØ Ó× Ò × ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ ÔÖÙ Ø Ò ¿ ÔÖÓ Ð Ñ × Ý ÐÓ× Ô ÖØ Ô ÒØ × ×ÔÓÒ Ò Ù ØÖÓ ÓÖ × Ý Ñ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ Ð Ú ÐÓÖ ÔÖ ÙÒØ × ÔÙÒØÓ׸ Ô Ö ÙÒ Ñ Ü ÑÓ ÔÓ× Ð ¾ ÔÙÒØÓ× Ò Ð ÓÑÔ Ø Ò º ÄÓ× Ò ÓÖ × Ö Ò Ñ ÐÐ × ÓÖÓ¸ ÔÐ Ø Ó ÖÓÒ Ý Ñ Ò Ò ÓÒÓÖ ¸ × Ò × ×Ù × ÑÔ Óº Ò ÐÓ× ØÖ × Ú ÒØÓ× ÒÙ ×ØÖÓ× ÐÙÑÒÓ× Ò ÖÓÒ ÔÖ Ñ Ó׺ Ó È Ð ÓÐ Ó ÄÓ× À ÔÓ ÑÔ ØÓ× ÐÓ× ÐØÓ× Å Ö Ò ÒÓ׸ Ò Å Ò Ò ÀÓÒÓÖ Ò Ð ÁÅÇ Ý Å ÐÐ ÖÓÒ Ò Ð ÇÁź ÖÐÓ× Ä Ñ × Ð ÓÐ Ó ÁÒ Ô Ò Ò ÖÕÙ × Ñ ØÓ¸ Ò Å Ò Ò ÀÓÒÓÖ Ò Ð ÁÅǺ ÊÙ ¹ Ñ ÖÝ ÊÓ ×¸ Ð ÓÐ Ó Ú Ò È ×ØÓÖ ÖÕÙ × Ñ ØÓ¸ Ò Å ÐÐ ÔÐ Ø Ò Ð ÇÅ Ý Å Ò Ò ÀÓÒÓÖ Ò Ð ÇÁź Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÖÓ Ð¸ Ð ÓÐ Ó Ë Ò Ä Þ ÖÓ ÙÑ Ò ¸ Ò Å ÐÐ ÖÓÒ Ò Ð ÇÅ Ý Å Ò Ò ÀÓÒÓÖ Ò Ð ÇÁź Ì Ñ Ò Ò ÐÙ ÑÓ× Ò ×Ø Ð ÖÓ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ð ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ ¹ Ø Å ÝÓ¸ ÓÑÔ Ø Ò ÔÓÖ ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò ÕÙ × ÔÐ ÒØ Ó× Ò Ú Ð × Ô Ö ÐÙÑÒÓ× ÒÓ Ñ ÝÓÖ × ½¿ Ý ½ Ó× Ý Ö Ø Ö ÖÓ Ñ Ö ÒÓº Ö ÑÓ× Ð ÙÒ Ò ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø Ö ÒØ Ò ¸ ÓÖ Ò Þ ÓÖ × ×Ø ÓÑÔ ¹ Ø Ò ¸ ÔÓÖ Ô ÖÑ Ø ÖÒÓ× ÔÙ Ð Ö ÕÙ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ý ×Ù× ×ÓÐÙ ÓÒ ×º Ð Ò Ð Ð Ð ÖÓ Ô Ö Ð Ð ×Ø ÐÙÑÒÓ× Ò ÓÖ × Ò ×Ø ÓÑÔ Ø Ò Ý ÐÓ× ÔÖ Ñ Ó× ÕÙ Ó ØÙÚ ÖÓÒº Ä ÇÂÅ ÓÒ×Ø ØÖ × Ø Ô × Ó ÔÖ٠׺ Ä ÔÖ Ñ Ö ÐÐ × × Ð Ò ÙÖÓ Å ¹
  • 6.
    Ø Ñ Ø Ó¸ ÙÒ Ü Ñ Ò ØÖ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ × × Ð Ò × ÑÔÐ ¸ ÕÙ Ù ÔÖ × ÒØ Ó ÔÓÖ º ×ØÙ ÒØ × ÔÖÓÚ Ò ÒØ × ¾½ ×Ø Ó× Ð Ô ×º Ä × ÙÒ Ø Ô Ð ÓÑÔ Ø Ò × Ð ÈÖÙ Ò Ð Ê ÓÒ Ðº Ä Ñ ×Ñ ÓÒ×Ø ÙÒ Ü Ñ Ò Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ × × ÖÖÓÐÐÓ Ý ÓÑÔ Ø Ò ÐÓ× ÐÙÑÒÓ× ÕÙ ÕÙ ÖÓÒ Ù Ó× Ò Ð Þ ÔÓÖ ÒØÓ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ð Ò ÙÖÓ Å Ø Ñ Ø Óº ×Ø ÔÖÙ × ÓÖ Ò Þ Ò ×Ø Ó ÕÙ Ô ÖØ Ô Ò Ð ÇÂÅ Ý ÐÓ× Ò ÓÖ × Ö Ò Ñ ÐÐ × ÓÖÓ¸ ÔÐ Ø Ý ÖÓÒ º Ä Ø Ö Ö Ý ÐØ Ñ × × Ð ÈÖÙ Ò Ð Æ ÓÒ Ð¸ Ò ÐÐ Ô ÖØ Ô Ò ÐÓ× ÐÙÑÒÓ× Ò ÓÖ × Ñ ÐÐ ÓÖÓ Ò Ð ÈÖÙ Ò Ð Ê ÓÒ Ðº Ò Ð ÔÖ Ñ Ö × Ð ÓÑÔ Ø Ò ÐÓ× ÐÙÑÒÓ× ÔÖ × ÒØ Ò Ð ÔÖÙ Ò ×Ù× ÓÐ Ó׺ Ä ÈÖÙ Ê ÓÒ Ð Ð ÔÖ × ÒØ Ò ÙÒØÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× ×ØÙ ÒØ × ×Ø Ó¸ Ò ÙÒ × ÔÖ Ú Ñ ÒØ × Ð ÓÒ ÔÓÖ Ð ÓÓÖ Ò ÓÖ ÐÓ Ðº È Ö Ð Ò Ð Æ ÓÒ Ð × Ð Ó ÙÒ × Ý ÐÐ × ÓÖ Ò Þ Ð Ú ÒØÓ¸ Ô ÖÑ Ø Ò Ó ÐÓ× Ô ÖØ Ô ÒØ ×¸ ×Ù× ÔÖÓ ×ÓÖ × Ý Ö ÔÖ × ÒØ ÒØ × ×ØÖ Ö Ð ÞÓ× Ñ ×Ø Ý ÓÑÔ ÖØ Ö ÙÒ ÜÔ Ö Ò Ù Ø Ú ÒÖ ÕÙ ÓÖ º Ä ÈÖÙ Ò Ð Æ ÓÒ Ð ¾¼½½ × Ö Ð Þ Ò Ð ÍÒ Ú Ö¹ × Ë Ñ Ò ÓÐ Ú Ö¸ Ò Ö × Ý Ô ÖØ Ô ÖÓÒ ½¼ ÐÙÑÒÓ× Ö ÔÖ × ÒØ Ò Ó ½ ×Ø Ó׺ ×Ø Ó Ö ÓÒ×Ø × Ø Ô ØÙÐÓ׸ Ò ÐÓ× ØÖ × ÔÖ Ñ ÖÓ× × ×ØÙ Ò ÐÓ× ÔÖÓ¹ Ð Ñ × Ð ÇŸ Ò Ó ÙÒ Ô ØÙÐÓ × Ð ÓÑÔ Ø Ò º ÄÓ× ÐØ ÑÓ× Ù ØÖÓ Ô ØÙÐÓ× Ú Ö× Ò ×Ó Ö Ð × ÓÑÔ Ø Ò × ÒØ ÖÒ ÓÒ Ð ×º Ò ÐÐÓ× × ÔÖ × ÒØ Ò ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × Ý ×Ù× ×ÓÐÙ ÓÒ ×º Ð Ò Ð Ð Ð ÖÓ Ò ÐÙ ÑÓ× ÙÒ ÐÓ× ¹ Ö Ó ÓÒ ÔØÓ× Ñ Ø Ñ Ø Ó× ÕÙ ×ÓÒ ÙØ Ð Þ Ó× ÐÓ× Ð Ö Ó Ð Ø ÜØÓº ×Ô Ö ÑÓ× ÕÙ ×Ø Ð ÖÓ × Ö Ò ÙØ Ð Ø ÒØÓ Ô Ö ÔÖÓ ×ÓÖ × ÓÑÓ Ô Ö ×ØÙ ÒØ ×¸ Ý ÕÙ Ð × Ô ÖÑ Ø ÓÒÓ Ö Ð × Ñ Ø Ñ Ø × × ÙÒ ÔÙÒØÓ Ú ×Ø ÒØ Ö × ÒØ Ý ÒØÖ Ø Ò Óº ÔÖÓÚ ÑÓ× Ð ÓÔÓÖØÙÒ Ô Ö Ö Ö ÒÙ ×ØÖÓ× Ô ØÖÓ Ò ÓÖ ×¸ Ò ×Ô Ð Ð ÙÒ Ò ÑÔÖ × × ÈÓÐ Ö¸ Ð Ò Ó ÒØÖ Ð Î Ò ÞÙ Ð ¸ Ð ¹ Ñ Î Ò ÞÓÐ Ò Ò × × ×¸ Å Ø Ñ Ø × Ý Æ ØÙÖ Ð ×¸ Ð ÙÐØ Ò × Ð Í Î ÙÒØÓ Ð ÙÒ Ò Ñ Ó× Ò ×¸ Ð ÍÒ Ú Ö× Ë Ñ Ò ÓÐ Ú Ö¸Ð ÍÒ Ú Ö× Ê Ð ÍÖ Ò Ø ¸ ÙÑÙÐ ÓÖ × ÙÒ Ò¸Ý ÌÖ Ò×¹ ÔÓÖØ Ý Ù Ó¸ ÅÊÏ Ý Ð ÙÒ Ò ÙÐØÙÖ Ð Ð ÓÐ Ó Ñ Ð Ö Ñ Ò¸ × ÓÑÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÐ × ÕÙ ÓÒ ×Ù ØÖ Ó Ý × Ù ÖÞÓ¸ Ô ÖÑ Ø Ò ÕÙ Ð ÇÐ ÑÔ ÂÙÚ Ò Ð Å Ø Ñ Ø × × ÙÒ Ö Ð º
  • 7.
    Ô ØÙÐÓ ½ ÈÖÙÈÖ Ð Ñ Ò Ö ´ Ò ÙÖÓ Å Ø Ñ Ø Óµ ½º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º × Ð Ó × Ö Ð Ô Ð Ö Æ ÍÊǸ ÙÒ Ð ØÖ ÔÓÖ º Ë Ó¹ Ñ ÒÞ Ð Ñ Ö ÓР׸ ú Ò ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ö ÐÙÒ × Ñ ÖØ × Ñ Ö ÓÐ × Ù Ú × Ú ÖÒ ×º ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÍÒ ÑÓØÓ Ð ×Ø Ö ÓÖÖ ÙÒ ×Ø Ò ¾ Ñ Ò ¿¼ Ñ ÒÙØÓ׺ ú ÕÙ Ú ÐÓ Ñ ´ Ñ» µ ÐÓ ÞÓ ¾ ¿ ¾º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º ÍÒ Ù Ö Ó Ô Ô Ð × Ú Ò Ó× Ô Þ × ÓÒ ÙÒ ÓÖØ Ö Ø Ð Ò Óº ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × ÓÖÑ × ÒÓ ÔÙ × Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð ÓÖØ ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÙÒ Ù Ö Ó ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ÙÒ Ô ÒØ ÓÒÓ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × × Ð ×º ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ø Ò È Ö Þ Ú Ð Ì ÖÖ Ð ÉÙ ×Óº È ÖÓ Ô Ö ÐÐ Ö × Ø ÖÖ Ð Ò Ö Ø Ò ÕÙ Ô × Ö ØÖ Ú × ÙÒ × ×Ø Ñ Ø Ò Ð ×¸ ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ º ÆÓ × Ð Ô ÖÑ Ø ÚÓÐÚ Ö ÙÒ ÒØ Ö× Ò Ò Ð ÕÙ Ý Ý ×Ø Óº Ò ÒØ Ö× Ò × Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ö ÓØ º ú Ù ÒØ × Ö ÓØ ×¸ ÓÑÓ Ñ Ü ÑÓ¸ ÔÙ Ö Ó Ö Ð Ö Ø Ò È Ö Þ ½¿ ½ ½¾ ½ ½ º
  • 8.
    ÈÖÙ ÈÖ ÐÑ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ù ÆÙÑ Ö ¸ Ð × × × Ð Ð Ó Ö Ó Ð ÐÐ Æ Ñ ÖÓ Ø Ò Ò Ò Ñ ÖÓ× ÑÔ Ö ×º Ë Ò Ñ Ö Ó¸ ÒÓ × ÙØ Ð Þ Ò Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ð ØÓ ¿º Ë Ð ÔÖ Ñ Ö × Ð Ð Ó Ö Ó Ð ÐÐ ÐÐ Ú Ð Ò Ñ ÖÓ ½¸ ú Ù Ð × Ð Ò Ñ ÖÓ Ð ÑÓÕÙ ÒØ × Ò × Ñ ×ÑÓ Ð Ó ¾ ½ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ º Ó Ð × Ð Ó ÕÙ × Ú Ð Ö ¸ ú Ù Ð Ð × Ò Ó Ô Þ × Ó × Ð ÔÙ Ö Ö Ô Ö ÓÑÔÐ Ø Ö ÙÒ ÔÖ ×Ñ º ÈÖÓ Ð Ñ º Ë Ò Ú ÖØ Ó ½¼¼¼ Ð ØÖÓ× Ù Ò Ð Ô ÖØ ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð ØÙ Ö º Ò ÙÖ Ò Ð Ù × Ú Ò Ó× Ô ÖØ × Ù Ð ×º ú Ù ÒØÓ× Ð ØÖÓ× Ù ÐÐ Ö Ò Ð Ö Ô ÒØ ¼¼ ¼¼ ¸ ¼ ¼º ÈÖÓ Ð Ñ º Í× Ò Ó Ô Þ × ÖØ Ò Ð × ÕÙ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð Ö × ÓÖÑ ÙÒ ÙÖ º ú Ù Ð Ð × Ò Ó ÙÖ × Ó × ÑÔÓ× Ð Ö
  • 9.
    ½º½ ÈÖÙ ÈÖÑ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó ÈÖÓ Ð Ñ º Ä ¼½¹¼¿¹¼ ´½ Ñ ÖÞÓ ¾¼¼ µ ÓÒØ Ò ØÖ × Ò Ñ ÖÓ× ÑÔ Ö × ÓÒ× ÙØ ÚÓ× Ò ÓÖ Ò Ö ÒØ º ×Ø × Ð ÔÖ Ñ Ö ÓÒ × ÔÖÓÔ Ò Ð × ÐÓ ¾½º ÁÒ ÐÙÝ Ò Ó Ð ÓÑÓ ÑÔÐÓ¸ ú Ù ÒØ × × ´ ÜÔÖ × × Ò Ð ÓÖÑ ØÓ ¹Ñѹ µ Ø Ò Ò × ÔÖÓÔ Ò Ð × ÐÓ ¾½ ½ ½¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Ë Ð Ø Ä ÙÖ × Ò× ÙÖ ÒØ Ð ¸ ¼ ÑÐ Ð º Ë Ò Ñ Ó Þ Ö ØÓÒ ×¸ ÙÒ Ø Ö Ó Ñ × Ð º ÙÖ ÒØ Ð × Ó× ÐØ Ñ × × Ñ Ò × Þ Ó Ö ØÓÒ × ÙÒ × Ý ÓØÖÓ ÒÓº ú Ù ÒØ Ð Ó Ò Ð × ÐØ Ñ × Ó× × Ñ Ò × ¼ ÑÐ ½ ¼ ½¼ ¼ ÑÐ ½½¾¼ ÑÐ ¼ Ñк ÈÖÓ Ð Ñ ½½º Ò Ö × × Ö Ð ØÖ Ð Ô Ð Ö Æ ÍÊÇ Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ 4×2¸ Ð ØÖ Ò ÙÒ × ÐÐ Ö ÒØ º Ä ÔÖ Ñ Ö Ð ØÖ Ð × Ö Ò Ù ÐÕÙ Ö × ÐÐ ¸ Ô ÖÓ Ð ØÖ ÔÓ×Ø Ö ÓÖ Ð × Ö Ò ÙÒ × ÐÐ ÕÙ Ø Ò Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò ÓÑ Ò ÓÒ Ð × ÐÐ Ò Ð ÕÙ × Ö Ð Ð ØÖ ÒØ Ö ÓÖº ú Ù Ð ÐÓ× × Ù ÒØ × Ø Ð ÖÓ× ÒÓ ÔÙ × Ö Ò Ö × Æ Ç Ê Í Æ Í Ê Ç Ç Ê Í Æ Æ Ç Ê Í Ç Ê Æ Í º ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º ÌÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ØÓ× ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ØÓ× ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ ¾¼½½ ´ Ó× ÙÒÓ׸ ÙÒ ÖÓ Ý ÙÒ Ó×µ × × Ö Ò Ò ÓÖ Ò Ö ÒØ º ú Ù Ð × Ð Ö Ò ÒØÖ ÐÓ× Ó× Ú ÒÓ× Ð Ò Ñ ÖÓ ¾¼½½ Ò ×Ø Ð ×Ø ½ ¼¼ ¼ ¼ ¼º
  • 10.
    ÈÖÙ ÈÖ ÐÑ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½¿º ÅÙ Ú Ù ØÖÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ð ÞÕÙ Ö Ð × Ð × Ð Ö ÑÓ Ó ÕÙ Ð Ò × ÓÖÖ Ø º úÉÙ Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ½ ¿¼ ½ º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Æ Ò Ù× ¿ Ù Ó× ÒØ Ó× Ô Ö ÓÒ×¹ ØÖÙ Ö ÙÒ Ö Ù Ó× ÐÖ ÓÖ ÙÒ Ö Ò Ù Ö ¹ ´Ô ÖØ ÐÐ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ µº ú Ù ÒØÓ× Ù Ó× × Ò × Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ò Ö Ð Ö Ò ¿ ½¼¼ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ä × ÙÖ × ÑÙ ×ØÖ Ò ÑÓ Ñ Ð Ó× Ö Ô ×Ó× Ù Ö Ó× Ð Ó× ¿ Ý ÓÒ Ð Ó× × Ð Ò × Ý Ò Ö ×¸ ÓÐÓ Ò Ó ÙÒ Ð Ó× Ò Ö Ò ×ÕÙ Ò Ý ÑÓ Ó ÕÙ Ð Ó× Ò Ö ×Ø ÖÓ ÔÓÖ Ð Ó× × Ð Ò ×º Ë Ô Ö Ñ Ð Ó× Ö ÙÒ Ô ×Ó Ù Ö Ó ÓÒ ×Ø Ñ ×ÑÓ Ô ØÖ Ò × ÙØ Ð Þ ÖÓÒ ¾ Ð Ó× × Ò Ö ×¸ ú Ù ÒØ × Ð Ó× × Ð Ò × × ÙØ Ð Þ ÖÓÒ ¿ ¾ ¾º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º È ÐÓ ÕÙ Ö ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÓÖ ¿¼½¸ Ô ÖÓ × Ð ÓÐÚ Ð ÖÓ Ý ÐÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÔÓÖ ¿½¸ Ó Ø Ò Ò Ó ÓÑÓ Ö ×ÙÐØ Ó ¿ ¾º ÒÓ Ö× ÕÙ ÚÓ Ó¸ úÕÙ Ö ×ÙÐØ Ó Ö Ö Ó Ø Ò Ó ¿ ¾¼ ¿ ¼¾ ¿¼½¼ ¿ ½¾ ¿¼ ¾¼º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ò ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð Ú ÒÓ Ø ÒØÓ ÒÓØ ¿ ÓÐ × Ý Ð ÖÓÒ ÙÒ Óк Ò ×Ó× ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð ÕÙ ÔÓ Ò ÙÒ Ô ÖØ Ó¸ ÑÔ Ø ÙÒÓ Ý Ô Ö ÙÒÓº ú Ù Ð Ù Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ô ÖØ Ó Ò Ó ¾ ¼ ¿ ¼ ½ ¼ ¾ ½ ¼ ½º
  • 11.
    ½º½ ÈÖÙ ÈÖÑ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÆÓ× Ò ØÖ × ÔÙÒØÓ× ÕÙ ÓÖÑ Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ÉÙ Ö ÑÓ× Ö ÙÒ Ù ÖØÓ ÔÙÒØÓ Ô Ö ÓÖÑ Ö ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ú Ù ÒØ × ÔÓ× Ð × Ý Ô Ö Ð Ù ÖØÓ ÔÙÒØÓ ½ ¾ ¿ Ô Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ðº ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ö Ó× Ò Ð ÙÖ × Ö Ö× ÙÒÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½¸ ¾¸ ¿ ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× × Ñ ÒØÓ Ø Ò Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö ÒØ ×º ÌÖ × Ò Ñ ÖÓ× Ý Ò × Ó × Ö ØÓ׺ ú Ù ÒØ × Ú × Ö ÕÙ Ù× Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ½ ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼º Ò Ð ÕÙ Ö Ö ÙÒ Ù Ö Ó ÙØ Ð Þ Ò¹ Ó ×ÓÐ Ñ ÒØ Ô Þ × ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ º ú Ù Ð × Ð Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ Ô Þ × ÕÙ ÙØ Ð Þ Ö ¾¼ ½ ½¾ ½¼ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾½º Ò ÙÒ Ð × Ð Ý ½¼ ÐÙÑÒÓ׸ ÒØÖ Ò Ó× Ý Ò ×º Ð Ñ ×ØÖÓ Ø Ò ¼ Ö Ñ ÐÓ׺ Ë Ð Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ò Ñ ÖÓ Ö Ñ ÐÓ׸ Ð ×Ó Ö Ò ¿ Ö Ñ ÐÓ׺ ú Ù ÒØÓ× Ò Ó× Ý Ò Ð Ð × ½ ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¾º ÍÒ Ø Ø Ò Ø ØÓ× Ð Ò Ó¸ Ò ÖÓ¸ Ñ ÖÖ Ò¸ Ð Ò Ó¹Ò ÖÓ¸ Ð Ò Ó¹Ñ ÖÖ Ò¸ Ò ÖÓ¹Ñ ÖÖ Ò Ý Ð Ò Ó¹Ò ÖÓ¹Ñ ÖÖ Òº ú Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × Ý × Ó Ö Ø ØÓ× ÑÓ Ó ÕÙ Ó× Ù Ð ×ÕÙ Ö ÐÐÓ× Ø Ò Ò ÙÒ ÓÐÓÖ ÓÑ Ò ½ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¿º Ë Ø Ò Ò Ù ØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× ÒØ Ó× Ò Ð ÒØ Ö ÓÖ ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ¸ ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º Ð ÙÐ Ð Ö ØÓØ Ð ÐÓ× Ù ØÖÓ ØÖ Ò ÙÐÓ׺ Ñ 2 Ñ 2 Ñ 2 ¾ Ñ 2 Ñ 2 º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ð Ó ÕÙ È ÖÓ ×Ø Ñ ÒØ Ò Óº È ÖÓ ÕÙ Å Ö Ó× ×Ø Ñ ÒØ Ò Óº Å Ö Ó× ÕÙ È ÖÓ ×Ø Ñ ÒØ Ò Óº ÌÓÑ × ÕÙ Ð Ó ×Ø Ñ ÒØ Ò Óº ú Ù ÒØÓ× Ò Ó× ×Ø Ò Ñ ÒØ Ò Ó ¾ ½ ¼ ¿ º
  • 12.
    ÈÖÙ ÈÖ ÐÑ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ë Ù Ò Ù ØÖÓ Ö ÙÒ Ö Ò × Ò Ð Ô Þ ÖÖ Ñ Ò Ö ÕÙ Ô Ö ÐÐ × Ø Ò Ò Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò ÓÑ Òº ú Ù Ð × Ð Ñ ÝÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÔÙÒØÓ× ÕÙ ÔÙ Ò Ô ÖØ Ò Ö Ñ × ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ½ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÄÙ × ÓÐÓ Ó Ó× × ´ ÙÒ ÓÖ¹ Ñ ÔÓÖ Ò Ó Ù Ö Ó× 1 × 1µ Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ 5 × 5¸ ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ º ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × Ò Ó × ÔÓ Ö ÓÐÓ Ö× Ò Ð Ô ÖØ Ú Ð Ø Ð ÖÓ¸ ÑÓ Ó ÕÙ ÒÓ × ÔÙ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ð × ÓØÖ × Ù ØÖÓ × º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÍÒ Ó × ÒÓÖÑ Ð × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò Ô Ö Ö × ÓÔÙ ×Ø × ×ÙÑ Ò º Ä ÙÖ ÑÙ ×ØÖ ØÖ × Ó× ÒÓÖÑ Ð × Ô Ð Ó× ÙÒÓ Ò Ñ Ð ÓØÖÓº Ë × ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ö × Ò ÓÒØ ØÓ × º Ñ ×¸ ÙÒ Ð × Ö × Ð Ø Ö Ð × Ð Ó Ò Ö ÓÖ Ø Ò ÙÒ ÔÙÒØÓº ú Ù ÒØÓ× ÔÙÒØÓ× Ø Ò Ð Ö Ñ Ö ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ò ÙÒ Ñ × Ù Ó × Ó× Ý ÓÑ Ò Ó׸ Ô ÖÓ × ÐÓ Ú ÖÒ × Ý ÐÙÒ ×º Ò Ð Ñ × ÕÙ Ú Ò Ö Ù Ú × Ñ Ö ÓÐ × × Ó× ÓÑ Ò Ó× Ú ÖÒ ×º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ë Ò Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× a¸ b¸ c Ý d Ø Ð × ÕÙ a < b < c < dº Ë Ô ÙÑ ÒØ Ö ÙÒÓ ÐÐÓ× Ò ½ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ ¸ ÐÙ Ó Ð ÙÑ ÒØÓ¸ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× × ÐÓ Ñ × Ô ÕÙ Ó ÔÓ× Ð º ú Ù Ð × ÙÑ ÒØ Ö a b c d b Ó c Ò ×Ø ÒØ Ñ ÒØ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿¼º ú Ù ÒØÓ× ÒØ ÖÓ× × ÔÙ Ò ÓÖÑ Ö ÓÒ ÐÓ× ØÓ× ½¸ ¾¸ ¿¸ Ý ¸ Ù× Ò Ó ØÓ Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ú Þ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ÔÖ Ñ Ö ØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ × Ú × Ð ÒØÖ ½¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ ¾¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× ØÖ × ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ ¿¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ù ØÖÓ ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ Ý Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ò Ó ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ Æ Ò ÙÒÓ ½ ¾ ½¼º
  • 13.
    ½º½ ÈÖÙ ÈÖÑ Ö Ó Ý Ë ÙÒ Ó Ó ½º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ Ñ ÖØ ×º ¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ¿¼ Ñ ÒÙØÓ× × Ñ ÓÖ ¸ Ð Ú ÐÓ Ñ × 28/(1/2) = 56 Ñ» º ¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ ÙÒ Ù Ö Óº ÌÓ × Ð × ÓØÖ × ÙÖ × ÔÙ Ò Ó Ø Ò Ö× º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ ½¿¸ Ý × ÓÒ× Ù Ò Ó ÙÒ Ô ×Ó¸ × Ù Ò Ó Ð Ö ¸ Ò Ó ÓØÖÓ Ô ×Ó¸ × Ù Ò Ó Ð ÞÕÙ Ö ×Ø Ð Ò Ð¸ Ò Ó ÓØÖÓ Ô ×Ó Ý × Ù Ò Ó Ð Ö ×Ø Ð Ò Ðº º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ º Ä × ÔÖ Ñ Ö × ½ × × ÐÐ Ú Ò Ò Ñ ÖÓ× ½¸ ¸ ¸ ¸ ½½¸ ½ ¸ ½ ¸ ½ ¸ ¾½¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ¾ ¸ ½¸ Ý º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÄÓ× ¼¼ Ð ØÖÓ× ÕÙ Ú Ò Ð Ö Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÙÖ Ò¸ Ú Ò Ô Ö Ö Ð Ö Ô ÒØ º È ÖÓ ÐÓ× ¼¼ Ð ØÖÓ× ÕÙ Ú Ò Ð ÞÕÙ Ö ¸ Ð Ñ Ø ´¾ ¼µ Ú Ò Ð Ö Ò Ð × ÙÒ ÙÖ Ò Ý Ø Ñ Ò Ø ÖÑ Ò Ò Ò º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ Ý ÕÙ ÒÓ × ÔÙ ÐÓ Ö Ö Ð Ô ÖØ Ò Ö ÓÖ ×Ø ÙÖ º Ä × ÓØÖ × Ù ØÖÓ × × ÔÙ Ò ÓÖÑ Öº º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × Ò Ó × ×ÓÒ ¼½¹¼¿¹¼ ¸ ¼¿¹¼ ¹¼ ¸ ¼ ¹¼ ¹ ¼ ¸ ¼ ¹¼ ¹½½ Ý ¼ ¹½½¹½¿º ½¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ò × Ö 60 + 1 3 60 = 60+20 = 80 ÑÐ Ð º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ØÓØ Ð 7×80+7×60 = 560+420 = 980 ÑÐ Ð º ½½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ ÔÙ × Ð × × ÐÐ × ÕÙ ÓÒØ Ò Ò Ð Ý Ð Í ÒÓ Ø Ò Ò Ò Ò Ò ÔÙÒØÓ Ò ÓÑ Òº ½¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØ Ö ÓÖ Ð ¾¼½½ × Ð ½¾½¼¸ Ð × Ù ÒØ Ð ¾½¼½¸ Ý 2101 − 1210 = 891º ½¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ 17 + 30 + 49 = 96¸ × ÑÓÚ ÑÓ× ×ØÓ× Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× Ð Ö ¸ Ð ÞÕÙ Ö ÕÙ Ð ½ º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÌÓÑ Ò Ó ÓÑÓ ÙÒ Ð Ð Ó Ð Ù Ó¸ Ð Ö Ò Ò ÖÖ × 8 × 8 Ý × ÐÐ Ò ÓÒ Ù Ó׺ ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº È Ö Ð Ù Ö Ó Ð Ó × Ò × Ø Ò 52 = 25 Ð Ó× × Ò Ö × Ý 92 − 52 = 56 Ð Ó× × Ð Ò ×¹ ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë 31n = 372 ÒØÓÒ × n = 372/31 = 12 Ý 12 × 301 = 3612º
  • 14.
    ½¼ ÈÖÙ ÈÖÐ Ñ Ò Ö ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ô ÖØ Ó Ô Ö Ó × ÐÓ ÔÙ Ó Ö × Ó ¼ ½¸ ÒØÓÒ × Ð ÑÔ Ø Ó Ø ÖÑ Ò ¼ ¼ Ý Ð Ò Ó ¿ ¼º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ù ÖØÓ ÔÙÒØÓ × Ö Ð × Ñ ØÖ Ó ÙÒ Ú ÖØ Ö ×Ô ØÓ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ý ¿ ÔÓ× Ð ×º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº À Ý Ù ØÖÓ ÔÙÒØÓ× ÕÙ ×Ø Ò ÓÒ Ø Ó× ÔÓÖ × Ñ ÒØÓ× ÐÓ× ÕÙ ×Ø Ò Ñ Ö Ó× ÓÒ ½¸ ¾ Ý ¿ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ò ÐÐ Ú Ö Ò × Ö Ñ ÒØ ÙÒ º ¾¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ Ð × Ô Þ × × ÓÑÔÓÒ Ò Ù Ö ØÓ׸ Ð Ö Ð Ù Ö Ó ÕÙ × ÓÖÑ ´Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ×Ù Ð Óµ Ò × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ× º È ÖÓ × Ð ÓÒÚ Ò Ö× ÕÙ ÙÒ Ù Ö Ó Ð Ó ÒÓ × ÔÙ ÓÖÑ Öº Ä × Ù ÒØ ÔÓ× Ð ¸ Ð Ù Ö Ó Ð Ó ½¼¸ × × ÔÙ º Ò ØÓ¸ ÓÒ Ó× Ô Þ × × ÔÙ ÓÖÑ Ö ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ 2 × 5 Ý ÓÒ ½¼ ×ØÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× × ÐÐ Ò Ð Ù Ö Ó Ð Ó ½¼º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × Ò × Ø Ò ÓÑÓ Ñ Ò ÑÓ ¾¼ Ô Þ ×º ¾½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ú Ö ¼ ÒØÖ ½¸ ¾¸º º º ¸ × Ó Ø Ò Ò ÐÓ× Ö ×ØÓ× ¼¸ ¼¸ ¾¸ ¼¸ ¼¸ ¾¸ ¿¸ ¼ Ý º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ Ò × × ¸ Ý Ð Ò Ó× × ¿º ¾¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × Ù ØÖÓ Ñ Ò Ö × ×ÓÒ ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ð Ò Ó¸ ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ñ ÖÖ Ò¸ ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ò ÖÓ Ý ÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÓÐÓÖ ×º ¾¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ø ØÓ Ñ ÒÓÖ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× Ñ 30 − 28 = 2 Ѹ Ý Ð Ø ØÓ Ñ ÝÓÖ Ñ 28/2 = 14 Ѻ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÙÒÓ Ø Ò Ö ½ Ñ 2 Ý ÐÓ× Ø Ò Ò Ö Ñ 2 º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë ÌÓÑ × Ð Ú Ö ÒØÓÒ × Ð Ó Ñ ÒØ ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ È ÖÓ Ð Ú Ö Ý Å Ö Ó× Ñ ÒØ º Ë Ò Ñ Ó ÌÓÑ × Ñ ÒØ ÒØÓÒ × Ð Ó Ð Ú Ö ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ È ÖÓ Ñ ÒØ Ý Å Ö Ó× Ð Ú Ö º Ò Ù ÐÕÙ Ö ×Ó ÐÓ× ÕÙ Ñ ÒØ Ò ×ÓÒ Ó׺ ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ Ý Ô Ö × Ö¹ ÙÒ Ö Ò ×¸ Ð Ñ Ü ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÔÙÒØÓ× × º ×Ø Ñ Ü ÑÓ × Ð ÒÞ × ØÖ × Ö ÙÒ Ö Ò × ×ÓÒ Ø Ò ÒØ × ÜØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ý Ð Ù ÖØ × Ø Ò ÒØ ÜØ Ö ÓÖÑ ÒØ ´Ó ÒØ Ö ÓÖÑ ÒØ µ Ð × ØÖ × ÔÖ Ñ Ö ×º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÐÓ Ò Ó Ð Ô Þ Ì ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ ÒÓ × ÔÙ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ð × ÓØÖ × Ù ØÖÓ ×º
  • 15.
    ½º¾ ÈÖÙ ÌÖ Ö Ó ½½ ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ò Ö ÓÖ ÒÓ ÔÙ Ø Ò Ö ÙÒ ½º Ë Ø Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾¸ Ð Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ < 3¸ Ð Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ > 4 Ý ÒÓ ÔÓ Ö ×ÙÑ Ö ÓÒ Ð Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖº Ä Ò ÔÓ× Ð × ÕÙ Ð Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ò Ö ÓÖ Ø Ò ÙÒ ¾º ÒØÓÒ × Ð Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó Ø Ò ÙÒ ¿¸ Ð Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó Ñ Ó ÙÒ ¸ Ð Ö Ò Ö ÓÖ Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ ÙÒ ½ Ý Ð Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ ÙÒ º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð ÔÖ Ñ Ö Ð Ñ × Ö × Ó × Ó Ý Ð ÐØ ÑÓ ÓÑ Ò Ó¸ Ø Ò Ò Ó Ð Ñ × ¿¼ ׺ ÊÐ Ñ × × Ù ÒØ Ø Ò ¿½ × Ý ÓÑ ÒÞ ÔÓÖ ÐÙÒ ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ø Ò ÐÙÒ ×¸ Ñ ÖØ ×¸ Ñ Ö ÓÐ × Ý × ÐÓ ÙÒÓ ÐÓ× × Ö ×Ø ÒØ × Ð × Ñ Ò º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë × ÙÑ ÒØ a Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÐÓ× Ù ØÖÓ × Ò Ö Ñ ÒØ Ò (a + 1)bcd − abcd = bcdº Ò ÐÓ Ñ ÒØ × × ÙÑ ÒØ Ò b¸ c Ó d Ð ÔÖÓ Ù ØÓ ÐÓ× Ù ØÖÓ × Ò Ö Ñ ÒØ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ò acd¸ abd Ó abcº Ð Ñ ÒÓÖ ÒØÖ bcd¸ acd¸ abd Ý abc × abc¸ ÕÙ × Ó Ø Ò Ù Ò Ó Ð ÕÙ × ÙÑ ÒØ × dº ¿¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë ÙÒ Ò Ñ ÖÓ abcde ÙÑÔÐ Ð × ÓÒ ÓÒ ×¸ ÒØÓÒ × × Ö e = 5 ´Ô Ö ÕÙ × Ú × Ð ÒØÖ µº Ñ × b Ý d Ò × Ö Ô Ö × ´¾ Ý µ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ a Ý c Ò × Ö ½ Ý ¿ ´ Ò Ð Ò ÓÖ Òµº ÓÑÓ abc × Ö Ú × Ð ÒØÖ ¿¸ a + b + c = 4 + b × Ö Ú × Ð ÒØÖ ¿¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ b = 2 Ý Ò ÓÒ× Ù Ò d = 4º È ÖÓ ÒØÓÒ × abcd × Ö ½¾¿ ¿¾½ ¸ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ù Ð × × Ú × Ð ÒØÖ º ½º¾º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º ú Ù Ð ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× × Ð Ñ ÝÓÖ 20111 1 + 2011 1 × 2011 12011 1 ÷ 2011º ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ð× Ù ÓÒ Ù Ó× Ý Ø ØÖ ÖÓ׺ Ë Ø Ò Ù Ó× Ý ¿ Ø ØÖ ÖÓ׺ ú Ù ÒØ × Ö × Ý Ò ØÓØ Ð ¼ ¾ ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ò ÙÒ ÖÙ Ô ØÓÒ Ð × ÐØ ÖÒ Ò Ö Ò × Ð Ò × Ý Ò Ö ×¸ ÙÒ Ò ÙÖ ¼ Ѻ ÍÒÓ ×ØÓ× ÖÙ × ÓÑ ÒÞ Ý Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÙÒ Ö Ò Ð Ò Ý Ø Ò Ö Ò × Ð Ò × Ò ØÓØ Ðº ú Ù Ð × Ð Ò ÙÖ ØÓØ Ð Ð ÖÙ Ñ ¸ Ñ Ñ ¸ Ñ Ñº ÈÖÓ Ð Ñ º Å Ð ÙÐ ÓÖ Ú Ò Ú Þ ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ý Ö ×Ø Ò ÐÙ Ö ×ÙÑ Öº Ë Ø Ð Ó (12 × 3) + (4 × 2)¸ úÕÙ ÑÙ ×ØÖ Ð Ð ÙÐ ÓÖ
  • 16.
    ½¾ ÈÖÙ ÈÖÐ Ñ Ò Ö ¾ ½¾ ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ º Å Ö ÐÓ Ø Ð ÑÓ×ØÖ Ö Ð ÓÖ ¾¼ ½½º ú Ù ÒØÓ× Ñ ÒÙØÓ× Ñ × Ø Ö ÑÓ×ØÖ Ö ÙÒ ÓÖ ÓÒ ÐÓ× ØÓ× ¼¸ ½¸ ½¸ ¾¸ Ò Ð Ò ÓÖ Ò ¼ ¼ ¼º ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ ØÖ × Ù Ö Ó׺ Ð Ù Ö ¹ Ó Ñ ÒÓ ÙÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× Ð Ù Ö Ó Ö Ò º Ð Ù ¹ Ö Ó Ô ÕÙ Ó ÙÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× Ð Ù Ö Ó Ñ ÒÓº Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ô ÕÙ Ó Ò Ð ÙÖ × Ñ 2 º ú Ù Ð × Ð Ö Ò ÒØÖ Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ö Ò Ý Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ñ ÒÓ¸ Ò Ñ 2 ½¾ ½ ½ º ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ð ÐÐ ÓÒ Ú ÚÓ Ý ½ × ×º ÙÒ Ð Ó Ð ÐÐ Ð × × × ×Ø Ò ÒÙÑ Ö × ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× Ô Ö × Ý Ð ÓØÖÓ ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× ÑÔ Ö ×º Å × × Ð ÐØ Ñ Ð Ð Ó Ô Ö Ý ×Ù Ò Ñ ÖÓ × ½¾º Å ÔÖ ÑÓ Ú Ú Ò Ð ÐØ Ñ Ð Ð Ó ÑÔ Öº ú Ù Ð × Ð Ò Ñ ÖÓ ×Ù × ½¿ ½ ¾½ ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ü Ð ØÓ ÔØÙÖ ½¾ Ô × Ò ¿ ׺ ¸ ×ÔÙ × Ð ÔÖ Ñ ÖÓ¸ ÔØÙÖ Ñ × Ô × ÕÙ Ð ÒØ Ö ÓÖº Ò Ð Ø Ö Ö ¸ ÔØÙÖ Ñ ÒÓ× Ô × ÕÙ Ò ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ× × ÙÒØÓ׺ ú Ù ÒØÓ× Ô × ÔØÙÖ Ð Ø Ö Ö º ÈÖÓ Ð Ñ º ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ØÖ × ØÓ× ÓÒ ×ÙÑ ØÓ× Ù Ð ¸ × × Ó Ò Ð Ñ × Ö Ò Ý Ð Ñ × Ô ÕÙ Óº ú Ù Ð × ×Ù ×ÙÑ ¼ ½ ¼ ½¼¼½ ½¼¼¼º ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ Ù ØÖÓ Ù Ö Ó× ÒØ Ó× ×¹ ÔÙ ×ØÓ× Ò ÓÖÑ Äº Ë × Ö Ö ÙÒ ÕÙ ÒØÓ Ù Ö Ó ÑÓ Ó ÕÙ × ÓÖÑ ÙÒ ÙÖ ÓÒ ÙÒ × Ñ ØÖ º ú Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × × ÔÙ Ö ×ØÓ ½ ¾ ¿º ÈÖÓ Ð Ñ ½½º 2011 · 2,011 201,1 · 20,11 = ¼¸¼½ ¼¸½ ½¼ ½ ½¼¼º ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º Å Ö Ø Ò Ô ÖÐ × ÕÙ Ô × Ò ½ ¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Ý º ÐÐ Ù ØÖÓ Ò ÐÐÓ× ÓÒ Ó× Ô ÖÐ × Ò ÙÒÓº ÄÓ× Ô ×Ó× Ð ×
  • 17.
    ½º¾ ÈÖÙ ÌÖ Ö Ó ½¿ Ô ÖÐ × Ò ×ØÓ× Ù ØÖÓ Ò ÐÐÓ× ×ÓÒ ½ ¸ ½¿ ¸ Ý º ú Ù Ð × Ð Ô ×Ó Ð Ô ÖÐ Ö ×Ø ÒØ ¿ ¾ ½ º ÈÖÓ Ð Ñ ½¿º Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½ ¸ ½¿¸ ¸ ½¼¸ ½ ¸ ¸ ½¾ Ý ½ ¸ úÕÙ Ô Ö ÐÐÓ× × ÔÙ ÕÙ Ø Ö × Ò ÑÓ Ö Ð ÔÖÓÑ Ó ½¾ Ý ½ Ý ½ Ý ½ ½¼ Ý ½¾ ½ Ý ½¼º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ð Ö Ø Ò È Ö Þ Ú Ð Ì ÖÖ Ð ÉÙ ×Óº È ÖÓ Ô Ö ÐÐ Ö × Ø ÖÖ Ð Ò Ö Ø Ò ÕÙ Ô × Ö ØÖ Ú × ÙÒ × ×Ø Ñ Ø Ò Ð ×¸ ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ º ÆÓ × Ð Ô ÖÑ Ø ÚÓÐÚ Ö ÙÒ ÒØ Ö× Ò Ò Ð ÕÙ Ý Ý ×Ø Óº Ò ÒØ Ö× Ò × Ò Ù ÒØÖ ÙÒ Ö ÓØ º ú Ù ÒØ × Ö ÓØ ×¸ ÓÑÓ Ñ Ü ÑÓ¸ ÔÙ Ö Ó Ö Ð Ö Ø Ò È Ö Þ ½¾ ½¿ ½ ½ ½ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ö Ò Ò Ð Ö Ñ × Ô ÒØ ÓÒ ÙÒÓ ÐÓ× Ù ØÖÓ ÓÐÓÖ × ÖÓ Ó ´Rµ¸ Ú Ö ´V µ¸ ÞÙÐ ´Aµ Ó Ð Ò Ó ´Bµº Ó× Ö ÓÒ × ÓÒ ÙÒ ÓÖ ÓÑ Ò Ò Ø Ò Ö ÓÐÓÖ × Ö ÒØ ×º ÒØÓÒ × Ð ÓÐÓÖ Ð Ö Ò X × X V R A ÖÓ Ó ÞÙÐ Ú Ö Ð Ò Ó ÒÓ × ÔÓ× Ð Ø ÖÑ Ò ÖÐÓº ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÍÒ ØÖÓÞÓ Ù Ö Ó Ô Ô Ð × ÓÖØ Ò × × Ô Þ × Ö Ø Ò ÙÐ Ö × ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º Ä ×ÙÑ ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× Ð × × × Ô Þ × Ö Ø Ò ÙÐ Ö × × ½¾¼ Ѻ Ò Ù Ò¹ ØÖ Ð Ö Ð Ô Þ Ù Ö Ô Ô Ðº Ñ 2 Ñ 2 ½½¼¸¾ Ñ 2 ½ Ñ 2 ¾ Ñ 2 º
  • 18.
    ½ ÈÖÙ ÈÖÐ Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ò ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð Ú ÒÓ Ø ÒØÓ ÒÓØ ¿ ÓÐ × Ý Ð ÖÓÒ ÙÒ Óк Ò ×Ó× ØÖ × Ô ÖØ Ó× Ð Ú ÒÓ Ø ÒØÓ Ò ÙÒ Ô ÖØ Ó¸ ÑÔ Ø ÙÒÓ Ý Ô Ö ÙÒÓº ú Ù Ð Ù Ð Ö ×ÙÐØ Ó Ð Ô ÖØ Ó Ò Ó ¾ ¼ ¿ ¼ ½ ¼ ¾ ½ ¼ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ö Ó Ù ÙÒ × Ñ ÒØÓ Ö Ø DE ÐÓÒ ØÙ ¾ Ò ÙÒ Ô ÞÓ Ô Ô Ðº ú Ù ÒØÓ× ÔÙÒØÓ× Ö ÒØ × F ÔÙ Ù Ö Ò Ð Ô Ô Ð ÓÖÑ ÕÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ DEF × Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý Ø Ò Ö ½ ¾ ½¼º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ð Ò Ñ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ a × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ½¸ Ý Ð Ò Ñ ÖÓ b × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ½º ú Ù Ð ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò Ñ ÖÓ× Ø Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ a · b b a ÷ b a + b Ä Ö ×ÔÙ ×Ø Ô Ò a Ý bº ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼º ÍÒ Ù Ó × ÓÒ×ØÖÙÝ ÓÒ Ô Ô Ð ÔÐ Ó ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º ÈÓÖ Ð ×ÙÔ Ö Ð Ù Ó × ØÖ Þ ÙÒ Ð Ò Ó× ÙÖ ÕÙ Ú Ð ×ÙÔ Ö Ð Ù Ó Ò Ó× Ô ÖØ × ÒØ ×º ú ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ô Ð ×ÔÙ × ÕÙ Ð Ù Ó × × Ó Ð º ÈÖÓ Ð Ñ ¾½º Ð Ò Ñ ÖÓ Ò Ó ØÓ× 24X8Y × Ú × Ð ÔÓÖ ¸ Ý º ú Ù Ð × Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× X Y ½¼ ½¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¾º ÄÙ × ÓÐÓ Ó Ó× × ´ ÙÒ ÓÖÑ ÔÓÖ Ò Ó Ù Ö Ó× 1 × 1µ Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ 5×5º ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × Ò Ó × ÔÓ Ö ÓÐÓ Ö× Ò Ð Ô ÖØ Ú Ð Ø Ð ÖÓ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ ÒÓ × ÔÙ Ö Ö Ò Ò ÙÒ Ð × ÓØÖ × Ù ØÖÓ × º
  • 19.
    ½º¾ ÈÖÙ ÌÖ Ö Ó ½ ÈÖÓ Ð Ñ ¾¿º ÙÒÓ ÐÓ× ØÖ × ÐÓÖÓ× Á× ¸ Å Ö Ó Ý Ç× Ö Ø Ò ÙÒ Ò Ó ÔÖÓÔ Óº Á× Ó ×ØÓÝ Ñ × Ð Ó Ð Ð Ó× Å Ö Ó ÕÙ Ç× Ö º Å Ö Ó Ó ×ØÓÝ Ñ × Ð Ó Ð Ð Ó× Ç× Ö ÕÙ Á× º Ç× Ö Ó ×ØÓÝ Ñ × ÕÙ Ð Ó Ð Ð Ó× Å Ö Ó ÕÙ Á× º Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÐÐÓ× ×Ø Ò Ò Ó Ð Ú Ö º ú Ù Ð × Ð ÕÙ Ñ ÒØ Á× Å Ö Ó Ç× Ö Æ Ò ÙÒÓ ÐÐÓ× ÆÓ × ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö ÓÒ ÐÓ× ØÓ× ×ÙÑ Ò ×ØÖ Ó׺ ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÒØÖÓ ÙÒ Ù Ö Ó Ð Ó Ñ Ù ÙÒ Ù Ö Ó Ð Ó ¿ Ѻ ÄÙ Ó Ù ÓØÖÓ Ù Ö Ó Ð Ó Ñ¸ ÕÙ ÒØ Ö× Ø ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ׺ ú Ù Ð × Ð Ö Ò ÒØÖ Ð × Ö × Ð Ô ÖØ Ò Ö Ý Ð Ô ÖØ Ö × ½ Ñ 2 ½½ Ñ 2 ½¼ Ñ 2 ¼ Ñ 2 ÑÔÓ× Ð Ø ÖÑ Ò ÖÐÓº ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Å Ù Ð ×Ô Ö Ð Ð Ò Óº Ò ×Ô ÖÓ ÖØ Ó ÔÙ Ó Ø Ò Ö ¸ ½¼ ÔÙÒØÓ׺ ËÙ ÔÙÒØÙ Ò ØÓØ Ð Ù ¸ Ý Ó ØÙÚÓ Ø ÒØ × Ú × ÓÑÓ ½¼º Ë Ò Ð ¾ ± ×Ù× Ø ÖÓ× ÒÓ ÖØ Ð Ð Ò Ó¸ ú Ù ÒØÓ× ×Ô ÖÓ× ÞÓ Å Ù Ð Ò ØÓØ Ð ½¼ ½¾ ½ ¾¼ ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ò ÙÒ Ù Ö Ð Ø ÖÓ ÓÒÚ ÜÓ ABCD ÓÒ AB = AC¸ ÐÓ× × Ù ÒØ × Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ ÓÒÓ Ó× ∠BAD = 80◦ ¸ ∠ABC = 75◦ ¸ ∠ADC = 65◦ º ú Ù ÒØÓ Ñ ∠BDC 45◦ 30◦ 20◦ 15◦ 10◦ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º À × Ø Ó׸ Ð Ú Ö ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ ¸ Ý ÒØÖÓ Ó Ó Ó× × Ö ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ º À Ó Ó Ó׸ Ð Ê Ð Ö ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ ¸ Ý ÒØÖÓ × Ø Ó× × Ö ÙÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ º ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × ÖÑ ÓÒ × ÔÙ × Ö Ú Ö Ö Ê Ð × Ó× Ó× Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ú Ê Ð × ÙÒ Ó Ñ ÒÓÖ ÕÙ Ú Ê Ð Ý Ú Ø Ò Ò Ð Ñ ×Ñ Ê Ð × ÙÒ Ó Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ú Ê Ð × Ó× Ó× Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ú º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ò Ð ÜÔÖ × Ò A · B · C · D · B · E · F · F D · B · G · H Ð ØÖ Ö ÔÖ × ÒØ ÙÒ ØÓ Ö ÒØ ÖÓº Ä ØÖ × Ù Ð × Ö ÔÖ × ÒØ Ò ØÓ× Ù Ð × Ý Ð ØÖ × ¹ Ö ÒØ × Ö ÔÖ × ÒØ Ò ØÓ× Ö ÒØ ×º ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ Ñ × Ô ÕÙ Ó ÔÓ× Ð ×Ø ÜÔÖ × Ò ½ ¾ ¿
  • 20.
    ½ ÈÖÙ ÈÖÐ Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ä × Ù ÒØ ÙÖ × ÓÑÔÓÒ Ó× Ö Ø Ò ÙÐÓ׺ Ä × ÐÓÒ ØÙ × Ó× Ð Ó× ×Ø Ò Ñ Ö × ½½ Ý ½¿º Ä ÙÖ × ÓÖØ Ò ØÖ × Ô ÖØ × Ý Ð × Ô ÖØ × × Ö ÓÖ Ò Þ Ò Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ú Ù Ð × Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó x ¼ ¿ ¿ ¿ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿¼º Å Ö Ó× Ù ÙÒ Ù Ó ÓÑÔÙØ ÓÖ Ò ÙÒ Ù Ö ÙÐ 4×4º Ð × ÖÓ Ó ÞÙи Ô ÖÓ Ð ÓÐÓÖ × ÐÓ × Ú × × Ð Ò ÐÐ º Ë × ÕÙ × ÐÓ Ý Ó× Ð × ÞÙР׸ Ý ÕÙ Ø Ò Ò ÙÒ Ð Ó ÓÑ Òº ú Ù Ð × Ð Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ Ð × ÕÙ Å Ö Ó× Ø Ò ÕÙ Ö Ô Ö ×Ø Ö × ÙÖÓ Ú Ö Ð × Ó× Ð × ÞÙÐ × Ò Ð Ô ÒØ ÐÐ ½¼ ½¾ ½½ ½¿º ½º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × Ò Ó ÐØ ÖÒ Ø Ú × ÔÖÓÔÙ ×Ø × ×ÓÒ ´ µ 20111 = 2011¸ ´ µ 1 + 2011 = 2012¸ ´ µ 1 × 2011 = 2011¸ ´ µ 12011 = 1 Ý ´ µ 1/2011¸ Ð Ñ ÝÓÖ Ð × Ù Ð × × ´ µ ¾¼½¾º ¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÄÓ× Ù Ó× Ø Ò Ò Ö × Ý ÐÓ× Ø ØÖ ÖÓ× ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ö × × 5 × 6 + 3 × 4 = 30 + 12 = 42º ¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ý Ö Ò × Ð Ò ×¸ Ð × Ò Ö × Ò × Ö Ý Ð ØÓØ Ð ½ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò ÙÖ ØÓØ Ð × 15 × 50 = 750 Ѹ Ó ¸ Ѻ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä Ð ÙÐ ÓÖ ÑÓ×ØÖ Ö (12 ÷ 3) − (4 ÷ 2) = 4 − 2 = 2º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × Ù ÒØ ÓÖ ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ØÓ× × Ö Ð ¾½ ¼½¸ Ô Ö ÐÓ Ù Ð ÐØ Ò ¼ Ñ ÒÙØÓ׺
  • 21.
    ½º¾ ÈÖÙ ÌÖ Ö Ó ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº × Ð Ú Ö ÕÙ Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ñ Ó × Ð Ó Ð Ð Ö Ð Ô ÕÙ Ó¸ × Ö ½¾ Ñ 2 ´ÔÙ × Ð Ù Ö Ó Ô ÕÙ Ó × Ú Ò ØÖ Ò ÙÐÓ× ÒØ Ó׸ Ý Ð Ù Ö Ó Ñ Ó × Ú Ò ×Ó× ØÖ Ò ÙÐÓ×µº Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð Ö Ð Ù Ö Ó Ö Ò × Ð Ó Ð Ð Ö Ð Ñ Ó¸ × Ö ¾ Ñ 2 ¸ Ý Ð Ö Ò Ô × 24 − 12 = 12 Ñ 2 º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × × × Ð Ð Ó Ô Ö ×Ø Ò ÒÙÑ Ö × ¾¸ ¸ ¸ ¸ ½¼ Ý ½¾º ÒØÓÒ × Ð Ð Ó ÑÔ Ö Ö ½½ × ×¸ ÒÙÑ Ö × ½¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸ ½½¸ ½¿¸ ½ ¸ ½ ¸ ½ Ý ¾½º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ º Ð Ø Ö Ö Ð Ü ÔØÙÖ Ñ ÒÓ× Ð Ñ Ø Ð ØÓØ Ð¸ × Ö ÕÙ ÔØÙÖ ÐÓ ×ÙÑÓ Ô ×º È ÖÓ ÒÓ ÔÙ Ó Ö ÔØÙÖ Ó Ñ ÒÓ× ¸ ÔÙ × × × Ù × Ð ØÓØ Ð × Ö ÐÓ ×ÙÑÓ 2 + 3 + 4 = 9º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ñ × Ô ÕÙ Ó × ½¼ Ý Ð Ñ ÝÓÖ × ¼¼¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ×ÙÑ × ¼ º ½¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ½½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÒÙÑ Ö ÓÖ Ý ÒÓÑ Ò ÓÖ ÔÓÖ ½¼¼¼ Ð Ö Ò × ÕÙ Ú Ð ÒØ 20112 /20112 = 1º ½¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ô ×Ó ØÓ × Ð × Ô ÖÐ × × 1+2+3+4+5+ 6+7+8+9 = 45¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ð × Ô ÖÐ × Ò ÐÓ× Ò ÐÐÓ× × 17+13+7+5 = 42º Ä Ö Ò 45 − 42 = 3 × Ð Ô ×Ó Ð Ô ÖÐ Ö ×Ø ÒØ º ½¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð ÔÖÓÑ Ó ØÓ Ó Ð ÓÒ ÙÒØÓ × (17+13+ 5+10+14+9+12+16)/8 = 96/8 = 12º Ð ÔÖÓÑ Ó ÐÓ× ÕÙ × ÕÙ Ø Ò¸ Ô Ö ÒÓ ÐØ Ö Ö Ð ÔÖÓÑ Ó ÐÓ× Ö ×Ø ÒØ ×¸ × Ö ½¾º ÐÓ× Ô Ö × ÔÖÓÔÙ ×ØÓ× ÓÑÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ×¸ Ð Ò Ó ÓÒ ÔÖÓÑ Ó ½¾ × Ð ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ½ Ý ½¼º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ó Ó¸ Ô Ò º
  • 22.
    ½ ÈÖÙ ÈÖÐ Ñ Ò Ö ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä Ö Ò Ñ Ö ½ Ò Ð ÙÖ ÒÓ ÔÙ × Ö × ÒÓ Ð Ò ¸ Ý ÕÙ Ø Ò ÓÖ × ÓÑÙÒ × ÓÒ Ö ÓÒ × ÓÐÓÖ R¸ V Ý Aº ÈÓÖ Ö ÞÓÒ × Ò ÐÓ × Ð Ö Ò ¾ × Ö ÖÓ ¸ Ð ¿ × Ö Ú Ö ¸ Ð ÞÙи Ð Ð Ò Ý Ò ÐÑ ÒØ Ð Ö Ò X × Ö ÖÓ º X V R A ½ B ¾ R ¿ V A B R ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë a × Ð Ð Ó Ð Ù Ö Ó¸ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ô Ö Ñ ØÖÓ× ÐÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× × Ù Ð Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð Ù Ö Ó Ñ × Ó× Ú × ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ ×º È ÖÓ ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× ÒØ Ö ÓÖ × Ú ÖØ Ð × ×ÙÑ Ò a Ý ÐÓ× ÓÖ ÞÓÒØ Ð × 2a¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 120 = 4a + 2(a + 2a) = 10a¸ ÓÒ a = 12 Ý Ð Ö Ð Ù Ö Ó × 122 = 144 Ñ 2 º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ó Ó¸ Ô Ò ½¼º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë ÔÙ Ò ÓÖÑ Ö ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò DE ÓÑÓ Ø ØÓ Ñ ÝÓÖ¸ ÓÒ Ð ÓØÖÓ Ø ØÓ ÐÓÒ ØÙ ½¸ Ý Ó× ØÖ Ò ÙÐÓ× ×ÓÖÖ Ø Ò¹ ÙÐÓ× ÕÙ Ø Ò Ò DE ÓÑÓ ÔÓØ ÒÙ× Ý ÐØÙÖ ½º D E ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ a < 1 < b¸ × Ø Ò ÕÙ a·b < b < a+ b Ý a ÷ b < a < a + b¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ñ ÝÓÖ × a + bº ¾¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ ÓÑÓ ÔÙ Ú Ö× ÖÑ Ò Ó Ð × ÖÖÓÐÐÓº ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ´ µ¸ ´ µ Ý ´ µ Ð Ö Ñ ÒØ Ò × ÖØ Ö× ÔÙ × Ð Ð Ò Ó× ÙÖ ÓÖØ Ð ÙÒ × Ö ×Ø × Ò ÔÙÒØÓ× Ö ÒØ × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× ×Ø ×¸ Ý ´ µ × × ÖØ ÔÓÖÕÙ ÙÒ Ö ÓÒØ Ò Ó× × Ñ ÒØÓ× Ð Ð Ò Ó× ÙÖ º ¾½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ × Ú × Ð ÒØÖ Ý ¸ Y × Ö ¼º ÓÑÓ Ð ×ÙÑ ØÓ× 2+4+X +8+Y = 14+X × Ö Ú × Ð ÒØÖ ¸ X × ÐÓ ÔÙ × Ö º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ X + Y = 4º ¾¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ó Ó¸ Ô Ò ½¼º ¾¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × ÖÑ ÓÒ × Á× ¸ Å Ö Ó Ý Ç× Ö ×ÓÒ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ´½µ IM > 2IO¸ ´¾µ MO > 2IM Ý ´¿µ MO > 2IOº È ÖÓ ´½µ Ý ´¾µ ×ÓÒ ÓÒØÖ ØÓÖ ×¸ ÔÙ × ×ÙÑ Ò ÓÐ × Ö ×ÙÐØ IM + MO > 2IO + 2IM¸ ÓÒ MO > 2IO + IM > IO + IM¸ Ú ÓÐ Ò Ó Ð × Ù Ð ØÖ Ò ÙÐ Öº Ì Ñ Ò ×ÓÒ ÓÒØÖ ØÓÖ × ´¾µ Ý ´¿µ¸ ÔÙ × ×ÙÑ Ò ÓÐ × × ÐÐ MO > IM + IOº Ä Ò ÓÖÑ ÕÙ Ý Ó× Ú Ö Ö × × ÕÙ Á× Ý Ç× Ö × Ò ÓÒ ×ØÓ× Ý Å Ö Ó × Ñ ÒØ ÖÓ×Óº
  • 23.
    ½º¾ ÈÖÙ ÌÖ Ö Ó ½ ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ò a¸ b¸ c¸ d Ý e Ð × Ö × Ð × Ö ÓÒ × Ò ÕÙ × × Óѹ ÔÓÒ Ð ÙÖ º ÄÓ ÕÙ × Ô × a − c − eº È ÖÓ a−c−e = a+b+c+d+e−(c+d+e)−(b+c) = 72 − 52 − 32 = 15º a b c d e ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë x Ð Ò Ñ ÖÓ Ú × ÕÙ Ó ØÙÚÓ ÔÙÒØÓ× Ý y Ð Ò Ñ ÖÓ Ú × ÕÙ Ó ØÙÚÓ ÔÙÒØÓ׸ ÒØÓÒ × 5x + 8y + 10y = 99¸ × Ö ÕÙ 5x + 18y = 99º ÓÑÓ 5x = 99 − 18y × ÑÔ Ö Ý Ñ ÐØ ÔÐÓ ¸ Ø Ñ Ò × ÖÐÓ xº ×ØÓ ÓÑÓ Ò ÔÓ× Ð x = 9 ´ÔÙ × × x ≥ 27 ÒØÓÒ × 5x ≥ 135 > 99µ¸ ÓÒ y = 3º Ë n × Ð Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð ×Ô ÖÓ׸ ÒØÓÒ × (3/4)n = x + 2y = 9 + 6 = 15¸ ÓÒ n = (4/3)15 = 20º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ABC × × × Ð × × Ø Ò ∠ACB = ∠ABC = 75◦ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠BAC = 180◦ − 75◦ − 75◦ = 30◦ Ý ∠CAD = ∠BAD − ∠BAC = 50◦ º ÒØÓÒ × ∠ACD = 180◦ − 65◦ − 50◦ = 65◦ Ý ACD × × × Ð ×¸ ÓÒ AD = AC = AB Ý ABD Ø Ñ Ò × × × Ð ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠ADB = ∠ABD = (180◦ − 80◦ )/2 = 50◦ Ý Ò ÐÑ ÒØ ∠BDC = ∠ADC − ∠ADB = 65◦ − 50◦ = 15◦ º A B 75◦ D 80◦ C 65◦ ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ò E Ý R Ð × × Ú Ý Ê Ð¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÒØÓÒ × E − 7 Ý R + 7 ×ÓÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ× ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ E + 8 Ý R − 8 ×ÓÒ Ñ ÐØ ÔÐÓ× º Ä ÓÔ Ò ´ µ × ÑÔÓ× Ð ¸ ÔÙ × × E = R ÒØÓÒ × E −7 Ý R+7 = E +7 × Ö Ò Ñ ÐØ ÔÐÓ× ¸ ÐÓ Ù Ð × ×ÙÖ Ó ÔÙ × Ö Ò Ò ½ º ÓÑÓ E +R = (E −7)+(R+7) × Ñ ÐØ ÔÐÓ ´Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ô Öµ E Ý R Ò × Ö Ð Ñ ×Ñ Ô Ö ×ØÓ × ÖØ Ð × ÓÔ ÓÒ × ´ µ Ý ´ µº Ì ÑÔÓ Ó ÔÙ × Ö ÖØ ´ µ¸ Ý ÕÙ × R = E − 2 ÒØÓÒ × E − 7 Ý R + 7 = E + 5 × Ö Ò Ñ Ó× Ñ ÐØ ÔÐÓ× ¸ ×ÙÖ Ó ÔÙ × Ö Ò Ò ½¾º Ä Ò ÔÓ× Ð ÕÙ ÕÙ × Ð ´ µ¸ × Ö R = E + 2º ×ØÓ Ø Ú Ñ ÒØ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ × E = 55 Ý R = 57º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä ÜÔÖ × Ò × Ù Ð ABCEF 2 GH Ý ×Ù Ñ Ò ÑÓ × 2·3·4·5·12 8·9 = 15 9 > 1º ÓÑÓ 2·3·4·6 8·9 = 2 ×Ø × Ð Ñ Ò ÑÓ Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÓ Ý × Ð ÒÞ Ô Ö A = 2¸ B = 3¸ C = 4¸ D = 5¸ E = 6¸ F = 1¸ G = 8 Ý H = 9º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ò Ó Ð ÙÖ Ð ÞÕÙ Ö × 11 + 13 = 24º Ò Ð ÙÖ Ð Ö × Ð ÖÓ ÕÙ x = 13 + 24 = 37º
  • 24.
    ¾¼ ÈÖÙ ÈÖÐ Ñ Ò Ö ¿¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë × ÖÙÔ Ò Ð × ½ × ÐÐ × Ò Ô Ö × × ÐÐ × Ý ÒØ ×¸ Ö ×ÙÐØ Ð ÖÓ ÕÙ × Ö ÕÙ Ö Ò Ð Ñ ÒÓ× Ð × Ô Ö Ò Ò Ö ÓÒ ÖØ Þ ÙÒ × ÐÐ ÞÙи Ý Ð Ñ ÒÓ× ¾ Ñ × Ô Ö Ò Ò Ö Ð ÓØÖ º Þ Ð × × ÑÔÖ ×ÓÒ ×Ù ÒØ ×º È Ö ÐÐÓ ÑÓ× Ð ×Ù × Ú Ñ ÒØ Ò Ð × × ÐÐ × Ñ Ö × ½¸ ¾¸ ¿¸ º º º Ò Ð ÙÖ ¸ ×Ø Ú Ö ÙÒ × ÐÐ ÞÙк Ë Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ × Ú × Ð ¸ Ò Ó Ð Ò Ð × ¾ Ý ÒØ × × × Ù Ö Ð ÓØÖ ÞÙк Ë Ð ÔÖ Ñ Ö ÕÙ × Ú × Ð ¸ Ò Ó ½ ¾ ¿ Ð Ò Ð × ¿ Ý ÒØ × × × Ù Ö Ð ÓØÖ º × × Ð ÙÒ Ð ½ Ð ¸ Ò Ó Ð Ò Ð × Ý ÒØ × ´ÕÙ ×ÓÒ ÐÓ ×ÙÑÓ µ × × Ù Ö Ð ÓØÖ º ½º¿º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ò ÙÒ ÖÙ Ô ØÓÒ Ð × ÐØ ÖÒ Ò Ö Ò × Ð Ò × Ý Ò Ö ×¸ ÙÒ Ò ÙÖ ¼ Ѻ ÍÒÓ ×ØÓ× ÖÙ × ÓÑ ÒÞ Ý Ø ÖÑ Ò ÓÒ ÙÒ Ö Ò Ð Ò Ý Ø Ò Ö Ò × Ð Ò × Ò ØÓØ Ðº ú Ù Ð × Ð Ò ÙÖ ØÓØ Ð Ð ÖÙ Ñ ¸ Ñ Ñ ¸ Ñ Ñº ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ ×ÓÑ Ö Ó Ø Ò ÙÒ Ö ½¿ Ñ 2 º A Ý B ×ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× ÐÓ× Ð Ó× Ð ØÖ Ô Óº ú Ù Ð × Ð Ö Ð ØÖ Ô Ó A B ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º × Ð × ÜÔÖ × ÓÒ ×¸ S1 = 2 · 3 + 3 · 4 + 4 · 5¸ S2 = 22 + 32 + 42 ¸ S3 = 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4¸ ú Ù Ð Ð × × Ù ÒØ × Ö Ð ÓÒ × × Ú Ö Ö S2 < S1 < S3 S3 < S2 < S1 S1 < S2 < S3 S1 < S2 = S3 S1 = S2 < S3º ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ð × Ù ÒØ ÙÖ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ú ÖØ ¸ Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× × Ñ ÒØÓ × Ð Ñ ×Ñ º Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ý ×Ø Ò ÐÐ º úÉÙ Ò Ñ ÖÓ Ö Ò Ð ÔÙÒØÓ x ½ ¿ Ð Ò ÓÖÑ Ò ÒÓ × ×Ù ÒØ º ÈÖÓ Ð Ñ º Ù Ò Ó ¾¼½½ × Ú ÔÓÖ ÙÒ ÖØÓ Ò Ñ ÖÓ¸ Ð Ö ×ØÓ Ù ½¼½½º ú Ù Ð ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× × Ù ÒØ × Ù Ð Ú ×ÓÖ ½¼¼ ¼¼ ½¼¼¼ ¾¼¼¼ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ó Ø Ò Ö × Ö ×ØÓº
  • 25.
    ½º¿ ÈÖÙ ÙÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾½ ÈÖÓ Ð Ñ º ÍÒ ÑÓ× Ó Ö Ø Ò ÙÐ Ö ÓÒ ¿ ¼ Ñ 2 Ö ×Ø Ó Ð Ó× × Ù Ö ×¸ ØÓ × Ð Ñ ×ÑÓ Ø Ñ Óº Ð ÑÓ× Ó Ø Ò ¾ Ñ ÐØÓ Ý Ð Ó× × Ò Óº ú Ù Ð × Ð Ö Ð Ó× Ò Ñ 2 ½ ½ ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ º ÌÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ù ØÖÓ ØÓ× ÙÝÓ× ØÓ× ×ÙÑ Ò × × Ö Ò Ò ÓÖ Ò × Ò ÒØ º ú Ò ÕÙ ÐÙ Ö ×Ø × Ù Ò ×Ø Ù Ó Ð Ò Ñ ÖÓ ¾¼½½ Ó Ó Ó ½¼ Ó Ó º ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ Ù ØÖÓ Ù Ö Ó× ÒØ Ó× ×¹ ÔÙ ×ØÓ× Ò ÓÖÑ Äº Ë × Ö Ö ÙÒ ÕÙ ÒØÓ Ù Ö Ó ÑÓ Ó ÕÙ × ÓÖÑ ÙÒ ÙÖ ÓÒ ÙÒ × Ñ ØÖ º ú Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × × ÔÙ Ö ×ØÓ ½ ¾ ¿º ÈÖÓ Ð Ñ º Ð Ö Ñ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÙÖ ÓÑÔÙ ×Ø ÔÓÖ ÙÒ Ü ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö Ð Ó ÙÒ ¸ × × ØÖ Ò ÙÐÓ× Ý × × Ù Ö Ó׺ ú Ù Ð × Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ÙÖ 6(1 + √ 2) 6(1 + √ 3 2 ) ½¾ 6 + 3 √ 2 º ÈÖÓ Ð Ñ ½¼º ÍÒ Ó × ÒÓÖÑ Ð × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ò Ô Ö Ö × ÓÔÙ ×Ø × ×ÙÑ Ò º ÌÖ × Ó× ÒÓÖÑ Ð × ×ÓÒ Ô Ð Ó× ÙÒÓ Ò Ñ Ð ÓØÖÓ ÑÓ Ó ÕÙ Ð ×ÙÑ ÔÙÒØÓ× Ò Ù ÐÕÙ Ö Ô Ö Ö × Ò ÓÒØ ØÓ × º ÍÒ Ð × Ö × Ú × Ð × Ð Ó Ò Ö ÓÖ ÑÙ ×ØÖ ÙÒ ÔÙÒØÓº ú Ù ÒØÓ× ÔÙÒØÓ× Ø Ò Ð Ö ×ÙÔ Ö ÓÖ Ð Ó ×ÙÔ Ö ÓÖ ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ½½º Ò ÙÒ Ø ÖÑ Ò Ó Ñ × × ÔÖÓ Ù ÖÓÒ ÐÙÒ ×¸ Ñ ÖØ × Ý Ñ Ö ÓР׺ Ò Ð Ñ × ÒØ Ö ÓÖ Ù Ó × ÐÓ Ù ØÖÓ ÓÑ Ò Ó׺ ÒØÓÒ × Ð ÔÖ Ü ÑÓ Ñ × Ò ÐÙ Ö Ò × Ö Ñ ÒØ ÓÑ Ò Ó× Ñ Ö ÓÐ × Ü Ø Ñ ÒØ Ú ÖÒ × Ü Ø Ñ ÒØ × Ó× Ð × ØÙ Ò × ÑÔÓ× Ð º ÈÖÓ Ð Ñ ½¾º Ó ÕÙ 9n + 9n + 9n = 32011 ¸ ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ Ò ½¼¼ ½¼¼ ¾¼½¼ ¾¼½½ Ò Ò ÙÒÓ ÐÐÓ׺
  • 26.
    ¾¾ ÈÖÙ ÈÖÐ Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½¿º ÌÖ × ÔÓÖØ ×Ø × Ô ÖØ Ô ÖÓÒ Ò ÙÒ ÖÖ Ö Å Ù Ð¸ ÖÒ Ò Ó Ý Ë ×Ø Òº ÁÒÑ Ø Ñ ÒØ ×ÔÙ × Ð ÓÑ ÒÞÓ¸ Å Ù Ð ÔÖ Ñ ÖÓ¸ ÖÒ Ò Ó × ÙÒ Ó Ý Ë ×Ø Ò Ø Ö ÖÓº ÙÖ ÒØ Ð ÖÖ Ö ¸ Å Ù Ð Ý ÖÒ Ò Ó × Ô × ÖÓÒ ÙÒÓ Ð ÓØÖÓ Ú ×¸ ÖÒ Ò Ó Ý Ë ×Ø Ò ÐÓ ÖÓÒ ½¼ Ú ×¸ Ý Å Ù Ð Ý Ë ×Ø Ò ½½º ú Ò ÕÙ ÓÖ Ò Ò Ð Þ ÖÓÒ Ð ÖÖ Ö Å Ù Ð¸ ÖÒ Ò Ó¸ Ë ×Ø Ò ÖÒ Ò Ó¸ Š٠и Ë ×Ø Ò Ë ×Ø Ò¸ Š٠и ÖÒ Ò Ó Ë ×Ø Ò¸ ÖÒ Ò Ó¸ Å Ù Ð ÖÒ Ò Ó¸ Ë ×Ø Ò¸ Š٠к ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ë Ø Ò Ò Ó× Ù Ó× ÓÒ Ð Ó× ÐÓÒ ØÙ × x Ñ Ý x + 1 Ѻ Ð Ù Ó Ö Ò ×Ø ÐÐ ÒÓ Ù Ý Ð Ô ÕÙ Ó ×Ø Ú Óº Ë Ú ÖØ Ù Ð Ù Ó Ö Ò Ò Ð Ù Ó Ô ÕÙ Ó ×Ø ÐÐ Ò ÖÐÓ¸ Ý ÕÙ Ò ¾½ Ð ØÖÓ× Ò Ð Ù Ó Ö Ò º ú Ù ÒØ Ù × Ú ÖØ Ò Ð Ù Ó Ô ÕÙ Ó ¾ ¿ Ð ½¾ Ð ½¾ Ð ½º¿¿½ Ð ¾ к ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÍÒ × Ö ÓÒ Ö Ó ½ ÖÙ ÒØÖÓ ÙÒ Ù ÖÓ Ò Ó Ý Ò Ü Ø Ñ ÒØ º Ä Ú ×Ø Ð Ø Ö Ð Ð Ù ÖÓ Ò Ó × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº úÉÙ Ø Ò ÔÖÓ ÙÒ Ó × Ð ÓÝÓ 25 √ 3 ¼ 30 √ 2 60( √ 3 − 1)º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Ð ÙÒ × Ð × ÙÒ Ù Ö ÙÐ Ð Ò 4 × 4 Ò Ô ÒØ Ö× Ò ÖÓº Ò Ð ÙÖ × Ò ¸ Ð Ð Ó Ð Ó ÓÐÙÑÒ ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ Ð × Ò × Ð Ó ÓÐÙÑÒ ÕÙ Ò Ô ÒØ Ö× Ò ÖÓº ú Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × × ÔÙ Ö ×ØÓ ¾ ¼ ½ ½ ½ ½ ¼ ¾ ¼ ½ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ú Ù Ð × Ð Ñ ÝÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ× ÓÒ× ÙØ ÚÓ× ¿ ØÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ ØÓ ÑÔ Ö ¾¾½ ½½½ ½½¼ ½¼ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ½ º Æ ÓÐ × ÕÙ Ö × Ö Ö Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× Ò Ð × Ð × ÙÒ Ù Ö ÙÐ 3 × 3 Ñ Ò Ö ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò Ù Ö Ó 2 × 2 × Ù Ð ½¼º × Ö ØÓ Ò Ó Ò Ñ ÖÓ׸ ÓÑÓ × ÑÙ ×ØÖ Ò Ð ÙÖ º Ò Ù ÒØÖ Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ù ØÖÓ Ò Ñ ÖÓ× Ö ×Ø ÒØ ×º ¿ ¾ ½ ¼ ½¼ ½¾ ½¿ ½½º
  • 27.
    ½º¿ ÈÖÙ ÙÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾¿ ÈÖÓ Ð Ñ ½ º ÙÖ ÒØ ÙÒ Ú ÑÙÝ ÑÓÚ Ó¸ ÂÙ Ò ØÖ Ø × ÓÞ Ö ÙÒ Ñ Ô ×Ù Ð Ò Ø Ðº Ë Ð × ÖÖ Ð Ô Ö Ù Ö Ð × Ù ØÖÓ ÐР׸ ×Ù× × Ø ÖÙ × Ý Ð × × × ×Ù× Ñ Ó׸ Ô ÖÓ Ò Ö Ð ØÖ × Ð × ÐÐ × ×ÓÒ Ö Ø × Ý × ÐÓ ÙÒ × ÙÖÚ º úÉÙ Ò Ú Ú Ò Ð ÐÐ ÙÖÚ Ò Ú ÖÐ Ò ÖÐ Ú Ä Ò ÓÖÑ Ò × Ò×Ù ÒØ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¼º Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC¸ × Ð ¹ ÙÒ ÔÙÒØÓ D Ò Ð × Ñ ÒØÓ BC¸ Ý ÐÙ Ó × Ð Ð ÔÙÒØÓ E Ò Ð × Ñ ÒØÓ ADº Ë Ó Ø ¹ Ò Ò × Ò ÙÐÓ× ÒÓØ Ó× Ò Ð ÙÖ ÔÓÖ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½¸ ¾¸º º º ¸ º Ò Ù ÒØÖ Ð Ñ Ò ÑÓ Ò Ñ ÖÓ ÔÓ× Ð Ú ÐÓÖ × Ö ÒØ × ÕÙ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ½¸ ¾¸º º º ¸ ÔÓ Ö Ò ØÓÑ Öº ¿ ¾ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾½º Ë Ñ Ò Ø Ò ÙÒ Ù Ó Ú Ö Ó ½ Ñ Ð Ó¸ Ò ÙÝ × Ö × Ô Ú Ö Ó× Ù Ö Ó× ÒØ Ó× Ô Ô Ð Ó× ÙÖÓ¸ ÑÓ Ó ÕÙ Ð Ù Ó × Ú Ù Ð × ØÓ Ó× ÐÓ× Ð Ó× ´Ú Ö ÙÖ µº ú Ù ÒØÓ× Ñ 2 ×ÓÒ Ô Ô Ð Ó× ÙÖÓ ¿ ¸ ½ ¼ ¾¾ ¿¼¼ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾¾º ÄÐ Ñ ÑÓ× ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ó ØÓ× abcde ÒØ Ö × ÒØ × ×Ù× Ö × ×ÓÒ ØÓ × Ö ÒØ × Ý a = b+ c+ d+ eº ú Ù ÒØÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ Ö × ÒØ × Ý ¾ ½ ½ ¾½ ¾ º
  • 28.
    ¾ ÈÖÙ ÈÖÐ Ñ Ò Ö ÈÖÓ Ð Ñ ¾¿º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× x y ×ÓÒ Ñ Ó× Ñ ÝÓÖ × ÕÙ ½º ú Ù Ð Ð × × Ù Ò¹ Ø × Ö ÓÒ × Ø Ò Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ x y + 1 x y − 1 2x 2y + 1 2x 2y − 1 3x 3y + 1 º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÍÒ Ù Ó × ÓÒ×ØÖÙÝ ÓÒ Ô Ô Ð ÔÐ Ó ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ð ÙÖ º ÈÓÖ Ð ×ÙÔ Ö Ð Ù Ó × ØÖ Þ ÙÒ Ð Ò Ó× ÙÖ ÕÙ Ú Ð ×ÙÔ Ö Ð Ù Ó Ò Ó× Ô ÖØ × ÒØ ×º ú ÑÓ ÕÙ Ð Ô Ô Ð ×ÔÙ × ÕÙ Ð Ù Ó × × Ó Ð º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ä × Ù ÒØ ÙÖ × ÓÑÔÓÒ Ó× Ö Ø Ò ÙÐÓ׺ Ä × ÐÓÒ ØÙ × Ó× Ð Ó× ×Ø Ò Ñ Ö × ½½ Ý ½¿º Ä ÙÖ × ÓÖØ Ò ØÖ × Ô ÖØ × Ý Ð × Ô ÖØ × × Ö ÓÖ Ò Þ Ò Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ú Ù Ð × Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó x ¼ ¿ ¿ ¿ ¿ º
  • 29.
    ½º¿ ÈÖÙ ÙÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾ ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ú Ù ÒØÓ× Ô Ö × ÓÖ Ò Ó× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × (x, y) × Ø × Ò Ð Ù Ò 1 x + 1 y = 1 3 ¼ ½ ¾ ¿ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º È Ö ÙÒ ÒØ ÖÓ n ≥ 2 ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ n Ð Ñ ÝÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÔÖ ÑÓ ÕÙ ÒÓ Ü nº ú Ù ÒØÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× k × Ø × Ò Ð Ù Ò k + 1 + k + 2 = 2k + 3 ¼ Ñ × ¿ ¾ ¿ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º Ð Ð ÑÔ Ú Ö Ó× ØÖ × ÖÓ ÙÒ ÖÖÓ ×Ø ÓÒ×ØÖÙ Ó Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ð × Ó ÐÐ w Ý Ð Ö ÞÓ r Ø Ò Ò Ù Ð ÐÓÒ ØÙ Ý Ò Ð ÔÙÒØÓ ÙÒ Ò ÓÖÑ Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ αº Ð Ð ÑÔ Ú Ö Ó× Ô ÚÓØ Ò Ð ÒØÖÓ C Ý Ð ÑÔ Ð Ö ÕÙ × Ú Ò Ð ÙÖ º Ø ÖÑ Ò Ð Ò ÙÐÓ β ´ Ò Ö Ò ×µ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ð Ó Ö ØÓ Ö Ó Ð Ö Ð ÑÔ ÓÒ Ð Ø Ò ÒØ º 3π−α 2 π − α 2 3π 2 − α π 2 + α π + α 2 º ÈÖÓ Ð Ñ ¾ º ÄÓ× ÖÑ ÒÓ× Ò Ö × Ý ÖÙÒÓ ÖÓÒ Ö ×ÔÙ ×Ø × Ú Ö Ö × Ð ÔÖ ÙÒØ Ù ÒØÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ø Ò ×Ù ÐÙ × ÓÐ Ö Ö Þº Ò Ö × Ó ÌÓ Ó× ÐÓ× Ñ Ñ ÖÓ× ÒÙ ×ØÖÓ ÐÙ ¸ Ü ÔØÓ Ò Ó¸ ×ÓÒ Ú ÖÓÒ × º ÖÙÒÓ Ó Ò Ù ÐÕÙ Ö ÖÙÔÓ × × Ñ Ñ ÖÓ× Ð ÐÙ ¸ Ð Ñ ÒÓ× Ù ØÖÓ ×ÓÒ Ò × º ú Ù ÒØÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ø Ò Ð ÐÙ ½ ½¾ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿¼º ú Ù ÒØ × Ù Ø ÖÒ × Ö ×Ø × ÙÒ Ù Ó ÔÓ× Ò Ð ÔÖÓÔ ÕÙ Ò Ò Ò Ô Ö Ö ×Ø × Ð Ù Ø ÖÒ Ø Ò Ú ÖØ × ÓÑÙÒ × ½¾ ½ º
  • 30.
    ¾ ÈÖÙ ÈÖÐ Ñ Ò Ö ½º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¿ Ø Ö Ö Ó¸ Ô Ò ½ º ¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ö Ð ØÖ Ô Ó × Ð ÔÖÓ Ù ØÓ Ð × Ñ ×ÙÑ Ð × × × ÔÓÖ Ð ÐØÙÖ º È ÖÓ Ð × Ñ ×ÙÑ Ð × × × × Ù Ð Ð Ð Ó Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ¸ Ý Ð ÐØÙÖ Ð ØÖ Ô Ó × Ð Ó Ð Ð Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö Ð ØÖ Ô Ó × Ð Ó Ð Ð Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ¸ × Ö ¾ Ñ 2 º ¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº È Ö Ú ÖÐÓ ×Ø Ð ÙÐ Ö S1 = 38¸ S2 = 29¸ S3 = 20 Ý ×Ù×Ø ØÙ Ö ×ØÓ× Ú ÐÓÖ × Ò Ð × ÜÔÖ × ÓÒ × ×º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ð ×ÙÑ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ÐÓ× ÜØÖ ÑÓ× × Ñ ÒØÓ × S¸ Ð Ö ÓÖÖ Ö ÙÒ Ñ ÒÓ Ô ÖØ Ò Ó Ð Ú ÖØ Ñ Ö Ó ÓÒ ½ × Ú Ò Ò ÓÒØÖ Ò Ó Ú ÖØ × ÓÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× S − 1 Ý ½¸ ÐØ ÖÒ Ñ ÒØ º ÓÑÓ Ð Ú ÖØ Ñ Ö Ó ÓÒ x × ÐÐ ØÖ Ú × Ò Ó × Ñ ÒØÓ׸ × Ð ÖÓ ÕÙ x = 1º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ð Ó ÒØ × q Ý Ð Ú ×ÓÖ d¸ ÔÓÖ Ð Ð ÓÖ ØÑÔ Ð Ú × Ò × Ø Ò Ö 2011 = qd + 1011¸ ÓÒ qd = 1000 Ý d ≤ 1000º È ÖÓ ÒØÓÒ × Ð Ö ×ØÓ ½¼½½ × Ö Ñ ÝÓÖ ÕÙ Ð Ú ×ÓÖ¸ ÐÓ ÕÙ × ×ÙÖ Óº º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ð ÕÒ Ó Ð Ó× × x Ѹ ÒØÓÒ × 360 = 24 · 5 · x = 120x¸ ÓÒ x = 3 Ý Ð Ö Ð Ó× × Ñ 2 º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ × × Ö Ò ×ÓÒ ¼¼¼¸ ¿½¼¼¸ ¿¼½¼¸ ¿¼¼½¸ ¾¾¼¼¸ ¾½½¼¸ ¾½¼½¸ ¾¼¾¼¸ ¾¼½½¸ Ø º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½¼ Ø Ö Ö Ó¸ Ô Ò ½ º º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÒØ ÖÒÓ× Ð Ü ÓÒÓ ×ÓÒ ½¾¼ ◦ ¸ Ð Ò ÙÐÓ ØÖ Ò ÙÐÓ Ò Ð Ú ÖØ ÓÑ Ò ÓÒ Ð Ü ÓÒÓ × 360◦ − 120◦ − 90◦ − 90◦ = 60◦ ¸ Ý ÓÑÓ ×ÓÒ × × Ð × Ö ×ÙÐØ Ò Ø Ñ Ò ÕÙ Ð Ø ÖÓ× ´ Ð Ó ½µº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ð ÙÖ × ½¾º ½¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ ÔÖ Ñ ÖÓ Ý × ÙÒ Ó Ó׸ Ô Ò º ½½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº È Ö Ø Ò Ö ÐÙÒ ×¸ Ñ ÖØ × Ý Ñ Ö ÓÐ × Ð Ñ × ÓÑ ÒÞ Ö Ò ÐÙÒ × Ý Ø Ò Ö ¿½ ׺ Ð Ñ × ÒØ Ö ÓÖ Ò Ð Þ Ò ÓÑ Ò Ó¸ Ý ÓÑÓ × ÐÓ ØÙÚÓ ÓÑ Ò Ó× Ø Ò Ö ¾ ׸ × Ö ÕÙ Ù Ö ÖÓº Ð Ñ × × Ù ÒØ Ù ÒØÓÒ × Ö Ð¸ ÕÙ Ø Ò ¿¼ ׸ Ý ÓÑ ÒÞ Ò Ù Ú ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ØÙÚÓ Ù Ú ×¸ Ú ÖÒ × Ý ÙÒÓ ÐÓ× Ñ × × Ð × Ñ Ò º Ä Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ÓÑÔ Ø Ð ÓÒ ×Ø × ØÙ Ò × Ð ´ µº ½¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº 9n + 9n + 9n = 3 · 9n = 3 · (32 )n = 3 · 32n = 32n+1 = 32011 º Á Ù Ð Ò Ó ÐÓ× ÜÔÓÒ ÒØ × 2n + 1 = 2011 Ö ×ÙÐØ n = 1005º
  • 31.
    ½º¿ ÈÖÙ ÙÖØÓ Ó Ý ÉÙ ÒØÓ Ó ¾ ½¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ÖÒ Ò Ó Ý Ë ×Ø Ò × Ô × ÖÓÒ ÙÒÓ Ð ÓØÖÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ô Ö Ú ×¸ ÕÙ ÖÓÒ Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÓÖ Ò Ö Ð Ø ÚÓ Ò ÕÙ ×Ø Ò¸ × Ö ÖÒ Ò Ó Ð ÒØ Ë ×Ø Òº Ò Ñ Ó Å Ù Ð Ý ÖÒ Ò Ó × Ô × ÖÓÒ ÙÒÓ Ð ÓØÖÓ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÑÔ Ö Ú ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÕÙ ÖÓÒ Ò ÙÒ ÓÖ Ò Ö ÒØ Ð Ò Ð¸ × Ö ÖÒ Ò Ó Ð ÒØ Å Ù Ðº Ð Ñ ×ÑÓ ÑÓ Ó Å Ù Ð Ý Ë ×Ø Ò ÕÙ ÖÓÒ Ò ÙÒ ÓÖ Ò Ö ÒØ Ð Ò Ð¸ × Ö Ë ×Ø Ò Ð ÒØ Å Ù Ðº Ò ÓÒ ÐÙ× Ò¸ Ø ÖÑ Ò ÖÓÒ Ò Ð ÓÖ Ò ÖÒ Ò Ó¸ Ë ×Ø Ò¸ Š٠к ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë Ø Ò (x + 1)3 − x3 = 217¸ ÓÒ 3x2 + 3x − 216 = 0¸ x2 + x − 72 = 0¸ ÙÝ Ò Ö Þ ÔÓ× Ø Ú × º ÄÙ Ó Ð ÚÓÐÙÑ Ò Ð Ù Ó Ô ÕÙ Ó × 83 = 512 Ð ØÖÓ׺ ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ö Ó Ð × Ö × Ð Ø Ö Ö Ô ÖØ Ð ÐØÙÖ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ¸ ÐÙ Ó ×Ø × º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ×ÓÒ ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µ¸ ½½¸ Ý × ÐÓ Ö ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÓÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× × Ð ¾ ×Ø Ð ¿ º ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ë x × ÙÒÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÕÙ ÐØ Ò¸ ÐÓ× Ö ×Ø ÒØ × ×ÓÒ 7 − x¸ 8 − x Ý x − 3 ´Ú Ö ÙÖ µº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ×ÙÑ Ô × x+(7−x)+(8−x)+(x−3) = 12º ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ÒØ ¸ × Ð ×ÙÑ Ô × S¸ ×ÙÑ Ò Ó ÐÓ× Ù Ö Ó× 2 × 2 × Ó Ø Ò 40 = 1 + 4 + 3 + 0 + 4 × 2 + 2S¸ × Ö 24 = 2S¸ ÓÒ S = 12º ¿ ¾ ½ ¼x 7 − x 8 − x x − 3 ½ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ó× ÐÐ × Ö Ø × ÔÙ Ò Ø Ò Ö ÐÓ ×ÙÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Òº ÓÑÓ Ð × ÐÐ × Ò Ý Ú × ÓÖØ Ò Ó× Ú ×¸ ÙÒ ÐÐ × × Ö ÙÖÚ º È ÖÓ Ð × ÐÐ × Ý Ú Ø Ñ Ò × ÓÖØ Ò Ó× Ú ×¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÙÒ ÐÐ × × Ö ÙÖÚ º Ë ÓÒ ÐÙÝ ÕÙ Ð ÐÐ ÙÖÚ × Ð Ú º ¾¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÓÑÓ ∠4 = ∠1 + ∠2 Ý ∠7 = ∠4 + ∠5¸ Ö Ð Ñ ÒÓ× ØÖ × Ò ÙÐÓ× Ö ÒØ ×º ×Ø Ñ Ò ÑÓ × Ð ÒÞ × ∠1 = ∠2 = ∠5 = ∠8 = ∠9 = 36◦ ¸ ÔÙ × Ò × ×Ó ∠3 = 108◦ ¸ ∠4 = ∠6 = 72◦ Ý ∠7 = 108◦ º ¾½º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä ×ÙÔ Ö Ð Ø Ö Ð ØÓØ Ð × ¼¼ Ñ 2 ¸ Ð Ù Ð 3/8 ×Ø Ò Ù ÖØÓ× ÔÓÖ Ô Ô Ð Ó× ÙÖÓ¸ × Ö ¾¾ Ñ 2 º
  • 32.
    ¾ ÈÖÙ ÈÖÐ Ñ Ò Ö ¾¾º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÄÓ× ØÓ× bcde Ò × Ö ÙÒ Ô ÖÑÙØ Ò ¼½¾¿¸ ¼½¾ ¸ ¼½¾ ¸ ¼½¾ ¸ ¼½¿ ¸ ¼½¿ Ó ¼¾¿ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × 7 · 4! = 7 · 24 = 168º ¾¿º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ä × ÜÔÖ × ÓÒ × × ÔÙ Ò × Ö Ö× ÓÑÓ A = x y + 1 ¸ B = x y − 1 ¸ C = x y + 1 2 ¸ D = x y − 1 2 ¸ E = x y + 1 3 ¸ ÓÒ ÐÓ Ù Ð Ö ×ÙÐØ Ð ÖÓ ÕÙ A < C < E < D < Bº ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾¼ Ø Ö Ö Ó¸ Ô Ò ½ º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Î Ö ÜÔÐ Ò Ô Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ Ø Ö Ö Ó¸ Ô Ò ½ º ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº ÅÙÐØ ÔÐ Ò Ó ÔÓÖ 3xy × Ú ÕÙ Ð Ù Ò × ÕÙ Ú Ð ÒØ 3x+ 3y = xy¸ ÕÙ ×Ù Ú Þ × ÔÙ × Ö Ö ÓÑÓ (x− 3)(y − 3) = 9¸ ÓÒ × Ó Ø Ò Ò Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × ´ ¸½¾µ¸ ´ ¸ µ Ý ´½¾¸ µº ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº È Ö k = 1 × ÙÑÔÐ 2 + 3 = 5 º Ë k > 1¸ Ð Ñ Ñ ÖÓ ÞÕÙ Ö Ó Ð Ù Ò × Ð ×ÙÑ Ó× ÔÖ ÑÓ× Ñ ÝÓÖ × ÕÙ ¾¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × Ô Ö ÔÓÖ × Ö Ð ×ÙÑ Ó× ÑÔ Ö ×¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ Ð Ñ Ñ ÖÓ Ö Ó × ÑÔ Öº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ k = 1 × Ð Ò ×ÓÐÙ Òº ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð Ò ÙÐÓ β × Ð ×ÙÑ ÙÒ Ö ØÓ Ý ÙÒ Ò ÙÐÓ ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × × Ð × ÓÒ Ò ÙÐÓ Ð Ú ÖØ α¸ × Ö π 2 + π − α 2 = π − α 2 . ¾ º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº Ð ÐÙ Ø Ò Ò Ó Ò × Ý Ð Ñ ÒÓ× Ó× Ú ÖÓÒ × ´ Ò Ö × Ý ÖÙÒÓµº È ÖÓ ÒÓ ÔÙ Ö Ñ × Ú ÖÓÒ ×¸ ÔÙ × ÒØÓÒ × × ÔÓ Ö ÓÖÑ Ö ÙÒ ÖÙÔÓ × × ÓÒ ØÖ × Ò × Ý ØÖ × Ú ÖÓÒ ×º ¿¼º Ä Ö ×ÔÙ ×Ø ÓÖÖ Ø × Ð ´ µº À Ý Ó× Ø ÔÓ× Ù Ø ÖÒ × Ö ×Ø × × ÙÒ¹ Ø × ´½µ Ð × ÓÖÑ × ÔÓÖ Ù ØÖÓ Ö ×Ø × Ô Ö Ð Ð × Ý ´¾µ Ð × ÕÙ Ø Ò Ò Ó× Ö ×Ø × Ô Ö Ð Ð × ÙÒ Ö Ý Ó× Ó× Ö ×Ø × Ô Ö Ð Ð × Ð Ö ÓÔÙ ×Ø ¸ Ô ÖÓ ÓÖØÓ Ó¹ Ò Ð × Ð × Ó× ÔÖ Ñ Ö ×º Ä × Ù Ø ÖÒ × Ð Ø ÔÓ ´½µ ×ÓÒ ¿¸ ÙÒ Ô Ö Ö Ò ÔÓ× Ð º Ä × Ð Ø ÔÓ ´¾µ ×ÓÒ ¸ ÔÙ × Ô Ö Ô Ö Ö × ÓÔÙ ×Ø × × ÔÙ Ò Ð Ö ÐÓ× Ô Ö × Ö ×Ø × ¾ Ñ Ò Ö ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × 3 + 6 = 9º
  • 33.
    Ô ØÙÐÓ ¾ ÈÖÙÊ ÓÒ Ð Ä ÔÖÙ Ö ÓÒ Ð Ð ÇÂÅ ÓÒ×Ø Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ ÕÙ × Ú ÐÓÖ Ò Ò ÙÒ × Ð ½ º ÄÓ× Ô ÖØ Ô ÒØ × ×ÔÓÒ Ò ØÖ × ÓÖ × Ô Ö Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ ¾º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ë 2x = 15 Ý 15y = 32¸ ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ Ð ÔÖÓ Ù ØÓ xy ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ABCD × ÙÒ Ù Ö Ó Ý ABE × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº ú Ù ÒØÓ Ñ Ð Ò ÙÐÓ ∠CED A B CD E ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ë Ø Ò Ò ØÖ × Ò Ñ ÖÓ× ØÖ × ØÓ× ÙÒÓ¸ abc¸ bca Ý cab¸ ÙÝ ×ÙÑ × ¾ º ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ a + b + c
  • 34.
    ¿¼ ÈÖÙ ÊÓÒ Ð ÈÖÓ Ð Ñ º Ð ÔÖÓÑ Ó Ð ÓÒ × ÐÓ× ¿ ×ØÙ ÒØ × ÙÒ ÙÖ×Ó × ½ ¸ º Ë Ð ÔÖÓÑ Ó ÐÓ× Ó× × ½ ¸¾ Ý Ð Ð × × × ½ ¸ ú Ù ÒØ × × Ý Ò Ð Ð × ÈÖÓ Ð Ñ º ÍÒ Ð Ò Ù Ø Ò Ð ØÓ ÁÂÄÅÆÇÈÊËÌÍ ´ ÚÓ Ð × Ô ÖÓ × ÐÓ ½¾ ÓÒ¹ ×ÓÒ ÒØ ×µº Ä × Ô Ð Ö × × ÓÖÑ Ò ÓÒ ØÖ × Ð ØÖ ×¸ × Ò ÕÙ Ô Ö Þ Ò Ó× ÚÓ Ð × Ó Ó× ÓÒ×ÓÒ ÒØ × ÓÒ× ÙØ Ú ×º ÈÓÖ ÑÔÐÓ È Ë¸ ÁÆ ¸ ÄÍÄ Ý ÇÆÇ ×ÓÒ Ô Ð Ö ×¸ Ô ÖÓ ÌÊÁ¸ Ƹ ÅÁ Ý Í ÒÓ ÐÓ ×ÓÒº ´ µ ú Ù ÒØ × Ô Ð Ö × Ý Ò × Ð Ò Ù ´ µ Ë × × Ö ÙÒ ÓÒ Ö Ó × Ð Ò Ù Ò Ó× ØÓÑÓ׸ Ò ÓÖ Ò Ð Ø Ó Ý Ñ Ò Ö ÕÙ ØÓÑÓ ÓÒØ Ò Ð Ñ ×Ñ ÒØ Ô Ð Ö ×¸ ú Ù Ð × Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ð Ö Ð × ÙÒ Ó ØÓÑÓ ¾º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º 2xy = (2x )y = 15y = 32¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ xy = 5º ¾º ∠EAD = ∠BAD − ∠BAE = 90◦ − 60◦ = 30◦ º ÓÑÓ EA = AB = AD Ð ØÖ Ò ÙÐÓ EAD × × × Ð × Ý ∠ADE = (180◦ − ∠EAD)/2 = 75◦ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠EDC = 15◦ Ý Ó Ú Ñ ÒØ Ø Ñ Ò ∠ECD = 15◦ ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠CED = 180◦ − 15◦ − 15◦ = 150◦ º ¿º Ä ×ÙÑ ÐÓ× ØÖ × Ò Ñ ÖÓ× × (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) = (100 + 10 + 1)(a + b + c), ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 111(a + b + c) = 2664 Ý a + b + c = 2664/111 = 24º º Ë x Ð Ò Ñ ÖÓ ×º ÒØÓÒ × 35 · 15,75 = 14,25(35 − x) + 18x, ÓÒ 35(15,75 − 14,25) = (18 − 14,25)x = 3,75x, x = 35 · 1,5 3,75 = 14. À Ý ½ ׺ º ´ µ 5 · 12 · 5 + 12 · 5 · 12 = 300 + 720 = 1020º ´ µ È Ö Ð ØÖ Ý ¼ Ô Ð Ö × ÕÙ ÓÑ ÒÞ Ò ÔÓÖ ÐÐ ¸ Ý ÓÑÓ Ð Ð ØÖ Ð Ñ Ó × Ð Ä¸ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × Ö Ð Ô Ð Ö ¿½ ÕÙ ÓÑ Ò ÓÒ Äº À Ý ½¾ Ô Ð Ö × ÕÙ ÓÑ ÒÞ Ò ÓÒ Ä ¸ ÓÒ Ä Ý ÓÒ Ä º Ä × Ô Ð Ö ÕÙ × Ù Ò ×ÓÒ Ä ¸ Ä ¸ Ä ¸ Ä ¸ Ä Â¸ Ä Ä¸ Ä Å¸ Ä Æ Ý Ä È¸ ÕÙ × Ð Ö ×ÔÙ ×Ø º
  • 35.
    ¾º¾ ÈÖÙ ËÙÒ Ó Ó ¿½ ¾º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ½¸ ¾¸ Ý × ÙÒ Ó Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÔÖ Ñ Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¾ µº Ä × ÔÖÙ × × ÐÓ × Ö Ò Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¿¸ ÕÙ × ÒÙÒ ÓÒØ ÒÙ Òº ÈÖÓ Ð Ñ ¿º µ ú Ù Ð × Ð ØÓ Ð × ÙÒ × 32011 + 52011 ´ µ Ð Ò Ñ ÖÓ 32011 + 52011 ¸ úÔÙ × Ö ÙÒ Ù Ö Ó Ô Ö ØÓ ¾º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ½¸ ¾¸ Ý × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Ô Ò ¿¼º ¿º ´ µ Ä × ÔÓØ Ò × ¿ Ø ÖÑ Ò Ò ×Ù × Ú Ñ ÒØ Ò ¿¸ ¸ ¸ ½¸ ¿¸ ¸ ¸ ½¸º º º Ä Ô Ö Ó Ô ÖÑ Ø ÖÑ Ö ÕÙ 32011 Ø ÖÑ Ò Ò º × Ð ÖÓ ÕÙ 52011 ´ ÓÑÓ ØÓ × Ð × ÔÓØ Ò × µ Ø ÖÑ Ò Ò º ´ µ ÓÑÓ 32011 Ø ÖÑ Ò Ò Ý 52011 Ø ÖÑ Ò Ò ¸ Ð ×ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ò ¾º È ÖÓ ÐÓ× Ù Ö Ó× Ô Ö ØÓ× × ÐÓ ÔÙ Ò Ø ÖÑ Ò Ö Ò ¼¸ ½¸ ¸ ¸ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 32011 + 52011 ÒÓ × ÙÒ Ù Ö Ó Ô Ö ØÓº ¾º¿º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½ Ð ÙÐ Ð Ö Ð Ü ÓÒÓ Ð ÙÖ ¸ × Ò Ó ÕÙ Ð Ð Ó Ð Ù Ö ÙÐ Ñ ½ Ѻ 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Á ÒØ Ó Ð ÈÖÓ Ð Ñ ¿ Ë ÙÒ Ó Ó ´Ú Ö Ñ × ÖÖ µº ÈÖÓ Ð Ñ ¿ ÍÒ Ø Ð ÖÓ Ù Ö Ó 4×4 Ø Ò Ù ØÖÓ ×Ù Ø Ð ÖÓ× 3×3 ´ Ò Ð ÙÖ × ÑÙ ×ØÖ ÙÒÓ ÐÐÓ× Ð Ñ Ø Ó ÔÓÖ Ð Ð Ò ÖÙ × µº ´ µ ÅÙ ×ØÖ ÑÓ Ñ Ö Ö Ð × ½ × ÐÐ × Ð Ø Ð ÖÓ Ñ Ò Ö ÕÙ ×Ù Ø Ð ÖÓ 3 × 3 ÓÒØ Ò Ü Ø Ñ ÒØ × ÐÐ × Ñ Ö ×º ´ µ ÅÙ ×ØÖ ÑÓ Ñ Ö Ö Ð × ½ × ÐÐ × Ð Ø Ð ÖÓ Ñ Ò Ö ÕÙ ×Ù Ø Ð ÖÓ 3 × 3 ÓÒØ Ò Ü Ø Ñ ÒØ × ÐÐ × Ñ Ö ×º
  • 36.
    ¿¾ ÈÖÙ ÊÓÒ Ð ´ µ ú × ÔÓ× Ð Ñ Ö Ö Ð × ½ × ÐÐ × Ð Ø Ð ÖÓ Ñ Ò Ö ÕÙ ×Ù Ø ¹ Ð ÖÓ 3 × 3 ÓÒØ Ò Ü Ø Ñ ÒØ × ÐÐ × Ñ Ö × ÂÙ×Ø ÕÙ ×Ù Ö ×ÔÙ ×Ø º ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒØ ÒÙ Ò × ÑÙ ×ØÖ Ò Ó× ÐÓ× × × ØÓ× ÙÒ Ø Ö Ø Ö ØÓ ¿ Ë Ò Ó ÕÙ Ð ×ÙÑ Ù Ð ×ÕÙ Ö ØÖ × ØÓ× ÓÒ× ÙØ ÚÓ× × ½ ¸ úÔÙ Óѹ ÔÐ Ø Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÈÖÓ Ð Ñ º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × k Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × Ð × Ó× Ö × x2 − 30x + k = 0 ×ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× ÔÖ ÑÓ׺ ¾º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Ð Ü ÓÒÓ ×Ø ÒØÖÓ ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ Ð Ó× Ý Ý Ö ¾¼º Ä Ö Ò ÒØÖ Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ Ý Ð Ü ÓÒÓ ÓÒ ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö × ¾¸ 3 2 ¸ 3 2 ¸ ¿ Ý ½¸ ÕÙ ×ÙÑ Ò Ñ 2 º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö Ð Ü ÓÒÓ × 20 − 9 = 11 Ñ 2 º ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓÖ Ð Ø ÓÖ Ñ È Ð Ö × 8 + 8 2 − 1 = 11 Ñ 2 º ¾º Î Ö ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ Ì Ö Ö Ó Ô º ¿½º ¿º ´ µ À Ý Ú Ö × Ñ Ò Ö × ÖÐÓº ÓÒØ ÒÙ Ò × ÑÙ ×ØÖ Ò Ó× ÐÐ × ´ µ À Ý Ó× Ñ Ò Ö × ÖÐÓ ´ µ × ÑÔÓ× Ð ¸ Ý ÕÙ Ö Ö Ó× × ÐÐ × × Ò Ñ Ö Ö Ò ×Ù Ø Ð ÖÓ 3 × 3¸ Ô ÖÓ ÓÑÓ ×Ù Ø Ð ÖÓ Ø Ò ×ÓÐ Ñ ÒØ ÙÒ × ÐÐ ÕÙ ÒÓ Ô ÖØ Ò
  • 37.
    ¾º ÈÖÙ ÙÖØÓ Ó ¿¿ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÓØÖÓ× ØÖ × ´Ð Ð ×ÕÙ Ò µ × × × ÐÐ × ÒÓ ÔÙ Ò × Ö ØÓ × Ö ÒØ ×¸ Ý Ð Ø Ð ÖÓ Ø Ò Ö Ñ ÒÓ× × ÐÐ × × Ò Ñ Ö Öº º ÄÓ× Ó× ØÓ× Ð Ö Ð Ò ×ÙÑ Ö ¸ ÐÙ Ó Ð Ô Ò ÐØ ÑÓ Ò Ñ ÖÓ × º ÈÓÖ Ð Ñ ×Ñ Ö Þ Ò Ò Ð × ÔÓ× ÓÒ × ¸ Ý ¿ Ú Ð ¿ ÓÖ × Ú ÕÙ Ò Ð × ÙÒ × ÐÐ Ú Ð Ý Ò Ð ÔÖ Ñ Ö Ð ¿º Ð Ö ×ØÓ × ÓÑÔÐ Ø ÐÑ ÒØ ÞÕÙ Ö Ö ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ º Ä ×ÙÑ Ð × Ö × × Ö ¿¼ Ý ×Ù ÔÖÓ Ù ØÓ kº ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö × ÓÑÔÓ× Ò ¿¼ ÓÑÓ ×ÙÑ Ó× ÔÖ ÑÓ× p Ý q¸ × Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÙ Ò k = pqº Ä × × ÓÑÔÓ× ÓÒ × Ú Ð × ×ÓÒ 7+23 = 11+19 = 13+17¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ù× Ó× k ×ÓÒ 7 · 23 = 161¸ 11 · 19 = 209 Ý 13 · 17 = 221º ¾º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º Á ÒØ Ó Ð ÈÖÓ Ð Ñ Ì Ö Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¿¾µº ÈÖÓ Ð Ñ ¾º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× n¸ 1 ≤ n ≤ 8¸ Ø Ð × ÕÙ × ÔÓ× Ð Ñ Ö Ö Ð ÙÒ × × ÐÐ × Ò ÙÒ Ø Ð ÖÓ 5×5 ÑÓ Ó Ø Ð ÕÙ Ý Ü Ø Ñ ÒØ n × ÐÐ × Ñ Ö × Ò Ù Ö Ó 3 × 3º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × k Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × Ð × Ó× Ö × x2 − 30x + k = 0 ×ÓÒ Ò Ñ ÖÓ× ÔÖ ÑÓ׺ ÈÖÓ Ð Ñ À ÐÐ Ð Ö Ð Ù Ö Ð Ø ÖÓ ABCD¸ × Ò Ó ÕÙ AB = BC¸ ∠ABC = ∠ADC = ∠BED = 90◦ Ý BE = 5º A B C DE ÈÖÓ Ð Ñ º ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ØÙÖ Ð × Ô Ù Ö Ó × × ÙÒ Ù Ö Ó Ô Ö ØÓ Ý Ñ × × Ð Ù Ð Ö ÞÕÙ Ö ÕÙ ÞÕÙ Ö Ö º ÈÓÖ ÑÔÐÓ 484 = 222 × ÙÒ Ô Ù Ö Ó ¿ Ö ×º µ × Ö Ð Ñ ÒÓ× ØÖ × Ô Ù Ö Ó× Ö ×º µ ú Ü ×Ø Ò Ô Ù Ö Ó× Ö ×
  • 38.
    ¿ ÈÖÙ ÊÓÒ Ð ¾º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Î Ö Ô Ò ¿¿º ¾º × ÔÓ× Ð Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× × Ð ½ ×Ø Ð ¸ ÓÑÓ ÑÙ ×ØÖ Ò ÐÓ× × Ù ÒØ × Ö Ñ × n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 ¿º Ä ×ÙÑ Ð × Ö × × Ö ¿¼ Ý ×Ù ÔÖÓ Ù ØÓ kº ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö × ÓÑÔÓ× Ò ¿¼ ÓÑÓ ×ÙÑ Ó× ÔÖ ÑÓ× p Ý q¸ × Ø Ò ÙÒ ×ÓÐÙ Ò k = pqº Ä × × ÓÑÔÓ× ÓÒ × Ú Ð × ×ÓÒ 7+23 = 11+19 = 13+17¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ× Ú ÐÓÖ × Ù× Ó× k ×ÓÒ 7 · 23 = 161¸ 11 · 19 = 209 Ý 13 · 17 = 221º º ÌÖ ÑÓ× ÔÓÖ B Ð Ô Ö Ð Ð AD ×Ø ÓÖØ Ö Ò F Ð ÔÖÓÐÓÒ Ò DCº ÄÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× Ö Ø Ò ÙÐÓ× ABE Ý CBF ×ÓÒ ÓÒ ÖÙ ÒØ × ÔÓÖ Ø Ò Ö AB = BC Ý ∠ABE = ∠CBF¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ BF = BE = 5 Ý Ö ´ABCD) = Ö ´EBFD) = 25º A B C DE F º µ × Ö ÞÓÒ Ð ÔÖÓ Ö ÓÒ Ð Ù Ö Ó ÙÒ Ô ØÖ × Ö × Ô ÕÙ × ´Ô Ö Ú Ø Ö ÖÖ Ó×µ¸ × × Ó Ø Ò Ò 1012 = 10201¸ 1112 = 12321¸ 1212 = 14641¸ 2022 = 40804 Ý 2122 = 44944º À Ý ÓØÖÓ Ñ × Ð ÐÐ Ö 3072 = 94249º
  • 39.
    ¾º ÈÖÙ ÉÙÒØÓ Ó ¿ µ ÆÓ Ýº ÍÒ Ô Ù Ö Ó n Ö × × Ö Ð ÓÖÑ abba¸ × Ö n = 1000a+ 100b+10b+a = 1001a+ 110b = 11(91a+ 10b)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ ½½º Ë n = k2 ¸ ÒØÓÒ × k × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ ½½º Ë k = 11r ÒØÓÒ × n = (11r)2 = 121r2 º È Ö ÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ Ó × Ö × r × Ö Ð Ñ ÒÓ× ¿ Ý ÐÓ ×ÙÑÓ ¸ Ô ÖÓ Ò Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× 121r2 ÓÒ 3 ≤ r ≤ 9 ´ × Ö ½¼ ¸ ½ ¿ ¸ ¿¼¾ ¸ ¿ ¸ ¾ ¸ Ý ¼½µ × Ô ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø × Ø Ú º ¾º º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ ÕÙ ÒØÓ Ó × Ð Ñ ×ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¿¾µº ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾ Ý ¿ ÕÙ ÒØÓ Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾ Ý ¿ Ù ÖØÓ Ó ´Ú Ö Ô º ¿¿µº ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ Ý × ÒÙÒ Ò ÓÒØ ÒÙ Òº ÈÖÓ Ð Ñ Ð Ü ÓÒÓ ABCDEF ×Ø Ö ÙÒ× Ö ÔØÓ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ´ × Ö ÕÙ ØÓ Ó× ×Ù× Ð Ó× ×ÓÒ Ø Ò ÒØ × Ð Ö ÙÒ Ö Ò µº Ë Ð × ÐÓÒ ØÙ × ÐÓ× Ð Ó× AB¸ BC¸ CD¸ DE Ý EF ×ÓÒ ¸ ¸ ¸ Ý Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ú Ù Ð × Ð ÐÓÒ ØÙ Ð Ð Ó FA A B C DE F ÈÖÓ Ð Ñ º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × n Ø Ð × ÕÙ Ð ×ÙÑ ØÓ Ó× ×Ù× Ú ×ÓÖ × ´ Ò ÐÙ Ó× ½ Ý Ð Ñ ×ÑÓ nµ × Ù Ð ½ º ¾º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × Ä ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ô Ò ¿¿º Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾ Ý ¿ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò Ð Ô Ò ¿ º º ÓÑÓ ÐÓ× × Ñ ÒØÓ× Ø Ò ÒØ × ÙÒ ÔÙÒØÓ ÜØ Ö ÓÖ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ×ÓÒ Ù Ð ×¸ × Ø Ò AP = PB¸ BQ = QC¸ CR = RD¸ DS = SE¸ ET = T F FU = UAº ÒØÓÒ × AB − BC + CD − DE + EF − FA = 0¸ Ý ÕÙ Ò Ð ×ÙÑ ÐØ ÖÒ × Ñ ÒØÓ Ø Ò ÒØ × Ò Ð ÓÒ ÓØÖÓ Ù Ðº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ FA = AB − BC + CD − DE + EF = 4 − 5 + 6 − 7 + 8 = 6.
  • 40.
    ¿ ÈÖÙ ÊÓÒ Ð A B C DE F P Q R S T U º Ë pa qb · · · × Ð × ÓÑÔÓ× Ò Ò ØÓÖ × ÔÖ ÑÓ× n ÒØÓÒ × Ð ×ÙÑ ×Ù× Ú ×ÓÖ × × (1 + p + · · · + pa )(1 + q + · · · + qb ) · · · ÄÓ× ØÓÖ × (1+p+· · ·+pa ) ÕÙ ÒÓ ×ÙÔ Ö Ò ½ ×ÓÒ µ ÐÓ× Ð ÓÖÑ (1+p) ÓÒ p < 156 ÔÖ ÑÓ¸ µ 1 + 2 + 22 = 7¸ 1 + 3 + 32 = 13¸ 1 + 5 + 52 = 31¸ 1 + 7 + 72 = 57¸ 1+11+112 = 133¸ µ 1+2+22 +23 = 15¸ 1+3+32 +33 = 40¸ 1+5+52 +53 = 156¸ µ 1+2+22 +23 +24 = 31¸ 1+3+32 +33 +34 = 121¸ µ 1+2+22 +23 +24 +25 = 63¸ µ 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 127º ÓÑÓ 156 = 22 · 3 · 13 Ø Ò ÑÓ× Ð × × Ù ÒØ × ÔÓ× Ð × 156 = 3 · 4 · 13 = (1 + 2)(1 + 3)(1 + 3 + 32 )¸ ÕÙ ÒÓ × ÖÚ ÔÙ × × ×Ø Ö Ô Ø Ò Ó Ð ¿º 156 = 3 · 52¸ 156 = 4 · 39¸ 156 = 6 · 26¸ ÕÙ ÒÓ × ÖÚ Ò ÔÙ × ¾¸ ¿ Ý ¾ ÒÓ ×Ø Ò Ò Ð Ð ×Ø º 156 = 12 · 13 = (1 + 11)(1 + 3 + 32 )¸ ÕÙ ÒÓ× n = 11 · 32 = 99º 156 = 1 + 5 + 52 + 53 ¸ ÕÙ ÒÓ× n = 53 = 125º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ý Ó× ×ÓÐÙ ÓÒ ×¸ Ý ½¾ º
  • 41.
    Ô ØÙÐÓ ¿ ÈÖÙÒ Ð Ä ÔÖÙ Ò Ð Ð ÇÂÅ ¾¼½½ × Ö Ð Þ Ò Ð ÍÒ Ú Ö× Ë Ñ Ò ÓÐ Ú Ö¸ Ð × Ó ½½ ÙÒ Óº Ä ÔÖÙ ÓÒ×Ø Ù ØÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ ÙÒÓ ÐÐÓ× Ú ÐÓÖ Ó Ò ÙÒ × Ð ½ º ÄÓ× Ô ÖØ Ô ÒØ × ×ÔÙ× ÖÓÒ ØÖ × ÓÖ × Ý Ñ Ô Ö Ö ×ÓÐÚ ÖÐÓ׺ ¿º½º ÈÖÙ ÈÖ Ñ Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ë n ÙÒ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ Ý × k Ð ÒØ ÖÓ ÕÙ Ö ×ÙÐØ Ð ÓÖÖ Ö Ð Ö Ð × ÙÒ × n ´ÔÓÖ ÑÔÐÓ¸ × n Ù × ¾ ÒØÓÒ × k × Ö µº Ë n − k = 2011¸ ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ n ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ò Ð ÙÖ Ð Ö ABCD × ÙÒ Ù Ö Ó Ý P × ÙÒ ÔÙÒØÓ ÜØ Ö ÓÖ Ø Ð ÕÙ AP = AC Ý ∠BCP = 17◦ º Ð ÙÐ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ ∠BAPº A B CD P 17◦ ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ë ÓÖÑ ÙÒ Ð Ö Ð ×Ø ØÓ× × Ö Ò Ó ÐÓ× ÒØ ÖÓ× Ð ½ Ð ¾¼½½ ÙÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ò Ð ÓØÖÓ 12345678910111213 . . .200920102011.
  • 42.
    ¿ ÈÖÙ ÒÐ ú Ù ÒØ × Ú × Ô Ö Ð × Ù Ò ½¾ Ò × Ð ×Ø ÈÖÓ Ð Ñ º Ò ÖØÓ ÔÙ ÐÓ¸ 2 3 Ð ØÓØ Ð ÓÑ Ö × ×Ø Ò × Ó× ÓÒ 3 5 Ð ØÓØ Ð ÑÙ Ö ×º Ë ÒÙÒ × × Ò ÓÒ ÓÖ ×Ø ÖÓ׸ ú Ù Ð × Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ô Ö×ÓÒ × ×ÓÐØ Ö × Ö ×Ô ØÓ Ð ÔÓ Ð Ò ØÓØ Ð Ð ÔÙ ÐÓ ÆÓØ ÄÓ ÕÙ × Ô × Ò Ñ ÖÓ Ô Ö×ÓÒ × ×ÓÐØ Ö × Ò Ñ ÖÓ ØÓØ Ð Ô Ö×ÓÒ × º ¿º½º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º × Ð ÖÓ ÕÙ n × Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ö × abcd Ý ÕÙ a × Ö ¾ ´× a = 3 ÒØÓÒ × abcd − abc ≥ 3000 − 399 > 2011¸ Ý × a > 3 ÒØÓÒ × abcd − abc ≥ 4000−999 > 2011µº ÓÖ ÙÑÔÐ Ö× 2bcd−2bc = 2011¸ Ó Ò bcd−2bc = 11¸ ÐÓ ÕÙ × ÐÓ Ö ÓÒ b = 2¸ c = b + 1 = 3 Ý d = c + 1 = 4º ½º ´ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú µº Ë Ð Ö Ð × ÙÒ × n × x ÒØÓÒ × n = 10k+x Ý n − k = 9k + x = 2011º ÓÑÓ 2011 = 9 · 223 + 4¸ Ö ×ÙÐØ x = 4 Ý k = 223º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ n = 10 · 223 + 4 = 2234º ¾º ∠ACP = ∠ACB + ∠BCP = 45◦ + 17◦ = 62◦ º ÓÑÓ ACP × × × Ð ×¸ ∠APC = ∠ACP = 62◦ Ý ∠CAP = 180◦ − 2 · 62◦ = 56◦ º ÒØÓÒ × ∠BAP = ∠CAP − ∠CAB = 56◦ − 45◦ = 11◦ º ¿º Ä × Ù Ò ½¾ ÔÙ Ô Ö Ö ÓÑÓ ÐÓ× Ó× ÐØ ÑÓ× ØÓ× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ½¾¸ ½½¾¸ ¾½¾¸º º º ¸ ½¾¸ ½¼½¾¸ ½½½¾¸º º º ¸ ½ ½¾ ´¾¼ Ú ×µº Ì Ñ Ò ÓÑÓ Ö × Ð × ÒØ Ò × Ý Ð × Ò × ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ½¾¼¸ ½¾½¸ º º º ¸ ½¾ ´½¼ Ú ×µ Ý ½½¾¼¸ ½½¾½¸ º º º ¸ ½½¾ ´½¼ Ú ×µº Ì Ñ Ò ÓÑÓ Ö Ð × ÙÒ × ½¼¼¼ Ý Ö Ð × ÒØ Ò × Ò ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ½¾¼¼¸ ½¾¼½¸º º º ¸ ½¾ ´½¼¼ Ú ×µº Ñ × ÔÙ Ô Ö Ö ÓÑÓ ÐØ Ñ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ý ÔÖ Ñ Ö Ð × Ù ÒØ ¸ Ò ÐÓ× ×Ó× ½ ¾¸ ¾½ ¾¾¸ ¾¼½ ¾¼¾¸ ¾½½ ¾½¾¸ ¾¾½ ¾¾¾¸ ¾¿½ ¾¿¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾¸ ¾ ½ ¾ ¾ Ý ¾¼¼½ ¾¼¼¾ ´½¿ Ú ×µº Ò ØÓØ Ð Ð × Ù Ò ½¾ Ô Ö 10 + 10 + 10 + 10 + 100 + 13 = 153 Ú ×º º Ë Ò h Ð ØÓØ Ð ÓÑ Ö ×¸ m Ð ØÓØ Ð ÑÙ Ö × Ý n = h + m Ð ØÓØ Ð Ø ÒØ × Ð ÔÙ ÐÓº Ä × Ô Ö×ÓÒ × ×ÓÐØ Ö × ×ÓÒ s = (1/3)h + (2/5)mº È ÖÓ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÑ Ö × × Ó× × Ö Ù Ð Ð ÑÙ Ö × × ×¸ × Ö (2/3)h = (3/5)m¸ ÓÒ h = (9/10)mº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ô × s n = 1 3 h + 2 5 m h + m == 3 10 m + 2 5 m 9 10 m + m = 7 10 19 10 = 7 19 .
  • 43.
    ¿º¾ ÈÖÙ ËÙÒ Ó Ó ¿ ¿º¾º ÈÖÙ Ë ÙÒ Ó Ó ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý × ÙÒ Ó Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÔÖ Ñ Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¿ µº Ä × ÔÖÙ × × ÐÓ × Ö Ò Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ò Ð ×ÙÑ ÕÙ × Ú Ð Ö Ð × Ð ØÖ × A¸ B Ý C Ö ÔÖ × ÒØ Ò ØÓ× Ö ÒØ × ÒÓ ÒÙÐÓ׺ ú Ù Ð × Ð Ú ÐÓÖ ÙÒ ÐÐ × ABC + ABC BBA ¿º¾º½º ËÓÐÙ ÓÒ × Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý ¿ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð Ô Ò ¿ º ½º Ð ×ÙÑ Ö Ð ÓÐÙÑÒ Ð Ö ÒÓ× ÑÓ× ÐÐ Ú Ö ÙÒ ¸ ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó Ð Ò Ó Ú ÐÓÖ ÔÓ× Ð Ô Ö B × Ö ¼º Ë ÐÐ Ú ÑÓ× ÙÒ ÒØÓÒ × B = 9 Ý A + A + 1 = B = 9¸ ÓÒ A = 4º Ò ÐÑ ÒØ C + C = 14 × × Ù C = 7º ¿º¿º ÈÖÙ Ì Ö Ö Ó ÈÖÓ Ð Ñ ½º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÓÖÑ Ó× ÔÓÖ ÐÓ× ØÓ× ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸ ¸ Ý ¸ Ò Ð Ò ÓÖ Ò¸ Ø Ð × ÕÙ Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ Ó ÔÓÖ ÐÓ× Ó× ÔÖ Ñ ÖÓ× ØÓ× ´ ÞÕÙ Ö Ö µ × Ú × Ð ÒØÖ ¾¸ Ð ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð × ÙÒ Ó Ý Ð Ø Ö Ö ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ ¿¸ Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ ×Ø ÕÙ Ð ÓÖÑ Ó ÔÓÖ Ð Ó Ø ÚÓ Ý Ð ÒÓÚ ÒÓ ØÓ× × Ú × Ð ÒØÖ º ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ð ÔÖÓÑ Ó Ø Ó ÙÒ × ÓÐ ×Ø × Ð ÙÐ ÓÑÓ Ð Ò Ñ ÖÓ Ø× Ó Ø Ò Ó× Ú Ó ÒØÖ Ð Ò Ñ ÖÓ ØÙÖÒÓ× Ð Ø Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ó ÔÓÖ ½¼¼¼º ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ × Ò ½¼ ØÙÖÒÓ× Ø ¿ Ø׸ Ð ÔÖÓÑ Ó Ø Ó × ¿¼¼º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ò ÖØÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ø ÑÔÓÖ Ð ÔÖÓÑ Ó ÙÒ × ÓÐ ×Ø × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ¾ ¼ Ô ÖÓ ÕÙ Ñ × Ð ÒØ × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾ ¼¸ úÔÙ ÖÑ Ö× ÕÙ Ò Ð Ò ÑÓÑ ÒØÓ Ù Ü Ø Ñ ÒØ ¾ ¼ Ð ÒÚ Ö× ¸ × Ò ÖØÓ ÑÓÑ ÒØÓ Ð ÔÖÓÑ Ó × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾ ¼ Ý Ñ × Ð ÒØ × Ñ ÒÓÖ ÕÙ ¾ ¼¸ ú Ù Ò Ð Ò ÑÓÑ ÒØÓ Ü Ø Ñ ÒØ ¾ ¼ ÈÖÓ Ð Ñ ¿º ÍÒ ÖÖ Ó ÓÐ Ø Ø Ò ÓÖÑ Ù Ö ÙÐ 4 × 7¸ ÓÒ ÙÒ Ù Ö ØÓ Ò ÙÒ ×ÕÙ Ò Ñ Ö Ó ÓÒ º Ò Ö × Ý ÖØ Ù Ò Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö ÙÒÓ Ò ×Ù ØÙÖÒÓ¸ ÓÑ ÒÞ Ò Ó ÔÓÖ Ò¹ Ö ×¸ Ô ÖØ Ö Ð ÖÖ Ò Ó× ÔÓÖ ÙÒ Ð × Ð Ò × Ö Ø × Ð Ù Ö ÙÐ ¸ ÓÑ Ö× Ð ØÖÓÞÓ ÕÙ ÒÓ ÓÒ¹ Ø Ò Ð Ý Ô × ÖÐ ÐÓ ÕÙ ÕÙ Ð ÓØÖÓ Ù ÓÖº
  • 44.
    ¼ ÈÖÙ ÒÐ Ð ÕÙ ÒÓ ÔÙ Ô ÖØ Ö Ð ÖÖ ´ÐÓ ÕÙ Ó ÙÖÖ Ö Ù Ò Ó Ö ×ÓÐ Ñ ÒØ ÙÒ Ù Ö ØÓµ Ô Ö Ð Ù Óº Ø ÖÑ Ò × Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ó× Ù ÓÖ × Ø Ò ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ ¸ Ý ÜÔÐ Õ٠٠Р׺ ÆÓØ ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ × ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ù Ó ÕÙ × ÙÖ Ð Ú ØÓÖ Ð ÕÙ ÐÓ ÔÐ ¸ Ù Ù ÐÓ ÕÙ Ù Ù ×Ù Ú Ö× Ö Óº ÈÖÓ Ð Ñ º Ë Ò ABCD ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ¸ E Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð Ó CD¸ F Ý G ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ð Ó AB Ø Ð × ÕÙ AF = FG = GB¸ H Ý K ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÒØ Ö× Ò Ð ÓÒ Ð AC ÓÒ EF Ý EG¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ´ µ Ð ÙÐ HC AH Ý AK KC º ´ µ Ð ÙÐ HK AC º ´ µ Ð ÙÐ Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ EHK Ö Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ ABCD º ¿º¿º½º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º Ë abcdefghi Ð Ò Ñ ÖÓº È Ö ÕÙ de × Ú × Ð ÒØÖ ¸ Ð ÕÙ ÒØÓ ØÓ e × ÐÓ ÔÙ × Ö º ÓÖ Ô Ö ÕÙ 5f × Ú × Ð ÒØÖ ¸ f × Ö Ô Ö ÕÙ 4g × Ú × Ð ÒØÖ ¸ g × Ö Ô Ö ÕÙ 9h × Ú × Ð ÒØÖ ¸ h × Ö Ý Ô Ö ÕÙ 6i × Ú × Ð ÒØÖ ¸ i × Ö ¿º È Ö ÐÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ× Ù ØÖÓ ØÓ× ÕÙ Ò ½¸ ¾¸ Ý º È Ö ÕÙ cd × Ú × Ð ÒØÖ × Ö d = 2¸ Ý ÕÙ Ò ½ Ò ×ÓÒ Ú × Ð × ÒØÖ º ÒØÓÒ × b × Ö Ð Ô Ö ÕÙ ÒÓ× ÕÙ ¸ × Ö º ÓÖ ÕÙ Ò Ó× ÔÓ× Ð × Ô Ö ÓÑÓ Ö Ð ½ Ý Ð ¸ ÕÙ Ò ÐÙ Ö ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½ ¾ ¿ Ý ½¾ ¿º Ñ Ó× ÙÑÔÐ Ò Ð × ÓÒ ÓÒ × Ý ×ÓÒ Ð × Ò × ×ÓÐÙ ÓÒ ×º ¾º Ë Ò ×Ù ÔÖ Ñ Ö ØÙÖÒÓ ÒÓ Ø ×Ù ÔÖÓÑ Ó × ¼¸ Ý × Ò Ð × ÙÒ Ó ØÙÖÒÓ Ø ÙÒ Ø ×Ù ÔÖÓÑ Ó ×Ù ¼¼¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÔÙ Ô × Ö × Ö Ñ ÒÓÖ ¾ ¼ × Ö Ñ ÝÓÖ ¾ ¼ × Ò ØÓÑ Ö Ð Ú ÐÓÖ ¾ ¼º Ð ÒÚ Ö× Ð × ØÙ Ò × Ö ÒØ º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð ÔÖÓÑ Ó Ô × × Ö Ñ ÝÓÖ × Ö Ñ ÒÓÖ ÕÙ ¾ ¼º Ë Ò Ð ÐØ ÑÓ ØÙÖÒÓ Ò ÕÙ Ö Ñ ÝÓÖ ¾ ¼ Ð Ù ÓÖ Ø Ó h Ø× Ò n ØÙÖÒÓ׸ ÒØÓÒ × 1000h/n > 250¸ Ó 4h > nº Ò Ð ØÙÖÒÓ × Ù ÒØ ÒÓ ÔÙ Ö Ø Ó Ø ÔÙ × Ò × ×Ó ×Ù ÔÖÓÑ Ó ÒÓ ×Ñ ÒÙ Ö ¸ Ý ÕÙ Ô × Ö × Ö 1000(h + 1)/(n + 1) Ý (h + 1)/(n + 1) − h/n = (n − h)/(n(n + 1)) ≥ 0º È ÖÓ × ÒÓ Ø Ø ×Ù ÔÖÓÑ Ó Ô × × Ö 1000h/(n+ 1) ≤ 250º × Ö ÕÙ 4h ≤ n+ 1º ÒØÓÒ × n < 4h ≤ n + 1 Ý ÓÑÓ h Ý n ×ÓÒ ÒØ ÖÓ× × Ö 4h = n + 1 Ý Ð ÔÖÓÑ Ó ÐÐ × Ö Ü Ø Ñ ÒØ ¾ ¼º ¿º Ò Ö × Ø Ò ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ ¸ ÕÙ ÓÒ× ×Ø Ò Ô ÖØ Ö Ð ÖÖ Ò ÓÐ × ÑÔÖ ÙÒ Ù Ö Ó ÖØ º Ò ×Ù ÔÖ Ñ Ö Ù Ð Ö ÙÒ Ù Ö Ó 4 × 4º Ò ÐÓ ×Ù × ÚÓ¸ × ÖØ Ö ÙÒ Ù Ö Ó k × k ÓÒ k > 1¸ Ö Ô ÖØ ÖÐÓ Ò Ó ÙÒ Ö Ø Ò ÙÐÓ k ×h¸ ÓÒ h < k¸ Ð Ù Ð Ò Ö × Ô ÖØ Ö Ò Ó ÙÒ Ù Ö Ó h × hº × Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÖØ Ö Ö ÙÒ Ù Ö Ó 1 × 1 Ý Ô Ö Ö º ¿º ´ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú µº
  • 45.
    ¿º¿ ÈÖÙ ÌÖ Ö Ó ½ º A B CD E F G H K ´ µ ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× HAF Ý HCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò HC AH = EC AF = 1 2 AB 1 3 AB = 3 2 . Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× KAG Ý KCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò AK KC = AG EC = 2 3 AB 1 2 AB = 4 3 . ´ µ ´ µ × × Ù ÕÙ AC AH = AH + HC AH = 1 + 3 2 = 5 2 º Ò ÐÓ Ñ ÒØ AC KC = AK + KC KC = 1 + 4 3 = 7 3 º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ AH AC = 2 5 Ý KC AC = 3 7 ¸ ÓÒ HK AC = 1 − 2 5 − 3 7 = 6 35 . µ [EHK] = 6 35 [EAC] = 6 35 · 1 2 [DAC] = 6 35 · 1 2 · 1 2 [ABCD], × Ö [EHK] [ABCD] = 3 70 .
  • 46.
    ¾ ÈÖÙ ÒÐ ¿º º ÈÖÙ Ù ÖØÓ Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ Ù ÖØÓ Ó × Ù Ð Ð Ø Ö Ö Ó ´Ú Ö Ô º ¿ µº ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ò Ð ÙÖ Ð Ö ABCDE × ÙÒ Ô ÒØ ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö Ý ABFGHIJKLM × ÙÒ ÓÒÓ Ö ÙÐ Öº ´ µ ÈÖÙ ÕÙ D × Ð ÒØÖÓ Ð ÓÒÓ¸ ´ µ Ð ÙÐ Ð Ñ Ð Ò ÙÐÓ ∠DIGº A B C D E F G H IJ K L M ÈÖÓ Ð Ñ ¿º ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ ´½¸ ¾¸ ¿º º º µ × Ô ÒØ Ñ Ö ÐÐÓ¸ ÞÙÐ Ó ÖÓ Ó¸ ÑÓ Ó ÕÙ Ý Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÓÐÓÖº ú × ÔÓ× Ð Ö ×ØÓ Ñ Ò Ö ÕÙ ¸ Ô Ö Ô Ö Ò Ñ ÖÓ× Ö ÒØ ÓÐÓÖ¸ ×Ù ×ÙÑ × Ð ÓÐÓÖ Ö ÒØ Ð Ñ Ó× ×ÙÑ Ò Ó× ÈÖÓ Ð Ñ º ÙÒÓ ÐÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ð Ñ Ð ÄÙ × ØÓÑ ÓÒ Ð Ò Ð × ÝÙÒÓº ÌÓ Ó× ØÓÑ ÖÓÒ Ù Ð ÒØ ¸ ÙÒÕÙ Ð ÔÖÓÔÓÖ Ò Ý Ð Ú Ö Ò Ø Þ º Ë ÄÙ × ØÓÑ ÙÒ Ù ÖØÓ Ð ØÓØ Ð Ð Ð Ý ÙÒ × ÜØÓ Ð ØÓØ Ð Ð ¸ ´ µ ú Ù ÒØÓ× Ñ Ñ ÖÓ× Ý Ò Ð Ñ Ð ÄÙ × ´ µ ú Ò ÔÖÓÑ Ó¸ Ù Ð Ö Ð ÔÓÖ ÒØ Ð Ò Ð ÓÒ Ð ¿º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × Ä ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð Ô Ò ¼º ¾º ´ µ Ð ÒØÖÓ Q Ð Ô ÒØ ÓÒÓ ABCDE × Ð ÒØÖÓ Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÙÒ×¹ Ö ÔØ Ð Ô ÒØ ÓÒÓ¸ ÔÓÖ Ø ÒØÓ ∠AQD = 360◦ /5 = 72◦ º ÓÑÓ ÙÒ Ò ÙÐÓ Ò× Ö ÔØÓ × Ð Ñ Ø Ð ÒØÖ Ð¸ × Ø Ò ∠ADB = 1 2 ∠AQD = 72◦ /2 = 36◦ ´ ×ØÓ × ÔÙ ÔÖÓ Ö ÑÙ × Ñ Ò Ö ×¸ Ð Ó Ñ × Ð Ö × ÕÙ Ð ÒØ Ö ÓÖ¸ ÔÓÖ ÑÔÐÓ ÓÑÓ AED × × × Ð × Ý ∠AED = 108◦ Ö ×ÙÐØ ∠EDA = ∠EAD = (180◦ − 108◦ )/2 = 36◦ Ò ÐÓ Ñ ÒØ ∠BDC = 36◦ Ý ÒØÓÒ × ∠ADB = ∠EDC−∠EDA−∠BDC = 108◦ − 36◦ − 36◦ = 36◦ µº ÓÖ Ò¸ DA = DB ´ ×ØÓ × × Ù Ð × Ñ ØÖ Ð Ô ÒØ ÓÒÓ Ö ÙÐ Ö¸ Ó Ð Ó ÕÙ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× DAE Ý DBC ×ÓÒ Ó Ú Ñ ÒØ ÓÒ ÖÙ ÒØ ×µº ÈÓÖ ÐÓ
  • 47.
    ¿º ÈÖÙ ÙÖØÓ Ó ¿ Ø ÒØÓ D ×Ø Ò Ð Ñ ØÖ Þ AB¸ Ù Ð ÕÙ Ð ÒØÖÓ O Ð ÓÒÓº Ñ × ∠AOB = 360◦ /10 = 36◦ = ∠ADB¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ O = Dº ´ µ ÓÑÓ GDI × × × Ð × Ý ∠GDI = ∠GDH +∠HDI = 36◦ +36◦ = 72◦ ¸ Ö ×ÙÐØ ∠DIG = ∠DGI = (180◦ − 72◦ )/2 = 54◦ º ¿º ÆÓ × ÔÓ× Ð º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÔÓÖ ×ÙÖ Ó ÕÙ Ù Ö ÔÓ× Ð º ÒØÓÒ ×¸ ÙÒ ÓÐÓÖ Ò ÕÙ ÙÑÔÐ Ð ÓÒ Ò¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ó× ×Ó× ´½µ ÉÙ ½ Ý ¾ × Ò ×Ø ÒØÓ ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× ½ Ñ Ö ÐÐÓ Ý ¾ ÞÙк ÒØÓÒ × 3 = 1+2 Ö × Ö ÖÓ Ó Ý 4 = 1 + 3 Ö × Ö ÞÙк È ÖÓ ÓÖ ¸ ÔÓÖ × Ö 1 + 4 Ö × Ö ÖÓ Ó¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ÔÓÖ × Ö 2 + 3 Ö × Ö Ñ Ö ÐÐÓ¸ ×ÙÖ Óº ´¾µ ÉÙ ½ Ý ¾ × Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× Ñ Ö ÐÐÓº Ë n ÙÒ ÒØ ÖÓ ÓØÖÓ ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× ÞÙк ÒØÓÒ × Ø ÒØÓ n + 1 ÓÑÓ n + 2 Ö Ò × Ö ÖÓ Ó׺ È ÖÓ ÔÓÖ × Ö n + 2 = (n + 1) + 1 ´ÖÓ Ó Ñ × Ñ Ö ÐÐÓµ Ö × Ö ÞÙи ×ÙÖ Óº ¿º ´ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú µº ÆÓ × ÔÓ× Ð º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÔÓÖ ×ÙÖ Ó ÕÙ Ù × ÔÓ× Ð Ý × n ÙÒ ÒØ ÖÓ ÓÐÓÖ Ö ÒØ Ð Ð ½º ÑÓ× ÕÙ ½ × ÓÐÓÖ Ý ÕÙ n × ÓÐÓÖ º ÒØÓÒ × n + 1 × Ö Ð Ø Ö Ö ÓÐÓÖ¸ ÑÓ× º ÓÖ n+2 = (n+1)+1 × Ö ÓÐÓÖ ¸ n+3 = (n+2)+1 × Ö ¸ n+4 = (n+3)+1 × Ö Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ ¸ × Ö ÕÙ Ô ÖØ Ö n ÐÓ× ÓÐÓÖ × Ý × ÐØ ÖÒ Òº È ÖÓ ÒØÓÒ × 2n + 1 × Ö ÓÐÓÖ Ó ¸ Ñ ÒØÖ × ÕÙ ¸ ÔÓÖ × Ö 2n + 1 = n + (n + 1) ´×ÙÑ ÙÒ Ý ÙÒ µ Ö × Ö º º A B CD E F G H K ´ µ ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× HAF Ý HCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò HC AH = EC AF = 1 2 AB 1 3 AB = 3 2 . Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÓÑÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× KAG Ý KCE ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ × Ø Ò AK KC = AG EC = 2 3 AB 1 2 AB = 4 3 .
  • 48.
    ÈÖÙ Ò Ð ´µ ´ µ × × Ù ÕÙ AC AH = AH + HC AH = 1 + 3 2 = 5 2 º Ò ÐÓ Ñ ÒØ AC KC = AK + KC KC = 1 + 4 3 = 7 3 º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ AH AC = 2 5 Ý KC AC = 3 7 ¸ ÓÒ HK AC = 1 − 2 5 − 3 7 = 6 35 . µ [EHK] = 6 35 [EAC] = 6 35 · 1 2 [DAC] = 6 35 · 1 2 · 1 2 [ABCD], × Ö [EHK] [ABCD] = 3 70 . ¿º º ÈÖÙ ÉÙ ÒØÓ Ó ÄÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý ÕÙ ÒØÓ Ó ×ÓÒ ÐÓ× Ñ ×ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× Ù ÖØÓ Ó ´Ú Ö Ô º ¾µº Ä × ÔÖÙ × × ÐÓ × Ö Ò Ò Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½º ÈÖÓ Ð Ñ ½º À ÐÐ ØÓ Ó× ÐÓ× ÔÖ ÑÓ× p ≥ 2 Ø Ð × ÕÙ 11p − 8 × ÙÒ Ù Ó Ô Ö ØÓº ¿º º½º ËÓÐÙ ÓÒ × Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ¾¸ ¿ Ý × Ò Ù ÒØÖ Ò Ô ÖØ Ö Ð Ô Ò ¾º ½º Ë 11p − 8 = x3 ÒØÓÒ × 11p = x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4)º ÓÑÓ p = 2 ÒÓ × ×ÓÐÙ Ò¸ Ù× ÑÓ× p ≥ 3 ÓÒ ÐÓ Ù Ð x3 ≥ 11 · 3 − 8 = 25 Ý x ≥ 3º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ x2 − 2x + 4 = x(x − 2) + 4 ≥ x + 4 > x + 2 Ý Ý ÕÙ ÓÒ× Ö Ö Ó× ×Ó× µ x + 2 = p Ý x2 − 2x + 4 = 11º ×ØÓ ÒÓ × ÔÓ× Ð ÔÙ × x2 − 2x − 7 = 0 ÒÓ Ø Ò Ö × ÒØ Ö ×¸ Ó Ò ÔÓÖÕÙ 5 ≤ x + 2 = p < 11 × ÐÓ Ô Ö p Ó× ÔÓ× Ð ×¸ Ý ¸ Ý Ò 11 · 5 − 8 = 47 Ò 11 · 7 − 8 = 69 ×ÓÒ Ù Ó× Ô Ö ØÓ׺ µ x + 2 = 11 Ý x2 − 2x + 4 = pº Ò ×Ø ×Ó x = 9 Ý ÓÑÓ 92 − 2 · 9 + 4 = 67 × ÔÖ ÑÓ¸ p = 67 × Ð Ò ×ÓÐÙ Òº
  • 49.
    Ô ØÙÐÓ ÇÐ ÑÔÅ ÝÓ Ä ÇÐ ÑÔ Å ÝÓ × ÙÒ ÓÑÔ Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø ÒØ ÖÒ ÓÒ Ð ÓÓÖ Ò ¹ ÔÓÖ Ð ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø Ö ÒØ Ò ´ÇÅ µº ÓÒ× ×Ø Ò ÙÒ ÔÖÙ × Ö Ø ¿ ÓÖ × ÙÖ Ò Ý ÓÒ×Ø Ó× Ò Ú Ð × Ð ÔÖ Ñ Ö Ò Ú Ð × Ô Ö Ú Ò × ÕÙ ÒÓ Ý Ò ÙÑÔÐ Ó ½¿ Ó× ×Ø Ð ¿½ Ñ Ö Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ Ð ÔÖÙ Ð × ÙÒ Ó Ò Ú Ð × Ô Ö Ú Ò × ÕÙ ÒÓ Ý Ò ÙÑÔÐ Ó ½ Ó× ×Ø Ð ¿½ Ñ Ö Ð Ó ÒØ Ö ÓÖ Ð ÔÖÙ º Ô × Ô ÖØ Ô ÒØ Ø Ò ÙÒ ÓÑ Ø ÕÙ Ð Ð × ÔÖÙ × Ù Ö Ó ÙÒ Ô ØÖ Ò ÓÑ Ò ÓÖÖ Òº ÍÒ Ú Þ Ð × × Ð Ò Ð × ½¼ Ñ ÓÖ × Ò Ú Ð Ý × ÒÚ Ò ÐÓ× Ö ×ÙÐØ Ó× Ö ÒØ Ò ¸ ÙÒØÓ Ð × ÔÖÙ × ÕÙ Ó ÙÔ ÖÓÒ ÐÓ× ÐÙ Ö × ½ Ó ¸ ¿ Ó Ý Ó Ò Ò Ú Ðº ×Ø Ñ Ò Ö Ð Ô × ÓÖ Ò Þ ÓÖ Ø Ò ÙÒ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ Ð Ô ÖÑ Ø Ú Ð Ö Ð ÓÖÖ Ò Ò Ô × Ý Ö Ø Ö Ð × Ñ ×Ñ ×¸ Ô Ö ÐÙ Ó ÔÖÓ Ö Ð ÔÖ Ñ Òº º½º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ä × Ô Ð Ö × Ó × ⋄ ∗ ⊗ ⊕ # • ∗ ⋄ • ⊗ ⋆⊕ ×ÓÒ Ò Ð Ò ÓÖ Ò ÅÇ ËÍÊ Ê Ç Å Ëº × Ö Ö ⊗ ⋆ ⋄ ∗ ⊕# ⋄ •⊗º ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÍØ Ð Þ Ò Ó ÙÒ ×ÓÐ Ú Þ ÙÒÓ ÐÓ× ØÓ× ½¸ ¾¸ ¿¸ ¸ ¸ ¸ Ý × × Ö Ò Ð Ù Ö Ó Ý Ð Ù Ó ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº Ø ÖÑ Ò Ö Ù ÒØÓ ÔÙ Ú Ð Ö Ó Ò Ñ ÖÓº
  • 50.
    ÇÐ ÑÔ ÅÝÓ ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ò Ð Ö Ø Ò ÙÐÓ ABCD¸ BC = 5¸ EC = 1 3 CD Ý F × Ð ÔÙÒØÓ ÓÒ × ÓÖØ Ò AE Ý BDº Ð ØÖ Ò ÙÐÓ DFE Ø Ò Ö ½¾ Ý Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABF Ø Ò Ö ¾ º À ÐÐ Ö Ð Ö Ð Ù Ö Ð Ø ÖÓ BCEFº A B CD E F ÈÖÓ Ð Ñ º ÍØ Ð Þ Ò Ó Ú Ö Ó× Ù ØÓ× Ð Ò Ó× Ö ×Ø ½ Ù ÐÐ ÖÑ ÙÒ Ù Ó Ö Ò º ÄÙ Ó Ð Ö × Ð Ù Ó Ö Ò Ý Ð × Ô ÒØ ÖÓ Óº Ò ÐÑ ÒØ × ÖÑ Ð Ù Ó Ö Ò Ý Ó × ÖÚ ÕÙ ÐÓ× Ù ØÓ× ÓÒ Ð Ñ ÒÓ× ÙÒ Ö Ô ÒØ ÖÓ Ó ×ÓÒ ¿½º À ÐÐ Ö Ð ÒØ Ù ØÓ× ÕÙ ÙØ Ð Þ Ô Ö ÖÑ Ö Ð Ù Ó Ö Ò º Ò Ð Þ Ö ØÓ × Ð × ÔÓ× Ð ×º ÈÖÓ Ð Ñ º ÓÒ× Ö ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× ½ ØÓ׸ Ú × Ð × ÔÓÖ ½ ¸ ÙÝÓ× ØÓ× ×ÓÒ Ü ÐÙ× Ú Ñ ÒØ ½ Ý ¾¸ Ô ÖÓ ÒÓ Ý ØÓ× ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ ú Ù ÒØÓ× ×ØÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ý º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð ½º À Ý × ÐÓ Ó× Ô Ð Ö × ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ð ØÖ ¸ ÅÇ Ý Ê Ç¸ Ý Ø Ñ Ò Ó× ÕÙ Ø ÖÑ Ò Ò ÓÒ •º ÒØÓÒ × • = Ǻ À Ý Ó Ò Ò Ò ÔÖ Ñ Ö Ý × ÙÒ Ð ØÖ ¸ Ü ÔØÓ Ð ÓÖ Ò¸ Ò ⋄ Ý ∗, Ý Ò ÅÇ Ý Å Ë¸ ÑÓ Ó ÕÙ ⋄ Ý ∗ ×ÓÒ¸ Ò Ð Ò ÓÖ Ò¸ Ý Åº ÓÑÓ • = Ǹ ÅÇ ∗ ⋄ •, ÓÒ ∗ Ý Å ⋄. À Ý Ó Ò Ò ÔÖ Ñ Ö Ý Ø Ö Ö Ð ØÖ Ò ⊗ Ý ⊕, Ý Ò ËÍÊ Ý Å Ë¸ Ý Ò ËÍÊ Ý Ê Çº ÓÑÓ Ç •, ÒØÓÒ × Ê Ç ⊕#• ÓÒ ⊕ = ʸ # = Ý Å Ë ⋄ ∗ ⊗, Ó × ÕÙ ⊗ = ˺ Ò ÐÑ ÒØ ¸ ⋆ = ͸ ÔÙ × ËÍÊ ⊗ ⋆ ⊕. ÒØÓÒ × ∗, #¸ Å ⋄¸ Ç •, Ê ⊕¸ Ë ⊗, Í ⋆ Ý Ð Ô Ð Ö × ËÍÅ Ê ÅÇ˺ ¾º Ë Ò ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× × Ö ØÓ× A = n2 Ý B = n3 ¸ ÓÒ n × ÙÒ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº ÒØÓÒ × n > 20, ÔÙ × Ò ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó A Ý B Ò ÓÒ ÙÒØÓ Ø Ò Ò Ñ ÒÓ× ØÓ× ´¾¼¾ ¼¼¸ ¾¼¿ ¼¼¼¸ Ò ØÓØ Ð ØÓ×µº Ì Ñ Ò n < 32¸ ÔÙ × ¿¾¾ ½¼¾ Ý ¿¾¿ ¿¾ Ø Ò Ò Ò ØÓØ Ð ØÓ׺ Ð ØÓ Ð × ÙÒ × n ÒÓ ÔÙ × Ö ½¸ ¸ ÔÙ × A = n2 Ý B = n3 Ø ÖÑ Ò Ö Ò ÐÓ× Ó× ÓÒ Ð Ñ ×ÑÓ ØÓº Ñ × Ð ÐØ ÑÓ ØÓ n ÒÓ × ¿ ¸ ÔÙ × Ò ×Ó ÓÒØÖ Ö Ó A = n2 Ø ÖÑ Ò Ö Ò º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð ÐØ ÑÓ ØÓ n × ¾¸ Ù ¸ × Ö¸ n ¾¾¸ ¾
  • 51.
    º¾ ËÓÐÙ ÓÒ× Ð ÈÖ Ñ Ö Æ Ú Ð ¾ º Ë n = 22¸ ÒØÓÒ × A = 484 Ý B = 10648¸ Ý Ý ØÓ× Ö Ô Ø Ó׺ Ë n = 24¸ ÒØÓÒ × A = 576 Ý B = 13824º Ë n = 28¸ ÒØÓÒ × A = 784 Ý B = 21952¸ Ô ÖÓ ÒÓ × ÔÙ Ù× Ö Ð ØÓ º Ò ÓÒ ÐÙ× Ò¸ Ð Ò ÔÓ× Ð × n = 24º ¿º ÄÐ Ñ ÑÓ× a = EC Ý x Ð Ö Ð ØÖ Ò ÙÐÓ DAFº ÒØÓÒ × Ö (DAE) = Ö (DAF) + Ö (DFE) = x ÷ 12 = DE · DA 2 = 2a · 5 2 , Ö (DAB) = Ö (DAF) + Ö (ABF) = x ÷ 27 = DA · AB 2 = 3a · 5 2 . ÄÙ Ó¸ x + 12 = 5a¸ x + 27 = 15 · a 2 ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ x = 18 Ý a = 6º × Ö ÕÙ Ö (DAF) = 18 Ý AB = DC = 3a = 18º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ö (BCEF) = Ö (ABCD) − Ö (DFE) − Ö (DAF) − Ö (ABF) = 18 · 5 − 12 − 18 − 27 = 33. ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ë h Ý H ×ÓÒ Ð × ÐØÙÖ × ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× DFE Ý AFB × Ð Ú ÖØ F Ö ×ÙÐØ ÕÙ h + H = 5º ÄÙ Ó Ö (DFE) = 2a · h 2 = 12, ÓÒ ah = 12, Ö (AFB) = 3a · H 2 = 27, ÓÒ aH = 18¸ Ý Ø Ò ÑÓ× ah aH = 12 18 = 2 3 . ÓÑÓ h + H = 5 Ö ×ÙÐØ h = 2, H = 3 Ý a = 6º ÒØÓÒ × AB = 3 · 6 = 18º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ö (BCEF) = Ö (ABCD) − Ö (AED) − Ö (AFB) = 5 · 18 − 5 · 12 2 − 18 · 3 2 = 33. ÆÓØ º Ë × Ö ×Ù ÐÚ Ù× Ò Ó × Ñ ÒÞ ¸ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÙÒ ØÓ ÕÙ ×Ó Ö º º Ë a Ð ÒØ Ù ØÓ× Ö ×Ø Ð Ù Ó Ö Ò º Ì Ò ÑÓ× Ó× ×Ó׺ Ë × Ò Ô ÒØ Ö Ó× Ö × ÓÔÙ ×Ø × Ý Ô ÒØ Ð × ÓØÖ × Ù ØÖÓ Ö × Ö Ô ÒØ Ó P = 4a(a − 1) Ù ØÓ׺ ÓÑÓ ×Ø Ò Ñ ÖÓ × Ô Ö¸ ÒÓ Ý ×ÓÐÙ Òº Ë × Ò Ô ÒØ Ö Ó× Ö × ÓÒ ÙÒ Ö ×Ø ÓÑ Ò Ý Ô ÒØ Ð × ÓØÖ × Ö × Ö Ô ÒØ Ó P = a2 + 2a(a − 1) + (a − 1)(a − 2) = 4a2 − 5a + 2. Ë P = 431, ÒØÓÒ × 4a2 − 5a + 2 = 431, Ó × ¸ 4a2 − 5a − 429 = 0, Ý Ø Ò ÑÓ× a = 11. Ë a = 11, ÒØÓÒ × a3 = 113 = 1331 × Ð ÒØ Ù ØÓ× Ù× Ó׺ º Ë N × ÙÒÓ ×ØÓ× Ò Ñ ÖÓ׸ ÒØÓÒ × N × Ú × Ð ÔÓÖ ¸ ÑÓ Ó ÕÙ × Ø Ò x ØÓ× ¾ Ý 14−x ØÓ× ½¸ Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× × 2·x+1(14−x) = 14+x
  • 52.
    ÇÐ ÑÔ ÅÝÓ ÕÙ × Ö Ú × Ð ÔÓÖ º Ò ÓÒ× Ù Ò x Ø Ò Ö ×ØÓ Ò Ð Ú × Ò ÔÓÖ ¸ × Ö¸ x = 4, 13, . . . È ÖÓ × ÑÔÓ× Ð ÕÙ × x ≥ 13 ÔÙ × Ò Ø Ð ×Ó Ð Ò Ñ ÖÓ N ½ ØÓ× Ø Ò Ö ØÓ× ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ ÄÙ Ó x = 4¸ Ó × ÕÙ N Ø Ò ØÓ× ¾ Ý ½¼ ØÓ× ½º Ñ ×¸ N × Ô Ö¸ ÒØÓÒ × ×Ù ÐØ ÑÓ ØÓ × ¾º Ð × Ù ÒØ ØÓ¸ Ð ÞÕÙ Ö ¸ × ½¸ ÔÙ × ÒÓ Ý ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ ÄÙ Ó ÑÓ× ÐÐ Ö Ù ÒØÓ× ×ÓÒ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ½¾ ØÓ× ÕÙ Ù× Ò ØÓ× ½ Ý ¿ ØÓ× ¾¸ Ò ÐÓ× ÕÙ ÒÓ Ý ØÓ× ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ Ä ÒØ ØÓØ Ð Ò Ñ ÖÓ× ½¾ ØÓ× ÓÒ ØÓ× ½ Ý ¿ ØÓ× ¾ × Ù Ð Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ × Ð Ö ¿ ÔÓ× ÓÒ × Ô Ö ÐÓ× ØÓ× ¾ ÒØÖ ½¾ ÔÓ× Ð ×¸ × Ö¸ 12 · 11 · 10 1 · 2 · 3 = 220. ×Ø ×¸ ÔÖ Ñ ÖÓ Ö ×Ø ÑÓ× ÐÓ× ½¼ ×Ó× Ò ÐÓ× ÕÙ ÐÓ× ØÖ × ¾ Ó ÙÔ Ò ÔÓ× ÓÒ × ÓÒ× ÙØ Ú ×º ÉÙ ÔÓÖ ÓÒØ Ö Ð × ÓÔ ÓÒ × ÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ Ó× ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׸ Ý Ø Ñ Ò Ö ×Ø ÖÐÓ× ¾¾¼º Ë Ð Ô Ö ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ× ×Ø Ò Ð × ÔÓ× ÓÒ × ½¸ ¾ ½½¸ ½¾¸ Ý ÔÓ× Ð × Ô Ö Ð Ø Ö Ö ¾º Ë Ø Ð Ô Ö ×Ø Ò Ù ÐÕÙ Ö ÓØÖ ÔÓ× Ò¸ Ð × Ù Ð × Ý ¸ Ð Ø Ö Ö ¾ × ÔÙ Ð Ö Ñ Ò Ö ×º ÑÓ Ó ÕÙ Ý 2 · 9 + 9 · 8 = 90 Ò Ñ ÖÓ× ÓÒ Ü Ø Ñ ÒØ Ó× ¾ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׺ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÕÙ Ù× ÑÓ× × 220 − 10 − 90 = 120. º¿º ÈÖÓ Ð Ñ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð ÈÖÓ Ð Ñ ½º À ÐÐ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ x Ø Ð ÕÙ Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× x × Ñ ÝÓÖ ÕÙ ¾¼½½ Ú × Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× Ð Ò Ñ ÖÓ 3x´¿ ÔÓÖ xµº ÈÖÓ Ð Ñ ¾º ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ù ØÖÓ ØÓ× abcd(a = 0) × ÔÓÖ × × ÙÑÔÐ Ò Ð × × Ù ÒØ × ÓÒ ÓÒ × a ≥ b; ab − cd = cd − ba. ÈÓÖ ÑÔÐÓ¸ ¾¼½½ × ÔÓÖ ÔÓÖÕÙ 20 − 11 = 11 − 02. À ÐÐ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÔÓÖ º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ò ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ABC Ø Ð ÕÙ AB = AC, M × Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó BC. Ë P ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð Ñ ØÖ Þ AC ÕÙ Ô ÖØ Ò Ð × Ñ ÔÐ ÒÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ BC ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ò A. Ä × Ö Ø × CP Ý AM × ÓÖØ Ò Ò Q. Ð ÙÐ Ö Ð Ò ÙÐÓ ÕÙ ÓÖÑ Ò AP Ý BQ. ÈÖÓ Ð Ñ º Ó× n ÔÙÒØÓ× Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò × × Ö Ð Ð Ó ÙÒÓ ÐÐÓ× ÙÒ ½ Ý Ð Ð Ó ÙÒÓ ÐÓ× ÓØÖÓ× ÙÒ ¼º Ä ÓÔ Ö Ò Ô ÖÑ Ø ÓÒ× ×Ø Ò Ð Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ ÕÙ Ø Ò ÙÒ ½ Ý Ñ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ × ÔÙÒØÓ Ý Ø Ñ Ò ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ×Ù× Ó× Ú ÒÓ׸ Ð Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð Ð Ö ´ ÓÒ Ý ½ × × Ö ¼ Ý ÓÒ Ý ¼ × × Ö ½µº
  • 53.
    º ËÓÐÙ ÓÒ× Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð µ Ë n = 101¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ × ÔÙ ÐÓ Ö Ö¸ Ñ ÒØ ÙÒ ×Ù × Ò ÓÔ Ö ¹ ÓÒ × Ô ÖÑ Ø ×¸ ÕÙ ÙÒÓ ÐÓ× n ÔÙÒØÓ× Ø Ò × Ö ØÓ ÙÒ ¼º µ Ë n = 102¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ × ÑÔÓ× Ð ÐÓ Ö Ö ØÓ Ó× ¼º ÈÖÓ Ð Ñ º Ø ÖÑ Ò Ö Ô Ö ÕÙ Ò Ñ ÖÓ× Ò ØÙÖ Ð × n × ÔÓ× ¹ Ð Ù Ö Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ø Ð ÖÓ n× n¸ Ú Ó Ò × ÐÐ × 1 × 1¸ ÓÒ Ô Þ × ÓÑÓ Ð Ð ÙÖ ¸ × Ò Ù Ó× Ò ×ÙÔ Ö¹ ÔÓ× ÓÒ × Ý × Ò × Ð Ö× Ð Ø Ð ÖÓº ÙÒ Ð × Ô Þ × Ù Ö Ü Ø Ñ ÒØ × × × ÐР׺ ÆÓØ Ä × Ô Þ × × ÔÙ Ò Ö Öº º º ËÓÐÙ ÓÒ × Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð ½º Ë x = 10n − 1 3 + 1 = 33 . . . 3ßÞ n−1 Ú × 4¸ ÒØÓÒ × 3x = 10n − 1 + 3 = 10n + 2 = 1 00 . . .0ßÞ n−1 Ú × 0º Ä ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× x × 3n + 1¸ Ý Ð ×ÙÑ ÐÓ× ØÓ× 3x × ¿¸ Ù ÐÕÙ Ö × Ð Ú ÐÓÖ nº È Ö Ö ×ÓÐÚ Ö ÒÙ ×ØÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ×Ø ØÓÑ Ö n = 2011º ÆÓØ º Ä ×ÙÑ Ð × Ö × 3x × Ö Ô ÕÙ Ý Ñ ÐØ ÔÐÓ ¿º ÇØÖ × ÔÓ× Ð × ×ÓÒ 3x = 1 00 . . .0ßÞ n 11 x = 33 . . .3ßÞ n+1 7 3x = 2 00 . . .0ßÞ n 1 x = 66 . . . 6ßÞ n 7 ¾º È ÖØ ÑÓ× Ð × ÙÒ ÓÒ Ò¸ ab − cd = cd − ba, ÐÙ Ó 2cd = ab + ba, ×ØÓ ×¸ 2cd = 10a + b + 10b + a, 2cdd = 11(a + b), ÓÒ a, b ×ÓÒ ØÓ׺ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ 11|2cd. Ó ÕÙ mcd(2, 11) = 1, 11|cd. È Ö cd Ý ½¼ ÔÓ× Ð ×¸ cd = 00, 11, 22, . . ., 99. Ë cd = 00 ⇒ a + b = 0 ⇒ a = 0. Ë cd = 11 ⇒ a + b = 2 ⇒ ab = 11 ¾¼º Ë cd = 22 ⇒ a + b = 4 ⇒ ab = 40, 31 ¾¾º Ë cd = 33 ⇒ a + b = 6 ⇒ ab = 60, 51, 42 ¿¿º Ë cd = 44 ⇒ a + b = 8 ⇒ ab = 80, 71, 62, 53 º Ë cd = 55 ⇒ a + b = 10 ⇒ ab = 91, 82, 73, 64 º Ë cd = 66 ⇒ a + b = 12 ⇒ ab = 93, 84, 75 º Ë cd = 77 ⇒ a + b = 14 ⇒ ab = 95, 86 º Ë cd = 88 ⇒ a + b = 16 ⇒ ab = 97 Ù º Ë cd = 99 ⇒ a + b = 18 ⇒ ab = 99.
  • 54.
    ¼ ÇÐ ÑÔÅ ÝÓ ÓÒ ÙÒØÓ ×ÓÐÙ Ò {½½½½¸ ¾¼½½¸ ¼¾¾¸ ¿½¾¾¸ ¾¾¾¾¸ ¼¿¿¸ ¿¿¿¿¸ ½¿¿¸ ¾¿¿¸ ¼ ¸ ½ ¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¸ ½ ¸ ¾ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ ¿ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ }º ¿º ÓÑÓ M × Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð ÔÓØ ÒÙ× Ð ØÖ Ò ÙÐÓ × × Ð × ABC, × Ø Ò ÕÙ AM × Ð Ñ ØÖ Þ BC. Ó ÕÙ Q Ô ÖØ Ò AM, BQ = CQ, ÓÒ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ BQC × × × Ð × ÓÒ ∠QBC = ∠QCB = βº ÄÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× APM Ý CPM ×ÓÒ Ù Ð × (AP = CP Ý AM = CM ÔÙ × P Ý M Ô ÖØ Ò Ò Ð Ñ ØÖ Þ AC Ý PM × ÓÑ Òµ¸ ÐÙ Ó ∠PAM = ∠PCM = ∠QCB = βº Ñ ×¸ Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ BQM, ∠BQM = 90◦ − β. Ë R Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò Ð × Ö Ø × BQ Ý AP ´¶µº Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ARQ Ø Ò ÑÓ× ∠ARQ = 180◦ − ∠RAQ − ∠RQA = 180◦ − β − (90◦ − β) = 90◦ . ÇØÖ ×ÓÐÙ Ò × ´¶µ Ë S × Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò BC Ý AP, ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× BSR Ý ASM ×ÓÒ × Ñ ÒØ × (∠RBS = ∠MAS = β Ý ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ò S ×ÓÒ ÓÔÙ ×ØÓ× ÔÓÖ Ð Ú ÖØ µ ÓÒ ∠BRS = ∠BRA = ∠AMS = 90◦ . ÇØÖ ×ÓÐÙ Ò × ´¶µ Ð Ù Ö Ð Ø ÖÓ ABRM × Ð Ó ÔÙ × ∠RBM = ∠RAM = β, ÓÒ ∠BRA = ∠BMA = 90◦ . º µ Ä ÔÖ Ñ Ö ÓÔ Ö Ò × Ó Ð ¸ 0100 . . . → 10100 . . . Ô ÖØ Ö ÒØÓÒ ×¸ Ð ÑÓ× Ð ÐØ ÑÓ ½ Ý ÕÙ 0111 . . .10100 . . .0 → 0111 . . .11010 . . .0, ÓÒ × ÓÖÖ Ð Ö Ð ÐØ ÑÓ ½ Ý ×Ñ ÒÙÝ Ò ÙÒÓ Ð ÒØ Ò Ð ÖÓ׺ Ê Ô Ø ÑÓ× ×Ø Ø Ò Ö ØÓ Ó× ½ Ý ÙÒ ¼ 11 . . .1011. Ë ÓÖ Ð ÑÓ× B ÕÙ 11 . . .1100, Ó × ÙÒÓ× ÓÒ× ÙØ ÚÓ× Ý Ó× ÖÓ׺ ÄÓ× ÙÒÓ× ÐÓ× ÔÓÒ ÑÓ× Ò ÖÙÔÓ× ¿ ÓÒ× ÙØ ÚÓ׸ ½½½¸ Ý ÓÔ Ö ÑÓ× ×Ó Ö Ð ÒØÖ Ðº ÓÒ ×ØÓ × ÙÑÔÐ Ð Ó Ø ÚÓ ÐÐ Ú Ö ÐÓ× ÙÒÓ× ÖÓ׺ µ ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ × ÔÓ× Ð Ó Ø Ò Ö ØÓ Ó× ¼º Ë ai Ð Ò Ñ ÖÓ Ú × ÕÙ × Ð ÓÔ Ö Ò ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ai. ÖÙÔ ÑÓ× (A1A2A3)(A4A5A6) . . . (A100A101A102). a1 +a2 +a3 × Ô Ö¸ ÔÙ × × Ð Ò Ñ ÖÓ Ú × ÕÙ Ñ A2, ÕÙ Ò ÐÑ ÒØ × ¼º ÄÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ ÓÒ a4 + a5 + a6, a7 + a8 + a9, Ø º ÒØÓÒ × S = 1a + a2 + . . . + a102 × ×ÙÑ Ô Ö ×¸ ÐÙ Ó × Ô Öº ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ × ÖÙÔ ÑÓ× (A102A1A2)(A3A4A5) . . . , ØÓ Ó × ÓÑÓ ÒØ ×¸ Ü ÔØÓ a102 + a1 + a2 ÕÙ Ù ÒØ Ð Ò Ñ ÖÓ Ñ Ó× A1, ÕÙ ÓÑÓ × Ò ÐÑ ÒØ ½ Ñ Ö ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÑÔ Ö Ú × Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ò ¼º ÄÙ Ó a102 + a1 + a2 + . . . + a101 × ÑÔ Ö ´ÙÒ ÑÔ Ö Ñ × ØÓ Ó× Ô Ö ×µº ÓÒØÖ Òº º Ð Ò Ñ ÖÓ × ÐÐ × Ð Ø Ð ÖÓ × n2 , Ð Ù Ð Ø Ò ÕÙ × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ º ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ n Ø Ñ Ò × Ö Ñ ÐØ ÔÐÓ ¸ ÑÓ× n = 6k. ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ k × ÑÔ Öº È ÒØ ÑÓ× Ð × × ÐÐ × ÐÙ Ö ÑÔ Ö¸ Ò Ð × Ð × ÑÔ Ö × ´ Ò Ð ÙÖ × Ù ÒØ × ÑÙ ×ØÖ Ð ×Ó k = 1µº ÄÙ Ó¸ Ô Þ Ù ×Ó Ö Ð Ø Ð ÖÓ Ù Ö Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ó ØÖ × × ÐÐ × Ô ÒØ ×º
  • 55.
    º ËÓÐÙ ÓÒ× Ð Ë ÙÒ Ó Æ Ú Ð ½ Ë p Ð Ò Ñ ÖÓ Ô Þ × ÕÙ Ù Ö Ò Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒ × ÐÐ Ô ÒØ Ý × q Ð Ò Ñ ÖÓ Ô Þ × ÕÙ Ù Ö Ò Ü Ø Ñ ÒØ ØÖ × × ÐÐ × Ô ÒØ ×º Ë Ð Ø Ð ÖÓ × ÔÙ Ö Ù Ö Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÓÒ Ð × Ô Þ ×¸ ÒØÓÒ × p + q = (6k)2 6 = 6k2 . ÓÑÓ ØÓ × Ð × × ÐÐ × Ô ÒØ × Ø Ñ Ò × Ö Ò Ù ÖØ ×¸ ÒØÓÒ × p + 3q = 6k 2 2 = 9k2 . Ê ×ÓÐÚ Ò Ó Ð × ×Ø Ñ Ö ×ÙÐØ q = 3k2 2 ÕÙ ÒÓ × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÒØ ÖÓ ÔÙ ×ØÓ ÕÙ k × ÑÔ Öº Ë k × Ô Ö¸ Ö ×ÙÐØ ÕÙ n × Ñ ÐØ ÔÐÓ ½¾º ÓÒ Ð × Ô Þ × × ÔÙ Ù Ö Ö ÙÒ Ù Ö Ó Ð Ó ½¾ Ð × Ù ÒØ ÓÖÑ ÄÙ Ó¸ Ô Ö ØÓ Ó n Ñ ÐØ ÔÐÓ ½¾¸ × Ö ÔÓ× Ð Ù Ö Ö Ð Ø Ð ÖÓ ÓÒ ×Ø × Ô Þ ×º
  • 56.
    ¾ ÇÐ ÑÔÅ ÝÓ
  • 57.
    Ô ØÙÐÓ ÇÐ ÑÔÅ Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö Ä ÁÁÁ ÇÐ ÑÔ Å Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö ØÙÚÓ ÐÙ Ö Ò Ó¹ Ð Ñ ¸ Å Ü Ó¸ × Ð ¾½ Ñ ÝÓ ×Ø Ð ½ Ó ÙÒ Ó ¾¼½½º Ò Ð Ñ ×Ñ Ô ÖØ Ô ÖÓÒ Ó Ô × × ÓÐÓÑ ¸ Ó×Ø Ê ¸ Ð Ë ÐÚ ÓÖ¸ Ù Ø Ñ Ð ¸ ÀÓÒ Ù¹ Ö ×¸ Â Ñ ¸ Å Ü Ó¸ Æ Ö Ù ¸ È Ò Ñ ¸ ÈÙ ÖØÓ Ê Ó¸ Ê Ô Ð ÓÑ Ò Ò Ý Î Ò ÞÙ Ð º Î Ò ÞÙ Ð Ô ÖØ Ô ÓÒ ÙÒ Ð Ò ÒØ Ö ÔÓÖ ÐÓ× ×ØÙ ÒØ × Ú Ð Ò À ÖÒ Ó ´ ÓÐ Ó ÐØ Ñ Ö ¸ Å Ö Óµ¸ ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ × ´ ÓÐ Ó Ú Ò È ×ØÓÖ ¸ ÖÕÙ × Ñ ØÓµ Ý Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÓ Ð ´ ÓÐ Ó Ë Ò Ä Þ ÖÓ¸ ÙÑ Ò µº Ð Â Ð Ð Ò Ù ÂÓ× À Ö Æ ØÓ Ý Ð ØÙØÓÖ ÖÑ Ð Ú Óº ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ × Ó ØÙÚÓ ÙÒ Ñ ÐÐ ÔÐ Ø Ý Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÓ Ð ÙÒ Ñ ÐÐ ÖÓÒ º º½º ÈÖÓ Ð Ñ × ÈÖ Ñ Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ò ÙÒÓ ÐÓ× Ú ÖØ × ÙÒ Ù Ó Ý ÙÒ ÑÓ× º Ð ×ÓÒ Ö ÙÒ × Ð ØÓ¸ ÙÒ Ð × ÑÓ× × ÚÙ Ð Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ú ÖØ × Ð Ù Ó × ØÙ Ó Ò ÙÒ Ñ ×Ñ Ö ÕÙ Ð Ú ÖØ ÓÒ Ô ÖØ ¸ Ô ÖÓ ÓÒ ÐÑ ÒØ ÓÔÙ ×ØÓ ×Ø º Ð ×ÓÒ Ö Ð × Ð ØÓ¸ ú Ù ÒØ × Ñ Ò Ö × ÔÙ Ò ÚÓÐ Ö Ð × ÑÓ× × ÑÓ Ó ÕÙ Ò Ò Ò Ò Ú ÖØ ÕÙ Ò Ó× Ó Ñ × ÑÓ× × ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ë Ò ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ × Ð ÒÓ¸ D Ð Ô Ð ÐØÙÖ × A¸ E Ð ÒØ Ö× Ò Ð Ð Ó AC ÓÒ Ð × ØÖ Þ Ð ∠ABC¸ Ý F ÙÒ ÔÙÒØÓ ×Ó Ö Ð Ð Ó ABº Ë O Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC Ý × Ò X¸ Y ¸ Z ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÓÒ × ÓÖØ Ò Ð × Ö Ø × AD ÓÒ BE¸ BE ÓÒ CF¸ CF ÓÒ AD¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë
  • 58.
    ÇÐ ÑÔ ÅØ Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö XY Z × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓ¸ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ÙÒÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× OXY ¸ OY Z¸ OZX × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÕÙ Ð Ø ÖÓº ÈÖÓ Ð Ñ ¿º ÔÐ Ö ÙÒ ×Ð Þ ÙÒ ÒØ ÖÓ n ≥ 2 × Ò ØÓÑ Ö Ù ÐÕÙ Ö ÔÖ ÑÓ p ÕÙ Ú n Ý Ö ÑÔÐ Þ Ö n ÔÓÖ n+p2 p º Ë ÓÑ ÒÞ ÓÒ ÙÒ ÒØ ÖÓ Ù ÐÕÙ Ö Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð Ý × Ð ÔÐ ÙÒ ×Ð Þº Ð Ò Ñ ÖÓ × Ó Ø Ò Ó × Ð ÔÐ ÙÒ ×Ð Þ¸ Ý × ×Ù × Ú Ñ ÒØ × × Ù Ò ÔÐ Ò Ó ×Р׺ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ¸ × Ò ÑÔÓÖØ Ö ÐÓ× ×Ð × ÔÐ Ó׸ Ò Ð Ò ÑÓÑ ÒØÓ × Ó Ø Ò Ð Ò Ñ ÖÓ º Ë ÙÒ Ó ÈÖÓ Ð Ñ º Ò Ù ÒØÖ ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× p¸ q Ý r¸ ÓÒ p Ý q Ò Ñ ÖÓ× ÔÖ ÑÓ׸ ÕÙ × Ø × Ò Ð Ù Ð 1 p + 1 + 1 q + 1 − 1 (p + 1)(q + 1) = 1 r . ÈÖÓ Ð Ñ º ÄÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ× x¸ y¸ z ×ÓÒ Ø Ð × ÕÙ x + y z = y + z x = z + x y = 2. Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó× ÐÓ× Ú ÐÓÖ × ÔÓ× Ð × x + y + zº ÈÖÓ Ð Ñ º Ë ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÙØ Ò ÙÐÓ Ý × Ò D¸ E Ý F ÐÓ× Ô × Ð × ÐØÙÖ × × A¸ B Ý C¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë Ò Y Ý Z ÐÓ× Ô × Ð × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö × × B Ý C ×Ó Ö FD Ý DE¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë F1 Ð Ö Ü Ò F ÓÒ Ö ×Ô ØÓ E Ý × E1 Ð Ö Ü Ò E ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Fº Ë 3EF = FD + DE¸ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ ∠BZF1 = ∠CY E1º ÆÓØ Ä Ö Ü Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ P Ö ×Ô ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Q × Ð ÔÙÒØÓ P1 Ù Ó ×Ó Ö Ð Ö Ø PQ Ø Ð ÕÙ Q ÕÙ ÒØÖ P Ý P1¸ Ý PQ = QP1º º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º ´ËÓÐÙ Ò ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ ×µº Ú ÖØ Ð Ù Ó × Ð × Ò ÙÒ Ð ØÖ Ð A Ð F¸ Ý × Ô ÒØ Ò Ó× ÓÐÓÖ × ´ ÑÓ× Ð Ò Ó Ý Ò ÖÓµ ÑÓ Ó ÕÙ Ó× Ú ÖØ × Ø Ò Ò Ð Ñ ×ÑÓ ÓÐÓÖ × Ý × ÐÓ × Ô ÖØ Ò Ò ÙÒ Ñ ×Ñ Ö Ý ×ÓÒ ÓÒ ÐÑ ÒØ ÓÔÙ ×ØÓ׺ × Ö ×ÙÐØ Ð × Ù ÒØ Ù Ó¸ ÓÒ A¸ D¸ E Ý H ×ÓÒ Ð Ò Ó× Ý B¸ C¸ F Ý G ×ÓÒ Ò ÖÓ׺ ÍÒ ÑÓ× × ÐÓ ÔÙ ÚÓÐ Ö ÙÒ Ú ÖØ ÓØÖÓ Ð Ñ ×ÑÓ ÓÐÓÖº
  • 59.
    º¾ ËÓÐÙ ÓÒ× E F H G C D BA ÓÖ ÓÒØ Ö ÑÓ× Ð × ÓÖÑ × ÚÓÐ Ö Ð × ÑÓ× × Ù × Ò Ú ÖØ × Ð Ò Ó׸ ÓÒ× Ö Ò Ó Ú Ö Ó× ×Ó׺ ×Ó ½ Ó× ÑÓ× × ÒØ Ö Ñ Ò ÔÓ× ÓÒ ×º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ð ÑÓ× Ò A ÚÙ Ð D Ý Ð D ÚÙ Ð Aº ÄÙ Ó Ð ÑÓ× Ò E × ÐÓ ÔÙ ÚÓÐ Ö H Ý Ð H Dº ÒØÓÒ ×¸ Ô Ö ×Ø ×Ó¸ ×Ø ÓÒØ Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ × Ò ÕÙ × ÔÙ Ú Ö ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ð Ñ ÒØÓ× Ò Ó× Ô Ö ×¸ ÕÙ ×ÓÒ ØÖ ×¸ × Ö Ò ÒÙ ×ØÖÓ ×Ó {A, D} Ý {E, H}¸ {A, E} Ý {D, H}¸ {A, H} Ý {D, E}º ×Ó ¾ Æ Ò Ò Ô Ö ÑÓ× × ÒØ Ö Ñ Ò ÔÓ× ÓÒ ×º Ä ÑÓ× Ò A ÔÙ ÚÓÐ Ö ¿ Ú ÖØ × Ö ÒØ × D¸ H Ý Eº ËÙÔÓÒ ÑÓ× × Ò Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ ÚÙ Ð Ð Ú ÖØ Dº ÒØÓÒ × Ð Ð Ú ÖØ D ÚÙ Ð E Ó Hº Ë ÚÙ Ð E¸ Ð E ÚÓÐ Ö Ð Ú ÖØ H ´Ý ÕÙ × ÚÙ Ð A Ð H ÒÓ Ø Ò Ö ÓÒ ÚÓÐ Öµ Ý Ð H ÚÓÐ Ö Ð Ú ÖØ Aº Ò ÐÓ Ñ ÒØ × Ð ÑÓ× Ð Ú ÖØ D ÚÙ Ð H Ð H ÚÓÐ Ö E Ý Ð E Aº × Ö ÕÙ Ô Ö ÙÒÓ ÐÓ× ØÖ × Ú ÖØ × ÓÒ ÔÙ ÚÓÐ Ö Ð ÑÓ× A Ý Ó× ÓÖÑ × ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ÚÙ ÐÓ Ð × ÓØÖ × ØÖ ×¸ Ô Ö ÙÒ ØÓØ Ð ÓÖÑ × ÕÙ × ÔÙ Ò Ó × ÖÚ Ö Ò Ð × Ù ÒØ Ö Ñ A D E H E H D H D E H E H D E D A A A A A A ÓÑÓ Ô Ö Ð ×Ó ½ Ý ¿ ÓÖÑ × Ý Ô Ö Ð ×Ó ¾ Ý ÓÖÑ ×¸ Ð × ÑÓ× × Ù × Ò Ú ÖØ × Ð Ò Ó× ÔÙ Ò ÚÓÐ Ö ÓÖÑ × ×Ø ÒØ ×º Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð ×
  • 60.
    ÇÐ ÑÔ ÅØ Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö ÑÓ× × Ù × Ò Ú ÖØ × Ò ÖÓ× ÔÙ Ò ÚÓÐ Ö ÓÖÑ × ×Ø ÒØ ×¸ Ý ×ØÓ ÒÓ× ÙÒ ØÓØ Ð 9 × 9 = 81 ÓÖÑ × Ö ÒØ ×º ¾º ÈÓÖ Ô Ø × × Ð ØÖ Ò ÙÐÓ XY Z × ÕÙ Ð Ø ÖÓ¸ ÓÒ ∠Y XZ = 60◦ Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ ∠BXD = ∠Y XZ = 60◦ º ÓÑÓ D × Ð Ô Ð ÐØÙÖ ÔÓÖ A × × Ù ÕÙ ∠XDB = 90◦ Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ ∠DBX = 90◦ − ∠BXD = 90◦ − 60◦ = 30◦ º ÓÑÓ BE × Ð × ØÖ Þ Ð ∠ABC ÒØÓÒ × ∠XBA = ∠CBY = 30◦ º ÄÙ Ó Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ö Ø Ò ÙÐÓ ABD × Ø Ò ÕÙ ∠ABD = 60◦ Ý ÒØÓÒ × ∠DAB = 30◦ º Ë Ò L Ý M ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× AB Ý BC¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ý O Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ ABCº A B CD E M L O X F Y Z Ó ÕÙ ∠XBA = 30◦ Ý ∠XAB = ∠DAB = 30◦ ¸ × × Ù ÕÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ AXB × × × Ð × ÓÒ AX = XBº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ñ ØÖ Þ AB Ô × ÔÓÖ L Ý ÔÓÖ Xº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÔÓÖ × Ñ ØÖ ´ÒÓØ ÕÙ ∠FY B = 60◦ ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ CF × Ø Ñ Ò ÐØÙÖ µ¸ × × Ù ÕÙ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ BY C × × × Ð × ÓÒ BY = Y C Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ñ ØÖ Þ BC Ô × ÔÓÖ M Ý ÔÓÖ Y º Ò ÐÑ ÒØ ¸ MY × Ô Ö Ð Ð AD Ý LX × Ô Ö Ð Ð CFº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠XY O = ∠BY M = 60◦ Ý ∠OXY = ∠LXB = 60◦ º Ò ÓÒ× Ù Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ XY O × ÕÙ Ð Ø ÖÓº ¿º Ä ÑÓ×ØÖ Ò × Ö ÔÓÖ Ò Ù Ò Ù ÖØ º ÒÓØ Ö ÑÓ× ÙÒ ×Ð Þ ÓÒ ÙÒ º Ð Ò Ó ×Ð Þ ÔÓ× Ð Ô Ö Ð ×¸ 5 → (5 + 52 )/5 = 6º È Ö Ý Ó× ÔÓ× Ð × ×Ð × Ò Ð × ÓÒ p = 2 ¿¸ Ô ÖÓ Ñ Ó× ÐÓ ÐÐ Ú Ò ¸ Ý ÕÙ (6 + 22 )/2 = (6 + 32 )/3 = 5º ÄÙ Ó 5 → 6 → 5º ×ØÓ × Ð × Ð Ò Ù Òº Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ò Ò Ö Ð Ô Ö ÙÒ ÔÖ ÑÓ p¸ Ð Ò Ó ×Ð Þ ÔÓ× Ð × p → (p+p2 )/p = p+1º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ô Ö ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ÓÒ 6 ≤ k < n¸
  • 61.
    º¾ ËÓÐÙ ÓÒ× Ý ÙÒ × Ö ×Ð × Ø Ð × ÕÙ Ò Ð Ò ÑÓÑ ÒØÓ × Ò º Ë n × ÓÑÔÙ ×ØÓ¸ ÑÓ× n = pm ÓÒ p ÔÖ ÑÓ¸ Ý ÑÓ× Ð ×Ð Þ n → (pm + p2 )/p¸ × Ó Ø Ò m + pº ÖÑ ÑÓ× ÕÙ m + p ≤ n − 2º Ë ÒÓ × × ¸ × ÔÓÖÕÙ m + p ≥ mp − 1¸ ÐÙ Ó (p − 1)(m − 1) ≤ 2º È ÖÓ ÓÑÓ m ≥ 2 Ý p ≥ 2¸ Ð × Ò × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÒØ Ö × (p, m) ÕÙ Ø Ò ×Ø × Ù Ð ×ÓÒ ´¿¸ ¾µ¸ ´¾¸ ¾µ¸ ´¾¸ ¿µº È ÖÓ ÒØÓÒ × n × Ö ¸ ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ ÐÓ Ù Ð ÒÓ × ÔÓ× Ð ÔÙ × n > k ≥ 6º Ñ ×¸ m + p ≥ 5º × ¸ × n > 6 × ÙÒ ÒØ ÖÓ ÓÑÔÙ ×ØÓ¸ ÙÒ ×Ð Þ ÐÓ ÐÐ Ú ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÙÒ × Ñ ÒÓÖ¸ Ô ÖÓ Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð º ÈÓÖ Ô Ø × × Ò Ù Ø Ú ¸ Ô ÖØ Ö ÕÙ ÐÐ Ö º Ò ÐÑ ÒØ ¸ × n × ÔÖ ÑÓ¸ ÒØÓÒ × ØÖ × ÙÒ ×Ð Þ × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò n + 1¸ ÕÙ ÒÓ × ÔÖ ÑÓº ÈÓÖ Ð ×Ó ÒØ Ö ÓÖ¸ Ò Ð × Ù ÒØ Ô ×Ó × ØÖ Ò× ÓÖÑ Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ð (n+1)−2 = n−1 Ý Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð º × ¸ ÔÓÖ Ô Ø × × Ò Ù Ø Ú ¸ Ô ÖØ Ö ÕÙ ÐÐ Ö º º ´ËÓÐÙ Ò Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÓ Ðµº Ä Ù Ð × ÔÙ × Ö Ö ÓÑÓ p + q + 1 (p + 1)(q + 1) = 1 r , Ó Ò r(p + q + 1) = (p + 1)(q + 1)º × ÖÖÓÐÐ Ò Ó Ý Ö ÖÙÔ Ò Ó ÕÙ (r − 1)(p + q + 1) = pq. ÓÑÓ p Ý q ×ÓÒ ÔÖ ÑÓ× Ö× Ð ÙÒÓ ÐÓ× × Ù ÒØ × ×Ó× ´½µ r − 1 = p Ý p + q + 1 = q¸ ´¾µ r − 1 = q Ý p + q + 1 = p¸ ´¿µ r − 1 = pq Ý p + q + 1 = 1¸ ´ µ r − 1 = 1 Ý p + q + 1 = pqº È ÖÓ p + q + 1 × Ñ ÝÓÖ ÕÙ p¸ ÕÙ q Ý ÕÙ ½¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ´½µ¸ ´¾µ Ý ´¿µ ÒÓ ×ÓÒ ÔÓ× Ð × Ý × ÐÓ ÔÙ Ö× ´ µº × Ö ÕÙ r = 2 Ý p + q + 1 = pqº È ÖÓ ÒØÓÒ × (p − 1)(q − 1) = pq − p − q + 1 = 2¸ ÐÓ ÕÙ × ÐÓ ÔÙ Ó ÙÖÖ Ö × p = 2 Ý q = 3 Ó × p = 3 Ý q = 2º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × ×ÓÒ p = 2¸ q = 3¸ r = 2 Ý p = 3¸ q = 2¸ r = 2º º Ä × Ù ÓÒ × x + y z = 2¸ y + z x = 2¸ z + x y = 2 ÑÔÐ Ò ÕÙ zx + y = 2z, xy + z = 2x, yz + x = 2y Ý ÕÙ xyz + y2 = 2yz, xyz + z2 = 2zx, xyz + x2 = 2xy. ÈÓÖ ÐÓ ÕÙ xy + yz + zx = x + y + z ´½µ Ý 3xyz + (x2 + y2 + z2 ) = 2(xy + yz + zx). ´¾µ
  • 62.
    ÇÐ ÑÔ ÅØ Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö Ì Ñ Ò Ø Ò ÑÓ× ÕÙ 1 = y z z x x y = (2 − x)(2 − y)(2 − z) = 8 − 4(x + y + z) + 2(xy + yz + zx) − xyz. ´¿µ Ë ÑÓ× a = x + y + z¸ Ø Ò ÑÓ× ÔÓÖ ´½µ ÕÙ xy + yz + zx = a Ý Ø Ñ Ò x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx) = a2 − 2a. ÓÖ ´¾µ × Ø Ò ÕÙ 3xyz = −a2 + 4a Ý ´¿µ ÔÓ ÑÓ× ÓÒ ÐÙ Ö ÕÙ 1 = 8 − 4a + 2a − −a2 + 4a 3 , ÐÓ ÕÙ ÐÐ Ú Ð Ù Ò a2 − 10a + 21 = 0¸ ÙÝ × Ö × ×ÓÒ a = 3 Ý a = 7º ÈÓÖ ÐÓ ÕÙ x+y +z × Ù Ð ¿ º È ÖÓ × x+y +z = 7¸ ÓÑÓ x+ y z +y + z x +z + x y = 6¸ × Ø Ò Ö ÕÙ y z + z x + x y = −1¸ ÐÓ ÕÙ ÒÓ × ÔÓ× Ð Ô Ö x¸ y¸ z ÔÓ× Ø ÚÓ׺ Ä ×ÙÑ x + y + z = 3 × ÐÓ Ö ÓÒ x = y = z = 1¸ ÕÙ Ø Ñ Ò ×ÓÒ ×ÓÐÙ ÓÒ × Ð × Ù ÓÒ ×¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ Ð Ò Ó Ú ÐÓÖ ÔÓ× Ð x + y + z × ¿º ËÓÐÙ Ò ×Ø Ò ÖÖ ¸ Ð Ö Ù Ø Ñ Ð ËÙÔÓÒ ÑÓ× ´× Ò Ô Ö Ò Ö Ð µ ÕÙ m´ax{x, y, z} = zº ÒØÓÒ × 2 = x + y z ≤ x + 1¸ ÓÒ x ≥ 1¸ Ý 2 = y + z x ≥ y + 1¸ ÓÒ y ≤ 1º ÒØÓÒ × 2 = z + x y ≥ z + 1¸ ÓÒ z ≤ 1º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ 1 ≤ x ≤ z ≤ 1¸ ÓÒ x = z = 1¸ Ý 2 = y + z x × × Ù ÕÙ Ø Ñ Ò y = 1º ÈÓÖ Ø ÒØÓ x + y + z = 3º º × × Ó ÕÙ Ð × ÐØÙÖ × Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABC ×ÓÒ × ØÖ × ×Ù ØÖ Ò ÙÐÓ ÖØ Ó DEF¸ Ý ÐÓ× Ð Ó× Ð ABC ×ÓÒ × ØÖ × ÜØ Ö ÓÖ × Ð DEF¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ A¸ B Ý C ×ÓÒ Ü ÒØÖÓ× Ð DEFº Ì Ñ Ò × ÓÒÓ Ó ÕÙ Ð × Ñ ÒØÓ Ø Ò ÒØ × F ×Ø Ð Ü Ò Ö ÙÐÓ ÒØÖÓ C × Ù Ð Ð × Ñ Ô Ö Ñ ØÖÓ DEF¸ × Ö 1 2 (FE + ED + DF) = 1 2 (FE + 3FE) = 2FE = FF1, ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ F1 × Ð ÔÙÒØÓ ÓÒØ ØÓ Ð Ü Ò Ö ÙÐÓ ÓÒ Ð Ð Ó FE Ý FF1C = 90◦ º Ñ × EZ = EF1 = EF¸ × Ö ÕÙ Z Ô ÖØ Ò Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ñ ØÖÓ FF1 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ∠FZF1 = 90◦ º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ FE = FE1 = FY Ý ∠EY E1 = 90◦ º ÓÖ Ò¸ ÓÑÓ ∠AEB = ∠ADB = 90◦ ¸ Ð Ù Ö Ð Ø ÖÓ AEDB × Ð Ó¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ∠BAC = 180◦ − ∠BDE = ∠CDEº Ò ÐÓ Ñ ÒØ ∠BAC = ∠BDFº
  • 63.
    º¾ ËÓÐÙ ÓÒ× A B CD E F F1 E1 Y Z ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó¸ ÓÑÓ EF = EZ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ EFZ × × × Ð × Ý ÓÑÓ EB × × ØÖ Þ ∠FEZ Ö ×ÙÐØ ÕÙ × Ø Ñ Ò ÐØÙÖ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ EFZ¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ EB × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö FZº È ÖÓ Ø Ñ Ò EB × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö AC¸ ÐÙ Ó FZ Ý AC ×ÓÒ Ô Ö Ð Ð ×º ÄÙ Ó ∠ZFB = ∠EAB Ý ∠BDZ ×ÓÒ ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó× Ý Ð Ù Ö Ð Ø ÖÓ AEDB × Ð Ó¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ∠BZF = ∠BDF = ∠BAC. ´´½µµ Ñ Ò Ö × Ñ Ð Ö × Ø Ò ÕÙ DCEY × Ð Ó Ý ÒØÓÒ × ∠CY E = ∠CDE = ∠BAC. ´´¾µµ ´½µ Ý ´¾µ × Ø Ò ÕÙ ∠BZF = ∠CY E¸ ÐÓ ÕÙ ÓÒ ÐÙÝ Ð ÑÓ×ØÖ Òº
  • 64.
    ¼ ÇÐ ÑÔÅ Ø Ñ Ø ÒØÖÓ Ñ Ö Ý Ð Ö
  • 65.
    Ô ØÙÐÓ ÇÐ ÑÔÁ ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ä ÎÁ ÇÐ ÑÔ Á ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ØÙÚÓ ÐÙ Ö Ò Ë Ò ÂÓ× ¸ Ó×Ø Ê ¸ Ð ¾¿ Ð ¿¼ × ÔØ Ñ Ö ¾¼½½º Ò Ð Ñ ×Ñ Ô ÖØ Ô ÖÓÒ ¹ ÒÙ Ú Ô × × Ö ÒØ Ò ¸ ÓÐ Ú ¸ Ö × Ð¸ Ð ¸ ÓÐÓÑ ¸ Ó×Ø Ê ¸ Ù ¸ Ð Ë ÐÚ ÓÖ¸ ×Ô ¸ Ù Ø Ñ Ð ¸ ÀÓÒ ÙÖ ×¸ Å Ü Ó¸ Æ Ö Ù ¸ È Ò Ñ ¸ È Ö Ù Ý¸ ÈÓÖØ٠и ÈÙ ÖØÓ Ê Ó¸ ÍÖÙ Ù Ý Ý Î Ò ÞÙ Ð º Î Ò ÞÙ Ð Ô ÖØ Ô ÓÒ ÙÒ Ð Ò ÒØ Ö ÔÓÖ ÐÓ× ×ØÙ ÒØ × Ó Ä ÓÒ Ö Ó È ÓÐ Ó Ó ´ ÓÐ Ó ÄÓ× À ÔÓ ÑÔ ØÓ׸ ÐØÓ× Å Ö Ò ÒÓ×µ¸ ÕÙ Ò Ó ØÙÚÓ ÙÒ Ñ ÐÐ ÖÓÒ ¸ ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ × ´ ÓÐ Ó Ú Ò È ×ØÓÖ ¸ ÖÕÙ ¹ × Ñ ØÓµ Ý Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÖÓ Ð ´ ÓÐ Ó Ë Ò Ä Þ ÖÓ¸ ÙÑ Ò µ¸ ÕÙ Ò × Ò ÖÓÒ × Ò × Ñ Ò ÓÒ × ÓÒÓÖ ×º Ä Ð Ð Ò Ù Ä ÙÖ Î ÐÑ À ÖÖ ÖÓ Ý Ð ØÙ¹ ØÓÖ ×Ø Ò ÇÖ Þº º½º ÈÖÓ Ð Ñ × ÈÖ Ñ Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½º Ò Ð Ô Þ ÖÖ ×Ø × Ö ØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ 2º Ò Ý ÖÙÒÓ Ù Ò ÐØ Ö¹ Ò Ñ ÒØ ¸ ÓÑ ÒÞ Ò Ó ÔÓÖ Ò ¸ Ð × Ù ÒØ Ñ Ò Ö ÙÒÓ Ò ×Ù ØÙÖÒÓ ×Ù×Ø ØÙÝ Ð Ò Ñ ÖÓ × Ö ØÓ ÔÓÖ Ð ÕÙ × Ó Ø Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ò ÓÐÓ ÔÓÖ 2¸ ÔÓÖ 3¸ Ó ×ÙÑ Ò ÓÐ 1º Ð ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ó Ø Ò ÙÒ Ö ×ÙÐØ Ó Ñ ÝÓÖ Ó Ù Ð ÕÙ 2011 Ò º ÅÙ ×ØÖ ÕÙ ÙÒÓ ÐÓ× Ó× Ø Ò ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ Ý × Ö Ð º
  • 66.
    ¾ ÇÐ ÑÔÁ ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ò ÓÒØÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× n Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × Ü ×Ø Ò ØÖ × Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× ÒÓ ÒÙÐÓ× x, y, z Ø Ð × ÕÙ x + y + z = 0 Ý 1 x + 1 y + 1 z = 1 n . ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ë ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÙØ Ò ÙÐÓ Ý X, Y, Z ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ø Ò Ò ×Ù Ö ÙÒ Ö Ò Ò× Ö Ø ÓÒ ÐÓ× Ð Ó× BC, CA, AB¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º Ë Ò C1, C2, C3 Ö ÙÒ Ö Ò × ÓÒ Ù Ö × Y Z, ZX, XY ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ñ Ò Ö ÕÙ C1 Ý C2 × ÓÖØ Ò ×Ó Ö Ð Ö Ø CZ Ý ÕÙ C1 Ý C3 × ÓÖØ Ò ×Ó Ö Ð Ö Ø BY º ËÙÔÓÒ ÕÙ C1 ÓÖØ XY Ò J Ý ÓÖØ ZX Ò M ÕÙ C2 ÓÖØ Y Z Ò L Ý ÓÖØ XY Ò I Ý ÕÙ C3 ÓÖØ Y Z Ò K Ý ÓÖØ ZX Ò Nº ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ I¸ J¸ K¸ L¸ M¸ N ×Ø Ò ×Ó Ö ÙÒ Ñ ×Ñ Ö ÙÒ Ö Ò º Ë ÙÒ Ó ÈÖÓ Ð Ñ º Ë ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÙØ Ò ÙÐÓ Ý O ×Ù Ö ÙÒ ÒØÖÓº Ë Ò P Ý Q ÔÙÒØÓ× Ø Ð × ÕÙ BOAP Ý COPQ ×ÓÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ׺ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Q × Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ ABCº ÈÖÓ Ð Ñ º Ë Ò x1¸º º º ¸ xn Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × ÔÓ× Ø ÚÓ׺ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ü ×Ø Ò a1¸º º º ¸ an ∈ {−1, 1} Ø Ð × ÕÙ a1x2 1 + · · · + anx2 n ≥ (a1x1 + · · · + anxn)2 . ÈÖÓ Ð Ñ º Ë Ò k ≥ 2 Ý n ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ׺ Ë Ø Ò Ò kn × Ò Ð Ò Ö Ø Ý Ò × Ù ÙÒ Ô Ö Ð ÙÒÓ k ÓÐÓÖ × Ö ÒØ × Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ý n Ô Ö × ÓÐÓÖº ÍÒ ÒØ Ö Ñ Ó ÓÒ× ×Ø Ò ÒØ Ö Ñ Ö Ó× Ô Ö × ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ò × Ý ÒØ ×º Ò ÓÒØÖ Ö Ð Ñ ÒÓÖ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ m Ø Ð ÕÙ × ÑÔÖ × ÔÓ× Ð ÐÓ Ö Ö Ñ ÒØ m ÒØ Ö Ñ Ó× ÕÙ Ð × n Ô Ö × ÓÐÓÖ ÕÙ Ò Ò × × Ù × × µ n × Ô Öº µ n × ÑÔ Ö Ý k = 3º º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º ÑÓ× ÕÙ ÙÒ Ò Ñ ÖÓ × Ò ÓÖ × Ð Ù ÓÖ ÕÙ Ò ×Ù ØÙÖÒÓ × ÐÓ Ò Ù ÒØÖ Ø Ò ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ º ÐÓ ÓÒØÖ Ö Ó¸ Ð Ò Ñ ÖÓ × Ô Ö ÓÖº × Ð ÖÓ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ð Ö Ò Ó ½ ¾¼½¼ ×ÓÒ Ò ÓÖ ×¸ ÔÙ × Ð ÕÙ × Ò Ù ÒØÖ ÓÒ ÙÒÓ ÐÐÓ× ÐÓ ØÖ ÔÐ Ý Ò ÒÑ ØÓº
  • 67.
    º¾ ËÓÐÙ ÓÒ× ¿ Ò Ñ Ó ¼ × Ô Ö ÓÖ¸ ÔÙ × Ð ÕÙ ÐÓ Ò Ù ÒØÖ ¸ ÐÓ ÕÙ ¸ ÙÒ Ö ×ÙÐØ Ó Ò Ð Ö Ò Ó ÒØ Ö ÓÖº × Ò ÓÖ¸ ÔÙ × Ð ×ÙÑ ÖÐ ½ × Ð ¼ ´ÕÙ × Ô Ö ÓÖµ Ð ÓÒØÖ Ö Óº × Ô Ö ÓÖ¸ ÔÙ × Ù ÐÕÙ Ö Ù Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò ÓÖ Ð ÓÒØÖ Ö Óº × Ò ÓÖ¸ ÔÙ × Ð ×ÙÑ ÖÐ ½ × Ð ¸ ÕÙ × Ô Ö ÓÖ¸ Ð ÓÒØÖ Ö Óº Ë Ù Ò Ó ×Ø ÑÓ Ó × Ú ÕÙ Ò ØÓ Ó Ð Ö Ò Ó ¿¿ ¼ ÐÓ× ÑÔ Ö × ×ÓÒ Ò ÓÖ × Ý ÐÓ× Ô Ö × Ô Ö ÓÖ ×º ×Ø Ô ØÖ Ò Ñ ÓÒ ¿¿ ¸ ÔÙ × Ð ÙÔÐ ÖÐÓ Ð ÕÙ Ð ÓÒØÖ Ö Ó¸ ÕÙ × Ô Ö ÓÖº ×Ø ÑÓ Ó ¿¿ × Ò ÓÖ¸ Ý ÐÓ Ñ ×ÑÓ Ó ÙÖÖ ÓÒ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò ÙÑ ÖÓ× Ð Ö Ò Ó ½ ¿¿ º È ÖÓ ½ × Ô Ö ÓÖ ÔÙ × 167 + 1 = 168 ´ Ò ÓÖµ¸ 167 × 2 = 334 ´ Ò ÓÖµ Ý 167 × 3 = 501 ´ Ò ÓÖµº ½ × Ò ÓÖ¸ ÔÙ × Ð ×ÙÑ ÖÐ ½ × ½ ¸ ÕÙ × Ô Ö ÓÖº ÓÒØ ÒÙ Ò Ó ×Ø ÑÓ Ó × Ú ÕÙ Ò ØÓ Ó Ð Ö Ò Ó ½ ÐÓ× ÑÔ Ö × ×ÓÒ Ô Ö ÓÖ × Ý ÐÓ× Ô Ö × Ò ÓÖ ×º Ò Ð Ö Ò Ó ¾ ÐÓ× ÑÔ Ö × ×ÓÒ Ò ÓÖ × ´ØÖ ÔÐ Ò Óµ Ý ÐÓ× Ô Ö × ×ÓÒ Ô Ö ÓÖ ×º Ò Ð Ö Ò Ó ½ ¾ ×ÓÒ ØÓ Ó× Ò ÓÖ × ´ ÙÔÐ Ò Óµº Ò Ð Ö Ò Ó ½¿ ÐÓ× Ô Ö × ×ÓÒ Ò ÓÖ × ´×ÙÑ Ò Ó ½µ Ý ÐÓ× ÑÔ Ö × ×ÓÒ Ô Ö ÓÖ ×º Ò ÐÑ ÒØ ¸ ¿ × Ò ÓÖ ´ØÖ ÔÐ Ò Óµ Ý ¾ × Ô Ö ÓÖº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÕÙ Ò Ø Ò ÙÒ ×ØÖ Ø Ò ÓÖ × ÖÙÒÓº ËÙ ×ØÖ Ø × ÔÙ Ö ×ÙÑ Ö × Ë Ò Ð ¿¸ ÖÙÒÓ ØÖ ÔÐ º Ë Ò Ð ¸ ¸ ¸ ½¼ ½¾¸ ÖÙÒÓ ×ÙÑ ½º Ë Ò Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð ½ Ð ¾ ¸ ÖÙÒÓ ÐÓ ÙÔÐ º Ë Ò Ð ÙÒ ÑÔ Ö Ð ¾ Ð ¸ ÖÙÒÓ ÐÓ ØÖ ÔÐ º Ë Ò Ð ÙÒ Ô Ö Ð Ð ½ ¸ ÖÙÒÓ Ð ×ÙÑ ½º Ë Ò Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð ½ Ð ¿¿ ¸ ÖÙÒÓ ÐÓ ÙÔÐ º Ë Ò Ð ÙÒ ÑÔ Ö Ð ¿¿ Ð ¸ ÖÙÒÓ ×ÙÑ ½º Ë Ò Ð ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ð ½ Ð ¾¼½¼¸ ÖÙÒÓ ÐÓ ØÖ ÔÐ º ¾º Ë n = 2k Ô Ö Ð Ò ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓ k¸ ÔÓ ÑÓ× ØÓÑ Ö x = y = 3k Ý z = −6k Ý × ÙÑÔÐ Ò Ð × Ó× ÓÒ ÓÒ × Ð ÒÙÒ Óº Ë n × ÑÔ Ö¸ ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× ÔÓÖ ÓÒØÖ Ò ÕÙ ÒÓ Ü ×Ø Ò x, y, zº Ì Ò ÑÓ× ÕÙ n(xy + yz + zx) = xyz, Ý ÓÑÓ x + y + z = 0, ÒØÓÒ × n3 − n2 (x + y + z) + n(xy + yz + zx) − xyz = n3 , Ó Ò (n − x)(n − y)(n − z) = n3 . Ë Ò p = n − x¸ q = n − y¸ r = n − z¸ ÒØÓÒ × pqr = n3 Ý p + q + r = 3nº ÕÙ ÔÓ ÑÓ× ×Ø Ö Ö Ô Ñ ÒØ Ð ×Ó n = 1¸ ÔÙ × × Ð ÖÓ ÕÙ Ð Ò × p = q = r = 1, ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ x = y = z = 0. Ô ÖØ Ö ÓÖ ¸ ÓÒ× Ö ÑÓ× n ≥ 3. ÄÙ Ó¸ × d = (p, q, r) ÓÒ p = dp′ , q = dq′ Ý r = dr′ . ÓÑÓ d3 |n3 ÒØÓÒ × d|n¸ Ý × n = dk. ÄÙ Ó¸ p′ q′ r′ = k3 Ý p′ + q′ + r′ = 3k. Ë Ð Ò ÔÖ ÑÓ t Ú p′ Ý q′ , ÒØÓÒ × t|k3 , ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ t|k Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ t|r′ , ÐÓ ÕÙ × Ö ÙÒ ÓÒØÖ Ò ÔÓÖÕÙ p′ , q′ , r′ ÒÓ ÔÙ Ò Ø Ò Ö ÙÒ ØÓÖ ÔÖ ÑÓ Ò ÓÑ Òº ÓÒ ÐÙ ÑÓ× ÕÙ p′ , q′ Ý r′ ×ÓÒ ÓÔÖ ÑÓ× Ó× Ó׺ ÈÓÖ ÓØÖÓ Ð Ó¸ ÓÑÓ p′ q′ r′ = k3 , Ø Ò ÑÓ× ÕÙ p′ = a3 , q′ = b3 Ý r′ = c3 ´ ÓÒ a, b, c ×ÓÒ ÒØ ÖÓ×µ¸ Ñ × abc = k Ý a3 + b3 + c3 = 3k = 3abc. ÒØÓÒ ×
  • 68.
    ÇÐ ÑÔ ÁÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) = 0, Ô ÖÓ a, b Ý c ×ÓÒ ÑÔ Ö × ÔÙ × ×ÓÒ Ú ×ÓÖ × n3 , ÒØÓÒ × a + b + c = 0. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ a2 +b2 +c2 −ab−bc−ca = 0, ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ a = b = c, × Ö p = q = r = n Ý x = y = z = 0, ÐÓ Ù Ð × ÙÒ ÓÒØÖ Ò¸ Ý ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Óº ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ËÙ×Ø ØÙÝ Ò Ó z = −(x + y) ×Ò Ð × ÙÒ ÓÒ Ò Ý ×Ô Ò Ó × Ó Ø Ò ÕÙ xy(x + y) x2 + xy + y2 = n. Ë x = da Ý y = db, ÓÒ (a, b) = 1. ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ dab(a + b) a2 + ab + b2 = n. × Ð ÖÓ ÕÙ (ab, a2 + ab + b2 ) = 1. Ñ ×¸ × p × ÙÒ ÔÖ ÑÓ ÕÙ Ú (a + b, a2 + ab + b2 ) ÒØÓÒ × p Ø Ñ Ò Ú ab = (a + b)2 − (a2 + ab + b2 ). ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ × Ù ÐÑ ÒØ ÕÙ p Ú (a, b), ÐÓ Ù Ð × ÙÒ ÓÒØÖ Òº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ a2 + ab + b2 Ú d¸ × Ö¸ d = (a2 + ab + b2 )k. ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ab(a + b)k = n. ÐÓ ÒØ Ö ÓÖ × × Ù ÕÙ n Ø Ò ÕÙ × Ö Ô Ö¸ ÔÙ × Ð ÙÒÓ ÐÓ× Ø ÖÑ ÒÓ× a, b, a + b × Ö Ô Öº Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ô Ö ÒÓØ Ö ÕÙ ØÓ Ó Ô Ö × ÔÙ Ö ÔÖ × ÒØ Ö ×Ø ÓÖÑ ØÓÑ a = −2, b = 1. ×Ø ÓÖÑ ¸ n = 2k. Ò ØÓ¸ Ô Ö ×Ø × Ó Ò × Ø Ò ÕÙ x = −6k, y = 3k, z = 3k Ý × −1 6k + 1 3k + 1 3k = 1 2k ÓÒ ÐÓ ÕÙ × ÓÒ ÐÙÝ Ð ÔÖÙ º ¿º × ÓÒÓ Ó ÕÙ Ð × Ö Ø × AX, BY Ý CZ ×ÓÒ ÓÒ ÙÖÖ ÒØ ×¸ ÑÓ× ÕÙ ÓÒ ÙÖÖ Ò Ò Hº ÈÓÖ Ô Ø × × CZ × Ð Ö Ð C1 Ý C2 Ý BY × Ð Ö Ð C1 Ý C3 ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ AX × Ð Ö Ð C2 Ý C3 Ý H × Ð ÒØÖÓ Ö Ð Ð × ØÖ × Ö ÙÒ Ö Ò ×º Ä Ñ º Ë Ò Ý ÓÑÓ Ð ÒÙÒ Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ë Ò Á¸ Æ ÔÙÒØÓ× ×Ó Ö ¸ Ñ Ò Ö ÕÙ ÆÁ × Ô Ö Ð Ð º ËÁ Ä Ý Ã ×ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÒØ Ö× Ò Ð Ö Ø ÓÒ ÐÓ× Ö ÙÒ Ö ÙÐÓ× ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× Á Ý Æ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÒØÓÒ × Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò Í ÄÁ ÓÒ ÃÆ ×Ø ×Ó Ö Ð Ö Ø º
  • 69.
    º¾ ËÓÐÙ ÓÒ× A B C Z Y X J M N K L I ÈÖÙ Ð Ð Ñ º ÓÑÓ Ð × Ñ × ÐÓ× Ò ÙÐÓ× Ò× Ö ØÓ× Ý ÐÓ× Ô ÙÐÓ× × ¹ Ñ Ò× Ö ØÓ× ÕÙ Ö Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ö Ó ×ÓÒ Ù Ð ×¸ × Ø Ò ÕÙ ∠ZXY = ∠AY Z = ∠AZY = α. ÈÓÖ × Ö Ð Ó ÐÓ× Ù Ö Ð Ø ÖÓ× XILZ Ý XNKY, × Ø Ò ÕÙ ∠KLI = ∠LKN = α. ÔÓÖ × Ö NI Ô Ö Ð Ð Y Z, ∠KNI = ∠LIN = α, ÐÙ Ó ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× AZY Ý UNI ×ÓÒ × Ñ ÒØ × Ý Ð Ó× Ô Ö Ð ÐÓ׸ ÐÙ Ó ×ÓÒ ÓÑÓØ Ø Ó× Ý ÓÑÓ ZN Ý Y I ÓÒ ÙÖÖ Ò Ò X¸ Ð ÒØÖÓ ÓÑÓØ × X¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ X, U Ý A ×ÓÒ ÓÐ Ò Ð ×º Ê Ö × ÑÓ× Ð ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Î ÑÓ× ÕÙ Ò Ö Ð × × Ø Ò ÕÙ NI × Ô Ö Ð Ð Y Zº Ë I′ ×Ó Ö XY Ñ Ò Ö ÕÙ NI′ × Ô Ö Ð Ð Y Z. ÓÒ× Ö ÑÓ× C2 Ð Ö ÙÒ Ö ÙÐÓ ZXI′ Ý × L′ Ð ÒØ Ö× Ò Ø Ð Ö ÙÒ Ö ÙÐÓ ÓÒ Y Zº ÈÓÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ö ÓÖ L′ I′ Ý KN × ÓÖØ Ò Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ U ÕÙ ×Ø ×Ó Ö AXº Ñ × ÓÑÓ L′ UK Ý NUI′ ×ÓÒ × × Ð × × Ø Ò ÕÙ UI′ · UL′ = UN · UK. ÄÙ Ó Ð Ö Ð C2 Ý C3 × Ð Ö Ø AX¸ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ C2 Ô Ö ÔÓÖ Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò C2 Ý C3 Ý ÒØÓÒ × C2 = C2 Ý ÒØÓÒ × I′ = I Ý N′ = N. ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ NI × Ô Ö Ö Ð Y Zº Ñ Ò Ö Ò ÐÓ × ÔÙ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ KJ × Ô Ö Ð Ð ZX Ý LM × Ô Ö Ð Ð XY. ÓÑÓ NI × Ô Ö Ð Ð Y Z Ý ÓÑÓ Y ZMJ × ÙÒ Ù Ö Ð Ø Ö Ð Ó¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ ∠NIX = ∠ZY J = ∠JMN ÐÓ ÕÙ Ö ÒØ Þ ÕÙ MNIJ ×Ø Ò ×Ó Ö ÙÒ Ö¹ ÙÒ Ö Ò Γ1. Ñ Ò Ö Ò ÐÓ KLMN ×Ø Ò ×Ó Ö ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Γ2 Ý Ø Ñ Ò IJKL ×Ø ×Ó Ö ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Γ3. Ë Ð Ò Ô Ö ×Ø × Ö ÙÒ Ö Ò¹ × ×ÓÒ Ù Ð × ÒØÓÒ × Ð × ØÖ × × Ö Ò Ð Ñ ×Ñ º È ÖÓ × ÒÓ Ù Ö Ð ×Ó ÒØÓÒ × Ð Ö Ð Γ1 Ý Γ2 × ZX, Ð Ö Ð Γ2 Ý Γ3 × Y X, Ý Ð Ö Ð Γ3 Ý Γ1 × XY, Ô ÖÓ ×ØÓ× ØÖ × × Ò ÓÒ ÙÖÖ Ö¸ Ô ÖÓ ÕÙ ÒÓ × Ð ×Óº ×Ø ÓÒØÖ Ò¸ ÐÐ Ú ÕÙ Ð × ØÖ × Ö ÙÒ Ö Ò × ×ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ý ÒØÓÒ × ÐÓ× × × ÔÙÒØÓ× ×ÓÒ ÓÒ Ð Ó׺
  • 70.
    ÇÐ ÑÔ ÁÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ë P Ð ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò C2 ÓÒ AB Ý Q Ð ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ ÒØ Ö¹ × Ò C3 ÓÒ AC. ÓÑÓ AX × Ð Ö Ð C2 Ý C3, ÒØÓÒ × × ÙÑÔÐ AZ · AP = AY · AQ. ÈÓÖ Ø ÒØÓ¸ AP = AQ ÔÙ × AZ = AY. ×ØÓ ÑÔÐ ÕÙ ZP = Y Q Ý Ð Ñ ×ÑÓ Ø ÑÔÓ PQ × Ô Ö Ð Ð ZY. ÓÖ ÔÖÓ Ö ÑÓ× ÕÙ I ×Ø ×Ó Ö PQ. È Ö ×Ó Ú Ö ÑÓ× ÕÙ PI Ø Ñ Ò × Ô Ö Ð Ð ZY. ´ Ð ÔÙÒØÓ P × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö ÝÓ ZB Ó ÕÙ I ×Ø Ò Ð Ù Ö XY.µ Ò ØÓ¸ ZPXI × Ð Ó¸ ÐÙ Ó ∠PIX = ∠PZX. Ñ × ∠PZX × × ¹ Ñ Ò× Ö ØÓ Ò Ð Ò Ö ÙÐÓ¸ ∠ZY X × Ò× Ö ØÓ¸ Ö Ò Ó Ð Ñ ×Ñ Ù Ö º ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ∠PIX = ∠ZY X Ý × PI × Ô Ö ÖÐ Ð ZY × ÕÙ I ×Ø ×Ó Ö PQ. Ñ Ò Ö Ò ÐÓ ¸ × ÔÖÙ ÕÙ N ×Ø ×Ó Ö PQ¸ × ÕÙ NI × Ô Ö Ð Ð ZY ¸ ÓÑÓ × ÔÖ Ø Ò ÔÖÓ Öº Ë ÓÒ ÐÙÝ ÓÑÓ Ò Ð ×ÓÐÙ Ò Ó Ðº º µ ËÓÐÙ Ò Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÖÓ Ð Ë ÑÓ× ÕÙ AC = BC. O × Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ △ABC Ý ×Ø × ÙØ Ò ÙÐÓº Ñ ×¸ BOAP Ý COPQ ×ÓÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ׺ A B C O R Q P Ð × Ö O Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ × Ø Ò ÕÙ AO = OC = OBº ÈÓÖ × Ö BOAP Ô Ö Ð ¹ ÐÓ Ö ÑÓ¸ × Ø Ò ÕÙ BO = AP Ý PB = AO Ý Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÔÓÖ × Ö COPQ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ¸ PQ = OC Ý PO = QC. ÒØÓÒ ×¸ × Ø Ò ÕÙ AO = OC = OB = AP = PB = PQ ÕÙ Ø ÖÑ Ò ÕÙ APBO × ÙÒ ÖÓÑ Óº Ë ÑÓ× ÕÙ Ð × Ó¹ Ò Ð × ÙÒ ÖÓÑ Ó × ÓÖØ Ò ÓÖÑ Ò Ó ÙÒ Ò ÙÐÓ 90◦ ÔÓÖ ÐÓ ÕÙ ∠AMO¸ ÓÒ M × Ð ÔÙÒØÓ ÓÖØ Ð × ÓÒ Ð ×¸ Ñ 90◦ º ÓÑÓ PQCO × ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ¹ Ö ÑÓ ÐÙ Ó PO QC ÓÒ Ö ×ÙÐØ ÕÙ QC Ø Ñ Ò × Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ABº
  • 71.
    º¾ ËÓÐÙ ÓÒ× Ë ÔÙ Ú Ö ÕÙ ∠ANC Ý ∠AMO ×ÓÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ý ÔÓÖ Ø ÒØÓ ÓÒ ÖÙ ÒØ ×º ÄÙ Ó¸ ÓÑÓ QC Ô ÖØ C¸ QC × ÐØÙÖ × C Ð △ABCº ÄÄ Ñ Ö ÑÓ× N Ð Ô × ÐØÙÖ º Ë Ð ÐØÙÖ × B Ó A Ô × ÔÓÖ Q¸ × Ø Ò Ö ÕÙ Q × Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ △ABC. ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ ¸ × Ò ÑÓ× P′ ÓÑÓ Ð ÔÙÒØÓ Ø Ð ÕÙ P′ CO × ÙÒ Ô Ö ¹ Ð ÐÓ Ö ÑÓ¸ ÐÙ Ó P′ C = AO, P′ C AO Ý P′ A OC, P′ A = OC ÓÒ P′ C PB, P′ C = PB Ý P′ A PQ, P′ A = PQ ÐÓ ÕÙ ØÖ ÓÑÓ ÓÒ× Ù Ò¹ ÕÙ APQP′ Ø Ñ Ò × ÙÒ ÖÓÑ Óº ÄÙ Ó Ð × ÓÒ Ð × APQP′ × ÓÖØ Ò ÓÖÑ Ò Ó ÙÒ Ò ÙÐÓ 90◦ ÒØÖ PP′ Ý AQ(∠AKP′ ), ÐÙ Ó P′ C PB Ý P′ C = PB ÓÒ PP′ CB Ø Ò ÕÙ × Ö Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓº ÄÙ Ó × ÔÖÓÐÓÒ ÑÓ× AQ ×Ø ÕÙ ÓÖØ BC Ò Ð ÔÙÒØÓ L Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ ∠AKP′ Ý ∠ALC ×ÓÒ ÓÖÖ ×ÔÓÒ ÒØ × Ý ÕÙ PP′ BC ÔÓÖ × Ö PP′ CB ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ¸ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ∠AKP′ = ∠ALC = 90◦ º Ó ÕÙ AL ÓÖÑ ÙÒ Ò ÙÐÓ 90◦ ÓÒ BC, AL × Ð ÐØÙÖ △ABC ØÖ Þ Ó × Aº Ñ ×¸ Ð ÓÒ Ð APQP′ , AQ ÓÖÑ Ô ÖØ Ð Ñ ×Ñ AL ÓÒ Q Ô ÖØ Ò AL Ý ÓÑÓ Q Ô ÖØ Ò ÒØ × NC ´ ÐØÙÖ × C Ð △ABCµ ÐÙ Ó Q × Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ △ABC ÔÓÖ × Ö Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò AL Ý CN. µ ËÓÐÙ Ò Ó È Ë Γ1 Ð Ö ÙÒ Ö ÙÐÓ Ð △ABC. Ê ÑÓ× Ð △ABC ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð Ö Ø AB. ÓÑÓ OAPB × ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ý OA = OB ´ÔÓÖ × Ö Ö Ó× Γ1µ¸ ÒØÓÒ × OAPB × ÙÒ ÖÓÑ Óº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ AB Ý OP ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×¸ Ý ÓÑÓ Ñ ×¸ ÔÓÖ × Ö OAPB ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ¸ AB Ý OP × × Ò Ø Ò ÑÓ× ÕÙ P × Ð Ö Ü Ò O ÓÒ Ö ×Ô ØÓ AB. ÄÙ Ó¸ Ð Ö Ü Ò Γ1 ÓÒ Ö ×Ô ØÓ AB × Ð Ö ÙÐÓ Γ2 ÒØÖÓ P Ý Ö Ó PA ´ÔÙ × P × Ð Ñ Ò O¸ Ð ÒØÖÓ Γ1 Ý A × ×Ù Ñ ×Ñ Ñ Òµº ÓÑÓ OP Ý AB ×ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×¸ Ý ÓÑÓ ÔÓÖ × Ö COPQ ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ¸ OP Ý CQ ×ÓÒ Ô Ö Ð Ð ×¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ AB Ý CQ ×ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×º ÈÓÖ × Ö OCPQ ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ PQ = OC = OA = PA ´ÔÙ × OC Ý OA ×ÓÒ Ö Ó× Γ1 Ý OAPB × ÙÒ ÖÓÑ Óµº ÄÙ Ó¸ Q ×Ø Ò Γ2. ÓÑÓ CQ Ý AB ×ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×¸ Ð Ñ Ò Q′ Q ÐÙ Ó Ð Ö Ü Ò ×Ø ×Ó Ö Ð Ö Ø CQ, Ý ÓÑÓ Q ×Ø Ò Γ2, Q′ ×Ø Ö Ò Γ1 ´ÔÙ × ÓÑÓ Ý Ú ÑÓ× Ð Ö Ü Ò Ñ Γ1 ÓÒ Γ2µº ÄÙ Ó¸ Q′ × Ö Ð ÔÙÒØÓ ÓÖØ CQ Ý Γ1, × Ö¸ Ð Ö Ü Ò Ð ÔÙÒØÓ Q ÓÒ Ö ×Ô ØÓ AB ×Ó Ö Ð Ö ÙÒ Ö ÙÐÓº ÓÑÓ Ñ × Ý Ú ÑÓ× ÕÙ CQ ⊥ AB¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ Ð Ö Ø CQ × Ð ÐØÙÖ ÔÓÖ C Ð △ABCº ÄÙ Ó¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ Q′ × ÙÒ ÔÙÒØÓ Ð ÐØÙÖ ÔÓÖ C Ð △ABC ÕÙ ÙÑÔÐ ÕÙ ×Ù Ö Ü Ò ×Ó Ö Ð Ð Ó AB Ò Ð Ö ÙÒ Ö ÙÐÓ¸ ÐÓ ÕÙ ÑÔÐ ÕÙ Q × Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ Ð △ABCº µ ËÓÐÙ Ò ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ × ÓÑÓ O × Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ OA = OB Ý ÓÑÓ OAPB × Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ × Ø Ò ÕÙ OA = PB Ý BO = PA Ý Ò ÐÓ Ñ ÒØ ¸ ÐÓ× Ù ØÖÓ × Ñ ÒØÓ× Ð
  • 72.
    ÇÐ ÑÔ ÁÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ ×ÓÒ Ù Ð ×¸ × Ö OAPB × ÙÒ ÖÓÑ Ó Ý ×Ù× ÓÒ Ð × × ÓÖØ Ò Ò Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ý ×ÓÒ Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö ×º ÄÙ Ó CQ × Ô Ö Ð Ð OP Ý OP ⊥ AB Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ CQ ⊥ AB ÓÒ × Ó Ø Ò ÕÙ Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ö Ø CQº ÈÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ × Ø Ò ÕÙ Ð ×Ø Ò × ÙÒ Ú ÖØ ×Ø Ð ÓÖØÓ ÒØÖÓ × Ð Ó Ð Ð ×Ø Ò ÕÙ Ý × Ð Ö ÙÒ ÒØÖÓ ×Ø Ð Ð Ó ÓÔÙ ×ØÓ Ó Ú ÖØ º ÈÓÖ ×ØÓ × ×Ù ÒØ ÓÒ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ CQ = 2OC′ ÓÒ C′ × Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó Ð Ð Ó ACº È ÖÓ ×ØÓ × ÖØÓ Ý ÕÙ ÓÑÓ COPQ × ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ CO = OP = 2OC′ . Ä ÐØ Ñ Ù Ð ÙÑÔÐ Ý ÕÙ Ð × Ö C′ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó AB × Ð ÔÙÒØÓ ÓÖØ Ð × ÓÒ Ð × Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ö ÑÓ OAPB Ý Ø Ñ Ò × Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ó OP. º ËÙÔÓÒ × Ò Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn. Ë Ú ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð × Ù Ð × Ú Ö × ak = (−1)k+1 . Ë Ú ÑÓ×ØÖ Ö ÔÓÖ Ò Ù Ò ×Ó Ö nº Ë n = 2 Ð × Ù Ð × Ö Ù 2x2(x1 − x2) ≥ 0 Ý × n = 3 Ð × Ù Ð × Ö Ù (x1 − x2)(x2 − x3) ≥ 0. ËÙÔÓÒ ÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ Ó × ÖØÓ Ô Ö n¸ × Ú ÔÖÓ Ö Ô Ö n + 2. ËÙÔÓÒ ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ n × Ô Ö¸ Ý × n = 2m. Ò ×Ø ×Ó Ð × Ù Ð ÕÙ Ý ÕÙ ÑÓ×ØÖ Ö × ÕÙ Ú Ð ÒØ (x1 + · · · + x2m−1 + x2m+1)(x2 + · · · + x2m + x2m+2) − 1≤i<i≤m+1 (x2i−1x2j−1 + x2ix2j) − m+1 i=1 x2 2i ≥ 0. Ë Sm+1(x1, x2, . . . , X2m+2) Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð × Ù Ð ÒØ Ö ÓÖº Ë Ú Ö Ð ÒØ Sm+1(x1, x2, . . . , X2m+2) = (x1 − x2)(x2 − x3 + · · · + x2m − x2m+1 + x2m+2) + Sm(x3, x4, . . . , x2m+2), Ý Ð ÔÖÙ × × Ù ÔÓÖ Ò Ù Òº ËÙÔÓÒ ÕÙ n × ÑÔ Ö Ý × n = 2m + 1. Ä × Ù Ð ÕÙ Ý ÕÙ ÑÓ×ØÖ Ö × (x1 +· · ·+x2m−1+x2m+1)(x2 +· · ·+x2m)− È 1≤i<i≤m+1 x2i−1x2j−1 − È 1≤i<i≤m x2ix2j − Èm i=1 x2 2i ≥ 0. Ë Tm+1(x1, x2, . . . , X2m+1) Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó Ð × Ù Ð ÒØ Ö ÓÖº × × Ò ÐÐÓ ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Tm+1(x1, x2, . . . , X2m+1) = (x1 −x2)(x2 −x3 +· · ·+x2m− x2m+1) + Tm(x3, x4, . . . , x2m+1), Ý Ð ÔÖÙ × × Ù ÔÓÖ Ò Ù Òº ËÓÐÙ Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú ËÙÔÓÒ × Ò Ô Ö Ò Ö Ð ÕÙ x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn. Ë Ú ÔÖÓ Ö ÕÙ Ð × Ù Ð × Ú Ö × ak = (−1)k+1 . Ð Ù Ð ÕÙ Ò Ð ×ÓÐÙ Ò ÒØ Ö ÓÖ × ÓÑÔÖÙ Ò ÐÑ ÒØ ÐÓ× ×Ó× n = 2 Ý n = 3. È Ö Ú n > 2 ÓÒ× Ö × Y = x3 − x4 + · · · + (−1)n+1 xn. Æ Ø × ÕÙ Y = x3 − (x4 − x5) − (x6 − x7) − · · · , ÒØÓÒ × Y ≤ x3 Ý ÔÓÖ ÓØÖ Ô ÖØ Y = (x3 − x4) + (x5 − x6) + · · · ≥ 0.
  • 73.
    º¾ ËÓÐÙ ÓÒ× Æ Ø × ÕÙ Ò ÙØ Ð Þ Ò Ó ÐÓ× ×Ó× n = 2 Ý n = 3 × Ø Ò Ð × Ù Ð x2 1 − x2 2 + Y 2 ≥ (x1 − x2 + Y )2 . ÔÐ Ò Ó Ð Ô Ø × × Ò Ù Ò × Ø Ò ÕÙ x2 3 − x2 4 + · · · + (−1)n+1 x2 n ≥ Y 2 . ÙÒ Ò Ó Ñ × × Ù Ð × × Ø Ò Ð Ö ×ÙÐØ Óº º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ Ý n Ô Ö × Ð Ò × Ý r Ô Ö × Ò Ö ×º Ë Ò b1¸ b2¸º º º ¸ bn Ð × Ô Ö × Ð Ò × ÒÙÑ Ö × ÞÕÙ Ö Ö º È Ö i ∈ {1, 2, . . ., n} × Ò Ii Ý Di Ð ÒØ Ô Ö × Ò Ö × Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð Ö bi¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º × Ð ÖÓ ÕÙ Ii+Di = rº Ð Ò Ñ ÖÓ ÒØ Ö Ñ Ó× Ò × Ö Ó× Ô Ö Ø Ò Ö ØÓ × Ð × Ô Ö × Ð Ò × Ð ÞÕÙ Ö × I = Èn i=1 Ii¸ Ý Ô Ö Ø Ò ÖÐ × Ð Ö × D = Èn i=1 Diº ÓÑÓ Ó Ú Ñ ÒØ I + D = nr¸ Ö ×ÙÐØ ÕÙ Ð Ñ ÒÓÖ Ò Ñ ÖÓ ÒØ Ö Ñ Ó× Ô Ö ÕÙ Ð × Ô Ö × ÙÒ Ñ ×ÑÓ ÓÐÓÖ ÕÙ Ò Ò × × Ù × × m´ın(I, D) ≤ ⌊nr 2 ⌋º µ Ë Ý k ÓÐÓÖ ×¸ ÐÐ Ñ ÑÓ× ÙÒÓ ÐÐÓ× Ð Ò Ó ÒØ ÕÙ ÑÓ× ØÓ Ó× ÐÓ× Ñ × ÓÑÓ Ò ÖÓº ÒØÓÒ ×¸ ÔÓÖ Ð ×Ó k = 2 Ý Ò Ð Þ Ó¸ ÓÒ r = (k − 1)n¸ Ö ×ÙÐØ ÕÙ Ð × Ô Ö × Ð Ò × × ÔÙ Ò × Ô Ö Ö Ò ÐÓ ×ÙÑÓ ⌊n2 (k−1) 2 ⌋ = n2 (k−1) 2 ´ÔÙ × ×Ø ÑÓ× ×ÙÔÓÒ Ò Ó ÕÙ n × Ô Öµº Ë ÓÖ × Ô Ö ÑÓ× Ð × Ô Ö × Ð ÙÒÓ ÐÓ× ÓÐÓÖ × ÕÙ ÒØ ÑÓ× ÓÑÓ Ò ÖÓ Ý ÓÒØ ÒÙ ÑÓ× × Ð Ñ ×Ñ Ñ Ò Ö × Ô Ö Ò Ó ÐÓ× ÓÐÓÖ × ÙÒÓ Ò ÙÒÓ¸ Ö ×ÙÐØ Ö ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÐÓÖ × × ÔÙ Ò × Ô Ö Ö Ò ÐÓ ×ÙÑÓ n2 (k − 1) 2 + n2 (k − 2) 2 + · · · + n2 2 = n2 k(k − 1) 4 . È Ö Ú Ö ÕÙ ×Ø ÓØ ÒÓ × ÔÙ Ñ ÓÖ Ö¸ × Ò C1¸º º º ¸ Ck ÐÓ× ÓÐÓÖ × Ý ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ Cs i ÙÒ ×Ù × Ò s Ô Ö × ÓÒ× ÙØ Ú × ÓÐÓÖ Ciº ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÖÖ ÐÓ C n 2 1 C n 2 2 . . . C n 2 k C n 2 k . . . C n 2 2 C n 2 1 º È Ö ÑÓÚ Ö ØÓ × Ð × Ô Ö × ÓÐÓÖ Ci Ð ÞÕÙ Ö ´Ó Ð Ö µ × Ò × Ø Ò Ð Ñ ÒÓ× (i − 1) n 2 2 + (k − 1 + k − i) n 2 2 = (2k − 2) n 2 2 = n2 (k − 1) 2 ÒØ Ö Ñ Ó׺ Ê Ô Ø Ò Ó Ð ÔÖÓ ×Ó Ö ×ÙÐØ ÕÙ Ð × Ô Ö Ò ØÓØ Ð Ö ÕÙ Ö Ð Ñ ÒÓ× n2 (k − 1) 2 + n2 (k − 2) 2 + · · · + n2 2 = n2 k(k − 1) 4 ÒØ Ö Ñ Ó׺ µ Ä Ö ×ÔÙ ×Ø × 3n2 −1 2 º ÈÓÖ ÐÓ Ú ×ØÓ Ð Ò Ó¸ × Ô Ö Ö ÙÒ ÓÐÓÖ Ö ÕÙ Ö ÐÓ ×ÙÑÓ ⌊n(2n) 2 ⌋ = n2 ÒØ Ö Ñ Ó׺ × Ô Ö Ö ÐÓ× Ó× ÓÐÓÖ × Ð × 2n Ô Ö × ÕÙ ÕÙ Ò
  • 74.
    ¼ ÇÐ ÑÔÁ ÖÓ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ö ÕÙ Ö ÐÓ ×ÙÑÓ ⌊n2 2 ⌋ = n2 −1 2 ÒØ Ö Ñ Ó׺ ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ m ≤ n2 + n2 − 1 2 = 3n2 − 1 2 . Ë ÐÓ× ØÖ × ÓÐÓÖ × ×ÓÒ A¸ B Ý C ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÖ Ð ÖÖ ÐÓ A n−3 2 B n−3 2 C n−3 2 ABCBCACABC n−3 2 B n−3 2 A n−3 2 . × Ð Ú Ö ÕÙ Ô Ö ÑÓÚ Ö Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× ØÖ × ÓÐÓÖ × ÙÒ ÜØÖ ÑÓ × Ö ÕÙ Ö Ò n2 ÒØ Ö Ñ Ó׸ ÐÙ Ó ÐÓ Ù Ð × Ö ÕÙ Ö Ò n2 −1 2 ÒØ Ö Ñ Ó× Ô Ö × Ô Ö Ö ÐÓ× Ó× ÓÐÓÖ × Ö ×Ø ÒØ ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð ÓØ 3n2 −1 2 ÒÓ × ÔÙ Ñ ÓÖ Öº
  • 75.
    Ô ØÙÐÓ ÇÐ ÑÔÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ×Ø × Ò ×Ø Ð ÇÐ ÑÔ ÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø × ¾¼½½¸ ÁÅǸ Ð Ö Ð ½¾ Ð ¾ ÂÙÐ Ó Ò Ñ×Ø Ö Ñº Ð ÕÙ ÔÓ Ú Ò ÞÓÐ ÒÓ ×ØÙÚÓ ÒØ Ö Ó ÔÓÖ ÐÓ× ÐÙÑÒÓ× ÖÐÓ× Ä Ñ × Ö Ò ×¸ Ð ÓÐ Ó ÁÒ Ô Ò¹ Ò ÖÕÙ × Ñ ØÓ Ý Ó È ÓÐ Ó Ó¸ Ð ÓÐ Ó ÄÓ× À ÔÓ ÑÔ ØÓ× ÐÓ× ÐØÓ× Å Ö Ò ÒÓ׺ Ð ØÙØÓÖ Ð Ð Ò Ù Ð ÔÖÓ ×ÓÖ Ä ÙÖ Î ÐÑ À ÖÖ ÖÓ Ð Ñ Ï × Ò ØÓÒ Ý Ð Ð Ð Ò Ð ÔÖÓ ×ÓÖ Ê Ð Ë Ò Þ Ä ÑÓÒ ¸ Ð Í Îº Ñ Ó× ÐÙÑÒÓ׸ ÖÐÓ× Ý Ó Ó ØÙÚ ÖÓÒ Ñ Ò¹ Ò ÓÒÓÖ ÔÓÖ ×Ù× ×ÓÐÙ ÓÒ × Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½¸ Ð × Ù Ð × × Ò ÐÑ ÒØ ¸ ×ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ö ×ÔÙ ×Ø Ó Ðº Ä × ×ÓÐÙ ÓÒ × ÕÙ ÑÓ× ÐÓ× ÔÖÓ Ð Ñ × ÔÐ ÒØ Ó× ×ÓÒ Ð × Ó Ð × Ð Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ × ÐÚÓ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¸ ÓÒ ÜÔÓÒ ÑÓ× ÙÒ ×ÓÐÙ Ò ÑÙÝ Ð ÒØ ÔÓÖ Ð ÔÖÓ ×ÓÖ Å ×× ÑÓ Ó ÒÓ¸ Ç × ÖÚ ÓÖ Ð ÕÙ ÔÓ Ø Ð ÒÓº º½º ÈÖÓ Ð Ñ × ÈÖ Ñ Ö ÈÖÓ Ð Ñ ½º È Ö Ù ÐÕÙ Ö ÓÒ ÙÒØÓ A = {a1, a2, a3, a4} Ù ØÖÓ ÒØ ÖÓ× ÔÓ¹ × Ø ÚÓ× ×Ø ÒØÓ× × ÒÓØ Ð ×ÙÑ a1 + a2 + a3 + a4 ÔÓÖ sAº Ë nA Ð Ò Ñ ÖÓ Ô Ö × (i, j) ÓÒ 1 ≤ i < j ≤ 4 Ô Ö Ð × Ù Ð × ai +aj Ú sAº Ò ÓÒØÖ Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× A Ù ØÖÓ ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× ×Ø ÒØÓ× Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × × Ð ÒÞ Ð Ñ ÝÓÖ Ú ÐÓÖ ÔÓ× Ð nA. ÈÖÓ Ð Ñ ¾º Ë S ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ Ò ØÓ Ó× Ó Ñ × ÔÙÒØÓ× Ð ÔÐ ÒÓº Ò S ÒÓ Ý ØÖ × ÔÙÒØÓ× ÓÐ Ò Ð ×º ÍÒ Ö ÑÓÐ ÒÓ × ÙÒ ÔÖÓ ×Ó ÕÙ ÑÔ Þ ÓÒ ÙÒ Ö Ø ℓ ÕÙ
  • 76.
    ¾ ÇÐ ÑÔÁÒØ ÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø Ô × ÔÓÖ ÙÒ Ò Ó ÔÙÒØÓ P ∈ S¸ Ð Ù Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Ô ÚÓØ º Ë ÖÓØ ℓ Ò Ð × ÒØ Ó Ð × Ñ Ò ÐÐ × Ð Ö ÐÓ ÓÒ ÒØÖÓ Ò Ð Ô ÚÓØ P ×Ø ÕÙ Ð Ö Ø Ò Ù ÒØÖ ÔÓÖ ÔÖ Ñ Ö Ú Þ ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ S Ð Ù Ð ÐÐ Ñ Ö ÑÓ× Qº ÓÒ Q ÓÑÓ ÒÙ ÚÓ ÒØÖÓ¸ ´Ô ÚÓØ µ¸ × × Ù ÖÓØ Ò Ó Ð Ö Ø Ò Ð × ÒØ Ó Ð × Ñ Ò ÐÐ × Ð Ö ÐÓ ×Ø ÕÙ Ð Ö Ø Ò Ù ÒØÖ ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ Sº ×Ø ÔÖÓ ×Ó ÓÒØ Ò Ò Ò Ñ ÒØ ¸ × Ò Ó × ÑÔÖ Ð ÒØÖÓ ÖÓØ Ò ÙÒ ÔÙÒØÓ Sº ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ × ÔÙ Ð Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ P ∈ S Ý ÙÒ Ö Ø ℓ ÕÙ Ô × ÔÓÖ P Ø Ð × ÕÙ Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ ÕÙ Ö ×ÙÐØ Ù× ÔÙÒØÓ S ÓÑÓ ÙÒ ÒØÖÓ ÖÓØ Ò ÙÒ Ò Ñ ÖÓ Ò Ò ØÓ Ú ×º ÈÖÓ Ð Ñ ¿º Ë f ÙÒ ÙÒ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × Ò × Ñ ×ÑÓ ÕÙ × Ø × f(x + y) ≤ yf(x) + f(f(x)) Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × x¸ yº ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ f(x) = 0 Ô Ö ØÓ x ≤ 0º Ë ÙÒ Ó ÈÖÓ Ð Ñ º Ë n > 0 ÙÒ ÒØ ÖÓº Ë ×ÔÓÒ ÙÒ Ð ÒÞ Ó× ÔÐ Ø ÐÐÓ× Ý n Ô × × ÙÝÓ× Ô ×Ó× ×ÓÒ 20 ¸ 21 , . . . , 2n−1 º Ë ÓÐÓ ÙÒ Ð × Ô × × Ò Ð Ð ÒÞ ¸ ÙÒ Ò ÙÒ ¸ Ñ ÒØ ÙÒ ×Ù × Ò n ÑÓÚ Ñ ÒØÓ׺ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓÚ Ñ ÒØÓ × Ð ÙÒ Ô × Ý × ÓÐÓ Ò Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ ÞÕÙ Ö Óº Ò ÙÒÓ ÐÓ× ÑÓÚ Ñ ÒØÓ× × Ù ÒØ × × Ð ÙÒ Ð × Ô × × Ö ×Ø ÒØ × Ý × ÓÐÓ Ò Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð ÞÕÙ Ö Ó Ò Ð Ð Ö º Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ò Ñ ÖÓ ÓÖÑ × ÐÐ Ú Ö Ó ×ØÓ× n ÑÓÚ Ñ ÒØÓ× Ñ Ò Ö Ø Ð ÕÙ Ò Ò Ò Ò ÑÓÑ ÒØÓ Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð Ö Ø Ò Ñ × Ô ×Ó ÕÙ Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð ÞÕÙ Ö º ÈÖÓ Ð Ñ º Ë f ÙÒ ÙÒ Ò Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× ÒØ ÖÓ× Ð ÓÒ ÙÒØÓ ÐÓ× ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ׺ Ë ×ÙÔÓÒ ÕÙ Ô Ö Ù Ð ×ÕÙ Ö Ó× ÒØ ÖÓ× m Ý n¸ Ð Ö Ò f(m) − f(n) × Ú × Ð ÔÓÖ f(m − n)º ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ô Ö ØÓ Ó× ÐÓ× ÒØ ÖÓ× m Ý n ÓÒ f(m) ≤ f(n)¸ Ð Ò Ñ ÖÓ f(n) × Ú × Ð ÔÓÖ f(m)º ÈÖÓ Ð Ñ º Ë ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ ÙØ Ò ÙÐÓ ÙÝ Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÙÒ× Ö Ø × Γº Ë ℓ ÙÒ Ö Ø Ø Ò ÒØ Γ¸ Ý × Ò ℓa¸ ℓb Ý ℓc Ð × Ö Ø × ÕÙ × Ó Ø Ò Ò Ð Ö Ö ℓ ÓÒ Ö ×Ô ØÓ Ð × Ö Ø × BC¸ CA Ý AB¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ º ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÙÒ× Ö Ø Ð ØÖ Ò ÙÐÓ Ø ÖÑ Ò Ó ÔÓÖ Ð × Ö Ø × ℓa¸ ℓb Ý ℓc × Ø Ò ÒØ Ð Ö ÙÒ Ö Ò Γº º¾º ËÓÐÙ ÓÒ × ½º ÑÓ×ØÖ ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× A Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × nA × Ñ Ü Ñ Ð ×ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ× Ð ÓÖÑ {d, 5d, 7d, 11d} Ó {d, 11d, 19d, 29d}¸ ÓÒ d × ÙÒ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº È Ö ×ØÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× Ð Ú ÐÓÖ nA × 4º
  • 77.
    º¾ ËÓÐÙ ÓÒ× ¿ ÑÓ×ØÖ ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ ÕÙ nA ≤ 4º Ë Ò Ô Ö Ò Ö Ð ÔÓ ÑÓ× ×Ù¹ ÔÓÒ Ö ÕÙ a1 < a2 < a3 < a4. Ç × ÖÚ × ÕÙ Ô Ö Ô Ö Ò × (i, j) ÓÒ 1 ≤ i < j ≤ 4, Ð ×ÙÑ ai + aj Ú sA × Ý ×ÓÐÓ × ¸ ai + aj Ú sA − (ai + aj) = ak + al, ÓÒ k Ý l ×ÓÒ ÐÓ× ÓØÖÓ× Ó× Ò ×º ÓÑÓ Ò ØÓØ Ð Ø Ò ÑÓ× 6 Ô Ö × ÓÖ Ò Ó× Ö ÒØ ×¸ Ö ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ Ð Ñ ÒÓ× Ó× ÐÐÓ× ÒÓ × Ø × Ò Ð ÓÒ Ò ÔÖ Ú º ÖÑ ÑÓ× ÕÙ ×Ó× Ó× Ô Ö × ×ÓÒ (a2, a4) Ý (a3, a4). ÓÑÓ a1 < a2 < a3 < a4, ÒØÓÒ × a2 + a4 > a1 + a3 Ý a3 + a4 > a1 + a2º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ a2 + a4 Ý a3 + a4 ÒÓ ÔÙ Ò Ú Ö sAº ×ØÓ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ nA ≤ 4º ÍÒ × ÑÔÐ Ð ÙÐÓ ÑÙ ×ØÖ ÕÙ nA = 4 × ÔÓÖ ÑÔÐÓ A = {1, 5, 7, 11}º Î ÑÓ× ÓÖ Ð ÓÖÑ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÒ ÙÒØÓ× A Ô Ö ÐÓ× Ù Ð × nA = 4º ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ nA = 4º ÈÓÖ Ð Ö ÙÑ ÒØÓ Ó ÒØ × Ø Ò ÑÓ× ÕÙ a1 + a4|a2 + a3 y a2 + a3|a1 + a4 a1 + a2|a3 + a4 y a3 + a4 ∤ a1 + a2 a1 + a3|a2 + a4 y a2 + a4 ∤ a1 + a3 ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ü ×Ø Ò ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× u Ý v ÓÒ u > v ≥ 2 Ø Ð ÕÙ a1 + a4 = a2 + a3 u(a1 + a2) = a3 + a4 v(a1 + a3) = a2 + a4 Ð ×ÙÑ Ö Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ò ÓÒ Ð Ø Ö Ö ¸ Ó Ø Ò ÑÓ× v(a1 +a3) = 2a2 +a3 −a1º Ë v ≥ 3, ÒØÓÒ × v(a1 + a3) ≥ 3(a1 + a3) > 3a3 > 2a2 + a3 > 2a2 + a3 − a1¸ ÐÓ Ù Ð × ÙÒ ÓÒØÖ Òº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ v = 2º Ë ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ð Ø Ö Ö Ù Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ ÑÓ× × ×ÙÑ ÔÓÖ 2¸ Ó Ø Ò ÑÓ׸ 6a1 + 2a3 = 4a2. Ë ÓÖ ×ÙÑ ÑÓ× Ð ÔÖ Ñ Ö Ý Ð × ÙÒ Ù Ò¸ ÒÓ× (u + 1)a1 + (u − 1)a2 = 2a3. Ð ×ÙÑ Ö ×Ø × Ó× ÐØ Ñ × Ù ÓÒ × Ó Ø Ò ÑÓ× (u + 7)a1 = (5 − u)a2. ÓÑÓ Ø ÒØÓ Ð Ð Ó ÞÕÙ Ö Ó ×Ø ÐØ Ñ Ù Ò ÓÑÓ a2 ×ÓÒ ÔÓ× Ø ÚÓ׸ × Ø Ò ÕÙ 5 − u ≥ 1º È ÖÓ × ÑÓ× ÕÙ u > v = 2¸ Ò ÓÒ× Ù Ò u = 3 Ó u = 4º ËÙ×Ø ØÙÝ Ò Ó ÐÓ× Ô Ö × (3, 2) Ý (4, 2) ÔÓÖ (u, v)¸ Ý Ö ×ÓÐÚ Ò Ó ÐÓ× × ×Ø Ñ × Ù ÓÒ × ÕÙ Ö ×ÙÐØ Ò ¸ Ò ÓÒØÖ ÑÓ× Ð × Ñ Ð × ×ÓÐÙ ÓÒ × {d, 5d, 7d, 11d} Ý {d, 11d, 19d, 29d}, ÓÒ d × ÙÒ ÒØ ÖÓ ÔÓ× Ø ÚÓº ¾º È Ö ÓÑ ÒÞ Ö Ö ÓÖ ÑÓ× ÕÙ Ó× Ö Ø × Ô Ö Ð Ð × Ø Ò Ð Ñ ×Ñ Ö Òº Ì Ñ Ò Ð ÔÓ ÑÓ× Ö ÓÖ ÒØ Ò ÙÒ Ö Ø Ý ×Ó ÐÓ Ò ÑÓ× ÓÒ ÙÒ
  • 78.
    ÇÐ ÑÔ ÁÒØÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ ÔÙÒØ Ò Ð × ÒØ Ó Ð ÓÖ ÒØ Ò Ð º Ò Ð ×Ó Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ ÑÓ× Ð Ö Ø Ò Ð ÙÒ ÓÖ ÒØ Ò Ý ×Ø Ò ÑÓ× Ñ Ó× × Ñ ÔÐ ÒÓ× Ø ÖÑ Ò Ó× ÔÓÖ Ð Ö Ø ÓÑÓ Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓ Ý Ð Ó ÞÙк Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ Ù Ò Ó Ð Ô ÚÓØ Ñ ÙÒ ÔÙÒØÓ T ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ U¸ ÐÙ Ó Ð Ñ Ó¸ T × Ò Ù ÒØÖ Ò Ð Ñ ×ÑÓ Ð Ó Ò Ð Ù Ð × Ò ÓÒØÖ Ò ÐÑ ÒØ Uº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ð Ò Ñ ÖÓ Ð Ñ ÒØÓ× S Ò Ð Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓ Ý Ò Ð Ð Ó ÞÙи Ô ÖÑ Ò ÒÚ Ö ÒØ ÙÖ ÒØ ØÓ Ó Ð ÔÖÓ ×Óº T T T U U U ÓÒ× Ö ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ Ð ×Ó ÓÒ |S| = 2n+1 × ÙÒ Ò Ñ ÖÓ ÑÔ Öº ÖÑ ¹ ÑÓ× ÕÙ Ô Ö ÔÙÒØÓ T ∈ S¸ Ü ×Ø ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ú S Ø Ð ÓÖÑ ÕÙ Ý n ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓ Ý n ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ð Ó ÞÙк Ò ØÓº Ð ÑÓ× ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÒØ ÕÙ Ô × ÔÓÖ T Ý ÒÓ ÓÒØ Ò ÓØÖÓ ÔÙÒØÓ S Ý ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ Ý n + r ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓº Ë r = 0¸ ÒØÓÒ × ÒÓ Ý Ò ÕÙ ¹ ÑÓ×ØÖ Ö¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ r > 0º Ù Ò Ó ÖÓØ ÑÓ× Ð Ö Ø ÓÒ ÒØÖÓ Ò T Ò ÙÒ Ò ÙÐÓ 180◦ ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÔÙÒØÓ× S Ò ×Ù Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓ Ñ Ò 1 Ñ ÕÙ Ð Ö Ø Ú Ô × Ò Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ ×ÔÙ × 180◦ ¸ Ð Ò Ñ ÖÓ ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ð Ó Ñ Ö ÐÐÓ × Ö n − rº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ü ×Ø ÙÒ Ø Ô ÒØ ÖÑ Ò Ð Ù Ð Ð Ó¸ Ð Ñ Ö ÐÐÓ Ý Ð ÞÙи Ø Ò Ò n ÔÙÒØÓ× ÙÒÓº ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÖ ÓÑÓ ×Ø Ó Ò Ð Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö P Ý ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ P Ý ÕÙ × Ô Ö S Ò Ó× Ô ÖØ × Ù Ð ×¸ ÓÒ n ÔÙÒØÓ× ÙÒ º ÑÓ×ØÖ ÑÓ× ÕÙ ÙÖ ÒØ ÙÒ ÖÓØ Ò 180¸ Ð Ö Ø Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ Ô × Ö ÔÓÖ ÔÙÒØÓ S¸ ÓÒÚ ÖØ Ò ÓÐÓ Ò ÙÒ Ô ÚÓØ º È Ö Ú Ö ×ØÓ¸ ØÓÑ ÑÓ× ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö T S Ý ÙÒ Ö Ø ℓ ÕÙ Ô × ÔÓÖ T Ý ÕÙ × Ô Ö S Ò Ó× Ô ÖØ × Ù Ð ×º ×Ø Ö Ø × Ò ÔÙ × ØÖ ×Ð ÓÒ × Ô Ö Ð Ð × ÖÓÑÔ Ò Ð Ð Ò Ð ×ØÖ Ù Ò ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Sº Ó ÓØÖ ÓÖÑ ¸ Ð ÔÙÒØÓ T × Ð Ò Ó ÔÙÒØÓ S ÔÓÖ Ð Ù Ð ÔÙ Ô × Ö ÙÒ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ×Ñ Ö Ò ÕÙ ℓ Ý ÕÙ × Ô Ö S Ò Ó× Ô ÖØ × Ù Ð ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ Ù Ò Ó Ð Ö Ø Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ × Ô Ö Ð Ð ℓ¸ ÐÐ × Ö ℓ¸ Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ô × ÔÓÖ T º
  • 79.
    º¾ ËÓÐÙ ÓÒ× ÓÖ ×ÙÔÓÒ ÑÓ× ÕÙ |S| = 2nº Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð ×Ó ÑÔ Ö¸ Ô Ö ØÓ Ó ÔÙÒØÓ T ∈ S¸ Ü ×Ø ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÒØ ÕÙ Ô × ÔÓÖ T ÓÒ n − 1 ÔÙÒØÓ× Ò ×Ù Ô ÖØ Ñ Ö ÐÐ Ý n ÔÙÒØÓ× Ò ×Ù Ô ÖØ ÞÙк Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö P¸ Ð ÑÓ× × Ö Ø ÓÖ ÒØ ÕÙ Ô × ÔÓÖ P ÓÑÓ Ð ×Ø Ó Ò Ð Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ º Î ÑÓ× ÕÙ ÙÖ ÒØ ÙÒ ÖÓØ Ò 360◦ ¸ Ð Ö Ø Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ Ú × Ø Ö ÔÙÒØÓ S ÓÑÓ ÙÒ Ô ÚÓØ º Ò ØÓ¸ Ð ÑÓ× ÙÒ ÔÙÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö T S Ý ÙÒ Ö Ø ÓÖ ÒØ ℓ ÕÙ Ô × ÔÓÖ T Ý ÕÙ × Ô Ö S Ø Ð Ñ Ò Ö ÕÙ Ý n − 1 ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ô ÖØ Ñ Ö ÐÐ Ý n ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ô ÖØ ÞÙк ÒÙ ÚÓ ØÖ ×Ð ÓÒ × Ô Ö Ð Ð × Ñ Ö Ò Ð Ò Ñ ÖÓ ÔÙÒØÓ× Ò Ð Ô ÖØ × Ñ Ö ÐÐ Ý ÞÙи ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ù Ò Ó Ð Ö Ø Ð Ö ÑÓÐ ÒÓ × Ô Ö Ð Ð ℓ Ý ÓÒ Ð Ñ ×Ñ ÓÖ ÒØ Ò¸ ÐÐ Ô × Ö ÔÓÖ T º ¿º ÄÐ Ñ ÑÓ× (1) Ð × Ù Ð Ð ÒÙÒ Óº À Ò Ó Ð ×Ù×Ø ØÙ Ò y = t−x Ó Ø Ò ÑÓ× Ð × Ù Ð f(t) ≤ tf(x) − xf(x) + f(f(x)) (2) . ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÖ Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð × a Ý b Ù Ð ×ÕÙ Ö Ý Ù× Ò Ó (2) ÔÖ Ñ ÖÓ ÓÒ t = f(a) Ý x = b Ý ÐÙ Ó ÓÒ t = f(b) Ý x = a¸ Ø Ò ÑÓ× Ð × × Ù Ð × f(f(a)) − f(f(b)) ≤ f(a)f(b) − bf(b) f(f(b)) − f(f(a) ≤ f(a)f(b) − af(a). ×ÙÑ Ò Ó ×Ø × Ó× × Ù Ð × Ý ×Ô Ò Ó ÒÓ× ÕÙ 2f(a)f(b) ≥ af(a) + bf(b). Ë ÑÓ× Ð ×Ù×Ø ØÙ Ò b = 2f(a) Ó Ø Ò ÑÓ× 2f(a)f(b) ≥ af(a)+ 2f(a)f(b)¸ Ó Ò af(a) ≤ 0º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ f(a) ≥ 0 para todo a < 0. (3) ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÓÖ ÕÙ f(x) > 0 Ô Ö Ð Ò Ò Ñ ÖÓ Ö Ð xº ÓÒ× Ö ÑÓ× ÓÖ ØÓ Ó Ò Ñ ÖÓ Ö Ð t¸ Ø Ð ÕÙ t < xf(x) − f(f(x)) f(x) . ×Ô Ò Ó¸ tf(x)−xf(x)+f(f(x)) < 0¸ ÒØÓÒ × ÔÓÖ (2)¸ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ f(t) < 0¸ Ý ×ØÓ ÓÒØÖ (3)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ f(x) ≤ 0 para todo x ∈ R. (4) Í× Ò Ó ÓØÖ Ú Þ (3)¸ Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ f(x) = 0 Ô Ö ØÓ Ó x < 0. È Ö Ò Ð Þ Ö ×ÓÐÓ ÒÓ× ÕÙ Ð ÙÐ Ö f(0)º ÈÓÒ ÑÓ× t = x < 0 Ò (2)º Ç Ø ¹ Ò ÑÓ× f(x) ≤ f(f(x))º È ÖÓ Ù Ò Ó x < 0 × ÑÓ× ÕÙ f(x) = 0¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ
  • 80.
    ÇÐ ÑÔ ÁÒØÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø ÕÙ Ø Ò ÑÓ× × ÕÙ 0 ≤ f(0). ÓÑ Ò Ó ×ØÓ ÓÒ (4) ÒÓ× ÕÙ ÕÙ f(0) = 0 Ý ÑÓ× Ø ÖÑ Ò Ó Ð ÑÓ×ØÖ Òº º ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ f(n) Ð Ò Ñ ÖÓ Ñ Ò Ö ÓÐÓ Ö Ð × n Ô × ×º ÑÓ×ØÖ Ö ¹ ÑÓ× ÔÓÖ Ò Ù Ò ×Ó Ö n ≥ 1 ÕÙ f(n) = (2n−1)!! = 1·3·5 · · · (2n−1). ÈÖ Ñ ÖÓ Ó × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ f(1) = 1. ËÙÔÓÒ ÑÓ× ÓÖ ÕÙ n ≥ 2º ÖÑ ÑÓ× ÒØÓÒ × ÕÙ f(n) = (2n − 1)f(n − 1). ´ º½µ ÓÑ Ò ÑÓ× Ó × ÖÚ Ò Ó ÕÙ ÐÙ Ó Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð ÞÕÙ Ö × × ÑÔÖ Ñ × Ô × Ó ÕÙ Ð Ð Ö Ò Ð Ñ ÒÓ× 1º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ù ÐÕÙ Ö Ñ Ò Ö Ú Ð ÓÐÓ Ö Ð × n Ô × × Ò Ð Ð ÒÞ ¸ ÐÙ Ö¸ × Ò ÓÒ¹ × Ö Ö Ð Ô × Ô ×Ó 1¸ ÙÒ Ñ Ò Ö Ú Ð ÓÐÓ Ö Ð × Ô × × Ô ×Ó× 2, 22 , . . . , 2n−1 . Ë ÓÖ Ú ÑÓ× ÐÓ× Ô ×Ó× ÔÓÖ 2¸ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø ÒÓ Ñ ¸ × Ù ¹ ÑÓ× Ø Ò Ò Ó ÙÒ Ñ Ò Ö Ú Ð ÓÐÓ Ö Ð × Ô × × Ô ×Ó× 1, 2, 22 , . . . , 2n−2 º ÈÓÖ Ò Ù Ò ×Ø × n − 1 Ô × × × ÔÙ Ò ÓÐÓ Ö f(n − 1) ÓÖÑ × ×Ø ÒØ ×º Î ÑÓ× ÓÖ ÕÙ Ö ÓÒ Ð Ô × Ô ×Ó 1º Ë Ð ÔÓÒ ÑÓ× Ò Ð Ð ÒÞ Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓÚ Ñ ÒØÓ¸ ÐÐ Ö × Ö ÔÙ ×Ø Ò Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð ÞÕÙ Ö ¸ × ÒÓ Ð ÔÓÒ ÑÓ× Ò Ð ÔÖ Ñ Ö ÑÓÚ Ñ ÒØÓ¸ ÒØÓÒ × ÓÑÓ ÐÙ Ó ×Ø ÔÖ Ñ Ö ÑÓÚ Ñ ÒØÓ Ð Ö Ò Ô ×Ó× ÒØÖ Ð ÔÐ Ø ÐÐÓ Ð ÞÕÙ Ö Ý Ð Ð Ö × Ð Ñ ÒÓ× 2¸ ÒØÓÒ ×¸ Ð Ô × Ô ×Ó 1 Ð ÔÓ ÑÓ× ÓÐÓ Ö Ò Ù ÐÕÙ Ö ÐÓ× Ó× ÔÐ Ø ÐÐÓ׸ Ó Ø Ò Ò Ó ÙÒ Ñ Ò Ö Ú Ð ×ÔÓÒ Ö Ð × Ô × × Ò Ð Ð ÒÞ º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ö 2n − 1 Ñ Ò Ö × Ö ÒØ × Ò× ÖØ Ö Ð Ô ×Ó 1 Ò ÙÒ Ð × f(n − 1) × Ù Ò × Ú Ð × ÕÙ Ø Ò ÑÓ× Ô Ö Ð × Ô × × 2, 22 , . . . , 2n−1 . ×ØÓ ÑÙ ×ØÖ ÐÓ ÖÑ Ó Ý ÔÓÖ Ò Ù Ò Ó Ø Ò ÑÓ× ÕÙ f(n) = (2n − 1)f(n − 1) = (2n − 1)(2n − 3) · · · 5 · 3 · 1. º ËÓÐÙ Ò Å ×× ÑÓ Ó ÒÓ Ë f(Z) = {a1, a2, . . . } Ð Ñ Ò Ð ÙÒ Ò f¸ ÓÒ a1 < a2 < a3 < . . . º ÑÓ×ØÖ Ö ÑÓ× ÕÙ ai Ú ai+1 Ô Ö ØÓ Ó i ≥ 1. Ò ØÓº Ë Ò x y ÒØ ÖÓ× Ø Ð × ÕÙ f(x) = ai Ý f(y) = ai+1. À Ò Ó m = x Ý n = y Ø Ò ÑÓ× ÕÙ ¸ f(x − y)|f(x) − f(y), Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ f(x − y)|f(y) − f(x). È ÖÓ f(y) − f(x) = ai+1 − ai < ai+1. ÒØÓÒ × f(x − y) < ai+1 Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ f(x − y) ≤ ai = f(x)º Ë f(x − y) < f(x)¸ ÒØÓÒ × f(x) − f(x − y) > 0º À Ò Ó m = x Ý n = x − y Ø Ò ÑÓ× ÕÙ
  • 81.
    º¾ ËÓÐÙ ÓÒ× f(y) = f(x − (x − y))|f(x) − f(x − y). ÓÑÓ f(x) − f(x − y) > 0 Ø Ò ÑÓ× ÕÙ f(y) ≤ f(x) − f(x − y) < f(x) < f(y), ÐÓ Ù Ð × ×ÙÖ Óº Ë f(x − y) = f(x)¸ ÒØÓÒ × f(x − y)|f(x) − f(y)¸ ÐÓ Ù Ð ÑÔÐ ÕÙ f(x) Ú f(y)¸ ÓÑÓ ÕÙ Ö ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Öº º ÓÑ Ò ÑÓ× ×Ø Ð Ò Ó ÙÒ ÒÓØ Ò ÕÙ Ð Ø Ö Ð ÜÔÐ Ò Ð ×ÓÐÙ Òº È Ö Ó× Ö Ø × m Ý n¸ ÒÓØ Ö ÑÓ× ÔÓÖ ∠(m, n) Ð Ò ÙÐÓ Ñ ÒØ Ð Ù Ð ÔÓ ÑÓ× ÖÓØ Ö Ð Ö Ø m Ò Ð × ÒØ Ó ÓÒØÖ Ö Ó Ð × Ù × Ð Ö ÐÓ ¸ ×Ø Ó Ø Ò Ö ÙÒ Ö Ø Ô Ö Ð Ð nº ÍÒ Ò ÙÐÓ ∠(m, n) Ö Ð ÒÓÑ Ö Ò ÙÐÓ ÓÖ ÒØ Óº × Ð ÖÓ ÕÙ ØÓ Ó× ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÓÖ ÒØ Ó× ×ÓÒ ÓÒ× Ö Ó× Ñ ÙÐÓ 180◦ º l la lb lc Γ A B C T D E F A′ B′ C′ = S A′′ C′′ B′′ K X I Î ÑÓ× ÓÖ ÓÒ Ð ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ 6º ÒÓØ ÑÓ× ÔÓÖ T Ð ÔÙÒØÓ Ø Ò Ò ℓ Ý Γº Ë A′ = ℓb ∩ ℓc¸ B′ = ℓa ∩ ℓc Ý C′ = ℓa ∩ ℓbº ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ÔÙÒØÓ A′′ Ò Γ Ø Ð ÕÙ T A = AA′′ ´A′′ = T × ÐÚÓ ÕÙ T A × ÙÒ Ñ ØÖÓ Γµº Ò ÑÓ× ÐÓ× ÔÙÒØÓ× B′′ Ý C′′ Ñ Ò Ö Ò ÐÓ º ÓÑÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× C Ý B ×ÓÒ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× Ñ Ó× ÐÓ× Ö Ó× T C′′ Ý T B′′ ¸ Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ ¸ Ø Ò ÑÓ× ∠(ℓ, B′′ C′′ ) = ∠(ℓ, T C′′ ) + ∠(T C′′ , B′′ C′′ ) = 2∠(ℓ, T C) + 2∠(T C′′ , BC′′ ) = 2(∠(ℓ, T C) + ∠(T C, BC)) = 2∠(ℓ, BC) = ∠(ℓ, ℓa).
  • 82.
    ÇÐ ÑÔ ÁÒØÖÒ ÓÒ Ð Å Ø Ñ Ø Ò ÓÒ× Ù Ò ℓa Ý B′′ C′′ ×ÓÒ Ö Ø × Ô Ö Ð Ð ×º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ℓb Ý A′′ C′′ ×ÓÒ Ô Ö Ð Ð × Ý ℓc Ý A′′ B′′ ×ÓÒ Ô Ö Ð Ð ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ ÐÓ× ØÖ Ò ÙÐÓ× A′ B′ C′ Ý A′′ B′′ C′′ Ó Ò ×ÓÒ × Ñ ÒØ × Ó ×ÓÒ ÙÒÓ Ñ Ò Ð ÓØÖÓ ÔÓÖ ØÖ ×Ð Òº Î ÑÓ× ÑÓ×ØÖ Ö ÕÙ ÐÐÓ× ×ÓÒ × Ñ ÒØ ×¸ ÑÓ×ØÖ Ò Ó ÕÙ ÙÒÓ × Ñ Ò Ð ÓØÖÓ Ñ ÒØ ÙÒ ÓÑÓØ ÙÝÓ ÒØÖÓ × ÙÒ ÔÙÒØÓ K ÕÙ Ô ÖØ Ò Γº ×ØÓ ÑÔÐ Ö ÒØÓÒ × ÕÙ Ð × Ö ÙÒ Ö Ò × Ö ÙÒ× Ö Ø × ×ØÓ× Ó× ØÖ Ò ÙÐÓ× ×ÓÒ Ø Ñ Ò ÓÑÓØ ¹ Ø × ÓÒ Ö ×Ô ØÓ K Ý ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ Ø Ò ÒØ × Ò ×Ø ÔÙÒØÓ¸ ÕÙ × ÐÓ ÕÙ × ÕÙ Ö ÑÓ×ØÖ Öº ÑÓ×ØÖ ÑÓ× ÔÖ Ñ ÖÓ Ó× ÖÑ ÓÒ × ÖÑ Ò ½ Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò X Ð × Ö Ø × B′′ C Ý BC′′ Ô ÖØ Ò Ð Ö Ø ℓaº Ò ØÓ Ä × Ö Ø × CT Ý CB′′ ×ÓÒ × Ñ ØÖ × ÓÒ Ö ×Ô ØÓ BC Ý Ø Ñ Ò ÐÓ ×ÓÒ Ð × Ö Ø × BT Ý BC′′ ¸ ÔÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ X Ý T ×ÓÒ × Ñ ØÖ Ó× ÓÒ Ö ×Ô ØÓ BCº Ò ÓÒ× Ù Ò ÓÑÓ T Ô ÖØ Ò ℓ¸ ÒØÓÒ × X Ô ÖØ Ò ℓa¸ ÕÙ × ÔÓÖ ÓÒ×ØÖÙ Ò¸ × Ñ ØÖ ℓ ÓÒ Ö ×Ô ØÓ BCº ÖÑ Ò ¾ Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò I Ð × Ö Ø × BB′ Ý CC′ Ô ÖØ Ò Ð Ö ÙÒ Ö Ò Γº Ò ØÓ ÓÒ× Ö ÑÓ× Ð ×Ó Ò Ð Ù Ð ℓ ÒÓ × Ô Ö Ð Ð ÐÓ× Ð Ó× Ð ØÖ Ò ÙÐÓ ABCº ÄÓ× ÓØÖÓ× ×Ó× × ÔÙ Ò Ú ×ØÓ× ÓÑÓ ×Ó× Ð Ñ Ø º Ë Ò D Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò ℓ Ý BC¸ E Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò ℓ Ý AC Ý F Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò ℓ Ý ABº ÈÓÖ Ð × Ñ ØÖ ¸ Ð Ö Ø BD × × ØÖ Þ ÙÒÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÕÙ × ÓÖÑ Ò ÒØÖ Ð × Ö Ø × B′ D Ý FDº Ò ÐÓ Ñ ÒØ FB × × ØÖ Þ ÙÒÓ ÐÓ× Ò ÙÐÓ× ÒØÖ Ð × Ö Ø × B′ F Ý DFº ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ B Ó Ò × Ð Ò ÒØÖÓ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ B′ DF Ó ÙÒÓ ×Ù× Ü ÒØÖÓ׺ Ù ÐÕÙ Ö × Ð ×Ó Ø Ò Ö ÑÓ× ÕÙ ∠(BD, DF) + ∠(DF, FB) + ∠(B′ B, B′ D) = 90◦ Ý ÒØÓÒ × ∠(B′ B, B′ C′ ) = ∠(B′ B, B′ D) = 90◦ − ∠(BC, DF) − ∠(DF, BA) = 90◦ − ∠(BC, AB). Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ ∠(C′ C, B′ C′ ) = 90◦ − ∠(BC, AC)º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸ ∠(BI, CI) = ∠(B′ B, B′ C′ ) + ∠(B′ C′ , C′ C) = ∠(BC, AC) − ∠(BC, AB) = ∠(AB, AC). × Ö¸ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A¸ B¸ I Ý C ×ÓÒ ÓÒ Ð Ó× Ý I Ô ÖØ Ò Γ¸ ÓÑÓ ÑÓ× ÖÑ Óº ÓÖ ÔÓ ÑÓ× ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ×ÓÐÙ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñ º Ë K Ð × ÙÒ Ó ÔÙÒ¹ ØÓ ÒØ Ö× Ò B′ B′′ Ý Γº ÔÐ Ò Ó Ð Ì ÓÖ Ñ È × Ð Ð Ü ÓÒÓ KB′′ CIBC′′ Ø Ò ÑÓ× ÕÙ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× B′ = KB′′ ∩ IB¸ X = B′′ C ∩ BC′′ Ý S = CI ∩ C′′ K ×ÓÒ ÓÐ Ò Ð ×º ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ S = CI ∩ B′ X = C′ , Ý ÐÓ× ÔÙÒ¹ ØÓ× C′ ¸ C′′ Ý K ×ÓÒ ÓÐ Ò Ð ×º ÄÙ Ó K × Ð ÔÙÒØÓ ÒØ Ö× Ò B′ B′′ Ý C′ C′′ ¸ ÐÓ Ù Ð ÑÔÐ ÕÙ K × Ð ÒØÖÓ Ð ÓÑÓØ ÕÙ ÔÐ Ð ØÖ Ò ÙÐÓ A′ B′ C′ Ò Ð ØÖ Ò ÙÐÓ A′′ B′′ C′′ ¸ Ý ÒØÓÒ × K Ô ÖØ Ò Γº
  • 83.
    ÐÓ× Ö Ó ýÒÙÐÓ Ò× Ö ÔØÓº Ë A¸ B Ý C ×ÓÒ ÔÙÒØÓ× ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÒØÖÓ O¸ × ÕÙ Ð Ò ÙÐÓ ∠ABC ×Ø Ò× Ö ÔØÓ Ò Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ý ÕÙ ×Ù Ø Ò Ð Ö Ó AC ÕÙ ÒÓ ÓÒØ Ò Bº Ä Ñ ∠ABC × Ù Ð Ð Ñ Ø Ð Ò ÙÐÓ ÒØÖ Ð ∠AOCº ýÒ ÙÐÓ × Ñ Ò× Ö ÔØÓº × Ð ÕÙ Ø Ò Ð Ú ÖØ Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ¸ ÙÒ Ð Ó Ø Ò ÒØ Ð Ñ ×Ñ Ý Ð ÓØÖÓ × ÒØ º ÒØÖÓ Ö Ðº × ØÖ × Ö ÙÒ Ö Ò × ÓÒ ÒØÖÓ× ÒÓ Ð Ò Ó׸ × Ð Ò Ó ÔÙÒØÓ ÕÙ Ø Ò Ù Ð ÔÓØ Ò Ö ×Ô ØÓ ØÓ × ÐР׺ Ö ÙÐÓ ÔÓÐÓÒ Óº × Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× P Ð ÔÐ ÒÓ Ø Ð × ÕÙ ×Ù Ö Þ Ò ×Ø Ò × Ó× ÔÙÒØÓ× Ó× A Ý B × ÙÒ ÓÒ×Ø ÒØ r > 0¸ r = 1º × ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ÙÝÓ ÒØÖÓ ×Ø ×Ó Ö Ð × Ñ ÒØÓ ABº ´Ë r = 1 Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó × Ð Ñ ØÖ Þ Ð × Ñ ÒØÓ ABµº Ö ÙÒ Ö ÙÐÓº × Ð ´ Ò µ Ö ÙÒ Ö Ò ÕÙ Ô × ÔÓÖ ÐÓ× ØÖ × Ú ÖØ × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº Ö ÙÒ Ö Ò Ö ÙÒ× Ö ÔØ º Î Ö Ö ÙÒ Ö ÙÐÓº Ó ÒØ ÒÓÑ Ðº × Ð Ó ÒØ xk Ò Ð × ÖÖÓÐÐÓ (1 + x)n º Ì Ñ¹ Ò × Ù Ð Ð Ò Ñ ÖÓ ×Ù ÓÒ ÙÒØÓ× k Ð Ñ ÒØÓ× ÕÙ Ø Ò ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ n Ð Ñ ÒØÓ׺ Ë ÒÓØ  n k ¡ Ý ÔÙ Ð ÙÐ Ö× × n k = n! k!(n − k)! = n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1 · 2 · 3 · · · n . ÓÐ Ò Ð ×º × ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÕÙ ×Ø Ò ×Ó Ö ÙÒ Ñ ×Ñ Ð Ò Ö Ø º ÓÔÖ ÑÓ׺ ´Ó ÔÖ ÑÓ× Ö Ð Ø ÚÓ×µº × Ó× Ò Ñ ÖÓ× ÒØ ÖÓ× × Ò ØÓÖ × ÔÖ ÑÓ× ÓÑÙÒ × ´Ó¸ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ ¸ ÙÝÓ Ñ Ü ÑÓ ÓÑ Ò Ú ×ÓÖ × ½µº Ù Ö Ð Ø ÖÓ Ð Ó ´Ø Ñ Ò ÐÐ Ñ Ó ÓÒ Ð Ó Ó Ò× Ö ÔØ Ð µº × ÙÒ Ù ¹ Ö Ð Ø ÖÓ ÕÙ ÔÙ × Ö Ò× Ö ÔØÓ Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò ¸ × Ö¸ Ø Ð ÕÙ
  • 84.
    ¼ ÐÓ× ÖÓ Ð ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ô × ÔÓÖ ×Ù× Ù ØÖÓ Ú ÖØ ×º ÍÒ ÓÒ Ò Ò × ¹ Ö Ý ×Ù ÒØ Ô Ö ÕÙ ÙÒ Ù Ö Ð Ø ÖÓ × Ð Ó × ÕÙ Ø Ò ÙÒ Ô Ö Ò ÙÐÓ× ÓÔÙ ×ØÓ× ×ÙÔÐ Ñ ÒØ Ö Ó׺ Ù Ø ÖÒ ÖÑ Ò º ÄÓ× ÔÙÒØÓ× Ð Ò Ó× A¸ B¸ C Ý D ÓÖÑ Ò ÙÒ Ù Ø ÖÒ ÖÑ Ò × Ý × ÐÓ × Ü Ø Ñ ÒØ ÙÒÓ ÐÓ× ÔÙÒØÓ× A Ý B Ô ÖØ Ò Ð × Ñ ÒØÓ CD Ý Ñ × × ÙÑÔÐ AC AD = BC BD º Ö Ðº × Ó× Ö ÙÒ Ö Ò × ÒÓ ÓÒ ÒØÖ ×¸ × Ð ÐÙ Ö ÓÑ ØÖ Ó ÐÓ× ÔÙÒØÓ× ÕÙ Ø Ò Ò Ù Ð ÔÓØ Ò Ö ×Ô ØÓ Ñ ×º Ë ÑÔÖ × ÙÒ Ö Ø Ô ÖÔ Ò ÙÐ Ö Ð ÕÙ ÙÒ ÐÓ× ÒØÖÓ× Ñ × Ö ÙÒ Ö Ò ×º ÁÒ ÒØÖÓº × Ð ÔÙÒØÓ Ò ÕÙ ÓÒ ÙÖÖ Ò Ð × ØÖ × × ØÖ × ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓº ÓÑÓ ÕÙ ×Ø ÐÓ× ØÖ × Ð Ó× Ð ØÖ Ò ÙÐÓ¸ × Ð ÒØÖÓ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ø Ò ÒØ ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ ÐÐÓ׺ ÁÒ Ö ÙÐÓº × Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ø Ò ÒØ ÒØ ÖÒ Ñ ÒØ ÐÓ× ØÖ × Ð Ó× ÙÒ ØÖ Ò¹ ÙÐÓº ÈÓØ Ò º Ë Ò P ÙÒ ÔÙÒØÓ¸ Γ ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò Ý r ÙÒ Ö Ø ÕÙ Ô × ÔÓÖ P Ý ÓÖØ Ð Ö ÙÒ Ö Ò Ò A Ý B ´× r × Ø Ò ÒØ Γ ÓÒ× Ö ÑÓ× ÕÙ A = Bµº ÒØÓÒ × Ð ÔÖÓ Ù ØÓ PA · PB ÒÓ Ô Ò r¸ Ý ×Ù Ú ÐÓÖ × ÔÓÖ Ò Ò Ð ÔÓØ Ò P Ö ×Ô ØÓ Γ¸ ÈÓØ(P, Γ)º Ä × ×Ø Ò × PA Ý PB × ÓÒ× Ö Ò ÓÖ ÒØ ×¸ × Ö ÕÙ Ð ÔÓØ Ò × ÔÓ× Ø Ú Ó Ò Ø Ú × Ò ÕÙ P × ÜØ Ö ÓÖ Ó ÒØ Ö ÓÖ Γº Ç Ú Ñ ÒØ ÈÓØ(P, Γ) = 0 × Ý × ÐÓ × P Ô ÖØ Ò Γº ÈÖ Ò Ô Ó Ð × × ÐР׺ Ë n Ó ØÓ× × ×ØÖ ÙÝ Ò Ò k ׸ Ý n > k¸ Ò¹ ØÓÒ × Ð ÙÒ Ö Ñ × ÙÒ Ó ØÓº Ê Þ Ò ÙÖ º Ë ÕÙ ÙÒ ÔÙÒØÓ C Ú ÙÒ × Ñ ÒØÓ AB Ò Ñ Ý ÜØÖ Ñ Ö Þ Ò × AB/BC = AC/ABº Ò ×Ø ×Ó Ð Ö Þ Ò AC/AB × Ð ÓÒÓ ÓÑÓ Ö Þ Ò ÙÖ ¸ Ò Ñ ÖÓ ÙÖ Ó¸ Ú Ò ÔÖÓÔÓÖ Ò Ý Ú Ö Ó× ÓØÖÓ× ÒÓÑ Ö ×º Ë ×Ù Ð ÒÓØ Ö ÓÒ Ð Ð ØÖ Ö ϕ Ý ×Ù Ú ÐÓÖ × ϕ = 1 + √ 5 2 . Ì ÓÖ Ñ Ð × ØÖ Þº Ë Ò ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ¸ V Ð ÔÙÒØÓ Ò ÕÙ Ð × ØÖ Þ × A ÓÖØ Ð Ð Ó BC Ý U Ð ÔÙÒØÓ Ò ÕÙ Ð × ØÖ Þ ÜØ Ö ÓÖ ÔÓÖ A ÓÖØ Ð ÔÖÓÐÓÒ Ò Ð Ð Ó BCº ÒØÓÒ × V B V C = UB UC = AB AC = BC AB + AC .
  • 85.
    ÐÓ× Ö Ó½ Ì ÓÖ Ñ Å Ò Ð Óº Ë ABC ÙÒ ØÖ Ò ÙÐÓ Ý × Ò P¸ Q Ý R ØÖ × ÔÙÒØÓ× Ù Ó× Ö ×Ô Ø Ú Ñ ÒØ Ò Ð × Ö Ø × BC¸ CA Ý AB Ý Ö ÒØ × A¸ B Ý Cº ÒØÓÒ × P¸ Q Ý R ×Ø Ò Ð Ò Ó× × Ý × ÐÓ × BP PC · CQ QA · AR RB = 1. Ì ÓÖ Ñ È × Ðº Ë ABCDEF ÙÒ Ü ÓÒÓ Ò× Ö ÔØÓ Ò ÙÒ Ö ÙÒ Ö Ò¹ ´Ó¸ Ñ × Ò Ò Ö Ð¸ Ò Ù ÐÕÙ Ö Ò µº ÒØÓÒ ×¸ × × ÜØ Ò Ò ÐÓ× Ô Ö × Ð Ó× ÓÔÙ ×ØÓ× ×Ø ÕÙ × ÓÖØ Ò¸ ÐÓ× ØÖ × ÔÙÒØÓ× ÒØ Ö× Ò K = AB · DE¸ L = BC · EF Ý M = CD · FA ×Ø Ò Ð Ò Ó׺ B C D E F A K L M Ì ÖÒ Ô Ø Ö º × ÙÒ ÓÒ ÙÒØÓ ØÖ × ÒØ ÖÓ× ÔÓ× Ø ÚÓ× a¸ b Ý c ÕÙ ÙÑÔÐ Ò Ð Ö Ð Ò a2 + b2 = c2 º Ë mcd(a, b, c) = 1 Ð Ø ÖÒ × ÔÖ Ñ Ø Ú º Ò × ×Ó a Ý b Ò × Ö Ö ÒØ Ô Ö ¸ ÑÓ× a ÑÔ Ö Ý b Ô Ö¸ Ý × ÔÙ ÔÖÓ Ö ÕÙ Ü ×Ø Ò ÒØ ÖÓ× u Ý v¸ ÓÔÖ ÑÓ× Ý Ö ÒØ Ô Ö ¸ Ø Ð × ÕÙ a = u2 − v2 ¸ b = 2uv Ý c = u2 + v2 º
  • 86.
    ¾ ×ØÙ ÒØ ×ÈÖ Ñ Ó× Ò Ð Ò Ð Æ ÓÒ Ð Ð ÇÐ ÑÔ ÂÙÚ Ò Ð Å Ø Ñ Ø × ¾¼½½ ÈÖ Ñ Ö Ó Å ÐÐ × ÇÖÓ ÂÓ× Ù Ú Ö ÓÐ Ó ÐÐ Î ×Ø Óº Ö Ù Ê Ð ÞÒ Ö ÄÓ× Ö Ó× ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å ÐÐ × ÈÐ Ø ËÓ ×Ø Ò ÓÐ Ó Ð Ñ Ò Óº ÙÐ ÓÖ ÐÐ ÌÓÐ ÒÓ ÆÙ ×ØÖ Ë ÓÖ ÕÙ ÒÕÙ Ö Óº ÙÐ ×Ø Ö À ÖÒ Ó ÓÐ Ó ÐØ Ñ Ö Óº ÙÐ Å ÐÐ × ÖÓÒ Ö Ð ÅÓÖ Ð × ÄÓ× ÑÔ ØÓ× ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ç× Ö Å ÖÕÙ Þ Ù ÓÒ Ð Ö Ù Óº Ö Ù Ñ Ò Ø Ö Ó× Á ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å Ò ÓÒ × ÀÓÒÓÖ ÄÙ × ÍÞ Ø Ù ÄÓ× ÈÖÓ Ö × Óº ÓÐ Ú Ö ËÓ ÓÒÞ Ð Þ Å Ö Ù ÐÙÔ Óº ÆÙ Ú ×Ô ÖØ Ö Ð ÙØ ÖÖ Þ À ÔÓ ÑÔ ØÓ× Óº Å Ö Ò Ñ Ð Ã ÐÐ Ñ Ò ÄÓ× ÑÔ ØÓ× ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ë ÙÒ Ó Ó Å ÐÐ × ÇÖÓ Å Ö ÅÓÖ Ð × Ë Ò Á Ò Ó ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÄÙ × ÊÙ Þ Ä × ÓÐ Ò × Óº Ä Ö Å ÐÐ × ÈÐ Ø ÄÙ × ÓÑ Ò Ù Þ Ë Ò Á Ò Ó ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÂÓÖ Æ Ú ÐÐ × ÖØ × Óº ÙÐ Å Ö Ý Ö × Ñ Ï × Ò ØÓÒ ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÖØÙÖÓ ËØÓÖÝ Ë Ò Á Ò Ó ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å ÐÐ × ÖÓÒ Ó È Ö Ë Ò Á Ò Ó ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ê Ö Ó Ë ÐÚ ÓÐ Ó Ë Ò Ö Ð Ö Ò Ð Óº Ö Ó Ó Â × × ÖÒ Ò Þ Ä × Ñ Ö × Óº ÅÓÒ × Ð Þ Ø ÔØ ×Ø Ä × ÓÐ Ò × Óº Ä Ö Æ ÓÐ × Ê × Ù Ð ÐÐ Î ×Ø Óº ÙÐ Ê Ö Ó ÇÖØ Ë Ò Ä Þ ÖÓ Óº ËÙ Ö
  • 87.
    ¿ Å Ò ÓÒ× ÀÓÒÓÖ Ö Ñ ÈÙÐ Ö À ÔÓ ÑÔ ØÓ× Óº Å Ö Ò ÖÒ Ð Ó × ÐÓÒ ÓÐ Ó Ö ×ØÓ Ê Ý Óº Ö Ó Ó Â × × ×Ø Ö Ó Á ÖÓ Ñ Ö ÒÓ Óº ÓÐ Ú Ö ÂÙ Ò Ö Ñ Ö Ë Ò ÂÓ× Å Ö ×Ø × Óº Ö Ù Î Ð ÒØ Ò Å ÖØ Ò Þ Ð Ò ÖÓ ÀÙÑ ÓÐØ Óº ÆÙ Ú ×Ô ÖØ Ö×ÓÒ Î Ð Þ Ê Ñ Ò Ê ÒÓ×Ó ÆÙ Þ Óº ÙÐ Ì Ö Ö Ó Å ÐÐ × ÇÖÓ ÊÙ Ñ ÖÝ ÊÓ × Ú Ò È ×ØÓÖ Óº Ä Ö ÄÙ × Ê ÕÙ Þ Á ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÒÔ ÓÐÓ ÙØ Ë Ò ÂÓ× Å Ö ×Ø × Óº Ö Ù Å ÐÐ × ÈÐ Ø È ÖÓ ÊÓÑ ÖÓ Á ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÂÙ Ò Ç Ò Ó Ê Ô Ð Î Ò ÞÙ Ð Óº ÌÖÙ ÐÐÓ Ç× Ö ÖÓÑ Ö ÅÓÖ Ð Ý ÄÙ × ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ò Ð Æ Þ Î ÐÐ ÐØÓ Óº Å Ö Ò Ð × ÂÓÖ ÓÐ Ó ÐÐ Î ×Ø Óº Ö Ù ÂÓ Ð ÖØ ÂÙ Ò ÁÁÁ Î Ð Ò Óº Ö Ó Ó Å ÐÐ × ÖÓÒ Ð × Ö Ñ ÅÓÖ Ð Ý ÄÙ × ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð ÄÙ × Å Ò Ò Ö × ÐÓÝ Ð Ò Ó Óº ÙÐ ÊÓ ÓÐ Ó Å ÖÕÙ Þ Å Ö Ë ÒØ × Ñ Óº Ä Ö Ö Ð Î Ð Þ ÂÙ Ò Â Ó Ó ÊÓÙ×× Ù Óº ÒÞÓ Ø Ù ÂÓ× Â Ñ Ò Þ ÊÓ ÖØÓ ×Ø ÐÐÓ Ö Ö Óº ÒÞÓ Ø Ù Ò Ö Ó ÓÐ Ó ÐØ Ñ Ö Óº ÙÐ Î ØÓÖ ×Ø Ú Þ Ò Ö × ÐÐÓ Óº ÆÙ Ú ×Ô ÖØ Ò Ö Ä Ô Þ Ë Ò Ä Þ ÖÓ Óº ËÙ Ö Ð Ê Ý × Ò Ö × ÐÓÝ Ð Ò Ó Óº ÙÐ Å Ò ÓÒ × ÀÓÒÓÖ ÖØ ÖØÓÐ ÄÓ× ÑÔ ØÓ× ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð
  • 88.
    Ù ÖØÓ Ó ÅÐÐ × ÇÖÓ Ó È À ÔÓ ÑÔ ØÓ× Óº Å Ö Ò Å ÐÐ × ÈÐ Ø Ë Ö Ó Î ÐÐ ÖÖÓ Ð Ë Ò Ä Þ ÖÓ Óº ËÙ Ö Å ÐÐ × ÖÓÒ Â Ö ÑÝ ÊÓ × Ò Ö × ÐÓÝ Ð Ò Ó Óº ÙÐ Å Ù Ð Ä Ò Ö × Ë Ò È ÖÓ Óº Ä Ö Ð Þ Ø Ó×Ø Ö ×ØÓ Ê Ý ¹ Ë ÒØ ÅÓÒ ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Î ØÓÖ ÙÖ Ò Äº º Â × × º Å Ö ÒÓ ÞÙÖ Óº ËÙ Ö ÂÙ Ò Þ ÈÍÄ Óº Å Ö Å Ò ÓÒ × ÀÓÒÓÖ Ð Ò ÖÓ Ä Ö Ñ Ð Ö Ñ Ò ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ö Ò × Ó ÓÐÐ Ö ×ØÓ Ê Ý ¹ Ë ÒØ ÅÓÒ ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å Ù Ð Ä Ô Þ ÅÓÒØ ÖÑ ÐÓ Óº ÓÐ Ú Ö Å Ö Ò Ë Ú Ö ÆÙ ×ØÖ Ë ÓÖ ÄÓÙÖ × Óº Ö Ó Ó Ð Ò ÖÓ Å Ò × Ù Ð ÓÑÙÒ Ø Ö Ë Ò ÒØÓÒ Ó Óº Å Ö Ò Ò ÄÓÔ Þ Ë Ò Ä Þ ÖÓ Óº ËÙ Ö ÉÙ ÒØÓ Ó Å ÐÐ × ÇÖÓ ÖÐÓ× Ä Ñ × ÁÒ Ô Ò Ò Óº Ä Ö ÌÓÑ × ÊÓ Ö Ù Þ ÁÒ×Ø ØÙØÓ Ö Ó ÁÖ × Óº ÆÙ Ú ×Ô ÖØ Å ÐÐ × ÈÐ Ø ÅÓ × × ÖÑ Ò ÅÓÖ Ð Ý ÄÙ × ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å ÐÐ × ÖÓÒ Å Ö Ò ÐÓÖ × Ù ÓÒ Ð Ö Ù Óº Ö Ù ÒÝ× À ÖÒ Ó ÓÐ Ó ÐØ Ñ Ö Óº ÙÐ ÀÙÑ ÖØÓ È Ö Ë Ò Á Ò Ó ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Ó Å Ò ÓÞ Á ×ØÖ ØÓ Ô Ø Ð Å Ò ÓÒ × ÀÓÒÓÖ ÖÐÓ× Å ÖØ Ò Þ ÂÙ Ò ÁÁÁ Î Ð Ò Óº Ö Ó Ó Î Ð ÒØ Ò È ÒÓ À ÔÓ ÑÔ ØÓ× Óº Å Ö Ò ÖÐÓ× È Ö Ð ÁÒ Ô Ò Ò Óº Ä Ö
  • 89.
    ÈÖ Ñ Ó××Ô Ð × ÄÙ × ÊÙ Þ ´Ä × ÓÐ Ò ×¸ Óº Ä Ö µ ÈÖ Ñ Ó Ð ÙÒ Ò ÑÔÖ × × ÈÓÐ Ö Ð Ñ ÓÖ ÔÖÙ º ÊÙ Ñ ÖÝ º ÊÓ × Äº ´ Ú Ò È ×ØÓÖ ¸ Óº Ä Ö µ ÈÖ Ñ Ó ÍÆ ÈÇ Ð Ö ×ÔÙ ×Ø Ñ × Ö Ø Ú º ÌÓÑ × ÊÓ Ö Ù Þ ´ÁÒ×Ø ØÙØÓ Ö Ó ÁÖ ×¸ Óº ÆÙ Ú ×Ô ÖØ µ ÈÖ Ñ Ó ÔÓÖ Ö Ô ÖØ Ô Ó Ò Ð Ò Ð Æ ÓÒ Ð × Ì Ö Ö Ö Ó ×Ø ØÓ Óº Å ÖÝ Ó×Ø ´ ×Ø Ó ÓÐ Ú Öµ ÈÖ Ñ Ó Ù Ö Ó ÓÒØÖ Ö × Ð ÓÓÖ Ò ÓÖ Ñ × ×Ø º
  • 90.
    ÇÐ ÑÔ ÂÙÚÒ Ð Å Ø Ñ Ø × ¾¼½½ ÓÑ Ø ÇÖ Ò Þ ÓÖ Æ ÓÒ Ð Ê Ð Ë Ò Þ Ä ÑÓÒ ´ÈÖ × ÒØ µ Ë ØÙÖÒ ÒÓ ÖÑ Ò Ê Ý × ´ ÓÓÖ Ò ÓÖ Ñ Ò ×ØÖ Ø ÚÓµ ÂÓ× À Ö Æ ØÓ Ë ´ ÓÓÖ Ò ÓÖ Ñ Óµ Ä ÙÖ Î ÐÑ À ÖÖ ÖÓ ´ ÓÓÖ Ò ÓÖ ÒØÖ Ò Ñ ÒØÓ×µ ÓÓÖ Ò ÓÖ × Ê ÓÒ Ð × ÈÖÓ º Ä × Ò ÖÓ ÐÚ Ö Ó ´ ÐØÓ× Å Ö Ò ÒÓ×µ ÈÖÓ º Å Ö Å × ´ ÒÞÓ Ø Ù ÆÓÖØ µ ÈÖÓ º Ê Ð ÒØÓÒ Ó Î Ð Þ ÌÓÚ Ö ´ ÔÙÖ µ ÈÖÓ º Î ÐÑ × ÐÓÒ ´ Ö Ù µ ÈÖÓ º Å ÖÝ Ó×Ø ´ ÓÐ Ú Öµ ÈÖÓ º ÂÓÖ Ïº Ë Ð Þ Ö ´ Ö Ó Óµ ÈÖÓ º ËÓÒ Ò ´ Ó ×µ ÈÖÓ º Ø Ö ÚÓ ´ Ð Òµ ÈÖÓ º ÖÐÓ× Ä Ö ´ Ù Ö Óµ ÈÖÓ º Î ØÓÖ ÖÙ ´Ä Ö µ ÈÖÓ º ÂÓ× ÌÓÐÓÞ ´Å Ö µ ÈÖÓ º Ð ÒÒÝ Ù Ò Ô ´ÅÓÒ ×µ ÈÖÓ º Ñ Ð È ´ÆÙ Ú ×Ô ÖØ µ ÈÖÓ º Å Ö Å ÖØ Ò Þ º ´ÈÓÖØÙ Ù × µ ÈÖÓ º ÄÙ × Ä Ô Þ ´ËÙ Ö µ ÈÖÓ º ÂÓÖ ÄÓÞ ´Ì Ö µ ÈÖÓ º Ê Ñ Ò Ð Ò Ó ´ÌÖÙ ÐÐÓµ ÈÖÓ º Æ Ò Ý Ò Ð × ´ Ö Ùݵ ÈÖÓ º ÂÓ× À Ö Æ ØÓ ´ ÙÐ µ