1. ទទួលយកចំេណះដឹងថីៗសំ ប់ៃថេនះ

2. រមក
េស វេ គណតវទ េនះ
ិ ិ ៃដនពនេលកទីពីរកុងចំេ
ិ មេស វេ គណតវទ ែដលលខុំ
ិ ិ នែតងេឡង ។
េស វេ េនះខុំែតងេឡងកុងេ លបំណងផ ពផ យនូវអីែដលខុំ នរកេឃញេ កុងគណតវទ េហយេឃញ
ិ ិ ន បេ ជន៍
េ ចនកុងគណតវទ ។
ិ ិ
េ កុងេស វេ គណតវទ ែផកវសម
ិ ិ ិ ពេនះ គខុ ំសងត់ធន់េ
ឺ េល រ យប ក់ ទសី បទែដល
ឹ នពមុនមកគមន
ី ឺ ិ ន
និ យដល់ បេភទលំ ត់េ ះេទ េ ះ េបនិ យដល់លំ ត់គឺ នេ ចន បេភទ ប់រយ
 ន បេភទលំ ត់ ប៉ុែនប លំ ត់
ងេ
ំ ះគឺ ន់ែត រអនុវតន៍ៃន ទសី បទែតប៉ុេ
ឹ ះ។ កុងេស វេ េនះេទ តេ តគឺខុ ំចង់ផល់នូវវធី
ិ សថីៗែដលខុំ នរកេឃញ
ែដលមន
ិ ន់ នេស វេ នេ ះពុមផ យេ េឡយេទ។

និ យដល់ ទឹសី បទវសម
ិ ពថមួយេនះវញ ខុំសូម
ី ិ ក់េ ះខួនខុំ ទ ( ៉ ន់ ) េ ះវសម
ិ ពេនះេ ះខុំមនចង់
ិ
េ យ រែតងេឡងនូវអីែដល ៃដថៗ
ី យេ ទសី បទ
ឹ មកេ
ិ ះេទ ថីត តវសម
ិ ិ ពេនះេគពុំ ន់ទទួល ល់ សកល
ក៏េ យ ែតខុំេ ែត នសង ម
ឹ េ ៃថ មួយេគនងយកចតទុក
ឹ ិ ក់ដល់ បេភទវសម
ិ ពមួយេនះ។ ែតផុយេ វញេប
ិ មខុំគត
ិ
បែហល អកគត
ិ រ ក់េ ះេ យយកេ ះខួនឯងេនះ ពអំនួតេ វញ ែតេ
ិ ះ ៉ ងេនះក៏េ យក៏ខុ ំមនចង់េ
ិ យអី
ែដល ៃដរបស់ែខររកេឃញ េហយែបរ ក់េ ះរបស់ តិ សេផ ងេ វញេ
ិ ះេទ។
ចុងេ យខុំសូមអភ័យេ ស ល់កំហុសឆង ង
ំ យែដលខុំែដលេកតេឡងេ
  យអេចត
េហយក៏សូមែថងអំណរគុណដល់បងបូនសិស នុសិស នស ត េ
ិ ិ ក គ អក គ ពម ង
ំ រ ងអស់
ំ
ែដលនយម
ិ វ វគណតវទ សូ មជូនពរេ
ិ ិ យអស់េ កទទួល នេ គជ័យកុង រ វ វ េហយខុំសង ម
 ឹ េស វេ ត
ខនង
ី ឹ យេ មតដ៏លសំ ប់អកសិក ។
ិ

3. x ,x ,…,x ; x ,x ,…,x ; … ; (x ,x ,…,x ) និងចំនួនវជ ន (a , a , … , a ) ែដល
ទសី បទៈ (Van Khea) េគេ
ឹ យសំ នុំសុី តៃនចំនួនពតវជ
ិ ិ ន
; , , , , , , , ,
a − a − a − ⋯ − a = 1 េគ នៈ
ិ
+ + ⋯+ x x x
≤ + + ⋯+
, , , , , ,
∏ x , +x , + ⋯+ x , ∏ x ,
∏ x ,
∏ x ,
ឬេគសរេសរេ យខដូច ងេ មៈ
x,
ី
∑
≤
,
∏ ∑ , ∏ x,
សំ យប ក់
ង f(x) = ln(1 + )> 0; ∀ ∈
e
f (x) =
1+e
e (1 + e ) − e e
f (x) = = > 0 ;∀ ∈
(1 + e ) (1 + )
េគ ន f(x) គឺ អនុគន៍េ ៉ ងេល R អនុវតន៍វសម
ិ ព ងេ មៈ
ចំេ ះចំនួនវជ
ិ ន(α , α , … , α ); ែដល α − α − ⋯ − α = 1
េគ នៈ f(α x − α x − ⋯ . −α x ) ≥ α f(x ) − α f(x ) − ⋯ − α f(x )
ង x = ln ែដល a និង b ចំនួនវជ
ិ នេគ នៈ
α x − α x − ⋯ − α x = α ln − ln − ⋯− ln = ln
…

4. ⇒ = ⋯
…
ន f(α1 x1 − α2 x2 − ⋯ − αn xn ) = ln(1 + 1 1 − 2 2 −⋯− ) = ln 1 +
…
េគ
(1 + )
α f(x ) − α f(x ) − ⋯ − α f(x ) = α ln(1 + e ) − ln(1 + ) −. . . − ln (1 + ) = ln
(1 + ) … (1 + )
ម ៉ងេទ ត x = ln ⇒ = េគ នៈ
+
1+
α f(x ) − α f(x ) − ⋯ − α f(x ) = ln = ln
1+ … 1+ + +
…
f(α x − α x − ⋯ . −α x ) ≥ α f(x ) − α f(x ) − ⋯ − α f(x )
1
1
+
⇒ ln ⎛1 + 1 ⎞ ≥ ln
+ +
2 … …
2
⎝ 2 ⎠
1
1
+
⇒1+ 1
≥
+ +
2 … …
2
2
a … (a + b ) …
⇔1+ ≥
… ( + ) …( + )
a … ( + ) …
⇒b + ≥
… ( + ) …( + )
ែចកអង ងពីរនឹង
ំ … េគ នៈ
b ( + )
⇒ + ≥
… … ( + ) …( + )
≤ +
( )
( ) …( ) … …
ឬ
ឥឡូវេយងនឹងប ញវសម
ិ ព ងេល ម រកំេនន

5.  ករណ m = 2 វសម
ី ិ ព ងេលេ ៈ
x +x
≤ +
, , , ,
, + , , + , … , + , , . , … , , . , … ,
ពតសំ យប
ិ ក់ ងេល
 ករណ m = 3 វសម
ី ិ ពេ ៈ
x , +x , +x ,
, + , + , , + , + , … , + , + ,
≤ + +
, , ,
, . , … , , . , … , , . , … ,
ឥឡូវេយង
 យវសម
ិ ពេនះ
x +x +x
េយង
 នៈ
, , ,
, + , + , , + , + , … , + , + ,
x + (x +x )
=
, , ,
, +( , + , ) , +( , + , ) … , +( , + , )
+
≤ +
, . ,
, . , … , , + , , + , … , + ,
. ,
≤ ,
+ ,
, , , , … , , , . , … , , . , … ,
ែត
ដូចេនះេគ នៈ
x , +x , +x ,
, + , + , , + , + , … , + , + ,
≤ + +
, , ,
, . , … , , . , … , , . , … ,
 ឥឡូវេយងឧប ពិតរហូតដល់ m = k គឺៈ

6. + , + ⋯+ , x , x x
≤ + + ⋯+
, , ,
∏ (x , + x , + ⋯ + x , ) ∏ x , ∏ x , ∏ x ,
ពិតដល់ m = k + 1 គឺ
+ +⋯+ + x x x x
 េយងនឹង យ យ
≤ + + ⋯+ +
, , , , , , , ,
∏ x , +x , + ⋯+ x , +x , ∏ x ∏ x ∏ x ∏ =2
, , , +1,
េយង
 នៈ
, + , + ⋯+ , + , ( , + , +⋯+ , )+ ,
=
∏ x , +x , + ⋯+ x , +x , ∏ (x , +x , + ⋯+ x , ) + x ,
+ + ⋯+
≤
, , ,
1
+
∏ =2
+1,1
∏ =2 x , +x , + ⋯+ x , +1,
+ , + ⋯+ , x , x x
ែត
≤ + + ⋯+
, , ,
∏ (x , + x , + ⋯ + x , ) ∏ x , ∏ x , ∏ x ,
េ
ំ យេគ នៈ
+ +⋯+ + x x x x
≤ + + ⋯+ +
, , , , , , , ,
∏ x , +x , + ⋯+ x , +x , ∏ x ∏ x ∏ x ∏ =2
, , , +1,
ដូចេនះវសម
ិ ព តវ ន យប ក់។
ករណពេសសៃនវសម
ី ិ ិ ព ងេល
ករណ a = n ; a = a = ⋯a = 1
+ , + ⋯+ , x x x
1) ី វសម
ិ ពេ ៈ
≤ + + ⋯+
, , , ,
∏ (x , + x , + ⋯ + x , ) ∏ x , ∏ x , ∏ x ,
ករណ n = 2 េគ
x +x + ⋯+ x x x x
2) ី នៈ
≤ + + ⋯+
, , , , , ,
, + , +⋯+ , x , , x ,

7. ករណ n = 3 េគ នៈ
x +x + ⋯+ x
3) ី
≤ + + ⋯+
, , , , , ,
, + , + ⋯+ , ( , + , +⋯+ , ) , . , , . , , . ,
4) ករណ α = α = ⋯ = α = 0 ⇒ α − α = 1 វ ិសម
ី ពេ ៈ
x +x + ⋯+ x
≤ + + ⋯+
, , , , , ,
, + , + ⋯+ , , , ,
5) ករណ α = α = ⋯ = α = 0 ⇒ α − α − α = 1 វ ិសម
ី ពេ ៈ
x +x +⋯+ x
≤ + +⋯+
, , , , , ,
, + , + ⋯+ , , + , + ⋯+ , , . , , . , , . ,
6) ករណែដលេគេ ប េ ចនបំផុតគឺ ករណ (m = 2; n = 2);
ី ី ( = 3; = 3); (m = 3 , n = 4)
a ( + )
ែដល នលកណៈដូ ច ងេ ម៖
+ ≥
+
a ( + + )
+ + ≥
( + + )( + + )
a ( + + )
+ + ≥
( + + )( + + )( + + )
7) ចំ ែនកករណពិ េសសមួ យេទ តគឺ េពល a = a = a េ
1 1 1 27
ី ះវ ិសម ពេ ៈ
+ + ≥
x y x y x y (x + x + x )(y + y + y )
1 1 1 81
+ + ≥
x y z x y z x y z ( + + )( + + )( + + )
អនុវតន៍កុង រ យប ក់ ទឹសីបទ
1) វ ិសម ព Cauchy
យប ក់ ចំេ ះចំនួនវ ិជ ន x , x , … , x ; ∀2 ≤ n ∈ N េគ នៈ
x + x + ⋯+ x ≥ n x x …x
សំ យប ក់
អនុវតន៍ វ ិសម ព ៉ ន់ ងេលេយង នៈ
1 1 1 (1 + 1 + ⋯ + 1)
+ + ⋯+ ≥
x x …x x x …x x … ( + +⋯+ )( +⋯+ + )…( + + ⋯+ )

8. n
≥ ⇒ (x + x + ⋯ + x ) ≥ n x x … x
x x …x ( + + ⋯+ )
⇒ x +x + ⋯+ x ≥ n x x …x
2) វ ិសម ព Minkowski
យប ក់ ចំេ ះចំនួនវ ិជ ន x , x , … , x ; y , y , … , y ; 2 ≤ n ∈ N េគ នៈ
(x + y )(x + y ) … (x + y ) ≥ x x …x + y y …y
សំ យប ក់
អនុវតន៍ វ ិសម ព ៉ ន់ ងេលេយង នៈ
x x x …x y y y …y x x x …x + y y y …y
(x + y ) = + ≥
x x …x y y …y (x + y )(x + y ) … (x + y )
⇒ (x + y )(x + y ) … (x + y ) ≥ x x x …x + y y y …y
⇒ (x + y )(x + y ) … (x + y ) ≥ x x …x + y y …y
3) វ ិសម ព Cauchy – Schwarz
ន x , x , … , x ; y , y , … , y េគ
( + + ⋯+ )
យប ក់ចំេ ះចំនួនវ ិជ នៈ
+ + ⋯+ ≥
+ + ⋯+
a ( + + ⋯+ )
វ ិសម ព ងេល ចេ យេ មទំ រង់ ទូេ ដូច ងេ មៈ
+ + ⋯+ ≥
( + + ⋯+ )
សំ យប ក់
អនុវតន៍ វ ិសម ព ៉ ន់ ងេលេយង នៈ
a ( + + ⋯+ )
+ + ⋯+ ≥
1.1. … .1 . b 1.1. … .1 . b 1.1. … .1 . b (1 + 1 + ⋯ + 1) … (1 + 1 + ⋯ + 1)( + +⋯ )
a ( + + ⋯+ )
⇒ + +⋯+ ≥
េលខ េលខ េលខ
( + +⋯+ )
យក p = 2 េគ
( + + ⋯+ )
នៈ
+ + ⋯+ ≥
+ + ⋯+
4) វ ិសម ព Bunhiacopski
ន x , x , … , x ; y , y , … , y េគ
(x + x + ⋯ + x )(y + y + ⋯ + y ) ≥ (x y + x y + ⋯ + x y )
យប ក់ចំេ ះចំនួនវ ិជ នៈ
វ ិសម ព ងេល នទំរង់ ទូេ ដូច ងេ មៈ

9. x + x + ⋯+ x y + y + ⋯+ y x y + x y +⋯+ x y
≥ ;p ≥ 2
n n n
សំ យប ក់
(x y ) (x y ) (x y )
អនុវតន៍ វ ិសម ព ៉ ន់ ងេលេយង នៈ
x + x +⋯+ x = + + ⋯+
1.1. … .1 y 1.1. … .1 y 1.1. … .1 y
(x y + x y + ⋯ + x y ) (x y + x y + ⋯ + x y )
≥ =
(1 + 1 + ⋯ + 1) … (1 + 1 + ⋯ + 1)( + + ⋯+ ) (( + + ⋯+ )
(x y + x y + ⋯ + x y )
⇒ x + x + ⋯+ x ≥
(( + + ⋯+ )
x + x + ⋯+x y + y +⋯+ y x y + x y + ⋯+ x y
⇒ ≥
n n n
ករណ p = 2 េគ
(x + x + ⋯ + x )(y + y + ⋯ + y ) ≥ (x y + x y + ⋯ + x y )
ី នៈ
5) វ ិសម ព (van khea)
យប ក់ចំេ ះចំនួនវ ិជ ន x , x , … , x ; y , y , … , y េគ នៈ
∑ x 1 1
≥ ; p, q > 1 ; − = 1
p q
∑ y
សំ យប ក់
ះ α − α = 1 េគ
( + + ⋯+ )
អនុវតន៍ វ ិសម ព ៉ ន់ ងេល ចំ េ នៈ
+ + ⋯+ ≥
( + + ⋯+ )
យក α = ;α = ; a = x ; b = y េគ នៈ
∑ x 1 1
≥ ; − =1
p q
∑ y
6) វ ិសម ពៈ (van khea)
យប ក់ ចំេ ះចំនួនពិ តវ ិជ ន x ,x ,…,x ;y ,y ,…,y ;z ,z ,…,z
និ ងចំ នួនវ ិជ ន p, q, r ែដលេផ ង ត់ ៈ − − = 1 េគ នៈ
∑ x
≥
.z
∑ y ∑

10. សំ យប ក់
ះ α − α − α = 1 េគ
( + + ⋯+ )
អនុវតន៍ វ ិសម ព ៉ ន់
x
ចំ េ នៈ
+ + ⋯+ ≥
y z ( + + ⋯+ ) ( + + ⋯+ )
ជំ នួសតំ ៃល = ; = ; = ;α = ;α = ; α = ចូ លេគ នៈ
∑ x
≥
.z
∑ y ∑
7) វ ិសម ព Holder
យប ក់ ចំេ ះចំនួនវ ិជ ន a ,a ,…,a ;b ,b ,…,b និ ងចំ នួនវ ិជ ន
p , q > 1 ែដល ; + = 1 េគ នៈ
a + a + ⋯+ a + + ⋯+ ≥( + + ⋯+ )
សំ យប ក់
(a b ) ( ) ( )
អនុវតន៍វសម
ិ ព ៉ ន់ េយង
 នៈ
a b +a b + ⋯+ a b = + + ⋯+
(a b + a b + ⋯ + a b )
≥
+ + ⋯+ + + ⋯+
(a b + a b + ⋯ + a b )
⇒ a b + a b + ⋯+ a b ≥
+ + ⋯+ + + ⋯+
1 1
a + a + ⋯+ a + + ⋯+ ≥( + + ⋯+ ); + =1
8) វ ិសម ព Minkowski
យប ក់ ចំេ ះចំនួនវ ិជ ន a , a , … , a ; b , b , … , b និ ង p ≥ 2 េគ នៈ
(a + b ) ≤ a +
សំ យប ក់
(a (a + b ) ) (a (a + b ) )
េយង នៈ
(a + b ) + ⋯ + a (a + b ) = + ⋯+
a (( + ) ) a (( + ) )

11. (a (a + b ) + ⋯ + a (a + b ) )
≥
a + ⋯+ a (( + ) + ⋯+ ( + ) )
⇒ a + ⋯+ a (( + ) + ⋯+ ( + ) ) ≥ (a + b ) + ⋯ + a (a + b ) ; (1)
ដូច ែដរៈ
b +⋯+b (( + ) + ⋯+ ( + ) ) ≥ (a + b ) + ⋯ + b (a + b ) ; (2)
បូក (1) និង (2) េគ នៈ
a + ⋯+ a + +⋯+ (( + ) + ⋯+ ( + ) ) ≥ (( + ) +⋯+ ( + ) )
⇒ a + ⋯+ a + + ⋯+ ≥ (( + ) + ⋯+( + ) )
9) វ ិសម ព( នេ ះ)
ះចំនួនវ ិជ ន x ,x ,…,x ះ1< ∈
x + x +⋯+ x x + x + ⋯+ x
យប ក់ ចំេ និ ងចំ េ េគ នៈ
≥
n n
សំ យប ក់
x x ( + + ⋯+ )
អនុវតន៍ វ ិសម ព ៉ ន់ េយង នៈ
+ + ⋯+ ≥
1.1 … 1. x 1.1 … 1. x 1.1 … 1. x ( + + ⋯+ )
⟺n x + x + ⋯+ x ≥ (x + x + ⋯ + x )
តួ តួ តួ
x + x + ⋯+ x x + x +⋯+ x
⇒ ≥
n n
10) វ ិសម ព ( នេ ះ)
យប ក់ ចំេ ះចំនួនវ ិជ ន x ,x ,…,x និ ងចំ េ ះ2≤ ∈ N េគ នៈ
√x + √x + ⋯ + √x x + x + ⋯+ x
≤
n n
សំ យប ក់
( √x ) ( √x ) ( √x ) ( √x + √x + ⋯ + √x )
េយង នៈ
+ +⋯ ≥
1.1 … .1 x 1.1 … .1 x 1.1 … .1 x ( + +⋯+ )
តួ តួ តួ
⇔n (x + x + ⋯ + x ) ≥ x + x +⋯+ x
x + x + ⋯+ x √x + √x + ⋯ + √x
⇒ ≥
n n

12. ឧ ហរណគំរូ
៍